Capítulo 18 Modelos de ecuaciones simultáneas 679

18.3 Sesgo en las ecuaciones simultáneas: inconsistencia de los estimadores de MCO

Como ya planteamos, el método de mínimos cuadrados no aplica para estimar una sola ecuación enlazada a un sistema de ecuaciones simultáneas si una o más de las variables explicativas están correlacionadas con el término de perturbación en esa ecuación, porque los estimadores así obte-nidos son inconsistentes. Para mostrar esto, considere de nuevo el modelo keynesiano simple de

Los modelos de ecuaciones simultáneas son muy comunes para elaborar modelos economé-tricos a cargo de diversos econometristas. Un pionero en este campo fue el profesor Lawrence Klein, de la Wharton School, Universidad de Pensilvania. Su modelo inicial, conocido como modelo 1 de Klein, es el siguiente:

Función consumo: Ct � β0 + β1 Pt + β2(W + W )t + β3 Pt−1 + u1t

Función de inversión: It � β4 + β5 Pt + β6 Pt−1 + β7K t−1 + u2t

Demanda de trabajo: Wt � β8 + β9(Y + T − W )t

+β10(Y + T − W )t−1 + β11t + u3t

Identidad: Yt + Tt � Ct + It + Gt

Identidad: Yt � Wt + Wt + Pt

Identidad: K t � K t−1 + It

(18.2.20)

donde C = gasto de consumo I = gasto de inversión G = gasto del gobierno P = utilidades W = nómina del sector privado W ′ = nómina del gobierno K = existencias de capital T = impuestos Y = ingreso después de impuestos t = tiempo u1, u2 y u3 = perturbaciones estocásticas4

En el modelo anterior, las variables C, I, W, Y, P y K se consideran variables conjuntamente dependientes o endógenas, y las variables Pt–1, Kt–1 y Yt–1, predeterminadas.5 En total hay seis ecuaciones (con las tres identidades) para estudiar la interdependencia de las seis variables en-dógenas.

En el capítulo 20 veremos la forma de estimar tales modelos econométricos. Por el momento, observe que, debido a la interdependencia entre las variables endógenas, en general no son independientes de los términos de perturbación estocásticos, lo cual, por consiguiente, hace que no sea adecuada la aplicación del método de MCO a una ecuación individual en el sistema. Como se ve en la sección 18.3, los estimadores así obtenidos son inconsistentes; no convergen a sus verdaderos valores poblacionales aunque el tamaño de la muestra sea muy grande.

EJEMPLO 18.6Modelos economé-tricos

4 L.R. Klein, Economic Fluctuations in the United States, 1921-1941, John Wiley & Sons, Nueva York, 1950.5 El constructor de modelos debe especifi car las variables endógenas y predeterminadas del modelo. Kt−1 y Yt−1 son predeterminadas porque, en el tiempo t, sus valores son conocidos. (Veremos más sobre esto en el capítulo 19.)

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680 Parte Cuatro Modelos de ecuaciones simultáneas y econometría de series de tiempo

determinación del ingreso del ejemplo 18.2. Suponga que deseamos estimar los parámetros de la función consumo (18.2.3). Si suponemos que E(ut) = 0, E(u2

t ) = σ 2, E(utut+j) = 0 (para j �� 0 ) y cov(It, ut) = 0, que son los supuestos del MCRL, demostramos primero que Yt y ut en (18.2.3) están correlacionados y luego probamos que β1 es un estimador inconsistente de β1.

Para probar que Yt y ut están correlacionados, procedemos de la siguiente manera. Sustituya (18.2.3) en (18.2.4) para obtener

Yt � β0 + β1Yt + ut + It

es decir,

Yt � β0

1 − β1+ 1

1 − β1It + 1

1 − β1ut (18.3.1)

Ahora

E(Yt ) � β0

1 − β1+ 1

1 − β1It (18.3.2)

donde aprovechamos que E(ut) = 0 y que, como It es exógeno o predeterminado (porque su valor se fi jó con anterioridad), tiene como valor esperado It.

Por consiguiente, al restar (18.3.2) de (18.3.1), resulta

Yt − E(Yt ) � ut

1 − β1 (18.3.3)

Además,

ut − E(ut ) � ut (¿Por qué?) (18.3.4)

de donde

cov (Yt , ut ) � E[Yt − E(Yt )][ut − E(ut )]

� E u2t

1 − β1con (18.3.3) y (18.3.4)

� σ 2

1 − β1

(18.3.5)

Como σ 2 se supuso positivo (¿por qué?), la covarianza entre Y y u dada en (18.3.5) tiende a ser diferente de cero.6 Como resultado se espera que Yt y ut en (18.2.3) estén correlacionadas, lo cual viola el supuesto del modelo clásico de regresión lineal respecto de que las perturbaciones son independientes o por lo menos no están correlacionadas con las variables explicativas. Como ya mencionamos, los estimadores de MCO en esta situación son inconsistentes.

Para mostrar que el estimador de MCO β1 es un estimador inconsistente de β1 debido a la correlación entre Yt y ut, procedemos de la siguiente manera:

β1 � (Ct − C)(Yt − Y )

(Yt − Y )2

� ct yt

y2t

� Ct yt

y2t

(18.3.6)

6 Será mayor que cero siempre que β1, la PMC, se encuentre entre 0 y 1; y será negativa si β1 es mayor que la unidad. Desde luego, un valor de PMC mayor que la unidad no tendría mucho sentido económico. En realidad, se espera que la covarianza entre Yt y ut sea positiva.

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Capítulo 18 Modelos de ecuaciones simultáneas 681

donde las letras minúsculas, como es usual, indican desviaciones de la media (muestras). Al sus-tituir por Ct de (18.2.3), obtenemos

β1 � (β0 + β1Yt + ut )yt

y2t

� β1 + yt ut

y2t

(18.3.7)

donde, en el último paso, aprovechamos que ∑

yt � 0 y ( Yt yt/ y2t ) � 1 (¿por qué?).

Si tomamos el valor esperado de (18.3.7) en ambos lados, obtenemos

E(β1) � β1 + Eyt ut

y2t

(18.3.8)

Por desgracia, no podemos evaluar E( yt ut/ y2t ) porque el operador de valor esperado es

un operador lineal. [Nota: E(A/B) �� E(A)/E(B).] Pero, por intuición, debe quedar claro que, a menos que el término ( yt ut/ y2

t ) sea cero, β1 es un estimador sesgado de β1. Pero, ¿no de-mostramos en (18.3.5) que la covarianza entre Y y u es diferente de cero y que, por consiguiente, β1 no estaría sesgado? La respuesta es no del todo, pues cov(Yt, ut), un concepto poblacional, no equivale exactamente a

∑ytut, que es una medición muestral, aunque, a medida que el tamaño

de la muestra aumenta indefi nidamente, el último tenderá hacia el primero. Pero si el tamaño dela muestra aumenta indefi nidamente, entonces podemos recurrirse al concepto de estimador con-sistente y averiguar qué sucede con β1 a medida que n, el tamaño de la muestra, aumenta inde-fi nidamente. En resumen, cuando no podemos evaluar explícitamente el valor esperado de un estimador, como ocurrió en (18.3.8), podemos centrar la atención hacia su comportamiento en una muestra grande.

Ahora bien, se dice que un estimador es consistente si el límite de su probabilidad,7 o plím para abreviar, es igual a su verdadero valor (poblacional). Por consiguiente, para demostrar que β1 de (18.3.7) es inconsistente, debemos demostrar que su plim no es igual al verdadero β1. Al aplicar las reglas de límite de probabilidad a (18.3.7), obtenemos8

plím (β1) � plím (β1) + plímyt ut

y2t

� plím (β1) + plímyt ut n

y2t n

� β1 + plím yt ut n

plím y2t n

(18.3.9)

donde, en el segundo paso, dividimos yt ut y y2t entre el número total de observaciones en la

muestra, n, de manera que las cantidades en los paréntesis son ahora la covarianza muestral entre Y y u, y la varianza muestral de Y, respectivamente.

En palabras, (18.3.9) establece que el límite de probabilidad de β1 es igual al verdadero β1 más la razón del plim de la covarianza muestral entre Y y u respecto del plim de la varianza muestral de Y. Ahora, a medida que el tamaño n de la muestra aumenta indefi nidamente, se es-peraría que la covarianza muestral entre Y y u se aproxime a la verdadera covarianza poblacionalE[Yt − E(Yt)][ut − E(ut)], la cual, de (18.3.5), es igual a [σ 2/(1 − β1)]. En forma similar, a me-

7 En el apéndice A defi nimos el límite de probabilidad.8 Como afi rmamos en el apéndice A, el plim de una constante (por ejemplo, β1) es la constante misma, y el plim de (A/B) = plim(A)/plim(B). Observe, sin embargo, que E(A/B) �� E(A)/E(B).

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