INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

Barcelona, agosto de 2016.

ECUACIONES EXACTAS

Alumno:Pedro Yaguaracuto.C.I:22.672.879

ECUACIONES EXACTAS

0,, dyyxNdxyxM

xyxN

yyxM

,,

Definición.Una ecuación diferencial de la forma

se dice que es exacta si

(1)

dyyyxfdx

xyxfdyyxNdxyxM

),(),(,,

para toda (x,y), es decir

3...................,,

2.................,,

yxNyyxf

yxMxyxf

Si la ecuación (1) es exacta entonces existe una función f(x,y) tal que

yhdxyxMyxf ),(,

yhdxyxMyy

yxf

),(

,

dxyxM

yyxN

yyh

),(),()(

MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA:

Integrando (2) con respecto a la variable x obtenemos

derivando (4) con respecto a la variable y tenemos

igualando esta expresión con (3) obtenemos )(yh

(4)

dydxyxMy

yxNdxyxMyxf ),(),(),(,

La integración con respecto a la variable y se obtiene de una manera similar.

la cual al integrarla nos da h(y), que sustituyendo en (4), obtenemos la solución general de la ecuación diferencial exacta (1):

3x2 + 2xy + 3y2 + (x2 + 6xy)y´ = 0 , y(1) = 2

EJEMPLO

Aquí, las funciones P y Q caracterizadas en la teoría de ecuaciones exactas serían: P = 3x2 + 2xy + 3y2 ; Q = (x2 + 6xy)

xQyx

yP

62

y por lo tanto se trata de una ecuación exacta. A fin de resolverla, tenemos que encontrar una función f tal que fx = P y fy = Q. Tenemos así:

donde

)(3323 22322 yCxyyxxfyxyxxfPf x

Derivando ahora este resultado con respecto a y tenemos:

1)(62)(62 KyCxyxyQyCxyxyf y

K1 =0 y entonces: f = x3 + x2y + 3y2x

La solución a la ecuación diferencial lema vendrá dada, pues, por:x3 + x2y + 3y2x = K

Introduciendo la condición inicial, sabemos que y(1) = 2; e ingresando estos valores en la ecuación anterior se tiene:

1 + 2 + 3·4 = K = 15

Con lo cual:

x3 + x2y + 3y2x = 15

Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales Exactas

Las ecuaciones se pueden usar en diferentes aplicaciones de la vida diaria. Las ecuaciones Exactas por su facilidad en cuanto a seguir una regla matemática pueden ser usadas para obtener ecuaciones generales de crecimiento de tasa por ejemplo, esto lo podemos aplicar por ejemplo en la biología para medir la tasa de crecimiento en determinada población mediante la siguiente expresión:dy / dt = ycon solucióny = ceDonde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí < 0.

(2xy - 3x2) dx +(x2 -2y) dy = 0 

www.mtm.ufsc.br/~daniel/sem1_05/pugeo/EDO1.doc

BIBLIOGRAFÍA

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_exacta