ejercicios de radicales
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2ObjetivosEn esta quincena aprenders a:
Potencias y radicales
Calcular y operar con potencias de exponente entero. Reconocer las partes de un radical y su significado. Obtener radicales equivalentes a uno dado. Expresar un radical como potencia de exponente fraccionario y viceversa. Operar con radicales. Racionalizar expresiones con radicales en el denominador. Utilizar la calculadora para operar con potencias y radicales.
1. Radicales pg. 22 Potencias de exponente fraccionario Radicales equivalentes Introducir y extraer factores Clculo de races Reducir a ndice comn Radicales semejantes 2. Propiedades pg. 25 Raz de un producto Raz de un cociente Raz de una potencia Raz de una raz 3. Simplificacin pg. 26 Racionalizar Simplificar un radical 4. Operaciones con radicales pg. 28 Suma y resta Multiplicacin de radicales Divisin de radicales RESUMEN Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
MATEMTICAS B
19
20
MATEMTICAS B
Potencias y radicalesAntes de empezarPropiedades de las potencias de exponente enterox2x7 = x2 +7 = x9
Conviene que recuerdes las propiedades de las potencias que has estudiado en cursos anteriores El producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la suma de los exponentes.
anam = an+m8
2 = 28 5 = 23 25
El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la resta de los exponentes.an = anm m a
(x )7
3
= x73 = x21
La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base y de exponente el producto de los exponentes.
(a )n
m
= anm
70 = 1
Una potencia de exponente cero es igual a ls unidad.a0 = 1
2535 = (23) = 655
El producto de potencias del mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el producto de las bases.anbn = ( ab )n
86 8 = = 26 46 4
6
El cociente de potencias del mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el cociente de las bases.an a = bn b n
MATEMTICAS B
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Potencias y radicales1. RadicalesDefinicinLlamamos raz n-sima de un nmero dado a al nmero b que elevado a n nos da a.n
3
8 = 2 por ser 23 = 81 3
a = b bn = a
5 = 532
Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fraccin es el ndice del radical y el numerador de la fraccin es el exponente el radicando.n
5
x2 = x 5
ap = an
p
Radicales equivalentesDos o ms radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes. Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales semejantes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el ndice de la raz por un mismo nmero. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical. Radical irreducible, cuando la fraccin de la potencia asociada es irreducible.3
x2 = x 4
6
son equivalentes por ser:
2 4 = 3 66
Amplificar: Simplificar:
3
x2 = x4 =3
32
x 22 = x 4 x 4:2 = x 23
6
6:2
x2
Irreducible por ser m.c.d.(3,2)=1
Introduccin y Extraccin de factoresPara introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que indica el ndice y se escribe dentro. Si algn factor del radicando tiene por exponente un nmero mayor que el ndice, se puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el ndice. El cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.
Introducir
x3 x = x 3 x = x 4 23 3 = 23 3 = 3 83 = 3 24Extraer:5 3
3
3
x13 = x 2 x 3
5
13 3
5 2
22
MATEMTICAS B
Potencias y radicales
1728 2 864 2 432 2 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 1 3 33
Clculo de racesPara calcular la raz n-sima de un nmero primero se factoriza y se escribe el nmero como producto de potencias, luego se extraen todos los factores. Si todos los exponentes del radicando son mltiplos del ndice, la raz es exacta.
1728 = 3 26 33 = = 223 = 12
Reducir a ndice comn6
Reduccin a ndice comnReducir a ndice comn dos o ms radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo ndice. El ndice comn es cualquier mltiplo del m.c.m. de los ndices. El mnimo ndice comn es el m.c.m. de los ndices.
2 ;
10
3
m.c.m(6,10)=306
2 = 3 =
30
25 = 33 =
30
32 27
10
30
30
Los siguientes radicales son semejantes:
Radicales semejantesRadicales semejantes son aquellos que tienen el mismo ndice y el mismo radicando. Pueden diferir nicamente en el coeficiente que los multiplica.
2 3 4 ; 7 3 4 ; 53 4
Los siguientes radicales no son semejantes:
23 4 ; 25 4 El ndice es distinto
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Potencias y radicalesEJERCICIOS resueltos1.
Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario:1
a) b)2.
5 5
3 X3
5 5
3 = 35
X3
Escribe las siguientes potencias como radicales:1
1
a) 722
72 = 753 = 3 52 = 3 252
b) 533.
Escribe un radical equivalente, amplificando el dado: a) b)3 5
5 x4
35
5 =
32
512 = 52 = 6 25x 43 =15
6
x4 =
53
x12
4.
Escribe un radical equivalente, simplificando el dado. a) b)6
49
6
49 = 72 = x 28 =35:7
6
6:2
72:2 = 3 75
35
x 28
35
x 28:7 =
x4
5.
Introduce los factores dentro del radical: a) 24 3 b) x 2 x37
24 3 = 4 2 43 = 4 163 = x 2 x3 = 7 (x 2 )7 x 3 =7 7
4
487
x14x 3 =
x17
6.
Extrae los factores del radical: a)47
128x30
47
128 = 4 27 = 2 4 23 = 2 4 8x30 =7
b)7.
x28 +2 =
7
x28 x2 = x 4 7 x2
Calcular las siguientes races: a) b)5
1024 x84
5
1024 = 5 210 = 22 = 4
7
7
x84 =
7
x127 = 7 (x12 )7 = x7
8.
Reduce a ndice comn a) b)4
3; 3 5
2 = 6 23 = 6 8 ;4
3
5 = 6 52 = 6 25 x10
x3 ; 6 x5
x3 =
12
x9 ;
6
x5 =
12
9.
Indica que radicales son semejantes a) b)4 4
3;54 3
4 4
3 y 54 3 Son semajentes x y3
x; 3 x
x No son semajentes,tienen distinto indice
24
MATEMTICAS B
Potencias y radicales2. PropiedadesRaz de un producto3
25 = 3 23 5
La raz n-sima de un producto es igual al producto de las races n-simas de los factores.n
7
a b = a b
2
4
7
2 7
4
ab =
n
an b1 1 1
Demostracin:
n
ab = (ab)n = an bn = n an b
Raz de un cociente5
2 = 3
5 5
2 35 5
La raz n-sima de un cociente es igual al cociente de las races n-simas del dividendo y del divisor.n
a4 5 = b3
a4 b3
a = b
n n
a b1 n n
a a n an Demostracin: n = = 1 = b b bn
1
a b
Raz de una potencia5
8= 2 =
5
3
( 2)5
3
Para hallar la raz de una potencia, se calcula la raz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia dada.n
3
x7 =
( x)3
7
ap =p n
( a)n
p
Demostracin:
n
1 a = a = an = p
p
( a)n
p
Raz de una raz5 3
2 = 15 2
La raz n-sima de la raz m-sima de un nmero es igual a la raz nm-sima de dicho nmero.n m
a =1
nm
a
Demostracin:
nm
1 1 n a = am = anm =
nm
a
MATEMTICAS B
25
Potencias y radicales3. SimplificacinRacionalizacinRacionalizar una expresin con un radical en el denominador, consiste en encontrar una expresin equivalente que no tenga races en el denominador. Cuando el denominador es un radical13
5 1
=
13 523
5 5
3
2
=
3 3
52 53
=
3
25 57
Para ello se multiplica numerador y denominador por la expresin adecuada para que, al operar, la raz desaparezca. Si el denominador es un binomio se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado* del denominador.
7
x4
=
17 x37
7
x 4 7 x3
=
x3 x7
7
=
x3 x
Cuando el denominador es un binomio 1 5+ 3 = = 5 3 5 3 5+ 3
(
)(
)
El conjugado de a + b es a b
=
5+ 3 = 53
5+ 3 2
Simplificar un radicalSimplificar un radical es escribirlo en la forma ms sencilla, de forma que: 6
8 = 6 23 = 2a30 = a4 7 a2
El ndice y el exponente sean primos entre s. No se pueda radicando. extraer ningn factor del7
El radicando no tenga ninguna fraccin.
26
MATEMTICAS B
Potencias y radicalesEJERCICIOS resueltos10.
Escribe con una sla raz: a) b)5 7
3 X4 x
57
3 = 10 3X4 x =7
x8x = 14 x9
11.
Escribe con una sla raz: a) b)45
34 27x5 x2
4 5
34 27 = 4 81 = 4 34 = 3x5 x2 =5
x3
12.
Escribe con una sla raz: a)3
16 2
3
16 2
3
3
=
3
16 3 = 8 =2 2 x4 = x35
b)13.
5 5
x4 x3
5 5
x4 x3
=
5
x
Racionaliza. a)15
15
9 2
9
=
15
3
2
=
15 325
3 3
2 5
3
=
5 5
32 35
=
5
9 3
b)14.
2 5 43
5 4
3
=
2 53 22
=
23 2 53 22 3 2
=
23 2 53 23
=
23 2 3 2 = 52 5
Racionaliza: a) b)17
17
x4 1
x4 1
=
17 x37
x4 7 x3
=
7 7
x3 x7 =
=7
7
x3 x =7 4 x4 x = 3 x2x x 7
x2 7 x3
x2 7 x3
=
17 x 4 x2 7 x3 7 x 4
x4
x2 7 x7
15.
Racionaliza: a)1 3 2 1 3 2 2 5 +21 3 x= =
1 3 + 2
(
(
3 2 3+ 2 2 5 2
b)
2 5 +21 3 x
(
(
)(
)=
5 +2 5 21 3 + x
c)
=
(3 x )(3 + x )
(
)(
)
)
=
(
3+ 2 32
)=
(
3+ 2
)
)
)
10 2 2 = 10 2 2 543+ x 9x
=
MATEMTICAS B
27
Potencias y radicales4. Operaciones con radicalesSuma y Resta de RadicalesPara sumar o restar radicales se necesita que sean semejantes (que tengan el mismo ndice y el mismo radicando), cuando esto ocurre se suman restan los coeficientes de fuera y se deja el radical.8 + 2 = 23 + 2 = =2 2+ 2 =3 2
x + 6 x3 =
x+ x =2 x
Producto de RadicalesPara multiplicar radicales se necesita que tengan el mismo ndice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo ndice y de radicando el producto de los radicandos. Si tienen distinto ndice, primero se reduce a ndice comn.3
3 2 = 6 32 6 23 = 6 98 = 6 72
5
x x = 10 x2 10 x5 = 10 x7
Cociente de RadicalesPara dividir radicales se necesita que tengan el mismo ndice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo ndice y de radicando el cociente de los radicandos. Si tienen distinto ndice, primero se reduce a ndice comn.23
2
=
6 6
23 22
= 62
4 8
x x
=
8 8
x2 x
=
8
x
28
MATEMTICAS B
Potencias y radicalesEJERCICIOS resueltos16.
Calcular la suma: a) c)3
40 + 90
40 + 90 =3
410 + 910 = 2 10 + 3 10 = 5 10 4 + 6 42 =3
b) 2 32 8 4 + 6 161 +5 8 2
2 32 8 = 2 25 23 = 222 2 2 2 = 8 2 2 2 = 6 2 4 + 6 16 =3
4 + 3 4 = 23 4
d) 2
2
1 +5 8 = 2
41 + 5 23 = 2 + 10 2 = 12 2 2
17.
Calcular y simplificar: a) b) c) d)43
35 27x9 x2 x3 x x
4 55 3
34 27 = 4 81 = 4 34 = 3 x5 x2 =5
x35
5 3
x3 x x =
xx3 x = 10 x 4 x = 10 x4 10 x5 = 10 x9
2 24 8
2 24 8 = 3 2 24 23 = 12 24 12 26 12 29 = 12 219 = 212 27
18.
Calcular y simplificar: a)3
16 2x4 x3
3
16 2 x4 x3
5
5
=
3
24 2 x8 x3
5
=
15
220 23
15
= 15 217 = 215 22 = 215 4
b)
7 14
7 14
=
14 14
= 14 x54
a)
6 8
84 43
6 8
84 43
6
=8
(2 ) (2 )3 23 4
3
=
6 8
212 26
24
=
24
(2 ) (2 )12 612 12
4
3
=
24 24
248 218
=
24
230 = 4 25 = 2 4 2
b)
3
X4 x4
3
x4 x4
x
x
=
xx8 x
=
6 4
x9 x
=
x18 x3
= 12 x15 = x12 x3
19.
Calcular y simplificar a) 23 44
23 44
8
8
=
23 224
235
=
12
26 12 2812
2910
=
12
224 29
12
= 12 215 = 4 25 = 2 4 2
5 5
2 23 4 8
b)
2 23 4 8
=
222 3 22 23 1 =
=30
23 3 22 23
=30 30
30
29 30 22030
24530
=
30 30 15
229 245
=
=
214
30
216
30
216 30 214
=
214 230
=
214 = 2
27 2
MATEMTICAS B
29
Potencias y radicalesPara practicar
1. Escribe
como potencia de exponente fraccionario: a) c) 5a3
8. Multiplica los siguientes radicales
b) d)
3
x2a3
a) c) e)3
3 6123 92ab4 8a3
b) 5 23 5 d)x3 2x2
5
f) 4 2x2y3 6 5x2
2. Escribe como un radical:
a) 3 c) x
1 2
b) 5
3 2 5 3
9. Multiplica los siguientes radicales
a)
1 5
(
2 3 2
)
d) x
b) (7 5 + 5 3 ) 2 3 c) (2 3 + 5 5 2 ) 4 2 d) ( 5 + 3 ) ( 5 3 )10. Divide los siguientes radicales
3. Simplifica los siguientes radicales:
a) c)
4
25x6
b) d)
8
8
2
14
30
16x8
4. Extraer todos los factores posibles de
los siguientes radicales a) c)18
a)
6x 3x9x3
b)
75x2y3 5 3xy3
b) d)
3
16
c)
9a3
98a3b5c7
3x 9 3
d)
8a3b 4a2
4
5. Introducir dentro del radical todos los
factores posibles que se encuentren fuera de l. a) 3 5 c) 3a 2a2 b) 2 a d) ab2 3 a2b
e)
3 9
f)
6 8
x5 x3
11. Calcula:
a) c)
5
24 2 x3 3 x2 x
b) d)
5
x2 4 x3 23 2 2
6. Reduce
al mnimo comn ndice los siguientes radicales. a) c)4
4
6
5; 4 3
b) d)
3
4; 4 3; 2
12. Racionaliza.
3; 7; 2
8
3; 32 ; 5c)
6
3
a)
2 7 2a 2ax
b) d)
1 3 15
7. Suma los siguientes radicales indicados.
x3
a) b) c) d)
45 125 20
75 147 + 675 12175 + 63 2 28 20 + 1 45 + 2 125 3
13. Racionaliza.
a) c)
2 3 1
b) d)
3+ 5 3 5 2 2 +1
5 411
30
MATEMTICAS B
Potencias y radicalesPara saber ms
n = a1 +
1 a2 + 1 a3 + 1 a4 + 1 ...
Aproximacin de una mediante fracciones
raz
cuadrada
Cualquier nmero irracional se puede aproximar mediante una fraccin, que se obtiene a partir de su desarrollo en fraccin continua. Mediante las fracciones continuas se puede aproximar cualquier raz a una fraccin.
Desarrollo de:1+ 1+ 1 2 = 1 2+ 1+ 2+ 1 2 1 1 2+ 1+ 2+ 2+ 1 1 1 2+1 2+ 2+ 2+ 1 1 1 2+ 1 2
2 = 1' 4142
3 2
= 1'5 = 7 5 = 1' 4
AlgoritmoLa primera cifra a1 es la parte entera de la razx1 = 2 a1 = x1 = 2 = 1
= 1 2
17 12
= 1' 4166
La segunda cifra a2 es la parte entera de x2x1 = 1 + 1 x2 1 1 2 1 = x2 = x2 x2 1 2 1 = 2 +1
= 1 2
41 29
= 1' 4167
2 =1+
a2 = x2 = 2 + 1 = 2 99 70
La tercera cifra a3 es la parte entera de x3= 1' 4142
1+
=
x2 = 1 +
1 x3 1 1 2 1 = x3 = x3 x3 1 2 1 = 2 +1
2 +1 = 2 +
a3 = x3 = 2 + 1 = 2
Otros desarrollos
No es necesario hacer ms clculos por repetirse peridicamente los cocientes.
3 = 1,12 5 = 2, 4 6 = 2,24
7 = 2,1114 8 = 2,14 10 = 3,6 2 = 1,2 = 1 + 2+
1 1 2+ 1 2 + ...
MATEMTICAS B
31
Potencias y radicalesRecuerda lo ms importanteRadicales Potencia de exponente fraccionario
Llamamos raz n-sima de un nmero dado al nmero que elevado a n nos da al primero. La expresin es n a un radical de ndice n y radicando a.n
Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario donde el numerador de la fraccin es el exponente del radicando y el denominador es el ndice de la raz.n
a = b a = bnPropiedad fundamental
am = a n
m
El valor de un radical no vara si se multiplican se dividen por el mismo nmero el ndice y el exponente del radicando.n
am =
np
amp
Reducir a ndice comn
Operaciones con radicales
Reducir a ndice comn dos radicales dados es encontrar dos radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo ndice.
Para multiplicar(o dividir) radicales del mismo ndice se deja el ndice y se multiplican(o dividen) los radicandos. Si tienen ndice distinto, primero se reduce a ndice comn. Para hallar la raz de un radical se deja el radicando y se multiplican los ndices. Para sumar (o restar) radicales semejantes se suman (o restan) los coeficientes y se deja el radical
Radicales semejantes
Son aquellos que tienen el mismo ndice y el mismo radicando, pudiendo diferir en el coeficiente que los multiplica.
Racionalizar
Racionalizar una fraccin con radicales en el denominador, es encontrar una fraccin equivalente que no tenga races en el denominador.
32
MATEMTICAS B
Potencias y radicalesAutoevaluacin1. Calcula la siguiente raz:7
78125
2. Escribe en forma de exponente fraccionario:
10
x3
3. Calcular:
18 98
4. Introduce el factor en el radical: 6 4 5
5. Calcula, simplifica y escribe con un solo radical:
7
73 3
6. Extrae los factores del radical:
4
243
7. Racionaliza:
453
25
8. Calcular y simplificar:
4
25 4
9. Calcular y simplificar:
7
1253
5
10. Cunto mide la arista de un cubo si su volumen es 1331m3
MATEMTICAS B
33
Potencias y radicalesSoluciones de los ejercicios para practicar1 2
1. a) 52c) a3 2
b) x 3 d) a b) d) b) d)3
8. a)c)3
1834
b) 15 10 d)6
3 5
108
4x7
2. a)c)5
3
5
e)
32a5b f)
12
200x10y9
x 5
x5
9. a) 2 6b) 14 5 + 30 c) 8 6 + 4 10 20 d) 2
3. a)c)7
4
84x2
x3
15
4. a) 3 2
b) 2 3 22 33
10. a)2abcc) e)6 6
281x
b) y x d) f) b) d) b) d)6 24
c) 3a a d) 7ab c
8a3b2
5. a)c)
4518a44
b) d)3
4aa5b7
2432 x23
x11x11
11. a)c)
4
20 3
6. a)b) c) d)
25; 4 3 256;12 27;12 49; 8 7; 8 216
24
x2
12 18
12. a)c)
2 7 7 2ax x 3 +1
3 35
6
27; 6 32; 6 25
x2 x
7. a) 4 5 b) 11 3c) 4 7 d) 15 5
13. a)
b) 7 3 5
c) 4 +
11 d) 2 -
2
Soluciones AUTOEVALUACIN1. 53
2. x10 3. 4 2 4. 5.4
64801029
21
6. 3 4 3 7. 93 5 8. 9.20 21
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8192 25
10. 11 cm
MATEMTICAS B
34
Centro para la Innovacin y Desarrollo de la Educacin a Distancia
ACTIVIDADES DE ESO
4 2 Matemticas B
1. Escribe las potencias como radicales y los radicales como potencias:53 5 2 1 53
a) c)5
2 =
b) d)
= =
2=
2. Calcula: 4 2 9 18 + 15 50
3. Calcula expresando el resultado como una potencia de exponente fraccionario lo ms
simplificado posible:3
9 4 12 6
=
4. Racionaliza y simplifica:
a)
2 2
=
b)
4 5 1
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