ecuaciones simultáneas · •solución de un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las...

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Son aquellas que tienen las mismas soluciones. Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Ejemplo: Son las que se obtienen una de la otra y tienen infinitas soluciones comunes. Son las que no se obtienen una de la otra, cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución son simultáneas. Ecuaciones incompatibles, son ecuaciones independientes que no tienen solución común.

5

82

yx

yx son simultaneas porque: x=3 y=2

satisfacen ambas ecuaciones

Ecuaciones simultáneas:

Ecuaciones equivalentes:

Ecuaciones independientes:

2

•

Se clasifican según el número de ecuaciones y según el número de incógnitas. Ejemplo: 2x + 3y=5 x + y=8 3x + y + z = 2 x + y + z = 0 5x -2y + 3z =-8 •Solución de un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las incógnitas que hagan simultáneamente verdaderas a todas las ecuaciones del sistema. Ejemplo: La solución es : , Sustituyendo x, y en las ecuaciones: • Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución. • Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución. • Un sistema de ecuaciones es imposible o incompatible cuando no tiene solución. • Un sistema incompatible es indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Es un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas.

54

1332

yx

yx

2x 3y

Ecuaciones simultáneas (tienen las mismas soluciones).

1313

1394

133322

1332 yx

55

538

5324

54 yx

3

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen dos métodos:

•

El método gráfico significa obtener la gráfica de cada línea, el punto donde cortan éstas líneas, es la solución del sistema. Si una recta pasa por un punto, las coordenadas de este punto satisfacen la ecuación de la recta. Si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación de una recta, dicho punto pertenece a la recta. Por tanto, la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas representa las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas que representan las ecuaciones. Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en hallar el punto de intersección de las dos rectas. Existen tres posibilidades que pueden ocurrir al graficar dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

GRÁFICO

ALGEBRAICOS

POR ELIMINACIÓN POR DETERMINANTES

•POR IGUALACIÓN

•POR SUSTITUCIÓN

•POR SUMA Y RESTA

COMPATIBLES

INCOMPATIBLES

DETERMINADO. Una sola solución. INDETERMINADO. Una infinidad de soluciones.

4

CASO 1. Las líneas se cortan: COMPATIBLE-DETERMINADO. Ejemplo 1.

•Despejar una incógnita en ambas ecuaciones.

En este caso despejaremos y (por ser la incógnita más sencilla).

•Damos valores a la incógnita x, (pueden tener cualquier valor, pero generalmente se empieza de cero, por ser éste el valor más sencillo).

•Realizamos una tabla para cada ecuación, en donde anotes los valores de x.

•Resolvemos cada ecuación, sustituyendo en x cada valor, posteriormente anotamos los

valores obtenidos de y en la tabla para ayudarnos. Ecuación 1 Ecuación 2

1

52

yx

yx

xy

yx

25

52

xy

xy

xy

yx

1

)1(1)1(

1

1

(multiplicamos por –1 a todos los términos

de la ecuación, para que y sea positiva).

5

)0(25

0

y

y

x

xy 25 xy 1

x y a 0 5

b 2 1

c 3 -1

1

45

)2(25

2

y

y

y

x

1

65

)3(25

3

y

y

y

x

1

01

0

y

y

x

1

21

2

y

y

x

3

41

2

y

y

x

x y d 0 -1

e 2 1

f 4 3

5

•Representa gráficamente. Uniendo los puntos x, y de cada recta. •Observa: La solución esta en las coordenadas donde se cortan las dos rectas (punto de intersección). • Las ecuaciones son: compatibles independientes.

CASO 2. Las líneas coinciden: COMPATIBLE-INDETERMINADO. Ejemplo 2.



a (0, 5)

c (3, 1)

b,e (2, 1)

f (4, 3)

d (0, -1)

52 yx

1yx

2x 1y

1896

632

yx

yx

3

26

263

632

xy

xy

yx

9

618

6189

1896

xy

xy

yx

6


•Realizamos una tabla para cada ecuación, en donde anotes los valores de x. •Resolvemos cada ecuación, sustituyendo en x cada valor, posteriormente anotamos los

valores obtenidos de y en la tabla para ayudarnos.

Ecuación 1 Ecuación 2 •Representa gráficamente. Uniendo los puntos x, y de cada recta. •Observa: La solución es una infinidad de puntos comunes, las rectas coinciden en su totalidad (son ecuaciones equivalentes).

• Las ecuaciones son: compatibles y dependientes.

x y a -3 4

b 0 2

c 6 -2

x y d -3 4

e 0 2

f 6 -2

3

26 xy

9

618 xy

4

3

12

3

66

3

326

y

y

y

y

2

3

6

3

06

3

026

y

y

y

y

2

3

6

3

126

3

626

y

y

y

y

4

9

36

9

1818

9

3618

y

y

y

y

2

9

18

9

018

9

0618

y

y

y

y

2

9

18

9

3618

9

6618

y

y

y

y

a, d (-3, 4)

b, e (0, 2)

c, f (6,- 2)

632 yx

1896 yx

7

CASO 3. Las líneas son paralelas: INCOMPATIBLES. Ejemplo 3




•Realizamos una tabla para cada ecuación, en donde anotes los valores de x.

•Resolvemos cada ecuación, sustituyendo en x cada valor, posteriormente anotamos los

valores obtenidos de y en la tabla para ayudarnos.

Ecuación 1 Ecuación 2

5

2

yx

yx

x y a -2 0

b 0 2

c 2 4

x y d 0 5

e -3 2

f -5 0

2

121

2

2

xy

xy

xy

yx

5

151

5

5

xy

xy

xy

yx

2xy 5xy

0

22

22

y

y

y

2

20

20

y

y

y

4

22

22

y

y

y

5

50

50

y

y

y

2

53

53

y

y

y

0

55

55

y

y

y

8

•Representa gráficamente. Uniendo los puntos x, y de cada recta. •Observa: No hay puntos de intersección, el sistema NO tiene solución (las rectas son paralelas). • Las ecuaciones son: incompatibles e independientes.

a (-2, 0)

c (2, 4)

f (-5, 0)

d (0, 5)

5yx 2yx

b (0, 2) e (-3, 2)

9

•

Resolver el siguiente sistema:

Ecuación 1……………


•Despejar una incógnita en una de las ecuaciones. En este caso despejaremos la incógnita y, de la ecuación 1 (por ser la incógnita más sencilla). •Sustituye el valor de y (de la ecuación despejada), en la otra ecuación (ecuación 2).

•De esta manera, tenemos una ecuación con una incógnita, y así hemos eliminado a x. •Resuelve dicha ecuación.

•Sustituyendo el valor de x =1 en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2). •Sustituyendo en la ecuación 1.

•Comprobación.

534

12

yx

yx

xy

yx

21

12

52134 xx

2

2

352

5634

52134

x

x

xx

xx

1x

21

12

112

y

y

y

3y

11

132

1312

12 yx

55

594

53314

10

•




Sólo difiere en una ligera variante del método de sustitución. •Despejar cualquiera de las incógnitas en ambas ecuaciones. Luego, igualándolas se encuentra el valor de una incógnita y al sustituir ese valor, se encuentra la solución del sistema.

En este caso despejaremos la incógnita x. •Despejando x en Ecuación 1: •Despejando x en Ecuación 2: •Se igualan entre sí los dos valores de x que hemos obtenido.

534

823

yx

yx

3

28

283

823

yx

yx

yx

4

35

354

534

yx

yx

yx

4

35

3

28 yy Tenemos una sola ecuación, con una incógnita (se ha eliminado x).

11

•Resolver dicha ecuación y así, se obtiene el valor de una de las incógnitas. Recordemos… Ecuaciones Fraccionarias: Resolveremos la ecuación mediante productos cruzados. •Sustituir el valor de y, en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2). •Sustituyendo en la ecuación 1 (generalmente se sustituye en la más sencilla).

•Comprobación.

17

17

1717

321598

915832

353284

4

35

3

28

y

y

yy

yy

yy

yy

1y

3

6

63

283

823

8123

x

x

x

x

x

2x

88

826

81223

55

538

51324

12

•

Consiste en multiplicar los dos miembros de cada ecuación por números que convengan, para que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.




•Multiplica los dos miembros de la ecuación 1 por 5, y los miembros de la ecuación 2 por 2, para eliminar a x. •Obtenemos ecuaciones equivalentes en las que los coeficientes de x son iguales. NOTA: Se suman las dos ecuaciones si sus coeficientes son iguales. Se restan las dos ecuaciones si sus coeficientes son iguales y del mismo signo.

2975

1232

yx

yx

1er. miembro

2do. miembro

1er. miembro

2do. miembro

295755

125325

yx

yx

581410

601510

yx

yx sus coeficientes son iguales y del mismo signo. Por lo tanto se restan.

581410

601510

yx

yxRestamos las ecuaciones.

2y

13

•Sustituyendo el valor de y =2 en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2). •Sustituyendo en la ecuación 1.

•Comprobación.

2

6

6122

1262

12232

x

x

x

x

3x

1212

1266

122332

2929

291415

292735

ecuaciones simultáneas · •solución de un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las...

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