ejercicios de algebra: manual

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CONTENIDO

UNIDAD 1. LENGUAJE ALGEBRAICO

1.1 Expresiones algebraicas

1.2 Operaciones fundamentales

UNIDAD 2. ECUACIONES

2.1 Ecuaciones lineales

2.2 Sistema de ecuaciones lineales

2.3 Ecuaciones cuadráticas

UNIDAD 1. LENGUAJE ALGEBRAICO.

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LENGUAJE COMÚN Y LENGUAJE ALGEBRAICO.

Los problemas están escritos en el lenguaje que utilizamos en forma ordinaria, es necesario saber convertir una expresión dada en el lenguaje común a una expresión algebraica. Si empre debes tener presente que la expresión matemática no tiene una forma única, pues depende de cómo interprete el problema cada persona.

Ejemplo:

Si decimos(lenguaje común)

Pensamos en(lenguaje algebraico)

Un numero cualquiera x, y, z

La suma de dos números cualesquiera x + y, m + n, etc.

Pedro tiene 10 años más que Luis(si Luis tiene x años) x + 10

Actividad de aprendizaje.

Resuelve los siguientes ejercicios de lenguaje común y lenguaje algebraico.

1. La mitad de un número cualquiera.

2. El producto de dos números cualesquiera es 56.

3. La suma de tres números diferentes.

4. La diferencia entre dos números cualesquiera es 10.

5. Una torta vale el doble que un refresco.

6. Pedro tiene 5 años más que juan.

7. El diámetro del planeta Urano es 10 veces el de Mercurio.

8. La velocidad de un avión es 5 veces la velocidad de un automóvil.

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Actividad de aprendizaje.

1) Traza un plano del terreno de tu casa, utilizando un tipo de medida, (codo, zancada, nudo, etc.)

2) En el plano anota las medidas, según el sistema de medición que utilizaste.

3) Elabora un cuadro donde se represente las dimensiones de tu casa, según las dimensiones que utilizaste.

4) Traduce las dimensiones que utilizaste, a metros.

5) En plenaria, presenta la información obtenida.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Elementos de una expresión algebraica.

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Coeficiente

Signo - 3 x2 Exponente

Literal

Coeficiente: indica las veces que se repite la potencia como sumando.

Exponente: indica las veces que la base de la potencia se repite como factor.

Signo: indica que un término es positivo, si va precedido de un signo +, el termino es negativo si lo procede el signo -.

Pate literal: Está formada por las letras o símbolos que aparecen en el término con sus exponentes correspondientes.

GRADO DE UN TÉRMINO.

Grado: El grado de un término está dado por los exponentes de sus literales y pueden ser absoluto o en relación con una letra.

Grado absoluto: es la suma de los exponentes de sus factores literales.

Grado en relación de una letra: es el exponente de dicha letra.

Ejemplo:

Termino Signo Coeficiente Parte literal Grado absoluto

Grado de cada letra

2x4y2 + 2 x4y2 6 x grado 4y grado 2

-12m3n - 12 m3n 4 m grado 3n grado 1

Actividades de aprendizaje.

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De acuerdo con el término indicado, completa la siguiente tabla.

Termino Signo Coeficiente Literal Grado absoluto

Grado de cada letra

4 x3y2

-15b2c5

-m4n2

34xy5

25 w5x3y2

4 abc4

9 m3n3

- 3 a2bc5

+ 9x grado 1y grado 5z grado 3

- 5 mn3

Términos semejantes con signo distinto

Términos semejantes con signo distinto

Dos términos semejantes con signo distinto

Dos términos semejantes con signo distinto

Varios términos con signo distinto

Varios términos con signo distinto

Se restan los coeficientes y se coloca el signo del mayor

Se restan los coeficientes y se coloca el signo del mayor

Se suman los coeficientes del mismo signo y se procede como en el caso anterior

Se suman los coeficientes del mismo signo y se procede como en el caso anterior

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Ejemplo:

15 m2n3 - 8 m2n3 = 7 m2n3


Reduce las siguientes expresiones algebraicas, que a continuación se te presenta.

1) 5ab + 3ab =

2) -9xy2z4 - 12 xy2z4 + 4 xy2z4 =

3) 3xy + 18xy – 13xy =

4) 2n + 3mn2 – 5m2n3 + 8mn – 5n + 6mn2 -12 m2n3 + n – 7 =

5) c3 + 3 – 8a + b2 -5c3 + a – 4b2 + 2c3 + 5 =

OPERACIONES FUNDAMENTALES.

De la misma manera que en aritmética podemos realizar operaciones como adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones,

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potenciaciones y radicaciones, en algebra también es posible realizar estas operaciones.

Adición de polinomios.

Ejemplo.

Suma los polinomios (4x + 3y – 8z) y (7x – 8y + 5z)

Procedimiento:

Se acomodan las columnas por semejanza de términos.

4x + 3y – 8z

7x – 8y + 5z

Si dos o más términos tienen signos iguales, se suman los coeficientes y se anota el signo que tenga el resultado.

Si los términos tienen signo diferente, se hace la resta y se escribe el signo del término cuyo coeficiente tenga mayor valor absoluto.

4x + 3y – 8z

7x – 8y + 5z

11x – 5y – 3z


Realiza la adición de los siguientes polinomios.

1. (3x2y – 2x + 5) + (5 x2y – 8x – 9)

2. (3x3y + 2x2y2 – 8xy3) + (-9 x3y - 7 x2y2 - 2 xy3)

3. (24x – 13x3 + 9x2 + 7) + (36x2 + 17x3 – 18x – 35)

4. (0.4x3 – 0.7x2 + 0.5x) + (- 0.8x3 – 0.9x2 – 0.8x)

Sustracción de polinomios.

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Para restar polinomios se sigue los mismos procedimientos que en la suma, solo debemos tener presente que hay que cambiar de signo al sustraendo.

Ejemplo:

(3x2 – 8x + 5) menos (7x2 + 3x + 9)

Cuando la sustracción se realiza con polinomios, el cambio de signo se hace a todos los términos del sustraendo.

(3x2 – 8x + 5) - (7x2 + 3x + 9) Se escribe el signo – antes del sustraendo.

= 3x2 – 8x + 5 - 7x2 - 3x - 9 Se cambian los signos del sustraendo.

= 4x2 – 11x - 4


Realiza la sustracción de los siguientes polinomios.

1. (8a – 5b + c – 3) – (7a – 10b + 4c +1)

2. (5mn2 – 14m2n + 17m3) – (8 mn2 – 6m2n – 12m3)

3. (7x2 – 3xy – 2y2) – (9x2 + 2xy + 4y2)

4. (p – q – 6r + 8s) – (5p – 4q + 3s – 8)

5. (- 6m2 – 8n2 + 5mn) - (- 2m2 + 5n2)

Multiplicación de polinomios.

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Ejemplo.

Multiplica: 5x3 + 7x2 – 9x por 4x2

Se hacen tres multiplicaciones de monomios (cada uno de los términos del polinomio se multiplican por el monomio 4x2

(5x3) (4x2) = 20x5

(7x2) (4x2) = 28x4

(- 9x) (4x2) = - 36x3

El resultado de esta operación es:

(5x3 + 7x2 – 9x) (4x2) = 20x5 + 28x4 - 36x3


Realiza la multiplicación de los siguientes polinomios.

1. (- 4x2 + 3x- 6) (3x)

2. (3xyz – 3x3y2) (- 2xy3)

3. (x2 – 7x + 49) (x + 7)

4. (6a3 – 2a2 + a – 8) (a2 – 2a)

5. (m + n – p ) (m - n + p )

6. (4y + 3) ( y2 + 6y – 3)

División de polinomios

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Para dividir un polinomio entre otro polinomio se sigue el siguiente procedimiento.

1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

2. Se hace la multiplicación del cociente obtenido en el paso 1 por cada término del divisor, y el resultado se resta del dividendo, por lo que se debe cambiar los signos al producto obtenido.

3. El primer término de la resta obtenida el paso 2 se divide entre el primer término del divisor, y se repite este paso. La división termina cuando el exponente del primer término de la resta es menor que el exponente del primer término del divisor.


Resuelve las siguientes divisiones de polinomios.

1. m2 – 12m + 32 entre m – 8

2. h2 – h – 56 entre h + 7

3. x3 + 27 entre x + 3

4. 20x3 – 26x2 + 43x – 28 entre 5x + 4

5. 5a2 + 8ab – 21b2 entre a + 3b

6. 2x4 – x3 + 7x – 3 entre 2x + 3

UNIDAD II. ECUACIONES.

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Ecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

Ejemplo.

Resuelve la siguiente ecuación. 5x + 9 = 39

Restamos 9 a ambos miembros

5x + 9 = 39

5x + 9 – 9 = 39 – 9

5x = 30

Dividimos los dos miembros entre 5.

5x / 5 = 30 / 5

Resultado: x = 6

Ejercicios de aprendizaje.

Resuelve las siguientes ecuaciones, encontrando el valor de la incógnita para cada ecuación.

1. 5x +4 = 11

2. 7x + 2 = 5x + 10

3. 6 + 4(x-10) = 6(4x – 22) – 4

4. 4x – 12 = 0

5. 2 – 3x = 10 + x

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (O DE PRIMER GRADO) DOS INCÓGNITAS.

Es sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones interrelacionadas, en el sentido de que deben convertirse en identidades para los mismos valores de las incógnitas.

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Los métodos más utilizados para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas son:

Método de suma y resta (reducción).

Método de sustitución.

Método de igualación.

Resolución por el método de suma y resta.

Este método recibe el nombre también de método de reducción o eliminación y consiste en eliminar una variable sumando las ecuaciones originales o sus equivalentes; para ello es necesario que la misma variable tenga en ambas ecuaciones coeficientes inversos.

Ejemplo:

2x + y = 53x + 4y = 10

Primero multiplicamos ambos miembros de la primera ecuación por 4:

4 (2x + y) = 4 (5)3x + 4y = 10

Quedando:

8x + 4y = 203x + 4y = 10

Luego, una vez que los coeficientes de y son iguales en ambas ecuaciones, se multiplican los miembros de una de ellas por –1:

8x + 4y = 20-1(3x + 4y) = -1(10)

0bteniendo:

Ecuaciones

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8x + 4y = 20-3x - 4y = -10

Ahora se suman ambas ecuaciones miembro a miembro, obteniéndose.

8x + 4y = 20-3x - 4y = -10

5x + 0 = 10

Se resuelve la ecuación que se obtiene con una incógnita:

5x = 10

x = 2

Conociendo el valor de una de las incógnitas, se sustituye este valor en una de las ecuaciones originales.

2x + y = 5

2(2) + y = 54 + y = 5y = 5 – 4

y = 1


Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de suma y resta.

2x + 9y = 8

3x + 10y = 5

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Resolución por el método de sustitución.

El método de sustitución consiste en lo siguiente:

Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

Sustituir ese valor en la otra ecuación.

Una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, se sustituye en una de las ecuaciones y se resuelve esta.

Ejemplo:

3x + 3y = -3

4x + y = 5

6a = 3b + 6

8a – 5 = 7b – 9

14x - 11y = -29

13x - 8y = 30

x - 6y = 27

7x - 3y = 9

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Despejar x en la segunda ecuación.

x = 17 – 3y

Se sustituye este valor de x en términos de y en la primera ecuación:

3x + 2y = 23

3 (17 – 3y) + 2y = 23

La ecuación queda con una solo incógnita. Se procede a resolverlo.

3 (17 – 3y) + 2y = 23

51 – 9y + 2y = 23

– 9y + 2y = 23 – 51

– 7y = - 28

y = 4

Se sustituye el valor de y = 4 en la segunda ecuación, y se resuelve.

x + 3y = 17x + 3(4) = 17x + 12 = 17x = 17 – 12

x = 5


Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución.

3x + 2y = 23

x + 3y = 17

x - 2y = 7

3x + y = 35

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ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO.

Una ecuación cuadrática es aquella en la que el mayor exponente de la incógnita es 2, por lo que también se conoce como ecuación de segundo grado. Su fórmula general es.

ax2 + bx + c = 0

Los métodos más utilizados para solución de sistemas de ecuaciones cuadráticas son:

Solución por factorización.

2x + 2y = - 6

x – 3y = 5

8x - 4y = 52

7x + 4y = 53

5x + 8y = - 39

3x + 5y = - 24

2x - y = 13

3x + 7y = 62

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Completando el trinomio cuadrado perfecto.

Formula general.

Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización.

También conocida como factor común, ya que ambos términos tiene la misma variable. El método consiste en factorizar la ecuación e igualar a cero cada factor, procediendo a resolver las ecuaciones obtenidas.


Resuelve por el método de factorización las siguientes ecuaciones.

1. 6x2 + 4x = 0

2. x2 – 7x = 0

3. x2 – 2x – 3 = 0

4. x2 + x – 6 = 0

5. 3x2 + 10x – 8 = 0

Completando el trinomio cuadrado perfecto.

Para este método se sigue los siguientes pasos:

1. Despeja los términos consistentes.

2. Divide cada término de la ecuación entre el coeficiente numérico de x2 (si existe).

3. Suma en ambos miembros de la ecuación el cuadrado de la mitad del coeficiente numérico de x.

4. Factoriza el primer miembro y simplifica el segundo miembro.

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5. Despeja la variable en cuestión y toma dos raíces, una con el valor positivo del radical del segundo miembro y otra con el valor negativo.


Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mediante competición de un trinomio cuadrado perfecto.

1. x2 + 8x + 12 = 0

2. x2 + 2x – 8 = 0

3. x2 - 8x + 12 = 0

4. x2 – 10x + 24 = 0

5. x2 - 2x – 35 = 0

Bibliografía.

1. Báez, Beatriz Eugenia; Martin, Luis. (2012). Algebra. 3ª edición. México. Book Mark.

2. Acosta, Raymundo. (2006). Algebra 1ª edición. México. DGETI.

3. Ibáñez, patricia; García Gerardo. (2010). Matemáticas 1. 2ª edición. México. CENGAGE.

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