Las pérdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenas de miles de euros

cuando han transcurrido t años, siguen la función 2 4( )2

tf tt−

=+

i) Determinar el año en que la empresa deja de tener pérdidas.Nos piden el valor de t a partir del cual la función empieza a ser positiva.

2 4( ) 0 02

tf tt−

> ⇔ >+

como el denominador es positivo, ya que el tiempo t es mayor que cero por tanto t+2

también es positivo, el signo de 2 42

tt−+

, lo determina solo el numerador.

2 4( ) 0 0 2 4 0 2 4 22

tf t t t tt−

> ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ >+

A los 2 años deja de tener perdida y empieza a tener beneficios. ( )

( ) ( )2 2

2( 2) 2 4 ·1 8'( ) 02 2

t tf t t

t t

+ − −= = > ∀

+ +

ii) ¿Es creciente la ganancia?.

Tenemos que hallar la derivada de f y ver si es positiva.

( )( ) ( )2 2

2( 2) 2 4 ·1 8'( ) 02 2

t tf t t

t t

+ − −= = > ∀

+ +con lo cual la ganancia es una función creciente con el tiempo.

¿En qué año la ganancia supera los 100.000 euros?. Como la función f mide las ganancias o perdidas en cientos de miles de euros nos piden calcular el valor de t tal que

2 4( ) 1 1 2 4 2 62

tf t t t tt−

> ⇔ > ⇔ − > + ⇔ >+

A partir de los 6 años la ganancia supera los 100000 euros.

iii) ¿Existe límite para la ganancia?. En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?.2 4 422 4 2 0lim ( ) lim lim lim 2

2 22 1 01t t t t

tt t t tf t

ttt t t

→∞ →∞ →∞ →∞

− −− −= = = = =

+ ++ +

Si existe límite y está en 200000 euros.

El número de personas que acuden a una exposición en un día viene dado por la función 2( ) 12 2f t t t= − , siendo "t" el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. Si el

horario de exposición es de 15 a 21 horas: i) ¿A qué hora es máximo el número de personas que acuden a la exposición?. ¿Cuál esel número?.

2( ) 12 2 , 0 6f t t t t= − ≤ ≤ Tenemos que resolver la ecuación

'( ) 0 12 4 0 3f t t t= ⇔ − = ⇔ = Como ''( ) 2 0f t = − < , ( )f t tiene un máximo en 3t = , es decir, a las 15+3=18 horas.

2(3) 12·3 2·3 18f = − = , es el número máximo de visitantes.

Se estima que las ganancias de una empresa (en decenas de miles de euros) para los próximos 10 años, sigue la función:

2 2 0 41( )2 4 101

t ttg t

t tt

− ≤ ≤ += + < ≤ +

i) ¿Cuándo es creciente la ganancia?Tenemos que hallar la derivada de la función ( )g t y ver cuando es positiva.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 1 2 2 ·1 4 0 41 1

'( )1· 1 2 ·1 1 4 10

1 1

t tt

t tg t

t tt

t t

+ − −= ≤ ≤

+ +=

+ − + − = < ≤ + +Cono se ve claramente '( )g t es positiva para 0 4t≤ ≤ , por tanto la ganancia va aumentando durante los 4 primeros años. ii) ¿Cuándo es máxima la ganancia?. Justificar la respuestaTendríamos que resolver la ecuación '( ) 0g t = y estudiar el signo de la segunda derivada en los puntos que se obtengan. Y de esta forma obtendríamos los máximos que tuviera la función, pero serían máximos donde la función fuese derivable. En este caso '( ) 0g t = no tiene ninguna solución. Ahora bien si miramos la gráfica de la función

Podemos observar que en x=4 tiene un máximo, lo cual se reafirma con que a la derecha del 4 es creciente y a la izquierda del 4 es decreciente. iii) Si en la función anterior se cambia 4 10t< ≤ por 4 t< ¿a que valor se aproxima laganancia cuando t crece?. Justificar la respuesta. Tenemos que calcular el limite cuando t tiende a infinito de la función de ganancias

2 212 1 0lim ( ) lim lim lim 11 11 1 01

t t t t

tt t t tg t

ttt t t

→∞ →∞ →∞ →∞

+ ++ += = = = =

+ ++ +

con el paso de muchos años las ganancias se estabilizan en 10000 euros.

Una empresa de transporte estima que sus ganancias (en miles de euros) durante los próximos

años seguirán la fórmula ( ) 64000 50005 5

tg tt+=+

, en donde la variable 1,2,3, 4,5,....t = representa

el tiempo en años medido a partir del presente..a) Hallar las ganancias correspondientes a los años primero y quinto.b) Determinar si las ganancias aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Razonar la

respuesta.c) ¿Se estabilizan las ganancias cuando t crece? ¿Hacia qué valor? Razonar la respuesta.Solución

a) ( ) 64000 50005 5

tg tt+=+

, (1) 6900g = miles de euros, 8900(5) 2966,663

g = = miles de euros.

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

5000 5 5 5 64000 5000 295000'5 5 5 5

t tg t

t t

+ − + −= =+ +

Es decir, cuando 0t > , '( ) 0g t < . Por

ello ( )g t decrece cuando 0t > aumenta.

c) ( ) 64000 5000lim lim 10005 5t t

tg tt→∞ →∞

+= =+

El precio en euros de un artículo perecedero, que empieza a venderse el primer día de un determinado mes, varía con el tiempo (en días) según la fórmula siguiente:

( ) 2

8 si 0 t 44

2 5 si 4<t 104

t

P tt t

+ ≤ ≤= − + + ≤

Se pide:a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo?b) Dibujar la gráfica de ( )P t entre el día 1 y el 10.c) ¿En qué periodo de tiempo aumenta el precio?d) ¿Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo y en qué día se obtiene?

Solucióna) (0) 8P = €b)

c) En los 4 primeros días. 1'( )4

P t =

d) El cuarto día. (4) 9P = .

2( ) 18 2; 2g x x x x= + + ≥a) Si los ingresos, en cientos de euros, en función del número de trabajadores son ( ) 48h x x= . ¿Con que

número de trabajadores maximiza el beneficio la primera fábrica?

2 2

Beneficios = Ingresos - Gastos ( ) ( ) ( ) 48 (2 12 14) 2 36 14b x h x f x x x x x x= − = − + − = − + +'( ) 4 36'( ) 0 9

b x xb x x

= − += ⇔ =

b) Si lo que se quiere es tener el mismo gasto en las dos fábricas, ¿con que número de trabajadores seconsigue?

2 2 22

( ) ( ) 2 12 14 18 2 6 16 08

xf x g x x x x x x x

x

= − = ⇔ + − = + + ⇔ − − = ⇔ =

Una empresa tiene dos fábricas, los gastos, en cientos de euros, de cada fabrica en función del númerode trabajadores se obtienen según las funciones:

f x( ) 2x2= +12x 1− 4; x ≥ 2

2

El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es 1 5 254

x x+ + y el precio

de venta de una de ellas está en función de la producción total es 50 -4x

euros por cada unidad.

a) Haya el precio de venta si se producen 12 unidades.b) Haya los ingresos de producir 12 unidades.c) Haya los beneficios de producir 12 unidades.d) Haya el número de unidades que deben venderse diariamente para el beneficio sea máximo.

a) 1250 - 474

= b) 47*12=564c)

2 2

2

1 1( ) 50 - 5 25 45 254 4 2

1(12) 12 45*12 25 4432

xb x x x x x x

b x

= − + + = − + −

= − + − =

d)

21( ) 45 252

'( ) 45'( ) 0 45(45) 987.5

b x x x

b x xb x xb

= − + −

= − += ⇔ ==

Los beneficios, en cientos de miles de euros, estimados para una empresa durante los próximos 5 años, vienen dados por la función:

2 6( ) , si 0 54

tb t tt−

= ≤ ≤+

siendo t el tiempo en años.

i) ¿Cuándo la empresa deja de tener pérdidas?

Nos preguntan a partir de que valor de “t” se tendrá que ( ) 0b t >

En2 6( ) , si 0 5

4tb t tt−

= ≤ ≤+

, el denominador es siempre positivo, con lo cual se

reduce a estudiar cuando 2 26 0 6 6 2,45t t t− > ⇔ > ⇔ > = ; ya que la función estádefinida para 0 5t≤ ≤ .

ii) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que los beneficios sean iguales a 125000euros?Los función de beneficios mide en cientos de miles, 125000€ es 1,25 veces 100000euros.

22 26 41,25 6 1,25 5 1,25 11

4 2,75t tt t t tt t

− == ⇔ − = + ⇔ − − → + = −

t = -2,75 se descarta ya que 0 5t≤ ≤ .

iii) ¿Para qué valores la derivada de la función beneficio es positiva? Justificar larespuesta.

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 4 6 1 8 6'( )4 4

t t t t tb tt t

+ − − + += =

+ +

En esta expresión el denominador es siempre positivo, y el numerador también ya que no tiene raíces reales, y el término independiente es positivo. En consecuencia la función es siempre creciente.

Una empresa fabrica, entre otros, un tipo de artículo que vende a 520 € la unidad. Los costes de producción que tiene la empresa en la fabricación de dicho artículo vienen dados por la fórmula ( ) 2 20 40000C x x x= + + , en donde x representa las unidades producidas.Sabiendo que el beneficio que obtiene la empresa, con este artículo, es la diferencia de los ingresos menos el coste, se pide: a) Expresar, en función de las unidades de fabricación, el beneficio que obtiene la empresa

con dicho artículo. Representar gráficamente dicho beneficio.

La función de beneficos es ingresos menos gastos, es decir,

2 2( ) 520· ( ) 520 ( 20 40000) 500 40000B x x C x x x x x x= − = − + + = − + −

b) ¿Cuántas unidades de dicho artículo se deben producir para que el beneficio seamáximo?En el gráfico, al ser una parábola, su máximo lo alcanza en el punto medio de sus dos raíces,no obstante, vamos a calcularlo.Derivamos la función de beneficios e igualamos a cero

'( ) 2 500; '( ) 0; 2 500 0 250f x x f x x x= − + = − + = ⇒ =

''( ) 2 0f x = − < , por tanto, 250x = es un máximo

En una potabilizadora se pueden producir P( x) toneladas de agua potable si se emplean un número x de trabajadores. Si la producción de las toneladas de agua viene dada por la fórmula P( )x x (60= − )x , se pide:a) ¿Cuántos trabajadores tienen que contratar para que la potabilizadora produzca lo

máximo posible?

Tenemos que derivar e igualar a cero la función de producción ( ) 2 60P x x x= − +

( ) ( )' 2 60 ' 0 2 60 0 30P x x P x x x= − + ⇒ = ⇒ − + = ⇒ =

( )'' 2P x = − , quiere decir que en 30x = hay un máximo.

b) Hacer la gráfica de la producción y averiguar a partir de cuántos trabajadores laempresa tiene que dejar de producir.

A partir de 60 trabajadores la empresa tiene que dejar de producir.

El precio de un artículo (en miles de pesetas), que ha estado 8 años en el mercado, se expresa en función del tiempo t (en años) según la siguiente función:

23 4 0 2( ) 521 2 8

2

t si tP t t si t

+ ≤ ≤=

− < ≤Se pide: a) Representar la función precio en el intervalo dado.

b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función precio.Hayamos la primera derivada de ( )P t

6 0 2'( ) 5 2 8

2

t si tP t

si t

≤ ≤= − < ≤

Es positiva en el intervalo (0,2) y por tanto ( )P x es creciente en ese intervalo, por otra parte, '( )P x es negativa en el intervalo (2,8) y por tanto ( )P x es decreciente en ese intervalo.

c) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo?. ¿Cuándo?

El precio máximo como se puede observar en el recta de crecimiento lo alcanzó al segundo año y fue P(2) = 3·22 4+ = 16 .

Obsérvese que la función es continua en x = 2 ya que los límites laterales coinciden, y además que a la derecha de 2 es creciente y que a la izquierda es decreciente, por tanto es un máximo.

En un día desapacible, la temperatura (T) en grados centígrados varió con el tiempo t (en horas) según la función 2( ) - 9 8 T t t t= + para 0 12t≤ ≤ . Se pide:

a) ¿Qué temperatura hacía a la dos de la mañana?Nos piden calcular ( ) 22 2 9·2 8 6T = − + = − grados

b) ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora se produjo?Calcular '( ) 2 9T t t= − y ''( ) 2 0T t = > , como la derivada segunda es positiva quiere decir que T no tiene ningún máximo en el interior del intervalo (0,12). Por tanto Hay que evaluar la función en los extremos del intervalo y ver en que punto de ellos se alcanza el máximo.

(0) 8(12) 44

TT

==

La temperatura máxima se alcanzó a las 12 horas y se alcanzaron 44 grados.

c) ¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados?

Hay que resolver la ecuación 2 1( ) 0 9 8 0

8t

T t t tt=

= ⇔ − + = ⇔ =d) ¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 6 a las 12 horas?

(6) 10(12) 44

TT

= − =

La temperatura varió de –10 a 44 grados

Una empresa de bebidas refrescantes sabe que, si x es el precio (en décimas de euros) de una botella de refresco, los beneficios de la empresa (en miles de euros) vienen dados por la expresión 2( ) 10 - - 21b x x x= . Se pide: a) ¿Entre qué valores de x el beneficio es positivo?

Las raíces de la ecuación (b x ) > 0 son 3 y 7, entre ellas la función es positiva.

b) ¿Cuál es el precio de la botella que da el beneficio máximo.Tenemos que derivar e igualar a cero la función de beneficios 2( ) 10 - - 21b x x x= ( ) ( )' 10 2 ' 0 10 2 0 5b x x b x x x= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ =

( )'' 2b x = − , quiere decir que en 5x = hay un máximo.

c) ¿Cuál es ese beneficio?.Para el precio de 5 décimas de euros (0,5 euros) el beneficio es

2(5) 10·5 5 - 21 4b = − =Cuando el precio es 0,5 euros el beneficio es 4000 euros

Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra cuando sehan marchado todos. La función que representa el número de clientes, dependiendo del número de horas que lleva abierto, es 2( ) 8C h h h= − + . El gasto por cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura y sigue la función ( ) 300 25g h h= −

a) ¿En que hora se produce la mayor afluencia de clientes?b) ¿Cuánto gasta el último cliente?c) ¿Cuando hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora?

Solución a) Derivamos la función que representa el nº de clientes e igualamos a cero y se obtiene 4h =luego como abre a las 9, es a las 13 horas b) Como el comercio cierra después de 8 horas de abierto, (8) 200g = es el gasto del último clientec) La recaudación en la cuarta hora es (nº de clientes) por (gasto por cliente), es decir,

( ) 2(4)· 4 ( 4 8·4)(300 25·4) 16·200 3200C g = − + − = =La recaudación en la cuarta hora es

( ) 2(5)· 5 ( 5 8·5)(300 25·5) 15·175 2625C g = − + − = =

Luego se recauda más en la cuarta hora.

El número de flexiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza suentrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función:

36 8( )2

xf xx

+=+

siendo x = “días de entrenamiento” y ( )f x = “número de flexiones”. a) ¿Es ( )f x una función creciente? ¿Por qué??b) ¿Cuántos días de entrenamiento son necesarios para hacer 28 flexiones por minuto?c) ¿Hacia qué valor se aproxima el número de flexiones cuando crece el número de días deentrenamiento? Solución a) Tenemos que estudiar el signo de la derivada de ( )f x .

( )( ) ( )2 2

36 2 36 8 64'( ) 02 2

x xf x

x x

+ − −= = >

+ +. Por tanto, la función es creciente.

b) Tenemos que resolver la ecuación ( ) 28f x =36 8 28 36 8 28 56 8 48 6

2x x x x x

x+ = ⇒ + = + ⇒ = ⇒ =

+

c) 36 8lim 362x

xx→∞

+ =+

flexiones

La producción de una empresa (en unidades de un determinado producto), en función del númerode trabajadores, “x”, es 2( ) 800 5 ; 0 120p x x x x= − ≤ ≤ . El precio de venta de cada unidad, en

función de la producción, es ( ) 400100

ph p = −

a) ¿Con que número de trabajadores se alcanza la producción máxima?b) Si hay 50 trabajadores, ¿cuál es el precio de venta de cada unidad producida?c) Que número de trabajadores es necesario para que el precio de venta de cada unidad sea 205.d) ¿Cuáles serían los ingresos con 100 trabajadores?Solución a) Tenemos que derivar la función de producción e igualar a cero

'( ) 800 10 0 80p x x x= − = ⇒ = ''( ) 10 80p x x= − ⇒ = es un máximo

b) 2(50) 800·50 5·50 27500p = − = Con 50 trabajadores se producen 27500 unidades y el precio de venta de estas unidades será:

27500(27500) 400 125100

h = − =

c) Si ( ) 400 205100

ph p = − = , entonces se habrán producido 19500p = unidades.

Esto hace que 2800 5 19500x x− = ; es decir:

0 120

2 305 800 19500 0 30

130

xxx x x

x

≤ ≤=⎧− + = ⇒ ⇒ =⎨ =⎩

trabajadores.

d) p(100) 800·100= − 5·1002 = 30000

h(30000) 400= − 30000 = 100100

Ingresos = (unidades producidas) x (precio de venta) = 30000 x 100 =3000000

Se espera que, en los próximos diez años, la s ganancias (en millones de euros) de una empresa, vengan dadas por la función P t ( ) = − 2 t 2 + 2 0 t + 5 . a) Determinar cuándo las ganancias son iguales a 5 millones de euros.b) Determinar en qué años decrecen las ganancias ¿Cuándo son máximas?c) ¿Cuáles son las ganancias acumuladas durante los cinco primeros años?

Solución a) 2( ) 2 20 5 5P t t t= − + + = cuando 0t = y 10t = .b) ( ) 4 20 0 5P t t t′ = − + = ⇒ = y (5) 4 0P′′ = − < . Por tanto las ganancias son máximas cuando 5t =y decrecen entre los años 5 y 10.

c) Ganancias acumuladas ( )5

5 5 2 3 2

0 00

2 515( ) 2 20 5 10 53 3

P t dt t t dt t t t⎛ ⎤= = − + + = − + + =⎜ ⎥⎝ ⎦∫ ∫

4.- Una empresa quiere producir ( ) 200 10c t t= + unidades de un producto que quiere vender a ( ) 200 2p t t= − euros cada unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción. a) Hallar, dependiendo de t, la función beneficio ( )B t .b) Determinar el intervalo de decrecimiento para ( )B t hasta que su valor sea cero.

Solución a) ( ) ( )( ) 2( ) ( ) 200 2 200 10 40000 1600 20B t p t c t t t t t= = − + = + −

b) ( )' 1600 40B t t t= − . ( )' 0 40B t t= ⇒ = . El máximo se alcanza para 40t = .

El intervalo de decrecimiento es [ ]40,100

3.- Se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25 y 175 km/hora, el consumo en litros de gasolina de un vehículo cada 100 km, realizados a la velocidad constante de x km/hora, se puede aproximar por la función 2( ) 7.5 0.05 0.00025C x x x= − + . a) ¿A qué velocidad se obtiene el mínimo consumo? ¿Cuál es dicho consumo mínimo?b) Haga un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función C(x) en el intervalo

[25,175]. Determine las velocidades que corresponden a consumo máximo.Solución

a) '( ) - 0,05 0,0005C x x= +0.05'( ) 0 -0,05 0,0005 0 100

0.0005C x x x= ⇒ + = ⇒ = =

''( ) 0,0005 0C x = > por lo que en x=100 hay un mínimo2(100) 7.5 0.05·100 0.00025·100 5C = − + = litros es el consumo mínimo.

b) ( )C x es creciente cuando '( ) 0C x > 0.05 0.005 0 100x x⇔ − + > ⇔ > , es decir, (100,175]x∈( )C x es decreciente cuando '( ) 0C x < 0.05 0.005 0 100x x⇔ − + < ⇔ < , [25,100)x∈

Al no tener máximos relativos en el intervalo [25,175] el máximo hay que buscarlo en los extremos del intervalo:

2(25) 7.5 0.05·25 0.00025·25 6.40625C = − + = 2(175) 7.5 0.05·175 0.00025·175 6.40625C = − + =

4.- La velocidad (en metros por segundo) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros, viene dada en función de los metros recorridos, x, por la función

( ) 0.00055 (300 )f x x x= − . Deducir de forma razonada: a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima?¿Cuál es esa

velocidad máxima? b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando?¿Y disminuyendo?c) ¿A qué velocidad llega a la meta?

Solución a)

'( ) =0,165 - 0,0011f x x 0.165'( ) 0 0,165 - 0,0011 0 1500.0011

f x x x= ⇒ = ⇒ = =

''( ) 0,0011 0f x = > por lo que en x=150 hay un máximo (150) 0.00055·150(300 150) 12.375f = − = m/s

b) ( )f x es creciente cuando '( ) 0f x > 0.165 0.0011 0 150x x⇔ + > ⇔ > , Entre 0 y 150 vaaumentando y entre 150 y 200 va disminuyendo ya que '( ) 0f x < c) (200) 0.00055·200(300 200) 11f = − = m/s