ejercicios de matemática aplicada a la administración y economía

1

Problemas de matemtica aplicada a

la administracin y economa

Csar A. Ypez

Diciembre 2013

Ejercicios y problemas resueltos del texto: Matemtica para la Administracin y

Economa HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edicin.

3

Presentacin

El presente trabajo tiene por objeto proporcionar mtodos de solucin de problemas aplicados a diversas reas, en especial a la administracin y economa. Est dirigido a estudiantes del bachillerato ya que cubre gran parte de las destrezas y contenidos que propone el Ministerio de Educacin, para estudiantes de primeros aos de educacin superior en las carreras de Administracin, Economa, Marketing, etc. Y especialmente para estudiantes y docentes de modalidades a distancia. Comprende ejercicios y problemas de algebra, funciones, rectas, parbolas, matrices, funciones logartmicas y exponenciales, lmites, derivadas e integracin y, sus aplicaciones correspondientes al texto: Matemtica para la Administracin y Economa HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edicin.

Csar A. Ypez

4

ndice de contenidos

CAPTULO 0 REPASO DE ALGEBRA 0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales. 0.8 Ecuaciones Cuadrticas

7

CAPTULO 1 APLICACIONES Y MS ALGEBRA 1.1 Aplicaciones de ecuaciones 1.2 Desigualdades lineales 1.3 Aplicaciones de las desigualdades

10

CAPTULO 2 FUNCIONES Y GRFICAS 2.1 Funciones 2.2 Funciones especiales 2.3 Combinaciones de funciones 2.5 Grficas en coordenadas rectangulares

17

CAPITULO 3 RECTAS PARBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES 3.1 Rectas 3.2 Aplicaciones y funciones lineales 3.3 Funciones cuadrticas 3.6 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

27

CAPITULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 4.1 Funciones exponenciales 4.2 Funciones logartmicas 4.3 Propiedades de los logaritmos 4.4 Ecuaciones logartmicas y exponenciales

36

CAPTULO 6 LGEBRA MATRICIAL 6.1 Matrices 6.2 Suma de matrices y multiplicacin por un escalar 6.3 Multiplicacin de matrices 6.4 Resolucin de sistemas mediante la reduccin de matrices 6.5 Resolucin de sistemas mediante la reduccin de matrices (continuacin)

45

5

ndice de contenidos

CAPTULO 7 PROGRAMACIN LINEAL 7.1 Desigualdades lineales en dos variables 7.2 Programacin lineal

51

CAPTULO 10 LMITES Y CONTINUIDAD 10.1 Lmites 10.2 Lmites (continuacin) 10.4 Continuidad aplicada a desigualdades

59

CAPTULO 11 DIFERENCIACIN 11.1 La derivada 11.3 La derivada como una razn de cambio 11.4 La regla del producto y la regla del cociente 11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia

63

CAPTULO 12 TEMAS ADICIONALES DE INTEGRACIN 12.1 Derivada de funciones logartmicas 12.2 Derivada de funciones exponenciales 12.4 Diferenciacin implcita 12.5 Diferenciacin logartmica 12.7 Derivadas de orden superior

69

CAPTULO 13 TRAZADO DE CURVAS 13.1 Extremos relativos 13.3 Concavidad 13.4 Prueba de la segunda derivada 13.6 Aplicacin de Mximos y mnimos

79

CAPTULO 14 INTEGRACIN 14.1 Diferenciales 14.2 La integral indefinida 14.3 Integracin con condiciones iniciales 14.4 Ms frmulas de integracin 14.7 Teorema fundamental del clculo integral 14.9 rea 14.10 rea entre curvas 14.11 Excedente de los consumidores y de los productores

90

7

CAPTULO 0 REPASO DE ALGEBRA

0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales.

Problemas 0.7 Pginas: 34 35. Ejercicios: 10, 15,25, 89,96

En los problemas 7 a 16 determine qu operaciones se aplican a la primera ecuacin para obtener la segunda. Establezca si las operaciones garantizan o no que las ecuaciones sean equivalentes. No resuelva las ecuaciones

10.

Se divide ambos lados para dos, la equivalencia si se garantiza ya que se divide por un valor constante.

15.

Se multiplican ambos lado por

; la equivalencia no se garantiza debido a que no

sabemos el valor de . Resuelva las ecuaciones 17 a 80

25.

En los problemas 81 a 92, exprese el smbolo indicado en trminos de los smbolos restantes

89.

;

96. Ingreso. El ingreso mensual total de una guardera por concepto del cuidad de x nios est dado por , y sus costos mensuales totales son Cuntos nios necesitan inscribirse mensualmente para alcanzar el punto de equilibrio? En otras palabras Cundo los ingresos igualan a los costos?

8

Ingreso: Costos: Equilibrio:

Se necesitan 50 nios para alcanzar el punto de equilibrio.

0.8 Ecuaciones Cuadrticas

Problemas 0.8 Pginas: 42 43 Ejercicios: 23, 31, 37, 73, 79

Resuelva por factorizacin los problemas 1 a 30.

23.

En los problemas 31 a 44, encuentre todas las raices reales con el uso de la frmula cuadrtica

31. 2 24

37. Si 4

Luego,

No existen races reales

Resuelva por cualquier mtodo los problemas 55 a 76

73. 0

9

, 79. Geometra. El rea de un dibujo rectangular, que tiene un ancho de 2 pulgadas menor que

el largo, es de 48 pulgadas cuadradas. Cul son las dimensiones del dibujo?

El largo es y el ancho es 6

10

CAPTULO 1 APLICACIONES Y MS ALGEBRA 1.1 Aplicaciones de ecuaciones

Problemas 1.1 Pginas: 51- 52 53 Ejercicios 1, 5, 7, 9, 16, 31, 35, 41

1. Cercado. Se colocar una cerca alrededor de un terreno rectangular de modo que el rea

cercada sea de 800 pies cuadrados y el largo del terreno sea el doble de su ancho. Cuntos pies de cerca se utilizarn?

Luego, las dimensiones son:

5. Acabado de muebles. De acuerdo con The Consumers Hand book [Paul Fargis, ed. (Nueva

York: Hawthoun, 1974)], un buen aceite para el acabado de muebles de madera contiene dos partes de aceite de linaza hervido y una parte de aguarrs. Si debe prepararse una pinta (16 onzas lquidas) de este producto. Cuntas onzas lquidas de aguarrs se necesitan?

Cantidad de Aguarrs:

Cantidad de Linaza:

Contenido de una pinta:

7. Vereda de jardn. Se va usar un terreno rectangular de 4m. por 8m. para plantar un jardn. Se

decide construir un corredor pavimentado en todo el borde, de manera que queden 12 metros cuadrados del terreno para cultivar flores. Cul debe ser el ancho del corredor?

El ancho del corredor debe ser . El valor se descarta debido a que el ancho del

terreno es apenas de 4 metros.

11

9. Utilidad. Una compaa de refinacin de maz produce gluten para alimento de ganado, con un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120 000 al mes y el alimento se vende a $ 134 la tonelada, cuntas toneladas deben venderse al mes para que la compaa obtenga una utilidad mensual de $560000?

Sea : Costo por tonelada: Costos Fijos: Precio de venta: Utilidad: Nmero de toneladas: Costo total: Costo de venta:

16. Negocio. Una compaa determina que si produce y vende q unidades de un producto, el

ingreso total por las ventas, en dlares, ser 100 . Si el costo variable por unidad es de

$2 y el costo fijo de $1200, encuentre los valores de q para los que ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo

31. Ingreso. El ingreso mensual de cierta compaa est dado por R=800p-7p2, donde p es el

precio en dlares del producto que fabrica esa compaa. A qu precio el ingreso ser de $10000, si el precio debe ser mayor de $50?

Ingreso mensual: Condicin: si

12

De los datos se tiene:

Resolviendo la ecuacin cuadrtica tenemos:

El ingreso mayor que 50 es

35. Cerca de seguridad. Por razones de seguridad, una compaa cercar un rea rectangular

de 11200 pies cuadrados en la parte posterior de su planta. Un lado estar delimitado por el edificio y los otros tres lados por la barda (vea la figura 1.4). Si se van a utilizar 300 pies de cerca, cules sern las dimensiones del rea rectangular?

Del rea se obtiene:

Reemplazando en la frmula del permetro tenemos:

41. Bienes races. Una compaa fraccionadora compra un terreno en $ 7200. Despus de

vender todo, excepto 20 acres, con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original, recuper el costo total de la parcela. Cuntos acres se vendieron?.

Sea el nmero de acres comprados, el precio por acre comprado, entonces:

Compra de acres al precio :

Venta de acres:

1) en 2)

(

)

13

El nmero de acres debe ser un valor positivo, por lo tato:

Nmero de acres comprados: acres. Nmero de acres vendidos: acres.

1.2 Desigualdades lineales

Problemas 1.2 pgina 58 Ejercicios 7, 19, 21,35, 38

Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. D su respuesta en notacin de intervalo y

represntela en forma geomtrica sobre la recta de los nmeros reales

7.

Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. D su respuesta en notacin de intervalo y

represntela en forma geomtrica sobre la recta de lo s nmeros reales:

19.

21.

14

]

35. Ahorros: Cada mes del ao pasado, Brittany ahorro ms de $50 pero menos de $150. Si S

representa sus ahorros totales del ao, describa S con el uso de desigualdades.

38. Gasto. Una estudiante tiene $360 para gastar en un sistema estereofnico y algunos discos

compactos. Si compra un estreo que cuesta $219 y el costo de los discos es de $18,95 cada uno,

determine el mayor nmero de discos que puede comprar.

Sea el nmero de discos entonces:

Luego discos

1.3 Aplicaciones de las desigualdades

Problemas 1.3 pginas 60 61 Ejercicios 1, 3, 5, 8, 11

1 . La compaa Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el nmero de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. Nmero de unidades: Ingresos: Costo de produccin: Costos fijos: Utilidad: Existen utilidades cuando , entonces: . Luego, el nmero de unidades que deben venderse es 12001 o ms 3. Arrendamiento versus compra. Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de comprar un automvil y el de arrendarlo con opcin a compra. Puede rentar un automvil por $420 al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es $0.06. Si comprara el automvil, el gasto fijo anual sera $4700, y los otros costos

15

ascenderan a $0.08 por milla. Cul es el mnimo de millas que tendra que conducir por ao para que el arrendamiento no fuese ms caro que la compra? Sean:

nmero de millas recorridas por ao

Costo anual por rentar el automvil:

Costo anual por comprar el automvil:

Condicin:

5. El costo unitario de publicacin de una revista es de $0.55. Cada revista se vende al

distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es 10% de la cantidad recibida

por todas las revistas vendidas por arriba de las 30000. Encuentre el nmero mnimo de revistas

que pueden publicarse sin prdida esto es, tal que la utilidad 0 - suponiendo que se vendern

90%de los ejemplares.

Utilidad = ingresos costos 0

Para los ingresos menores de 30000 unidades

Utilidad= ingresos costos 0

Para los ingresos mayores de 30000 Utilidad= ingresos costos 0

Se deben imprimir ms de 40910 revistas para no obtener prdidas.

8. Razn de circulante. La razn de circulante de Precisin Machine Products es 3.8. Si sus

activos circulantes son de $570 000. Cules son sus pasivos circulantes? Para elevar sus fondos

16

de reserva, Cul es la cantidad mxima que puede pedir prestada a corto plazo si quiere que su

razn de circulante no sea menor que 2.6?

Sea L= Pasivo circulante

R=razn de circulante=3.8

Sea x= la cantidad de dinero que puede pedir prestado, donde

11. Sueldo por hora. Con frecuencia se paga a los pintores por hora, o bien por trabajo

terminado. El tipo de pago que reciben puede hacer variar la velocidad a la que trabajan. Por

ejemplo, suponga que pueden trabajar por $9 la hora, o bien, por $320 ms $3 por cada hora

trabajada por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el

trabajo les toma t horas. Si t40, resulta claro que el sueldo por hora es mejor. Si t

17

CAPTULO 2 FUNCIONES Y GRFICAS

2.1 Funciones

Problemas 2.1 Pginas 81, 82. Ejercicios: 7, 21, 43, 46, 48

En los problemas 5 a16, obtenga el dominio de cada funcin.

7.

Para que exista, se necesita que , por lo que

[

Determinar los valores de la funcin para cada una de las funciones de los problemas 17 a 28

21. ; ; ;

En los problemas 29 a36 encuentre (a) y (b)

; simplifique sus respuestas

35.

a.)

b.)

43. La frmula para el rea de un circulo de radio r es Es el rea una funcin del radio?

Si debido a que para cada valor de r corresponde un nico valor

46. DEPRECIACION. Si una mquina de $ 30.000 se deprecia 2% de su valor original cada ao,

determine una funcin f que exprese el valor v de la maquina despus que han transcurrido

t aos.

La depreciacin al final del ao es de 0.02 t (30.000), por lo que el valor de la mquina

es:

, o

18

,

48. FUNCION DE DEMANDA. Suponga que la funcin de demanda anual para que cierto actor

protagonice una pelcula es

, donde g es el nmero de pelculas que protagoniza

durante el ao 1. Si el artista actualmente cobra $ 6000.000 por pelcula Cuntas protagonistas

cada ao? Si quiere protagonizar cuantas cintas por ao Cunto cobra por esto?

Carga de 6000.000 dlares por pelcula corresponde a:

Para protagonizar cuatro pelculas por ao el actor debera cobrar:

por pelcula.

2.2 Funciones especiales

Problemas 2.2 Pginas: 85 86 Ejercicios: 3,15, 29, 30, 31, 33

En los problemas 1 a 4 determine si la funcin dada es una funcin polinomial

3.

No es una funcin polinomial

Establezca (a) el grado y (b) el coeficiente principal de la funcin polinomial dada en los

problemas 13 a 16

15.

Grado: 7

Coeficiente: 1

29. Viaje en Tren. Un boleto de viaje redondo en tren a la ciudad cuesta $ 4.50. Escriba su

costo como funcin del ingreso del pasajero Qu tipo de funcin es?

19

Esta es una funcin constante.

30. Geometra. Un prima rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho y

altura; una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular

como una funcin del ancho. Qu clase de funcin es?

Formula del volumen del prisma rectangular:

Es una funcin cbica.

31. Funcin de costo. En la fabricacin de un componente para una mquina, el costo inicial

de un dado es de $ 850, y todos los otros costos adicionales son de $ 3 por unidad producida (a)

exprese el costo total c (en dlares) como una funcin lineal del nmero q de unidades

producidas (b) Cuntas unidades se producen si el costo total es de $ 1.600?

a)

b)

33. Ventas. Para estimular las ventas A grupos grandes, un teatro cobra dos precios si su

grupo es menor de 12 cada boleto cuesta $ 9,50. Si un grupo es de 120 o ms, cada boleto cuesta

$ 8,75. Escriba una funcin definida para presentar el costo de comprar n boletos.

El costo de la compra de n por entrada es:

{

2.3 Combinaciones de funciones

Problemas 2.3 Pginas: 90 -91 Ejercicios: 1, 3, 7, 17, 18, 19

1. Si y encuentre

20

a)

b)

c)

d)

e)

f) (

)

(

) (

)

g)

h)

21

i)

j)

3. Si y , encuentre lo siguiente:

a)

b)

c) (

)

(

)

(

) (

)

d)

22

e) (

)

(

)

f) (

) (

)

(

)

(

)

[( )

]

[( )

( )]

(

) (

)

g)

h)

i)

7. Si y

, encuentre y

23

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

17. Utilidad. Cierto expendio de caf vende una libra de caf por $ 9,75. Los gastos

mensuales son $ 4.500 ms $ 4,25 por cada libra vendida.

a) Escriba una funcin r(x) para el ingreso mensual total como una funcin del nmero de

libras vendidas.

b) Escriba una funcin c(x) para los gastos mensuales totales como una funcin del nmero

de libras de caf vendidas.

c) Escriba una funcin (r c)(x) para la utilidad mensual total como una funcin del nmero

de libras vendidas.

a) El ingreso es de $ 9,75 por libra de caf vendida

r(x) = 9,75 x

b) Los gastos son e(x) = 4.500 + 4,25 x

c) Los beneficios son:

(r-c)(x) = 9,75 x (4.500 + 4,25 x)

(r-c)(x) = 5,50 x 4.500

18. Geometra. Suponga que el volumen de un cubo es: , exprese v como

una composicin de dos funciones y explique que representa cada funcin.

, puede escribirse como:

Donde

, y

24

Entonces representa la longitud de los lados del cubo, mientras que es el

volumen de un cubo.

19. Negocio. Un fabricante determina que el nmero total de unidades de produccin por

da q, es una funcin del nmero de empleados m, donde

. El ingreso

total , , que se recibe por la venta de unidades, est dado por la funcin , donde

. Determine . Qu es lo que describe esta funcin compuesta?

(

)

(

)

Esta funcin representa los ingresos totales recibidos por la venta de q unidades

producidas por m empleados.

2.5 Grficas en coordenadas rectangulares

Problemas 2.5 Pginas: 101 102 Ejercicios: 1, 4, 29, 31

En los problemas 1 y 2, localice y marque cada uno de los puntos dados y, si es posible,

indique al que pertenece cada punto.

1. , , (

),

2. En la Figura 2.27 (b) se muestra la grfica de y = f(x)

25

a) Estime f(0) y f(2)

f (0) = 2, f (2) = 0

b) Cul es el dominio de f ?

Dominio: todo x 0

c) Cul es el rango de f ?

Rango: todo y 2

d) Cul es una raz real de f ?

f (x) = 0, para x = 2. As que un cero real es 2.

En los problemas 21 a 34, grafique cada funcin y determine su dominio y rango.

Tambin determine las intersecciones

29. Si

Graficando la funcin se tiene

Calculamos el dominio

La funcin existe si , entonces:

Si | |

| |

As se tiene: ] [

Calculamos el recorrido

A partir del dominio se tiene:

En consecuencia el recorrido es: [

26

Calculamos las intersecciones

Las intersecciones se presentan cuando

,

Las intersecciones son: (-3,0), (3,0)

31. | |

Graficando la funcin se tiene:

Calculamos el dominio:

No existe restriccin para los valores que puede tomar , entonces:

Calculamos el recorrido

Los valores que puede tomar son solo positivos, entonces:

Calculamos las intersecciones

Si | |

Si | |

Los puntos de interseccin son : (

),

27

CAPITULO 3 RECTAS PARBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1 Rectas

Problemas 3.1 Pginas: 123 -124 Ejercicios: 9, 17,55, 69, 71

En los problemas 9 a24, encuentre una ecuacin lineal general (Ax + By + C = 0) de la recta que tiene las propiedades indicadas, y haga el bosquejo de cada recta. 9. Pasa por (-1,7) y tiene pendiente -5 Ecuacin punto-pendiente: 17. Tiene pendiente 2 y su interseccin y es 4.

Ecuacin pendiente y ordenada al origen (funcin lineal)

En los problemas 51 a 60 encuentre una ecuacin de la recta que satisfaga las condiciones dadas. Si es posible, d la respuesta en la forma pendiente-interseccin. 55. Es perpendicular a y = 3x 5 y pasa por (3,4).

L1: la pendiente

L2:

28

69. Geometra. Muestre que los puntos A(0,0), B(0,4), C(2,3) y D(2,7) son los vrtices de un

paralelogramo (los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos)

Indeterminada

Indeterminada

71. Ecuacin de costo. El costo diario promedio, C, de un cuarto en un hospital de la ciudad se

elev $59.82 por ao, durante la dcada de 1990 a 2000. Si el costo promedio en 1996 fue $1128.50. cul es una ecuacin que describe el costo promedio durante esta dcada como una funcin del nmero de aos, T, desde 1990?

.50)

- -

- -

3.2 Aplicaciones y funciones lineales

Problemas 3.2 Pginas: 129-130 Ejercicios: 15, 16, 17, 21, 25, 34

15. Ecuacin de demanda Suponga que los clientes demandarn 40 unidades de un producto

cuando el precio es de $12.75 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18.75 cada una. Encuentre la ecuacin de la demanda, suponga que es lineal. Determine el precio unitario cuando se demandan 37 unidades. Sea , entonces se tienen los puntos.

) ) Calculamos la pendiente

Utilizamos la ecuacin de la recta

29

Ecuacin de demanda

Calculamos el precio cuando se demandan 37 unidades

16. Ecuacin de demanda. La demanda semanal para un CD es de 26000 unidades cuando el

precio es $12 cada una, y de 10000 cuando el precio unitario es de $18. Encuentre una ecuacin de demanda para el CD, suponga que es lineal. Se tienen los puntos: ) y )

Calculamos la pendiente que une los puntos

Calculamos la ecuacin de la recta

Ecuacin de demanda

17. Ecuacin de oferta. Un fabricante de refrigeradores producir 3000 unidades cuando el precio sea de $940 y 2200 unidades cuando el precio sea $740. Suponga que el precio, p, y la cantidad producida, q, estn relacionadas de manera lineal Encuentre la ecuacin de oferta.

Se tienen los puntos correspondientes ) y 740)

Calculamos la pendiente de la recta que une esos puntos

Calculamos la ecuacin de la recta

Ecuacin de la oferta

21. Tarifa de electricidad. Una compaa de electricidad cobra 12.5 centavos por kilowatt-hora

ms un cargo base mensual a los clientes residenciales. La factura mensual de un cliente es

30

de $51.65 por 380 kilowatt-hora. Encuentre una funcin lineal que de describa el monto total por concepto de electricidad, si x es el nmero de kilowatt-hora utilizados en un mes.

Para la funcin lineal se tiene la pendiente y el punto )

Reemplazando tenemos:

Luego, es la funcin de monto por concepto de consumo. 25. Apreciacin. Un nuevo edificio de departamentos se vendi por $960000 cinco aos

despus de que se compr. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $45000 por ao, mientras ellos fueron los propietarios. Encuentre una funcin que describa la apreciacin del inmueble, si x es el nmero de aos desde la compra original.

Para la funcin lineal se tiene y el punto ) luego:

Funcin de apreciacin 34. Dieta para cerdos. Tras las pruebas realizadas con una dieta experimental para cerdos, se

determin que el peso (promedio) w (en kilogramos) de un cerdo, de acuerdo con las estadsticas, era una funcin lineal del nmero de das, d, despus de haber iniciado la dieta, donde 0 d 100. Si el peso del cerdo al inicio del rgimen fue de 21 kg, y a partir de entonces gan 6.3 kg cada 10 das, determine w como una funcin de d y calcule el peso de un cerdo 55 das despus de que inici la dieta.

Sea el peso (w) y el nmero de das (d), entonces se tiene la relacin ( )

La pendiente sera

Luego la funcin lineal ser

El peso a los 55 das ser:

31

3.3 Funciones cuadrticas

Problemas 3.3 Pginas: 136-137. Ejercicios: 13, 17, 29, 33, 37

Grafique cada funcin de los problemas 13 a 22. Obtenga el vrtice y las intersecciones y determine el rango.

13. Se tienen los valores

Calculamos el vrtice (

)

(

)

Calculamos la intersecciones

Interseccin con el Eje X Si

Interseccin con el Eje Y Si

(

Calculamos el recorrido ; a partir del vrtice se tiene: [

17. Se tienen los valores

Calculamos el vrtice (

)

(

)

32

Calculamos la intersecciones

Interseccin con el Eje X

Si

Interseccin con el Eje Y

Si

Calculamos el recorrido ; a partir del vrtice se tiene: [

29. Ingreso. La funcin de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 200-5q, donde p es el precio (en dlares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Encuentre el nivel de produccin que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

El valor mximo o mnimo en una funcin cuadrtica, lo determina el vrtice, entonces:

Calculando el vrtice se tiene:

(

)

(

)

As se tiene: . Lo cual significa que el nivel de produccin que maximiza los ingresos es 20 unidades, y el ingreso mximo es 2000.

33. Utilidad. La utilidad diaria proveniente de la venta de rboles en el departamento de jardinera de una tienda est dada por P(x) = -x2 + 18x + 144, donde x es el nmero de rboles vendidos. Determine el vrtice y las intersecciones de la funcin y grafique la funcin.

33

(

)

(

)

Interseccin con el Eje Y Si

Interseccin con el Eje X Si

37. Tiro con arco. Un muchacho que est parado en una colina, tira una flecha directamente hacia arriba a una velocidad inicial de 85 pies por segundo. La altura, h, de la flecha en pies, t segundos despus de que se lanz, se describe mediante la funcin h(t) = 16t2+ 85t + 22. Cul es la altura mxima alcanzada por la flecha? Despus de cuntos segundos de ser disparada alcanza esta altura?

El vrtice nos da el valor mximo de la altura, entonces:

(

)

segundos

(

)

pies.

34

3.6 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

Problemas 3.6 Pginas: 156-157 Ejercicios: 15, 16, 18,20, 23

15. Negocios. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son:

(1) y (2)

respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dlares y q el nmero de unidades vendidas por periodo.

(a) Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedzcalo mediante una grfica. (b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un de impuesto de 27 centavos por

unidad al proveedor.

a) El precio de equilibrio se calcula igualando las funciones de oferta y de demanda Oferta = demanda

El precio para que se mantenga el equilibrio es de 12. Reemplazando en la ecuacin (1) se tiene:

b)

Establecemos la funcin de oferta cuando se carga el impuesto:

La funcin de oferta sin impuesto es:

35

Luego, la funcin de oferta con impuesto ser:

Calculamos la funcin de demanda:

Igualamos la oferta y la demanda:

Reemplazando se tiene:

36

CAPITULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

4.1 Funciones exponenciales

Problemas 4.1 Pginas: 173 174 Ejercicios: 7, 15, 19, 27, 29, 35

En los problemas 1 a 12 grafique la funcin

7.

A partir de la funcin se obtiene la funcin .

La funcin tiene la forma donde .

La grfica de se obtiene desplazando la grfica de ,

unidades hacia la izquierda.

15. Poblacin La poblacin proyectada de una ciudad est dada por

donde t es el nmero de aos a partir de 1995. Cul es la poblacin que se pronostica

para el ao 2015?

Nmero de aos transcurridos:

La poblacin para es:

En los problema 19 a 27 encuentre (a) el monto compuesto y (b) el inters compuesto para la

inversin y la tasa anual dadas.

19. $4000 durante 7 aos al 6% compuesto anualmente

37

El monto compuesto S del capital P al final de n aos a una tasa de r compuesta anualmente est

dado por:

a) Si entonces:

b) Inters compuesto:

27. $ 8000 durante 3 aos a

% compuesto diariamente (suponga que hay 365 das en un ao).

El monto acumulado S de un capital P al final de n perodos de inters a una tasa peridica de r

est dada por:

a) Si

entonces:

(

)

b) Inters compuesto

29.- Inversin: se copra un certificado de depsito por $ 6.500 y se conserva durante seis meses.

Si gana 4% compuesto trimestralmente Cul es el valor del certificado al cabo de seis meses

aos?

El monto acumulado S de un capital P al final de n perodos de inters a una tasa peridica de r

est dada por:

Si n=6aos por 4 trimestres =24

Entonces: S (

)

Los problemas 35 y 36 involucran una poblacin que declina. Si una poblacin disminuye a una

tasa de r por perodo, entonces la poblacin P despus de t perodos est dada por

donde es la poblacin inicial (la poblacin cuando t=0).

35. Poblacin A causa de una recesin econmica, la poblacin de cierta rea urbana disminuye

a razn de 1,5% anual. Al inicio haba 350000 habitantes Cuntos habr despus de tres aos?

De su respuesta al entero ms cerrado.

Si entonces:

38

4.2 Funciones logartmicas

Problemas 4.2 Pgina 180. Ejercicios: 1, 11, 29, 49, 57, 59

En los problemas 1 a 8, exprese cada forma logartmica de manera exponencial y cada forma

exponencial de manera logartmica.

1.

Por definicin se tiene:

Luego,

En los problemas 9 a 16 grafique las funciones

11.

Transformamos la funcin a la forma exponencial equivalente

Luego, haciendo un cambio de variable se tiene:

Graficamos la funcin

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2

y 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,0625

39

Graficamos la funcin intercambiando los valores correspondientes

a la funcin

, as:

x 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,0625

y -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2

Se observa que las dos grficas se reflejan respecto al la recta y=x

Encuentre x en los problemas 29 a 48

29.

Aplicando la definicin se tiene:

entonces

Encuentre x en los problemas 49 a 52 adems exprese su respuesta en trminos logaritmos de logaritmos naturales.

49. Aplicando la definicin se tiene El logaritmo natural es:

57. Apreciacin. Suponga que una antigedad incrementa su valor en 10% cada ao. Haga una grfica del nmero de aos que cierto propietario la conserva como una funcin del aumento multiplicativo de su valor original. Marque la grfica con el nombre de la funcin.

Sean:

= valor inicial de de alguna antigedad

1+10%=1.1 = Factor de incremento

= valor de la antigedad al final de t aos

Calculamos el valor de la antigedad para 1,2,3,.t aos.

Tiempo (aos)

valor

1 2 3 t

Establecemos la funcin del valor de la antigedad en funcin del nmero de aos:

40

El valor inicial puede ser cualquier valor, supongamos que vale 1 unidad, entonces la funcin ser:

Graficamos esta funcin dando valores a t y se obtiene la grfica siguiente:

Graficamos la funcin inversa, intercambiando los valores que estn el EjeX por los

valores del EjeY. Se obtiene la grfica de color rojo siguiente:

59. Ecuacin oferta. La ecuacin de oferta de un fabricante es (

) Donde q es el

nmero de unidades al precio unitario p. A qu precio el fabricante ofrecer 1980 unidades?

Reemplazamos el valor de q=1980 unidades en la funcin de oferta:

(

) (

)

41

4.3 Propiedades de los logaritmos

Problemas 4.3 Pginas 185 186. Ejercicios: 5, 20, 31, 32, 42, 45

En los problemas 1 a 10 se establece que , y . Exprese el logaritmo

indicado en trminos de a , b y c.

5.

En los problemas 1 a 20 exprese el valor de la expresin sin el uso de calculadora

20.

En los problemas 21 a 32, escriba la expresin en trminos del , , .

31. (

)

(

) (

(

)

)

[

]

32.

[ ]

42

[ ]

[ ]

En los problemas 41 a 44 determine los valores de las expresiones sin utilizar calculadora.

42. [ ]

[ ] [ ]

[ ] [

]

Encuentre x en los problemas 45 a 48.

45.

4.4 Ecuaciones logartmicas y exponenciales

Problemas 4.4 Pginas 190 191 Ejercicios: 1, 7, 32, 33, 35, 45

Encuentre x en los problemas 1 a 36. Redondee sus respuestas a tres decimales

1.

7.

32.

Por la definicin de logaritmos se tiene:

[ ] [ ]

es el mico valor que satisface la ecuacin

43

33.

Luego,

es la solucin ya que safisface la ecuacin.

35. (

)

(

)

(

)

45. Ventas. Despus de t aos el numero de unidades de un producto vendidas en un ao est

dada por

. Tal ecuacin se llama ecuacin de Gompertz, y describe el

crecimiento natural en muchas reas de estudio. Resuelva esta ecuacin para t de la misma

manera que en el ejemplo 4 y muestre que

(

)

Tambin para cualquier A y para las b y a apropiadas, resuelva para x y explique

porque la solucion previa es un caso especial.

Aplicando las propiedades de las funciones logartmicas y exponenciales se tiene:

(

)

(

)

44

Si

(

)

La solucin previa es un caso especial en el que , ,

, ,

45

CAPTULO 6 LGEBRA MATRICIAL

6.1 Matrices

Problemas 6.1 Pginas 231-232. Ejercicios: 14, 19, 25

14. Lista la diagonal principal de

(a) [

] (b) [

]

La diagonal principal es la diagonal que se extiende desde la esquina superior izquierda a la

esquina inferior derecha.

a. b.

En los problemas 17 a 20 encuentre

19) A= [

]

[

]

[

]

En los problemas 24 a 27 resuelva la ecuacin matricial

25) [

] [

]

6=6 2=2

7= 7

46

6.2 Suma de matrices y multiplicacin por un escalar


En los problemas 13 a 24 calcule las matrices requeridas si:

[

] [

] [

] [

]

21. 2B - 3A + 2C

[

] [

] [

]

[

] [

] [

] [

] [

] [

]

[

] [

]

En los problemas 37 a 40 resuelva las ecuaciones matriciales

37. [ ] [

] [

]

[

] [

] [

] [

] [

]

42. Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dlares) de una compaa de juguetes

para tres ciudades en 2003 y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades

en el 2005, donde A y B estn dadas por:

[

]

[

]

Si la compaa compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas conseguidas en el ao 2005,

Cul es el cambio de las ventas entre 2003 y 2006?

[

] [

] [

] [

]

[

] [

] [

]

47

6.3 Multiplicacin de matrices


Realice las operaciones indicadas en los problemas 19 a 36

24. [

] [

]

[

] [

] [

]

En los problemas 37 a 44 encuentre las matrices indicadas si:

[

] [

] [

]

39. 3A - 2BC

[

] [

] [

]

[

] [

] [

] [

]

[

]

63. Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibicin. Si el valor de un

gatito es de $55, el de cada perrito es de $150 y el de cada loro es de $35, por medio de la

multiplicacin de matrices, encuentre el valor total del inventario de mascotas.

[ ] [

]

M x C=[ ] [

]

48

6.4 Resolucin de sistemas mediante la reduccin de matrices

Problemas 6.4 Pginas 257-259. Ejercicios: 13, 22, 27, 31

Resuelva los sistemas de los problemas 13 al 26 mediante el mtodo de reduccin

13. {

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

22. {

A partir del sistema de ecuaciones construimos la matriz aumentada

[

|

] [

|

] [

|

] [

|

]

[

|

] [

|

] luego, y

Resuelva los problemas 27 al 33 con el uso de reduccin de matrices

27. IMPUESTOS. Una compaa tiene ingresos gravables por $3120000. El impuesto

federal es 25% de la parte que queda despus de pagar el impuesto estatal. El impuesto

estatal es 10% de la parte que queda despus de pagar el impuesto federal. Encuentre el

monto el impuesto federal y estatal.

Sea x el impuesto federal, y el impuesto estatal, luego:

Impuesto federal

Impuesto estatal {

49

[

|

] [

|

] [

|

] [

|

]

Luego,

31. VITAMINAS. Por prescripcin del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10

unidades de vitamina A, y 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir

entre tres marcas de pldoras vitamnicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina

A, 3 de vitamina D y 5 de vitamina E, la Y tiene 1,3y4 unidades respectivamente; y la

marca Z tiene 1 unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E.

(a) Encuentre todas las combinaciones posibles de pldoras que proporcionen de manera

exacta las cantidades requeridas.

(b) Si cada pldora de la marca X cuesta 1 centavo, de la marca Y, 6 centavos y de la

marca Z 3 centavos existe alguna combinacin del inciso (a) que cueste exactamente 15

centavos por da?

(c) Cul es la combinacin menos cara del inciso (a)? Y la ms cara?

La cantidad de unidades de vitaminas A, D y E se representa en el sistema de ecuaciones

siguiente:

{

Resolviendo el sistema de ecuaciones mediante el mtodo de reduccin de matrices se

tiene:

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

a) La solucin es posible nicamente para los valores de .

50

Reemplazando en la solucin tenemos:

Si Si

Si Si

b) 3 unidades de la marca x ms 4 unidades de la marca z cuestan 15 centavos

c) La combinacin ms barata es 3 unidades de X y 4 unidades de Z (15 centavos), mientras la

ms cara es 3 unidades de Y y 7 unidades de z (39 centavos).

6.5 Resolucin de sistemas mediante la reduccin de matrices (continuacin)

Problemas 6.5 Pginas 231-232. Ejercicio 21

Resuelva cada uno de los siguientes sistemas

21. {

[

|

]

[

|

]

[

|

]

Entonces

51

CAPTULO 7 PROGRAMACIN LINEAL

7.1 Desigualdades lineales en dos variables

Problemas 7.1 Pgina 284. Ejercicios: 19, 23, 27

Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 24.

19. {

Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las rectas

{

Segundo paso: Ubicamos la regin que forma la solucin de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad. Por ejemplo para la desigualdad 1) 2(0)+4 por lo tanto el lado derecho

de la recta es la solucin de la desigualdad.

La solucin de la desigualdad 2) es el lado derecho de la recta

La solucin de la desigualdad 3) es hacia abajo de la recta

Tercer paso: Ubicamos la regin general de la solucin que es la interseccin de las soluciones de las desigualdades.

En este caso la solucin es la parte marcada de color.

23. {

Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las

rectas:

{

Segundo paso: Ubicamos la regin que forma la solucin de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad.

52

Por ejemplo para la desigualdad 1)

por lo tanto el lado derecho de la recta es la solucin de la desigualdad.

La solucin de la desigualdad 2) es el lado derecho de la recta

La solucin de la desigualdad 3) es la regin hacia la derecha de la recta

Tercer paso: Ubicamos la regin general de la solucin que es la interseccin de las soluciones de las desigualdades. En este caso la solucin es la parte marcada con color

27. Si un fabricante desea comprar un total de no ms de 100 libras de producto Z de los proveedores A y B, establezca un sistema de desigualdades que describa las combinaciones posibles de las cantidades que pueden comprarse a cada proveedor. Haga el bosquejo de la solucin en el plano.

Sea la cantidad comprada a un proveedor A, y la cantidad comprada a B. El sistema

de desigualdades es:

{

Luego resolviendo el sistema de desigualdades se tiene la siguiente grfica.

La regin que representa todas las combinaciones posibles se encuentra entre los ejes y la recta inclinada y que tiene como vrtices a los puntos (0,100), (0,0), (100, 0).

53

7.2 Programacin lineal


2. Maximizar

Sujeta a: {

Resolviendo el sistema de desigualdades

se tiene la regin que se indica en la

figura. Esta regin esta limitada por los

dos ejes y la recta . Los

vrtices de esta regin son (0,0) (

)

(

)

Luego analizamos el valor que toma la funcin objetivo en cada uno de los

puntos:

Punto Funcin objetivo

(0,0)

(

) (

)

Valor Mximo

(

) (

)

Se observa que alcanza un mximo valor

cuando y

.

54

7. Maximizar

Sujeta a

Al resolver grficamente el sistema de se tienen algunas consideraciones:

Las desigualdades ( ) indican que la regin que cumple estas

condiciones es el primer cuadrante.

La solucin de las desigualdades , junto con la recta se

indica en las siguientes figuras:

La interseccin de las cuatro desigualdades y la recta es el segmento de recta que une los

puntos y , los cuales se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones:

{

(0,1) {

(4,5)


puntos:


(0,1) Valor mnimo

Se observa que Z alcanza un mnimo valor Z=3 cuando y .

55

13. Produccin para utilidad mxima. Un fabricante de juguetes prepara un programa de

produccin para dos nuevo artculos, camiones y perinolas, con base en la informacin

concerniente a sus tiempos de ensamblado dados en la tabla que sigue:

Maquina A Maquina B Acabado

Camin 2h 3h 5h

Perinola 1h 1h 1h

Por ejemplo, cada camin requiere de 2 horas en la maquina A. Las horas que los empleados

tienen disponibles por semana son: para operacin de la maquina A, 80 horas; para la B,

50horas; para acabado, 70 horas. Si las utilidades en cada camin y cada perinola son de $7 y $2,

respectivamente, Cuntos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de

maximizar la unidad? Cul es la utilidad mxima?

Sean x el nmero de camiones, y sea y el nmero de perinolas. Entonces la utilidad que se

obtiene por la venta de estos juguetes es: . Se requiere:

Maximizar

{

Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones.

Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son:

{

Las regiones que cumplen con las desigualdades son:

56



La regin factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos (0.0), (0,50),

(10,20) y (14,0)


puntos:


(0,50) Valor mximo

Se observa que 10 camiones y 20 trompos generan la utilidad mxima de $110

17. Extraccin de minerales. Una compaa extrae minerales de una mina. En la tabla siguiente

se indica el nmero de libras de los minerales Ay B que pueden obtenerse de cada tonelada de la

mina I y II, junto por los costos por tonelada:

Mina I Mina II

Mineral A 100lb 200lb

Mineral B 200lb 50lb

Costo por tonelada $50 $60

57

Si la compaa debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, Cuntas toneladas de cada

mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? Cul es el costo mnimo?

Sean x el nmero de toneladas de la mina I y sea y el nmero de toneladas de la mina II. La funcin

de costo es . Luego se tiene el siguiente problema:

Minimizar

Sujeta a las condiciones:

{

Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones.

Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son:

{

Las regiones que cumplen con las desigualdades son:

58



La regin factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos (0.50), (10,10),

(30,0).


puntos:


(0,50) Valor mnimo

Se observa que 10 toneladas de la mina I y 10 toneladas de la mina II minimiza el costo, el

cual alcanza $1100.

59

CAPTULO 10 LMITES Y CONTINUIDAD

10.1 Lmites

Problemas 10.1 Pgina 457-458. Ejercicios: 6, 21, 34

En los problemas 5 a 8 utilice su calculadora para completar la tabla, y use los resultados para

estimar el lmite dado.

6.

-3.1 -3.01 -3.001 -2.999 -2.99 -2.9

-6.1 -6.01 -6.001 -5.9 -5.99 -5.999

Si f(3.1) = 6.1 f(2.9) = 5.9

S f(3.01) = 6.01 f(2.99) = 5.99

Si f(3.001) = 6.001 f(2.999) = 5.999

El lmite estimado es

Encuentre los lmites en los problemas 9 a 34.

21.

= = -2

34. (

)

(

) = (

) =

=

(

)=

= 0+4

= 4

60

10.2 Lmites (continuacin)

Problemas 10.2 Pginas 465-466. Ejercicios: 25, 37,46

En los problemas 3 a 54 encuentre el lmite. Si no existe, especifique, o utilice el smbolo 0 -

donde sea apropiado

25.

-

37.

46. (

)

Para el lmite: (

) como: , entonces

As: (

)

10.4 Continuidad aplicada a desigualdades

Problemas 10.4 Pginas 475. Ejercicios: 11, 22, 27

En los problemas 1 al 26 resuelva las desigualdades por medio de la tcnica estudiada en esta

seccin.

11.

Establecemos

Encontramos los extremos de cada intervalo haciendo , asi:

61

Ubicamos estos nmeros en la recta numrica y encontramos los intervalos

correspondientes

Comprobamos el signo de en cada intervalo. La solucin son los intervalos donde

, as:

Intervalo Un valor del intervalo

Signo de

-5 +(-)(-) > 0 -1 +(-)(+) < 0 1 -(-)(+) >0 6 -(+)(+) 0

(- -

4)

(-4,0) (0,5) (5,+

-4 0 5

(- -5) (-5,-2) (--2,-1) (-1,1)

-5 -2 -1

(1,+

1

62

[ -3

< 0

-1.5

>0

] 0

< 0

[ 2

> 0

Solucin [ ]

27. Ingresos: Suponga que los consumidores compran q unidades de un producto cuando el

precio de cada uno es de dlares Cuntas unidades deben venderse para que el

ingreso sea al menos de $750?

Datos:

Nmero de unidades:

Precio unitario:

Ingreso: R = q(28-0.2q)

Se tiene una ecuacin cuadrtica respecto q, luego:

Deben venderse entre 37 y 104 unidades para tener un ingreso de al menos $750

63

CAPTULO 11 DIFERENCIACIN

11.1 La derivada


En los problemas 3 a18 emplee la definicin de la derivada para encontrarla en cada caso.

12.

[ ] [ ]

21. Encuentre la pendiente de la curva

Si entonces la pendiente m es

[ ] [ ]

Si

64

En los problemas del 23 al 28 encuentre la ecuacin de a recta tangente a la curva del punto

dado

28.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Si

La ecuacin de la recta tangente es:

11.3 La derivada como una razn de cambio


En los problemas 13 a 18 se dan funciones de costo, donde c es el costo de producir q unidades

de un producto. Para cada caso encuentre la funcin de costo marginal. Cul es el costo

marginal para el valor o valores dados de q?

16.

Si el costo marginal es

Si

En los problemas 19 a 22, representa el costo promedio por unidad, que es una funcin del

nmero q de unidades producidas. Encuentre la funcin de costo marginal y el costo marginal

para los valores indicados de q.

65

21.

Si es el costo promedio entonces el costo es:

En los problemas 23 a 26, r representa el ingreso total y es una funcin del nmero q de unidades

vendidas. Encuentre la funcin de ingreso marginal para los valores indicados de q.

26.

Si es la funcin de ingreso, entonces el ingreso marginal es:

( )

Si q=10;

Si q=20;

39. Funcin de costo Para la funcin de costo Qu tan rpido cambia c

con respecto a q cuando q=10? Determine la razn de cambio porcentual de c con respecto a q

cuando q=10.

Si es la funcin de costo, entonces la derivada

indica qu tan rpido

cambia c con respecto a q.

si

La razn de cambio porcentual es:

66

11.4 La regla del producto y la regla del cociente


Diferencie las funciones de los problemas 1 a 48

13.

Utilizando la frmula de la derivada del producto se tiene:

30.

En el siguiente problema encuentre una ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto

dado:

51.

La pendiente de la recta es

si x=3

La recta tangene es

67

71. Costo marginal. Si la funcin de costo total de un fabricante est dada por

0

Encuentre la funcin de costo marginal.

El costo marginal es la derivada

11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia


En los problemas 9 a 52, encuentre y.

10. ( )

29.

(

)

En los problemas 59 a 62, encuentre una ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto dado

61)

(

)

( )

(

) (

)

68

71.- Funcin de costo. El costo de producir q unidades de un producto est dado por

Si el precio de p unidades est dado por la ecuacin

Utilice la regla de la cadena para encontrar la razn de cambio del costo con respecto al precio

unitario cuando

Regla de la cadena:

Si

Si

Luego cuando

As:

|

69

CAPTULO 12 TEMAS ADICIONALES DE INTEGRACIN

12.1 Derivada de funciones logartmicas

Problemas 12.1 Pginas 533-534. Ejercicios: 12,13, 17,20, 28,30, 49,50

Diferencie las funciones en los problemas 1 a 44. Si considera adecuado, utilice primero las

propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuacin dada.

12.

(

)

13.

[ ] [

]

[ ]

17.-

[

]

[

]

20.

[ ] (

)

[ ]

70

28 . (

)

30.

[ ]

[

]

[

]

49. Costo marginal. La funcin de costo total est dada por . Encuentre

el costo marginal cuando q=6.

Si

50. Costo marginal. La funcin en dlares del costo promedio de un fabricante, est dado

por

. Encuentre el costo marginal (redondeado a dos decimales) cuando .

Calculamos el costo total

Calculamos la funcin de costo marginal

[ ]

[ ]

Calculamos el costo marginal cuando q=50

71

|

[ ]

[ ]

12.2 Derivada de funciones exponenciales

Problemas 12.2 Pginas 537-538. Ejercicios: 14,23, 24, 32, 35, 36

Diferencie las funciones en los problemas 1 a 28

14.

[ ] [ ]

23.

[ ] [ ]

24.

72

[ ] [ ]

32. Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto

Cuando , entonces, aplicando la ecuacin punto pendiente se tiene:

Luego, es la ecuacin de la recta tangente.

En los problemas 35 y 36, es el costo promedio de producir q unidades de un producto.

Encuentre la funcin de costo marginal para los valores dados de q. Interprete su respuesta.

35.

El costo total es:

La funcin de costo marginal es:

(

)

El costo de producir q=350 unidades es:

|

El costo de producir q=700 unidades es:

|

En los problemas 35 y 36, es el costo promedio de producir q unidades de un producto.

Encuentre la funcin de costo marginal y el costo marginal para los valores dados de q.

interprete su respuesta.

36.

Calculamos la funcin de costo:

Calculamos la funcin de costo marginal

73

(

)

Calculamos el costo marginal para los valores de q=97 y q=197

12.4 Diferenciacin implcita


En los problemas 1 a 24 ,encuentre dy/dx mediante diferenciacin implcita.

12.

Se considera constante a la variable x, calculando la derivada de y.

74

28. Encuentre la pendiente de la curva ( ) en el punto (0,2)

La pendiente de una curva en un punto dado es la derivada de la ecuacin de la curva, as

la derivada de la funcin implcita es:

Luego, en el punto (0,2) la pendiente es:

29. Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la curva , en el punto (-1,1)

Calculamos la derivada, la cual es la pendiente de la tangente en el punto considerado.

Calculamos el valor de la pendiente, reemplazando el punto (-1,1)

Calculamos la ecuacin de la recta mediante la ecuacin Punto-pendiente.

[ ]

75

12.5 Diferenciacin logartmica

Problemas 12.5 Pginas 552-553. Ejercicios: 11, 12, 18, 19, 23, 24

En los problemas 1 a 12, encuentre y por medio de la diferenciacin logartmica.

11.

(

)

(

)

[

]

[

]

12. ( )

En primer lugar aplicamos las propiedades de los logaritmos

[

]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

Ahora calculamos la derivada

76

[

]

[

]

[

]

En los problemas del 13 a 20, determine y.

18.

[

]

[

]

19.

Aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene:

Calculamos la derivada de la funcin logartmica

[ (

) ]

23. Encuentre una ecuacin de la recta tangente a en el punto

donde x=0.

Aplicando las propiedades de los logaritmos a la funcin se tiene:

.

Calculando la derivada de las funciones logartmicas tenemos:

[

]

Calculamos el punto por donde pasa la recta:

Si

77

Calculamos la pendiente m:

Si [

]

Por ltimo aplicando la ecuacin punto-pendiente se tiene:

24. Encuentre una ecuacin de la recta tangente a la grfica de . En el punto en donde

Calculamos la derivada

Calculamos la pendiente

Si y

Calculamos la ecuacin de la recta mediante la forma Punto- pendiente

Ecuacin punto-pendiente

12.7 Derivadas de orden superior

Problemas 12.7 Pgina 560. Ejercicios:7, 14

En los problemas de 1 a 20, encuentre las derivadas indicadas.

7.

(

)

78

(

)

14.

79

CAPTULO 13 TRAZADO DE CURVAS

13.1 Extremos relativos


En los problemas 9 a 52, determine cuando la funcin es creciente o decreciente, y determine la

posicin de los mximos y mnimos relativos. No trace la grfica.

15.


( )

Calculamos los valores extremos de los intervalos con .

, ,

Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos

Establecemos los signos de la funcin para cada intervalo.

-1 0 1

- - + + - + + + - - - + - + - +

Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores:

- es decreciente en y

- es creciente en y .

- tiene mximo relativo en y mnimo relativo en y .

38.


(- -

1)

(-1,0) (0,1) (1,+

0 1

80


,

,



0

+ + - - + + + + + + + +

+ + - -


- es decreciente en (

) y (

)

- es creciente en (-,

) y (

- tiene mximo relativo en

68. Costo marginal. Si es una funcin de costo. Cundo es creciente el

costo marginal?

Calculamos la funcin de costo marginal:

Calculamos la derivada de la funcin de costo marginal: (

)

El costo marginal es creciente si :

esto es cuando .

(-

) (

, 0) (0,

) (

)

-

0

81

13.3 Concavidad

Problemas 13.3 Pginas 586-587. Ejercicios: 17, 25, 28, 55, 56

En los problemas 7 a 34, determine la concavidad de f y los valores de x en los que se presentan

puntos de inflexin. No trace la grfica.

17.

Calculamos los posibles puntos de inflexin mediante la segunda derivada

Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexin cuando

Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes

-

- - + - + + + - +

La funcin es Cncava hacia arriba en [

] y [

]

La funcin es Cncava hacia abajo en [

]

cambia de concavidad en

entonces existe punto de inflexin cuando

x toma estos valores.

25.

Calculamos la segunda derivada : ( )

=

( )

=

=

=

Establecemos los posibles puntos de inflexin, sus intervalos y la concavidad :

,

82

- + +

+ + - + + + - + -

Observando los resultados de la tabla anterior se concluye:

f es cncava hacia abajo en los intervalos

y (

f es cncava hacia arriba en el intervalo (

.

Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexin cuando

28.

Calculamos los posibles puntos de inflexin mediante la segunda derivada

(

)

(

) (

)

Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexin cuando

(

) (

)

Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes

-

(

)

- - +

(

)

- + +

+ - +


] y [

]


]


entonces existe punto de inflexin

cuando x toma estos valores.

83

En los problemas 35 a 62 determine los intervalos en los que la funcin crece, decrece, es

cncava hacia arriba, es cncava hacia abajo; mximos y mnimos relativos; puntos de inflexin;

simetra y aquellas intersecciones que puedan obtenerse de manera conveniente. Despus

bosqueje la grfica.

55.

Calculamos la primera y segunda derivada

( )

[

] (

) (

)


, ,



0

- - + +

+ + + -

- + + +

+ - + -

(

)

(-

(-

( )

0

84


- es creciente en ( ) y

- es decreciente en ( ) y

- tiene mximo relativo en y

- f tiene mnimo relativo en

Calculamos los posibles puntos de inflexin, intervalos y concavidad con

(

) (

)

,

(

)

+ + -

(

)

- + +

- + -

Observando los resultados de la tabla anterior se concluye:

f es cncava hacia abajo en los intervalos

y (

f es cncava hacia arriba en el intervalo (

.

Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexin cuando

Calculamos los puntos de interseccin:

Si

Si ( ) , ,

Comprobamos la simetra:

; como f es funcin par,

por lo tanto es simtrica respecto al eje Y.

Construimos la grfica

85

56.

Puntos de interseccin

Si

Si

Valores y Puntos crticos

Los valores crticos se calculan con

( )( )

Intervalos donde la funcin es creciente o decreciente

-

0

- - + +

( ) - + + +

( ) - - - +

- + - +

La funcin es decreciente en [

]y [

]

La funcin es creciente en [

]y [

]

Valores mximos y mnimos

Existe valores mnimos relativos en

Existe un valor mximo relativo en

86

Concavidad y puntos de inflexin

Se encuentra la concavidad y un posible punto de inflexin cuando

( )( )

-

( ) - - + ( ) - + +

+ - +


] y [

]


]


entonces existe punto de inflexin

cuando x toma estos valores.

Puntos de inflexin

Si

(

)

(

)

(

)

Si

(

)

(

)

(

)

87

13.4 Prueba de la segunda derivada

Problemas 13.4 Pgina 589. Ejercicios: 12, 14

Realice la prueba para mximos y mnimos en los problemas 1 a 14. En caso de ser posible, use

la prueba de la segunda derivada. En los problemas 1 a 4, establezca si los extremos relativos

son tambin extremos absolutos

12.

Calculamos la primera derivada

Calculamos los valores extremos mediante

Calculamos la segunda derivada

Comprobamos el signo de en los valores extremos.

(

) (

) Existe un mximo relativo cuando

(

) (

) Existe un mnimo relativo cuando

14.

Calculamos la primera derivada:

Hallamos valores extremos:

Calculamos la segunda derivada:

Aplicamos el criterio de la segunda derivada: Mnimo relativo

cuando

Mximo relativo cuando

13.6 Aplicacin de Mximos y mnimos


En esta serie de problemas, a menos que se especifique otra cosa, p es el precio por unidad y q

la produccin por unidad de tiempo. Los costos fijos se refieren a costos que permanecen

constantes bajo todo nivel de produccin en un perodo dado (un ejemplo es la renta)

88

5. Costo promedio. Un fabricante determina que el costo total, c, de producir un artculo est

dado por la funcin de costo . Para qu nivel de produccin ser

mnimo el costo promedio por unidad?

Determinamos el costo promedio por unidad:

Calculamos la derivada del costo por unidad para determinar valores extremos:

,

El nico valor ser ya que el nmero de unidades producidas no puede ser

negativo.

Calculamos la segunda derivada para determinar valores mximos o mnimos.

Si

es mnimo cuando se producen 100 unidades.

13. Utilidad. Para el producto de un monopolista la ecuacin de demanda es y la

funcin de costo promedio es

. Encuentre el precio que maximiza la utilidad.

Calculamos el costo total: (

)

Calculamos la funcin de utilidad:

Utilidad = ingreso total- costo total

Calculamos la derivada de la utilidad:

Los valores extremos se presentan cuando

Mediante la segunda derivada establecemos si se trata de valor mximo o mnimo.

es un valor mximo.

Calculamos el precio que maximiza la utilidad:

16. Costo: Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en

dlares por unidad) est dado por

. Donde .

(a) A que nivel dentro del intervalo [ ] debe fijarse la produccin para minimizar el costo

total? Cul es el costo total mnimo?

Calculamos el costo total y su derivada para encontrar valores extremos:

(

)

luego, aplicando la frmula cuadrtica:

89

o tambien

Evaluamos para los valores calculados de , dentro del intervalo [ ]

Se observa que el costo mnimo ocurre cuando

(b) Si la produccin tuviese que encontrarse dentro del intervalo [ ], Qu valor de

minimizara el costo total?

Comprobamos para los valores dentro del intervalo [ ], por ejemplo:

La produccin sigue siendo mnima cuando la produccin es de 10 unidades.

20. Utilidad. Un fabricante de un producto encuentra que para las primeras 600 unidades que

produce y vende, la utilidad es de $40 por unidad. La utilidad por cada unidad producida ms

all de 600 disminuye en $0.05 por cada unidad adicional producida. Por ejemplo, la utilidad

total cuando produce y vende 602 unidades es 600(40)+2(39.90).qu nivel de produccin

maximizara la utilidad?

Establecemos la utilidad(U) como funcin del nmero de unidades producidas(q):

Utilidad por los 600 unidades: 600(40)=24000

Utilidad adicional: (40-0.5q)q

Calculamos la primera derivada para calcular valores extremos:

Utilizamos el criterio de la segunda derivada para verificar si el valor obtenido es mximo o

mnimo:

se tiene una utilidad mxima cuando

Por ltimo, el nmero total de unidades ser 600+400=1000

90

CAPTULO 14 INTEGRACIN

14.1 Diferenciales


En los problemas 1 a 10, encuentre la diferencial de la funcin en trminos de x y dx.

4.

10.

Expresamos la funcin en forma ms conveniente:

Calculamos la derivada:

37. Utilidad Suponga que la utilidad (en dlares) al producir unidades de un producto es

. Por medio de diferenciales, encuentre el cambio aproximado en la

utilidad, si el nivel de produccin cambia de a . Encuentre el cambio verdadero.

Calculamos el cambio aproximado si , ,

Por definicin se tiene:

Luego, para , ( )

Calculamos el cambio verdadero

38. Ingreso. Dada la funcin de ingreso . Use diferenciales para

encontrar el cambio aproximado en el ingreso, si el nmero de unidades se incrementa de q=40

a q=41. Encuentre el cambio verdadero.

Cambio aproximado

Si

91

Cuando ,

Cambio verdadero

14.2 La integral indefinida

Problemas 14.2 Pginas 628-629. Ejercicios: 9, 15, 22, 33, 37, 39, 41, 49.

En los problemas 1 a 52, encuentre las integrales indefinidas.

9.

15. ( )

( )

22. (

)

(

)

33.

92

(

)

37.

39. (

)

(

) = (

)

41. ( )

=

=

=

49.

(

)

(

)

93

14.3 Integracin con condiciones iniciales

Problemas 14.3 Pgina 633. Ejercicios: 5, 7, 10, 12, 14, 15

En los problemas 5 a 8, encuentre y sujeta a las condiciones dadas

5.

Calculamos la primera derivada integrando la funcin , as:

Calculamos el valor de la constante :

Si

Luego,

Calculamos la funcin integrando la funcin :

Calculamos el valor de la constante :

Si

Luego,

7. , , ,

Como

Luego se tiene:

Como

Luego se tiene:

94

Como

As resulta

En los problemas 9 a 12 , dr/dq es una funcin de ingreso marginal, encuentre la funcin de

demanda.

10.

Funcin de ingreso

Si luego, la funcin de ingreso es:

Funcin de demanda

Si

12.

Calculamos la funcin de ingreso a partir del ingreso marginal

Calculamos el valor de la constante , asignando la condicin inicial , es decir el

ingreso de unidades es .

Si

Calculamos la funcin de demanda a partir de la funcin de ingreso, as:

En los problemas 13 a 16,

es una funcin de costo marginal y los costos fijos estn indicados

entre llaves. Para los problemas 13 y 14, encuentre la funcin de costo total. En los problemas

15 y 16 encuentre el costo total para el valor indicado de q.

14.

95

Funcin de Costo marginal

Funcin de costo total

Si entonces

.

15.

[ ]

Calculamos la funcin de costo a partir del costo marginal :

Calculamos el valor de la constante C1 con la condicin inicial (costo fijo)

Luego,

Calculamos el costo total si

14.4 Ms frmulas de integracin

Problemas 14.4 Pginas 639-640. Ejercicios: 14, 26, 34, 44, 49, 52, 57 68

En los problemas 1 a 80, encuentre las integrales indefinidas

14.

[ ]

96

26.

[ ]

| | [ ]

34.

(

)

[ ]

| |

44.

49.

[ ]

| |

52.

[ ]

57. ( )( )

( )( )

[ ]

97

68 [ ( )

]

[

]

( )

| |

| |

14.7 Teorema fundamental del clculo integral


En los problemas 1 a 43, evale la integral definida.

13.

|

|

15. (

)

|

20.

|

25.

[

]

[

]

[ ]

98

Expresando en forma exponencial:

Sea

(

)

[

]

[

]

[

]

Reemplazando

[

]

37. ( )

(

) |

(

) (

)

99

14.9 rea


En los problemas 1 a 34, use una integral definida para encontrar el rea de la regin limitada

por la curva, el eje x y las lneas dadas. En cada caso, primero haga el bosquejo de la regin.

Tenga cuidado con las reas de las regiones que estn debajo del eje x.

|

10.

(

)|

12.

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

100

18.

|

(

) |

24.

rea =

(

)|

26.

(

)|

(

)

101

14.10 rea entre curvas

Problemas 14.10 Pginas 673-675. Ejercicios: 9, 10, 13, 14, 21, 24, 29

En los problemas 9 a 32, encuentre el rea de la regin limitada por las grficas de las

ecuaciones dadas. Asegrese de encontrar los puntos de interseccin requeridos. Considere si el

uso de franjas horizontales hace ms sencilla la integral que el uso de franjas verticales

9.

Calculamos los puntos de interseccin:

,

Realizamos un bosquejo de la grfica y calculamos el rea

(

)|

(

)

10.

Graficamos las ecuaciones:

102

Calculamos la interseccin de las dos rectas

Calculamos el rea mediante franjas verticales:

|

(

) |

[

] [(

)

)

13.

Calculamos las intersecciones:

Realizamos un bosquejo de las grficas y calculamos el rea:

rea

[ ]

(

) |

(

) (

)

103

14.

Graficamos la

ejercicios de matemática aplicada a la administración y economía

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