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MMAATTEEMMTTIICCAASS AAPPLLIICCAADDAASS CCCC.. SSSS.. IIII

Antonio Lpez Garca Angeles Jurez Martn Juan Fernndez Maese

LGEBRA 3

ndice Temtico

CAPTULO 1: MATRICES...................................................................................................... 5

1. 1.- MATRIZ. .............................................................................................................................. 5

1.2.- GRAFOS Y MATRICES....................................................................................................... 8

1.3.- OPERACIONES CON MATRICES.................................................................................... 10

1.4.- RANGO DE UNA MATRIZ ............................................................................................... 16

1. 4.- INVERSA DE UNA MATRIZ ........................................................................................... 18

1.5.- EJERCICIOS DEL TEMA .................................................................................................. 23

CAPTULO 2: DETERMINANTES ...................................................................................... 27

2. 1.- DETERMINANTES ........................................................................................................... 27

2.2.- RANGO DE UNA MATRIZ ............................................................................................... 31

2. 3.- INVERSA DE UNA MATRIZ ........................................................................................... 34

2.4.- ACTIVIDADES DEL TEMA.............................................................................................. 41

CAPTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES ................................................................... 45

3.1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...................................................................... 45

3.2.- CLASIFICACIN DE UN SISTEMA ................................................................................ 49

3.3.- MTODO DE CRAMER .................................................................................................... 53

3.4.- MTODO DE GAUSS ........................................................................................................ 60

3.5.- EJERCICIOS DEL TEMA .................................................................................................. 65

CAPTULO 4: PROGRAMACIN LINEAL....................................................................... 70

4.1.- SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES.................................................................. 70

4.2.- PROGRAMACIN LINEAL.............................................................................................. 73

4.3.- RESOLUCIN DE PROBLEMAS. .................................................................................... 80

4.4.- EJERCICIOS DEL TEMA .................................................................................................. 91

CAPTULO 1:

MATRICES 1. 1.- MATRIZ.

1.- Definiciones Una matriz es un conjunto de nmeros ordenado en forma de tabla de doble entrada, de la

siguiente forma. Se designan con letras maysculas A, B,.. Z.

A = = (a

mnm2m1

1n1211

a...aa

.............

a...aa

ij), i = 1,2,.., m, j = 1,2,..,n

Trmino es cada uno de los nmeros de la tabla. Fila es el conjunto de trminos con igual subndice i. Columna es el conjunto de trminos con igual subndice j. Dimensin de la matriz es el producto del nmero de filas por el de columnas (m x n). Orden de una matriz cuadrada es el nmero de trminos de una fila o columna.

2.- Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si los son todos y cada uno de sus trminos, es decir si tiene la misma dimensin y los trminos que ocupan el mismo lugar son iguales.

3.- Tipos de matrices

Matriz fila es la que nicamente tiene una fila. Matriz columna es la que nicamente tiene

una columna.

( )101

21

Matriz cuadrada, A, es la que tiene igual nmero de filas que de columnas. El conjunto de

trminos en que coinciden el nmero de fila y de columna forman la diagonal principal.

A =

521214321

Matriz traspuesta, At, es la que se obtiene cambiando filas por columnas.

A = A

521214321

t =

523212141

Matriz simtrica es la matriz cuadrada que cumple At = A. Matriz antisimtrica es la

matriz cuadrada que cumple At = -A.

123212321

023202320

LGEBRA 5

Matriz nula es aquella cuyos trminos son nulos.

000000000

Matriz diagonal es la matriz cuadrada cuyos trminos distintos de la diagonal principal son

nulos. Matriz escalar es una matriz diagonal cuyos trminos no nulos son coincidentes. Matriz unidad es la matriz escalar cuyos trminos no nulos son la unidad.

300020001

200020002

100010001

Matriz triangular: Es la matriz cuadrada en que todos los trminos situados por encima o

por debajo de la diagonal principal son nulos. Puede ser superior o inferior:

100110211

112013001

EJEMPLOS 1.- Averigua si son iguales las siguientes matrices

A =

1)+1)(2-(236-

9+ 12 +4 4- 5 22

, B =

1-22-

54)-4)(5+(5

2

2

Resolucin:

Son iguales ya que desarrollando las operaciones A = B =

32-

25 9

2.- Averigua si las siguientes matrices son matriz fila, matriz columna o matriz cuadrada.

A = , B =

321

( )321 , C = , D =

3010

113206

42210

E = , F = , G =

30103

11322061

21 ( )01101 H =

301

Resolucin: Son matrices fila B y G, matrices columna A y H y matrices cuadradas D y E. 3.- Averigua cules de las siguientes matrices son matrices traspuestas.

A = , B =

321

( )321 , C = ,

3010

113206

D = , E = , F =

30120

10136

101011101

101001101

LGEBRA 6

Resolucin: Son matrices traspuestas los pares A y B, C y D. 4.- De las siguientes matrices enuncia cules son simtricas y cuales no.

A = , B = , C = , D =

101011101

101010101

1221

1211

Resolucin: Son matrices simtricas B y C y no son matrices simtricas A y D. 5.- Tres familias van a una heladera. La primera familia pide dos helados grandes, uno mediano y uno pequeo; la segunda familia pide uno grande, dos medianos y dos pequeo y la tercera familia pide dos grandes y tres pequeos. Escribe una matriz 3x3 que exprese el nmero de helados que pide cada familia. Resolucin:

A =

3 022 21112

321

PMG

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Averigua si son iguales las siguientes matrices

A = , B =

1)+1)(3-(31-

9+7 2- 5 22

+ 1-312-

42)-2)(5+(5

2

2

Solucin: Son iguales 2.- Averigua cules de las siguientes matrices son pares de matrices traspuestas.

A = , B = , C = , D =

3010

13106

30110

1036

101001101

101001101

Solucin: Son matrices traspuestas el par A y B, C y D. 3.- De las siguientes matrices enuncia cules son simtricas y cuales no.

A = , B = , C = , D =

101000101

101010101

121-1

1221

Solucin: No son matrices simtricas B y C. Son matrices simtricas A y D. 4.- Averigua la dimensin de las siguientes matrices:

A = , B = , C =

30103

11322061

21 ( )01101 D =

301

Solucin: dim(A) = 3x2, dim(B) = 2x1, dim(C) = 1x4, dim(C) = 3x1

LGEBRA 7

1.2.- GRAFOS Y MATRICES

1.- Grafo

Grafo es una representacin grfica formada por un conjunto de nodos unidos mediante lneas que se denominan ramas. Los grafos se utilizan para analizar las relaciones existentes entre individuos o poblaciones. 2.- Matriz de relacin Una matriz es de relacin, comunicacin o conectiva cuando describe las relaciones existentes entre individuos o poblaciones.

0001001101011110

Los valores de los elementos de la matriz indican el nmero de caminos o relaciones. Si el valor es 0 no existe relacin, si es mayor si existe. EJEMPLOS 1.- La siguiente tabla indica las distancias en kilmetros existentes entre cuatro poblaciones A, B, C y D.

A B C D A 0 14 9 0 B 14 0 18 14 C 9 18 0 0 D 0 14 0 0

Indica mediante un grafo y una matriz de relacin las conexiones existentes entre dichos pueblos. Resolucin: El grafo es el dado por la figura adjunta. La matriz de relacin debe indicar por lo tanto con un 1 que existe carretera desde A hasta B y con un cero que no la hay desde A hasta D y as sucesivamente hasta obtener:

0001001101011110

2.- Las direcciones que pueden seguir los vehculos entre cuatro cruces de una ciudad vienen dadas por el grafo de la figura. Indica mediante una matriz de relacin las relaciones de trfico existentes.

LGEBRA 8

Resolucin: La matriz de relacin indica con un 1 que existe sentido de circulacin desde A hasta B y con un cero que no la hay desde A hasta D y por lo tanto obtenemos:

0110100001010110

3. La matriz de relacin que nos da los caminos existentes entre 3 localidades A, B y C es la siguiente:

012101210

Indica las relaciones existentes ente las localidades mediante un nmero en un grafo. Resolucin: Es el grafo de la figura adjunta.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- La siguiente tabla indica las distancias en kilmetros existentes en