Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx Proporciones Directas Simples (Regla de Tres) Concepto: Un kilo de harina cuesta $0.5 si compramos 4 Kilos de harina nos costarn $2 luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporcin. Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica por 4 el precio Un panadero vende 6 bolillos de pan por $0.5. Si una persona se lleva 72 bolillos para su restaurante Cunto le cuesta?Dos socios constituyen una empresa, inicialmente Juan aporta $240,000.00 y Antonio $30,000.00. Al cabo de dos aos obtienen beneficios que se reparten en proporcin al capital aportado inicialmente, si Antonio recibe $8,000.00 Cunto recibe Juan? El dueo de una papelera ha pagado $660.00 por la compra de 6600 bolgrafos. Al tiempo vuelve a comprar bolgrafos y la factura asciende a $580.00. Cuntos bolgrafos ha comprado? Un vehculo que circula a velocidad constante recorre 50 km. en 5 horas. Si se sabe que ha empleado 2 horas en llegar de la ciudad A a la ciudad B Qu distancia separa las ciudades? Un granjero tiene 26 vacas que comen 140 kilos de pasto al da, si tuviese 65 vacas Cunto pasto consumiran en un da? Proporciones Indirectas o Inversas Simples Concepto: Tres pintores tardan 10 das en pintar una pared. Cunto tardarn seis pintores en hacer el mismo trabajo. Al aumentar el nmero de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la pared, como el nmero de pintores se multiplica por 2, el nmero de das que se emplean en pintar se divide por 2. As tardarn 5 das. En un establo 18 caballos consumen un camin de heno en 4 das. Si llegan 6 nuevos caballos En cuntos das se comen el camin de pienso? Un coche que circula a 70Km/h. invierte 12 horas en cubrir la distancia que separa dos ciudades, si vuelve a realizar el viaje y emplea 10 horas. A qu velocidad circula en el segundo viaje? Un grupo de alumnos para su viaje de estudios contrata un autobs a precio fijo. Inicialmente iban al viaje 48 alumnos siendo el precio por persona de $10.00. Si finalmente hacen el viaje 40 alumnos Cunto tiene que pagar cada uno? Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx Proporciones Compuestas Concepto: Diremos que un problema es de proporcionalidad compuesta si intervienen tres o ms magnitudes. Al intervenir ms de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relacin proporcional entre A y B puede ser directa o inversa y entre B y C puede ocurrir lo mismo. De una mina, una cuadrilla de 10 mineros abren una galara de 120 metros de longitud en 18 das. Si otra cuadrilla tiene 11 mineros. Cuntos metros de galaras abrirn en 30 das? IEn una cadena de montaje, 12 obreros trabajando 8 horas diarias han construido un avin en 110 das. Cuntos obreros son necesarios para fabricar ese avin en 160 das trabajando 11 horas? MEn una cadena de montaje, 8 obreros trabajando 8 horas diarias han fabricado 3000 piezas. Cuntos obreros son necesarios para fabricar 4500 piezas trabajando 4 horas? Ejercicios Se compran 8 paquetes de materia prima de 150 kilogramos cada uno por un total de $ 480. Cunto costarn 20 paquetes de 80 kilogramos cada uno?8 paquetes costarn menos que 20 paquetes, y los de 150 kilogramos costarn ms que los de 80 kilogramos. Si te fijas con cuidado, ambas relaciones son directamente proporcionales (a ms, ms; a menos, menos).La dos reglas de tres simple directa seran: Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx Un automovilista sabe que para cubrir cierta distancia en 10 das, a razn de 12 horas diarias de marcha, debe andar a un promedio de 42 kilmetros por hora. A qu velocidad deber andar para realizar ese mismo trayecto en 8 das viajando 9 horas diarias?Para cubrir el trayecto en menos das deber viajar a ms velocidad (INVERSA), y si viaja ms horas por das podr hacerlo a menor velocidad (INVERSA). Ambas relaciones son, como dijimos, inversamente proporcionales (a ms, menos; a menos, ms).Las dos reglas de tres simple inversa seran: El dueo de una tejedura ha calculado que para tejer 630 metros de tela, 8 operarios tardan 7 das. Si 2 tejedores no pueden trabajar (con lo que quedan slo 6), cuntos das tardarn para hacer 810 metros de tela?Para tejer ms tela tardarn ms das (DIRECTA), pero menos obreros tardarn ms das (INVERSA). Es, por tanto, una REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA.La dos sucesivas reglas de tres simple seran: o o Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx Ejemplo: Si 12 naranjas cuestan $ 72, cul ser el precio de 20 naranjas? La relacin entre 12 y 72 determinar la relacin entre 20 y el valor desconocido. Otro ejemplo: Si 6 obreros tardan 12 das en realizar un trabajo, cunto tardarn 8 obreros? La relacin entre 6 y 12 nos permitir averiguar la relacin entre 8 y el valor desconocido. Pero cuidado! Vuelve a leer los dos ejemplos y nota que se parecen pero que no son anlogos, es ms, uno tiene un ingrediente opuesto al del otro. En el primer caso: Ms naranjas cuestan ms dinero.Menos naranjas cuestan menos dinero. A MS CORRESPONDE MS A MENOS CORRESPONDE MENOS (son directamente proporcionales) Esto se resolver aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA En el segundo caso: Ms obreros tardarn menos tiempo.Menos obreros tardarn ms tiempo. A MS CORRESPONDE MENOS A MENOS CORRESPONDE MS (son inversamente proporcionales) Esto se resolver aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA 12 ------ 72 20 ------ x donde x = (72 x 20) / 12 = 120 Es decir que se multiplican los valores que estn en la diagonal que no contiene a x y se divide ese resultado por el valor que est en la diagonal que contiene a x. SIEMPRE LOS DATOS QUE CORRESPONDEN A LA MISMA MAGNITUD DEBEN QUEDAR EN LA MISMA COLUMNA: $ sobre $, kg sobre kg, horas sobre horas, obreros sobre obreros, etc. 6 ----- 12 8 ------ x donde x = (12 x 6) / 8 = 9 es decir que se multiplican entre s los dos valores de la primera lnea horizontal que no contiene a x y se divide el resultado por el valor de la segunda lnea horizontal que contiene a x. CASOS Y CASOS :CASOS Y CASOS Costo de una mercadera y cantidad de la misma: DIRECTA Sueldo de un obrero y tiempo de su trabajo: DIRECTA Tiempo empleado y trabajo realizado: DIRECTA Nmero de obreros y trabajo realizado. DIRECTA Peso de cuerpos del mismo material y volumen ocupado por los mismos: DIRECTA Distancia recorrida por un mvil y tiempo empleado: DIRECTA -Tiempo empleado en hacer un trabajo y cantidad de obreros: INVERSA - Velocidad de un mvil y tiempo necesario para recorrer una distancia: INVERSA - Largo y ancho de rectngulos de igual rea: INVERSA Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx La Regla de Tres compuesta:La Regla de Tres compuesta Es cuando intervienen ms de tres magnitudes o valores, y la relacin establecida entre las conocidas permite obtener una desconocida. Pero, existe la regla de tres entre cinco, siete, nueve, etc. elementos? Por supuesto que no existe. Debera llamarse, segn el caso, "regla de cinco", "regla de siete", etc. En realidad son varias reglas de tres simple aplicadas sucesivamente. Y cada una de estas "reglas de tres" puede ser directa o inversa, con lo que las operaciones de producto o cociente dependern de eso. Varias reglas de tres simple directas y sucesivas formarn una REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA. Varias reglas de tres simple inversas y sucesivas formarn una REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA. Varias reglas de tres simple, unas directas y otras inversas sucesivas formarn una REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA. Se compran 8 paquetes de materia prima de 150 kg cada uno por un total de $ 480. Cunto costarn 20 paquetes de 80 kg cada uno? 8 paquetes costarn menos que 20 paquetes, y los de 150 kg costarn ms que los de 80 kg. Si te fijas con cuidado, ambas relaciones son directamente proporcionales (a ms, ms; a menos, menos). La dos reglas de tres simple directa seran: 8 ----- 480 20 ----- x x = (480 x 20) / 8 150 ---- 480 x 20 / 8 80 ------------------ y y =(480 x 20 x 80) / (8 x 150) Un automovilista sabe que para cubrir cierta distancia en 10 das, a razn de 12 horas diarias de marcha, debe andar a un promedio de 42 km/h. A qu velocidad deber andar para realizar ese mismo trayecto en 8 das viajando 9 horas diarias? Para cubrir el trayecto en menos das deber viajar a ms velocidad (INVERSA), y si viaja ms horas por das podr hacerlo a menor velocidad (INVERSA). Ambas relaciones son inversamente proporcionales (a ms, menos; a menos, ms). Las dos reglas de tres simple inversa seran: 10 ------ 42 8 ------- x x = (42 x 10) / 8 12 ------- (42 x 10) / 8 9 -------------------- y y = (42 x 10 x 12) / (8 x 9) El dueo de una tejedura ha calculado que para tejer 630 metros de tela, 8 operarios tardan 7 das. Si 2 tejedores no pueden trabajar (con lo que quedan slo 6), cuntos das tardarn para hacer 810 metros de tela? Para tejer ms tela tardarn ms das (DIRECTA), pero menos obreros tardarn ms das (INVERSA). Es, por tanto, una REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA. La dos sucesivas reglas de tres simple seran: 630 ------- 7 810 ------ x x = (7 x 810) / 630 8 -------- (7 x 810 / 630) 6 --------------------------- y y = (7 x 810 x 8) / (630 x 6) Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx CONCRETANDO: Elvalorqueestenlaprimeralneaaladerecha,vasiempreprimero,"arriba" (multiplicando). -Siesregladetresdirecta,elvalorqueestenlaprimeralneaala izquierdavasiempreabajo(dividiendo),yelvalorqueestenlasegundalneaala izquierdava siemprearriba (multiplicando). - Sies regla de tresinversa, elvalor que est en la primera lnea a la izquierda va siempre arriba (multiplicando), y el valor que est en la segunda lnea a la izquierda va siempre abajo (dividiendo). Otra forma de expresarlo: El primer dato (que corresponde a la unidad de la incgnita) va siempremultiplicando.Cadadatodirectamenteproporcionalquedarenelnumerador. Cada dato inversamente proporcional quedar en el denominador. Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mxSimplificacin de Trminos Semejantes 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Dividir: 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx Productos Notables Se les denomina as a las operaciones consistentes en obtener el PRODUCTO (deahelnombredeProductosNotables)dedosexpresionesalgebraicaslascualestienenlaparticularidaddequeasimpleinspeccinvisualpara identificar su tipo, podemos obtener el resultado. N0NBREEXPRESI0NRES0LTAB0 Binomio al cuauiauo Binomio al cubo Binomios conjugauos Binomio x tiinomio Timino Comnx ax b a b x ab Coeficiente Timino Comn ax bcx uac au bc bu Binomio al Cuauiauo El cuauiauo uel piimeio mas o menos el uoble uel piouucto uel piimeio poi el Segunuo mas el cuauiauo uel segunuo Binomios Conjugauos El cuauiauo ue los ue signo igual menos el cuauiauo ue los ue signo uifeiente Timino Comn El cuauiauo uel piimeio mas la suma uel piimeio y el segunuo multiplicauo poi el comn ms el piouucto ue los no comunes Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios:

1 ) 10xy + 15xy 2

3 ) 3m 3 + 3m 2 18m

5 ) 64 + b 12

7 ) 18x 3y 9x 2y + 27x 2y 2

9 ) (3a + b)(2c d) + 2 a (2c d)2

11 ) 3 a 2b 12ab 2 + 9ab

2 ) 16x 2 9y 2

4 ) 6xy 2xz + 8yz

6 ) ax 2 ay + 3a + b x 2 by + 3b

8 ) 64m 3 48m 2n + 12mn 2 n 3

10 ) a n+2 a n-1 12 ) (a b)2 (a + b)2

13 ) 4 a (x + 2y) b (x + 2y)

15 ) 27 a 3 64b 3

17 ) 2y 2 + y 3

19 ) 8 a 2bc 4abc

21 ) x 2 + y 2 + 1 + 2xy + 2x + 2y

23 ) (y 4)2 5 (y 4) + 6

25 ) 6x 2 x 12

27 ) 6ux 4uy + 3vx 2vy

29 ) a 2 b 2 20ab + 100

31 ) 8x 3 36x 2 y + 54xy 2 27y 3

14 ) x 2 + 2x 15

16 ) x 2 12x + 32

18 ) 5mx 2 5mx + 10m 2n2+2nx 4n

20 ) 2x 2 5xy + 2y 2

22 ) x 3 + 64y 3

24 ) 2ax + 2ay + b x + by

26 ) x 4 81

28 ) 4x 2 y 2 + 4y 4

30 ) (2x + 1)2 8 (2x + 1) + 16

32 ) 5ax by + 10b 50a b x + 5ay

33 ) 51x 2y 2 34xy 2 17xy

35 ) b 3 + 12 a 2 b + 6ab 2 + 8a 3

37 ) 8x 3 + 27y 3

39 ) x 2 6x + 9 y 2

41 ) x 2 + 2xy + y 2 a 2 2ab b 2

34 ) 8a 3 b 3

36 ) 6x 4 11x 3 10x 2

38 ) 4x 2 12xy + 9y 2 4 a 2 b 2

40 ) x 4 y x 2 y 3

42 ) a 2 b 2 + a b

Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx43 ) 125 z 3 + 64 y 3

45 ) a3 9b 2 27b 3 + a 2

47 ) 8b 2 m2 + 24b 2mn + 18b 2 n 2

49 ) 64m 3 27y 3

51 ) x 2a y 2b

53 ) 16x 4 25y 2

55 ) 27x 3 54x 2y + 36xy 2 8y 3

57 ) 12x 2 29x + 15

59 ) 10m 2 13mn 3n 2

61 ) 9a2 6ab + b2 25x2 + 10xy y2 63) (x + y)2 + 2 (x + y) 15

65) 4a2mx + 8a2nx 2a2my 4a2ny

67) 8x 3 12x 2y + 6xy 2 y 3

69) 4x 2 + 4xy + y 2 18x 9y + 18

71) 12x 2z + 8y 2z 15wx 2 10y 2w

73) a 4 + 2a 3 a 2 2a 44 ) y 6 26y 3 27

46 ) 16 a 4 24 a 2 b + 9b 2

48 ) 4x 2 + 10x 6

50 ) 25x 2 36y 2

52 ) a2b3x2 n4 + a2b3 3a2b3x n4x2 + 3n4x

54 ) 4x 2y 2 (x 2 + y 2 z 2)2

56 ) 6b 2 + 13b 28

58 ) (x 2 + 8x + 16) ( y 2 + 2y + 1)

60 ) a 3 + b 3 a 2 2ab b 2 a b

62) x 2 2xy + y 2 + 6x 6y + 8

64)

66) 6 (x + y)2 + 5 (x + y) 6

68) m 3 + n 3 + m 2 m n + n 2

70) 2x 3 28x 2 + 98x

72) 3x 2 17x + 10

74) x 6 + 7x 3 44 75) (m n)2 8 (m n) + 16

77) 20a 2 + 7a 6

79) 3a 2 + 5a 22

76) 6x 2 + 23x + 17

78) (a b)2 + 2 (a b) 24

80) m 2 b 2 2mn + n 2 Telfono :442 2254970 e-mail : contacto@excelenciaacademica.com.mx

WebSite : http://www.excelenciaacademica.com.mx (x + 5)2 = x2 + 10x + 25 (7a + b)2 = 49a2 + 14ab + b2 (4ab2 + 6xy3)2 = 16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6 (xa+1 + yb-2)2 = x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4 (8 - a)2 = 64 - 16a + a2 (3x4 -5y2)2 = 9x8 - 30x4y2 + 25y4 07 (xa+1 - 4xa-2)2 = x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4 08 (5a + 10b)(5a - 10b) = 25a2 - 100b2 09 (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = 49x4 - 144y6 10 (x + 4)3 = x3 + 12x2 + 48x + 64 11 (5x + 2y)3 = 125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3 12 (2x2y + 4m)3 = 18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3 13 (1 - 4y)3 = 1 - 12y + 48y2 -64y3 14 (3a3 - 7xy4)3 = 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12 15 (2xa+4 - 8ya-1)3 = 8x3a+12 - 96x2a+8ya-1 + 384xa+4y3a-3 - 512y3a-3 16 (x + 5)(x + 3) = x2 + 8x + 15 17 (a + 9)(a - 6) = a2 + 3a - 54 18 (y - 12)(y - 7) = y2 - 19y + 84 19 (4x3 + 15)(4x3 + 5) = 16x6 + 80x3 + 75 20 (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) = 25y2a+2 - 50ya+1 - 56