Curso 2009–10 ECUACIONES DIFERENCIALES I Grupos A, B y D

Hoja 1.

1.1. Integrar las ecuaciones siguientes:

a/ .5x C 2y � 3/y0 D 9 � 12x � 5yI b/ y0 D ex�y I c/ y0 D y C sen xI d/ y0 D cos x � y � y2 senxcos2 x

I

e/ y0 D 2xy�y2

x2 I f/ y0 D xC2yxI g/ y0 D y

xCy3 I h/ y0 D x C xyI i/ y0 D 1 � 2

xCyI j/ .y0/2 D 9y4:

1.2. Hallar un factor integrante de la forma �.x C y2/ para la ecuación 3y2 � x C 2y.y2 � 3x/dy

dxD 0.

1.3. Calcular los polinomios de primer grado que son solución de la ecuación: y0�y2Cx.x�2/ D 0. Escribirla solución general de la ecuación en términos de una integral.

1.4. a) Comprobar que una ecuación de la forma y0 D xn�1f .y C axn/ se convierte en una de variablesseparadas haciendo el cambio ´ D y C axn. b) Hallar la solución general de y0 D 2x.y C x2/2.

1.5. Integrar mediante cambios de variables: dydxD f

�a1xCb1yCc1

a2xCb2yCc2

�. Resolver en particular dy

dxD

xC2yC2�2xCyC6

.

1.6. Estudiar existencia y unicidad, resolver si se puede y dibujar las curvas integrales:

a/ y0 D .x � 4y/�2I b/ y0 D x � 1yI c/ y0 D y�y2

xI d/ y0 D 3xyC2y2

x2CxyI e/ y0 D 1 � y�2I

f/ y0 D x2 C y2I g/ y0 D x2 � y2I h/ y0 D x � jyjI i/ y0 D cos.x�y/I j/ y0 D y � .2C2 cos x/y2I

k/ y0 D xy� xyI l/ y0 D y2

x2 � 2I m/ y0 DpxyI n/ y0 D 1C y2=3I ñ) y0 D y2 � ay3I o/ y0 D 2xy

ay2�x2 :

1.7. Integrar la ecuación diferencial y0 D y yC2x�1xCy

. ¿Cuántas soluciones verifican y.0/ D 0?

1.8. Dibujar aproximadamente las soluciones de y0 Dpy=x y determinar cuántas de ellas satisfacen cada uno

de los siguientes datos iniciales: i) y.�1/ D �1; ii) y.1/ D 0; iii) y.1/ D 1.

1.9. Sea xy0 D y C x sen x. Imponer un dato inicial para el que existan infinitas soluciones y otro para el quehaya solución única.

1.10. Sea y0 D 1C 2y�x

. Hallar su solución general y la ó las soluciones (si existen) que satisfagan y.1/ D �1.Dibujar aproximadamente sus curvas integrales.

1.11. Sea la familia de hipérbolas xy D C . Escribir la ecuación diferencial de la que son curvas integrales.Hallar las trayectorias ortogonales a ellas (las curvas que las cortan perpendicularmente). Resolver el mismoproblema para las circunferencias x2 C y2 D 2Cx y las parábolas y2 C 2Cx D C 2.

1.12. Sea y0 D .y � x C 1/2. Hallar su solución general. Dibujar aproximadamente sus soluciones. Precisarcuántas soluciones satisfacen: i) y.0/ D 0, ii) y.0/ D �2.

1.13. i) Resolver la ecuación xy0 D .1 � x/y C x2. ii) Para todo .x0; y0/ 2 R2, discutir cuántas solucionescumplen la condición inicial y.x0/ D y0. iii) Localizar los puntos del plano en los que y00 D 0.

1.14. Resolver la ecuación de Bernoulli y0 D 3x.y � y2=3/. Precisar cuántas soluciones de la ecuación satisfa-

cen: i) y.�1/ D 1; ii) y.0/ D 1; iii) y.1/ D 0.

1.15. Sea dydxD

y2C2xy

x2C2y2 . Probar que tiene un factor integrante que sólo depende de y. Hallar todas las solucio-nes que sean rectas. Hallar la ó las soluciones (si existen) que satisfacen i) y.1/ D 0, ii) y.1/ D 1.

1.16. Sea y0 D jxj � y. a) Precisar cuántas soluciones satisfacen y.0/ D 0. b) Dibujar aproximadamente sussoluciones. c) Escribir la solución con y.0/ D 1 para todos los valores de x para los que esté definida.

Hoja 2.

2.1. Resolver los problemas de valores iniciales:

a/ Px D��2 1

1 �2

�x; x.0/ D

�1

0

�I b/ Px D

�3 �4

1 �1

�x; x.0/ D

�1

0

�I c/ Px D

0 1 �2

0 0 �1

4 0 �5

!x; x.0/ D

0

0

1

!:

2.2. Hallar la solución general de los sistemas: a) x01 D x1C x2C x3; x02 D 2x1C x2 � x3; x

03 D �x2C x3;

b) x01 D x2 C x3; x02 D x1 C x3; x

03 D x1 C x2; c) x01 D x1; x

02 D x1 C 2x2; x

03 D x1 � x3.

2.3. Hallar la solución de

8<:x0 D x � 4y C 2´

y0 D x � 3y C ´

´0 D x � 2y C 1

con x.0/ D 2 ; y.0/ D ´.0/ D 1, y precisar su estabilidad.

2.4. Escribir las soluciones de las ecuaciones diferenciales:

a/ Rx � x D e2t ; b/ Rx C x D tet cos t; c/ Rx C x D tan t; d/ x000 C 2x00 C 5x0 D 5t; e/ x.4/C 4x D tet cos t;

f/ .t C 1/ Rx � Px D .t C 1/2; g/ t2 Rx � 2x D t3et ; h/ t2 Rx � t .t C 2/ Px C .t C 2/x D 0 :

2.5. Hallar las soluciones de los problemas de valores iniciales siguientes:

a/�x000 C 5x00 C 8x0 C 4x D �8e�2t

x.0/ D 1; x0.0/ D �1; x00.0/ D 9b/

�x00 C x0 D f .t/

x.0/ D �1; x0.0/ D 0; f .t/ D

�t C 1 ; t � 1

3 � t ; t � 1

c/�t3x000 C t2x00 � 2tx0 C 2x D 2t4

x.1/ D x0.1/ D x00.1/ D 0d/

�tx00 � .t C 1/x0 C x D t2et

x.1/ D x0.1/ D 0e/

�x00 C 2tx0 D 2t

x.1/ D x0.1/ D 1

2.6. Sea x000C5x00C4x0C cx D t . Hallar una solución particular para todo valor de la constante real c. Hallarla solución general para c D �10. Discutir la estabilidad de la ecuación según los valores de c.

2.7. Hallar la solución de:

a/

8<:x0 D x � 2y � t

y0 D 2x � 3y � t

x.0/ D y.0/ D 1

b/

8<:x0 D 2x C y

y0 D 3x C 4te3t

x.0/ D y.0/ D 1

c/

8<:x0 D �x � y

y0 D 2x � y

x.0/ D 1; y.0/ D 2

d/

8<:x0 D 2x � y

y0 D x C j2 � t j

x.0/ D 0; y.0/ D �1

2.8. Hallar K.t/ de forma que la solución de�Rx C 2 Px C 2x D f .t/

x.0/ D Px.0/ D 0se escriba x.t/ D

R t0 K.t � s/f .s/ds.

2.9. Sea x000 C 2x00 C .1 C a/x0 C 4a2x D e�t , con a 2 R. i) Para a D 0, hallar la solución que satisfacex.0/ D 0 ; x0.0/ D 0 ; x00.0/ D �1. ii) Hallar una solución particular de la ecuación para todos los valores dea. iii) Precisar para qué valores de a la ecuación es asintóticamente estable.

2.10. Considérese la ecuación u000 C a u00 C 3u0 C 9u D e3x , con a 2 R. i) Hallar su solución general paraa D �5 y para a D 3. ii) Determinar su estabilidad en función del parámetro a.

2.11. Sea y0 D Ay C f .t/ con A D

0B@0 0 1 0

c 0 0 �1

�1 2c 0 0

0 1 2c �2c

1CA, c 2 R, f .t/ D

0B@�t2

0

0

0

1CA, y sea b D

0B@1

0

�2

0

1CA :i) Si c D 0, hallar la matriz fundamental ˚.t/ del sistema homogéneo con ˚.0/ D 1 y la solución del nohomogéneo con y.0/ D b. ii) Hallar los valores de c para los que el sistema es asintóticamente estable.

2.12. Sea

8<:x0 D 4y C ´

y0 D ´ � 4

´0 D a´ � 2x

i) Para a D 5 hallar la solución con x.0/ D �2; y.0/ D 3; ´.0/ D 0.[Ayuda: el sistema tiene una solución constante.]

ii) Discutir la estabilidad del sistema según los valores de la constante a.

Hoja 3.

3.1. Clasificar los puntos singulares de las ecuaciones:

a/ x2y00 C1C x

1 � xy0 C y sen x D 0; b/ xy00 C y0 C y ln jxj D 0; c/ .sen x/y00 C xy0 C 4y D 0 :

3.2. Sea 4t2x00 � 3x D t2. a) Calcular el desarrollo hasta orden 4 en torno a t D 1 de la solución de la

homogénea que cumple x.1/ D 0; x0.1/ D 1. b) Hallar la solución general de la ecuación no homogénea.

3.3. ¿Cuántas soluciones linealmente independientes tiene .x � 1/x2y00 C y D 0 en el intervalo 0 < x < 1?¿Cuántas son de la forma xr

Pn�0

cnxn? ¿Y de la forma .x � 1/r

Pn�0

cn.x � 1/n?

3.4. Resolver x2y00 C xy0 C�x2 � 1

4

�y D 0 mediante una sustitución de la forma y.x/ D x�u.x/.

3.5. Sea 2x2.1C x2/y00 � x.3C 7x2/y0 C 2.1C 2x2/y D 0 . a) Hallar una solución que no sea analítica enx D 0 . b) Calcular la solución general de la ecuación en términos de funciones elementales.

3.6. Calcular una solución analítica en x D 0 de la ecuación x.1� x/y00 C Œ � .1C ˛ C ˇ/x�y0 � ˛ˇy D 0.

3.7. Estudiar las soluciones en el punto x D 0 de la ecuación .1 � x2/y00 � xy0 C p2y D 0, y calcular paraqué valores de p las soluciones son polinomios.

3.8. a) Hallar el desarrollo en serie de potencias de una solución no trivial de xu00 � u0 C 4x3u D 0 que seanule en x D 0 y expresarla en términos de funciones elementales. b) Hallar la solución general de la ecuación.Hacer un cambio de variable independiente de la forma s D xn y comprobar el resultado.

3.9. La ecuación diferencial u00 C 2u0

x� .e�x�1/2u D 0 aparece en el estudio de las vibraciones de una

molécula diatómica. i) Hallar hasta x4 el desarrollo en serie de una de sus soluciones. ii) ¿Están todas lassoluciones acotadas en x D 0?

3.10. Sea x2y00Cxy0C .x� 14/y D 0. a) Hallar el desarrollo de una solución acotada en x D 0. b) Determinar

si hay soluciones linealmente independientes de la anterior de la forma y D xr1PkD0

ckxk .

3.11. Sea .x C 1/2y00 C .x2 � 1/y0 C 2y D 0. Calcular una solución analítica en x D �1 y estudiar si existealguna solución linealmente independiente de la anterior que sea analítica en x D �1.

3.12. Dada .x2 � 1/y00 C xy0 � 4y D 0, calcular una solución analítica en x D 1. ¿Es analítica en x D �1?¿Cuántas soluciones analíticas linealmente independientes hay en el intervalo .�1; 1/?

3.13. Sea x2y00C x2y0C .x � 2/y D 0. Comprobar que y D 1x

es solución. Hallar los tres primeros términosno nulos del desarrollo en serie de una solución que se anule en x D 0.

3.14. Hallar el desarrollo en torno a x D 0 de la solución de .1 � x/.1 � 2x/y00 C 2xy0 � 2y D 0 cony.0/ D y0.0/ D 1. Hallar las raíces del polinomio indicial para cada punto singular regular. Estudiar cuántassoluciones de la ecuación satisfacen y.1/ D 0, y0.1/ D 1.

3.15. Sea 2pxy00 � y0 D 0. Precisar si x D 0 es punto singular regular de la ecuación. Calcular, hasta tercer

orden, el desarrollo en serie en torno a x D 1 de la solución que cumple y.1/ D y0.1/ D 1.

3.16. Sea x.x � 1/y00 C 2.2x � 1/y0 C 2y D 0. Probar que existe una solución analítica en torno a x D 0 ycalcularla. Estudiar si todas las soluciones de la ecuación tienden a 0 cuando x !1.

3.17. Hallar una solución no nula de la ecuación 2x2 y00C x.xC 1/y0 � .2xC 1/y D 0 que sea analítica enx D 0. ¿Están acotadas todas las soluciones de dicha ecuación en un entorno del origen?

3.18. Sea xy00 C .1 � x2/y0 C pxy D 0. Precisar, resolviendo por series en torno a x D 0, todos los valoresde la constante p para los que hay soluciones polinómicas y escribir uno de estos polinomios para p D 4.

Hoja 4.

4.1. Representar en el plano de fases las órbitas de los siguientes sistemas lineales:

a/ Px D x C y; Py D x � y I b/ Px D x C y; Py D y � x I c/ Px D y; Py D �x C 1 :

4.2. Dibujar el mapa de fases de los sistemas:

a/ Px D y.x C 1/; Py D x.1C y3/I b/ Px D 4x � 2y; Py D 2x � xyI c/ Px D yex; Py D ex � 1I

d/ Px D 1 � x C 3y; Py D x C y � 1I e/ Px D y � 2xy; Py D y2 � 2xI f/ Px D x2 � 2xy; Py D y2 � 2xy

4.3. Dibujar el mapa de fases de las ecuaciones: a/ Rx D �4 Px� 4x I b/ Rx D x�x3 I c/ Rx D .1�x2/ Px�x :

4.4. Estudiar, usando coordenadas polares, los sistemas:

a/ Px D y C x.1�x2�y2/; Py D �x C y.1�x2�y2/ I b/ Px D y C xqx2Cy2; Py D �x C y

qx2Cy2 :

4.5. Clasificar los puntos críticos de los sistemas: a/ Px D x3 � y; Py D xC y3 I b/ Px D x2 � y; Py D xey .

4.6. Sea el sistema Px D x � x2y; Py D y � x3. Hallar sus órbitas, localizar todas las órbitas que sean rectas ydibujar el mapa de fases.

4.7. Sean los sistemas: a) Px D seny, Py D sen x; b) Px D 2xy, Py D 1�x2Cy2; c) Px D xC2xy, Py D y2�1.Dibujar su mapa de fases y estudiar qué soluciones están definidas para todo t 2 R.

4.8. Sea (S) x0 D 4xC2y, y0 D xC5y. Dibujar el mapa de fases de (S). Hallar la solución de (S) que satisfacex.0/ D 2; y.0/ D �1. Hallar la expresión de las órbitas de (S).

4.9. Sea el sistema Px D 1C y � x2, Py D 2xy. Clasificar sus puntos críticos, resolver la ecuación diferencialde las órbitas y dibujar aproximadamente su mapa de fases.

4.10. Sea x00 D .x0/2 � x. Hallar sus órbitas, dibujar el mapa de fases y hallar la solución de la ecuación quecumple x.2/ D 1=2, x0.2/ D 1.

4.11. Clasificar, según los valores de a, los puntos críticos de x00 D sen.axCx0/, a > 0. Dibujar el mapa defases para a D 2.

4.12. Una partícula se mueve por el eje x según Rx D �x.x2C 9/�2. Dibujar e interpretar el mapa de fases. Sila partícula pasa por el origen con velocidad v D 1=3, ¿qué velocidad tiene cuando pasa por x D 4? ¿Cuántotiempo tarda en llegar a x D 4?

4.13. Sea x00 D .ax � x0/.2C x0/. a) Clasificar sus puntos críticos elementales según los valores de a. b) Paraa D 3=2, dibujar el mapa de fases y hallar la solución x.t/ con x.1/ D 0; x0.1/ D �2.

4.14. Clasificar, en función de los valores de k � 0, los puntos críticos de Rx D 1 � x2 � k Px. Dibujar el mapade fases para k D 0, k D 1 y k D 3 y dar una interpretación física de las órbitas.

4.15. Dibujar el mapa de fases de Rx D x.1�x� Px/. Si x0.t/ es la solución que cumple x0.1/ D 2, Px0.1/ D 0,hallar el lim

t!1x0.t/.

4.16. Sea Px D x , Py D 2y � y2 C x4. Hallar la expresión de sus órbitas y dibujar su mapa de fases. [Ayuda:y D ˙x2 son soluciones de la ecuación de las órbitas].

Soluciones hoja 1.

1.1. a/ y2 C 6x2 C 5xy � 3y � 9x D C; b/ y D log.C C ex/; c/ y D Cex � 12.sen x C cos x/;

d/ y D cos x C 2 cos2 xCex�cosx�senx ; e/ y D x2

CCx; f/ y D Cx2 � x; g/ x � Cy � 1

2y3 D 0;

h/ y � 12x2 � log j1C yj D C; i/ y � x C log jx C y � 1j D C; j/ y D 1

C˙3x.

1.2. �.x C y2/ D 1.xCy2/3

. Solución: x�y2

.xCy2/2D C .

1.3. yp.x/ D x � 1 ; y.x/ D x � 1C ex2�2x

k�R xes2�2sds

.

1.4. a)R

d´f .´/Cna

D1nxn C C; b) y D tan.x2 C C/ � x2.

1.5. Si c1 D c2 D 0; ´ D y=x; si c21 C c22 ¤ 0 y a1b2 � a2b1 D 0; ´ D a1x C b1y;

si c21 C c22 ¤ 0; a1b2 � a2b1 ¤ 0;

a1x0 C b1y0 C c1 D 0

a2x0 C b2y0 C c2 D 0; t D x � x0; ´ D y � y0; u D ´=t .

Solución: .x � 2/2 C 4.x � 2/.y C 2/ � .y C 2/2 D C .

1.6.y

x

y

x

y

x

4y C logˇ̌̌x�4yC2x�4y�2

ˇ̌̌D C No resoluble y D x

CCx

y

x

y

x

y

x

y2 C 2xy D Cx4 y C 12

logˇ̌̌1�y1Cy

ˇ̌̌� x D C No resoluble

y

x

y

x

y

x

No resoluble�x � 1C Ce�x y � 0

�x � 1C Cex y � 0y D x � 2 arctan 1

C�x

(más 1.6)y

x

y

x

y

x

y D 1Ce�xC2CsenxCcosx y2 D 1C Ce�x

2

y D xCx3C2

1�Cx3

y

x

y

x

y2 D 43x3=2 C C y1=3 � arctany1=3 D x

3C C

x C 1y� a log

ˇ̌̌y

1�ay

ˇ̌̌D C; a > 0 y D 1

C�x; a D 0 x C 1

y� a log

ˇ̌̌y

1�ay

ˇ̌̌D C; a < 0

x2y�y2

x2 �3a

�D C; a < 0 y D C

x2 ; a D 0 x2y�y2

x2 �3a

�D C; a > 0

1.7. Solución general: y2 C 2xy � Ce2x D 0. Las soluciones y.x/ D 0; y.x/ D �2x verifican y.0/ D 0.

1.8. Solución única para i) e iii).

Satisfacen y.1/ D 0 infinitas soluciones, como por ejemplo

y � 0 e yc.x/ D

�0 ; x < c2

.px � c/2 ; x � c2

; para todo c � 1.

y

t

1.9. Si y.x0/ D y0 con x0 ¤ 0 hay solución única.Todas las soluciones y D Cx C x

R x sen ssds cumplen y.0/ D 0.

K=3K=2

K=–1K=01

–2

K=∞�

0 K=1/3

–1

t+2√t

t–2√t

1.10. ´ D y � x o exacta. Solución general: y D x ˙p4x C C .

La única solución con y.1/ D �1 es y D x � 2px.

1.11. xy D C ) y C xy0 D 0I ortogonales: y0 D xy) x2 � y2 D C .

x2 C y2 D 2Cx) y0 D y2�x2

2xyI ortogonales: y0 D 2xy

x2�y2 ) x2 C y2 D Cy .

y2 C 2Cx D C 2) yy0 D �x ˙py2 C x2I ortogonales: y0 D y

x˙py2Cx2

) y2 C 2Cx D C 2 .

K=4

K=4

K=9

K=1

K=0

1

–2

K=1

0

K=9

1.12. Solución general: y D xC 2Ce�2x�1

.

Existe solución única para cualquier dato inicial.

i) y D x (no incluida en la solución general);ii) y D x � 2.

1.13. i) y.x/ D x.1C Ce�x/.

ii) Solución única si x0 ¤ 0, infinitas si x0 D y0 D 0, ninguna si x0 D 0; y0 ¤ 0.

iii) y D x (recta solución) y x D 2 (curva de puntos de inflexión).

1.14. Solución: y D .1C Cx/3 (e y D 0). i) Solución única. ii) y iii) Infinitas soluciones.

1.15. .y2C2xy/�.y/� .x2C2y2/�.y/dydxD 0 exacta si �0 D � 2

y�, de donde (por ejemplo) �.y/ D 1

y2 . Las

soluciones verifican y D 0 ó x2 C xy � 2y2 D Cy.

Soluciones rectas: y D 0; y D x; y D �x2

.

i) y D 0 , ii) y D x, soluciones únicas.

1.16. a) Única solución para cualquier dato inicial.

c) y D�1 � x; x � 0

x � 1C 2e�x; x � 0 1

–1

Soluciones hoja 2.

2.1. a/ x.t/ D 12

�e�t C e�3t

e�t � e�3t

�b/ x.t/ D et

�1C 2t

t

�c/ x.t/ D

0@ e�t � e�2t � 3te�2te�t � e�2t � 2te�2t

e�t � 4te�2t

1A2.2. a/ x D C1

0@ 3

�4

�2

1Ae�t C C20@ 0

1

�1

1Ae2t C C3240@ 11

0

1AC0@ 0

1

�1

1A t35e2t ;

b/ x D C1

0@ 111

1Ae2t C C20@ 1

�1

0

1Ae�t C C30@ 1

0

�1

1Ae�t ; c/ x D C10@ 2

�2

1

1Aet C C20@ 010

1Ae2t C C30@ 001

1Ae�t .2.3. x D 2t C 2e�t ; y D t C e�t ; ´ D 1C t . � D �1 doble, � D 0 ) estabilidad no asintótica.

2.4. a) x D C1et C C2e�t C 13e2t ;

b) x D C1 cos t C C2 sen t C 125Œ.5t � 2/ cos t C .10t � 14/ sen t �et ;

c) x D C1 cos t C C2 sen t � cos t log j sec t C tan t j ;

d) x D C1 C .C2 cos 2t C C3 sen 2t/e�t C t2

2�2t5

;

e) x D .C1 cos t C C2 sen t /et C .C3 cos t C C4 sen t /e�t C t32Œ.3 � t / cos t C t sen t � et ;

f) x D C1.t2 C 2t/C C2 C t3

3C

t2

2;

g) x D C1t2 C C2 1t C .t � 2C2t/et ;

h) x D C1t C C2tet .

2.5. a/ x.t/ D e�t C 4t2e�2t ; b/ x.t/ D

� 12t2 � 1 ; t � 1

�12t2 C 4t � 6C 2e1�t ; t � 1

c/ x.t/ D 115

�t4 � 5t2 C 5t � 1

t

�; d / x.t/ D .t C 1/e C 1

2.t2 � 5/et ; e/ x.t/ D t .

2.6. a) xp D tc�

4c2 , si c ¤ 0; xp D t2

8�5t16

, si c D 0. b) x D C1et C e�3t ŒC2 cos t C C3 sen t � � t10�

125

.

c) Asintóticamente estable si 0 < c < 20, estable si c D 0; 20 e inestable para los demás c.

2.7. a/ .1 � t /�1

1

�; b/ 1

16

�.8t2 � 4t C 17/e3t � e�t

.8t2 C 12t C 13/e3t C 3e�t

�; c/ e�t

�cosp2t �p2 sen

p2t

p2 sen

p2t C 2 cos

p2t

�,

d/

�t

2t � 1

�si t � 2 ;

��t C .8 � 2t/et�2

1 � 2t C .10 � 2t/et�2

�si t � 2 .

2.8. K.t/ D e�t sen t .

2.9. i) x D �12t2e�t . ii) La anterior, si a D 0 ; x D 4te�t , si a D 1=4 ; x D 1

a.4a�1/e�t , si a ¤ 1; 1=4 .

iii) Asintóticamente estable si a 2 .�12; 0/ [ .0; 1/.

2.10. i) u D 18x2e3x C C1 e

�x C e3x.C2 C C3 x/ ; u D172e3x C C1 e

�3x C C2 cosp3x C C3 sen

p3x.

ii) Asintóticamente estable si a > 3, inestable si a < 3 y estable si a D 3.

2.11. i) ˚.t/ D

0B@cos t 0 sen t 0

0 cos t 0 � sen t� sen t 0 cos t 0

0 sen t 0 cos t

1CA. ii)

0B@cos t � 2t

0

t2 � 2 � sen t0

1CA. iii) 14< c < 1

3p4

.

2.12. i) x D 10 � 12e�t ; y D �1C 4e�t ; ´ D 4 � 4e�t .

ii) Asintóticamente estable si a < �4, estable si a D �4, inestable si a > �4.

Soluciones hoja 3.

3.1. a) x D 0 , singular irregular; x D 1 , singular regular.b) x D 0 , singular irregular. c) x D n� , singulares regulares.

3.2. a) x D .t � 1/C 18.t � 1/3 � 1

8.t � 1/4 C � � � . b) x D C1 jt j3=2 C C2 jt j�1=2 C 1

5t2.

3.3. En 0 < x < 1 hay dos soluciones linealmente independientes.x D 0 punto singular regular con r D .1˙

p5/=2; hay dos soluciones l.i. de la forma xr

Pn�0

cnxn.

x D 1 singular regular con r D 1; 0; hay sólo una solución de la forma: y1 D .x � 1/Pn�0

cn.x � 1/n,

pues para la otra l.i. y2 DPn�0

bn.x � 1/n C c y1 log.x � 1/ resulta ser c D �b0.

3.4. Eligiendo � D �1=2 se obtiene u00 C u D 0. Solución: y.x/ D .A cos x C B sen x/=px.

3.5. a) y2.x/ D x1=2 , solución no analítica. b) y.x/ D C1x1=2 C C2.x2 C 37x4/ .

3.6. ¤ 0;�1;�2; : : :) y.x/ D1PnD0

.˛/n.ˇ/nnŠ. /n

xn � F.˛; ˇ; I x/, donde .˛/n D ˛.˛C1/ � � � .˛Cn�1/.

D 0;�1;�2; : : :) y.x/ D x1� F.˛ � C 1; ˇ � C 1; 2 � I x/.

3.7. y1.x/ D 1�P1nD1

p2.22�p2/���..2n�2/2�p2/.2n/Š

x2n ; y2.x/ D xCP1nD1

.12�p2/.32�p2/���..2n�1/2�p2/.2nC1/Š

x2nC1.Hay soluciones polinómicas cuando p es entero.

3.8. i) x D 0 punto singular regular, r D 2; 0. u1.x/ DP1kD0

.�1/k

.2kC1/Šx2.2kC1/ D sen.x2/ :

ii) u.x/ D C1 sen.x2/C C2 cos.x2/.

3.9. x D 0 singular regular, r D 0;�1. u1 D 1C x4

20C � � �. La otra solución no está acotada en x D 0.

3.10. a) x D 0 singular regular, r D ˙1=2. y1 DP1kD0

.�1/n

nŠ.nC1/ŠxkC1=2 está acotada en x D 0.

b) Para la otra y2 DP1kD0 bkx

k�1=2 C ay1 log x resulta ser a D �b0.

3.11. a) x D �1 singular regular, r D 2; 1. y1 D .x C 1/2e�.xC1/ es solución analítica en x D �1.b) Reduciendo el orden: y2 D .x C 1/2e�.xC1/

R xC1 et

t2dt que no es analítica en x D �1.

3.12. x D 1 singular regular, r D 12; 0. Analítica en x D 1 es y2 D 1C 4.x � 1/C 2.x � 1/2 D 2x2 � 1,

que también lo es en x D �1. Las dos soluciones del punto regular x D 0 son analíticas en .�1; 1/.

3.13. x D 0 singular regular, r D 2;�1. Se anula en x D 0: y1 D x2.1 � 34x C 3

10x2 � � � �/.

O reduciendo el orden: y2 D 1x

Re�xx2dx D 1

x

R.x2 � x3 C x4

2� � � �/dx D 1

3x2 � 1

4x3 C 1

10x4 � � � �.

3.14. x D 0 regular! y DP1kD0 ckx

k ! ck D3.k�2/ck�1�2.k�3/ck�2

k; c0 D c1 D 1! y D

P1kD0 x

k .x D 1=2 (con r D 2; 0) y x D 1 (con r D 0;�1) son singulares regulares.Como y D c1x C c2

1�xninguna solución satisface esos datos.

3.15. x D 0 no es singular regular. y D 1C .x � 1/C 14.x � 1/2 CO..x � 1/4/.

3.16. x D 0 singular regular, r D 0;�1 ! y1 DP1kD0 ckx

k analítica ! y1 DP1kD0 x

k D11�x

.Haciendo x D 1

sse tiene s2.1� s/y00 � 2sy0 C 2y D 0, cuyas soluciones! 0 cuando s ! 0 (r D 2; 1).

3.17. x D 0 punto singular regular. r D 1;�1=2) no todas las soluciones están acotadas en el origen.Solución analítica en x D 0: y.x/ D x

�1C x

5

�.

3.18. r D 0 doble; y1 DP1kD0 ckx

k; recurrencia: ck D �p�kC2

k2 ck�2; c1 D 0 D c3 D � � �.Si p D 2n; n D 0; 1; : : :, entonces y1 es un polinomio de grado 2n. Si p D 4, y1 D 1 � x2 C 1

8x4 .

Soluciones hoja 4.

4.1.

a)

b)

c)

x

y

x

y

x

y

4.2.

a)

x

y

x

y

x

y

b)

c)

d)y

x

e) y

x

f)

2

x

y

4.3.

a) b) c)

x

y

x

y

x

y

4.4.

a)�r 0 D r.1 � r2/

� 0 D �1

b)�r 0 D r2

� 0 D �1

y

x

y

x

a) b)

4.5. El origen es el único punto crítico en los dos casos. Es un foco inestable de a) y un centro de b).

4.6. Órbitas: y2

2�x2

2�yxD C .

Órbitas rectas:

y D x; y D �x; x D 0.

y

x

4.7. No están definidas 8t las soluciones asociadas a la órbita x D 0 de b) y a las órbitas de c) con jyj > 1.yy

y

x xx

a) b) c)

4.8. Solución: x D 2e3t ; y D �e3t . Órbitas: .2y C x/.y � x/�2 D C .

4.9. .0;�1/ es un centro; .˙1; 0/ son puntos silla. Órbitas: y2 C 2y.1 � x2/ D C .

4.10. Órbitas: y2 D Ce2x C x C 12

. Solución: x D t2

4�12

.

4.8, 4.9, 4.10.y

yv

x xx

4.11. .2k�a; 0/ son sillas.

. .2k�1/�a

; 0/ son: nodos estables si 0 < a � 1=4

y focos estables si a > 1=4 .

v

x

4.12.Velocidad: v D 1=5 .

Tiempo: T DR 40

p9C x2dx D 10C 9

2log 3 .

v

x

4.13. a) Si a D 0 , es x D 0 recta de puntos críticos (no elementales).El origen (único punto crítico si a ¤ 0) es:silla si a > 0, nodo estable de dos tangentes si 0 > a > �1

2,

nodo estable de una tangente si a D �12

y foco estable si �12> a.

b) x D 2 � 2t . –2

4.14. .�1; 0/ es silla 8k. .1; 0/ es centro si k D 0, foco estable si 0 < k < 2p2, nodo estable si k � 2

p2.

x x

k=1 k=3

k=0

x

v v v

4.15. 4.16. y D x2 C 2x2

Cex2�1

.

21

2

limt!C1

x0.t/ D 1 .