e book transformadores

TRANSFORMADORES

Felipe Crcoles LpezJoaquim Pedra i DurnMiquel Salichs i VivancosDepartamentd'Enginyeria ElctricaE.T.S.E.I. BarcelonaUniversitat Politcnica de Catalunya

http://fiee.zoomblog.com/

Primera edicin: diciembre de 1996

Diseo cubierta: Antoni Gutirrez

los autores, 1996

Edicions UPC, 1996Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel. 401 68 83 Fax 401 58 85

Produccin: Servei de Publicacions de la UPC iCPET (Centre de Publicacions del Campus Nord)La Cup. C. Gran Capit s/n, 08034 Barcelona

Depsito legal:B-23.164-96ISBN: 84-8301-177-8

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Presentacin 7

Presentacin

El origen de este libro son unos apuntes sobre transformadores que realizamos para la asignatura deElectrotecnia que actualmente impartimos en la ETSEIB. Por ello, creemos que puede servir de ayudaen cursos bsicos de electrotecnia.

Se comienza con una necesaria introduccin a los circuitos magnticos. Despus se presentan lasexpresiones temporales del transformador monofsico con ncleo no lineal, a partir de las que se llegaa todos los usuales esquemas de rgimen permanente senoidal. Es de sealar que en el captulo 5 semuestra un procedimiento muy til y sencillo para obtener el esquema equivalente de un transformadorcon cualquier nmero de devanados. Por ltimo, se analiza el transformador trifsico en rgimenequilibrado.

En este trabajo no se han tratado temas como la no linealidad del transformador y el estudio deltransformador trifsico en rgimen desequilibrado. Estos temas corresponderan, en nuestra opinin,a un curso avanzado de mquinas elctricas.

Al final se han incluido unos anexos que, si bien algunos se salen del contenido general, resultainteresante tener en cuenta.

Por ltimo, debemos agradecer a nuestro compaero Luis Sainz Sapera el haberse molestado en pasarla versin anterior por su rigurosa tiza, y a Francesc J. Suelves Joanxich sus siempre didcticoscomentarios.

Deseamos que este trabajo resulte todo lo interesante que se ha pretendido y agradecemos lassugerencias y la comunicacin de errores que esperamos hagis llegar.

Barcelona, septiembre de 1996


ndice 9

ndice

1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Anlisis de circuitos magnticos

2.1 Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Ley de la conservacin del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Propiedades de los materiales magnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Modelo elctrico de un circuito magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Ley de induccin de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Terminales correspondientes de bobinas acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7 Definiciones de inductancia para circuitos lineales y no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8 Relacin u(t), i(t), N(t) en una bobina con ncleo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Descripcin del transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Expresiones temporales del transformador monofsico

4.1 Transformador monofsico con ncleo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Transformador monofsico ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Transformador monofsico con ncleo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Incorporacin de las prdidas en el ncleo: transformador monofsico real . . . . . . . . . . . 43

5 Procedimiento general para obtener el esquema equivalente de untransformador

5.1 Esquema equivalente de un transformador de varios devanados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


10 Transformadores

5.2 Esquema equivalente del transformador monofsico con prdidas en el circuito magntico 49

6 Transformador monofsico ideal en rgimen permanente senoidal

6.1 Transformador monofsico ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Transformador monofsico real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Valores nominales. Placa de caractersticas

7.1 Valores nominales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2 Placa de caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8 Reduccin de circuitos con transformadores ideales

8.1 Circuitos con un transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.2 Circuitos con varios transformadores ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9 El transformador real reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10 Bases ms empleadas en la reduccin de circuitos con un solo transformadorreal

10.1 Reduccin a valores en p.u. (por unidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.2 Reduccin al primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.3 Reduccin al secundario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.4 Relaciones entre las tres bases referidas al propio transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11 Reduccin de circuitos con varios transformadores reales . . . . . . . . . . . . . 75

12 Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

13 Esquema equivalente de Thevenin de un transformador visto desde elsecundario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


ndice 11

14 Funcionamiento en carga, rendimiento y cada de tensin . . . . . . . . . . . . . 83

15 Resumen de los circuitos equivalentes del transformador monofsico enrgimenpermanente senoidal

15.1 Transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8915.2 Esquema en T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8915.3 Esquema en L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9015.4 Esquema despreciando la rama del hierro (ncleo ideal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9115.5 Equivalente de Thevenin desde el secundario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

16 Transformadores en paralelo

16.1 Por qu hace falta que tengan la misma relacin de transformacin? . . . . . . . . . . . . . . . 9416.2 Acoplamiento correcto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9516.3 Acoplamiento ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9616.4 Resolucin de problemas con transformadores en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

17 Ensayos en el transformador para la determinacin de parmetros

17.1 Ensayo en vaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10017.2 Ensayo en cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

18 Valores usuales de los parmetros del transformador de potencia . . . . 105

19 Autotransformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

20 El transformador trifsico en rgimen permanente senoidal equilibrado

20.1 Evolucin del banco trifsico al transformador de tres columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11220.2 Conexiones de los devanados. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11720.3 Valores nominales y placa de caractersticas del transformador trifsico . . . . . . . . . . . . . 120


12 Transformadores

21 Reduccin del transformador trifsico en rgimen permanente senoidalequilibrado

21.1 Eleccin de los valores base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12421.2 Bases referidas al propio transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

22 ndice horario22.1 Desfase total entre tensiones de primario y de secundario en un transformador trifsico en

carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

23 Aplicaciones del transformador

23.1 Transformador de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13823.2 Transformadores de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13823.3 Transformadores para regulacin de la tensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14123.4 Transformadores especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14223.5 Transformadores para otras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Anexo 1 Esquemas equivalentes de dos bobinas acopladas. Relacin entre los parmetros de las bobinas y los del transformador monofsico . . . 147

Anexo 2 Estudio transitorio de un circuito con transformadores ideales . . 155

Anexo 3 Comportamiento no lineal del transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Anexo 4 Incorporacin del ndice horario al esquema del transformador trifsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165


Introduccin 13

Fig. 1.1 Generacin, transformacin, transporte y consumo de energaelctrica

1 Introduccin

El transformador es un elemento muy utilizado en los sistemas elctricos, porque permite trabajar en cadasituacin con la tensin e intensidad ms adecuadas.

Un caso significativo es el de los sistemas de potencia, en los que hace posible que la generacin,transporte y consumo de la energa elctrica se realicen a las tensiones ms rentables en cada caso. Eltransporte resulta ms econmico cuanto ms alta sea la tensin, ya que la corriente y la seccin de losconductores son menores (intensidades pequeas provocan menores prdidas por efecto Joule). Razonestecnolgicas impiden que los alternadores de las centrales puedan proporcionar tensiones superiores alos 30 kV. Por ello es necesaria la transformacin en las centrales de estas tensiones a las tpicas detransporte, generalmente inferiores a 400 kV (transformadores elevadores). Por otro lado, los aparatosconsumidores de la energa elctrica no estn diseados para tensiones tan elevadas (por seguridad delas personas), por lo que son normales las de 220 o 380 V, aunque tambin hay receptores de granpotencia con tensiones nominales del orden de unos pocos kilovoltios. De nuevo se hace necesaria lareduccin de la tensin mediante los llamados transformadores de distribucin. Esta reduccin se realizaen varias etapas, en funcin de los receptores y de las necesidades de la distribucin.

El transformador tambin se utiliza en circuitos de baja potencia y tensin para otras aplicaciones como,por ejemplo, la igualacin de impedancias de carga y fuente para tener mxima transferencia de potencia,el aislamiento de circuitos, o el aislamiento frente a la corriente continua, sin perder la continuidad de lacorriente alterna. Otra aplicacin es como dispositivo auxiliar de los aparatos de medida, reduciendo latensin o corriente de un circuito para adecuarla a la que aceptan los aparatos de medida: son los llamadostransformadores de medida.


rot H J D t

HJD

Anlisis de circuitos magnticos 15

(2.1)

2 Anlisis de circuitos magnticos

Los materiales magnticos tienen una doble importancia en los dispositivos de conversin de energa.Se pueden obtener grandes densidades de flujo con niveles relativamente bajos de fuerza magnetomotriz.Por otro lado, se pueden usar para delimitar y dirigir a los campos magnticos en unas trayectoriasdefinidas: hacen en magnetismo el papel de conductores, al igual que los conductores elctricos enelectricidad.

Para el estudio del transformador es necesario el conocimiento de los circuitos magnticos y de las leyesque los rigen. En el anlisis de los circuitos magnticos habituales se emplean las ecuaciones de Maxwellen su forma integral, con lo cual resultan leyes de uso comn ms sencillas. En concreto se utilizarn:

- la ley de Ampere,- la ley de conservacin del flujo,- la ley de induccin de Faraday, y- las propiedades magnticas de los materiales empleados.

2.1 Ley de Ampere

La ley de Ampere se obtiene de la ecuacin de Maxwell

donde: = vector intensidad de campo magntico (A/m, amperio/metro), = vector densidad de corriente (A/m ),2 = vector desplazamiento (As/m ).2

En los casos que se estudian habitualmente en la tcnica, al trabajar con bajas frecuencias o con continua,el trmino del vector desplazamiento es despreciable (es importante, por ejemplo, en el estudio de lapropagacin de ondas electromagnticas), por lo que para el estudio de circuitos magnticos queda:


rot H J

Srot H dS SJ dS CH dl SJ dS

CH dl Ni

CH dl Ni

mm

HFe lFe N1 i1 N2 i2

dl

Transformadores16

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Escrita en forma integral (aplicando una integral de superficie a ambos lados de la misma) resulta la leyde Ampere:

Donde se ha aplicado el teorema de Stokes para pasar de una integral de superficie a una integral de lnea.

Si la densidad de corriente elctrica procede de una bobina, es decir, de una serie de N espiras recorridaspor una intensidad i que atraviesan la superficie S, se obtiene la expresin ms comn de la ley deAmpere:

donde: = diferencial de camino del camino elegido (m),i = intensidad que atraviesa una superficie que tiene como lmite el camino elegido (A),N = nmero de veces que la intensidad i atraviesa la superficie (vueltas).

Al producto Ni tambin se le llama fuerza magnetomotriz, :mm

Convenio de signos de la

=

N imm

Apliquemos la ley de Ampere al camino cerrado de la figura 2.1:

donde se ha hecho la hiptesis de que la intensidad de campo magntico en el hierro, H , es de mduloFeconstante (ya que no hay variacin en la seccin del hierro) y paralela a los diferenciales de camino delcamino elegido. Adems l es la longitud del camino escogido, que usualmente es el camino medio, esFedecir, el que va por la mitad de la seccin.


1i

1N 2N

HFe

2i

Superficieabierta S

Camino C delongitud l Fe

i

H B


Fig. 2.1 Circuito magntico e intensidad de campo magntico

Fig. 2.2 Campos y flujo creados por una intensidad (reglade la mano derecha)

El signo positivo de N i se obtiene aplicando la regla de la mano derecha: esta intensidad crea un campo1 1en la direccin de H . El signo negativo de N i se debe a que crea un campo con direccin contraria.Fe 2 2Obsrvese que i entra al plano del papel mientras que i sale de l.1 2

Las hiptesis anteriores para la resolucin de un circuito magntico mediante la ley de Ampere solo sepueden efectuar en el caso de que las geometras sean muy sencillas (circuitos con secciones constantes).Para la resolucin de circuitos con geometras ms complicadas se debe recurrir a tcnicas de resolucinnumrica como, por ejemplo, el mtodo de los elementos finitos.


div B 0

Vdiv B dV 0 SB dS 0

neto,S s

B dS 0

i

N

1

Superficiecerrada S

2 3s

B dS B S 0

1 2 3 0

B

dVdS

Transformadores18

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Fig. 2.3 Conservacin del flujo

(2.10)

2.2 Ley de la conservacin del flujo

Esta ley se obtiene a partir de otra ecuacin de Maxwell,

donde: = vector densidad de flujo magntico, o tambin vector induccin magntica (T=Wb/m ,2Tesla).

Escrita en forma integral y utilizando el teorema de la divergencia para pasar la integral de volumen a unaintegral de superficie,

donde: = vector diferencial de volumen (m ),3 = vector diferencial de superficie (m ),2

se obtiene la ley de la conservacin del flujo en su forma de escritura ms usual, cuyo significado fsicoes que el flujo neto que atraviesa una superficie cerrada es nulo:

donde: = flujo magntico (Wb, Webber).

Aplicando esta ley a un circuito magntico, en unaregin en la que coinciden distintas ramas, se tiene(Fig. 2.3):

lo que se interpreta como que la suma de flujosque llegan a un nudo es nula.


B H 0 r H , 0 4 107

H a1 B a3 B3 a5 B

5, B aH

n

b n H n cH , B aH

b H cH


(2.11)

(2.12)

2.3 Propiedades de los materiales magnticos

Relacin B-H de un material

La intensidad de campo magntico y la induccin magntica en cualquier material estn relacionadas atravs de la permeabilidad magntica del mismo, ,

donde: = permeabilidad magntica (Wb/Avm), = permeabilidad magntica del vaco (Wb/Avm),0 = permeabilidad relativa (sin dimensiones), siendo:r

- materiales no magnticos 1,r- materiales ferromagnticos 2000 < < 6000 (valores usuales en la zona lineal).r

Las unidades utilizadas hasta el momento corresponden al Sistema Internacional de Unidades (SI),aunque existen otras que se siguen utilizando por tradicin:

1 T = 10.000 Gauss (G) = 64,5 kilolneas/pulg ,21 Av/m = 1/80 Oersted (Oe),1 Wb = 10 Maxwells (Mx) = 10 lneas.8 8

Los materiales ferromagnticos, compuestos de hierro y sus aleaciones con cobalto, tungsteno, nquel,aluminio y otros metales, son los materiales magnticos ms comunes.

Si el medio magntico es lineal, la permeabilidad magntica es constante, y si no lo es, depende del valorde H. El comportamiento de un material magntico como el hierro es, en realidad, no lineal, y estdefinido por la curva B-H. Esta curva puede tener una forma analtica aproximada:

Tanto en la figura 2.4a como en las expresiones analticas se han supuesto nulas las prdidas porhistresis, lo que se aprecia al observar que el rea encerrada por la curva es nula (las prdidas porhistresis son proporcionales al rea encerrada por la curva). Aunque depende del tipo de material, lasaturacin puede comenzar a una densidad de campo magntico de entre 1 y 2 Teslas (Wb/m ).2

La alta permeabilidad relativa, , del hierro se debe a que est constituido por dominios magnticos querrealizan una amplificacin de la excitacin magntica exterior al orientarse en la direccin de sta.Cuando todos los dominios estn orientados desaparece el efecto de la amplificacin, y la permeabilidadrelativa pasa a tener un valor prximo a la unidad, con lo que aparece el fenmeno de la saturacin.


NHFe cte.Fe

i

u

CH dl Ni

mm i

HFe lFeN

N N (B S )

u(t) N ddt

ddt

Transformadores20

Fig. 2.4 Caracterstica B-H no lineal: (a) sin ciclo de histresis, y (b) con ciclo de histresis

Fig. 2.5 Bobina con ncleomagntico no lineal

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Es interesante representar la relacin no lineal entre B y H enuna bobina con un ncleo ferromagntico en funcin de latensin aplicada y de la intensidad absorbida. Para ello, seobserva que la intensidad de campo magntico esproporcional a la intensidad, ya que aplicando la ley deAmpere a un camino cerrado a travs del ncleo,

mientras que la densidad de flujo magntico es proporcional al flujo total concatenado por la bobina, yaque

y si u(t) es senoidal, por la ley de induccin de Faraday (Apdo. 2.5), el flujo tambin lo es:

Luego la relacin entre la tensin y la intensidad de una bobina alimentada con tensin senoidal es lamisma que entre B y H, con un cambio de escalas adecuado y teniendo en cuenta un adelanto de 90 dela tensin respecto al flujo:


u(t) senoidal (t) K1 B(t) senoidal

H(t) K2 i(t)

u(t) es proporcional a B(t)i(t) es proporcional a H(t)

pH KH f B

pF KF f 2 B 2

pH pF K1 B2 K2 U

2


(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

Y con cualquier tipo de alimentacin en general, el flujo es proporcional a la induccin y la intensidadelctrica es proporcional a la intensidad de campo.

Ciclo de histresis y corrientes parsitas en un material magntico

Los materiales magnticos sometidos a un flujo variable en el tiempo sufren un calentamiento debido ala histresis magntica (Fig. 2.4b) y a las corrientes parsitas de Foucault. Estos fenmenos provocan lasllamadas prdidas magnticas (consumo de potencia activa que se disipa en forma de calor en el ncleo).

Las prdidas por histresis son debidas a los defectos de la estructura cristalina del material, y seproducen cuando se modifican las fronteras de los dominios magnticos. Son proporcionales a lafrecuencia (nmero de veces que varan los dominios), y se pueden expresar como

donde es un coeficiente emprico cuyo valor suele ser de 1,6.

Las prdidas por corrientes inducidas de Foucault son, bsicamente, unas prdidas por efecto Joule,debidas a la resistencia elctrica del material. Dependen de la induccin y de la frecuencia, puedenexpresarse como

Normalmente se acepta que las prdidas por ciclo de histresis y por corrientes inducidas de Foucaultpara una frecuencia fija dependen de la induccin al cuadrado, es decir, de la tensin al cuadrado:

Hay dos tipos de ciclos de histresis de un material magntico:

- dinmico: se obtiene con tensin alterna y su rea incluye las prdidas por histresis y por corrientesinducidas de Foucault, y

- esttico: se obtiene con tensin continua variable y su rea slo incluye las prdidas por histresis.

Para limitar las prdidas por corrientes de Foucault en los transformadores, se suele construir el ncleocon chapas aisladas elctricamente entre s, con lo que se limita la posibilidad de circulacin de corrientesinducidas al aumentar la resistencia elctrica que ofrece el ncleo a este tipo de corrientes (sin alterar laspropiedades magnticas).


1i

1N

2N

Fe

2id

l

HFe lFe H l N1 i1 N2 i2

Hd ld N1 i1

BFe SFe B S 0

BFe Fe HFe B 0 H

Bd 0 Hd

BFeFe

lFe BFe0

l

N1 i1 N2 i2

Bd0

ld N1 i1

Fe d BFe SFe Bd Sd

Transformadores22

Fig. 2.6 Circuito magntico con entrehierro yflujo de dispersin

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

Ejemplo.-

Utilizaremos la relacin B-H y las leyes de Amperey de conservacin del flujo para el estudio delcircuito magntico de la figura 2.6. Se trata de uncircuito magntico con dos bobinas, entrehierro yflujo de dispersin nicamente en una de ellas.

Aplicando la ley de Ampere a los dos caminosindicados:

Hay que sealar que se est considerando que

es un flujo que se cierra ntegramente por el aire a travsdde un circuito magntico ficticio de longitud l y seccin S .d d

Aplicando la ley de la conservacin del flujo a una superficie cerrada que cruce el entrehierro:

Suponiendo que S = S (despreciando el efecto de bordes), se tiene que B = B .Fe Fe

Utilizando la caracterstica magntica del material:

se pueden calcular B y B , ya que resultaFe d

El flujo total creado por la bobina se obtiene aplicando la ley de conservacin del flujo:


CH dl

Ni

H l

Ni

B

l

Ni

B S l

r

oS

Ni

l

r

oS

Ni

m

mm

m

mm, 0

R I

E , I 0

mm1 N1 i1 dd

mm1 mm2 N1 i1 N2 i2 Fe Fe Fe

d Fe


(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

Fig. 2.7 Modelo elctrico del circuito magntico de lafigura 2.6

(2.29)

2.4 Modelo elctrico de un circuito magntico

Resulta muy interesante observar el paralelismo que existe entre los circuitos magnticos y los elctricos.Para ello, se modifica la notacin de la ley de Ampere. Sea un circuito magntico con diferentesintensidades de campo H y diferentes excitaciones i:

Que tambin se puede reescribir como:

donde:

= l/( S) = reluctancia magntica (l y S son la longitud y la seccin del circuitom o rrespectivamente),

= flujo por unidad de espira,

= N i = fuerza magnetomotriz.mm

Esta ley y la de conservacin del flujo son suficientes para el estudio de los circuitos magnticos:

y son anlogas a las de los circuitos elctricos de corriente continua:

Ejemplo.-

Resolver el circuito circuito magntico de lafigura 2.6 utilizando un modelo elctrico:


rot E B t

Srot E dS S

B tdS CE dl S

B tdS

u(t) N ddt

ddt

E

Transformadores24

(2.30)

(2.31)

(2.32)

2.5 Ley de induccin de Faraday

La ecuacin de Maxwell,

donde: = vector campo elctrico (V/m),

se puede escribir en forma integral aplicando el teorema de Stokes para pasar la integral de superficie ala de camino:

La superficie S sobre la cual se integra B es una superficie abierta cuyo borde es el camino C. Si estecamino corresponde a una espira, en los extremos de sta se obtiene una tensin, u(t), correspondientea la variacin de la densidad del flujo magntico.

La ley de induccin de Faraday permite calcular la tensin, u(t), en los extremos de una bobina de Nespiras (la superficie de integracin es una superficie multifoliada de N hojas) atravesada por un flujo porespira (t). Esta ley se escribe como:

donde: u(t) = tensin en bornes de la bobina (V),(t) = N (t) = flujo total concatenado por la bobina (Wb).

El significado de (t) es evidente: si cada espira de la bobina concatena un flujo (t), la bobina de N

espiras concatenar un flujo total (t) = N (t).

En gran parte de la bibliografa clsica de Teora de Circuitos y en la de Fsica aparece un signo negativoen la expresin de la ley de induccin de Faraday (Ec. 2.32). Este signo procede del de la ecuacin deMaxwell (Ec. 2.31). Durante aos se ha seguido utilizando el signo negativo con ayuda de un convenioadecuado para justificarlo. Este convenio utiliza unas magnitudes llamadas fuerza electromotriz y fuerzacontraelectromotriz (que se designan con la letra e). En estos apuntes nunca se utilizarn estasmagnitudes, sino que se hablar siempre de tensiones o de diferencias de potencial, al igual que se haceen la bibliografa reciente sobre Teora de Circuitos.

Con esto se quiere decir que la ecuacin 2.32 va asociada a un determinado convenio, el cual se muestraa continuacin.


(t)

2N

1N1u (t)

2u (t)


Fig. 2.8 Convenio de signos: (a) bobina con flujo variable, (b)intensidad asociada a (t), (c) direccin de la tensin inducida

Fig. 2.9 Tensin inducida en bobinas con diferentesentido de bobinado

Convenio de signos de u(t),

(t) en una bobina

Sea la bobina de la figura 2.8a, atravesada por un flujo (t). Para dibujar la tensin u(t) que cumple laecuacin 2.32 es necesario fijarse en la direccin del bobinado de las espiras, o lo que es lo mismo, elsentido de una intensidad que provoque flujo en la misma direccin.

Una intensidad que entrara por el terminal 1 (Fig. 2.8b) creara flujo en la misma direccin que (t). Estaes la intensidad asociada al flujo (t). La tensin u(t) tiene el mismo sentido que la intensidad asociada,es decir, va del terminal 1 al 1' (Fig. 2.8c). A la tensin y al flujo de esta figura se les llama concordantes.

Esto no quiere decir que la intensidad real en la bobina lleve el sentido de la intensidad asociada al flujo,ya que sta depender del resto del circuito.

La figura 2.9 muestra la tensin inducida en dos bobinas atravesadas por el mismo flujo.


(t)

2N

1

1'

3N

1N

2

2'

3

3'

(t)

2N2i (t)

1

1'

3N3i (t)

1N

1i (t)

2

2'

3

3'

(t)

2N2u (t)

1

1'

3N3u (t)

1N1u (t)

2

2'

3

3'

(a) (b) (c)

N L i

Transformadores26

Fig. 2.10 Terminales correspondientes de bobinas acopladas

(2.33)

2.6 Terminales correspondientes de bobinas acopladas

Una vez aclarado el convenio de signos de flujo y tensin en una bobina, es necesario definir el conceptode terminales correspondientes cuando se dispone de varias bobinas con un flujo comn (bobinasacopladas):

Terminales correspondientes son aqullos por los que al entrar una intensidad produce flujo enla misma direccin.

Tambin se pueden definir como:

Terminales correspondientes son aqullos que al aplicarles una tensin positiva crean flujo enla misma direccin.

Los terminales correspondientes se indican con un punto. As los terminales 1, 2' y 3' de la figura 2.10son correspondientes.

2.7 Definiciones de inductancia para circuitos lineales y no lineales

La inductancia se define como la relacin entre el flujo que concatena una bobina y la intensidad que loha creado. En el caso de una bobina nica (sin otras acopladas), la inductancia, L, es la relacin entre elflujo total concatenado por la bobina y la intensidad que circula por la misma,


CH dl

N i

H l

N i

B

l

N i

B S N S N

l

N i

N S N

l

N i

S Nl

N i

S N 2l

i

L

0 r S N2

l

L

N 2

, l

o

rS

l S

mm

N i

N 2 i (N )

N 2

i

Lc

i


(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

(2.38)

Si el ncleo es lineal, aplicando la ley de Ampere,

donde, por comparacin, resulta

Tambin se puede escribir como

ya que aplicando la ley de Ohm magntica al circuito:

En el caso de comportamiento no lineal del ncleo, la inductancia no es constante, ya que no lo es lapermeabilidad magntica, . En funcin de cmo se trabaje con la bobina, se pueden tener distintasdefiniciones de inductancia:

- inductancia en continua,- inductancia incremental,- inductancia equivalente.

Si slo se aplica tensin continua a la bobina, la inductancia se calcula como:


Linc ddi

Leq

Uef I

ef

Transformadores28

Fig. 2.11 Caracterstica -i de una bobina con ncleo no lineal

(2.39)

(2.40)

que corresponde a la pendiente de la recta O-A de la figura.

Si se aplica a la bobina tensin continua con una tensin alterna de pequea amplitud, de forma que latensin total se desplaza ligeramente respecto al valor de continua, se utiliza la definicin de inductanciaincremental para la componente alterna:

que corresponde grficamente a la pendiente de la recta tangente al punto A.

Finalmente, en el caso de una bobina alimentada con tensin senoidal, se define la inductanciaequivalente utilizando el concepto de senoide equivalente (Anexo 3). Suponiendo despreciables lasprdidas en la bobina,

donde: U = tensin eficaz aplicada a la bobina (V),ef = pulsacin de la tensin (rad/s),I = intensidad eficaz, que contiene armnicos debidos a la no linealidad (A).ef


u(t) ddt

L i u(t) L di

dt

u(t ) ddt

L ( i ) u(t ) L d( i )

dt

u(t ) ddt

L ( i ) u(t ) L d( i )

dt


Fig. 2.12 Sentidos de referencia de u-i- en unabobina

(2.41)

Fig. 2.13 Bobinas con u-i- noconcordantes

(2.42)

(2.43)

2.8 Relacin u(t), i(t), (t) en una bobina con ncleo lineal

Definidos los convenios tensin-flujo en una bobina y de fuerza magnetomotriz, las relaciones entre u(t),i(t) y (t) en una bobina lineal quedan completamente definidas.

Tomaremos como sentidos de referencia los de u(t), i(t) y (t) de la bobina de la figura 2.12:

El sentido de u(t) y de i(t) es el de la intensidad asociada al flujo (t), o lo que es lo mismo, u(t) e i(t)van de 1 a 1'. Es decir, u(t), i(t) y (t) son concordantes.

Si se tiene una bobina donde las flechas no coinciden con las de la figura 2.12, tan slo hay que colocarun signo negativo en la magnitud correspondiente. Por ejemplo, las ecuaciones de la bobina de la figura2.13a son idnticas a la ecuacin 2.41, pero cambiando i(t) por -i(t), como se puede observar en laecuacin 2.42. Tambin puede suceder que el sentido del bobinado no coincida, como en la figura 2.13b,en cuyo caso hay que cambiar los signos de i(t) y u(t) porque ambas magnitudes no son concordantes conel flujo dibujado (t).


Descripcin del transformador 31

Fig. 3.1 Transformadores con ncleos tipo: (a) toroidal, (b) de columnas, y (c) acorazado

3 Descripcin del transformador

Un transformador es una mquina elctrica esttica que transfiere energa elctrica de un circuito a otro,transformando la tensin (u ) y la corriente (i ) del circuito llamado primario en la tensin (u ) y la1 1 2corriente (i ) del circuito llamado secundario (Fig. 3.1a).2

Bsicamente, un transformador son dos o ms circuitos elctricos acoplados magnticamente medianteun flujo comn, es decir, son dos o ms bobinas acopladas. Cuando el transformador est formado pordos bobinas acopladas, como el de la figura 3.1a, se llama monofsico.

Para conseguir que haya un flujo comn entre las bobinas se puede utilizar un ncleo de aire, aunqueresulta mucho ms sencillo utilizar un ncleo de hierro u otro material ferromagntico (en este caso, elcamino a travs del aire tambin existe, aunque el flujo no es comn a los dos devanados, y se llama flujode dispersin). Para que un devanado induzca tensin en el otro, el flujo comn ha de ser variable y, paraello, tambin ha de serlo la corriente que lo cree (con corriente continua constante no se puede inducirtensin).

Una caracterstica del transformador es su reversibilidad, lo cual quiere decir que tambin se puedealimentar por el lado u , i y ceder energa al lado u , i .2 2 1 1

Por economa, los transformadores reales se construyen de dimensiones mnimas para que se puedancolocar los devanados, como en las figuras 3.1b y 3.1c, en donde se ha realizado una seccin a losmismos.


uk Rk ik ui ,k Rk ik Ld ,kdikdt Nk

dc

dt

Nk ik HFe lFe cc

Nkd

c

dt

uk

Nk

RkN 2k

( Nk ik ) Ld ,kN 2k

d ( Nk ik )dt

dc

dt

Transformadores46

(5.1)

(5.2)

Fig. 5.2 Esquemas equivalentes que representan la ecuacin elctrica del devanado k-simo, y laecuacin magntica de un transformador con n devanados

(5.3)

(5.4)

y la ecuacin magntica (Ec. 4.11):

Estas ecuaciones se pueden representar mediante los esquemas equivalentes de la figura 5.2.

Se observa que el esquema equivalente del circuito elctrico de cada devanado tiene una fuente de tensinde valor

Como nos planteamos la posibilidad de juntar todos los esquemas equivalentes en uno solo, si esta fuentede tensin fuera igual para todos ellos, se podran colocar en paralelo. Dividiendo la ecuacin 5.1 por elnmero de espiras obtenemos

donde la intensidad se ha escrito como N i por analoga con la ecuacin 5.2. Aqu surge la necesidadk kde reducir a una base comn, ya que en lugar de trabajar con variables multiplicadas por constantes(como u /N o i N ) resulta mucho ms cmodo definir nuevas variables.k k k k

Definamos unos valores base de tensin, corriente, pulsacin, flujo y reluctancia magntica. Observando


Ub1N1 .....

UbkNk ..... b b

N1 Ib1 ..... Nk Ibk ..... b b

Zbk UbkIbk

, Lbk Ubk

Ibk b

UbkIbk 1

ur

k Rr

k ir

k Lr

d ,kdi rkdt

d rcdt

i rk r

c r

c

r

c 1

r

c

i rk d rcdt

ddt

1

r

c

i rk

i rk ir

1

r

c

M r

r

c Mr

ir

Procedimiento general para obtener el esquema equivalente de un transformador 47

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

la ecuacin 5.4 se deduce como han de ser estas bases:

Normalmente se elige = 1. La impedancia e inductancia bases se obtienen a partir de las anteriores:b

Dividiendo cada magnitud por su correspondiente valor base, se llega a la ecuacin elctrica del devanadok-simo reducida

y a la ecuacin magntica reducida

Si el circuito magntico es lineal su reluctancia magntica, , ser constante y por lo tantocr

independiente del flujo, .cr

En las ecuaciones 5.7 aparece la derivada del flujo. Derivando la ecuacin 5.8 y despejando la derivadadel flujo, obtenemos

La derivada d /dt se ha representado en el esquema equivalente de la figura 5.2 como una fuente decrtensin dependiente, aunque tambin se puede utilizar una bobina si realizamos los cambios de variablesiguientes:


d rcdt M r

di rdt

d rcdt

ddt

( M r i r )

Transformadores48

(5.11)

Fig. 5.3 Esquema equivalente reducido de un transformador de n devanados

Fig. 5.4 Inductanciamagnetizante no lineal(5.12)

Esto significa que hay una relacin entre el flujo y una corriente i . Esta corriente se llama corrientermagnetizante, y es la corriente necesaria para que se establezca el flujo en el ncleo. Si el circuito escrlineal, M ser constante, y entoncesr

La figura 5.3 muestra el esquema equivalente que cumple las ecuaciones elctricas y magntica deltransformador. Se ha de recordar que todas las magnitudes estn reducidas.

Es importante recordar que las ecuaciones 5.1 y 5.2 son vlidas parancleos lineales o no lneales. En el caso no lineal se llega al mismoesquema equivalente de la figura 5.3, pero donde la inductancia Mrno es lineal (no es constante), y se representa grficamente comomuestra la figura 5.4. La derivada del flujo (Ec. 5.11) en este casoes


u1 R1 i1 ui ,1 R1 i1 Ld ,1di1dt N1

dc

dt


dc

dt

0 R3 i3 ui ,3 R3 i3 1d

c

dt

Nk ik HFe lFe cc


Fig. 5.5 Transformador monofsico con devanado cortocircuitado en el ncleo

(5.13)

(5.14)

(5.15)

5.2 Esquema equivalente del transformador monofsico con prdidas en elcircuito magntico

A la vista de los resultados del apartado anterior, resulta muy sencillo el estudio de un transformadormonofsico considerando las prdidas magnticas.

Las ecuaciones de los dos devanados son:

Asociaremos las prdidas magnticas a las que se produzcan en un tercer devanado cortocircuitadoembebido en el ncleo magntico, como el de la figura 5.5. Por estar cortocircuitado, su tensin es nula.Tampoco tiene flujo de dispersin al estar integrado en el ncleo. Suponiendo que tiene una sola espira,la ecuacin elctrica de este devanado es:

Y la ecuacin magntica:


Ub1N1

Ub2N2

Ub31 b b

N1 Ib1 N2 Ib2 1 Ib3 b b

Ub1Ub2

Ib2Ib1

N1N2 rt

ur

1 Rr

1 ir

1 Lr

d ,1di r1dt

d rcdt

ur

2 Rr

2 ir

2 Lr

d ,2di r2dt

d rcdt

0 R r3 ir

3 d rcdt

i r1 ir

2 ir

3 r

c r

c Mr

ir

R r3 Rr

Fe , ir

3 ir

Fe

Transformadores50

(5.16)

(5.17)

(5.18)

Fig. 5.6 Esquema reducido del transformador monofsico incluyendo las prdidas en el hierro

(5.19)

Para reducir las ecuaciones, se eligen las bases mostradas en la ecuacin 5.5:

Se observa que las tensiones y corrientes base cumplen la relacin de transformacin, al igual que en elresto de reducciones realizadas en estos apuntes,

Tomaremos = 1. Reduciendo las ecuaciones:b

y si se supone que el ncleo es lineal, la inductancia M ser constante.r

Estas ecuaciones reducidas estn representadas en el siguiente esquema equivalente:

Comparando con el esquema de la figura 4.9 se pueden identificar los parmetros del hierro:


Expresiones temporales del transformador monofsico 33

Fig. 4.1 Transformador monofsico con los flujos concatenados por cada devanado

4 Expresiones temporales del transformador monofsico

Un transformador monofsico son dos bobinas acopladas. En el caso ms general, las bobinas y el ncleono sern ideales, como en el mostrado en la figura 4.1. La resistencia interna de los devanados estrepresentada por R y R .1 2

Los flujos concatenados por los devanados son:

flujo por espira concatenado por la bobina 1 (flujo total)1 flujo por espira concatenado solamente por la bobina 1 (flujo de dispersin)d1 flujo por espira concatenado por las bobinas 1 y 2 (flujo comn)c flujo por espira concatenado por la bobina 2 (flujo total)2 flujo por espira concatenado solamente por la bobina 2 (flujo de dispersin)d2


u

(t) N

d

dt

d

dtu

(t) N

d

dt

d

dt

Transformadores34

(4.1)

(4.2)

Se observa que se cumple:

4.1 Transformador monofsico con ncleo no lineal

Aqu se deducirn las ecuaciones ms generales de un transformador monofsico, es decir, con bobinasy ncleo no ideales. Esto significa que:

- las bobinas tienen resistencia interna,- hay flujo de dispersin (el acoplamiento no es perfecto),- el ncleo tiene permeabilidad magntica finita ( = ),Fe o r- el ncleo no es lineal ( = cte), yFe o r- el ncleo tiene prdidas por corrientes parsitas y por ciclo de histresis.

Una bobina real tambin tiene un cierto comportamiento capacitivo debido a la capacidad parsita queaparece entre sus espiras. Anlogamente, en unas bobinas acopladas habra una capacidad entre espirasde cada bobina y otra capacidad entre espiras de diferentes bobinas. No obstante, los efectos de estascapacidades slo son apreciables cuando las tensiones de alimentacin tienen frecuencias muy elevadas.Sus efectos a 50 y 60 Hz son despreciables.

A continuacin se van a justificar las ecuaciones generales del transformador monofsico con ncleo nolineal (con saturacin) pero sin tener en cuenta las prdidas en el ncleo.

Las prdidas en el ncleo se pueden incorporar al circuito equivalente del transformador aadiendo unaresistencia. Una forma de justificar su colocacin es estudiando un tercer devanado cortocircuitadoembebido en el ncleo (por analoga con los pequeos circuitos que recorren las corrientes inducidas deFoucault). La forma tradicional de justificar la colocacin de esta resistencia es menos elegante, pues sebasa en deducciones fsicas. Aqu se realizar de las dos formas: en el apartado 4.4 se aadirn lasprdidas en la forma tradicional y en el captulo 5 estudiando el devanado cortocircuitado.

Sea el transformador monofsico de la figura 4.1. Aplicando la ley de induccin de Faraday (Ec. 2.32)a las dos bobinas:

El flujo total concatenado por cada bobina es:


N

N

(

)

N

N

N

(

)

N

L

i

L

i

L

N

,

1

l

S

L

N

,

1

l

S

L

i

N

L

i

N

u

R

i

u

R

i

L

di

dt N

d

dt

u

R

i

u

R

i

L

di

dt N

d

dt


(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Como los circuitos de dispersin se cierran principalmente a travs del aire, se pueden considerar lineales(de permeabilidad ). Al ser lineales, los flujos totales concatenados de dispersin, y , se pueden0 d1 d2escribir en funcin de unos coeficientes de dispersin (constantes) y de las intensidades,

donde L y L se podran escribir comod1 d2

siendo l , l , S y S las longitudes y secciones ficticias de los circuitos por los que se cierran los flujosd1 d2 d1 d2de dispersin.

Por el contrario, el circuito que se cierra a travs del ncleo ferromagntico no es lineal, por lo que:

Teniendo en cuenta la resistencia interna de las bobinas, las tensiones en bornes de las mismas son:

Para determinar el flujo comn, , se estudia el circuito magntico. Aplicando la ley de Ampere (Ec. 2.4)ca un camino cerrado a travs del ncleo de la figura 4.1 se obtiene:


N

i

N

i

H

l

B

l

/ S

l

1

l

S

f

(

) f

(

)

u

R

i

u

R

i

L

di

dt N

d

dt

N

i

H

l

k

k'

ki (t)

u (t)k kN

kR

c

u (t)i,k

d,kL

Transformadores36

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Fig. 4.2 Devanado k-simo de un transformador con n devanados

donde se ha supuesto que la intensidad de campo magntico en el hierro, H , es de mdulo constante yFeparalela a los diferenciales de camino del camino elegido, dl. Tambin se ha supuesto constante la seccindel ncleo, S . La no linealidad del ncleo est reflejada en la reluctancia magntica del circuito, , puesFe ccontiene a la permeabilidad magntica, , que a su vez depende del flujo en el ncleo, :Fe c

El comportamiento del transformador est completamente definido por las ecuaciones tensin-corriente(Ec. 4.7) y la ecuacin magntica (Ec. 4.8). Para profundizar ms en el comportamiento no lineal deltransformador en el caso de alimentacin senoidal, vase el anexo 3.

Obsrvese que si se hubiera estudiado un transformador de n devanados, las ecuaciones habran sidoidnticas (si se dibujan tensiones y corrientes concordantes con los flujos). La ecuacin elctrica para eldevanado k-simo es:

y la ecuacin magntica:


2N1N

r

m:1 = N /N

1i (t)

u (t)1 2

u (t)

i (t)2

t

1

1'

2

2'

21


Fig. 4.3 Transformador monofsico idealFig. 4.4 Representacin del transformador

monofsico ideal

Fig. 4.5 Curva caracterstica B-H de material ferromagntico: (a) no lineal cte, (b) lineal =cte, y (c) conFe Fepermeabilidad magntica infinita =Fe

4.2 Transformador monofsico ideal

Un transformador monofsico ideal son dos bobinas acopladas con las siguientes caractersticas:

- los devanados no tienen resistencia interna (R = R = 0);1 2- no existe flujo de dispersin ( = = 0), es decir, el acoplamiento es perfecto (k = 1);d1 d2- el ncleo magntico carece de ciclo de histresis y no existen corrientes de Foucault (las prdidas en

el hierro son nulas);- el medio magntico tiene permeabilidad infinita ( = = , figura 4.5c); yFe o r- las capacidades propias y mutuas entre devanados son nulas.


u

(t) u

(t) , u

(t) u

(t)

u

(t) u

(t) N

d

dt N

d

dt

u

(t) u

(t) N

d

dt N

d

dt

u

(t)u

(t) N

N

r

m :1 (relacin de transformacin)

p(t) u

(t) i

(t) u

(t) i

(t) 0 u

(t) i

(t) u

(t) i

(t)

i

(t)i

(t) u

(t)u

(t) N

N

1r

Transformadores38

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

Apliquemos una tensin u (t) al primario del transformador ideal. Como no hay resistencia interna, esta1tensin coincide con la interna, u (t), al igual que en el secundario:i,1

El flujo que se crea viene dado por la ley de induccin de Faraday, y como no hay flujo de dispersin, (t) = (t) = (t), las ecuaciones 4.7 se convierten en:1 2 c

Las ecuaciones 4.13 significan que el flujo que se origina, (t), depende nicamente de la tensin decalimentacin, u (t), y que la tensin que aparece en el secundario depende nicamente del flujo creado,1es decir que u (t) depende de u (t), sin influir para nada las intensidades i (t) e i (t). En la prctica, la2 1 1 2induccin en el ncleo, B = / S , no suele ser superior a 1.5 T. Dividiendo ambas expresiones sec c Feobtiene la relacin entre tensiones de primario y secundario, llamada tambin relacin de transformacin,r :t

La relacin de transformacin indica la relacin entre las tensiones de primario y de secundario en vaco.En la bibliografa de Teora de Circuitos se suele escribir como la relacin m:1 y tambin como a:1.

El transformador ideal no tiene prdidas ni almacena energa en forma de campo elctrico o magntico,por lo que la potencia instantnea neta que absorbe es nula. Esto equivale a decir que la potenciainstantnea que absorbe el primario se cede instantneamente al secundario y viceversa.

De las ecuaciones 4.14 y 4.15 se obtiene la relacin entre intensidades de primario y secundario, que enel transformador ideal es la inversa de la relacin de transformacin:

A la vista de la expresin 4.16 resulta interesante revisar la definicin de transformador dada al comienzodel captulo 3: "transforma la tensin (u ) y la corriente (i ) del circuito llamado primario en la tensin1 1(u ) y la corriente (i ) del circuito llamado secundario".2 2


N

i

N

i

H

l

B

l

/S

l

1

l

S

0 N

i

N

i

0 i

(t)i

(t) N

N

N

i

N

i

,

1

l

S

cte

u

R

i

L

di

dt N

ddt

N

i

N

i

R

i

L

di

dt

N

di

dt

N

N

di

dt


(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

La relacin entre intensidades tambin se podra haber deducido a travs de la ecuacin magntica delcircuito. Vemoslo.

Aplicando la ley de Ampere a un camino cerrado a travs del ncleo de la figura 4.3, y suponiendo quela intensidad de campo magntico en el hierro, H , es de mdulo constante y paralela a los diferencialesFede camino del camino elegido, dl, y suponiendo tambin que la seccin del ncleo, S , es constante, seFeobtiene la ecuacin magntica del circuito (Ec. 4.8):

Como la permeabilidad magntica del transformador ideal es infinita, la reluctancia magntica del circuitoes nula, siendo un valor finito definido por la ecuacin 4.13, luego:c

4.3 Transformador monofsico con ncleo lineal

Consideremos ahora el transformador de la figura 4.1 con el ncleo lineal y sin incorporar todava lasprdidas por corrientes parsitas y por ciclo de histresis. Es decir:

- las bobinas tienen resistencia interna,- hay flujo de dispersin (el acoplamiento no es perfecto),- el ncleo tiene permeabilidad magntica finita ( = ),Fe o r- el ncleo es lineal ( = = cte), yFe o r- el ncleo no tiene prdidas por corrientes parsitas ni por ciclo de histresis.

Si el circuito magntico se considera lineal, es decir, de permeabilidad magntica constante, = cte,Fela reluctancia magntica del circuito tambin lo es,

= cte. Despejando de la ecuacin 4.8:c c

y sustituyndolo en la ecuacin 4.7:


u

R

i

L

di

dt N

ddt

N

i

N

i

R

i

L

di

dt

N

di

dt

N

N

di

dt

M N

N

u

R

i

L

di

dt M

N

N

di

dt M

di

dt

R

i

L

di

dt M

N

N

ddt

i

i

N

N

u

R

i

L

di

dt M

N

N

di

dt M

di

dt

R

i

L

di

dt M

N

N

ddt

i

i

N

N

M

MN

N

u

R

i

L

di

dt M

ddt

i

i

N

N

u

R

i

L

di

dt M

N

N

ddt

i

i

N

N

Transformadores40

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

El coeficiente de induccin mutua de dos bobinas acopladas es (ver anexo 1):

Sustituyendo en las ecuaciones 4.20 y 4.21:

Definiendo la inductancia de magnetizacin como:

La inductancia de magnetizacin as definida se llama referida al primario, porque es igual al coeficientede induccin mutua referido al primario (Fig. A2.4). La ecuacin diferencial anterior queda:


u

R

i

L

di

dt M

ddt

i

i

N

N

u

N

N

R

N

N

i

N

N

L

N

N

ddt

i

N

N

M

ddt

i

N

N

i

u

R

i

L

di

dt M

ddt

i

i

u

R

i

L

di

dt M

ddt

i

i

u

u

N

N

i

i

N

N

R

R

N

N

L

L

N

N


(4.27)

(4.28)

Fig. 4.6 Circuito elctrico equivalente de las ecuaciones 4.28, que constituye el esquema reducido alprimario. Las variables del secundario estn reducidas al primario: u ' = u (N /N ) e i ' = i (N /N )2 2 1 2 2 2 2 1

Vamos a intentar escribirlas de forma que las variables sean i e i (N / N ). Para ello, multiplicamos la1 2 2 1segunda ecuacin por (N / N ):1 2

Por claridad, realizamos un cambio de notacin:

En estas ecuaciones, i ', u ', R ' y L ' son los llamados valores reducidos al primario. Su representacin2 2 2 d2mediante un circuito elctrico (Fig. 4.6) constituye el denominado esquema reducido al primario.

Para tener en el secundario del circuito de la figura 4.6 las variables u e i , que son las que hay realmente2 2en el secundario del transformador de la figura 4.1, se puede colocar un transformador ideal con relacinde transformacin (N / N ), ya que segn las ecuaciones 4.16 y 4.28:1 2


u

2 u2

N1N2

i 2 i2N2N1

u

2

u2

i2i 2

N1N2 rt

Transformadores42

(4.29)

Fig. 4.7 Circuito elctrico equivalente de las ecuaciones 4.28. Las variables del secundario son u e2i2

Fig. 4.8 Circuito elctrico equivalente de las ecuaciones 4.30

El resultado se muestra en la figura 4.7.

Los componentes referentes a la bobina del secundario (R y L ) se suelen representar en el secundario2 d2del transformador. Para pasar una impedancia del primario al secundario de un transformador ideal hayque dividirla por el cuadrado de la relacin de transformacin (r N / N , ver captulo 10.3 y figurat 1 210.5). Haciendo esto se obtienen los valores reales de R y L (valores no reducidos), figura 4.8.2 d2


u1 R1 i1 Ld1di1dt M

ddt

i1 i

2

u2 R2 i2 Ld2di2dt M

ddt

i 2 i1N2N1

i 2 i2N2N1

N1 i1 N2 i2 N1 i

HFe lFe cc

u1 R1 i1 Ld1di1dt M

di dt

u2 R2 i2 Ld2di2dt M

di dt

N2N1


(4.30)

(4.31)

(4.32)

Las ecuaciones que est representando el esquema de la figura 4.8 son:

Se suele definir la corriente magnetizante, i ', como:

que representa la corriente necesaria para crear el flujo en el ncleo. Es la intensidad que consume elctransformador cuando el secundario est en vaco, ya que: N i + N i = N i + 0 = N i '. Esta corriente1 1 2 2 1 1 1 es consecuencia de tener un ncleo con permeabilidad finita. Sustituyendo i ' en la ecuacin 4.30.

4.4 Incorporacin de las prdidas en el ncleo: transformador monofsico real

El transformador monofsico real tiene un comportamiento no lineal definido por las ecuaciones 4.7 y4.8. Pero el modelo que se emplea en la prctica es un modelo lineal que tiene en cuenta las prdidas enel ncleo. Su validez est limitada a que se puedan despreciar los efectos de saturacin del ncleo, lo quesucede en la mayora de los casos.

Las prdidas que provocan la histresis magntica y las corrientes parsitas de Foucault (prdidasmagnticas) no estn incluidas en el esquema de la figura 4.8. Sea por deducciones fsicas o con apoyomatemtico (Cap. 5), se termina incorporando en el esquema una resistencia ficticia, R ', tal que suFepotencia media disipada coincida con estas prdidas. Como son proporcionales aproximadamente alcuadrado de la tensin de alimentacin del transformador, se suele colocar en paralelo con M '. Elesquema resultante es el siguiente.


i o i

Fe i

Transformadores44

Fig. 4.9 Esquema equivalente del transformador monofsico real incluyendo prdidas en elncleo

(4.33)

Se define la corriente de vaco referida al primario, i ', como la suma de la magnetizante y la de prdidasoen el ncleo, tambin referidas al primario:

La corriente de vaco es la que consume el transformador cuando el secundario est en vaco, y esnecesaria para establecer el flujo en el hierro y para compensar las prdidas magnticas.

Se puede observar que las relaciones tensin-corriente en el transformador real son algo ms complicadasque en el transformador ideal (Ec. 4.16). No obstante, el comportamiento de ambos es cualitativamenteidntico. Del transformador real de la figura 4.9 se puede llegar al ideal despreciando las resistenciasinternas (R , R ), las cadas de tensin por flujo de dispersin (L i , L i ), las prdidas en el hierro (i ')1 2 d1 1 d2 2 Fey la corriente magnetizante, (i '), consecuencia de un ncleo con permeabilidad finita.


kk'

ki (t)

u (t)k kN

kR

c

u (t)i,k

d,kL


Fig. 5.1 Devanado k-simo de un transformador con ndevanados

5 Procedimiento general para obtener el esquema equivalente deun transformador

En este captulo se encontrar el esquema equivalente de un transformador con cualquier nmero dedevanados y, en particular, el del transformador de dos devanados (monofsico) con prdidas en elncleo, de una forma mucho ms sencilla que la empleada en los apartados 4.3 y 4.4.

Para ello, ser necesario reducir ambas ecuaciones mediante una base comn.

La demostracin realizada en el captulo 4 para encontrar las ecuaciones y el esquema equivalente deltransformador monofsico es un caso particular de la que se utilizar aqu. La diferencia es que all seha realizado la reduccin al primario sin decirlo, mientras que aqu se reduce a una base cualquiera (notiene por qu ser al primario).

5.1 Esquema equivalente de un transformador de varios devanados

Sea un transformador de n devanados. La ecuacin elctrica para el devanado k-simo (Ec. 4.10) es:


uk Rk ik ui ,k Rk ik Ld ,kdikdt Nk

dc

dt

Nk ik HFe lFe cc

Nkd

c

dt

uk

Nk

RkN 2k

( Nk ik ) Ld ,kN 2k

d ( Nk ik )dt

dc

dt

Transformadores46

(5.1)

(5.2)

Fig. 5.2 Esquemas equivalentes que representan la ecuacin elctrica del devanado k-simo, y laecuacin magntica de un transformador con n devanados

(5.3)

(5.4)

y la ecuacin magntica (Ec. 4.11):

Estas ecuaciones se pueden representar mediante los esquemas equivalentes de la figura 5.2.

Se observa que el esquema equivalente del circuito elctrico de cada devanado tiene una fuente de tensinde valor

Como nos planteamos la posibilidad de juntar todos los esquemas equivalentes en uno solo, si esta fuentede tensin fuera igual para todos ellos, se podran colocar en paralelo. Dividiendo la ecuacin 5.1 por elnmero de espiras obtenemos

donde la intensidad se ha escrito como N i por analoga con la ecuacin 5.2. Aqu surge la necesidadk kde reducir a una base comn, ya que en lugar de trabajar con variables multiplicadas por constantes(como u /N o i N ) resulta mucho ms cmodo definir nuevas variables.k k k k

Definamos unos valores base de tensin, corriente, pulsacin, flujo y reluctancia magntica. Observando


Ub1N1 .....

UbkNk ..... b b

N1 Ib1 ..... Nk Ibk ..... b b

Zbk UbkIbk

, Lbk Ubk

Ibk b

UbkIbk 1

ur

k Rr

k ir

k Lr

d ,kdi rkdt

d rcdt

i rk r

c r

c

r

c 1

r

c

i rk d rcdt

ddt

1

r

c

i rk

i rk ir

1

r

c

M r

r

c Mr

ir


(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

la ecuacin 5.4 se deduce como han de ser estas bases:

Normalmente se elige = 1. La impedancia e inductancia bases se obtienen a partir de las anteriores:b

Dividiendo cada magnitud por su correspondiente valor base, se llega a la ecuacin elctrica del devanadok-simo reducida

y a la ecuacin magntica reducida

Si el circuito magntico es lineal su reluctancia magntica, , ser constante y por lo tantocr

independiente del flujo, .cr

En las ecuaciones 5.7 aparece la derivada del flujo. Derivando la ecuacin 5.8 y despejando la derivadadel flujo, obtenemos

La derivada d /dt se ha representado en el esquema equivalente de la figura 5.2 como una fuente decrtensin dependiente, aunque tambin se puede utilizar una bobina si realizamos los cambios de variablesiguientes:


d rcdt M r

di rdt

d rcdt

ddt

( M r i r )

Transformadores48

(5.11)

Fig. 5.3 Esquema equivalente reducido de un transformador de n devanados

Fig. 5.4 Inductanciamagnetizante no lineal(5.12)

Esto significa que hay una relacin entre el flujo y una corriente i . Esta corriente se llama corrientermagnetizante, y es la corriente necesaria para que se establezca el flujo en el ncleo. Si el circuito escrlineal, M ser constante, y entoncesr

La figura 5.3 muestra el esquema equivalente que cumple las ecuaciones elctricas y magntica deltransformador. Se ha de recordar que todas las magnitudes estn reducidas.

Es importante recordar que las ecuaciones 5.1 y 5.2 son vlidas parancleos lineales o no lneales. En el caso no lineal se llega al mismoesquema equivalente de la figura 5.3, pero donde la inductancia Mrno es lineal (no es constante), y se representa grficamente comomuestra la figura 5.4. La derivada del flujo (Ec. 5.11) en este casoes



dc

dt


dc

dt

0 R3 i3 ui ,3 R3 i3 1d

c

dt

Nk ik HFe lFe cc


Fig. 5.5 Transformador monofsico con devanado cortocircuitado en el ncleo

(5.13)

(5.14)

(5.15)

5.2 Esquema equivalente del transformador monofsico con prdidas en elcircuito magntico

A la vista de los resultados del apartado anterior, resulta muy sencillo el estudio de un transformadormonofsico considerando las prdidas magnticas.

Las ecuaciones de los dos devanados son:

Asociaremos las prdidas magnticas a las que se produzcan en un tercer devanado cortocircuitadoembebido en el ncleo magntico, como el de la figura 5.5. Por estar cortocircuitado, su tensin es nula.Tampoco tiene flujo de dispersin al estar integrado en el ncleo. Suponiendo que tiene una sola espira,la ecuacin elctrica de este devanado es:

Y la ecuacin magntica:


Ub1N1

Ub2N2

Ub31 b b

N1 Ib1 N2 Ib2 1 Ib3 b b

Ub1Ub2

Ib2Ib1

N1N2 rt

ur

1 Rr

1 ir

1 Lr

d ,1di r1dt

d rcdt

ur

2 Rr

2 ir

2 Lr

d ,2di r2dt

d rcdt

0 R r3 ir

3 d rcdt

i r1 ir

2 ir

3 r

c r

c Mr

ir

R r3 Rr

Fe , ir

3 ir

Fe

Transformadores50

(5.16)

(5.17)

(5.18)

Fig. 5.6 Esquema reducido del transformador monofsico incluyendo las prdidas en el hierro

(5.19)

Para reducir las ecuaciones, se eligen las bases mostradas en la ecuacin 5.5:

Se observa que las tensiones y corrientes base cumplen la relacin de transformacin, al igual que en elresto de reducciones realizadas en estos apuntes,

Tomaremos = 1. Reduciendo las ecuaciones:b

y si se supone que el ncleo es lineal, la inductancia M ser constante.r

Estas ecuaciones reducidas estn representadas en el siguiente esquema equivalente:

Comparando con el esquema de la figura 4.9 se pueden identificar los parmetros del hierro:


2N1N

r

m:1 = N /N

2U

t

1

1'

2

2'

21

1I I

2

U1

U 1U 2

I 2I 1

N1N2 rt

S U 1 I

1 U 2 I

2

Transformador monofsico en rgimen permanente senoidal 51

Fig. 6.1 Transformador monofsico ideal enrgimen permanente senoidal

(6.1)

(6.2)

6 Transformador monofsico en rgimen permanente senoidal

El transformador se alimenta normalmente con tensin senoidal, por lo que todas las magnitudes resultansenoidales en rgimen permanente. En realidad la corriente de vaco del transformador no lo es, debidoa la saturacin, pero ya se ha comentado que se acepta la aproximacin de ncleo lineal (aunqueredefiniendo los parmetros del mismo, R ' y M '). Por ello, las ecuaciones (y circuitos) que se utilizanFe son las de rgimen permanente senoidal. Estas ecuaciones se obtienen pasando las expresionestemporales a notacin fasorial (la derivada se convierte en el operador j).

Para deducir en los captulos 4 y 5 las ecuaciones que rigen el comportamiento del transformador en eldominio del tiempo, el transformador se ha considerado con tensiones y corrientes de ambos devanadoshacia su interior. Cuando el transformador se alimenta a travs de una fuente de tensin por el primarioy se conecta en su secundario una carga, la direccin real de la intensidad del secundario va en sentidocontrario al dibujado. Por ello, a partir de ahora, i (t) siempre se dibujar en direccin contraria, sin perder2por ello ninguna generalidad en las expresiones (donde haya i habr que poner -i ).2 2

6.1 Transformador monofsico ideal

En las ecuaciones del transformador monofsicoideal no afecta el hecho de trabajar con fasores ocon magnitudes temporales, ya que no hayderivadas. Recordmoslas:

Por ser ideal, no consume internamente potenciaactiva ni reactiva, y por ello se cumple que


Z 1 R1 jX1 Z 2 R2 jX2 Y o1

Zo

1R Fe

1jX G Fe jB

Transformadores52

Fig. 6.2 Esquema equivalente del transformador monofsico real para rgimen permanentesenoidal

(6.3)

6.2 Transformador monofsico real

A partir del circuito de la figura 4.9 se obtiene el siguiente esquema equivalente del transformadormonofsico real para rgimen permanente senoidal:

donde: R = resistencia del devanado primario en ,1X = reactancia de dispersin del devanado primario en (L ),1 d1R = resistencia del devanado secundario en ,2X = reactancia de dispersin del devanado secundario en (L ),2 d2G ' = conductancia de prdidas en el hierro vista desde el primario en (1/R '),Fe Fe-1B ' = susceptancia de magnetizacin vista desde el primario en (1/X ' = 1/(M ')). -1

En realidad, cuando un transformador monofsico real se alimenta con tensin senoidal pura, no todaslas magnitudes son senoidales. Debido a la saturacin del ncleo, la corriente de vaco no lo es(figura A3.1b del anexo 3).

Como en vaco las prdidas en el cobre son despreciables frente a las del hierro, lo que se hace es definiruna intensidad senoidal, I ', que produzca las mismas prdidas en una resistencia ficticia R ' que las queo Fese producen en el hierro (para ello ha de tener el mismo valor eficaz que la intensidad de vaco real). Esla llamada senoide equivalente (Anexo 3). A partir de esta I ' senoidal se calculan la resistencia eoinductancia ficticias R ' y M '.Fe

Las impedancias de la figura 6.2 se pueden agrupar como:


U 1 R1 I 1 jX1 I 1 Z o ( I 1 I 2 )

U 2 R2 I 2 jX2 I 2 Z o ( I 2 I 1 )N2N1

I 2 I 2N2N1

Transformador monofsico en rgimen permanente senoidal 53

(6.4)

Al contrario de lo que sucede con la resistencia y reactancia de los devanados, la conductancia G ' y laFesusceptancia B ' no pertenecen a ninguno de los dos devanados sino que son propias del transformador.Por ello, estamos hablando de conductancia y susceptancia vistas desde uno de los devanados (en lafigura 6.2 se han denotado con el superndice ': vistas por el primario).

Las ecuaciones del esquema de la figura 6.2 son:


Sn U

n1 In1 Un2 In2

Valores nominales. Placa de caractersticas 55

(7.1)

7 Valores nominales. Placa de caractersticas

En este captulo se comentarn los parmetros para los cuales se ha diseado un transformadormonofsico. Conceptualmente son idnticos para el transformador trifsico, aunque para concretar lasdiferencias vase el captulo 20.3.

7.1 Valores nominales

Los valores nominales de una mquina elctrica son aquellos para los cuales ha sido diseada. Los msimportantes de un transformador diseado para trabajar en rgimen senoidal son:

- potencia nominal,- tensin nominal de primario y secundario,- intensidad nominal de primario y secundario,- relacin de transformacin, y- frecuencia nominal.

Al igual que en otras mquinas elctricas, la potencia mxima que puede suministrar el transformadorest limitada por la calidad de sus aislantes, que se pueden deteriorar por un exceso de tensin o por unexceso de temperatura:

- la tensin mxima del aislante fija la tensin mxima del transformador;- la temperatura mxima del aislante, junto con la capacidad de disipacin de calor del transformador,

fija las prdidas mximas que se pueden producir en su interior (prdidas en el hierro y en el cobre).Para una tensin determinada (prdidas en el hierro constantes) y una seccin de conductordeterminada (resistencia constante, R = l / S), la temperatura mxima del aislante fija una intensidadmxima en el transformador.

Potencia nominal, Sn

Es la potencia aparente (VA, kVA o MVA) que se obtiene a partir de la tensin nominal y la corrientenominal de ambos devanados del transformador. Para el transformador monofsico se calcula como:


rt N1N2

Un1

Un2

Transformadores56

(7.2)

Salvando las prdidas, indica la potencia activa mxima que podra suministrar el secundario deltransformador con carga resistiva y rgimen permanente sin que se produzca un calentamiento excesivo.En condiciones intermitentes de funcionamiento (conexiones y desconexiones peridicas), eltransformador puede suministrar hasta 1,5 veces la potencia nominal. El motivo es que durante el tiempode desconexin el transformador se enfriar hasta la temperatura ambiente (u otra intermedia entre la defuncionamiento y la ambiente), y un transformador fro puede suministrar una potencia superior a lanominal mientras se calienta hasta alcanzar su temperatura mxima.

Tensin nominal, U , Un1 n2

Es la tensin que se debe aplicar a los devanados del transformador para que funcione correctamente enrgimen permanente sin deterioro del mismo. En condiciones intermitentes de funcionamiento, se puedenadmitir sobretensiones de 1,05 veces la tensin nominal.

Intensidad nominal, I , In1 n2

Es la intensidad mxima que puede circular por los devanados del transformador sin deterioro de losmismos. En condiciones intermitentes se pueden admitir sobrecargas.

Relacin de transformacin, rt

Es la relacin entre tensiones de primario y secundario cuando el transformador trabaja en vaco. En eltransformador monofsico se suele tomar como la relacin entre nmeros de espiras de primario ysecundario o, lo que es lo mismo, entre U y U :n1 n2

Frecuencia nominal, fn

Es la frecuencia a la que corresponden el resto de valores nominales.

Los valores nominales de un transformador son unos valores de funcionamiento, pero tambin puedefuncionar correctamente con otros valores diferentes. Por ejemplo:

- puede suministrar potencias inferiores a la nominal (las potencias estn fijadas por la carga), o lo quees lo mismo, puede suministrar intensidades inferiores a la nominal, que es lo que normalmente sucede;

- puede trabajar a tensiones inferiores a la nominal, aunque no podr suministrar entonces la potenciamxima (s podr suministrar la intensidad mxima);

- puede trabajar a otra frecuencia, aunque si es superior se producirn mayores prdidas en el hierro, conlo que la potencia mxima ser inferior a la nominal.


Valores nominales. Placa de caractersticas 57

7.2 Placa de caractersticas

La placa de caractersticas de un transformador contiene, entre otros, los siguientes valores:

- potencia nominal, S ,n- tensiones nominales de primario y secundario, U y U ,n1 n2- intensidades nominales de primario y secundario, I e I ,n1 n2- relacin de transformacin, r ,t- frecuencia nominal, f ,n- datos de los ensayos en vaco y en cortocircuito (Cap. 17): potencia en valor real y corriente

y tensin en p.u., W , i , W y .o o cc cc


U 1U 2

I 2I 1

N1N2 rt

2'

2

1'

1

+

2

Transformadorideal

r m:1 = N /Nt 1

U 1U G

Z 1I 1 I 2

Z 2U 2N1 N2

Reduccin de circuitos con transformadores ideales 59

(8.1)

Fig. 8.1 Circuito con un transformador ideal

8 Reduccin de circuitos con transformadores ideales

8.1 Circuitos con un transformador ideal

Cuando se tiene un circuito con un transformador ideal (por ejemplo un circuito con un transformadorreal, ya que su esquema equivalente contiene un transformador ideal -Fig. 6.2-), en realidad se tienen doscircuitos separados elctricamente y relacionados mediante las ecuaciones del transformador ideal:

El trabajo con circuitos de este tipo puede resultar engorroso, por lo que normalmente se opta poreliminar el transformador ideal. Un transformador ideal se podra suprimir si fuera de relacin detransformacin unitaria o, lo que es lo mismo, si las tensiones o corrientes de ambos lados del mismofueran iguales. Un transformador as se puede sustituir por dos hilos que unan 1 con 2 y 1' con 2'. Paraconseguir esto hay que reducir el esquema. Reducir un esquema es dividir todas las magnitudes del


UG Z

1I

1U

1U

2 Z

2I

2

U1

U2

I2

I1

rt

UG

Ub1

Z1

I1

Ub1

U1

Ub1

U2

Ub2

Z2

I2

Ub2

Sb (VA)

Ub1 (V) Ub1Ub2 rt

Ub2 (V)

Ib1 Sb

Ub1(A) Ib2

SbUb2

(A)

Zb1 U 2b1Sb

() Zb2 U 2b2Sb

()

Yb1 1

Zb1

SbU 2b1

(1) Yb2 1

Zb2

SbU 2b2

(1)

Transformadores60

(8.2)

(8.3)

mismo por unos valores base determinados. Los valores base necesarios para poder prescindir deltransformador ideal no pueden ser cualesquiera, sino que han de cumplir:

- que la potencia base (S ) sea nica para todo el circuito;b- que las tensiones base de cada lado del transformador (U , U ) cumplan la relacin de transformacinb1 b2

del transformador ideal (U /U =r ).b1 b2 t

A partir de la potencia y tensiones base elegidas, se obtienen las corrientes e impedancias base de cadalado del transformador. Tambin se pueden calcular las admitancias base.

Ejemplo.-

Vamos a reducir el circuito de la figura 8.1 para eliminar el transformador ideal.

Las ecuaciones del circuito son:

Elegimos una potencia base S y unas tensiones base U y U tal que U / U = r (Fig. 8.2a) yb b1 b2 b1 b2 tdividimos la primera ecuacin por U y la segunda por U :b1 b2


U1

U2

Ub1Ub2 rt

U1

Ub1

U2

Ub2

UG

Ub1

Z1

I1

Ub1

Z2

I2

Ub2

UG

Ub1

Z1

I1

Zb1 Ib1

Z2

I2

Zb2 Ib2

u rG z r

1i r

1 z r

2i r

2, donde:

u rG

U rG

Ub1, z r

1

Z r1

Zb1, i r

1

I r1

Ib1, z r

2

Z r2

Zb2, i r

2

I r2

Ib2


Fig. 8.2 Circuito con un transformador ideal: (a) eleccin de valores base, y (b) circuito reducido

(8.4)

(8.5)

(8.6)

(8.7)

Como las tensiones base cumplen la relacin de transformacin, se tiene que:

por lo que se pueden juntar ambas ecuaciones, resultando:

Cambiando la tensin base por el producto de impedancia base por corriente base se obtiene:

A cada magnitud real dividida por la base se le denomina magnitud reducida, y se indica por una letraminscula (el superndice indica que se ha realizado la reduccin r):


I2

I1

Ib2Ib1 rt

I1

Ib1

I2

Ib2 i r

1 i r

2 i r

u rG z r

1i r z r

2i r

U1

Ub1

U2

Ub2 u r

1 u r

2 u r i r

1 i r

2 i r

U Gu rG

Transformadores62

(8.8)

(8.9)

(8.10)

Fig. 8.3 Transformador ideal reducido

Como las intensidades tambin cumplen la relacin de transformacin:

se tiene la ecuacin (reducida):

que se puede representar mediante el circuito (reducido) de la figura 8.2b, en el que ha desaparecido eltransformador ideal (se puede interpretar que se ha convertido en dos hilos).

Como se puede comprobar, con la reduccin se han igualado las tensiones en ambos lados deltransformador, y como sigue cumpliendo que u i = u i , tambin se igualan las intensidades de primario1 1 2 2y secundario.

Se puede decir entonces que al reducir de esta forma un circuito que contiene un transformador ideal,ste desaparece, o lo que es lo mismo, se convierte en dos hilos (Fig. 8.3). Todas las variables (potencias,tensiones, intensidades e impedancias) y todos los componentes (fuentes de tensin o de corriente,impedancias, cargas) de cada lado del transformador se han dividido por su correspondiente valor base.De esta forma, la fuente de tensin situada en el primario del transformador de la figura 8.2a, , sereduce dividiendo su tensin por la tensin base del primario, con lo cual se convierte en en lafigura 8.2b. Por este motivo, las magnitudes reducidas no tienen dimensiones. Al dar un valor reducidose aade p.u. que quiere decir valor por unidad y, adems, debe indicarse la base a la que est referido.


z L

(b)

+uG

rir

r

(a)

2 MVA2/20 kV 18/1.5 kV

1 MVAcos=0.8

Generador Transfor. Lnea Transfor. Cargaideal ideal

1.5 kV

elevador reductor

S = 2 MVA

U =1.5 kV =15 kV =1.25 kVU =1.5/(2/20) U =15/(18/1.5)

b

b2b1

b3

(1 p.u.)

scr

(0.5 p.u.cos=0.8)

Z L


Fig. 8.4 Circuito con varios transformadores ideales: (a) eleccin de las bases, y (b) circuito reducido

8.2 Circuitos con varios transformadores ideales

Si el circuito contiene varios transformadores ideales (o reales) se tienen igualmente circuitos separadoselctricamente y relacionados mediante las ecuaciones de los transformadores ideales. Para eliminarloshay que reducir el circuito:

- se elige una potencia base (S ) nica para todo el circuito, yb- se eligen tantas tensiones base como niveles de tensin haya, de forma que cumplan las relaciones de

transformacin entre niveles de tensin.

Las reducciones de circuitos con varios transformadores ideales no tienen un nombre especial, y sellaman en general reducciones a p.u. Como en cualquier otra reduccin, al dar los datos en p.u. tambinhay que especificar la base a la que estn referidos.

Como ejemplo de que se pueden elegir tantas bases como se desee al reducir un circuito, en el de lafigura 8.4 tambin se podran haber elegido:

- base referida a los valores nominales de la carga y del transformador elevador: S = 1 MVA,bU = 2 kV,b1

- dem a los del transformador reductor: S = 1 MVA, U = 18 kV,b b2- otras combinaciones.


1U

I 1R1 1X

2

U 2

2I

Transformadorideal

1 2

1' 2'

r m:1 = N /Nt 1

N1 N2

X2 2R

'B

I

oI

Sb(U /U =r )b1 b2 t

Z = (U )/Sb2

I = S /Ub2 b2b

b2 b2

Ub2Ub1

Z = (U )/Sb1

I = S /Ub1 b1b

b1 b2

'

'

FeI'

G'Fe

El transformador real reducido 65

Fig. 9.1 Transformador monofsico real. Potencia, tensin, corriente e impedancias base

9 El transformador real reducido

Como el transformador real contiene un transformador ideal, la reduccin de un circuito con untransformador real es idntica a la comentada en el captulo anterior en cuanto a la eliminacin deltransformador ideal. Pero como el transformador real contiene, adems del transformador ideal, unasresistencias y reactancias, stas tambin quedan reducidas. El esquema reducido del transformador realpermite realizar una aproximacin que es muy utilizada.

Sea el transformador monofsico real de la figura 9.1. Elegimos una potencia y unas tensiones baseadecuadas (que cumplan la relacin de transformacin) para poder reducir el esquema y eliminar eltransformador ideal.

La figura 9.2 muestra el esquema del transformador real reducido. Todas las variables (potencias,tensiones, intensidades e impedancias) y todos los componentes (fuentes de tensin o de corriente,


r r rr

1 rr

2 xr x

r

1 xr

2

U 1u r1

Transformadores66

Fig. 9.2 Transformador monofsico real con sus valores reducidos (esquema en T)

(9.1)

Fig. 9.3 Transformador monofsico real con r , x , r y x unidas1 1 2 2r r r ren la misma rama (esquema en L)

impedancias, cargas) de cada lado del transformador se han dividido por su correspondiente valor base.De esta forma, la tensin del primario del transformador se ha reducido dividiendo su valor porla tensin base del primario, y se ha convertido en . Por otro lado las impedancias R y X , que se2 2encuentran fsicamente situadas en el secundario del transformador de la figura 9.1, se han reducidoutilizando la impedancia base del secundario. El esquema que se obtiene se denomina esquema en T.

En la prctica, dado el pequeo error que se comete, se juntan las resistencias y reactancias de ambosdevanados del transformador real en una sola, situada normalmente (por convenio) en el lado de altatensin (AT), de valor la suma de ambas (r y x son mucho ms pequeas que 1/g y 1/b ), con lo quer r r rFe resulta el esquema en L de la figura 9.3:

(Cuidado! Estas resistencias slo se pueden juntar cuando estn reducidas: no se puede hacerR = R + R en la figura 9.1.)1 2


i r2 ir

o

i r1 ir

2

rr r

x

ir1 2ri

1r

u ur2

zr

carga (r r j x r ) 1y ro

El transformador real reducido 67

Fig. 9.4 Transformador elevador (BT/AT) con sus valores reducidos

(9.2)

(9.3)

Fig. 9.5 Esquema reducido del transformador despreciando la rama delhierro (la intensidad es tal que se puede considerar i i )1 2r r

(9.4)

Se ha de sealar que en la mayora de los ejemplos utilizados a partir de este momento se hace referenciaa transformadores reductores (AT/BT), por lo que el subndice 1 corresponde al lado de alta tensin. Paraun transformador elevador (BT/AT), el subndice 1 sera para el lado de baja tensin, y el esquema seracomo el que se muestra en la figura 9.4 (con r y x situadas siempre en el lado de AT).r r

La ltima simplificacin que se realiza en el esquema reducido del transformador es despreciar la ramadel hierro (que es lo mismo que suponer que el ncleo es ideal). Cuando se cumpla que:

entonces se podr despreciar la rama del hierro del esquema equivalente, ya que,

La ecuacin 9.2 ser cierta cuando la impedancia de la carga que alimente el secundario cumpla:


Transformadores68

Es decir que cuando el transformador no est en vaco (ni prximo a l) se puede despreciar la rama delhierro.

Este esquema reducido se utiliza para calcular tensiones y corrientes en ambos lados del transformador,pero no para calcular rendimientos, ya que, al ser generalmente del mismo orden que las del hierro, lasprdidas en el cobre se han de tener en cuenta. Para calcular estas prdidas de una forma aproximada coneste esquema se puede suponer que g tiene en bornes

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