. Ejercicios de Máximos y mínimos

1) Encuantre los puntos críticos de cada una de las funciones dadas yclasifíquelos como máximo local, mínimo local o punto de silla.

a) f(x; y) = 5� x2 � y2b) f(x; y) = 2x3 + y3 + 3x2 � 3y � 12x� 4c) f(x; y) = (x2 + 2y2)e1�x

2�y2

d) f(x; y) = x3 � 4xy + y32) Suponga que

P = f(l; k) = 1; 08l2 � 0; 03l3 + 1; 68l2 � 0; 08k3

es una función de producción para una empresa . Encuentre las canti-dades de entrada , l y k; que maximizan la producción P3) Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e

y galones respectivamente. Suponga que el precio de la lecha entera es p(x) =100�x; y el de la leche descramada es q(y) = 115�y: Si C(x; y) = x2+xy+y2es la función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuáles deberían ser x ey para maximizar las ulilidades?.4) Repita la situeción del problema 3 para el caso en que p(x) = 20� 5x

y q(y) = 4� 2y y C(x; y) = 2xy + 4:5) Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US$150

por unidad y estima que si se gastan x miles de dólares en desarrollo e y mlesde dólares en em promoción, los consumidores comprarán aproximadamente320yy+2 +

160xx+4 unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto

son US$50 por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo ycuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de esteproducto? Nota: Utilidad= (número de unidades)(precio por unidad - costopor unidad) - cantidad gastada en desrrollo y promoción.Multiplicadores de Lagrange

6) Halle el valor mínimo de la función f(x; y) = x2 + y2 sujeta a larestricción xy = 17) El departamento de desarrollo social de MOP planea costruir un área de

picnic al lado de una carretera. Será rectangular con un área de 5.000 metroscuadrados y estará cercada por los tres lados no adyacentes a la carretera.¿Cuáles la menor cantidad de cercado que será necesaria para completar el trabajo?.8) Si se gastan x miles de dólares en mano de obra e y miles de dólares en

equipo, la producción de cierta fábrica será q(x; y) = 60x13 y

23 unidades. Si hay

US$120.000 disponibles,¿como debe distribuirse el dinero, entre mano de obray equipo , para generar la mayor producción posible?Respuestas1) Max. local Min. local Pto. silla

1

a) (0,0) no nob) (-2,-1) (1,1) (-2,1) y (1,-1)c) (0,�1) (0,0) (�1,0)d) no ( 43 ;

43 ) (0,0)

2) l = 24 y k = 143) x = 19 y y = 144) x = 2 y y = 05) x = 4 y y = 66) f(1; 1) = f(�1;�1) = 27) 100 metros al lado de la carretera, y 50 metros al fondo desde la

carretera. Se requieren 200 metros de cercado.8) US$40.000 en mano de obra, US$80.000 en equipo.

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