ecuaciones 2

5/8/2018 Ecuaciones 2 - slidepdf.com

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6Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 141

c u a c i o n e s s e n c i l l a s

1 Resuelve mentalmente.

a) x + 4 = 5 b) x – 3 = 6 c) 7 + x = 10

d)7 – x = 5 e) 11 = x + 5 f) 2 = x – 9g) 5 = 2 + x h)9 = 15 – x i) 2 – x = 9

a) x = 1 b) x = 9 c) x = 3

d) x = 2 e) x = 6 f ) x = 11

g) x = 3 h) x = 6 i) x = –7

2 Resuelve.

a) 2 x + x = 5 b)7 x – 3 x = 10 – 7c) x – 9 x = 9 – 7 d)5 x – x = 3 – 5

e) 6 = 12 x – 2 x f) 2 – 8 = x + 2 x g) 5 x – 13 x = 6 – 10 h)2 x + 4 + 5 x = 18

i) 11 x + 17 – 6 x = 2 j) 9 = 12 x – 6 – 7 x k)2 x – 5 + 3 x + 1 = 3 x – 2 l) x + 7 = 12 x – 3 – 8 x + 1

m) 6 x – 1 + x = 4 – 5 x + 3 n) x + 2 x + 3 x – 5 = 4 x – 9

ñ)5 x + 4 – 6 x = 7 – x – 3 o)4 x + 2 + 7 x = 10 x + 3 + x

a) x = b) x = c) x = – d) x = –

e) x = f ) x = –2 g) x = h) x = 2

i) x = –3 j) x = 3 k) x = 1 l) x = 3

m) x = n) x = –2

ñ) Es una identidad. Tiene infinitas soluciones.

o) Incompatible. Sin solución.

3 Quita paréntesis y resuelve.

a) 6( x + 1) – 4 x = 5 x – 9 b)18 x – 13 = 8 – 4(3 x – 1)

c) 3 x + 5(2 x – 1) = 8 – 3(4 – 5 x ) d)5 – (4 x + 6) = 3 x + (7 – 4 x )

e) x – 7(2 x + 1) = 2(6 – 5 x ) – 13 f ) 11 – 5(3 x + 2) + 7 x = 1 – 8 x g)13 x – 5( x + 2) = 4(2 x – 1) + 7

a) 6 x + 6 – 4 x = 5 x – 9 8 15 = 3 x 8 x = 5

b)18 x – 13 = 8 – 12 x + 4 8 30 x = 25 8 x = 56

23

12

35

12

14

34

53

E

Pág. 1

Unidad 6. Ecuaciones




c) 3 x + 10 x – 5 = 8 – 12 + 15 x 8 –1 = 2 x 8 x = –

d) 5 – 4 x – 6 = 3 x + 7 – 4 x 8 –8 = 3 x 8 x = –

e) x – 14 x – 7 = 12 – 10 x – 13 8 –6 = 3 x 8 x = –2

f) 11 – 15 x – 10 + 7 x = 1 – 8 x 8 1 – 8 x = 1 – 8 x 8

8 Identidad. Infinitas soluciones.

g) 13 x – 5 x – 10 = 8 x – 4 + 7 8 8 x – 10 = 8 x + 3 8

8 Incompatible. No tiene solución.

c u a c i o n e s d e p r i m e r g r a d o c o n d e n o m i n a d o r e s4 Quita denominadores y resuelve.

a) x + = b) + 1 = + x

c) – = x – – d) + – x = –

e) – 1 – = x + + 1 f) + – = – +

a) 3 x

+ 1 = x 8 x

= – b) 10 x

+ 6 = 5 + 6 x 8 x

= –

c) 12 x – 5 = 20 x – 14 x – 4 8 x = d)10 x + 8 – 30 x = 5 – 21 x 8 x = –3

e) 14 x – 8 – x = 8 x + 5 x + 8 8 0 x = 16 8 Sin solución.

f ) 3 x + 1 – 2 x = x – 4 + 5 8 x + 1 = x + 1 8 Identidad. Tiene infinitas soluciones.

5 Elimina los paréntesis y los denominadores y resuelve.

a) 2 x – = ( x – 3) b) (2 x – 1) – x =

c) – 1 = 2 x – d) x – = (2 x – 5)

a) 4 x – 5 = x – 3 8 x =

b) 5(2 x – 1) – 6 x = x 8 10 x – 5 – 6 x = x 8 x =

c) – 1 = 2 x – 8 x – 5 = 10 x – 8 8 x =

d) x – = – 8 6 x – 2 = 2 x – 5 8 x = – 34

56

x 3

13

13

85

x

5

53

23

16

13)4

5( x 5

x

656

12

52

16

1

4

1

2

56

23

x

6 x

316

x

25 x 8

x

87 x 4

7 x 10

16

415

x

315

7 x 10

14

3 x 5

56

5 x 3

x

313

E

83

12

Pág. 2





6 Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) (2 + 5 x

) = x

– b)2( x

– 3) – = x

– ( x

– 1)

c) 1 – = – ( x – 2) d) x – = (2 x – 1) +

e) 5 – = 3 x – f) 1 – ( x + 1) = –

a) + x = – 8 4 + 10 x = 5 x – 1 8 x = –1

b) 2 x – 6 – = x – + 8 6 x – 18 – 1 = 3 x – x + 1 8 x = 5

c) 1 – = – + 1 8 8 – 3 x = 6 – 4 x + 8 8 x = 6

d) x – = – + 8 12 x – 9 x = 8 x – 4 + 2 x 8 x =

e) – = – 8 5 x – 2 = 6 x – 1 8 x = –1

f) 21 – 9( x + 1) = 14 x – 3 8 21 – 9 x – 9 = 14 x – 3 8 x =

7 Elimina denominadores y resuelve.a) x – = 1 b)1 – = 2 x –

c) 1 – = x + d) – 1 =

e) – 1 = 2 x – 2 f ) x + = + 1

g) 2 x + = h) – 1 = x –

i) – = j) + = x – 2

k) – = 1 l) – =

a) 5 x – ( x – 3) = 5 8 5 x – x + 3 = 5 8 x =

b) 3 – ( x + 1) = 6 x – 1 8 3 – x – 1 = 6 x – 1 8 x =

c) 6 – 2(1 – x

) = 6 x

+ 38

6 – 2 + 2 x

= 6 x

+ 38 x

=

d) 6 x – 4 = 3 x + 2 8 x = 2

1

4

37

12

3 x – 14

x – 112

1 – x 3

x – 67

x + 35

x – 25

x – 53

x

3 x + 2

15 x

5

x + 12

3 x 5

x – 34

x – 32

x

22 – 3 x

53 x – 1

2

3 x + 24

3 x 2

12

1 – x 3

13

x + 13

x – 35

1523

14

3 x

212

5 x

4

47

x

613

2 x

33 x

4

x

234

3 x

8

13

x

313

110

x

225

17

2 x 3

37)1

2(12)1

10 x

4(

x

613

3 x 4

12

34

3 x 8

1

3

1

3)1

5(1

2

1

5

Pág. 3





e) 3 x – 1 – 2 = 4 x – 4 8 x = 1

f ) 10 x + 2(2 – 3 x ) = 5 x + 10 8 10 x + 4 – 6 x = 5 x + 10 8 x = –6

g) 8 x + 2( x – 3) = x – 3 8 8 x + 2 x – 6 = x – 3 8 x =

h) 6 x – 10 = 10 x – 5( x + 1) 8 6 x – 10 = 10 x – 5 x – 5 8 x = 5

i) 3 x – ( x + 2) = 5 x 8 3 x – x – 2 = 5 x 8 x = –

j) 5( x – 5) + 3( x – 2) = 15( x – 2) 8 5 x – 25 + 3 x – 6 = 15 x – 30 8 x = –

k) 7( x + 3) – 5( x – 6) = 35 8 7 x + 21 – 5 x + 30 = 35 8 x = –8

l) 4(1 – x ) – ( x – 1) = 3(3 x – 1) 8 4 – 4 x – x + 1 = 9 x – 3 8 x =

8 Resuelve estas ecuaciones:

a) – = b)2 + ( x + 1) = x –

c) (1 – 3 x ) + = (1 – x ) d) + 1 + x = x –

a) 5(3 x – 1) – 4(2 x + 1) = 7 x – 13 8 15 x – 5 – 8 x – 4 = 7 x – 13 88 Incompatible. No tiene solución.

b) 10 + 2( x + 1) = 5 x – (2 x + 3) 8 10 + 2 x + 2 = 5 x – 2 x – 3 8 x = 15

c) 8(1 – 3 x ) + 9 ( x – 1) = 5(1 – x ) 8 8 – 24 x + 9 x – 9 = 5 – 5 x 8 x =

d) + + x = – 8 4 x – 4 + 12 + 20 x = 15 x – 10 8 x = –2

PÁGINA 142

9 Resuelto en el libro de texto.

10 Elimina denominadores, con las indicaciones que se ofrecen, y resuelve.

a) + = 3 5 Multiplica ambos miembros por 2 x .

b) – = 5 Multiplica por 10 x .

c) – 1 = 5 Multiplica por ( x – 2).

d) + 2 = 5 Multiplica por (3 x – 1).53 x – 1

2 x 3 x – 1

x

x – 23

x – 2

25

1 x

12

12

1 x

12

3 x

435

x – 15

–35

)23(3

4) x – 13(3

5512

3( x – 1)4

23

2 x + 35

25

7 x – 1320

2 x + 15

3 x – 14

47

17

23

13

Pág. 4





e) + 1 = 5 Multiplica por 2 · ( x – 1).

f ) – = 5 Multiplica por 5 · ( x – 3).

g) + = 5 Multiplica por 5 · ( x – 1).

a) 2 + x = 6 x 8 x = b)5 x – 10 = 4 x 8 x = 10

c) 3 – ( x – 2) = x 8 x = d)2 x + 2(3 x – 1) = 5 8 x =

e) 2 + 2( x – 1) = x – 1 8 x = –1 f ) 10 x – ( x – 3) = 10 8 x =

g) 15 x + 6 = x – 1 8 x = –

roblemas para resolver con ecuaciones de pr imer grado

11 Calcula, primero, mentalmente y, después, con la ayuda de una ecuación.

a) Si a un número le sumas 12, obtienes 25. ¿De qué número se trata?

b)Si a un número le restas 10, obtienes 20. ¿Qué número es?c) Un número, x , y su siguiente, x + 1, suman 13. ¿Cuáles son esos números?d)En mi clase somos 29 en total, pero hay tres chicos más que chicas. ¿Cuántos

chicos y cuántas chicas hay en la clase?

a) x + 12 = 25 8 x = 13 b) x – 10 = 20 8 x = 30

El número es 13. El número es 30.

c) x + ( x + 1) = 13 8 x = 6 d) x + ( x + 3) = 29 8 x = 13

Los números son 6 y 7.

En la clase hay 13 chicas y 16 chicos.

12 Busca un número cuyo doble más tres unidades sea igual a su triple me-nos cinco unidades.

2 x + 3 = 3 x – 5 8 x = 8

El número es 8.

13 Dividiendo un número entre tres, se obtiene el mismo resultado que res-tándole 16. ¿De qué número se trata?

= x – 16 8 x = 24

El número es 24.

x

3

° ¢ £

Chicas 8 x

Chicos 8 x + 3

P

12

79

78

52

25

15

65( x – 1)

3 x x – 1

2 x – 3

15

2 x x – 3

12

1 x – 1

Pág. 5





14 Multiplicando un número por 5, se obtiene el mismo resultado que su-mándole 12. ¿Cuál es ese número?

5 x = x + 12 8 x = 3

El número es 3.

15 Si al triple de un número se le suman 15 y el resultado se divide entre 4,da 9. ¿Cuál es ese número?

= 9 8 x = 7

El número es 7.

16 La suma de dos números es 167, y su diferencia, 19. ¿Cuáles son esos nú-meros?

Un número 8 x

Otro número 8 x + 19

x + ( x + 19) = 167 8 x = 74; x + 19 = 93


17 Calcula el número natural que sumado a su siguiente da 157.

EL NÚMERO 8 x SU SIGUIENTE 8 x + 1

x + ( x + 1) = 157 8 x = 78

El número es 78.

18 La suma de tres números consecutivos es 135. ¿Cuáles son esos números?

( x – 1) + x + ( x + 1) = 135 8 x = 45

Los números son 44, 45 y 46.

19 Si a la cuarta parte de un número se le restan tres unidades, se obtiene suquinta parte. Calcula dicho número.

– 3 = 8 x = 60

El número es 60.

20 Teresa es siete años mayor que su hermano Antonio y dos años menorque su hermana Blanca. Calcula la edad de cada uno sabiendo que entre los tressuman 34 años.

ANTONIO 8 x – 7 TERESA 8 x BLANCA 8 x + 2

( x – 7) + x + ( x + 2) = 34 8 x = 13

Antonio tiene x – 7 = 13 – 7 = 6 años.

Teresa tiene 13 años.

Blanca tiene x + 2 = 13 + 2 = 15 años.

x

5

x

4

3 x + 154

Pág. 6





21 Una ensaimada cuesta 10 céntimos más que un cruasán. Tres cruasanes y cuatro ensaimadas han costado 6 euros. ¿Cuál es el coste de cada pieza?

Cruasán 8 x

Ensaimada 8 x + 10

3 x + 4( x + 10) = 600 8 x = 80

Un cruasán cuesta 80 céntimos y una ensaimada 90 céntimos.

22 Narciso ha comprado en las rebajas dos pantalones y tres camisetas por161 €. ¿Cuál era el precio de cada artículo, sabiendo que un pantalón costaba el doble que una camiseta?

Camiseta 8 x

Pantalón8

2 x

2 · 2 x + 3 x = 161 8 x = 23

Una camiseta cuesta 23 € y un pantalón 46 €

23 Reparte 280 € entre tres personas, de forma que la primera reciba el tri-ple que la segunda, y esta, el doble que la tercera.

PRIMERA PERSONA 8 6 x SEGUNDA PERSONA 8 2 x TERCERA PERSONA 8 x

6 x + 2 x + x = 280 8 x = 31,11

La tercera persona recibe 31,11 €

La segunda 31,11 · 2 = 62,22 €

La primera 6 · 31,11 = 186,67 €

PÁGINA 143

24 Tres agricultores reciben una indemnización de 100 000 € por la expro-piación de terrenos para la construcción de una autopista. ¿Cómo han de re-partirse el dinero, sabiendo que el primero ha perdido el doble de terreno que

el segundo, y este, el triple de terreno que el tercero?6 x + 3 x + x = 100 000 8 x = 10 000

Primer agricultor 8 60000 €

Segundo agricultor 8 30000 €

Tercer agricultor 8 10000€

25 En la caja de un supermercado hay 1 140 euros repartidos en billetes de5, 10, 20 y 50 euros. Sabiendo que:— Hay el doble de billetes de 5 € que de 10 €.

— De 10 € hay la misma cantidad que de 20 €.

— De 20 € hay seis billetes más que de 50 €.¿Cuántos billetes de cada clase tiene la caja?

Pág. 7





Billetes de 50 € 8 x

Billetes de 20 € 8 x + 6

Billetes de 10 € 8 x + 6

Billetes de 5 € 8 2( x + 6)

50 x + 20( x + 6) + 10( x + 6) + 5 · 2 · ( x + 6) = 1 140 8 x = 10

En la caja hay 10 billetes de 50 €, 16 billetes de 20 €, 16 billetes de 10 € y 32 bi-lletes de 5 €.

26 Se han repartido 500 litros de gasóleo, a partes iguales, en dos barriles.¿Cuántos litros se han de pasar de uno al otro para que el segundo quede conel triple de cantidad que el primero?

3 · (250 – x

) = 250 +x 8 x

= 125Se han de pasar 125 litros. Así, el primer barril quedará con 125 l y el segundo con375 l .

27 Un hortelano siembra la mitad de su huerta de pimientos; la tercera par-te, de tomates, y el resto, que son 200 m2, de patatas. ¿Cuál es la superficie to-tal de la huerta?SUPERFICIE DE LA HUERTA 8 x

PIMIENTOS 8 x /2

TOMATES 8 x /3

PATATAS 8 200 m2

+ + 200 = x 8 x = 1200

La huerta tiene una superficie de 1200 m2.


29 Un padre tiene 38 años, y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrirpara que el padre tenga solo el doble de edad que el hijo?

38 + x = 2(11 + x ) 8 x = 16

Han de transcurrir 16 años.

30 La edad de doña Adela es seis veces la de su nieto Fernando, pero dentrode 8 años solo será el cuádruple. ¿Qué edad tiene cada uno?

4( x + 8) = 6 x + 8 8 x = 12Fernando tiene 12 años y Adela, 72 años.

x

3 x

2

Pág. 8


H O Y D E N TR O D E x A Ñ O S

P A D R E 38 38 + x

H I J O 11 11 + x

H OY D E N TR O D E 8 A Ñ O S

A D E L A 6 x 6 x + 8

F ER N A N D O x x + 8




31 Roberto tiene el triple de edad que su hija Nuria. Calcula la edad de cada uno sabiendo que dentro de 12 años la edad del padre será solamente el doble

que la de la hija.

2( x + 12) = 3 x + 12 8 x = 12

Nuria tiene 12 años, y Roberto, 36.

32 Un ciclista sube un puerto a 15 km/h y, después, desciende por el mismocamino a 35 km/h. Si el paseo ha durado 30 minutos, ¿cuánto tiempo ha in-

vertido en la subida?TIEMPO DE SUBIDA 8 x (horas)

TIEMPO DE BAJADA 8 – x (horas)

DISTANCIA RECORRIDA SUBIENDO 8 15 x

DISTANCIA RECORRIDA BAJANDO 8 35 – x

15 x = 35 – x 8 x =

En la subida ha invertido horas. Es decir, h = h = 21 minutos.

33 Dos ciclistas parten simultáneamente; uno, de A hacia B, a la velocidad de 24 km/h, y el otro, de B hacia A, a 16 km/h. Si la distancia entre A y B es de30 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse?TIEMPO HASTA EL ENCUENTRO 8 x (horas)DISTANCIA RECORRIDA POR EL PRIMERO 8 24 x DISTANCIA RECORRIDA POR EL SEGUNDO 8 16 x

24 x + 16 x = 30 8 x =

Tardan en encontrarse tres cuartos de hora.

34 Dos trenes se encuentran, respectivamente, en las estaciones de dos ciu-dades separadas entre sí 132 km. Ambos parten a la misma hora, por vías pa-ralelas, hacia la ciudad contraria. Si el primero va a 70 km/h, y el segundo, a 95 km/h, ¿cuánto tardarán en cruzarse?

70 x + 95 x = 132 8 x =

Tardan en encontrarse h. Es decir, h = h = 48 minutos.48604545

45

34

2160

720

720

720)1

2(

)12(

12

Pág. 9


H O Y D EN T R O D E 12 A Ñ O S

N U R IA x x + 12

R O B ER TO 3 x 3 x + 12




35 Un ciclista sale de cierta población, por carretera, a la velocidad de22 km/h. Hora y media después, sale en su búsqueda un motorista a 55 km/h.

¿Cuánto tardará en darle alcance?• Tiempo hasta el alcance 8 x

• Distancia recorrida por el motorista 8 55 x

• Distancia recorrida por el ciclista 8 22 · x +

55 x = 22 · x + 8 x = 1

La moto tarda una hora en alcanzar al ciclista.

36Un camión sale por carretera de cierta ciudad a 60 km/h. Diez minutosdespués sale en su persecución un coche que tarda quince minutos en darle al-

cance. ¿A qué velocidad iba el coche?

Distancia del camión 8 60 ·

Distancia del coche 8 x ·

60 · = x · 8 x = 100

La velocidad del coche era de 100 km/h.

PÁGINA 144

37 Se han pagado 66 € por una prenda que estaba rebajada un 12%. ¿Cuálera el precio sin rebaja?

PRECIO ORIGINAL 8 x

REBAJA 8

ECUACIÓN 8 x – = 66

x – = 66 8 x = 75

El precio sin rebaja era de 75 €.

38 Laura ha comprado una falda y una blusa por 66 €. Ambas tenían el mis-mo precio, pero en la falda le han hecho un 20% de rebaja, y en la blusa, soloun 15%. ¿Cuánto costaba originalmente cada prenda?

0,80 x + 0,85 x = 66 8 x = 40

Cada prenda costaba 40 €.

12 x

100

12 x

100

12 x 100

1560

2560

1560

2560

)32(

)32(

Pág. 10





39 Un inversor ha obtenido un beneficio de 156 € por un capital colocadoal 4% durante tres años. ¿A cuánto ascendía el capital?

156 = 8 x = 1300

El capital ascendía a 1300 €.

40 Un fabricante de queso ha mezclado cierta cantidad de leche de vaca, a 0,5 €/l , con otra cantidad de leche de oveja, a 0,80€/l , obteniendo 300 litrosde mezcla a un precio medio de 0,70 €/l . ¿Cuántos litros de cada tipo de lecheempleó?

0,5 x + 0,8(300 – x ) = 0,7 · 300 8 x = 100

Se han mezclado 100 litros de leche de vaca con 200 litros de leche de oveja.

41 ¿Qué cantidad de café de 7,20 €/kg se ha de mezclar con 8 kg de otra cla-se superior de 9,30 €/kg para obtener una mezcla que salga a un precio mediode 8,40 €/kg?

7,2 x + 8 · 9,3 = 8,4 · ( x + 8) 8 x = 6

Se han de utilizar 6 kg del café más barato.

42 Para delimitar en una playa una zona rectangular, el doble de larga quede ancha, se han necesitado 84 m de cinta. ¿Cuáles son las dimensiones del sec-tor delimitado?

x + 2 x + x + 2 x = 84 8 x = 14

La zona medirá 14 m Ò 28 m.

43 La amplitud de uno de los ángulos de un triángulo es 13 grados mayor y 18 grados menor, respectivamente, que las amplitudes de los otros dos ángulos.Calcula la medida de cada ángulo.

x + ( x + 1 8 ) + ( x – 13) = 180 8 x = 8 58° 20'

Los ángulos miden: x = = 58° 20'

x + 18 = 76° 20' x – 13 = 45° 20'

1753

1753

x

2 x

x · 4 · 3100

Pág. 11


C A N T ID A D ( l ) P R EC IO (€ / L ) C O S T E (€ )

VACA x 0,5 0,5x

O V E J A 300 – x 0,8 0,8 · (300 – x )M E Z C L A 300 0,7 0,7 · 300

C A N T ID A D (kg) P R EC IO (€ /kg) P R E C I O (€ )

C A F É A x 7,20 7,2 x

C A F É B 8 9,30 8 · 9,3

M E Z C L A x + 8 8,40 8,4( x + 8)

x

x + 18

x – 13




44 La altura de un trapecio mide 5 cm y la base mayor es 6 cm más larga quela base menor. Calcula la longitud de cada una de esas bases sabiendo que el

área del trapecio mide 65 m2.

A = · h

· 5 = 65 8 x = 10

Las bases del trapecio miden 10 cm y 16 cm, respectivamente.

45 Calcula el perímetro de esta finca, sabiendo que el área mide 100 m2.

14 x + 6 x = 100 8 x = 5 m

Perímetro = 14 + 5 + 8 + 5 + 6 + 10 = 48 m


47 Un estanque se alimenta de dos bocas de agua. Abriendo solamente la pri-mera, el estanque se llena en 8 horas y, abriendo ambas, en 3 horas. ¿Cuánto

tarda en llenarse si se abre solamente la segunda boca?+ = 8 x =

Si se abre solamente la segunda boca, el estanque tarda en llenarse h = 4 h y 48 minutos.

48 Un grifo llena un depósito en 30 minutos. Si se abre a la vez un segundogrifo, el depósito se llena en 20 minutos. ¿Cuánto tardaría en llenarse solo conel segundo grifo?

+ =8 x

= 60

El segundo grifo llena el estanque en 60 min = 1 h.

1

20

1

x

1

30

245

245

13

1 x

18

x

x

14 m

6 m

8 m2 x

x + ( x + 6)2

x

x + 6

5 cmB + b

2

Pág. 12





PÁGINA 145

c u a c i o n e s d e s e g u n d o g r a d o

49 Observa, razona y resuelve.

a) x 2 = 100 b) x 2 = 20

c) 5 x 2 = 45 d)12 x 2 = 3e) x ( x – 3) = 0 f ) ( x + 5) x = 0

g) x (3 x – 1) = 0 h)3 x (5 x + 2) = 0

i) x 2 – 7 x = 0 j) x 2 + 4 x = 0

k)3 x 2 = 2 x l) 5 x 2 = x 2 – 2 x

a) x = ±10 b) x = ± = ±2

c) x = ±3 d) x = ±

e) x = 0; x = 3 f ) x = 0; x = –5

g) x = 0; x = h) x = 0; x = –

i) x = 0; x = 7 j) x = 0; x = –4

k) x = 0; x = l) x = 0; x = –

50 Resuelve aplicando la fórmula.

a) x 2 – 10 x + 21 = 0 b) x 2 + 2 x – 3 = 0

c) x 2 + 9 x + 40 = 0 d)5 x 2 + 14 x – 3 = 0

e) 15 x 2 – 16 x + 4 = 0 f ) 14 x 2 + 5 x – 1 = 0

g) x 2 – 10 x + 25 = 0 h)9 x 2 + 6 x + 1 = 0i) 6 x 2 – 5 x + 2 = 0 j) 6 x 2 – x – 5 = 0

a) x = 8 x = 7; x = 3

b) x = 8 x = 1; x = –3

c) x = 8 Sin solución.

d) x = 8 x = ; x = –3

e) x = 8 x = ; x =

f ) x = 8 x = ; x = – 12

17

–5 ± √25 + 5628

25

23

16 ± √256 – 24030

15

–14 ± √196 + 6010

–9 ± √81 – 1602

–2 ± √4 + 122

10 ± √100 – 84

2

1

2

2

3

25

13

12

√5√20

E

Pág. 13





g) x = 8 x = 5; x = 5

h) x = 8 x = – ; x = –

i) x = 8 Sin solución.

j) x = 8 x = 6; x = –5

51 Resuelve, primero, mentalmente. Después, reduce a la forma general y aplica la fórmula.a) ( x – 4)2 = 0 b)(2 x – 5)2 = 0

c) ( x – 1) · ( x – 7) = 0 d)( x + 2 ) · ( x + 4) = 0

e) ( x – 5) · ( x + 7) = 0 f ) (2 x – 1) · (2 x + 1) = 0

a) x 2 – 8 x + 16 = 0 8 x = 4; x = 4

b) 4 x 2 – 20 x + 25 = 0 8 x = ; x =

c) x 2 – 8 x + 7 = 0 8 x = 1; x = 7

d) x 2 + 6 x + 8 = 0 8 x = –2; x = –4

e) x 2 + 2 x – 35 = 0 8 x = 5; x = –7

f ) 4 x 2 – 1 = 0 8 x = ; x = –

52 Reduce a la forma general y aplica la fórmula.

a) x 2 – = – 1

b) x + = x +

c) x – = – 2 x –

d) + x = – 1

a) 20 x 2 – x – 1 = 0 8 x = ; x = –

b)10 x 2 – 7 x = 0 8 x = 0; x =

c) 10 x 2 – 7 x + 2 = 0 8 Sin solución.

d) x 2 – 6 x – 16 = 0 8 x = 8; x = –2

710

15

14

2 x 2 – 53

x 2

2

)12(1

15 x 2

2)120( x

3

)25( x

3)130( x

2

) x

4(15

14

12

12

52

52

1 ± √1 + 1202

5 ± √25 – 4812

13

13

–6 ± √36 – 3618

10 ± √100 – 1002

Pág. 14





r o b l e m a s p a r a r e s o l v e r c o n e c u a c i o n e sd e s e g u n d o g r a d o

53 Calcula, primero, mentalmente y, después, con una ecuación.

a) ¿Qué número multiplicado por su siguiente da 12?

x · ( x + 1) = 12b)La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 5. ¿De qué núme-

ros se trata?

x 2 + ( x + 1)2 = 5

a) x = 3; x = –4. Se trata de 3 y 4 ó –4 y –3.

b) x = 1; x = –2. Se trata de 1 y 2 ó –2 y –1.

54 Si un número aumentado en tres unidades se multiplica por el mismo nú-mero disminuido en otras tres, se obtiene 55. ¿De qué número se trata?

( x + 3 ) · ( x – 3) = 55

x = +8; x = –8

El número puede ser 8 ó –8.

55 Si el doble de un número se multiplica por ese mismo número disminui-do en 5 unidades, da 12. ¿Qué número es?

2 x

( x

– 5) = 128 x

= 6; x

= –1El número puede ser 6 ó –1.

56 Los miembros del equipo vamos a hacer un regalo al entrenador que cues-ta 80€. Nos sale un poco caro, pero si fuéramos dos más, tocaríamos a dos eu-ros menos cada uno. ¿Cuántos somos en el equipo?

N.° DE COMPONENTES DEL EQUIPO 8 x

CADA UNO DEBE PAGAR 8

SI FUERAN DOS MÁS, CADA UNO PAGARÍA 8

– 2 =

– 2 =

x 2 + 2 x – 80 = 0 8 x = 8; x = –10

En el equipo hay 8 jugadores.


80 x + 2

80 x

LO QUE PAGARÍA CADA

UNO SI FUERAN DOS MÁS

LO QUE PAGA

CADA UNO

80 x + 2

80 x

P

Pág. 15





58 El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y el área, 600 m2. Calcula susdimensiones.

x (50 – x ) = 600 8 x = 30; x = 20

El rectángulo mide 30 m de largo y 20 m de ancho.

x

50 – x

600 m2

Pág. 16




6Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 124

Las ecuaciones son igualdades algebraicas (con números y letras) quepermiten establecer relaciones entre valores conocidos (datos) y valo-res desconocidos (incógnitas).

Aprendiendo a manejarlas, dispondrás de una potente herramienta para resolver problemas.

1 ¿Cuánto ha de valer x para que la igualdad 2 x + 15 = 135 sea cierta?

x = 60

2 ¿Cuánto pesa el barril que carga el burro? ¿Y el fardo que carga el caballo?

Barril 8 x ; fardo 8 x + 15

2 x + 15 = 135 8 x = 60

El barril pesa 60 kg y el fardo 75 kg.

x + 15

x = ¿?

x + ( x + 15) = 135 2 x + 15 = 135

x + 15 135 kg x

2 x = 120

x x x x x

x

135 kg 135 kg 120 kg

15 kg

ESTOY HARTO

DEL BARRIL.¡ME CARGAN COMO

A UN BURRO!

Y TIENES SUERTE,

MI FARDO PESA 15 KGMÁS QUE TU BARRIL.

NO OS QUEJÉIS,

YO LLEVO 135 KG.

Pág. 1





PÁGINA 125

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 Opera y reduce las expresiones anteriores, comprobando que tus resultadoscoinciden con los que se ofrecen.

5 x 2 – 3 + 7 x + x 2 + x + 1 + 4 x = (5 x 2 + x 2) + ( 7 x + x + 4 x ) + (–3 + 1) = 6 x 2 + 12 x – 2

3 · (2 x – 1) – 2( x – 3) = 6 x – 3 – 2 x + 6 = 4 x + 3

5 · = =

8 · = = 6 x

– – 1 + = = =

= =

2 Comprueba que las identidades anteriores se cumplen para cualquier valor de x o de a .

Por ejemplo, para x = 3 Para a = 3

3 Comprueba que las ecuaciones anteriores se cumplen para las soluciones da-das y que no se cumplen para otros valores diferentes.

8 6 – 4 = 2 8 – = – =

8 22 + 1 = 4 + 1 = 5 8 (–2)2 + 1 = 4 + 1 = 5

Así si x = 1, x – 4 ? 2; si x = 2, – ? ; si x = 5, x 2 + 1 ? 5, por ejemplo.

4 Reduce los siguientes polinomios:

a) x – 3 + x 2 – 5 x – 1 b) 5 x – x 2 – 4 x + 2 x 2

c) 3 x 2 + 4 – 2 x 2 – 3 d) 7 x – 6 + 4 x 2 – 3 x + 8 – 2 x 2

a) x – 3 + x 2 – 5 x – 1 = x 2 – 4 x – 4

b)5 x – x 2 – 4 x + 2 x 2 = x 2 + x

c) 3 x 2 + 4 – 2 x 2 – 3 = x 2 + 1

d)7 x – 6 + 4 x 2 – 3 x + 8 – 2 x 2 = 2 x 2 + 4 x + 2

16

x

3 x

2

° ¢

£

x 2 + 1 = 5

x = –2

° ¢

£

x 2 + 1 = 5

x = 2

16

26

36

13

12

° § ¢ § £

x x 1— – — = —2 3 6

x = 1

° ¢ £

x – 4 = 2

x = 6

° ¢ £

(3 – 1)2

= 22

= 432 – 2 · 3 + 1 = 9 – 6 + 1 = 4

° ¢ £

7 · 3 – 3 · 3 = 21 – 9 = 124 · 3 = 12

2 x – 35

4 x – 610

5 x – 2 x + 4 – 10 + x

105 x – 2( x – 2) – 10 + x

10 x

10 x – 2

5 x

2

24 x

4

3 x

4

3 x

215 x

103 x

10

Pág. 2





PÁGINA 127

1 Asocia cada enunciado con la ecuación que lo expresa algebraicamente:a) La tercera parte de un número es igual a su cuarta parte más una unidad.

b)La edad de Andrés es el triple que la de su hermana, y entre los dos suman8 años.

c) Un rectángulo es 3 metros más largo que ancho, y su perímetro mide 26 me-tros.

d)He pagado 2 € por tres lapiceros y un bolígrafo. Pero el bolígrafo costaba eldoble que un lapicero.

e) Un ciclista ha recorrido la distancia desde A hasta B a la velocidad de 15km/h. Si hubiera ido a 10 km/h, habría tardado una hora más.

a) = + 1 b) x + 3 x = 8

c) x + ( x + 3) + x + ( x + 3) = 26 d) x + x + x + 2 x = 2

e) = + 1

2 Resuelve en el orden en que aparecen.

a) 3 x = 21 b)3 x – 1 = 20

c) = 4 d) = 2

a) x = 7 b) 3 x = 21 8 x = 7

c) 3 x – 1 = 20 8 x = 7 d) = 4 8 x = 7

3 Resuelve con lo que sabes.

a) 7 x = 35 b)4 x – 12 = 0

c) x + 3 = 10 d)2 x – 4 = 6

e) = 2 f ) = 1

g) = 1 h) = 2

i) x 2 + 1 = 26 j) = 5

a) x = 5 b) x = 3

c) x = 7 d) 2 x = 10 8 x = 5

√3 x + 1

102 x – 3

7 x + 1

3 x – 42

x + 13

3 x – 15

3 x – 1

√ 53 x – 1

5

x

15

x

10

x

4 x

3

x x — = — + 110 15

x x — = — + 13 4

x + x + x + 2 x = 2

x + ( x + 3 ) + x + ( x + 3) = 26 x + 3 x = 8

Pág. 3





e) x + 1 = 6 8 x = 5 f ) 3 x – 4 = 2 8 3 x = 6 8 x = 2

g) x + 1 = 7 8 x = 6 h) 2 x – 3 = 5 8 2 x = 8 8 x = 4

i) x 2 = 25 8 x = 5, x = –5 j) 3 x + 1 = 25 8 3 x = 24 8 x = 8

4 Encuentra alguna solución por tanteo.

a) x 2 + 2 x + 1 = 4 b) x 2 – 5 x + 6 = 0

c) + = 3 d) x 3 – = 0

a) x = 1; x = –3 b) x = 2; x = 3

c) x = 8; x = 4 d) x = 0; x = 1

PÁGINA 128

1 Asocia cada ecuación con su o sus soluciones:

4 x + 4 = 5

4 x – 3 = x + 3

x 2 – 3 = 2 x

3 x = x + 1

4 x + 4 = 5 8 x = x 2 – 3 = 2 x 8 x = 3; x = –1

4 x – 3 = x + 3 8 x = 2 3 x = x + 1 8 x =

2 Agrupa las ecuaciones siguientes según sean equivalentes las unas con las otras:

a) 4 x = 20 b)3 x – 1 = 8 c) 5 x – 4 = x

d)3 x = 9 e) 4 x – 5 = 15 f ) 4 x – 4 = 0

Son equivalentes a) y e) (solución x = 5), b) y d) (solución x = 3) y c) y f ) (solución x = 1).

PÁGINA 129

1 Despeja la incógnita y calcula la solución.

a) x + 2 = 5 b) x + 3 = 2 c) x – 1 = 5

d) x – 3 = 4 e) x – 1 = 1 f ) 3 x = 6

g) 5 x = 15 h) = 1 i) = 3

a) x = 5 – 2 b) x = 2 – 3 c) x = 5 + 1 x = 3 x = –1 x = 6

x

5 x

2

12

14

3

2–1 1

—

4

1—

2

√ x 8 x

x

4

Pág. 4





d) x = 4 + 3 e) x = 1 + 1 f) x =

x = 7 x = 2 x = 2

g) x = h) x = 2 · 1 i) x = 3 · 5

x = 3 x = 2 x = 15

2 Resuelve, transponiendo elementos.

a) 3 x = 12 b) x – 4 = 6 c) = 2

d) x + 4 = 3 e) 6 + x = 7 f ) 5 – x = 0

g)4 = h)18 = 3 x i) 4 = x + 2

a) x = 4 b) x = 10 c) x = 6

d) x = –1 e) x = 1 f) x = 5

g) x = 8 h) x = 6 i) x = 2

PÁGINA 134

1 Si al triple de un número le restas 8, obtienes 25. ¿Qué número es?

El número 8 x

3 x – 8 = 25 8 x = 11

El número es 11.

2 Si a cierta cantidad le restas su tercera parte y le sumas su quinta parte, obtie-nes 13 como resultado. ¿Cuál es esa cantidad?

La cantidad 8 x

x – + = 13 8 x = 15

La cantidad es 15.

3 Hemos sumado 13 a la mitad de un número y hemos obtenido el mismo re-sultado que restando 11 a su doble. ¿De qué número se trata?

El número 8 x

+ 13 = 2 x – 11 8 x = 16

El número es 16.

4 La suma de dos números consecutivos es 133. ¿Qué números son?

Los números 8 x ; x + 1

x + ( x + 1) = 133 8 x = 66


x

2

x

5 x

3

x

2

x

3

153

63

Pág. 5





PÁGINA 135

5 Un kilo de manzanas cuesta 0,50 € más que uno de naranjas. Marta ha com-prado tres kilos de naranjas y uno de manzanas por 5,30 €. ¿A cómo están lasnaranjas? ¿Y las manzanas?

+ = 5,30 €

3 x + ( x + 0,5) = 5,30 8 x = 1,20

Un kilo de naranjas cuesta 1,20 €.

Un kilo de manzanas cuesta 1,70 €.

6 Rosa tiene 25 años menos que su padre, Juan, y 26 años más que su hijo Alberto. Entre los tres suman 98 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

+ + = 98 años

x + ( x + 2 5 ) + ( x – 26) = 98 8 x = 33

Rosa tiene 33 años, Juan 58 años y Alberto 7 años.

PÁGINA 136

7 Se han necesitado 150 metros de alambrada para cercar una finca rectangularque es el doble de larga que de ancha. ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?

x + 2 x + x + 2 x = 150 8 x = 25

La parcela mide 25 m de ancho y 50 m de largo.

x

2 x

EDAD

DE

ALBERTO

EDAD

DE

JUAN

EDAD

DE

ROSA

° § ¢ § £

ROSA 8 x

JUAN 8 x + 25

ALBERTO 8 x – 26

COSTE

1 KILO

MANZANAS

COSTE

3 KILOS

NARANJAS

° ¢ £

NARANJAS 8 x

MANZANAS 8 x + 0,5

Pág. 6





8 En un triángulo escaleno, el lado mediano mide 7 cm más que el lado menor y 5 cm menos que el lado mayor. Si el perímetro mide 52 cm, ¿cuál es la longitud

de cada lado?

( x – 7) + x + ( x + 5) = 52 8 x = 18

Los lados del triángulo miden 11 m, 18 m y 23 m.

9 De una parcela rectangular se ceden, para calles, 10 m a lo largo y otros 10 m

a lo ancho, con lo que la parcela pierde una superficie de 480 m2. Si el rectán-gulo resultante tiene una longitud de 30 m, ¿cuál es su anchura?

SUPERFICIE ORIGINAL 8 40 · ( x + 10)

SUPERFICIE RESULTANTE 8 30 · x

SUPERFICIE PERDIDA

40 · ( x + 10) – 30 x = 480 8 x = 8

La anchura resultante es de 8 m.

PÁGINA 137

10 Mezclando aceite de girasol, a 0,80 €/l , con aceite de soja, a 0,60 €/l , se hanobtenido 500 litros de una mezcla que sale a 0,75 €/l . ¿Qué cantidad de acei-te de girasol se ha utilizado? ¿Y de aceite de soja?

0,8 x

+ 0,6(500 – x

) = 500 · 0,758 x

= 375Se han utilizado 375 l de aceite de girasol y 125 l de aceite de soja.

40 · ( x + 10) – 30 · x

480 m2

x

30 10

10

x

x + 5

x – 7

Pág. 7


CANT I DAD (kg) PREC I O (€ / kg) COSTE (€ )

G I RASOL x 0,80 0,8 x

S O J A 500 – x 0,60 0,6 · (500 – x )

M EZCLA 500 0,75 0,75 · 500




11 ¿Qué cantidad de vino de 3,5 €/l hay que mezclar con 300 litros de otro vinode calidad superior, a 6 €/l , para que la mezcla salga a 5 €/l ?

3,5 x + 6 · 300 = 5 · ( x + 300) 8 x = 200

Hay que poner 200 l de vino de calidad inferior.

12 Un coche ha circulado durante un tiempo por una carretera nacional a 90 km/h y, después, por una autopista a 120 km/h. Si el viaje ha durado un total de5 horas y la velocidad media resultante ha sido de 108 km/h, ¿durante cuántotiempo ha circulado por cada carretera?

90 x + 120(5 – x ) = 108 · 5 8 x = 2

Ha circulado 2 h por la carretera nacional y 3 h por la autopista.

PÁGINA 138

1 Indica cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado y exprésalas en la for-ma general:

a) x 2 = 5

b) x 2 + 3 = x 2 + x

c) 2 x ( x – 1) = 4

d) x ( x – 3) = x 2 – 1

e) 7 x 2 – 4 x = x 2 + 2

f) 5 x + 6 – x 2 = 7 x 3 + 4

a) x 2 + 0 x – 5 = 0 c) 2 x 2 – 2 x – 4 = 0 e) 6 x 2 – 4 x – 2 = 0

2 Asocia cada ecuación con su pareja de soluciones:

a) x 2 = 25 b) x 2 + x – 6 = 0

c) x 2 + 3 x – 10 = 0 d) x 2 – 7 x + 10 = 0

a) 5 y –5 b) 2 y –3 c) 2 y –5 d) 2 y 5

–352–5

Pág. 8


CANT I DAD ( l ) PREC I O (€ / l ) COSTE (€ )

V IN O C AL I DA D I NF E RI OR x 3,5 3,5 x

V I NO C A LI DA D S U PE R IO R 300 6 6 · 300

M EZCLA x + 300 5 5 · ( x + 300)

VE LOC I DAD (km/h) T I EM PO (h) D I STANC I A (km)

C . NAC I ONAL 90 x 90 x

AUTOP I STA 120 5 – x 120(5 – x )

T O TA L V I A JE 108 5 108 · 5




PÁGINA 140

1 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x 2 = 81 b) x 2 = 25 c) x 2 = 7 d)5 x 2 = 20

e) 4 x 2 = 1 f ) x 2 – 9 = 0 g) x 2 + 6 = 10 h)3 x 2 – 7 = x 2 + 9

i) = j) – = 0

a) x = ±9 b) x = ±5 c) x = ± d) x = ±2

e) x = ± f ) x = ±3 g) x = ±2 h) x = ± = ±2

i) x = ± j) x = ±

2 Reduce, saca factor común y resuelve.

a) x 2 – 4 x = 0 b) x 2 + 2 x = 0 c) x 2 – x = 0

d) x 2 + x = 0 e) 3 x 2 – 2 x = 0 f ) 5 x 2 + x = 0

g) 5 x 2 = 4 x h)2 x 2 = – x i) 2 x + x 2 = 7 x

j) 3 x 2 – 2 x = 2 x 2 – 4 x k) = l) + =

a) x ( x – 4) = 0 b) x ( x + 2) = 0 c) x ( x – 1) = 0

x = 0; x = 4 x = 0; x = –2 x = 0; x = 1

d) x ( x + 1) = 0 e) x (3 x – 2) = 0 f) x (5 x + 1) = 0

x = 0; x = –1 x = 0; x = x = 0; x = –

g) x (5 x – 4) = 0 h) x (2 x + 1) = 0 i) x ( x – 5) = 0

x = 0; x = x = 0; x = – x = 0; x = 5

j) x ( x + 2) = 0 k) x (3 x – 2) = 0 l) x ( x + 2) = 0

x = 0; x = –2 x = 0; x = x = 0; x = 2

3 Calcula las soluciones aplicando la fórmula.

a) x 2 – 6 x + 8 = 0 b) x 2 – 6 x + 5 = 0

c) x 2 + x – 12 = 0 d) x 2 + 7 x + 10 = 0

e) 2 x 2 – 7 x + 6 = 0 f ) x 2 – 2 x + 1 = 0

g) x 2 + 6 x + 9 = 0 h) x 2 – 3 x + 3 = 0

a) x = = 8 x = 4; x = 2

b) x = = 8 x = 5; x = 16 ± √16

26 ± √36 – 20

2

6 ± √42

6 ± √36 – 322

2

3

12

45

15

23

5 x

6 x 2

4 x

3 x

3 x 2

2

3

10

4

5

√2√812

√7

150

2 x 2

925

5 x 2

8

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c) x = = 8 x = 3; x = –4

d) x = = 8 x = –2; x = –5

e) x = = 8 x = 2; x =

f) x = = 8 x = 1; x = 1

g) x = = 8 x = –3; x = –3

h) x = = 8 Sin solución

4 Reduce y resuelve.

a) x 2 – 3 x – 5 = 2 x + 9 b)6 x 2 – 5( x – 1) = x ( x + 1) + 4

c) 2 x 2 + = x 2 + + d) x ( x + 1) – =

e) + =

a) x 2 – 5 x – 14 = 0 8 x = ; x =

b) 5 x 2 – 6 x + 1 = 0 8 x = 1; x =

c) 20 x 2 – 11 x – 4 = 0 8 x = ; x = –

d) 6 x 2 – 5 x + 1 = 0 8 x = ; x =

e) 6 x 2 + 5 x – 1 = 0 8 x = –1; x =

5 Resuelve estas ecuaciones, observa sus parecidos y diferencias, y compara sussoluciones:

x 2 – 6 x + 5 = 0 8 x = 5; x = 1

x 2 – 6 x + 9 = 0 8 x = 3; x = 3

x 2 – 6 x + 10 = 0 8 Sin solución

La primera tiene dos soluciones diferentes; la segunda tiene dos soluciones iguales,y la tercera no tiene solución. Esto depende de que, en la fórmula, el radicando(b 2 – 4ac ) sea mayor, igual o menor que cero.

x 2 – 6 x + 10 = 0 x 2 – 6 x + 9 = 0 x 2 – 6 x + 5 = 0

16

13

12

14

45

15

5 – √892

5 + √892

3 x + 710

x 2 – x

52 x + 2

3

x – 46

12

15

4 x

5 x

4

3 ± √–32

3 ± √9 – 122

–6 ± 02

–6 ± √36 – 362

2 ± 02

2 ± √4 – 42

32

7 ± √14

7 ± √49 – 484

–7 ± √92

–7 ± √49 – 402

–1 ± √492

–1 ± √1 + 482

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ecuaciones 2

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