VALORES MAXIMOS Y MINIMOS

DEFINICION

Una funcin de dos variables tiene un mximo local en (a, b). Si f(x, y) f(a, b) para todos los puntos (x,y) en algn disco con centro (a,b). El numero f(a, b) se denomina valor mximo local. Si f(x, y) f(a, b) para todo par (x, y) en dicho disco, entonces f(a, b) es un valor mnimo local.Si las desigualdades de la definicin 1 se cumplen para todos los puntos (x, y) del dominio de f, entonces f tiene un mximo absoluto o mnimo absoluto en (a, b).

TEOREMA: Si f tiene un extremo local (es decir, mximo o mnimo local) en (a, b) y las derivadas parciales de primer orden de f existen ah, entonces y .

DEMOSTRACIN:

Sea g(x) = f(a,b). Si f tiene un extremo local en (a, b), entonces g tiene un extremo local en a.

Si hacemos que en la ecuacin de un plano tangente tenemos . Por lo que la interpretacin geomtrica del teorema 2 es que si la grfica de f tiene un plano tangente en un extremo local, entonces el plano tangente debe ser horizontal.

Un punto (a, b), tal que o una de estas derivadas parciales no existe, se le llama punto crtico o estacionario de f. El teorema 2 establece que si f tiene un mximo o mnimo local en (a,b), entonces (a,b) es un punto crtico de f. sin embargo, como en el clculo de una sola variable, no todos los puntos crticos originan un mximo o un mnimo. En un punto crtico, una funcin podra tener un mnimo relativo o un mximo relativo o ninguno de los dos.

DEMOSTRACION DE LA SEGUNDA DERIVADA

Suponga que las derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a,b), y suponga que y , es decir , (a,b) es un punto crtico de f sea:

A. Si y , entonces f(a,b) es un mnimo localB. Si y , entonces f(a,b) es un mximo localC. Si , entonces f(a,b) no es un extremo local

NOTA 1: en el caso (c), al punto (a, b) se le llama un punto silla de f, y la grfica de f atraviesa a su plano tangente en (a, b)NOTA 2: si , la prueba no proporciona ninguna informacin: f puede tener un mximo o un mnimo local en (a, b), o (a, b) podra ser un punto silla de fNOTA 3: para recordar la frmula para D, resulta til escribirla como un determinante:

D

EJEMPLOS

VALORES DE MXIMOS Y MNIMOS

Para una funcin f de una variable, el teorema del valor extremo establece que si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor mnimo absoluto y un mximo absoluto. Calculamos a estos al evaluar a f no slo en los nmeros crticos sino tambin en los extremos a y b.Existe una situacin similar para funciones de dos variables. Al igual que un intervalo cerrado contiene a sus externos, un conjunto cerrado en es aquel que contiene todos sus puntos frontera. (Un punto frontera de D es un punto (a, b) tal que todo disco con centro (a, b) contiene puntos de D y tambin puntos que no estn en D)D= [(x, y)/]Que consiste de todos los puntos dentro y fuera del circulo , es un conjunto cerrado porque contiene todos sus puntos frontera (que son los puntos de sobre el circulo ). Pero incluso si un punto de la circunferencia en la frontera fuese omitido, el conjunto no sera cerrado.Un conjunto acotado en es aquel que esta contenido dentro de algn disco. En otras palabras, es finito en extensin. Luego, en trminos de conjuntos cerrados y acotados, podemos establecer la siguiente analoga con el teorema del valor extremo en dos dimensiones.

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES Si f es contina en un conjunto D, cerrado y acotado en R^2, entonces f tiene un valor mximo absoluto f(X_1,Y_1 ) y valor mnimo absoluto, f(x_2,y_(2 ) ) en algunos puntos (X_1,Y_1) y (x_2,y_(2 ) ) en D.Para calcular los valores extremos que garantizados por el teorema 8, notamos que, por el teorema 2, si f tiene un valor extremo en (X_1,Y_(1 )) , entonces (X_1,Y_1) es un punto crtico de f o un punto frontera de D. De esta forma, tenemos la siguiente extensin del mtodo del intervalo cerrado.Para calcular los valores mnimo y mximos absolutos de una funcin continua f , sobre un conjunto cerrado y acotado D.1. Determine los valores de f en los puntos crticos de f en D.2. Calcule los valores extremos de f sobre la frontera de D.3. El ms grande de los valores de los encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor mximo absoluto; el ms pequeo de dichos valores es el valor mnimo absoluto.

DEMOSTRACION DEL TEOREMA

Calculamos la derivada del segundo orden de f en la direccin de la derivada del primer orden es igual:

Al aplicar este teorema por la segunda derivada tenemos:

EJEMPLOS

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En los problemas de optimizacin, el mtodo de los multiplicadores de LaGrange, llamados as en honor a Joseph Louis LaGrange, es un procedimiento para encontrar los mximos y mnimos de funciones de mltiples variables sujetas a restricciones. Este mtodo reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al nmero de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas ms fcilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restriccin, son llamadas multiplicadores de LaGrange. El mtodo dice que los puntos donde la funcin tiene un extremo condicionado con k restricciones, estn entre los puntos estacionarios de una nueva funcin sin restricciones construida como una combinacin lineal de la funcin y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostracin usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una funcin implcita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la funcin sean iguales a cero.

MTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

Hallar los valores mximo y mnimo de sujetos a la restriccin (suponiendo que existen estos valores extremos):

A. Encuentre todos los valores de x,y,ztales que

B. Evalu f en todos los puntos x,y,z resultantes del inciso A el valor ms grande es el valor mximo de f, el valor ms pequeo es el valor mnimo de f.Si escribimos la ecuacin vectorial en trminos de sus componentes, entones las ecuaciones del paso (a) se convierten en:

C. Para funciones de dos variables el mtodo de los multiplicadores de Lagrange es semejante al mtodo que acabamos de describir, donde se hallan valores de x, y, z tales que:

y

Esto es igual a resolver tres ecuaciones con tres incgnitas:

EJEMPLOS: