e-book financiero
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UNIVERSIDAD JUÁREZ AUTÓNOMA DE TABASCO
DIVISIÓN ACADÉMICA DE CIENCIAS ECONÓMICO ADMINISTRATIVAS
e-book
PARA LA ASIGNATURA
DE
MATEMÀTICAS FINANCIERAS
AUTORES
M en C. ALFREDO MANZUR BOCANEGRA M. A. CARLOS ALBERTO PAZ GOMEZ
M. A. JENNER PRIEGO PADRON
VILLAHERMOSA, TABASCO ENERO 2010
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CONTENIDO
UNIDAD I. INTRODUCCION
INTRODUCCION
Álgebra elemental.
El conjunto de los números reales.
Números racionales.
Números irracionales.
Números enteros.
Números naturales.
Formulas.
Coeficientes.
Valor absoluto y relativo.
Nomenclatura.
Ley de los signos.
Monomios y Polinomios.
Operaciones con monomios y polinomios.
Fracciones.
Máximo común divisor.
Binomios conjugados.
Factorización.
UNIDAD II. EXPONENTES, RADICALES Y LOGARITMOS
Exponente numérico.
Exponentes fraccionarios.
Exponente negativo.
Exponente cero.
Leyes de los exponentes.
Logaritmo.
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Característica y mantisa.
Propiedades generales de los logaritmos.
Operaciones con logaritmos.
Logaritmo de un coeficiente, de una potencia y de una raíz.
Logaritmos vulgares base 10.
UNIDAD III. INTERES SIMPLE
Concepto.
Tasa de interés.
Tiempo.
Monto y valor actual.
Interés real e interés comercial.
Descuento ordinario y comercial.
UNIDAD IV. INTERES COMPUESTO
Interés simple vs. Interés compuesto.
Tasa nominal, tasa efectiva, tasas equivalentes.
Monto con periodos de capitalización fraccionario.
Calculo de la tasa y el tiempo.
Ecuaciones de valores equivalentes.
UNIDAD V. ANUALIDADES
Anualidades simples, ciertas y ordinario.
Monto.
Valor actual.
Renta.
Tasa de interés.
Anualidades anticipadas.
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Anualidades diferidas.
Casos generales.
UNIDAD VI. AMORTIZACION
Amortización de una deuda.
Saldos insolutos.
Tablas de amortización.
Fondos de amortización.
Tablas de fondos de amortización.
UNIDAD VII. DEPRECIACION
Definición depreciación.
Cálculo de los cargos periódicos por depreciación.
Método uniforme o de la línea recta.
Depreciación por fondo de amortización.
Método de la suma de dígitos o enteros que corresponden a los años de duración
del activo.
Método de depreciación por porcentaje fijo o de variación geométrica.
Método de depreciación con intereses sobre la inversión.
Métodos de agotamiento.
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UNIDAD I. INTRODUCCION
CONCEPTO DE MATEMATICAS
1.1 INTRODUCCIÓN
Matemática es simplemente un acuerdo arbitrario sobre el significado de
un símbolo, un término o una operación matemática. “La matemática es una
ciencia abstracta”. Y de la misma manera en que aprendemos las reglas de la
gramática, aprendemos las reglas, o leyes, de las operaciones que se hacen con
los números de la aritmética y con los símbolos literales del álgebra.
En el desarrollo de las actividades se identifican contenidos que corresponden a
diversas ramas de las matemáticas como geometría, medición, tratamiento de la
información, probabilidad, etcétera. Pero además, existe relación con temas de
otras asignaturas como biología, física, química, geografía. Dado que muchas de
las grabaciones se realizaron en ambientes naturales, cada programa puede servir
como apoyo en diversas áreas de conocimiento.
EL ALGEBRA COMO CIENCIA
El álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para
representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones
fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y
cálculo de raíces.
El álgebra es una ciencia cuyo objeto es simplificar y generalizar las cuestiones
relativas a los números, en álgebra, lo mismo que en aritmética se utilizan
operaciones con los números, pero el modo de representarlos difiere en ambas
ciencias. En aritmética solo se hace uso de los signos comúnmente llamados
arábigos 0, 1, 2, 3 etc., para escribir los números; mientras que en álgebra para
representarlos, se usan letras como a, b, x, etc., las primeras letras del abecedario
se llaman literales y se aplican para señalar las cantidades conocidas, y las
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últimas letras se le llaman variables y sirven para explicar las cantidades
desconocidas.
1.2. SISTEMA DE NUMEROS REALES
Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden
expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un
decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. Se pueden
representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se
le asocia el cero, 0. se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1, la
distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos
los números enteros.
Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta,
bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante
aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la
recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la
recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la
denomina recta real.
1.3 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Números racionales
Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El
conjunto q de los números racionales está compuesto por los números enteros y
por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero)
y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre
otro número racional.
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Números irracionales
Son números reales que no pueden expresarse como la razón de dos enteros.
Ejemplos π = 3014159265….., √2 = 104142….
Números naturales (N)
Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos, o sea son los
enteros positivos más el cero:
N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…∞}
Los enteros (Z)
Son todos los números enteros negativos y positivos
Z- = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1,} y Z+ = {1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…}
Números reales
A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están
colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, no existe
“el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales
cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta,
ésta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un
segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales. Sin
embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta
existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son
los números irracionales.
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de
los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora
(naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales.
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Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta
real. Entre los Números reales están definidas las mismas operaciones que entre
los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales se puede representar en la recta de los
números reales, a la que nos referimos como recta numérica. A continuación
aparece una lista de algunas propiedades importantes, que usted puede usar para
referencia.
Propiedad clausurativa o de cerradura Propiedad conmutativa
Adición a +b es un número real Adición a +b = b +a
Multiplicación a *b es un número real Multiplicación a *b = b *a
Propiedad asociativa Propiedad distributiva
Adición (a +b)+c = a + (b +c) Adición a (b +c)= a b +a c
Multiplicación (a *b)*c =a*(b *c) (b +c) a = b a +c a
Números Reales
Números Raciónales
Enteros
Natural
Entero negativo
Enteros Positivos
Fraccionales
Números Irracionales
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Propiedad de identidad Propiedad del cero
Adición 0 + a =a +0= a 0*a = a*0=0
Multiplicación 1*a =a*1 =a
Propiedad de los inversos Propiedad elemento neutro
Adición a + (-a) = (-a)+a a +0-a
Multiplicación a*1/a =1/a *a =1 a≠0
Por ejemplo:
12+17=17+12 propiedad conmutativa
(15*23)*18=15*(23*18) propiedad asociativa
Fórmula
Es la representación por medios de letras, de una regla o principio general
S=C (1+i)n
Coeficientes
El coeficiente indica las veces que se debe sumar la otra cantidad.
Si tenemos dos factores cualquiera de ellos es el coeficiente del otro e indica las
veces en que se deberá considerar.
Si tememos 4b el factor 4 es el coeficiente del factor b expresa que el factor b se
considere como sumado 4 veces, es decir 4b= b+b+b+b y se le conoce como
coeficiente numérico.
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Coeficiente literal
Es cuando el coeficiente presenta literal en lugar de número.
Ejemplo bz, cw…….
Valor absoluto y relativo
El valor absoluto de un número real es la magnitud o tamaño del número sin signo.
La notación |a | expresa el valor absoluto de a.
Ejemplo: |-7|=7, |16|=16, |-58|=58
El valor relativo es el sentido de la cantidad representado por el signo.
Demostración: $2000 el valor absoluto es 2000 y el valor relativo es +$2000 que
significa haber. El valor absoluto de $-500 es $500 y el valor relativo es deuda,
expresado por el signo menos (-).
Nomenclatura
Expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas son representaciones, por medio de números, letras
y signos, de un conjunto de operaciones que han de realizarse en un orden
determinado para obtener un resultado.
Ejemplo: 5x, 10x + 25, x + v - 2y
Término
Término es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos no
separados por un signo. Sus elementos son el signo (+,-) el coeficiente, la parte
literal y el grado.
Ejemplo: 4b, 5ab, -4xyz, 7ab2, 2b/x.
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El termino semejante es cuando las letras son iguales y si presentan exponentes
son del mismo valor.
Monomio
Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
Ejemplo:
7b, -9c, 3xzw4
Para sumar monomios de semejantes se suman sus coeficientes y se mantiene la
parte literal.
8x3y2 + 9 x3y2 - 4 x3y2 = (8+9-4) x3y2 = 13 x3y2
La suma de dos monomios no semejantes no se puede simplificar; se ha de dejar
indicada.
Para restar monomios semejantes, se suma al primero el opuesto del segundo.
Ejemplo: (-3x2y3) – (7 x2y3) = (-3 x2y3) + (-7 x2y3)
= [(-3)+ (-7)] x2y3 = -10 x2y3
Para multiplicar dos monomio se multiplica sus coeficientes y se suman los
exponentes de la misma base.
Ejemplo:
2x (3x) = 2(3) xx =6x2
5x2 (-10x3) = -50x5
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Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes de cada monomio y se
restan los exponentes con la misma base.
12x2/3x = 4x
10x2y4 / -5xy3 = -2xy
Ley de los signos
Multiplicación División
+ por + = + + entre + = +
+ por - = - + entre - = -
- por + = - - entre + = -
- por - = + - entre - = +
NOTA.- En la multiplicación y división signos iguales el resultado es positivo,
signos contrarios el resultado es negativo.
Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más términos.
Son polinomios las expresiones siguientes:
a) 4x2 + 3ab – 2xc
b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5
Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio:
Ejemplo: x2y + 3ab2y3; 2x + 3 son dos binomios.
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Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio.
Ejemplo: 5x + 6y + 3z.
Con más de tres términos ya se denomina en general polinomio.
El grado de un término algebraico corresponde a la suma de los exponentes de la
parte literal.
Ejemplo: el grado de –5x2yz2 es 5 que resulta de sumar los exponentes 2 + 1 + 2.
OPERACIONES CON EXPRESIONES ÁLGEBRAICAS
Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que
sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte
literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte
literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3
Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que
sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte
literal y se suman los grados. Ej: (3xy) (4x2y3) = 12x3y4
División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes,
se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3/2x2y = 2x3y2
Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo
de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ejemplo: 7x5 +0x4 +3x3 +4x2-2x
5x5 +0x4 +0x3 -x2 -x
12x5 +0x4 +3x3 +3x2 -3x
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Ejemplo:
7x – 4x + 2x – x = 4x
–2ab + 6ab + 4ab – 8ab – ab = - ab
x2y + 5 x2y – 2x2y = 4x2y
Eliminación de paréntesis
Tenemos dos situaciones: que al paréntesis lo anteceda un signo positivo o un
signo negativo, si es positivo, no varían los términos al eliminar el paréntesis, si es
negativo, los términos cambian al signo opuesto que tenía.
Ejemplo: a + (b + c) = a + b + c
a – (b + c) = a – b – c
x + (y + z) – (x – y + z) = x + y + z – x + y – z = 2y
Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que
para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados
de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero
pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor,
considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de
potencias de igual base.
Ejercicios: P(x)= 2x5 +3x4 -2x3 -x2 +2x
Q(x)= 2x3
P(x).Q(x)= 4x8 +6x7-4x6-2x5 +4x4
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Ejemplos:
5xy2 (-7x3y2) = -35x4y4
2xy (-5x + 4y – 3xy) = -10x2y + 8xy2 – 6x2y2
(3x – 2y)(4x + 5y) = 12x2 + 15xy – 8xy – 10y2 = 12x2 + 7xy – 10y2
(2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) = 2a2 – 4ab + 10a2b – 14a – 5ab + 10b2 – 25ab2 + 35b.
= 2a2 – 9ab + 10a2b – 14a + 10b2 – 25ab2 + 35b
División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y
completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los
monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del
dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y
polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2
términos.
Ejemplos:
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Aplicaciones:
1.- (-15x2y3) / (3xy-2) = -5xy5
2.- = = =
=
3.- (-1) -1 (-1)0 (-1) = 1 ( 1 ) ( -1 ) = -1 (1) (-1) = 1
-1
4.- (x2 + 2x -1) – (3x4 - 4x2 +2x) = x2 +2x- 1 -3x4+ 4x2 – 2x = -3x4 + 5x2 -1
5.- (2v + 4) (v2 - 6v) = 2v3 -12v2 + 4v2 -24v = 2v3 - 8v2 -24v
6.- (y2 +2y - 4) (y2 –y +5)
y2 +2y - 4 y2 - y + 5 y4 + 2y3- 4y2 - y3 - 2y2 + 4y 5y2 +10y - 20 y4 + y3 – y2 + 14y - 20 7.- (2x -3)3 = (2x – 3) (2x – 3)(2x – 3) = 8x3 -12x2 +18x -27
a4
b2 b5
-1a4
b2 b5
-1a4
b7
-1a4
b7
-1(a4)-1
(b7)-1
(a4)-1
(b7)-1
a-4
b-7
a-4
b-7
b7
a4
b7
a4
a 4 b - 5
b 2
- 1 a 4 b -
b 2 a 4 b
b 2
- 1
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8.- (x 2/3 – x1/3) ( x2/3 + x1/2 ) = x4/3 + x7/6 –x 3/3 –x 5/6 = x4/3 + x7/6 –x –x5/6
Realice las operaciones indicadas
Ejercicios:
1.10 y + 3y 8. (x-3) (x4-4x+4)
2. 4x3 + 2x3 - 7x3 9. (10x3-9y3+ 4x) (-3x)
3. (3y -2y2 +y) + (4y3 -7y) 10. 24x4y3/ (4xy2)
4. (y -3z) - (3y -4z) + (y-z) 11. x4 -x2 -2x -1 entre x2 + x +1
5. (7x2) (3xy2) 12. y 4- y2 - 2y -1 entre y2 - y - 1
6. (-2x2) (x3 - y) 13.m6 + m5 - 4m4 -4m + m2 -1 entre m3 +m2 -4m -1
7. (a + b) (a - b) 14. 21x5 - 21y5 entre 3x - 3y
Fracciones -Suma y resta de fracciones
Ejemplos:
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( ) ( )
Multiplicación y división
Ejemplos:
( )
( )( )
( )
( )
Ejemplos:
19
(
)
( )
Máximo común divisor (m.c.d.)
De dos o más expresiones es la expresión de mayor coeficiente numérico y de
mayor grado que está contenida en cada una de ella.
Para monomios se obtiene el m.c.d. de los coeficientes y se escriben las letras
comunes considerando a cada letra el menor exponente de las expresiones
dadas.
20x, 40 xw m.c.d. 20x
Ejercicios.
1. a2x, ax2
2. bc2d, b2cd
3. 4x4y, x8y2
4. 12x2y3, 18xy2, 24x3y2
5. 25b4c4, 75b2c2, 150b2c2 y
PRODUCTOS NOTABLES
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Definición.- Son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por
simple observación.
Cuadrado de la suma de dos cantidades
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término
más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer
término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo
término.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
La suma de dos términos multiplicada por su
diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo
término.
Cubo de una suma
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el
triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del
primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo
término.
Cubo de una diferencia
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
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El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos
el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del
primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo
término.
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a )(x + b ) = x2 + (a+b) x + ab
El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual
al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes
multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.
EJERCICIOS
PREGUNTAS SOLUCIONES
01 (x + 5)2 = x2 + 10x + 25
02 (7a + b)2 = 49a2 + 14ab + b2
03 (8 - c)2 = 64 – 16c + c2
04 (3x4 -5y2)2 = 9x8 - 30x4y2 + 25y4
05 (xa+1 - 4xa-2)2 = x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4
06 (5a + 10d)(5a – 10d) = 25a2 – 100d2
07 (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = 49x4 - 144y6
08 (3a3 - 7xy4)3 = 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12
09 (b + 9)(b - 6) = b2 + 3b – 54
10 (z - 12)(z - 7) = z2 – 19z + 84
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1.10. FACTORIZACION
Si se multiplican entre si dos a más expresiones, entonces estas reciben el
nombre de factores del producto, por tanto, si c = a b, entonces a y b son factores
del producto c. el proceso por el cual se escribe una expresión como producto de
sus factores se denomina factorización.
A continuación se enuncian las reglas de factorizacion, la mayor parte de
las cuales se obtiene a partir de los productos notables que se describieron en la
sección 1.6 el segundo miembro de cada entidad es la forma factorizada del
primer miembro.
Reglas de factorizacion
1.-x y + x z = x (y + z)
2.-x2 + (a + b) x + a b = (x + a)(x + b).
3.-abx2 + (a d + c b) x + c d = (a x + c)(b x + d).
4.-x2 + 2ax + a2 =(x + a)2 (trinomio cuadrado perfecto).
5.-x2-2a x + a2=(x - a)2 (trinomio cuadrado perfecto).
6.-x2-a2=(x + a) (x-a) (diferencia de dos cuadrados).
7.-x3 + a3=(x + a) (x2-a x + a2) (suma de dos cubos).
8.-x3-a3=(x-a) (x2+ a x + a2) (diferencia de dos cubos).
Cuando se factoriza un polinomio, por lo general se eligen factores que sean
también polinomios. Por ejemplo, x2-4 = (x + 2) (x - 2). No se escribe x – 4.
Siempre se debe factorizar en forma completa. Por ejemplo, 2x2 – 8= 2(x2 – 4) =
2(x + 2) (x -2)
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Ejemplo 1
Factorizar en forma completa las expresiones
a.- 3k2x2 + 9k3x.
Dado que, 3k2x2= (3k2x) (x) y 9k3x= (3k2x) (3k), cada termino de la expresión
original contiene el factor común 3k2x, de modo que por la regla 1, 3k2 x2 + 9k3x =
3k2x (x + 3k).
Obsérvese que aunque 3k2x2 +9k3= 3 (k2x2 + 3k3x), no se dice que la expresión
este completamente factorizada, pues todavía puede factorizarse k2x2 + 3k3x.
b.- 8 a5x2y3 - 6a 2 b3yz – 2a4b4xy2z2
8a5 x2y3 -6 a2 b3yz -2 a4b4xy2z2
=2 a2y (4 a3x2y2 – 3b3z – a2b4xyz2)
c.- 3x2+ 6x+ 3
3x2+ 6x +3 =3(x2+ 2x +1)
=3(x + 1)2 (regla 4).
Ejemplo 2
Factorizar completamente las expresiones:
a.- x2 - x- 6
NOTA.- Se deben buscar dos números tales que multiplicados den -6 y sumados
den -1.
Si se factoriza este trinomio de la siguiente forma:
x2- x -6= (x + a) (x + b),que es el producto de dos binomios, entonces deben
determinarse los valores de a y b. puesto que (x + a)(x + b)= x2 +(a + b)x + a b,
entonces:
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x2 +(-1)x +(-6 ) = x2 +(a + b)x + a b.
Igualando los coeficientes correspondientes, entonces:
a + b = -1 y a b = -6
Si a = -3 y b = 2, entonces se satisfacen ambas condiciones y, así:
x2 –x - 6 = (x -3) (x + 2)
x2 -7x +12
Dos números que multiplicados den +12 y sumados den -7
x2 - 7 x + 12 = (x-3) (x-4) .
Ejemplo 3
Enseguida se listan expresiones completamente factorizadas, los números en
paréntesis se refieren a las reglas que se utilizaron.
x2 +8x+16=(x + 4)2
9x2+ 9x+2= (3x+2) (3x+1)
abx2 + (a d + c b) x + c d = (a x + c) (b x + d)
ab = 9 a = 3 c = 2
ad + cb = 9 b = 3 d = 1
cd = 2
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6y3 +3y2 -18y = 3y (2y2 +y -6) =3y (2y -3) (y +2)
x2 -6x +9=(x -3)2
z1/4 +z5/4 =z1/4(1+ z)
x4 -1= (x2+1)(x2-1)
= (x2+1) (x+1) (x-1)
x2/3 -5x1/3+4=(x1/3 -1)(x1/3 -4)
ax2-ay2+bx2-by2= (ax2-ay2)+(bx2-by2)
= a(x2-y2)+b(x2-y2)
= (x2-y2) (a + b)
=(x + y) (x - y) (a + b)
8-x3= (2)3-(x)3= (2-x)(4 +2x+ x2)
x6-y6=(x3)2-(y3)2=(x3+ y3)(x3-y3)
=(x + y) (x2-x y +y2) (x-y) (x2+ x y + y2).
Aplicaciones:
1. 36x2- 25 = (6x+ 5) (6x-5)
2. r2 +2r +1 = (r +1) (r + 1)
3. s2 + 5s -14 = (s +7) (s -2)
3
4. (x2 - 4) 3 + (4 – y2)3 = (x2 - 4) (4 – y2)
5. a3 + a2b - b3 –ab2
26
a3 + a2b - b3 +ab2
(a3 + a2b) - ( b3 +ab2)
a2(a + b) - b2 (b+a)
(a2- b2) (a+b)
Factorice los polinomios
Ejercicios.
1. 2ax -8a3
2. 4x3z - 6xz3 + 8x3y3
3. x2 - 8x +12
4. x3 + x + 3
5. t2 + 9t -36
6. y3 + 4
7. .100x2 -225
8. x3 - 3x2 - 40x
UNIDAD II. EXPONENTES, RADICALES Y LOGARITMOS
Exponentes
Si n es un entero positivo, la notación exponencial a2 que se define en la tabla,
representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La
expresión a2 se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero
positivo se llama exponente y el número real a, base.
27
Notación exponencial
Caso general
(n es cualquier entero
positivo)
Casos
especiales
Ejemplos:
Es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión
como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an
en la expresión 3an.
Ejemplo
Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.
Exponente cero y negativo
Definición (a
diferente de
0)
Ejemplo
28
Si m y n son enteros positivos, entonces
En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta
expresión es igual a am+n ; es decir,
De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a
continuación:
Ley Ejemplo
Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:
La raíz n-ésima principal de x es aquella raíz n-ésima de x que sea positiva, si x es
positiva, y que sea negativa si x es negativa y n es impar. Se le denota por n x .
29
Por lo tanto:
n x es
Positiva si x es positiva.
Negativa si x es negativa y n es impar.
A la expresión n x se le denomina radical, aquí, n es el índice, x es el radicando y
es el signo del radical. Con las raíces cuadradas principales normalmente se
omite el índice y se escribe solo x en vez de 2 x . Por tanto 9 =3
Por concepto podemos entender que el radical es el signo que se utiliza para
indicar la extracción de raíces, dependiendo directamente de lo que indique el
índice y esto a su vez se multiplica para llegar al radical.
Ejercicios:
1. a3/2. a4/3
2. x1/3. x2/5. x3/10
3. √625
4. √16a8b4
Radicales:
Si Entonces a es la raíz n-ésima de b.
Si Entonces a=√
√
= 2
30
√ √
√
Leyes de radicales
I.- (√ )
II.- √
√
( )√
III.- √
√ √
IV.- √
√
√
V.- ⁄ √
Ejemplos:
(√ )
(√
)
√ √
√
( )√
√
√
√ ( )
√
√
√
√ √ √ √ √
√
√
√
31
√( ) ⁄
√
√ ⁄ ⁄
⁄ √( )
( )
⁄
√
(49)-1/2
= 1/(49)1/2
= 1/7
Logaritmos
El logaritmo es la potencia a la que se eleva una base para que resulte
determinado número, o sea el logaritmo viene ha ser un exponente. Los logaritmos
contemplan dos partes una llamada característica que es la parte entera del
logaritmo que puede ser positiva o negativa y la mantisa que es la parte
fraccionaria de los logaritmos.
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104= 10000
Propiedades generales de los logaritmos.
Propiedad 1
El logaritmo de un producto es igual a la suma de cada uno de los logaritmos de
los factores.
Logb uv = logb u + logb v
32
Propiedad 2: El logaritmo de un cociente es igual a la resta de cada uno de
los logaritmos de los dividendos: Logb u/v = logb u – logb v
Propiedad 3: El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo
de la base. Logb un = n logb u
Propiedad 4: Logb b = 1
Propiedad 5: Logb 1 = 0
Propiedad 6: Logb blog
b x = x
Propiedad 7: Logb bx = x
Resolver por logaritmo las siguientes operaciones
Ejercicios.
1. 2342
2. 45 (23546)
3. 4563 entre 25
4. (2345)3
5. 0.276534
33
UNIDAD III. INTERÉS SIMPLE
MMAATTEEMMAATTIICCAASS FFIINNAANNCCIIEERRAASS
Es una rama de las matemáticas aplicada que resulta interesante por si
misma debido a su aplicabilidad inmediata en problemas prácticos; así mismo, es
una herramienta básica en finanzas, ingeniería económica, evaluación de
proyectos, economía, etc.1
El estudio de la matemática financiera nos capacita para elaborar modelos
matemáticos que nos permitan resolver de una manera más racional los
problemas financieros que se nos presenten en la vida diaria.
Las matemáticas financieras sigue teniendo como propósito primordial
presentar las herramientas matemáticas necesarias para evaluar la equivalencia
del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la
manera más sencilla posible, es decir, abordando los temas con la menor
complejidad matemática que el tema permite.2
Las Matemáticas Financieras son una herramienta para la toma de decisiones en
el área financiera, y necesarias para cualquier profesional que esté relacionado
con el manejo de recursos financieros propios o de la empresa. Con este
programa se pretende brindar los fundamentos requeridos para la toma de
decisiones en el quehacer cotidiano, como préstamos e inversiones.
Es la rama de las matemáticas aplicadas enfocadas a la resolución de problemas
sobre el valor del dinero en el tiempo: monto, tasa de interés, anualidades,
gradientes (pagos crecientes y decrecientes), etc.
La base matemática para el análisis de los problemas anteriores son los despejes,
1 Libro: Matemáticas Financieras, Héctor m. Vidaurri Aguirre.
2 Libro: Matemáticas Financieras, Alfredo Díaz Mata
34
las leyes de los exponentes, las operaciones con logaritmos, y las progresiones
aritméticas y geométricas principalmente.
Las Matemáticas Financieras se refieren al cálculo de los factores que conforman
el Mercado Financiero. La existencia de un Mercado viene dada por la presencia
de un “bien escaso”: nos referimos en este caso al Capital, uno de los recursos
básicos de la actividad económica.
PARA QUE SIRVEN LAS MATEMATICAS FINANCIERAS
Las Matemáticas Financieras sirven para calcular; intereses, rentas y la
matemática de seguros.
Abarca también el análisis que se refiere al valor del dinero en diferentes tiempos;
como inversiones, préstamos, etc.
Las Matemáticas Financieras sirven para elaborar modelos matemáticos
encaminados a interpretar y resolver los problemas financieros que se presenten
en la vida diaria.
INTERES SIMPLE
TASA DE INTERES:
Las tasas de interés son el precio del dinero en el mercado financiero. Al
igual que el precio de cualquier producto, cuando hay más dinero la tasa baja y
cuando hay escasez sube, por lo que los demandantes desean comprar menos,
es decir, solicitan menos recursos en préstamo a los bancos o intermediarios
financieros, mientras que los oferentes buscan colocar más recursos. Lo contrario
sucede cuando baja la tasa: los demandantes del mercado financiero solicitan más
créditos y los oferentes retiran sus ahorros.
35
DEFINICIONES DE TASA
DEFINICION DE RAU: "la tasa es la contraprestación por un servicio especial
dispensado por él a quien se la abona".
DEFINICION DE GARCIA BENSULCE: "tasa es la contraprestación en dinero que
pagan los particulares, el estado u otros entes de derecho público en retribución
de un servicio público determinado y divisible".
Las tasas financieras son:
La tasa nominal (J) que indica el porcentaje durante un año.
La tasa efectiva (i) que interviene en la operación financiera y que se aplica a
cada periodo de tiempo i = j / m
TIEMPO
El Tiempo es el periodo por el cual es tomar prestado el dinero, en un
problema financiero, con la finalidad de su pago en un plazo definido.
Días inicial y terminal. Para llevar la cuenta de los días, se acostumbra excluir el
primer día e incluir el último. Así, para un préstamo contraído el 10 de enero y
pagado el 25 del mismo mes, el tiempo comercial transcurrido es de 15 días. En
algunos países se acostumbra contar el primero y el último día; en tal caso, el
tiempo comercial seria de 16 días.
Fecha de vencimiento. La fijación de la fecha de vencimiento se establece
contractualmente. Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 de marzo a 3
meses deberá pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo préstamo se recibe a
90 días, deberá pagarse el 8 de junio, si se acostumbra contabilizar solo el día
terminal. Si la fecha terminal corresponde a un día festivo, el sistema local indicara
si el pago debe recibirse el primer día hábil siguiente, sin contar días adicionales
para el cobro de intereses.
36
La unidad de tiempo es el año
AÑO DÍAS MESES DIAS/MES
REAL 365 12 REAL
COMERCIAL 360 12 30
PERIODOS EN EL AÑO:
MESES 12
BIMESTRE 6
TRIMESTRE 4
SEMESTRE 2
Interés: pago realizado por la utilización del dinero de otra persona. En Economía,
se considera, más específicamente, un pago realizado por la obtención de capital.
Los economistas también consideran el interés como la recompensa del ahorro, es
decir, el pago que se ofrece a los individuos para que ahorren, permitiendo que
otras personas accedan a este ahorro. Para la teoría económica, el interés es el
precio del dinero.
Interés: Es la manifestación del valor del dinero a través del tiempo
Interés: Es el pago por el uso del dinero.
Toda persona que obtiene un préstamo queda obligada a pagar un rédito
(renta de capital) o intereses, por el uso del dinero tomado en préstamo, en
general el dinero genera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo.
Interés Simple: Cuando solo el capital gana intereses
37
Normalmente sólo se pagan intereses sobre el principal, es decir, sobre la
totalidad del dinero prestado, lo que se denomina Interés Simple
Ejemplo: una persona realiza un deposito en una inversión a plazo fijo de 28
días por $ 1,000.00 y si al final del plazo retira su inversión junto con los intereses
$ 100.00 entonces estará ganando un Interés Simple es decir $ 1,100.00, pero si
no se realiza ningún retiro entonces los interese formaran parte del capital $
1,100.00 y generaran intereses, en estas condiciones su inversión estará ganando
un Interés Compuesto, porque al final del segundo mes su inversión seria de $
1,210.00.
Interés simple: es cuando se paga al final de un intervalo de tiempo previamente
definido, sin que el capital original varié. Se usa principalmente en inversiones y
créditos a corto plazo, de un año o menos. El interés a pagar por una deuda, o el
que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad de dinero tomada en
préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión. En otras
palabras el interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al
tiempo.
Se llama interés simple aquel en el cual los intereses devengados en un periodo
no ganan intereses en el periodo siguiente.
El interés simple se define como el producto del capital inicial, la tasa de interés y
el tiempo.
El interés simple se usa principalmente en deudas a corto plazo, de un año o
menos, y el interés se calcula solo sobre el importe que se debe.
Interés ordinario o comercial: es el interés que se calcula, considerando el año
en 360 días.
38
Interés real o exacto: es el interés que se calcula con año de calendario a 365
días o 366 días si se trata de un año bisiesto.
Fórmula para calcular el interés ordinario o comercial:
C = capital.
T = tiempo.
I = interés ordinario.
R = tasa de interés.
Formula para calcular el interés real o exacto:
C = capital.
T = tiempo.
Ir = interés real
R = tasa de interés.
EJEMPLO: Calcular el interés ordinario o comercial y el interés real de $
15,000.00 prestado al 20% durante 90 días.
DATOS: FORMULAS: SUSTITUCIONES:
C = 15,000.00
T = 90 días. R = 20%
I = ?
I = $ 750.00 Ir = $ 739.73
Generalizado la formula, para el cálculo del interés tenemos la siguiente formula:
39
I = interés
C = capital I= C n i
n = Tiempo
i = Tasa de interés.
Ejemplo: calcular el interés que debe pagar por un préstamo de $7, 000,000.00 a
una tasa de 10% en 240 días en el año real o exacto.
DATOS: FORMULA:
I =? I = 7, 000,000 (0.66) (0.10)
C = $ 7, 000,000.00 I = C n i I = $ 462,000.00
i = 10%
n = 240/365 = 0.66
Monto: Es el estudio del valor en fecha futura que se obtendrá o que se convertirá
el capital colocados en fechas anteriores. “es trasladar y valorizar capitales del
presente al futuro.
FORMULA PARA EL CÁLCULO DEL MONTO:
C = Capital FORMULA:
i = Tasa del interés.
n = Tempo. S = C (1 + ni)
S = Monto.
EJEMPLO: Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de $ 20,000.00 al
8% de interés a 143 días.
DATOS: FORMULA: SUSTITUCION:
C = $ 20,000.00 S = 20,000[1+ (0.40) (0.08)]
i = 8% = 0.08 S = C (1 + n i) S = 20,000 (1.032)
40
n = 143/360 = 0.40 S = $ 20,640.00
S = ¿?
Tasa nominal: es la convenida en una operación financiera, puede ser tasa
anticipada o tasa vencida según se convenga aplicar, la tasa de interés al inicio o
al término de la operación financiera.
Ejemplo: Calcular la tasa de interés simple proporcional mensualmente a la tasa
del 9% anual.
¿Cuál será la tasa de interés el monto de $ 20,000.00 a un monto de $ 21,200.00
a un interés simple, en 9 meses?
Datos: Formula: Sustitución:
S = $ 30,100.00
C = $ 20,000.00
n = 9/12 = 0.75 año.
i = ? i = 0.08
RESULTADO = 8% anual
PROBLEMA 1
Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de $ 20,000 el 22 de julio, si el
pagare se firma el 30 de enero del mismo año no bisiesto, al 8% de interés.
Datos:
41
C = 20,000
S =?
J = 8 % 0.08
t = 30 de enero – 22 de junio
Enero 143 días
Ejemplo añosaño
tn 4
1
4
2/112
6
mesestn
años3917.0365
143
S = C (1- ni )
S = 20,000 )08.0(3917.01
S = 20,000 3917.0.1
S= 20,626.72
PROBLEMA 2
Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa del 9
% anual.
Datos
J = 9 % anual
28 1 31 30 31 22
J M F M A 30
42
m
Ji i = 0.75% mensual
0075.012
09.0
12
%9i
PROBLEMA 3
Calcular el interés simple que produce un capital de 10,000 en 4 años 6 %.
C = 10,000
n = 4 años
i = 6 % I = 10,000(4) (0.06)
I = ? I = 2,400
4.- Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno de
los siguientes pagarés.
Valor nominal fecha inicial plazo tasa
a) $ 3,000 20 de mayo 2 meses 7%
b) $ 5,000 5 de abril 60 días 8 %
c) $ 2,000 3 de mayo 3 meses 6 %
d) $ 4,000 28 de noviembre 120 días 8 %
S = c (1 + ni) n = 2*30 = 60/360 = 0.1666
S =? 2/12 meses = 0.1666
C = 3,000 i = 0.07
S = 3,000 (1 + 0.1666) (0.07))
S = 3034. 986
CniI
43
Vencimiento = 20 de Julio
S = c (1 + ni) n = 60/360= 0.1666
S =? i = 0.08
C = 5,000 S = 5,000(1 + (0.1666) (0.08))
S = 5,066.64
Vencimiento = 4 de junio
S = c ( 1 + ni ) S = 2,000 (1 + (0.25) (0.06))
C = 2,000 S= 2,030.00
N = 3/12 = 0.25 S = c ( 1 + ni 0
i = 0.06 c= 4,000
n= 120/ 360 días = 0.3333 S= 4,000 (1 + (0.3333) (0.08))
i = 0.08 S = 4,106.65
5.- Calcular el interés simple comercial de:
a) $ 2,500 durante 8 meses al 8 %
I =C ni
C = 2,500 I = (2,500) (0.6666) (0.08)
N = 8/12 = 0.6666 I = $ 133.32
I = 0.08
b) $ 60 durante 63 días al 9 %
I = C ni i = 0.09
C = 60,000 I = (60,000) (0.175) (0.09)
n = 63/360 = 0.175 I = $ 945.00
44
c) $ 12,000 durante tres meses al 8 ½ %
I = C ni i = 0.085
C = 12,000 I = (12,000) (0.25) (0.085)
N = 3/12 = 0.25 I = $ 255.00
d) $ 15.000 al 10 % en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de
septiembre del mismo año.
C = 15,000 18-4= 14
i = 0.10 abril - septiembre = 153
I = $ 15,000 (0.4555) (0.10)
I = $ 683.25
6.- Calcular el interés simple comercial de:
a) $ 2,000 durante 3 años al 0.75 % mensual.
I = Cni
C= 2,000 I= (2,000 ) ( 3 ) ( 0.09 )
n= 3 años I = $ 540.00
i = 0.0075 * 12 = 0.09
* 0.75/100 = 0.0075
b) $ 4,000 durante 2 años y 3 meses al 0.5 % mensual
I = C ni
C = 4,000
n= 2 + 3/12 = 2 + 0.25 = 2025 ( 4,000) ( 2 ) ( 0.06 ) = 480
45
i = 0.5/100 = 0.005 * 12 = 0.06 ( 4,000) ( 3 ) ( 0.005)=
I = ( 4,000 ) ( 2.25 ) ( 0.06 ) I = $ 540.00
c) $ 10,000 durante 4 años al 5 % semestral
I = C ni
C = 10.000 I = (10,000) ( 4 ) ( 0.10 )
n = 4 años = 8 semestres I = $ 4,000.00
i = 5/100 = 0.05 * 2 0 0.10
I = (10,000 ) ( 8 ) ( 0.05 )
I = $ 4,000
d) $ 25,000 durante 1 año 3 meses al 6 % semestral
I = C ni
C = 258,000
n = 1+ 3/12 = 1 + 0.25 = 1.25 I = (25,000) (1.25) (0.12)
i = 6/100= 0.06 * 2 = 0.12 I = $ 3,750.00
7.- Calcular el interés simple comercial
a) $ 5,000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0.75 % mensual
I = C ni
C =5,000
n = 3+2/12+20/360= I = (5,000) (3.222) (0.09)
n = 3+ 0.1666 + 0.0555
n = 3.222 I = $ 1,449.90
i = 0.75/100= 0.0075 * 12 = 0.09
b) $ 8,000 durante 7 meses 15 días al 1.5 % mensual.
I = C ni
C = $ 8,000 I = (8,000) (0.625) (0.18)
n = 7/12 + 15/360 I = $ 9*00.00
n = 0.5833 + 0.04166
46
n = 0.625
i = 1.5/100 = 0.015 * 12 = 0.18
8.- Calcular el interés exacto o real de:
Del problema 15 (a) utilizando la relación entre el exacto y el comercial
$ 2,500 durante 8 meses al 8 %
C = $ 2,500
t = 8 meses * 30 = 240 días
r = 8 %
= $131.33
= $131.50
Ir = Io – 1/73 Io
Ir = 133.33 – 1/73 (133 .33)
Ir = 133.33 – 1.826438356
Ir = $ 131.50
$ 7,000 durante 105 días al 8 %
I = C tr
C = $ 7,000 I = (7,000) (105) (0.0002191781)
t = 105 días I = $ 161.09
47
f = 0.0002191781
r = 8 %
$ 4,000 el 16 de noviembre si el pagare se firmo el 16 de julio del mismo año
C = $ 4,000
t = 123 días/ 365 = 0.3369 r = 5 %
I = (4,000) (0.3369) (0.05)
I = 67.38
C = 6,000 I = (6000) (0.3333) (0.09)
n = 0.3333 I = $ 179.98
i = 0.09
d) $ 6,000 durante 4 meses al 9 %
C = $ 6,000
t = 4 meses * 30 = 120 dias
r = 9 %
9.- Un señor pago $ 2,500.20 por un pagare de $ 2,400 firmado el 10 de abril de
1996 a un con 4 ½ % de interés ¿En que fecha lo pago?
C = 2,400
48
t =?
r = 4 ½ % = 4.5
I = 2,500.20 – 2,400 = 100.20
El día 10 de mayo de 1997 lo pago
1 año – 360
0.927 - x
20.-El propietario recibió el 15 de mayo de l996 de una casa las tres ofertas que se
detallan a continuación ¿Cuál es la mejor, si el rendimiento es del 9%?
$60,000 al contado y un pagare al 10 de septiembre de l996 por $32,600
49
118 días / 360= 0.3277
$60,000 + 31,666.07= $91,666.07 mejor opción
$30,000 a 120 días y $63,500 a 180 días
Si = 30,000
n= 120/360=0.3333
i= 9 % = 0.09
c =$29,126.29
S2 =63,500
n2 =180/360=0.50
i= 9 % = 0.09
c = $60,765.55
$29,126.29 + $60765.55 = $89,891.84
$20,000 al contado y un pagare con intereses del 8% por $71,000 a 120 días
S= 71,000
n= 120 dias/360 = 0.3333
i= 0.08
50
c = 69,156.02 $20,000 + 69,156.02 = $89,156.02
10.- Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120,000 a un interés del 8%
el 15 de Julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo
ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré
el primer inversionista?
C = $ 120,000 S = C (1+ n i)
n = 150 / 365 = 0.4109 S= 120,000 (1+ (0.4109)(0.08))
i =0.08 S= 120.000 (1.032872)
S= 123,944.64
C= 120,000
i =0.10 S= 120,000(1+(0.1452)(0.10)
n= 0.1452 S= 121,742.40
53 DIAS/365= 0.1452
11.- Cerrar el 30 de junio una cuenta corriente con intereses del 9% sobre saldo,
que ha tenido el siguiente movimiento:
1 de enero saldo debito $15,000
10 de febrero abono $12,000
20 de febrero cargo $ 8,000
51
18 de marzo abono $20,000
30 de abril cargo $10,000
20 de mayo cargo $ 8,000
6 de junio abono $ 3,000
Fecha Detalle Debe Haber Saldo Ds. Numeral
1 de enero saldo 15,000
10 de febrero abono 12,000 3,000 40 600,000
20 de febrero cargo 8,000 11,000 10 30,000
18 de marzo abono 20,000 (9,000) 26 286,000
30 de abril cargo 10,000 1,000 43 387,000
20 de mayo cargo 8,000 9,000 20 20,000
6 de junio abono 3,000 6,000 17 153,000
30 de junio 212 24 144,000
846,000
I= NF 9/36,000=0.00025
I= 846,000 (0.00025)
I = 211.50
12.- Una persona debe cancelar $14,000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el
pagare tiene como cláusula penal que, en caso de mora , se cobre el 10% por el
tiempo que exceda al plazo fijado, ¿qué cantidad paga el deudor , 70 días
después del vencimiento?
S = C (1+ ni)
52
C = $14,000 S = $ 14,000(1+(0.25)(0.08))
n= 3/12=0.25 S = $14,000(1,02)
i= 0.08 S =$14,280 3 meses x 30
3 meses * 30= 90 días +70 días = 160 días =90 días
n2= 70/360= 0.1944 I = C n i +70 días
i2= 0.10 I = (14,000)(0.1944)(0.10) 160
I = 272.16 160/360=
14,280+272.16= $14,552.16 0.4444
13. en el problema anterior, calcular el total de intereses pagados y la tasa de
interés cancelada por el deudor en toda la operación.
S= C(1+ni) 14,552.16=14,000(1+0.4444i)
14,552.16= 14,000+6,221.60
S= 14,552.16
C=14,000
n= 0.25+0.1944=0.4444 años i = 0.0887
i = ?
I=S-C I= Cni I= 14,552.16-
I= (14,000)(0.25)(0.08)= 280.00 14,552.16 14,000.00
I= (14,000)(0.1944)(0.10) =
I = 552.16
I= Cni
552.16= 14,000 (0.4444) i
I=8.87%
i= 8.87%
53
14.-Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $20,000.00 con
vencimiento para el 13 de agosto y recibe sólo $19,559.90 ¿A que tasa de
descuento racional o matemático se le descontó el pagare?
S = C (1+ ni)
S = 20,000 20,000= 19,559.90 (1+ (0.25) i)
C = 19,559.90 20,000= 19,559.90 + 4,889.975
n= 90 días/360 = 0.25
S = 20,000 i= s/c –1 i=0.090
n = 90 días/360= 0.25 20,000 i= 9%
C = 19,559.90 = 0.09
i = 9%
15.- Una persona firma los siguientes pagares con el 8% de rendimiento: $10,000
a 130 días; $12,000 a 90 días y $8,000 a 180 días. Transcurridos 30 días, propone
efectuar un pago de $10,000 al contado y un pago único a 180 días con el 9% de
rendimiento, determinar el valor de este pago único
Nuevos valores: X + 10,000 1 + 1 (0.09) 6 X 30 = 180
180/360= 0.5 = ½
X + 10,450
C (1 + ni)
Antiguos: 10,000 1 + 1/3 (0.08) 1+1/4 (0.09) + 12,000
1 + ¼ (0.08) 1+ 1/3 (0.09) + 8,000
1 + ½ (0.08) 1 + 1/12 (0.09)
54
10,000 (1.026666667) (1.0225) + 12,000 (1.02)(1.03)+ 8,000 (1.04)(1.0075)
10,000(1.049766667) + 12,000 (1.0506) + 8,000 (1.0478)
10,497.66 + 12,607.20 + 8,382.40
X + 10,450 = 10,497.66 + 12,607.20 + 8, 382.40
X = 10,497.66 + 12,607.20 + 8, 382.40 – 10,450
X = $21, 037.26
16. Una persona debe $20,000 con vencimiento a 3 meses y $16,000 con
vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con
vencimiento a 6 meses y un año respectivamente. Determinar el valor de los
nuevos pagares al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal la fecha dentro de
un año)
X 1 + (0.08)(6/12+ X =20,000 1 + (0.08)(9/12) + 16,000
1 + (0.08)(4/12)
1.04x+ x = 20,000 (1.06) + 16,000 (1.0267)
2.04x= 21,200 + 16,426.67
2.04x=37,626.67
c/ pagaré
17. 10,000 a 30 días = $10,065.75
12,000 a 30 días = $12,078.90
8,000 a 30 días = $8,052.60
30,000 a 30 días = $30,177.27
$18,444.45
55
Pago hecho - 10,000.00
20,197.27 a 180 días
Con un 9% de rendimiento $ 21,093.68
18. Una persona debe los siguientes pagares con el 8%:$6000 exigible dentro de
3 meses, firmando a 6 meses de plazo, $8000, exigible dentro de 6 meses ,
firmando a un año plazo, y otro de $5000 sin intereses, exigibles dentro de 9
meses. Su acreedor acepta recibir tres pagos iguales con el 9% de rendimiento, a
cambio de las anteriores obligaciones, así: el primer pago de contado, el segundo
a 6 meses y el tercero a un año de plazo. Determinar el valor de estos pagos
iguales.
Determínese la fecha focal.
X (1+0.99 + x [1+6/12)] (0.9) + x = 6,240 [1+0.9)(9/12)]
8,640 [1+0.9) (9/12 ]
5,000 [1+0.9) (9/12 ]
x (1.09) + x(1.045) + x = 6,240 (1.0675) + 8,640 (1.045) + 5000 (1.0225)
3.135x = 6,661.20 + 9,028.80 + 5,112.50
3.135x = 20,802.50
x = 20,802.50
3.135 = $6,635.56 c/pagaré
I = c n i
I = (6,000) (0.08) (6/12)= 240 + 6000 = 6,240
I = (8,000) (0.08) (1) = 640+8,000 =8,640
19. tabular un flujo de caja y elaborar un diagrama para la siguiente situación: una
persona obtiene un préstamo de $24,000, el cual debe pagar mas los intereses, en
56
6 pagos mensuales iguales a partir del tercer mes, a una tasa de 19.5%.
I = C n i
I = (24,000) (3) (0.01625)= $1,170
S = C (1+ ni)
S =25,170
I =S-C i = 25,170 -24,00=1,170
25,170/ 6=$4,195
S1 = $4,195 (1+1(0.01625)= $4,263.61
I = $4,263.16-4,195= $68.16
S2=$4,263.16 [1+1(0.01625)] =$4,332.43
I = $4,332.43- 4,263.16 =$69.27
S3=$4,332.43 [1+1(0.01625)]= $4,402.83
I = $4,402.83-4,332.43 =$70.40
S4=$4,402.83 [1+1(0.01625)]=$4,447.37
I = $4,474.37- 4,402.83 0$71.54
$24,000 $25,595.95
+ 1,170 - 24,000.00
68.16 $1,595.95
69.27 interés Ganado
70.40
71.54 S5 =$4,474.37 [1+1(0.01625)]=$4,547.07
72.70 I = 4,547.07 – 4,474.37 =$72.70
73.88 S6=4,547.07 [1+1(0.01625)] =4,620.95
$125,595.95 I =4,620.95-4,547=473.88
20. tabular un flujo de caja y elaborar su diagrama para el comprador de bonos por
valor de 30000, emitidos por una empresa, los cuales son redimibles dentro de 9
57
meses, si paga el 5.6% trimestral de intereses por trimestre vencido y el bono
tiene un valor de $29,000.
$35,327.50
5.6%=0.056
S1 = 30,000 [1+1(0.056)] = $31,380
I =S-C = $31,680 - 30,000 = $1,680.00
S2 = $31,680 [1+1(0.056)] = $33,454.08 INTERES GANADO
I = $33,454.08 - 31,680 = $1,774.08 $35,327.50
S3 = $35,454.08 [1+1(0.056)] = $35,327.50 - 29,000.00
I = 35,327.50 - 33,454.08 = 1,873.42 6,327.50
Ejercicios
1. calcular el interés simple comercial de :
A- $4900 durante 11 meses al 6%
B- $105000 durante 89 días al 10%
C- $ 3500 durante 4 años al 0.65% mensual
D- $5100 durante 3 años 5 meses al 0.4% mensual
E- $9000 durante 5 años 4 meses 15 días al 0.65% mensual
F- $11000 durante 11 meses 24 días al 1.8%
2. Calcular el interés exacto de:
A- $5000 durante 145 días al 6%
B- $20000 durante 8 meses al 7%
C- $3000 el 22 de enero si fue firmado el 11 de septiembre del mismo año
3. Alejandro pagó $ 37100.20 por un pagare de $3600 firmando el 16 de mayo
de 1999 con 5% de interés ¿en que fecha lo pago?
58
4. Cerrar al 26 de julio una cuenta corriente con interés del 11% sobre saldos,
que ha tenido el siguiente movimiento:
1 de enero saldo debito $18,000
15 de febrero abono $ 9,000
24 de febrero cargo $ 5,000
22 de marzo abono $19,000
30 de abril cargo $ 8,000
12 de junio cargo $ 6,000
2 de julio abono $ 2,500
5. Daniela castro descuenta un pagaré de $33000 al 13 de abril con
vencimiento el 11 de julio y recibe solo 32 559.90 ¿a que tasa de descuento
racional o matemático le fue descontado el pagaré?
6. Juan Pérez debe $200 000 con vencimiento a 6 meses y $160 000 con
vencimiento a 16 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos
iguales a 12 meses y dos años, respectivamente. Determinar el valor de los
nuevos pagares con el 16% de rendimiento (toma como fecha focal la fecha
dentro de un año).
UNIDAD IV. INTERÉS COMPUESTO
59
Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los
intereses al capital formando un monto sobre el cual se calcularan los intereses en
el siguiente intervalo o periodo de tiempo y así sucesivamente se dice que los
intereses se capitalizan y que la operación financiera es a INTERÉS
COMPUESTO.
FACTORES QUE AFECTAN EN EL CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO:
Función del tiempo: El crecimiento natural es una variación proporcional a la
cantidad presente en todo instante, estos crecimientos son funciones continuas del
tiempo; en la capitalización del interés compuesto también se produce el
crecimiento continuo.
Periodo de capitalización: Es el intervalo convenido en la obligación, para
capitalizar los intereses.
Tasa de interés compuesto: Es el interés fijado por el periodo de capitalización.
Valor futuro de un capital a interés compuesto o monto compuesto: Es el
valor del capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los
intereses.
Tasa nominal: Es la tasa convenida para una operación financiera.
Tasa efectiva: Es la que realmente actúa sobre el capital de la operación
financiera.
Tasas equivalentes: Son aquellas que en condiciones diferentes producen la
misma tasa efectiva anual.
Símbolos
i = Tasa efectiva
60
j = Tasa nominal anual
m = número de capitalizaciones en el año.
Formulas para el monto: (S ó F)
S = C (1 + i) mn
Ejemplo
Se conviene una deuda de $ 1,000.00 en 5 años de plazo al interés del 10% con
capitalización anual.
NUMERO CAPITAL AL PRINCIPIO INTERESES EN EL CAPITAL MAS INTERES AL
DE PERIODOS DEL PERIODO PERIODO FINAL DEL PERIODO
1 1000 100 1100
2 1100 110 1210
3 1210 121 1331
4 1331 133.10 1464.10
5 1464.10 146.41 1610.51
Sustituyendo en la formula anterior tenemos un monto:
$ 1, 610.51
Donde:
s = monto
c = capital
i = tasa de interés
n = periodo de tiempo
CÁLCULO DEL TIEMPO
Se puede calcular usando la tabla 1 o mediante la aplicación de logaritmos.
Ejemplo:
61
¿En que tiempo un depósito de 1000 se convertirá en 1500 al 6% con
capitalización semestral?
F = P (1+ j /m) m n
F = 1500 p = 1000 j = 0.06 m = 2
1500 = 1000 (1+0.03)2n
(1+0.03)2n = 1500/1000 = 1.5
En la tabla I buscan en la columna del 3% los valores –por exceso y por defecto-
mas próximos a 1.5 este valor se encuentra entre 1.46853371 que corresponde a
13 periodos y 1.5125872 que corresponde a 14 periodos. Interpolando como en el
caso anterior se tiene:
A 14 corresponde 1.51258972 a 13 + x corresponde 1.50000000
A 13 corresponde 1.46853371 a 13 + x corresponde 1.46853371
1 es a 0.04405601 como x es a 0.03146629
1/445601 _ x/ 3146629
x = 3146629/4405601
x = 0.7142337
2n= 13+0.7142337= 13.7142337
n = 6.8571 años.
Mediante la función de logaritmos
(1.03)2n = 1.5
2n Log (1.03) = Log (1.5)
2n Log (1.5)/ Log (1.03) = 0.176091/0.012837
2n=13.7172
n = 6.8586 años.
62
EJERCICIOS APLICADOS AL INTERES COMPUESTO
1. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100 para 10 años:
a) Al 5 %efectivo anual
F = p(1+ j/m) = S = C(1+ i)
DATOS:
C = $100
n= 10 años
m= 1 año
i= 0.05%
S= $100 (1+0.05)
S = $100 (1.6289)
S = $162.89
b) Al 5 % capitalizable mensualmente
C= $100
i= 0.05
m= 12 meses
i= 0.05 = 0.00416
m 12
N = 10 años
mn = (12)(10) = 120
S= C(1+i/m)
S= $100 (1+0.05/12)
S= $100 (1.004166667)
S= $100(1.64009498)
S= $164.70
c) Al 5 % capitalizable trimestralmente
DATOS
C = $100
I = 0.05
S= C(1+ i/m)
S= $100 (1+0.05/4)
nm nm
(10)(1)
nm
(12)(10)
120
nm
(10)(4)
63
m= 4 trimestres
i = 0.05 = 0.0125
m 4
n= 10 años
mn= (4)(10)= 40
S= $100 (1.0125)
S= $100 (1.643619463)
S= $164.36
d) Al 5 % capitalizable semestral
DATOS
C = $100
i= 0.05
m = 2 semestres
i = 0.05 = 0.025
m 2
n = 10 años
mn= (2)(10)= 20
S= C(1+ i/m)
S= $100 (1+0.05/4)
S= $100 (1+ 0.025)
S= $100 (1.6386)
S= $163.86
2. Hallar el valor futuro a interés compuesto de:
a. $5,000 al 6% capitalizable semestralmente en 20 años
DATOS
C = $5,000
j = 0.06
m= 2 semestres
i =j/m = 0.06/2 = 0.03
n= 20 años
mn= (2)(20)= 40
S= C(1+ i/m)
S= $5,000 (1+0.03)
S= $5,000 (3.2620)
S= $16,310.00
b. $4,000 al 7% capitalizable semestralmente en 70 años
DATOS
40
nm
(10)(2)
20
nm
40
nm
64
C = $4,000
j = 0.07
m= 2 semestres
i =j/m = 0.07/2 =
0.035
m = 2
N = 70 años
Mn = (2)(70)=140
S= C(1+ i/m)
S= $4,000 (1+0.01875)
S= $4,000 (123.4948)
S= $493,979.20
c. $9,000 al 7 ½ capitalizable trimestralmente en 12 años
DATOS
C= $9,000
j= 0.075
m = 4 trimestres
i=j/m=0.075/4=
0.01875
m = 4
n= 12 años
mn= (4)(12)= 48
S= C(1+ i/m)
S= $9,000 (1+0.01875)
S= $9,000 (2.43919)
S= $21,952.71
d. $8,000 al 6 ½ capitalizable mensualmente en 30 años
DATOS
C= $8,000
j= 0.065
m= 12 meses
i =j/m= 0.65/12 = 0.005416
m = 12
n= 30 años
mn= (12)(30)= 360
S= C(1+ i/m)
S= $8,000 (1+0.005416)
S= $8,000 (6.991797974)
S= $55,934.38
48
nm
48
nm
360
65
3. Hallar el valor futuro $20,000 depositados al 8% capitalizable anualmente
durante 10 años 4 meses en forma.
A. Teórico
DATOS
C = $20,000
j = 0.08
m= 10 años 4 meses
4/12= 0.33333
m= annual (1)
S= C(1+ i/m)
S= $20,000 (1+0.008/1)
S= $20,000 (2.215025889)
S= $44,300.51
B. Comercial
S = C(1+ i/m)
S = $20,000 (1+0.08/1)
= 43,178.49 [1+ 4/12 (0.08)]
S= $43.329.91
4- Hallar el VF de $10,000 depositados al 8%, capitalizables trimestralmente
durante 32 años 7 meses, 22 días.
DATOS mn
C=10,000 A) S= C (1+ j/m)
130
j = 0.08 S=10,000
n = 32 años, 7 meses, 22 días B) S= $131,226.73 [1+ 52/360 (0.08)]
nm 10.33 (1)
nm 10
66
S= $132,743.15
m = 4 trimestres
7/12 = 0.583333333
22/360 = 0.061111111
n = 32x4+2=130
Trimestres
22 días + 30 = 52 días
Sobra un mes
3+3= 6-7 meses = 1 mes = 30 días
5 - Una persona deposita $ 3,000 el 22 de abril de 1995, en una caja de
ahorros que paga el 6% capitalizable semestralmente el 30 de junio y el 31 de
diciembre de cada año ¿Cuánto podrá retirar el 14 de noviembre del 2002?
DATOS mn
S= ¿ S= C (1+ i )
m
15.15
C= 3,000 S= $3,000 ( 1+ 0.06 )
2
j= 0.06 S= $4,694.67
m= 2 semestres
n = ?
2002-1995= 7 años
Abril - nov = 214 días
67
22-14=8 -8
206 días
206/30 = 6.87 = 6 meses = 1 semestre
0.87/6 = 0.145 = 0.145 semestres
7x2 = 14+1+0.145=15.145 semestres
= 15. 15
6- Un banco pagaba el 5% de interés compuesto, capitalizable
trimestralmente, el 1º de enero de 1996 modificó la tasa elevándolo al 7%
capitalizable semestralmente. Calcular el monto compuesto que tendrá el 1º
de enero del 2006, un depósito de $10,000, efectuando el 1º de abril de 1993.
DATOS
mn
S= ? S= C (1+ i )
m
C =10,000 S = 10,000 (1+ 0.05)11
4
i = 0.05 S = 11,464.24
m = 4 trimestres
n = 2 años 9 meses = 11 trimestres
1994-1995 = 2 años x 4 = 8 trimestres
1993= 3 trimestres
8+3 = 11 trimestres
40
C=11,464.24 S=11,464.24 (1+ 0.07)
2
S=? S= 45,389.90
68
j= 0.07
m= 2 semestral
1996 – 2016 = 20 años
n = 20 años
mn =20x2 = 40 semestres
i=i/m = 0.07/2= 0.035
7- Un padre muere el 20 de marzo de 1996 y deja a su hija $100,000 para que
le sean entregados al cumplir 18 años. La herencia se deposita en una
cuenta que gana el 6% capitalizable anualmente. El 22 de septiembre del año
en que murió el padre, la hija cumplió 10 años. Calcular la cantidad que
recibirá en la edad fijada. (int. Real.).
DATOS nm
S= ? S= C (1+ i/m )
(8.52) (1)
C= 100,000 S=100,000 (1+ 0.06/1)
i= 0.06 S= 164,288.049
m= 1 anual
n= 8.516666667
= 8.52
22 Sep - 20 marzo = 2
Marzo – sept. = 184 días + 2
= 186 días
186/360= 0.516666666
1996 + 8 = 2004
18 – 10 = 8 años
8- Hallar el VF de un capital de $100 depositados durante 10 años, 5meses.
Ala tasa efectiva anual de 6.32%.
69
DATOS
n
C = $100 S = C (1+ i)
10.4166
n = 10 años, 5 meses S = $100 (1 + 0.0632)
i = 6.32% S = $ 189.33
5/12 = 0.4166
10+0.4166= 10.4166
9- ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% capitalizable
trimestralmente?
nm nm
(1+ i ) = (1+ i ) 0.08/4= 0.02
(1+ 0.02)4 = (1+ i 2
(1.02)4 = (1+ i)2
1.08243216 = (1+ i )2
(1+ i ) = 1.08243216
2 log (1+ i) = log 1.08243216
(1+i)= log 1.0824216
2
log (1+i)= 0.017200343
70
(1+i ) = 0.017200343
1+ i = 1.0404
i= 1.0404 – 1
i = 0.0404
j = 0.0808
j = 8.08%
10- Calcular la tasa de interés simple equivalente al 7 %, capitalizable
semestralmente durante 12 años.
DATOS
n
ic = interés compuesto is = (1+ i c) - 1
is=? n
ic= 0.07 / 2 = 0.035
ic= 12 años x 2 = 24 semanas
is= (1+ 0.035)24 - 1
24
is= 0.0534 x 100 = 5.34% semestral
J= im
J= 5.34 (2)
J = 10.68% annual
11- Hallar la tasa nominal convertible semestralmente. A la cual $10,000 se
convierten en $12,500 en 5 años.
71
DATOS
nm
C= 10,000 S= C (1+ j / m )
n= 5 años 12,500=10,000 (1+j / 2) 5 (2)
m= 2 12,500/10,000 =(1+j/2)10
1.2 =(1+j/2)10
(1+j/2)10 = 1.2
10 log (1+j/2) = log 1.2
i= 4.51 %
12. Se estima que un bosque maderable evaluado en $750,000 aumentara su
valor cada año en el 8.5% durante los próximos 6 anos ¿cual será su valor al
final del plazo calculado?
C=750
n = 6 años
j=8.5%
VF= ?
S=C (1+i)6
S =$750(1+0.085)6
S =1,223.60
13. ¿cuantos años deberá dejarse un deposito de $6,000 en una cuenta de
ahorros que se acumula el 8% semestral para que se conviertan en 10,000?
S-F =10,000
C =P =6,000
J =0.08%
m =2
S=C (1+j/m)2n
10,000 = 6,000 (1+0.08/2)2n
n =log(s/c) /log (1+C/m)/m
n
72
n= (log (00/6,000)/log1.04)/2
n=6.512 años
1 año – 12 meses AÑOS =6
0.512- X MESES = 6
X = (0.5129)(12)=6.144 Días = 4
1 MES – 30 DIAS
0.144 –X
X=(0.1449(30)/1=4.32
14. Calcular el monto de $4000 depositados durante 12 años 5 meses al 6.4%
con acumulación semestral.
C = 4000 S = 4000(1+0.064/2)2(12.4166)
j= 0.064
m=2 S = 4000(2.186313733)24.83
i/m=0.064/2=0.32 S =$8,745.25
5/12=0.4166
15. ¿Qué es mas conveniente; inventar en una sociedad maderera que
garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años o deposita en aún cuenta
de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente
C= 10000
j= 0.06
m = 4 trimestres
S= 10000(1+0.06/4)40
S =10,000 (1.015)
S =$18,140.18
n =10 años
mn = (4)(10)040
40
73
b) 10,000 (2 )=$20,000
R = es mas conveniente invertir en una sociedad maderera
16. Un inversionista ofreció comprar un pagaré de 120,000 sin intereses que
vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual,
calcular el precio ofrecido.
S= $120,000
j= 0.08
n = 3 años
C = S/(1 + i)n
C = 120,000 / (1+0.08)3
C =$95,259.87
17- Hallar el valor actual de:
a) 20,000 pagadero dentro de 10 años al 5% con acumulación anual
S =10,000
m =1
p = 10000(1+0.05)-10
n = 10 años
p = 10000 (0.61391325)
j =0.05
p = $6,139.1325
b) 500.00 pagaderos dentro de 6 años al 6 % capitalizable trimestralmente
F = 5000
m = 4
j = 0.06
n =6 años
p=5000(1+0.06/4)-4(6)
74
P= 5000 (1.015)-24
P=$3,497.72
c) 8000 pagaderos dentro de 71/2 años al 8% capitalizable semestralmente
F = 8000
m= 2
j = 0.08 p = 8000 (1+0.08/2)-2(7.5)
n =71/2 años
p= 8000(1.04) -15
p= $4,442.12
17. Hallar el valor actual de $96,000 pagaderos dentro de 20 años al 8%, con
capitalización mensual.
Datos:
S= 96,000 C= S(1+i)-nm
n= 20 Años C= $96,000 (1 + 0.0066)-240
m= 12 C= $19,485.25
nm=(20) (12)= 240
18. Hallar la cantidad que es necesario depositar en una cuenta que paga el
8% con capitalización trimestral, para disponer de $20,000 al cabo de 10
años.
Datos:
S= 20,000
i= 8%/4= 2% trimestral
n= 10 Años
m= 4
mn= 10 x 4= 40 trimestres
75
P= 20,000 (1 + 0.02)-40
P= $ 9,057.81
19. ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad, si la
tasa de interés es del 10%, con capitalización semestral?
(a) $60,000 al contado
(b) $30,000 al contado y $ 35,000 a 3 años de plazo
Datos:
S= 35,000 C ó P= S(1 + J/M) -mn
n= 3 años C= 35,000 (1 + 0.05)-(2) (3)
m= 2 C= 35,000 (1.05)-6
J= 10% C= $26,117.54
+26,117.54
30,000.00
$56,117.54 Oferta B
R= $60,000 oferta a es la mas conveniente para la venta de una propiedad
20. Una persona vende una propiedad evaluada en $120,000 y por ella le
ofrecen $70,000 al contado. ¿Por cuánto debe aceptar un pagaré por el saldo
a 2 años de plazo, si el tipo de interés es del 9%, con capitalización
trimestral?
120,000 – 70, 000= 50,000
C = S(1+i)n
C = 50,000 (1.09/4)-8
C = = $ 41, 846.92
76
21. Una persona posee un pagaré de $60,000 a 15 años de plazo a un interés
de 8% con acumulación semestral, tres años antes de su vencimiento los
ofrece en venta a un prestamista que invierte al 10%, con capitalización
trimestral. ¿Qué suma le ofrece el prestamista?
Datos:
P= C= 60,000 S= C (1+Jj/m)mn
n= 5 Años S= 60,000 (1+0.04) (2) (5)
m= 2 S= 60,000 (1.04)10
j= 0.08 S=$ 88,814.66
I= j/m= 0.08/2= 0.04
Datos:
C= 88,814.66 S= 88,814.66 (1+0.25) –(3) (4)
m= 4 S= 88,814.66 (1.25)-12
j= 0.10 S= 66,038.66
I= j/m= 0.10/4=0.25
n= 3
22. Un comerciante compra $100,000 en mercancías y paga $20,000 al
contado, $40,000 en un pagaré a 3 meses y $ 40,000 a 6 meses. Hallar el valor
de contado de la mercancía, si la tasa de interés local es del 9% con
capitalización mensual.
Valor Futuro Operaciones Valores Actuales
$ 100,000 deuda
-20,000 contado $ 20,000
$ 80,000 nueva deuda
-40,000 1er. Pago a tres meses = $40,000 (1 + 0.09/12)-36
= 30,565.96
-40,000 2do. Pago a seis meses 40,000 (1 + 0.09/12)-72
= 23,356.95
20,000
77
+ 30,565.96
+ 23,356.95
$ 73,922.91
23. Una persona debe pagar $50,000 dentro de 2 años; el acreedor acepta un
pago al contado de $ 20,000 y un nuevo pagaré a 3 años. Hallar el valor del
nuevo pagaré a la tasa del 8%, con acumulación semestral.
Datos:
m= 2 semestral C= 50,000 (1 + 0.04) –(2) (2)
J= 0.08 C= 50,000 (1.04)-4
n= 2 años C= 42,740.21
S= 50,000 -20,000.00
I= J/M= 0.08/2= 0.04 $ 22,740.21
n = 3 años C= 22,740.21 (1 + 0.04) (3) (2)
C= 22,740.21 (1.04)6
C= 28,773.62
24. Un pagaré de $ 8,00 pagaderos dentro de 2 años y otro de $ 10,00
pagaderos dentro de 5 años van a liquidarse en un pago único dentro de 3 ½
años. Hallar el valor del pago único a la tasa del 9% convertible
semestralmente.
Datos:
J= 0.09
m= 2 semestral
I= J/M= 0.09/2= 0.045
X= $ 8,000 (1 + 0.045)3 + 10,000 (1 + 0.045)-3
X= $ 17, 892.30 pago único
78
25. Una persona debe $20,000 pagaderos dentro de 3 años y $ 40,000
pagaderos dentro de 5 años. Hallar el valor de dos pagos iguales, a 2 y 4
años que sustituyen las deudas con el tipo de interés del 6% con
capitalización semestral.
Datos:
J= 0.06
m= 2
i= 0.06/2=0.03
X (1 + 0.03)2 + X (1 + 0.03)4= 60,000
X (1.0609 + 1.12550881)= 60,000
X (2.18640881)= 60,000
X= 60,000 =
2.18640881
X= 27,442.26
25.- Una persona vende un terreno y recibe dos pagos de $ 60,000 a 2 y 4
años de plazo. Hallar el valor de contado, si el rendimiento es del 3% con
capitalización semestral.
Datos:
C= 60,000 S= C (1+j/m)nm
m= 2 (semestral) S= 60,000 (1+0.04)4
n= 2 S= 70,191.51
j= 0.08 70,191.51
i= j/m= 0.08/2= 0.04 +60,000
nm= (2) (2)= 4 $130,191.51
nm=(4) (2)
S= 130,191.51
79
S= $95,129.66
27.- Una persona debe $100,000 y pretende efectuar tres pagos anuales
iguales y sucesivos. Si el tipo de interés es del 7% capitalizable anual, hallar
el valor de estos pagares.
X (1+0.07)3 + X (1+0.07)2 + X (1+0.07)= $ 100,000
X (1.225043+1.1449+1.07)= $ 100,000
X (3.439943)= $ 100,000
X= 100,000
3.439943
X= $29,070.25
28.- Hallar el tiempo equivalente para el pago de las siguientes deudas $
10,000 a 4 años $ 8,000 a 3 años, y $ 6,000 a 2 años. Tasa efectiva del 8%.
(10,000+8,000+6,000) (1+0.08)-x = 10,000 (1+0.08)-4+8,000 (1+0.08)-3+ 6,000
(1+0.08)-2
24,000 (1+0.08)-x = 10,000 (0.735029852) +8,000 (0.793832241)+6,000
(0.85733882)
(1+0.08)-x = 7,350.29+6,350+5,144.03
2,400
(1+0.08)-x = 18,844.98
24000
(1+0.08)-x = 0.7852075
-xIn (1+0.08)= In 0.7852075
In (1.08)= 0.76961041
In 0.7852075= -0.241807264
x = -0.241807264
80
0.076961041
x = 3.1419 años
x = 3 años, 1 mes, 21 días
Ejercicios:
1. Determinar el periodo de capitalización y la frecuencia de conversión de:
a) Una inversión en certificados de la tesorería de la federación con
vencimiento cada 90 días.
b) Una inversión en cuenta de ahorros que paga interés del 20% anual
semestralmente.
c) Una inversión en pagares liquidables cada 28 días.
2. Cual es la tasa de interés por periodo de capitalización de las siguientes
inversiones:
a) Capitalizable mensualmente (6%)
81
b) Capitalizable trimestralmente (18%)
c) Capitalizable anualmente (22%)
d) Capitalizable semestralmente (22%)
3. Se invierten $ 20000 en una cuenta bancaria. Determínese el monto
acumulado al cabo de 5 años, si la tasa promedio de interés convertible
mensualmente es de:
a) 15%
b) 25%
c) 38%
d) 54%
4.-Cual es el monto de una inversión de $ 100,000 al cabo de un año, si se
deposita en una cuenta bancaria que paga el 30% de interés convertible:
a) Anualmente ?
b) Semestralmente ?
c) Trimestralmente ?
d) Mensualmente ?
5.- Cual es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a:
a) Una tasa de 11% anual
b) Una tasa de 18% anual convertible semestralmente?
c) Una tasa de 32% anual convertible trimestralmente?
6.-Determine la tasa efectiva de interés equivalente a:
a) 20% capitalizable semestralmente.
b) 20% capitalizable mensualmente.
c) 30% capitalizable mensualmente.
82
d) 40% capitalizable mensualmente.
e) 50% capitalizable trimestralmente.
7.- Determine la tasa nominal de interés, equivalente a una tasa efectiva de:
a) i= 15% m=1
b) i= 15% m=2
c) i= 15% m=4
d) i= 15% m=12
e) i= 26% m=12
f) i= 12% m=4
g) i= 35% m=12
h) i= 9% m=4
8.- Determinar:
a) La tasa nominal de interés j4 equivalente a j12=14%
b) La tasa nominal de interés j4 equivalente a j12=18%
c) La tasa nominal de interés j4 equivalente a j2=10%
d) La tasa nominal de interés j6 equivalente a j4=8%
e) La tasa nominal de interés j12 equivalente a j4=12%
f) La tasa nominal de interés j12 equivalente a j4=15%
g) La tasa nominal de interés j12 equivalente a j12=20%
h) La tasa nominal de interés j12 equivalente a j4=24%
9.- Determine la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de 18%
compuesta:
a) Anualmente
b) Semestralmente
c) Cuatrimestralmente
83
d) Trimestralmente
e) Bimestralmente
f) Mensualmente
g) Semanalmente
¿Cual es la diferencia entre la tasa efectiva con capitalización anual, y la tasa
efectiva semanal?
La diferencia es de 1.68%
10.- Cual es la tasa de interés simple equivalente a una tasa de 14% convertible:
a) Mensualmente
b) Trimestralmente
c) Semestralmente
d) Anualmente
Si se invierte un capital durante 3 años?
11.- Encuentre el valor de $10,000 que se recibirán dentro de 5 años, si la tasa de
interés anual es:
a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
e) 50%
f) 75%
g) 100%
Encuentre el valor de $10000 que se recibirán dentro de:
a) 1 año
b) 2 años
84
c) 3 años
d) 5 años
e) 10 años, si la tasa de interés es de 30% anual
13.- Encuentre el valor actual de $ 10000.00 que se recibirán dentro de 3 años, si
la tasa de interés es 15% compuesta:
a) Anualmente
b) Semestralmente
c) Cuatrimestralmente
d) Trimestralmente
e) Bimestralmente
f) Mensualmente
14.- Determinar el valor actual de:
a) $10,000.00 pagaderos en 6 meses a 18% convertible mensualmente
b) $50,000.00 pagaderos en 3 años a 20% convertible trimestralmente
c) $120,000.00 pagaderos en 18 meses a 22% convertible trimestralmente
d) $400,000.00 pagaderos en 2 años a 40% convertible trimestralmente
15.- Cuanto dinero debe depositar una persona en un banco para reunir $ 100000
dentro de 2 años, si la tasa de interés vigente es de:
a) 6% Convertible mensualmente?
b) 10% Convertible Trimestralmente?
c) 12% Convertible semestralmente?
d) 14% Convertible anualmente?
e) Que alternativa es la mas conveniente?
85
16.- Los precios de la canasta básica de alimentación se han incrementado a una
tasa anual de 25% durante 3 años si el precio actual es de $ 765.00 ¿Cuál es su
valor hace 3 años?
17.- Un país posee 5 refinerías para proveerse de combustible. Su producción
actual es de 1000000 barriles diarios y trabajan al 80% de su capacidad. Si el
crecimiento promedio del consumo ha sido de 4% anual ¿En que tiempo requerirá
dicho país poner en operación una nueva refinería?
18.-Se desea formar un fondo de $ 250000 al cabo de 2 años ¿Que cantidad debe
depositarse hoy si el banco paga un interés de:
a) 10% Convertible mensualmente?
b) 20% convertible semestralmente?
c) 23% anual?
19.- Los salarios mínimos se han incrementado a una lista del 13% anual
promedio durante los últimos 4 años. Si continuara dicha tendencia, ¿En que
tiempo se triplicara su valor nominal?
20.- El precio de las casas y terreno se ha duplicado en 3 años ¿Cuál es la tasa de
interés anual que ha ganando?
21.- Una persona desea formar un fondo de ahorros para su vejez. Deposita $
10,000 en una cuenta que paga el 12% anual convertible mensualmente ¿Cual
será el monto de que disponga al cabo de 25 años?
22.- En una ciudad el crecimiento del número de automóviles ha sido de 6% anual
promedio durante los últimos 5 años. De continuar la tendencia ¿Cuál será el
número de automóviles que circularan dentro de 10 años, si actualmente existen 2
millones de vehículos?
86
23.- ¿Que cantidad se debe pagar hoy por una deuda a 36 meses, si la tasa de
interés es de 17% anual capitalizable trimestralmente, y el monte es de
44,850.00?
24.- Las ventas al menudeo se han incrementado a razón de 3% anual. Si el
número de unidades vendidas fue de 100,000 en el año, ¿Cuales son las ventas
estimadas para dentro de 5 años si se mantiene el ritmo de crecimiento?
25.- Un banco ofrece las siguientes alternativas de inversión:
a) Depósitos a plazo fijo de 1 año 12.0%
b) Depósitos a plazo fijo capitalizable mensualmente 11.5%
c) Depósitos a plazo fijo con intereses capitalizables trimestralmente 11.6
d) Depósitos a plazo fijo con intereses capitalizable semestralmente 11.8%
26.- Cual será el monto de los $ 50,000 del ejercicio anterior, si se depositan
durante 10 años en:
a) Una cuenta de valores al 22% capitalizable mensualmente?
b) Una cuenta de valores al 27.5 % capitalizable mensualmente?
c) Una cuenta de valores al 30 % capitalizable mensualmente?
d) Una cuenta de valores al 35 % capitalizable mensualmente?
e) Una cuenta de valores al 40 % capitalizable mensualmente?
27.- Una deuda de $ 400,000 debe liquidarse con dos pagos iguales a 60 y 120
días ¿cual es el importe de dichos pagos si la tasa de interés anual es de 26%
con capitalización bimestral?
28.- En que tiempo puede ser liquidada con un pago único una deuda de $ 27,500
pagaderos en un año, y $ 38450 pagaderos en 2 años, si la tasa de intereses es:
a) 10% anual?
b) 20% anual
87
c) 30% anual
d) 50% anual
29.- ¿Cual será el monto de una cuenta de ahorros en la que se depositan
$50,000 durante 10 años, si la tasa de interés es de 8% capitalizable
semestralmente?
a) Cual será el monto en 15 años?
b) en 20 años?
30.- Una persona deposita $ 5000 en una cuenta de ahorros que paga el 10% de
intereses anual convertible semestralmente ¿Cual será el importe reunido después
de 28 meses? Calcular por el método exacto y por el aproximado
31.-Cual es el monto de una inversión de $ 100,000 al cabo de un año, si se
deposita en una cuenta bancaria que paga el 30% de interés convertible
mensualmente:
a). por interés simple
b) por interés compuesto
UNIDAD V. ANUALIDAD
Se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos
iguales de tiempo; no siempre se refiere a periodos anuales de pago.
El concepto de anualidad corresponde a una serie de flujos de dinero (usualmente
de igual valor) que se producen a intervalos regulares de tiempo (por ejemplo,
meses, años, etc.) y durante un plazo completo determinado.
Cuando los flujos regulares se producen al final del intervalo correspondiente, se
dice que se trata de un problema de anualidades ordinarias (o vencidas) y
cuando los flujos se generan al principio del intervalo, se llaman anualidades
88
anticipadas. Por otro lado, cuando se conoce con exactitud el momento de inicio
y (o) finalización de los flujos monetarios, se trata de una anualidad cierta. Si el
inicio y (o) finalización de los flujos es incierto, porque depende de la ocurrencia de
un evento que no se puede predecir con exactitud (como la muerte de una
persona), se trata de un problema de anualidad contingente.
Algunos ejemplos de anualidades son:
Los pagos mensuales por renta.
El cobro quincenal o semanal de sueldos.
Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.
Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Se conoce como intervalo o periodo de pago, al tiempo que transcurre entre
un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el
inicio del primer periodo de pago y el periodo final de pago. Renta es el nombre
que se da al pago periódico que se hace.
TIPOS DE ANUALIDADES.
La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que
existan diferentes tipos de ellas. Se clasifican por:
Criterios Tipos de anualidades
A) Tiempo
1. Ciertas
2. Contingentes
B) Intereses
3. Simples
4. Generales
C) Pagos
89
5. Vencidas
6. Anticipadas
D) Iniciación
7. Inmediatas
8. Diferidas
A) De acuerdo a las fechas de iniciación y de terminación de las anualidades son:
1) ANUALIDADES CIERTAS. Sus fechas son fijas y se estipulan de
antemano.
Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se
debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago.
2) ANUALIDAD CONTINGENTE. La fecha del primer pago, la fecha del
último pago, o ambas no se fijan de antemano.
Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras la muerte del
otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe
exactamente cuando.
B) De acuerdo a los intereses, o mejor dicho, a su periodo de capitalización, las
anualidades se clasifican en:
3) SIMPLES. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización
de los intereses.
Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable
mensualmente.
4) GENERALES. Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el
periodo de capitalización.
Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual
capitalizable trimestralmente.
90
C) De acuerdo con los pagos las anualidades son:
5) VENCIDAS. Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en que
los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
6) ANTICIPADAS. Los pagos se efectúan al principio de cada periodo.
Simples.- porque el período de pago coincide con el de capitalización
Ciertas.- porque se conoce la fecha de los períodos.
Inmediatas.-porque el período de pago se inicia al cerrarse la operación.
D) De acuerdo al momento en que se inician:
7) INMEDIATAS. Es el caso más común. La realización de los cobros o
pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalización
del trato.
Ejemplo: se compra un articulo a crédito hoy, que se va a pagar con
mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese
momento o un mes después de adquirida la mercancía (puede ser así,
anticipada o vencida).
8) DIFERIDAS. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo
después de la formalización del trato (se pospone).
MONTO DE UNA ANUALIDAD
El valor final o monto es la suma de todos los pagos periódicos y su
correspondiente interés compuesto, acumulado al final del término de la
operación.
FORMULA:
91
F= A (1+i)n -1
i
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA
El valor presente es la suma de los valores de todos los pagos.
FORMULA:
P = A 1- (1+ i)-n
i
RENTA.
Es el importe de los pagos periódicos que se necesitan para lograr extinguir una
deuda en cierto tiempo.
Se representa con A o R.
CÁLCULO DE LA RENTA
a) Cuando se conoce el valor futuro.
i
(1+ i)n -1
b) Cuando se conoce el valor presente.
i
1- (1+ i)-n
CÁLCULO DEL TIEMPO
A = P
A = F
92
a) Cuando se conoce el valor futuro.
log ( iF + A ) – log A
Log (1+ i)
b) Cuando se conoce el valor presente.
Ejemplo:
1.- Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas
ordinarias.
a) $2,000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.
F= A (1+i)n -1
i
Datos:
A = $2,000 F= $2,000 (1+0.04)17-1 /0.04
J = 0.08 F= $2,000 (23.69751239)
M = 2 F= $47,395.02
I = 1/m = 0.08 = 0.04
2
n = 8.5 (2) = 17 P = A 1- (1+i)n
i
P= $2,000 1- (1+0.04)-17
0.04
P= $2,000 (12.16566885)
P= $24,331.34
n =
93
b) $4,000 mensuales durante 3 años al 7.3%, capitalizable anualmente.
Datos:
A = $4,000 F= A (1+i)n-1
J = 0.073m i
m = 1 (anual) F= $4,000 (1+0.073)6-1
I = j/m= 0.073/1= 0.073 0.073
n = 6 años F= $4,000 (7.207587718)
F= $28,830.35
P=A 1 – (1+i)-n
I
P= $4,000 1 – (1+0.073)6
0.073
P= $4,000 (4.722713549)
P = $18,890.85
c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización
mensual.
Datos:
A= $200 F= A (1+i)n-1
J= 0.08 i
m = 12 meses
i = 1/m = 0.08/12= 0.00666 F = $200 (1+0.00666)40 -1
n = 3 (12)= 36 meses + 4 = 40 0.00666
F= $200 (45.66754622)
F= $9,133.51
P = A 1-(1+i)n
i
P = $200 1-(1+0.00666)-40
94
0.00666
P = $200 (35.00906405)
P= $7001.81
2.- Una persona deposita $5,000 cada final del año en una cuenta de ahorros que
abona el 8% de interés. Hallar la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10
años, al efectuar el último depósito.
Datos:
A = $5,000 F = A (1+i)n-1
n = 10 años i
i = 0.08 anual. F = $5,000 (1+0.008)10-1
0.008
F = $5,000 (14.48656247)
F = $72,432.81
3.- Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes
condiciones: $20,000 de contado, $1,000 por mensualidades vencidas durante 2
años y 6 meses y un último pago de $2,500 un mes después de pagada la ultima
mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización.
Datos:
A = $1,000
m = 12 mensual
n = 2 (12)= 24 meses + 6= 30 meses
j = 0.09
i = j/m= 0.09/12= 0.0075
Valor de contado = cuota inicial + P = A 1-(1+i)-n + ultimo pago
i
P = $2,500 1-(1+0.0075)-1/0.0075
95
P =$ 2,500 (0.99255583
P = $2,481.39
P = A 1- (1+i)-n
i
P = $1,000 1- (1+ 0.0075)-30 /0.0075
P = $1,000 (26.7750802021
P =$26,775.08
4. Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: $6,000 de
contado y 12 pagos trimestrales de $2,000 con 12% de interés, capitalizable
trimestralmente.
DATOS:
A = $2,000
m = 4 (trimestre)
n = 12 trimestres
J= 0.12
i= J/m= 0.12/ 4= 0.03
P= A 1- (1+ i )-n
i
P= $2,000 1-(1 + 0.03)-12
0.03
P = $2,000 (9.954003994)
P = $19,908.00
Valor de contado = cuota inicial + valor presente de los trimestres.
Valor de contado = $6,000 +19,908.00= $25,908.00.
5. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan:
$14,000 de cuota inicial; $1,600 mensuales durante 2 años 6 meses con un ultimo
96
pago de $2,500 un mes después 31 meses, si se carga el 12% con capitalización
mensual?
DATOS:
Cuota inicial = $14,000
A = $1,600
m = 12 (mensual)
n = 2(12) = 24 + 6 = 30 meses
J = 0.12
I = J/m
P= A 1– (1 + i )-n
i
P= $1,600 1-(1 + 0.01)-30
0.01
P= $1,600 (25.80770822)
P= $41,292.33
C = S
(1 + i)n
C = $2,500
(1 + 0.01)31
C= $1,836.44
Valor de contado = $14,000 + 41,292.33 + 1,836.44= $57,128.77
6. una mina en explotación tiene una producción anual de $8, 000,000 y se estima
que se agotara en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el
rendimiento del dinero es del 8%.
DATOS:
A = $8, 000,000
n = 10 años
97
J =0.08
m = 1 (anual)
i =J/m= 0.08 / 1=0.08
P= A 1– (1 + i )-n
i
P = $8, 000,000 1-(1 + 0.08)-10
0.08
P = $8, 000,000 (6.710081399)
P = $53, 680,651.19
7. En el problema 16 se estima que al agotare la mina habrá activos recuperables
por valor de $1, 500,000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si
estas representan el 25% de la producción.
DATOS:
S = 1, 500,000
I = 0.08
n =10 años
(Valor presente de interés compuesto)
C= S (1+i)-n ó P= F (1+i)-n
C= $1,500,000 (1 + 0.08)-10
C = $694,790.23
53, 680,651.19 * 25%= 13, 420,162.80 + 694,790.23= $14, 114,953.03
8. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad.
a) $400,000 de contado
b) $190,000 de contado y $50,000 semestrales durante 2 ½ años.
c) $210,000 de contado y $20,000 trimestrales durante 3 años.
¿Qué oferta es más conveniente, si el interés es del 12% nominal anual?
RESPUESTA = La oferta a).
98
DATOS:
A = 50,000
m = 2 (semestral)
n = 2 (2) = 4 + 1=5 semestres
J= 0.12
i= J/m= 0.12 / 2= 0.06
P= A 1– (1 + i )-n
i
P= $50,000 1-(1 + 0.06)-5
0.06
P= $50,000 (4.212363786)
P= $210,618.19
b) $190,000 + 210,618.19= $400,618.19
DATOS:
A= $20,000
m= 4 (trimestral)
n= 3(4)= 12 trimestres
j= 0.12
i= j/m= 0.12 / 4= 0.03
P = A 1– (1 + i )-n
i
P = $20,000 1-(1 + 0.03)-5
0.03
P = $20,000 (9.954003994)
P = $199,080.08
c) $210,000 + 199,080.08= $409,080.08
99
9. En el momento de nacer su hija un señor depósito $ 1,500 en una cuenta que
abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años,
aumentó sus consignaciones a $3,000. Calcular la suma que tendrá a disposición
de ella a los 18 años.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500
$3,000
F= A (1 + i )n – 1
i
F= $1,500 (1 + 0.08)19 -1
0.08
F = $1,500 (1 + 0.08)7 -1
0.08
$62,169.39 + $13,384.20= $75,553.59
10. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el
6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta al cabo
de 20 años.
DATOS:
A: $100
m: 12 (mensual)
n: 20 (12)= 240 meses
J: 0.06
i: j/m= 0.06/12= 0.005
F= A (1+i)n - 1
i
F= A (1+0.005)240 -1
0.005
F = $100 (462.0408952)
F = $ 46,204.09
= $13,384.20
= $62,169.39
100
11. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 mensuales, cifra que se
recibirá durante 15 años? Calcular con el 6% capitalizable mensualmente. Hacer
el cálculo a) con la tabla II, b) mediante la formula desarrollando en el problema
20.
DATOS:
A: $500
M: 12 (mensual)
N: 15 (12)= 180 meses
J: 0.06
i: j/m= 0.06/12= 0.005
F= A (1+i)n - 1
i
F= A (1+0.005)-180 -1
0.005
F = $500 (118.5035147)
F = $ 59,251.75
Mediante tabla II
(1.005)-180 =(1.005)-50 (1.005)-50 (1.005)-50 (1.005)-30
(1.005)-180 =(0.779286068)(0.779286068)(0.779286068)(0.86102973)
=0.407482426
P = $500 1- 0.407482426
0.005
P = $59,251.75
12. ¿Cuánto debe depositarse al final de cada trimestre en un fondo de
inversiones que abona el 10%, convertible trimestralmente, para acumular $50,000
al cabo de 5 años?
DATOS:
F: $50,000
J: 10%= 0.10
m: 4 trimestral
A = F i
(1+i)n - 1
F= $50,00 0.025
101
i: 0.10/4= 0.025
n: 5 años (4)= 20
(1 + 0.025) - 1
A= $1,957.36
Mediante tabla VII
10% = 25%
1
i = 0.025 x 100 = 2.5%
n = 20
i = 2 ½%
A = 50,000 (0.03914713)
A = 1,957.36
13. Una compañía debe redimir una emisión de obligaciones por $3, 000,000
dentro de 10 años y para ello establece reservas anuales que se depositaran en
un fondo que abona el 7%. Hallar el valor de la reserva anual.
DATOS:
F: $3,000,000
J: 0.07
m: 1 anual
i: 0.07/1= 0.07
n: 10 años
A = F i
(1+i)n - 1
F= $3,0000,00 0.07
(1 + 0.07) - 1
A = $217,132.51
Mediante tabla VII
I = 0.07 x 100 = 7%
n = 10 años
A = 3, 000,000 (0.07237750)
A = 217,132.50
102
14. ¿Qué suma debe depositarse anualmente en un fondo que abona el 6% para
proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $8,
000,000 y el periodo de vida útil de 6 años, si el valor de salvamento se estima en
un 15% del costo?
DATOS:
8, 000,000 x 15% = 1, 200,000
F: $8, 000,000 – 1, 200,000
= 6, 800,000
n: 6 años
i: 0.06/1= 0.06
m: 1 (anual)
A = F i
(1+i)n - 1
A = $6, 800,000 0.025
(1 + 0.06)6 - 1
A = 6, 800,000 (0.143362628)
A = $976,865.88
Mediante tabla VII
6%= 6%
1
i : 0.06 x 100 = 6%
n: 6 años
A: 6, 800,000 (0.14336263)
A: $ 974, 865.88
15. Enrique Pérez compró una casa cuyo valor es de $180,000 al contado. Pagó $
50,000 al contado y el saldo en 8 pagos iguales por trimestre vencido. Si en la
operación se le carga el 10% de interés nominal, hallar el valor de los pagos
trimestrales.
DATOS:
F: $180,000 – 50,000= 130,000
n: 8
j: 8%
A = F i
(1+i)n - 1
A = $130,000 0.025
103
i:10%=0.10/4=0.025
m: 4 trimestres
(1 + 0.025)8 - 1
A = 130,000 (0.139467345)
A = $18,130.75
Mediante tabla VII
i= 0.025 x 100= 2.5%
i= 10/4= 2.5%
n = 8
A = $130,000 (0.11446735 + 0.025)
A = $18,130.75
16. Sustituir una serie de pagos de $10,000 al final de cada año, por el equivalente
en pagos mensuales vencidos, con un interés del 8% convertible mensualmente.
DATOS:
F: $10,000
n: 12
i: 8%
8%=0.08/12=0.00666
m: 12
A = F i
(1+i)n - 1
A = $10,000 0.006666
(1 + 0.0066666)12 - 1
A = 10,000 (0.080321762)
A = $803.22
Mediante tabla VII
n= 12
i= 0.006666666 x 100
= 0.666666666 = 2/3
A = $10,000 (0.08032176)
104
A = $803.22
17.- Sustituir una serie de pagos de $ 10,000 al principio de cada año, por
equivalente en pagos mensuales vencidos, con un interés del 8% convertible
mensualmente.
Datos:
P = 10,000
m = 12
J = 8%
I = 0.08/12= 0.006666666
n =12
Mediante tabla VII + i
8/12 = 2/3
n = 12
i= 0.006666666 x 100 = 0.006666666 = 2/3
A= $ 10,000 ( 0.08032176 + 0.006666666)
A= $ 10,000 ( 0.086988426)
A= $869.88
i
A =
1- (1 – i )-n
0.006666666
A = 10,000
1- ( 1 – 0.006)-1
A = 10,000 ( 0.086988429)
A = $869.88
18.- Una máquina que vale $ 18,000 de contado y se vende a plazos, con una
cuota inicial de $ 3,000 y el saldo en 18 cuotas mensuales, cargando el 16% de
interés convertible mensualmente. Calcular el valor de las cuotas mensuales.
Datos:
P = 18,000 – 3,000 = 15,000
i
A= p
105
m = 12 (mensual)
J = 16%
I = 0.16/12 = 0.013333333
n = 18 meses
Mediante tabla VII + i
i = 0.013333333 x 100 =
1.333333333%
i = 1 1/3 %
n = 18 meses
1%
1/3%
A = 15,000 (0.05098205 +
0.05399807 +
0.013333333)
A = 15,000 (0.118313453)
1 – ( 1 + i )-n
0.013333333
A = 15,000
1 – (1+0.013333333)-18
A = $942.85
19.- El valor futuro de una renta de $ 10,000 por un año vencido es de $ 100,000.
Si la tasa de interés es del 6%, calcular el tiempo indicando la solución matemática
y la solución práctica.
Datos:
100,000 F = A (1+i)n - 1
A = $ 10,000 i
i = 6% = 0.06
n = ?
(1 + 0.06)n - 1 F=$ 100,000 = 10,000 0.06
100,000 (0.06) +1 = (1.06)n
log. ( i F + A ) – log A n = log ( 1 + i )
log. [0.06 (100,000) + 10,000] n = log. (1+0.06)
Log. (16,000) – Log. 10,000 n =
n
106
10,000
1 + 0.6 = (1.06)n
1.6 = (1.06)n
n log. 1.06 = log 1.6
n Log. 1.06 0.20419982 n = = Log. 1.06 0.025305865
n = 8.066 años
7 depósitos de $ 10,000 para calcular el
último pago; al final del año 8.
100,000 = 10,000 ( 1.06)7 -1 (1.06) + x
0.06
100,000 = 818,974.67909 + x
x = 100,000 – 88,974.67909
x = 11,025.32
Log. 1.06
4.204119983 – 4 0.20 n = = 0.025305865 0.025
n = 8.066 años
20.- El valor presente de una renta de $4,000 por trimestre vencido es de $60,000,
si la tasa de interés es del 8% convertible trimestralmente, hallar el tiempo
indicando la solución matemática y la solución práctica.
Datos:
n = ?
A = $4,000
P = 60,000
m = 4 (trimestre)
(1.02)17 -1
4,000 =$ 80,048.28384
0.02
60,000 ( 1.02)17 = 84,014.48515
7
107
j = 0.08 = 8%
i = 0.08/4 = 0.02
Por logaritmo
1 – (1.02)-n
60,000 = 4,000
0.02
60,000 (0.02)
= 1 – (1.02)-n
4,000
0.3 – 1 = - (1.02)-n
- (1.02)-n = 0.7
n log. 1.02 = log. 1.428571429
log. 1.428571429
n =
Log. 1.02
n = 18.01149768 años
17 depósitos de $ 4,000.00
84,014.48515 – 80,048.28384 =
$ 3,966.201311
$ 3,966.201311 (1.02) = $ 4,045.525
(cantidad que debería pagarse al cabo
del 18 trimestre)
1 – (1.02)-17
60,000 = 4,000 + x (1.02)-18
0.02
60,000 = 4,000 (14.29187188) + x
(0.700159375)
60,000 = 57,167.48752 + 0.700159375
x
60,000 – 57,167.48752
x =
0.700159375
x = 4,045.525321
x = $ 4,045.53
21.- una persona sustituye un seguro total de $ 300,000 por una renta anual, con
la condición de que se le pague a él o a sus herederos durante 20 años si la
compañía de seguros opera con el 7 % de interés, hallar el valor de la renta anual.
Datos: F = 300,000 i = 0.07/1 = 0.07 m = 1 j = 0.07 = 7% n = 20 años
i A = ( 1 – i )-n -1 0.07 A = 300,000 -1
108
Mediante tabla VII + i I = 0.07 = 7 % N = 20 años A = 300,0000 (0.02439293) A = $ 7,317.88
(1 + 0.07)-20 A = 300,000 (0.024392925) A = $ 7,317.88
22.- El valor futuro de una renta de $4,000 por trimestre vencido es de $60,000. si
la tasa de interés es del 8% convertible trimestralmente, calcular el tiempo
indicando la solución matemática y la solución práctica.
Datos: n = ? P = $4,000 A = $60,000 m = 4 (trimestral) j = 0.08 = 8 % i = 0.08/4 = 0.02
Por logaritmos (Log) (1+0.02)n -1 60,000 = 4,000 0.02 60,000 (0.02) + 1 = (1.02)n 4,000 1 + 0.3 = (1.02)n 1.3 = (1.02)n Log. 1.02 = log. 1.3 Log. 1.3 0.113943352 n = = Log. 1.02 0.008600171 = 13.24896357 n = 13.25 años
Para calcular el último pago al final del trimestre 13 (1.02)13 -1 60,000 = 4,000 (1.02) + x 0.02 60,000 0 54,721.32609 + x x = 60,000 – 54,721.32609 x = 5,278.67
Por log
F i ( 1 + i )n + 1 A (60,000) (0.02) (1.02)n = + 1 4,000 (1.02) n = 1.3 n Log (1.02) = Log (1.3) ln (1.3) 0.262364264 n = = ln (1.02) 0.019802627
109
2 depósitos de $ 4,000 Log. (i F + A) – Log. A Log. (1 + i) Log. 0.02 (60,000) + 4,000 – log 4,000 Log (1 + 0.02) Log. 5,200 – Log. 4,000 3.716003344 – 3.602059991 Log. 1.02 0.008600171 0.113943352 = 13.2489636 0.008600171 n = 13.25 años
n = 13.24896257 n = 13.25 años
23.- Por una deuda de $20,000 con intereses del 10% capitalizable
semestralmente se conviene cancelarla con pagos semestrales de $ 4,000.
Encontrar el número de pagos y el valor del pago final.
Datos: p = 25,000 A = 4,000 m = 2 (semestral) j = 10% = 0.10 i = 0.10/2 = 0.05 Por Log. 1 – (1.05)
5
20,000 – 4,000 0.05 20,000 (0.05) = 1 – (0.05)
5
4,000
(1.05)5 -1
4,000 = 22,102.525 0.05
20,000 (1.05)5 = 25,525.63125 25,525.63125 – 22,102.525 3,423.10625 ( 1.05) = $ 3,594.26
Ultimo pago 1- (1.05)
5
20,000 = 4,000 + x (1.05)-6
0.05
=
110
0.25 – 1 = - (1.05)5
- (1.05)
5 = 0.25 – 1
- (1.05)5 = 0.75
1 = 0.75 (1.05)
5
1 (1.05)
5 = 1.33333333
0.75 n log. 1.05 – log 1.33333333 Log. 1.33333333 0.124938736 n = = Log. 1.05 0.021189299
n = 5.896312832 n = 5.90 5 pagos de 4,000 20,000 (0.05) Log. [ 1 - 4,000 ] n = Log. (1.05) n = 5.89
20,000 = 4,000 (4.329476671) + x (0.746213) 20,000 – 17,317.90668 + 0.746215396 x
20,000 – 17,317.90668 x = = 0.746215396 2,682.093318 x = = $ 3,594.26 0.746215396
P i Log. (1 - A ) N = - Log. ( 1 + i )
24. Una persona compra maquinaria por valor de $60,000 y acuerda pagar
$15,000, como cuota inicial y el saldo en contado de $12,000 trimestrales, con el
12% convertible trimestralmente. Hallar el número de pagos y el valor del pago
final.
60,000 – 15,000= 45,000 12,000 4(trimestral) 12% = 0.12 0.12/4= 0.03 por Log 45,000 = 12,000 1 – (1.03)-n
1-(1.03) -n
0.03
45,000 (0.03) = 12,000
1-(1+i) –n
أP = A
45,000 = 12,000 1- (1.03)-3 + X (1.03)-4
0.03
45,000= 33,943.33626 + X (0.886487047) X= X =
45,000 – 33,943.33626 0.888487047
111
425 – 1 = - (1.03)-n
(1.03) – n = 0.8875 = (1.03)n = = 4.037604859 trimestres Depósitos de $12,000
25. ¿Qué interés deben producir unas imposiciones de $300 mensuales, para que
se conviertan en $4,500 en un año?
DATOS: S = 4,500 A = 300 m = 12 (mensual) n = 1 12 periodos ( F / A, أ %, n) = 15 Se busca en la tabla V en la línea correspondiente a n = 12 que se aproxime a
150
Estos valores son:
1 (1.03) n
0.8875
1 0.8875
= 1.126760563 Log 1.126760563
Log 1.03
0.051831638 0.012837224 =
11,056.66374 0.888487047
=
=
( F / A, أ %, n ) = F
A
( F / A, أ %, n ) = $4500
300
112
Para 0.035 = % ½ 3 = أ; (F/A, 31/2 %, 12) = 14.60196164
Para 0.040 = % 4 = أ; (F/A, 4%, 12) = 15.02580546
Para el valor ( F/A, 12 ,% أ) = 15, se calcula mediante interpolación .
a 0.040 15.02580546 a 15.0 أ
a 0.035 14.60196164 a 0.035 14.60196164
0.39803836 0.035 -أ 0.42384382 0.005
= 0.035 -أ
0.004695578 = 0.035 -أ
أ = 530.0 + 875596400.0
% 001 x (lausnem) 875596930.0 = أ
lausnem % 79.3 ó % 969.3 = أ
J = 47.64% (anual) (3.97 x 12 meses)
25. Un televisor cuyo valor de contado es de $480,000. Puede adquirirse con un
pago inicial de $80,000 y 12 pagos contados mensuales de $40,000 cada uno.
Hallar la tasa convertible mensualmente que se carga.
DATOS:
P = 480,000 – 80,000 = 400,000 ( P / A, أ %, n ) =
A = 40,000
n = 12 ( P / A, 12 ,% أ ) = = 10
m = 12
0.005
0.42384382
0.035 -أ
0.39803836
(0.005) (0.39803836)
0.42384382
=
P
A
$ 400,000 40,000
113
En la tabla VI, se halla que para n = 12 (p / A, 2 ½ %, 12) = 10.25776460 y (P / A,
3%, 12) = 9.95400399, o sea que أ está comprendida entre 2 ½ % y 3 %, y la tasa
nominal, se encuentra entre (2 ½ % x 12) = 30 %, y (3 % x 12) = 36. Para afinar el
resultado, se procede mediante interpolación.
a 0.025 10.25776460 a 10.00 أ
a 0.030 9.95400399 a 0.030 9.95400399
0.04599601 0.030 -أ 0.30376061 0.005 -
=
0.000757109 - = = 0.030 -أ
= 0.000757109 –أ = 030.0
أ = 198242920.0
Tasa anual, convertible mensualmente =
(0.029242891) (12) (100) = 35.0914692
= 35.09%
26. ¿Qué tasa nominal convertible trimestralmente debe establecerse para que 24
depósitos de $500 trimestrales den un valor futuro de $16,000, al efectuar el último
pago?
DATOS:
F = 16,000 ( F / A, أ %, n ) =
A = 500
m = 4 (TRIMESTRAL)
n = 24
- 0.005 0.30376061
0.030 -أ 0.04599601
-0.005 (0.04599601) 0.30376061
F
A
114
( F / A, 24 % أ ) = = 3
Se buscará en la tabla V en la línea correspondiente a n =24 que se aproxime a
32.
Estos valores son:
(F / A, أ %, n
Para 0.02 = %2 = أ; (F / A, 2%, 24) = 30.42186247
Para 0.025 = % ½ 2 = أ; (F / A, 21/2, 24) = 32.34903798
2 y %2 ertne adidnerpmoc átse 1/2أ y la tasa nominal se encuentra entre ( 2% x 4)
= 8% y entre ( 21/2 % x 4)= 10%
Para el valor ( F / A, 24 % أ) = 32, se calcula أ mediante interpolación.
a 0.025 32.34903798 a 32.00 أ
a 0.020 30.42186247 a 0.020 30.42186247
1.57813753 0.020 -أ 1.92717551 0.005
=
Tasa = (0.024094431) (4) (100) 0.004094431 = 0.020 -أ
% Tasa = 9.6377724 أ = 020.0 + 134490400.0
(lartsemirT) 134490420.0 = أ Tasa = 9.64 %
Antes $ 10,103.59 ; después $ 8, 847.38
16,000 500
0.005 92717551
0.020 -أ 1.57813753
115
EJERCICIOS
1. Una empresa contrata una deuda de $100, 000,000 con un banco. Si éste
carga a éste tipo de préstamos 40% anual convertible mensualmente, ¿cuánto
tendría que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda dentro de 15
meses?
2. El señor Luna adquirió una casa en condominio y acordó pagar, aparte de cierta
cantidad mensual, anualidades por $800 000. Si acaba de realizar el trato hoy
mismo, de manera que debe liquidar la primera anualidad exactamente dentro
de un año, y si decide hacer depósitos trimestrales en un fondo de inversión
que paga 6% trimestral, ¿de cuánto tendrían que ser sus depósitos para poder
acumular a fin de año la cantidad que necesita?
116
3. Una persona contrató una deuda que le obliga a pagar $5 000 000 el primero
de enero de cada uno de varios años. Como ahora se da cuenta de que le sería
más fácil pagar haciendo abonos trimestrales vencidos, ¿de cuánto tendrían
que ser los pagos en el nuevo plan, si se considera el interés al 30% convertible
trimestralmente?
4. Hoy es 15 de marzo. Dentro de tres años, el 15 de noviembre, el primogénito
del señor Mendoza cumplirá la mayoría de edad y desea regalarle una
motocicleta que calcula costará en ese tiempo (dentro de tres años) unos
$18, 000,000. Para adquirirla decide ahorrar una cantidad mensual en un
instrumento bancario que rinde 2% mensual. Si la tasa de rendimiento no
cambiara en ese tiempo, ¿cuánto tendría que ahorrar el padre cada mes para
poder adquirir la motocicleta?
5. Para saldar un préstamo de $2 500 000 contratado hoy, el deudor acuerda
hacer cinco pagos semestrales iguales y vencidos y, finalmente, un pago único
de $5, 000,000 dos años después de realizado el último pago semestral, ¿cual
deberá ser el importe de cada uno de los pagos iguales, si el interés es de 25%
capitalizable semestralmente?
6. EI 12 de abril de este año, la señorita Soto deposita $300 000 en una cuenta
bancaria que paga 5% bimestral de interés. Si comienza a hacer depósitos
bimestrales iguales a partir del 12 de junio y acumula $200 000 inmediatamente
después de realizar el depósito del 12 de diciembre del año siguiente, ¿de
cuánto fueron sus depósitos?
7. La señora Jiménez desea vender un comedor que considera vale $8, 000,000.
Hay dos compradores interesados que le hacen ciertas propuestas:
a) El comprador A ofrece pagarle 12 mensualidades vencidas de $850 000.
b) B ofrece pagarle 18 mensualidades vencidas de $600 000
117
Considerando los intereses a razón de 38% anual convertible mensualmente,
¿cuál oferta le conviene más?
8. ¿En cuánto tiempo se acumulan $20, 000, 000 mediante depósitos bimestrales
vencidos de $1 615 000 si se invierten a una tasa de 28% anual convertible
bimestralmente?
9. Una deuda de $850,000 contraída hoy se va a liquidar mediante pagos
trimestrales iguales y vencidos de $185 000. Si el interés es de 6.5 trimestral,
calcúlese el número de pagos completos y el valor del pago final menor que
saldan el compromiso.
10. Para pagar una deuda de $3 000,000 contraída hoy, se van a abonar
mensualidades de $250,000 comenzando dentro de un mes. Si el interés que
se cobra es de 27% capitalizables cada mes, determínese el número de pagos
iguales y el valor del pago final mayor que saldan la deuda.
11. El 12 de septiembre la doctora Gudiño adquiere un automóvil usado
en $10, 000,000. Acuerda pagarle al vendedor mensualidades vencidas de
$955,301. Si se considera el interés a 26% anual convertible con la misma
periodicidad que los pagos, ¿cuándo terminará de pagar?
12. Como beneficiario de un plan de jubilación. El señor Domínguez puede
recibir $40, 000,000 de inmediato, o puede recibir $10, 000,000 ahora y el
resto con pagos de $2, 000,000 cada tres meses. Si la compañía paga
interés de 25% anual convertible cada tres meses.
a) ¿Cuántos pagos completos recibirá?
b) ¿Con qué cantidad adicional al último pago completo le liquidarán el total
de su beneficio de jubilación?
c) ¿Con qué pago final realizado tres meses después del último pago de
118
$2,000 000 le liquidaran el total?
13. Si un ttrabajador ahorra $100,000 mensuales en una cuenta de ahorros
que paga 18% anual convertible mensualmente.
a) ¿En que tiempo reunirá $1, 000,000?
b) Si desea juntar esa cantidad en un período exacto de meses, ¿cuántos
depósitos completos de $100, 000 debe hacer, y de qué cantidad
(mayor de $100,000) deber ser el último depósito para que al realizarlo
haya reunido la cantidad precisa de $1, 000,000?
14. El 8 de enero enero se pagó el último abono mensual vencido de
$829,135. Con este abono se liquido totalmente una deuda que
ascendía a $7, 500,000. Si la operación se pactó a 22.4% anual de
interés convertible mensualmente.
a) ¿Cuando se hizo el primer pago mensual?
b) ¿A que plazo se pactó la operación?
15. A que tasa de interés se deben hacer depósitos semestrales de
$1, 000,000 para acumular $8, 000,000 en 5 años?
16- Una deuda de $1, 500,000, contraída hoy, se pagará, mediante cinco
abonos mensuales vencidos de $320,000. ¿A qué tasa nominal anual se
debe pactar la operación?
17. Una persona adquirió, mediante seis abonos quincenales de $485, 000,
un aparato televisor que al contado costaba $2, 750,000,
a) ¿Qué tasa nominal anual pagó?
b) ¿Qué tasa efectiva quincenal pagó?
c) ¿Qué tasa efectiva anual pagó?
119
18. Un automóvil cuesta $800,000. Se vende con 50% de enganche y seis
mensualidades de $ 250, 000 ¿qué interés efectivo mensual se cobra?
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. ¿Qué es una anualidad simple, contingente, vencida y diferida?
2. ¿Qué es una una anualidad general, cierta, anticipada e inmediata?
3. ¿cuál es el tipo más común de anualidad?
Dígase qué clase de anualidad representan los planteamientos del 4
al 8.
4. Una pensión vitalicia otorgada por un seguro de invalidez total, y que
asigna cierta cantidad mensual.
5. Un depósito quincenal en una cuenta de ahorros que paga 25%
capitalizable mensualmente.
6. Una persona subarrienda un negocio. El subarrendatario acuerda
pagarle cierta cantidad diaria.
7. La adquisición de un departamento en condominio cuyo enganche se
paga mediante seis pagos bimestrales de $1 800 000. La entrega del
inmueble tiene lugar al realizar el sexto pago bimestral.
8. La compra a crédito de un automóvil. El interés que se carga es 2%
mensual global, y los pagos se hacen cada mes.
Las preguntas restantes se refieren a anualidades simples, ciertas,
vencidas e inmediatas.
9. ¿Cuál es el monto de 18 depósitos mensuales de $500 000 en una
cuenta de inversión que paga el 1.5% mensual?
120
10. ¿Cuál es el valor actual de 18 pagos mensuales de $500 000 si se
consideran intereses de 1.5% mensual?
11. Qué relación existe entre las respuestas a las preguntas 9 y 10?.
Exprésese en forma de ecuación.
12. La profesora Vélez ha retirado de su cuenta de inversiones 40
mensualidades de $700,000. si la cuenta de inversiones rinde 30%
convertible mensualmente, ¿Cuánto tenia en su cuenta de inversiones
un mes antes de realizar el primer retiro?
13. El día 1° depositaron $700 000 en una inversión que paga 50% convertible
mensualmente. Además
1. Se depositaron, comenzando un mes después, $50 000 mensuales
durante un año.
2. al final del mes 19 se depositaron $400 000.
a) ¿Cual es el monto de todas estas inversiones al final del mes 24?
14. Si se calculan intereses a razón de 22% anual convertible cada dos
meses, ¿que pago único realizado dentro de 30 meses es equivalente a
15 pagos bimestrales de $185 000?
15. Si se desea obtener un rendimiento de 100% capitalizable mensualmente
sobre una inversión riesgosa, ¿cuál es la cantidad máxima que debería
invertirse en una operación que se espera pague $400 000 mensuales al
final de cada uno de los ocho meses siguientes:
121
16. En una cuenta que rinde 3.25% mensual, se hicieron los siguientes
depósitos:
1. Cinco de $750 000 cada fin de mes; el primero al cabo de un mes.
2. Ocho de $450 000 cada fin de mes; el primero de éstos al cabo de
cuatro meses.
¿Cuál es la cantidad que se ha acumulado en la cuenta al final del
décimo segundo mes (12)?
17. ¿Qué renta pagada durante cada uno de 15 bimestres es equivalente a
un valor de $30, 000,000, si se consideran intereses a una tasa de 8.2%
bimestral?
18. ¿Qué renta pagada al final de cada uno de 9 meses permite acumular
$10, 000,000 al cabo del décimo mes, si se consideran intereses a razón
de 28% convertible cada mes?
19. Si se vende un terreno en $14, 500,000 al contado, o mediante 12 pagos
semestrales iguales con 33% anual convertible semestralmente, ¿de
cuánto serían los pagos en el plana crédito?
20. Si se calcula que el enganche de un inmueble del tipo del que le gustaría
adquirir al señor López será de $2, 500,000 dentro de un año, ¿qué
cantidad debería depositar cada mes en una inversión que rinde 25%
convertible mensualmente?
21. El 12 de abril la señorita Pérez obtiene un préstamo de $3, 000,000 que
acuerda rembolsar mediante pagos iguales, cada mes, comenzando el12
122
de mayo y haciendo el último el 12 de diciembre del año siguiente. Si le
cobran intereses de 1.8% mensual, ¿cuánto debe pagar cada mes?
22. Se deben pagar $15, 000,000 el 23 de agosto del año próximo. Si hoy es
23 de febrero, ¿cuál debe ser el importe de los depósitos bimestrales a
una cuenta de inversión que rinde 7.4% bimestral para tener el 23 de
agosto del año siguiente, en el momento de realizar el último depósito, la
cantidad que se debe pagar, y si el primer depósito se hace el 23 de abril
de este año?
23. El 2 de enero se obtiene un préstamo de $5, 000,000. Se va a pagar con
seis abonos mensuales iguales; el primero, el 2 de febrero, más
$800,000 adicionales al último abono mensual. Si el interés acordado es
de 18% convertible mensualmente, ¿cuál debe ser el importe de los
pagos mensuales?
24. Un televisor se vende en las siguientes condiciones en dos tiendas:
En la tienda A cuesta $ 20,000 al contado y se puede pagar mediante 12
mensualidades vencidas e iguales con intereses de 3.18% mensual;
En la tienda B cuesta $22, 000 de contado y se puede pagar mediante
12 mensualidades vencidas e iguales con intereses de 2.75% mensual.
Si se desea adquirir el aparato utilizando el crédito. ¿En qué tienda
conviene adquirirlo?
25. ¿En cuánto tiempo se acumulan $8,000,000 mediante depósitos
semestrales de $300 000 en una inversión que rinde 2.1 % mensual?
123
26. ¿En cuánto tiempo se acumulan $5, 000,000, si se ahorran $200, 000
mensuales y los ahorros ganan 2.14% mensual de interés?
27. ¿Cuántos pagos de $1, 455, 585 sería necesario hacer cada fin de año
para liquidar una deuda de $4, 500, 000 si el interés es de 30%?
28. Rodolfo le vende a su hermana Silvia un departamento. El trato se
formaliza hoy y se fija el valor del inmueble en $7, 000,000 para dentro
de un año, que es cuando se va a hacer el traslado de dominio. Para
pagar, Silvia le va a dar a Rodolfo abonos iguales mensuales de
$500,000 y un pago final mayor que liquide totalmente la operación.
¿Cuántas mensualidades iguales deberá pagar, y cuál debe ser el
importe del pago final mayor si acordaron un interés de 3.18% mensual?
Silvia va a comenzar a hacer los pagos dentro de un mes.
29. Existen dos planes para la compra de un automóvil:
a) Precio de contado $500, 000 y mensualidades de $10,000 con una
tasa de interés de 3.27% mensual, hasta terminar de pagar.
b) Precio de contado de $520, 000 y mensualidades de $9,700 con
una tasa de interés de 2.85%, hasta terminar de pagar.
Cuál de los dos planes de crédito conviene más?
30. A qué interés efectivo anual se tendría que colocar una serie de 15
depósitos bimestrales vencidos de $175,000 para que en el momento de
hacer el último depósito se acumularan $3 850 000?
124
ANUALIDADES ANTICIPADAS
Una anualidad anticipada es aquella en la cual los pagos se llevan a cabo al
inicio del periodo de pago. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos
anuales (primas) de un seguro de vida, la renta de una casa u oficina, algunos
planes de crédito estipulan que los pagos deben realizarse al comienzo de los
periodos convenidos, etc.
Se recuerda que una anualidad es cierta cuando se conoce con anticipación
las fechas de inicio y fin de la anualidad. La anualidad es simple cuando el periodo
de capitalización coincide con el periodo de pago. La anualidad es inmediata
porque los pagos se inician en el mismo periodo en que la operación se formaliza.
A las anualidades ciertas, simples, anticipadas e inmediatas se les conoce
comúnmente con el nombre de anualidades anticipadas.
125
Es práctica común que en los problemas de anualidades anticipadas, al
igual que en las vencidas, no se haga mención explícita del periodo de
capitalización.
En este caso, se supone que la capitalización de los intereses coincide con
el periodo de pago.
La diferencia entre una anualidad ordinaria y una anticipada se puede ver
gráficamente en los siguientes diagramas de tiempo.
ANUALIDAD VENCIDA
A A A A A A A A 0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n
ANUALIDAD ANTICIPADA
A A A A A A A 0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
Obsérvese que la anualidad anticipada comienza con un pago y concluye un
periodo después de que se haya descubierto el último pago. Por tal motivo, el n-
ésimo pago gana intereses por un periodo debido a que fue depositado al inicio
del último periodo.
Símbolos Utilizados En Las Anualidades Anticipadas
Todos los símbolos tienen significado definido en las anualidades ordinarias o
vencidas.
126
A = Pago periódico o renta
i = Tasa efectiva por periodo de capitalización
j = Tasa nominal actual.
m = Número de capitalizaciones en el año.
J(m) = Tasa nominal con m capitalizaciones en el año.
n = Número de periodos de pago.
F = Valor futuro o monto de una anualidad.
P = Valor presente o actual de una anualidad.
Con el objeto de diferenciar las anualidades anticipadas de las anualidades
vencidas se acostumbra usar símbolos F y P con diéresis para las anualidades
anticipadas, esto en particular es útil cuando se trabaja simultáneamente con
ambos tipos de anualidades.
F = Valor futuro de anualidad anticipada.
P = Valor presente de una anualidad anticipada.
Existen diferentes formas para calcular tanto el valor futuro como el valor presente
de las anualidades anticipadas; de éstas, e proporcionaran dos formas
consideradas las más simples y de mayor utilidad en el planteamiento de los
problemas.
Formula de valor presente de una anualidad anticipada
P = A 1- (1 + i)- (n-1) + 1
i
Formula de valor futuro de una anualidad anticipada.
F = A (1+ i)n +1 -1 - 1
i
127
A continuación mostraremos problemas resueltos de anualidades anticipadas,
comprendiendo lo que son el valor presente y valor futuro de las anualidades
anteriormente citada.
Problema # 1
Valor presente de una anualidad anticipada.
Un profesionista deposita $ 1,500.00 al principio de cada mes, en una cuenta de
inversión, por 4 años. Si la tasa de interés es del 23.64% capitalizable cada mes,
Calcule el valor presente de la anualidad.
A = 1,500
I = 2364/12 = 0.0197
n = 48 meses
P = ?
P = A 1- (1 + i)- (n-1) + 1
i
P = 1500 1- (1+.0197)- (48-1) + 1
0.0197
P = 1500 1-(1.0197)-47 + 1
0.0197
P =1500 1-(0.399757198) + 1
0.0197
128
P =1500 (30.46917777+1)
P =1500 (31.46917777)
Problema # 2
Valor futuro de una anualidad anticipada
Una niña recién nacida recibió, por parte de sus abuelos maternos, $ 10,000.00
para que sean utilizados en su educación universitaria. El mismo día en que nació
la niña su padre le abrió una cuenta de inversión a su nombre, donde deposito el
regalo de los abuelos junto con $ 300.00 que piensa depositar, a partir de ese
momento, cada mes, durante 12 años. Después de transcurrido ese tiempo, los
depósitos serán suspendidos, pero el dinero se mantendrá en la cuenta hasta que
la niña cumpla 18 años, edad en que estará por ingresar a la universidad. ¿Qué
cantidad de dinero habrá en la cuenta dentro de 18 años? Supóngase que la tasa
de interés es del 18.6 % capitalizable cada mes.
F = A (1+ i)n +1 -1 - 1
i
F =210 (1+0.013333333)(24+1) – 1 -1
0.013333333
F =210 (1.0.013333333)25 –1 -1
0.013333333
F =210 (0.39254173) - 1
0.013333333
P = $ 47,203.77
129
F =210 (28.44063049)
F2 = F1 (1+ i)n
F2 = 5,972.532591 (1+.013333333)30
F2 = 5,972.532591 (1.013333333)30
F2 = 5,972.532591 (1.487886702)
Problema # 3
Valor futuro (renta) de una anualidad anticipada
Un consejo estudiantil necesita reunir $ 1, 000,000.00 en 2 años para reunir para
los gastos de su graduación. Si deciden depositar al principio de cada mes una
cantidad en un banco. ¿Cuál es el importe de cada depósito, si el banco paga una
tasa de interés del 24 % y la capitalización es mensual?
S =1,000,000.00
i = 2%
n = 24 meses
R = ?
R = S
{(1+i)n+1}-1 - 1
i
F = $ 5,972.532402
F2 = $ 8,886.451822
130
R = 1,000,000.00
(1.02)25 – 1 - 1
0.02
R = 1,000,000.00
1.64060599 – 1 - 1
0.02
R = 1,000,000.00
32.030299 – 1
Problema # 4
Valor presente (renta) de una anualidad anticipada
El valor total de un terreno es de $ 8, 000,000.00, el dueño decide venderlo en 10
pagos mensuales al principio de cada mes con una tasa de interés mensual de 3%
y capitalizable mensualmente; determinar el importe de cada pago.
C = 8,00O, 000.00
n = 10 meses
i = 3% mensual
R = ?
R= C 1 - 1 (1 +i)n-1 +1 i R= 8,000,000.00 1 - 1
R = $ 32,226.57
131
(1.03)10-1 +1 0.03 R= 8,000,000.00 1 - 1 1.304773184 +1 0.03
R= 8,000,000.00 1- 0.766416732 + 1 0.03 R = 8,000,000.00 8.786108933
Problema # 5
Valor futuro (tiempo) de una anualidad anticipada
¿Cuanto tiempo debe pasar para reunir $ 20, 000,000.00 con depósitos de $
100,000.00 a principio de cada mes, si la tasa de interés es del 5% mensual?
S = 20,000,000 i = 5% R= 100,000 n= ? n = Log S + 1 i + 1 R - 1 Log (1 +i) n = Log 20,000,000 + 1 (.05) +1 100,000 -1 Log (1.05) n = Log (200+1) (.05) + 1 - 1 Log (1.05) n = 2.002166062 -1 0.021189299
R = $ 910,528.2055
132
n = 94.48949028 – 1
Ejemplos:
MONTO: (VALOR FUTURO)
1.- Encuéntrese el monto de seis pagos semestrales anticipados de $145000 si el
interés es de 85% convertible semestralmente.
Datos
n = 6
m = 2
j = 59%
i = 58/2 = 29 = 0.29
A = 145,000
FORMULA 1
¨F=M=A(1+i)n -1
(1+i)
i
¨F=145,000= (1+0.29)6 -1(1+0.29)
0.29
¨F=$145,000(16.05059664)
¨F=$2,327,336.512
1
FORMULA 2
n = 93.4894028 meses
133
¨F=A (1+i)n+1-1 -1
i
¨F=$145,000 (1+0.29)6+1-1 -1
0.29
¨F=$145,000 (16.05059664)
¨F=$2.237,336.512
Valor actual
Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $75,000 de
renta, por anticipado. Como desearía librarse del compromiso mensual de la renta,
decide proponer una renta anual equivalente y también anticipada. Si se calculan
los intereses a razón de 67.44% convertible mensualmente ¿De qué cuanto
deberá ser la renta mensual?
Datos
12
75,000
12
67.44
67.44/12=5.62=0.0562
?
Formula 1
¨p = R + R 1-(1+ i)-n+1
i
134
¨p = 75,000+75,000 1-(1+0.0652)-12+1
0.0562
¨p =$75000+$75000(8.042443125)
¨p =$75000+603,183.2344
¨p =$678,183.2344
Formula 2
A 1-(1 + i)-(n-1) +1
i
$75000 1-(1+0.562)-(12-1) +1
0.562
$75000(9.042443125)
$678,183.2344
RENTA DEL VALOR ACTUAL
3.- En una tienda se vende una bicicleta por $80000 al contado o mediante abonos
mensuales anticipados. Si el interés es del 72.24% convertible mensualmente,
calcúlese el valor de pago.
Datos
n =5
j =72.24%
m =12
i =72.24/12=6.02=0.0602
135
p =$80000
R =A=
Formula
A= P
1+ 1-(1+i)-n-1
i
A= $ 80000____
1+ 1-(1+0.0602)-5-1
0.0602
A = ___$80000___
4.463519293
A =$17,923.07701
A = $17,923.08
RENTA DEL MONTO (VALOR FUTURO)
El señor Ramírez debe pagar $25,000,000 dentro de un año y para reunir esta
cantidad decide hacer depósitos o abonos mensuales en una cuenta de inversión
que rinde 10% mensual de interés. ¿De cuanto deben ser sus depósitos si hoy
realiza el primero?
Datos
=12
=10%=0.10
=?
=25,000,000
Formula
136
A=_______F________
(1+i)n+1-1 -1
i
A =____$25000000_____
(1+.010)12+1-1 -1
0.10
A = _$25000000
23.52271214
A =$1062802.616
A =$1062802.62
PLAZO DEL VALOR ACTUAL En la tienda contino se vende equipos de sonido por $245000 al contado o mediante pagos mensuales anticipados de $28500.00. Si el interés es de 6.75% convertible mensualmente ¿cuántos pagos es necesario hacer? Datos
P =$245000
n =?
m =12
J =67.5%=0.675
I =0.675/12=0.05625
A =$28500
Formula
n =1- log (1+ i- pi /A)
Log (1+ i)
$245500(0.05625)
n =1 – log 1.05625- $28500____
Log(1+0.05625)
137
n = 1 – Log (1.05625-0.483552631)
Log 1.05625
n =1- Log 0.572697368 =
log01.05625
n = 1-(-0.242074812)
0.023766721
n = 1- (-10.18545268)
n = 11.18545268
n = 11 (habría que hacer 11 pagos)
PLAZO DE MONTO (VALOR FUTURO)
La señora Celia piensa jubilarse al reunir $7, 000,000 mediante depósitos
mensuales de $210000 de las ganancias que obtiene de su negocio, si invierte sus
depósitos a una tasa de interés de 6.50% mensual, ¿en cuanto tiempo reunirá la
cantidad que desea?
Datos
R = 210000
F = $7, 000,000
I = 6.50=0.065
Formula (inventada)
F
n = Log (A + 1) i + 1 -1
log(1-i)
7000000
138
n = log 210000 +1 0.065 +1 -1
log (1+0.065)
= Log 3.231666667 -1
Log 1.065
= 0.509426558 -1
0.027349607
18.62646721 –1
17.62646721
Entonces en 17 meses y aproximadamente 19 días reunirá lo que desea
TASA DE INTERÉS (DE VALOR ACTUAL)
¿A que tasa de interés trimestral 12 depósitos trimestrales anticipados de $100000
equivalen una deuda de $900,000?
Datos
P = $900,000
A = 100,000
n = 12
I =?
m = 4
Mediante interpretación
P =A (P/A, i %, n-1)+1
$900,000= $100,000 (P/A, i%, 12-1)+1
17.62646721
-17-________
0.62646721 x 30=
18.79401631 = 19 días
139
(P/A, i %,11)= $900,000 -1
$100,000
(P/A, i %,11)=9-1=8
En la tabla VI se busca en la línea correspondiente a n=11, los valores más
próximos a 8; estos son: (P/A, 6%,11)=7.88687458 y (P/A, 5 ½ %,11)
=8.09253633
Se calcule i por interpretación
a 0.055 corresponde 8.09253633 a i corresponde 8
a 0.06 corresponde 7.88687458 a 0.06 corresponde 7.88687458
-0.005 es a 0.20566175 como i-0.06 es a 0.11312542
___-0.005 = ___i-0.06__
0.20566175 0.11312542
i-0.06= (0.005) (0.11312542)
0.20566175
i-0.06= -0.002750278552
i=0.06-0.002750278552
i= 0.057249721
j= 4(0.0057249721)
tasa=)0.228998885 x 100%
tasa= 22.90
Verificando:
140
P=A 1-(1+i)-(n-1) +1
I
P =$100,000 1-(1.057249721)-11
0.057249721
P =$100,000(8.999006908)
P =$899,990.6908
TASA DE INTERÉS DE MONTO (VALOR FUTURO)
A que tasa de interés semestral 20 depósitos semestrales anticipadas de $7000
acumularon un monto o valor a futuro de $210000?
Datos
$210000
$7000
20
?
2
F=A (1+i)n+1 -1 -1
i
210000=$7000 (1+i)20+1 -1 -1
i
210000+1 (1+i)21 -1 -1
$7000 i
141
31 = (1+i)21 -1
i
En la tabla V se busca en la línea correspondiente entre 3 ½ % y 4% y la tasa
nominal encuentra entre (3 ½ % x 2) = 7% y (4% x 2) = 8%
Encuentra el valor (F/A, i%, 21) = 31 se calcula mediante
0.040 corresponde 31.96920172 a i corresponde 31.0
0.035 corresponde 30.26947068 a 0.035 corresponde 30.26947068
.005__ = __i-0.035__
69973104 0.73052352
-0.035 = 0.002148955637
= 0.035+ 0.002148955637
=0.037148955 (semestral)
tasa= (0.037148955) (2) (100%)
tasa= 7.429791127%
tasa= 7.43%
Ejercicios
1. - Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo,
con pagos de $3,000 mensuales por mes anticipado; si la tasa de interés es del
12% convertible mensualmente
2.- Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a) $400.000
de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c)
$20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al
142
finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8%
anual?
ANUALIDADES DIFERIDAS:
Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza después de
transcurrido un intervalo (periodo de tiempo). Intervalo de tiempo, es el
tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o fecha de valoración de la
anualidad, y la del primer pago. (Matemáticas Financieras, Lincoyán Portus
G.).
Las anualidades diferidas son aquellas en las que el inicio de los cobros o
depósitos se posponen para un período posterior al de la formalización de
la operación.
Son aquellas que comienzan después de que transcurre un intervalo de
tiempo. El lapso que transcurre entre la fecha inicial de aplazamiento (k).
(Matemáticas Financieras, Hernández Hernández).
Estas anualidades se analizan como anualidades vencidas. Su gráfica es:
k
n
Hoy 1 2 3 4 5
R1 6
R2
7
R3 Rn
143
Fórmula para calcular el valor presente:
En donde k: representa los periodos diferidos.
Fórmula para calcular el importe de cada pago:
Fórmula que sirve para calcular el número de pagos: Fórmula que sirve para calcular el tiempo diferido:
1 1 -(1 + i)n
R i C = (1 + i )k
(C) (i) (1 + i)n + k
R = (1 + i )n - 1
1 Log 1 - ( C ) ( i ) ( 1 + i )k
R
n = Log ( 1 + i )
1 - 1 (1 + i )n
i Log R C K = Log (1 + i)
144
Ejercicios.
Determinar el valor actual de una renta por $ 500,000.00 semestrales, si el primer
pago debe realizarse dentro de 2 años y el último dentro de 5, si la tasa de interés
es del 60% capitalizable semestralmente.
Solución:
Gráfica:
Datos:
K = 3
n = 7
i = 30% semestral
C = ¿?
Hoy
1 2 3 4
10
R1 500,000
R7
500,000
n = 7
Semestres
1 - 1
500,000 (1.30)7
0.30
C = (1.30)3 500,000 (2.8021124) C = 2.197
145
C =$ 637,713.33
Ejercicios.
Cantidad que se necesita depositar el día de hoy para que dentro de 2 años reciba
$ 500,000 cada seis meses y el último por la misma cantidad dentro de 5 años.
Cierto padre de familia depositó el día de hoy $ 2, 000,000.00 para que su hijo que
en la actualidad cuenta con 14 años reciba cada tres meses, a partir de que
cumpla 18 años, una cantidad que le permita cubrir los gastos de sus estudios
durante 5 años. Si la tasa de interés es del 15% trimestral con capitalización
trimestral, determinar la cantidad que recibirá cada tres meses.
Solución:
Gráfica:
Datos:
14 15 16 17 18 19 20 12 22 23
FIN
HOY
4 8 12 15 16
20 24 28 32
35 36
2,000,000.00
AÑOS
TRIMESTRES
(2, 000,000) (0.15) (1.15)20 +
15
R = (1.15)20 - 1
146
k = 15
n = 20
C = 2, 000,000.00
i = 15%
R = ¿?
Cantidad que recibirá cada tres meses durante cinco años, es decir 20 trimestres.
Ejercicios
Alguien deposita $100,000.00 en un banco, con la intención de que dentro de 10
años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $ 2,500.00 , a principio de
cada mes ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6%
convertible mensualmente?.
Datos:
k = 10
n =¿?
C =100,000.00
i =6%
R =2,500.00
n = 47.
Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5
años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá
39, 952,657 R = 16.366537
R = $ 2, 599,977.90
Log 1 1 - (100,000)(0.005) (1 + 0.005)10 2,500.00 n = Log (1 + 0.005)
147
por espacio de 20 años. Hallar con la tasa del 6% el valor presente de la
producción.
Datos: Formula:
k = 5 -n -k
n = 20 P=A 1-(1+i) (1+i)
A = $400.000 i
j = 6%
i =0.06
P =?
SOLUCION 1
Sustitución:
-20 -5
P = $400.000 1-(1+0.06) (1+0.06)
0.06
-20 -5
P= $400.000 1-(1.06) (1.06)
0.06
P= $400.000 (11.46992122) (0.747258172)
P= 3.428.396.95
Una ley de incentivos para la agricultura, permite a un campesino adquirir equipos
por valor de $80.000 para pagarlos dentro de 2años, con 8 cuotas semestrales. Si
la ley fija el 6% de interés para estos prestamos. Hallar el valor de las cuotas
semestrales.
Datos: Formula:
-n -k
148
P =$80.000 P = A 1-(1+ i) (1+ i)
k = 2 años i
n = 4 años
A =?
m = 2
Sustitución:
-4 -6
$80.000 = A 1-(1+0.06) (1+0.06)
0.06
-4 -2
$80.000 = A 1-(1.06) (1.06)
0.06
$80.000 = A 1-0.792093663 (0.88999644)
0.06
$80.000 = A (3.465105617) (0.88999644)
$80.000 = A (3.083931663)
$80.000 =A
3.083931663
A = 25.940.91204
2
A = 12.970.45602
SOLUCION 2
149
Datos: Formula:
-n -k
P = $80.000 P = A 1- (1+ i) (1+ i)
k = 4 i
n = 8
A =?
i = 0.06/2= 0.03
SUSTITUCION:
-8 -4
$80.000 = A 1-(1+0.03) (1+0.03)
0.03
-8 -4
$80.000 = A 1-(1.03) (1.03)
0.03
$80.000 = A 1-0.7894409234 (0.888487047)
0.03
$80.000 = A (7.0196922) (0.888487047)
$80.000 = A (6.236905594)
$80.000 =A
6.236905594
A = 12.826.87365
Rentas perpetúas
150
Ejercicios
1. Hallar el valor actual de una renta perpetua de $ 156,000.00 por un año
vencido, suponiendo un interés de:
a) 6%
Datos: Formula:
W = $ 156,000.00
I = 0.06
K = 1 año
b) 6% convertible semestralmente
Datos: Formula:
W = $ 156,000.00
i = 0.06/2= 0.03
k = 1 años 2 semestres
c) 6% Convertible mensualmente
Datos: Formula:
w = $ 156,000.00
i = 0.06/12= 0.005
k = 12 meses
2. Los alumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos
para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial es de $ 2000,000.00 y el
P = w
(1+ i )k-1
P = 156,000
(1+0.06)1-1
P = $ 2, 600,000.00
P = w
(1+i)k-1
P = 156,000
(1+0.03)2-1
P = $ 2, 561,576.35
P = w
(1+ i)k-1
P = 156,000
(1+0.005)12-1
P = $ 2, 529,272.601
151
mantenimiento se estima en $ 35,000.00 anuales, hallar el valor de la donación, si
la tasa efectiva de interés es de 7%.
Datos: Formula:
W = $200,000.00
A = $ 35,000.00
i = 0.07
P = ?
3. para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide
establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras que se estiman en $
3000,000.00 cada 5 años, hallar el valor del fondo con la tasa efectiva de 6%.
Datos: Formula:
W = $3000,000.00
I = 0.06
K = 5 años
P = ?
4. Las traviesas que usa una compañía ferroviaria en una zona tropical le cuestan
$120 por unidad y debe reemplazarlas cada 5 años. Por medio de un tratamiento
químico, puede prolongarse la vida de las traviesas en 4 años ¿Cuánto puede
pagarse por el tratamiento? Calcular con
a) la tasa efectiva del 6%
X= C (A/F, i%, K)(P/A, i%, b)
Datos:
C= $ 120.00
K= 5 años
B= 4 años
P = W + A i
P = 200,000+
35,000 0.07
P = $ 700,000
P = w
(1+ i)k-1
P = 300,000
(1+0.06)5-1
P = $886,982.00
152
i= 6 %
X= 120(A/F, 6%, 5) (P/A, 6%, 4)
X= 120(0.17739640) (3.46510561)
X= 120(0.614697)
X= $ 73.76
b) la tasa efectiva del 8%
X= C (A/F, i%, K)(P/A, i%, b)
Datos:
C= $ 120.00
K= 5 años
B= 4 años
i= 8 %
X= 120(A/F, 8%, 5) (P/A, 8%, 4)
X= 120(0.17045645) (3.31212684)
X= 120(0.564573383)
X= 67.748= $67.75
Tabla VII Tabla VI
Tabla VII Tabla VI
153
ANUALIDADES VARIABLES
Una anualidad variable es aquella cuyos pagos difieren entre si.
1. Una persona contrae la obligación de pagar $3,000 cada final de mes, durante
un año, aumentando sus pagos sucesivos en $175 cada mes, hallar:
a) A la tasa del 26%, el valor presente de su obligación
b) Si desea sustituir su obligación por otra equivalente con la misma
tasa, con pagos mensuales iguales, ¿Cuánto deberá pagar
mensualmente?
Datos:
A = 3,000
n = 12 meses
L = 175
I = 26/12 = 0.0216
FORMULA:
a) P = A 1-(1+i)-n + L 1-(1+i)-n –n (1+i)-n i i i P = (3000) 1-(1+.0216)-12 + 175 1-(1+.0216)-12 –12 (1+0.216)-12 0.0216 .0216 0.0216 P = 3000 (10.47216749) + 8,101.85 (1.1865) P = 31,416.50 + 9,613.27 P = $ 41,029.77 b) A = P i . 1- (1+i)-n
154
A = 41,029.77 0.0216 . 1- (1+0.0216)-12 A = 41,029.77 (0.095491215) A = $ 3,917.98
2. Las ventas promedio de un almacén son de $500,000 mensuales; el dueño inicia
una ampliación y estima que sus ventas, a partir del quinto mes, se incrementaran
con un gradiente de $80,000 mensuales, estabilizándose al cabo de un año. Hallar el
valor actual de sus ventas durante primer año. Tasa de interés: 22% anual.
Datos:
A = 500,000
n = 12 meses
L = 80,000
J = 22/12 = 0.0183
k = 3 meses
FORMULA:
a) Primero se calcula el incremento
AL = L 1-(1+i)-n –n (1+i)-n i i AL = 80,000 1-(1+0.0183)-9 –9 (1+0.0183)-9 0.0183 0.0183 AL = 4`371,584.699 (8.2288- 7.6447) AL = 4`371,584.699 (0.5841) AL = 2`553,005.464 b) P = A 1-(1+i)-n + 1-(1+i)-k (AL)
155
i P = 500,000 1-(1+0.0183)-12 + 1-(1+0.0183)-3 (2`553,005.464) 0.0183 P = 500,000 (106,866) + 2`417,823.047 P = 5´343,300 + 2´417,823.047 P = 7´761,123.047
ANUALIDADES CONTINGENTES
Una Anualidad Contingente es una anualidad cuyos pagos continúan por toda o parte
de la vida de una persona en particular, llamada rentista. Como en el caso de las
anualidades ciertas, los pagos pueden ser hechos anualmente, semestralmente,
trimestralmente, etc. Sin embargo, nos limitaremos a discutir exclusivamente las
anualidades contingentes con pago anual. La tabla de mortalidad más generalmente
usada para anualidades contingentes es la Stantard Annuity de 1937.
Valor Actual de un Dotal Puro: un dotal puro es una promesa de pagar
una cantidad determinada a una fecha futura, si el beneficiario continua
con vida.
Formula para plantear el valor actual de un dotal Puro de $M a futuro:
Anualidad Vitalicia Vencida: Es el caso de pagos de una renta de
por vida para una persona con X años de edad. Como es una anualidad
vencida el primer pago de la renta se hace cuando el rentista tiene X+1
Vx
nVxiMC n
)1(
156
años, el segundo cuando tiene X+2 años, y así sucesivamente mientras
esté vivo.
Formula de Anualidades Vitalicia Vencidas
EJERCICIO DE VALOR ACTUAL DE UN DOTAL PURO
Ejercicio 1
Calcule el valor actual de un dotal puro de $1,000.00, pagadero a una persona de 55
años, si vive a los 75 años. Utilícese el 18% anual.
Solución:
DATOS
M=1,000.00
x= 55
n+x= 75
i= 0.18
Y de la tabla VI
V55= 8 534 154
V75= 4 260 920
FORMULA
Dx
NxRC
1
157
SUSTITUCION
C = 1,000.00 (0.03650563) (0.499278545)
EJERCICIO DE ANUALIDADES VITALICIAS VENCIDAS
Ejercicio 2
¿Cuál es la prima neta única de una anualidad vencida de $100,000 anuales
pagaderas a una persona de 40 años, si el interés es 18% anual?
Solución:
DATOS
R = 100,000
i = 0.18
x =40
C = Rax
FORMULA
SUSTITUCION
Vx
nVxiMC n
)1(
8534154
4260920)18.1(00.000,1 20C
C = $18.23
Dx
NxRC
1
158
Y, de la tabla VI
C= 100,000 (5.332399575)
Matemáticas Financieras
Díaz Mata
Ejercicio 6.9
¿Cuanto tiene que depositar cada quincena en una inversión que gana el 8.55%
capitalizable quincenalmente, para tener $200,000.00 al final de 5 años?
Datos: Formula:
F = $ 200,000.00
I =8.55/29= .35625%
N = 5 años = 120 quincenas
Ejercicio 6.10
La señora Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por $650, 000.00, ella
escogió no recibir todo el dinero en una sola exhibición, sino recibir un ingreso
mensual fijo durante los próximos 12 años. Si el dinero se encuentra invertido a 18%
anual capitalizable cada mes, ¿Qué cantidad mensual recibirá la señora Aguilar?
P = w. i
(1+ i)k-1
P = (200,000) (.35625)
(1+0. 35625)120-1
P = $39, 363.26
Dx
NxC
1000,100
14.12562
35.66986000,100C
C = 523,239.96
159
Datos: Formula:
P = $650, 000.00
I = 18%Datos: ula:
P = w i
(1+ i)k-1
P = (650, 000.00) (.18/12)
(1+.18/12)144-1
P = $11044.28
160
UNIDAD VI. AMORTIZACIÓN
El término amortización se aplica para denominar un proceso financiero mediante el
cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que
pueden ser iguales o diferentes.
Es cuando una deuda se liquida conforme a una serie de pagos periódicos
generalmente de igual valor, pagando los intereses que se adeudan al momento que
se efectúan los pagos y también se liquidan una parte del capital. 3
SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN
En cuanto a la amortización de deudas se aplican diversos sistemas y, dentro de
cada uno, hay numerosas variantes que hacen prácticamente inagotable este tema.
Todos estos modelos aplicaciones de las anualidades.
Amortización gradual
Este consiste en un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sobre
saldos. En este tipo de amortización, los pagos son iguales y se hacen en intervalos
iguales de tiempo.
Amortización Constante
A diferencia de la amortización gradual mantienen un valor igual para la amortización
en cada período y, como consecuencia, la cuota de pago periódico es variable
decreciente por ser decreciente los intereses sobre los saldos.
Amortización por cuotas incrementadas
3 Matemáticas Financieras, Hellen Cissell, David C. Flaspohler, editorial CECSA.
161
Este sistema consiste en incrementar periódicamente la cuota de pago. Es una
aplicación de las anualidades variables. Así se tiene: préstamos amortizables con
cuotas crecientes de variación uniforme o con gradiente; y el sistema de amortización
cuyas cuotas de pago crecen geométricamente.
Con estos sistemas de amortización con cuotas incrementadas, se trata de conciliar
el incremento de las cuotas con el mejoramiento económico del deudor. En algunos
modelos de amortización por cuotas incrementadas, el saldo insoluto crece en los
primeros períodos, para luego decrecer.
Amortización Decreciente
Este sistema tiene modelos matemáticos similares a los de la amortización por
cuotas incrementadas, para estos sistemas el factor de variación es negativo,
convirtiéndose los incrementos en decrementos. En estos sistemas de amortización
decreciente, el deudor paga cuotas mayores en los primeros períodos, lo que tiene
alguna importancia, si el clima económico es de desvalorización monetaria creciente
y se prevé un aumento futuro en las cuotas por corrección monetaria.
Formula:
CÁLCULO DE LA RENTA
A = P i 1- (1+ i)-n
1.-Una deuda de $20,000, con intereses del 8% capitalizable trimestralmente, debe
amortizarse con cuotas de $5,000 por trimestre vencido. Elaborar el cuadro de
amortización.
162
Fecha
Pago Trimestral
2% intereses sobre saldos
Amortización
Saldo
Comienzo 1er trimestre
2do trimestre
3erTrimestre
4to trimestre
5to trimestre
$5,000
$5,000
$5,000
$5,000
$1,061.41
$400
$308
$214.16
$118.44
$20.81
$4,600
$4,692
$4,785.84
$4,881.56
$1,040.60
$20,000
$15,400
$10,708
$ 5,922.1
$1,040.6
$00.00
TOTALES
$21,061.41
$1,061.41
$20,000
8% /4 (trimestral) = 2%
Ejemplos de cálculos: 20,000/5,000 = 4
$20,000 saldo (deuda)
- 5,000 -pago trimestral
$15,000 =saldo
+ 400 +interese
$15,400 = saldo
-20,000 -saldo de deuda
$ 4,600 = amortización
15,400 x 0.02= $308
$20,000
- 5,000
$10,400
+ 308
$10,708
-15,400
$ 4,692 = amortización y así sucesivamente
163
2. Una deuda de $50,000 debe amortizarse con pagos, semestrales en 2 ½ años a
la tasa del 8%, capitalizable, semestralmente. Hallan el pago semestral y elaborar
cuadro de amortización.
DATOS: FORMULA
P =$50,000 A = P i
nm=2.5 x 2= 5 1-(1+i)-n
m=2
i=0.08/2= 0.04
A= $50,000 0.04
1-(1.04)-5
A=50,000 0.04
0.178072893
A= $50,000 (0.224627113)
A= $11,2321.36
164
fecha
Pago trimestral
4% intereses sobre saldos
amortización
saldo
Comienzo 1er trimestre 2do trimestre 3erTrimestre 4to trimestre 5to trimestre
$11,231.36 $11,231.36 $11,231.36 $11,231.36 $11,231.36
$2,000 $1,630.75 $1,247.72 $847.34 $431.98
$9,231.36 $9,600.61 $9,984.64 $10,384.02 $10,799.38
$50,000 $40,768.64 $31,168.03 $21,183.40 $10,799.38 $00.00
TOTALES
$56,156.80
$6,156.79
$50,000.01
3.- Una propiedad cuyo valor es $500,000 se vence con una cuota inicial de
$150,000 y el saldo en pagos mensuales a 15 años de plazo, aun interés del 6%
capitalizable mensualmente. Hallar (a) el valor de las cuotas mensuales (b) el saldo
insoluto al finalizar el cuarto año.
DATOS: FORMULA
P= 500,000 – 150,000 A= P i
P=350,000 1-(1+i)-n
J = 6% = 0.06
m =12
i =0.06/12= 0.005 A =$350,000 0.005
n =15 x 12 = 180 1-(0.005)-180
A = $350,000 0.005
0.592517573
A = 350,0000 (0.00843856828)
A =$2,953.498898
165
a)A =$2,953.50 (Valor de las cuotas)
Al finalizar el cuarto año, faltarán 11 años para la extinción de la deuda, y el saldo
insoluto es igual al valor presente, 11 años antes de la extinción de la deuda.
Saldo Insoluto
Datos
A =$2,953.5 P =A 1-(1+ i)-n
i = 0.005 i
n = 11(12)=132
P = $2,953.50 1-(1.005)-132 0.005 P =$2,953.50 (96.4595.9872
P = 284,893.4248
b) Una deuda de $100,000 con intereses del 8% se debe amortizar con pagos
anuales de $2,000. Elaborar un cuadro de amortización, hasta la extinción de la
deuda.
4.-una deuda de $10,0000 con intereses del 6% capitalizable trimestralmente, debe
amortizarse con 4 pagos trimestrales iguales consecutivos, debiendo efectuarse el
primer pago dentro de 2 años. Hallar el valor de los pagos.
Fecha
Pago Trimestral
8% intereses sobre saldos
Amortización
Saldo
Comienzo
Año Del año 1
$2,000 8,000
$100,000
166
Nota: el deudor disfrutara el dinero por 2 años por lo que contrae la deuda a partir
desde que lo presto.
$10,000.00 (1.015)8 = 11,264.92587 = $11,264.93
DATOS:
P= $11,264.93 A= P i
i=6% = 0.06/4= 0.015 1-(1+i)-n
m =4
n =4 pagos
A = ?
2 años X 4 (trimestral)= 8 trimestre
A = $11,264.93 0.015
1-(1.015)-4
A = $11,264.93 0.015
1- 0.94218423
A = $11,264.93 0.015 0.05781576
A =$11,264.93 (0.259444786)
A = $2,922.627353
5. Una deuda de $20,000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos.
Hallar el valor de estos a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de
amortización para los dos primeros meses.
Datos
A =$20,000 A= P i .
m = 12 1-(1+i)-n
j =8%
0.08/12= 0.0067
A = $2,922.63
167
A = $20,000 0.006666
1-(1.006666)-12
A = $20,000 (0.086988059)
A =$1,739.76
Fecha Pago I = 0.006666 Amortización Saldo
Comienzo 1er. Mes 2do. Mes
$1,739.76 $1,739.76
$133.32 $122.61
$1,606.44 $1,617.15
$20,000.00 $18,393.56 $16,776.41
$3,479.52
$255.93
$3,223.59
6.-Un préstamo de $45,000amortiza en 2 ½ años, con pagos semestrales vencidos
de $9,650. Hallar la tasa de interés.
Datos:
P = $45,000 P =A 1-(1+i)-n
A =$9,650 i
n =(2.5 años)(2) = 5
m =2 (Semestral) 1-(1+i)-5 = $45,000 = 4.6632124
i =? i $ 9,650
En la tabla VI, se halla que para n=5 (P/A, 2%, 5)= 4.71345951 y (P/A, 2 ½ %, 5)=
4.645821850,o sea que esta comprendida entre 2% y 2 ½ %, y la tasa nominal se
encuentra entre (2% x2)=4% y (2 ½ % x2)= 5% para afinar el resultado, se procede
mediante interpolación.
A 0.02 4.71245951 A 0.025 4.64582850
A i 4.663212435 A 0.025 4.64582850
- 0.005 0.06763101 i- 0.025 0.017383935
168
-0.005 = i –0.025
0.06763101 0.017383935
i - 0.025 = -0.005 (0.017383935) = -0.000086919675
0.06763101 0.06763101
i - 0.025 = -0.00128520445
i - 0.025 = -0.00128520445 = 0.023714795
J = (0.023714795) (2)(100)= 4.74295911
J = 4.74%
Tasa anual
7. Una deuda de $100,000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18
cuotas con intereses del 12% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto,
al efectuar el noveno pago.
DATOS:
A = $100,000 A= P i
J =12% 1-(1+i)-n
m =2
n =18/2=9
i = 12/2=6%= 0.06
A = $100,000 0.06
1-(1.06)-4
A = $100,000 0.06
0.408101536
169
A =$100,000 (0.147022237)
A =$14,702.2235
Al finalizar el noveno pago faltaran p para la extinción de la deuda y el saldo insoluto
es igual al valor presente, 9 pagos antes de la extinción de la deuda.
Datos: = $9,235.65 P=A 1-(1+i)-n i= 0.06 i n=9/2=4.5 P=$14,702.22 1-(1.06)-4.5 0.06 P =
Saldo $100,000 0.006 1-(1+0.06) –4.5 1-(1+0.06)-9 0.06 $56,517.93
Nota: La adopción de una u otra alternativa dependerá de lo que resulte más
conveniente para el acreedor y deudor
8. Una deuda de $ 10,000, con intereses del 12% convertible mensualmente, se
paga con cuotas mensuales de $ 250.00. Hallar el número de pagos de $ 250.00 y
elaborar el cuadro de amortización los dos primeros pagos y el último que extingue la
deuda.
DATOS
P = $ 10,000 FORMULA
A = $ 250 I) (1 log
)/1( log
APIn
m = 12
$56,517.93
170
J = 12%
X = 12% /12= 1% =0.01
n = ?
log1.01
0.40)-(1 log
(1.0I) log
.01)/250)(10,000)(0(1 logn
33755147.51830043213737.0log
60.0log
90.22184874-
1.0I
n
n = 50 Pagos de $250 y un pago final mayor o,
n = 51 Pagos de $250 y un pago final menor a saber
FECHA PAGO
MENSUAL
0.01% INTERES S/
SALDO AMORTIZACIÓN SALDO
Comienzo
1er mes
2do mes
--------
250
250
--------
100
98.50
-------
150.00
151.50
$ 10,000
9,850
9,698
$ 500 $ 198.50 $ 301.50
P (1 + i)n – A i
i n 1)1(
$ 10,000 (0.01)5 - $ 250 01.0
)01.1( 1-51
= $10,000 (1.66107814) - $ 250 (66.10781401
= $16.610.7814 - $ 1,526.9535=
= $ 83,8279= $ 83.83 último pago que liquido
$10,000 (1.01)50 -$250 01.0
)01.1( 1- 50
= $10,000 (1.644631822 - $ 250 (64.48218)
= $ 16,446.31822 - $ 16,115.79555
= $330.522674
171
= $330.52 último pago
9. Una propiedad se vende $ 300,000, pagaderos así, 100,000 al contado y el saldo
en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente.
Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago.
DATOS:
= $ 300,000 – 100,000= FORMULA
p = $ 200,000 ni
iPA
)1(1(
n = 8
m = 2 (semestral) 8)05.1(1
05.0(000,200$
A
j = 10%= 0.10
i = 0.10/2= 0.05= 5% )323160638.0
05.0(000,200$A
A = $200,000(80.154721813)
A = $30,944.36273= $30,944.36
Derechos Vendedor + derechos Comprador = Precio de Compra
$ 30,944.36 (P/A, 5%, 3) + Derechos comprador = $ 300,000
$ 30,944.36 (2.72324803) + Derechos Comprado r = $ 300,000
Derechos Vendedor = ($ 30,944.36) (2.72324803)
= $ 84,269.16741
= $ 84,269.17
Derechos Comprador = $ 300,000 - $ 84,269.17= $215,730.83
10. Una propiedad se vende en $ 200,000 que se pagan con $ 50,000 de contado y
el saldo en cuotas semestrales de 4 10,000 con un interés del 8% efectivo. Hallar el
172
número de pagos necesarios para cancelar el saldo y elaborar el cuadro de
amortización, para los dos primeros pagos y para el último que extingue la deuda.
DATOS. FORMULA
P = $ 200,000 - $ 50,000
P = $ 150,000 I) (1 log
)/1( log
APIn
A = $ 10,000
I = 8% = 0.08/2= 0.04
n = ?
m = 2
123.3624193 017033339.0
)397940008.0(
)04.(1 log
)40.0( log
n
n = 22 Pagos de $ 10,000 y un pago final mayor, a
n = 23 Pagos de $10,000 y un pago final menor a saber
FECHA PAGO
MENSUAL
0.01% INTERES
S/ SALDO AMORTIZACIÓN SALDO
Comienzo
1er mes
2do mes
$ 10,000
$ 10,000
$ 6,000
$ 5,840
$ 4,000
$ 4,160
$ 150,000
$ 146,000
$ 141,840
$ 20,000 $ 11,840 $ 8,160
= $ 150,000(1.04)22 - $ 10,000 04.0
)04.1( 1 -22
= $ 150,000(2.369918792) - $10,000 (34.24796979)
= $ 355,487.8187 - $ 342,479.6979=
= $ 13,008.12083= $ 13,008.12 último que extingue la deuda
173
= $ 750,000 (1.04)23 - $ 10,000 04.0
1 - (1.04)23
= $ 150,000 (2.464715543) - $10,000 (36.61788858)
= $ 369,707.3315 - $ 366,178.8858
= $ 3,528.44571= $ 3,528.45 último pago
18.18%
19.77%
11. Un artículo se vende de contado en $ 2,000, para venderlo a plazos se recarga el
precio en un 15% y se entrega sin cuota inicial para cancelar en 18 cuotas
mensuales iguales. Hallar: (a) la tasa nominal j (R) cargada; (b) la tasa efectiva
cargada
DATOS:
P =2,000
0.15 7777778.127$18
(1.15) 2,000 $A
Pagos 18
12 (mensual) (p/A, i%, 18)= 8127.777777 $ 18
(1.15) 000,2$ = 15.65217891
La tabla VI se halla que para n=8, (p/A), ½% (1.5),18)= 7256089 y (p/A, 1 ¾ %
(1.75),18)= 15.32686272, o sea i esta comprendida entre 1 ½ % y ¾ %, y la
nominal se encuentra entre (1 ½ % x 12)= 18% y ¼ x 12)= 21%
Para afinar el resultado, se procede mediante interpolación:
0.015 15.67256089
0.0175 15.32686272
A i 15.65217391
9 0.0175 15.32686272
0.0025 0.34569817 i – 0.0175 0.32531119
174
34569817.0
79750.00081327-
34569817.0
)0.32531119(-0.0025)( 0175.0
0.0175= -0.002352566619
0.0175= -0.002352566619
0.015147433
(0.015147433) (12) (100)= 18.17692006
= 18.18% Tasa de Interés Nominal
0.15147433 (tasa efectiva mensual)
i = (1 + 0.015147433)12= 1.19770386
1.19770386 -1
(0.19770386) (100)
19.770386%
12. Resolver el problema anterior, suponiendo el pago en 24 cuotas mensuales:
DATOS:
P = 12,000 83333333.9524
)15.1(000,2A
I = 0.15
n = 24m = 12 (mensual) 86956522.2083333333.95
000,2)24%,,/( iAp
En la tabla VI se halla que para n =24 (p/A, i %, 24)= 21.24338726 y (p/A, 1 ¼
%, 24)= 20.62423451, o sea que i esta comprendida entre (1% x 12)= 12% y (1
¼ % x 12)= 15%.
Para afinar el resultado, se procede mediante interpolación:
a 0.01 21.24338726
a 0.0125 20.62423451
a i 20.86956522
a 0.0125 20.62423451
175
-0.0025 0.61915275 i – 0.0125 0.24533071
24533071.0
0125.0
61915275.0
0025.0
i
i = 0.0125= -0.0009905904076
i = 0.0125 – 0.0009905904076
i = 0.011509409
j = (0.011509409)(12)(100)= 13.81129151
a) j (12)= 13.81% Tasa de interés nominal
x = 0.011509409 (tasa efectiva mensual)
1 + i = (1+0.011509409)12= 1.147199967
i = 1.147199967 – 1
i = (0.147199967) (100)
i = 14.71999672
b) i = 14.72% Tasa efectiva cargada
13. Un equipo se vende al contado en $ 650,000. A plazos, se vende con una cuota
inicial de $ 150,000 y el saldo incrementando en el 15 %, se cancela con 12 pagos
mensuales iguales. Hallar la tasa efectiva cargada.
DATOS:
$ 650,000 Saldo insoluto = $ 650,000 – 150,000=
500,000
150,000
$500,000 6747,916.666)(12
15)500,000(1. cuotas
pagosValor
?
0.15 43478261.106747,916.666
000,500)12%,,/( iAp
12 mensual
176
12 pagos
Mediante Interpolación
Tabla VI
(p/A, 2 %, 12) = 1057534122
(p/A, 2 ½, 12) = 10.25776460
0.02 10.57534122
0.025 10.25776460
a i 10.43478261
a 0.025 10.25776460
-0.005 0.31757662 i – 0.025 0.17701801
17701801.0
025.0
31757662.0
005.0
i
31757662.0
50008850900.0
31757662.0
)17701801.0)(005.0(025.0
-0.025 = -0.002787012627
= 0.025 – 0.002787012627
= 0.022212987 (Tasa efectiva mensual)
+ i = ( 1 + 0.022212987)12= 1.301657524
i = 1.301657524 – 1
i = (0.3016575224) (100)
i = 30.16575243
i = 30.17% Tasa efectiva cargada
14. En el problema anterior, hallar la tasa efectiva, su cuota inicial es de $25,000.
177
DATOS:
P = 650,000 – 25,00= Saldo insoluto $ 650,000- 25,000=
P = 625,000
A = ? 895,5912
(1.15) 625,000cuotas
pagosValor
i = 0.15
m = 12 (mensual) 10434783333.895,59
000,625)12%,,/( iAp
n = 12 pagos
Respuesta:
Es la misma que el problema anterior ya que es lo mismo 10.43478261 y n = 12
76.76%
14. Una herramienta, se vende en $ 75,000; si la compra es al contado, se descuenta
el 15%; si es a 0/9, se vende con una cuota inicial de 15,000 y el saldo en 8 cuotas
mensuales iguales. Hallar la tasa efectiva estipulada 1000% - 15%= 85%.
DATOS:
Valor de Contado = $ 75,000(0.85%)= $63,750
Cuota inicial = $ 15,000
= 8 Cuotas
500,78
15,000 - 000,75 cuotasValor
Precio de contado = cuota inicial + A (p/A, i %, n)
$ 63,750 = 15,000 + 7,500 (p/A, i %, n)
5.6500,7
750,48%,,/ niAp
750,48
000,15
750,63
178
Para calcular i se procede por interpolación Tabla VI
(p/A, 4 ½ %,8) = 6.59588607
(p/A, 5 ½ %,8) = 6.46321276
0.045 6.59588607
0.05 6.46321276
a i 6.5
a 0.05 6.46321276
-0.005 0.13267331 i – 0.05 0.03678724
03678724.0
05.0
13267331.0
005.0
i
13267331.0
0001839362.0
13267331.0
)03678724.0)(005.0(05.0
-0.05 = -0.001386384345
i = 0.05 – 0.001386384345
i = 0.048613615 (tasa efectiva mensual)
+ i = (1 + 0.048613615)12 = 1.767607802
= 1.767607802
= (0.767607802) (100)
= 76.7607802
15.- resolver el problema anterior, se el saldo se paga en 12 cuotas iguales.
132-139
DATOS:
100%-15%= 85%
Valor de contado $75,000 (0.85%) = $63,750
Cuota inicial = $15,000
179
n = 12 cuotas.
A = valor cuotas = $75,000 - $15,000 = $5,000
12
Precio de contado = cuota inicial + A(P/A, i%,n)
$63,750 = $15,000+ $5,000(P/A,i%,n)
$63,750 (P/A,i%,n)= $48,750 = 9.75
-15,000 $5,000
$48,750
Para calcular i se procede por interpolación (tabla) (P/A, 3%,12)= 9.95400399
(P/A, 3 ½%, 12) = 9.66333433
A 0.03 9.95400399 A i 9.75
Q 0.035 9.66333433 Q 0.035 9.66333433
- 0.005 0.29066966 i- 0.035 0.08666567
-0.005 = i- 0.035
0.29066966 0.08666567
i-0.035= (-0.005)(0.08666567) = -0.00043332835
0.29066966 0.29066966
i – 0.035= - 0.001490793191
i = 0.035 – 0.001490793191
i = 0.033509206 008tasa efectiva mensual)
1+i = (1+0.033509206) = 1.485156423
i= 1.485156423-1
i= (0.485156423)(100)
180
i= 48.5156423
i = 48.52% tasa efectiva cargada
16.- Un artículo se vende a plazos, con una cuota inicial de 30% de su precio; el
saldo se incrementa en el %, para ser cancelada en 10 cuotas mensuales iguales.
Hallar la tasa efectiva cargada.
($500,00) (0.30) = $150,000 cuota inicial.
DATOS:
$500,000 - $150,000 saldo insoluto = $500,000 - $150,000=
$350,000
$350,000 valor cuotas = $350,000(1.15)= $40,250
10 (cuotas)
0.15
12 (mensuales)
10 cuotas (P/A, i%, 10) = $350,000 = 8.695652174
$40,250
TABLA VI. MEDIANTE INTERPOLACIÓN.
P/A, 2 ½%, 10)= 8.75206393
P/A, 3%, 10) = 8.53020284
0.025 8.75206393 a i 8.695652174
0.03 8.53020284 a 0.03 8.53020284
-0.005 0.22186109 i -0.03 0.165449334
-0.005 = i – 0.03
0.22186109 0.165449334
0.03= (-0.005)(0.165449334) = -0.00082724667
181
0.22186109 0.22186109
i - 0.03= -0.003728669457
i = 0.03-0.003728669457 = 0.02627133
1 + i = (1+ 0.02627133)1/2= 1.365043093
i = 1.365043093-1
i = (0.365043093)(100)
i = 36.5043093
i = 36.50% tasa efectiva cargada
EJERCICIOS DE AMORTIZACIÓN
1.¿Qué es amortizar?
2.¿Qué es una tabla de amortización?
3.Una deuda de $12, 000,000 debe amortizarse mediante 4 pagos
bimestrales iguales, el primero a realizar dentro de dos meses, con intereses
al 4% bimestral sobre saldos insolutos.
a) Calcular el importe de cada uno de los pagos
b) Construir una tabla de amortización
4.¿Cuál sería el pago final que liquida una deuda de $23 000000 contratada al
27% efectivo anual a pagar mediante tres pagos anuales vencidos de $10 000
000 y un pago final que debe realizarse al término de 4 años?
5.Una deuda de $7 250 000 se debe pagar en un año mediante pagos
trimestrales iguales vencidos. Si el interés pactado para la operación es de
36% anual convertible trimestralmente,
a) Hallar el importe de cada pago y,
b) Construir una tabla de amortización.
6.Hacer un cuadro de amortización de pagos mensuales vencidos de $1,
025,000 hasta la extinción total de una deuda de $5, 800,000 pactada al 20%
182
anual convertible mensualmente, calculando también el pago final que extinga
la deuda.
7.Una pareja de recién casados adquiere una casa en condominio que cuesta
$6, 000,000. Pagan un enganche de $1,500,000 y acuerdan pagar el resto
con 24 mensualidades iguales con el 12% de interés convertible
mensualmente. Haga una tabla de amortización que muestre los dos primeros
y los dos últimos meses de la operación.
8.Una persona adquiere un automóvil que cuesta $500, 000. Paga $100,000
en efectivo y el resto lo paga con un préstamo de interés social otorgado por
una institución de seguridad social estatal que le cobra el 0.4% quincenal de
interés. Hallar el valor de los derechos adquiridos por el comprador al
momento de realizar el vigesimoctavo pago si lo acordado fue liquidar el saldo
a 5 años mediante pagos quincenales vencidos.
9.En el ejercicio anterior, ¿cuál es el saldo a favor de la institución de
seguridad social
10. El licenciado Montiel adquiere a crédito un despacho en condominio que
cuesta $600, 000. Paga el 30% de enganche y se compromete a pagar el
saldo mediante pagos mensuales anticipados durante 3 años. Si la tasa de
interés que paga es del 34% anual convertible mensualmente, ¿qué cantidad
tendría que pagar al cabo del trigésimo mes para adquirir la totalidad de los
derechos sobre el despacho?
11. Con cuántos pagos semestrales iguales y vencidos de $9 500 000 se
pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $29, 540, 000 si se carga una
tasa anual de 34% convertible mensualmente?
12. Una persona tiene una deuda de $1, 000,000 que convino en pagar con
pagos bimestrales vencidos e iguales durante un año con intereses al 28%
183
convertible cada dos meses. ¿Cuántos pagos le faltan por hacer si el saldo de
su deuda es de $567, 992?
13. El doctor Villasán tiene una deuda de $3 500000 contraída el 15 de
octubre, con intereses al 27% anual convertible mensualmente y que acordó
pagar en 12 abonos mensuales vencidos e iguales. ¿Cuántos pagos ha
realizado si ha adquirido derechos sobre la deuda por $1 345 767?
14. ¿Cuál es el valor de los derechos adquiridos sobre un mueble de sala por
un cliente que lo compró a crédito si el precio fue de $30, 000 y se convino en
pagarlo mediante 6 abonos mensuales vencidos con el 35% de interés
convertible mensualmente y ha realizado 3 pagos?
15. Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la
compra a crédito de un automóvil que cuesta $200,000 y se vende con un
enganche del 45% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $4,748
con interés al 12% convertible mensualmente.
16. En una operación de crédito se paga una deuda de $15, 000,000 mediante
pagos trimestrales vencidos e iguales por $3, 002,684 durante año y medio
¿Cuál es la tasa de interés nominal anual con capitalización trimestral que se
pagó?
17.Una aspiradora se vende en $9 000 al contado o mediante 4 pagos
mensuales anticipados de $3,000 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se
paga al adquirir ese aparato a crédito?
18.En el ejercicio 17, ¿cuál es la tasa efectiva anual?
19.Haga una tabla de amortización que muestre la forma en que se extinguiría
una deuda $32, 000,000 mediante 4 pagos mensuales vencidos si la tasa que
se carga es del 29% anual convertible mensualmente si en cada uno de los
184
dos primeros abonos se paga el 30% de la deuda, en el tercero el 25% y en el
último eI 15%.
FONDO DE AMORTIZACION
Amortizar.- significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serio
de pagos, que generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos de
tiempo iguales.
Fondo de amortización.- es el inverso de amortización ya que en el primero,
la deuda a pagar es una cantidad en valor actual mientras que en el caso de fondo
se habla de una cantidad o deuda a pagar a futuro, para lo cual se acumulan los
pagos periódicos en un fondo con el objeto de tener en una fecha futura la cantidad
necesaria.
“La deuda se va a amortizar se plantea a futuro y lo que se hace es constituir
una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente iguales o
periódicas) en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o
monto que permita pagar la deuda a su vencimiento”.
“un fondo de amortización es una cantidad que va acumulándose mediante
pagos periódicos los cuales devengan cierto interés, de tal modo que en determinado
número de periodos se obtenga un valor prefijado”
CÁLCULO DE LA RENTA O DEPÓSITO.
A = F i
(1+ i)n -1
185
PROBLEMAS:
1.- para cancelar en 4 años una deuda de $50,000 debe establecerse una reserva
anual en un fondo que abona el 8%. Hallar el valor de la reserva anual y hacer el
cuadro del fondo.
Formula:
DATOS:
F= $50,000
i= 8% = 0.08 A=F i
n= 4 años (1+i)n-1
0.08
A= $50,000
(1.08)4 -1
0.08
A= $50,000
0.36048896
A= $50,000(0.221920804)
A= $11,096.04022 = $11,096.04
FECHA APORTE
ANUAL
INTERESES
SOBRE EL
FONDO
TOTAL
AGREGADO
AL FONDO
TOTAL EN
EL FONDO
FINAL AÑO
1
$ 11,096.04 0.00 $ 11,096.04 $11,096.04
FINAL AÑO
2
11,096.04 887.68 11,983.72 23,079.76
186
FINAL AÑO
3
11,096.04 1,846.38 12,942.42 36,022.18
FINAL AÑO
4
11,096.05 2,881.77 13,977.82 50,000.00
TOTALES $44,384.17 $5,616.83 $50,000.00
Observe que el último pago se incrementa en 1 centavo (0.01) para extinguir
totalmente la deuda, únicamente por ajuste de decimales en las operaciones.
2.- se establece un fondo de $5,000 semestrales que abona el 6%, capitalizable
semestralmente; hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo.
DATOS: Formula
F= $5,000 F=A (1+i)n-1
i = 6% /2= 0.03 i
n= 5*2= 10 semestres
2 semestral
F= $5,000 (1.03)10-1
0.03
F=$5,000 0.343916379
0.03
F= $5,000(11.46387931)
F= $57,319.3965
187
FECHA APORTE
SEMESTRAL
INTERESES
SOBRE EL
FONDO 0.03
TOTAL
AGREGADO
AL FONDO
TOTAL EN EL
FONDO
Final semestre 1 $ 5,000 0.00 $ 5,000 5,000
Final semestre 2 5,000 150.00 5,150 10,150
Final semestre 3 5,000 304.50 5,304.50 15,454.50
Final semestre 4 5,000 463.64 5,463.64 20,918.14
Final semestre 5 5,000 627.54 5,627.54 26,545.68
Final semestre 6 5,000 796.37 5,796.37 32,342.05
Final semestre 7 5,000 970.26 5,970.26 38,312.31
Final semestre 8 5,000 1,149.37 6,149.37 44,461.68
Final semestre 9 5,000 1,333.85 6,333.85 50,795.53
Final semestre
10
5,000 1,523.87 6,523.87 57,319.40
totales $ 50,000 $ 7,319.40 $ 57,319.40
3.- para cancelar en 10 años una deuda de $600,000 se establece un fondo con
reserva semestral, se el fondo abona el 6% nominal, hallar al final de 4 años el fondo
acumulado y el saldo insoluto.
Formula:
DATOS:
F= $600,000 A= F i
A= ? (1+i)n-1
m= 2 semestral
188
j= 6%= 0.06
i= 0.06/2= 0.03 0.03
n = 10 años * 2= 20 A = $600,000
(1.03)20-1
A = $600,000 0.03
0.806111234
A = $600,000 (0.037215707)
A = $22,329.42456
Si solo se dejara identificar el fondo acumulado al final del 4º año, sin construir la
tabla, se podría calcular sabiendo que el monto de una anualidad vencida.
DATOS: Formula
F= ? F=A (1+i)n-1
A=$22,329.42 i
n= 4años * 2 = 8
i= 0.03
F= $22,329.42 (1.03)8-1
0.03
F= $22,329.4 0.266770081
0.03
F= $22,329.42(8.892336046)
F = 198,560.71 monto acumulado al fondo al final del 4º año
189
$198,560.71 es el monto acumulado en el fondo final del cuarto año y la deuda
es de $600,000, el saldo insoluto es:
10 años – 4 años = 6 años * 2 = 12 semestres
600,000 -$198,560.71 (1.03)12=
600,000-$283,100.094= $316,899.906 saldo insoluto
NOTA:
198,560.71 es lo acumulado en el fondo al final del cuarto año.
198,560.71 (1.03)12= $283,100.094 es el valor de lo acumulado en el fondo
al final del 4º año, llevando su valor al final del décimo año, que es el
momento al que esta planteada la deuda.
4.- Un artesano necesita reemplazar cada 5 años todas sus herramientas, cuyo valor
es de $10,000. ¿Qué depósito mensual debe hacer en una cuenta de ahorros que
abona el 8%, capitalizable trimestralmente?
DATOS:
F = $10,000 Fórmula
m= 12 mensual A = F i
j= 8%= 0.08 (1+i)n-1
i= 0.08/12= 0.006666666667
n = 5años*12= 60 meses
A = ?
A =$10,000 0.006666667
(1.006666667)60-1
A =$10,000 0.006666667
0.489345708
A =$10,000(0.013609728)
190
A = $136,0972829
5.- Para cancelar una deuda de 80,000 a 5 años plazo, se establecen reservas
anuales en un fondo que abona el 6% trascurridos dos años el fondo eleva sus
interés al 7% hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo.
Datos:
F = $ 80,000
N = 5 años
I = 6% = 0.06
Formula: A = F I
(I + i )n-1
A= $ 80000 0.06_
(1.6)10 – 1
A= $ 80000 0.06___
0.338225577
A= $80000 (0-1773964)
A= $ 14, 191.71203
6.- Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $ 2, 000,000 que
devengan el 8 % de interés. ¿Que depósitos anuales debe hacer un fondo que abona
el 6 % y que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda?
Datos:
n = 10 años
F = $ 2, 000,000
i = 6% = 0.06
191
FORMULA:
A = F ___I_____
(I + i )n-1
A= $ 2,000,000 __0.06__
(1.06) 10 -1
A= $ 151,735.9164
A= $ 151,735.92 Depositos Anuales
7.- Calcular el desembolso semestral y la tasa de interés que corresponda a una
deuda de 100,000 a 5 años plazo, cuyos interés son del 10% nominal, pagaderos
semestralmente, si para su cancelación, se hacen depósitos semestrales, en un
fondo que abona el 18% con capitalización semestral.
Datos
F = 100 000
j = 8% = 0.08
m = 2 semestral
i = 0.08/2 =0.4
n = 5 años x 2 = 10 semestres
10% = 0.10/2 =0.5
Formula A= F I
(1 + i )n-1
A = 100 000 0.04____
(1.04)10 -1
10
192
A = 100 000 (0.083290944)
Valor reserva A = 8,329.09 semestrales
Cargo por interes = 100 000 (0.05) = $5000 semestrales
Desembolso semestral = 5000 + 8,329.09 = $13,329.09
DATOS
P = 100 000 100 000 0 13329.09 (P/A, i /n )
A = 13,329.09
m =2
n = 5(2) (p/a,i%,10) =_100, 000_ = 7.502387635
13, 329.09
Tabla VI Mediante interpretacion
(P/A, 5 ½ , 10 ) = 7.53762583
(P/A,6 %, 10 ) = 7.36008705
a = 0.005 7.53762583 a i 7.502387635
a = 0.06 7.36008705 a 0.06 7 .36008705
- 0.05 0.17753878 i – 0.06 0.142300585
-0.05 /0.17753878 = i -00.6 / 0.142300585
0.06 = -(0.005) ( 0.142300585) = -0.0007115502925
0.17753878 0.17753878
0.06 0 – 0.004007591609
0.06 -0.004007591609
0.055992408
193
0.055992408 (2) (100) = 11.19848168
11.20 % tasa de interes nominal
EJERCICIOS
1.Se deben pagar $29, 000,000 dentro de 12 meses por una deuda contraída
con anterioridad. Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante
depósitos bimestrales vencidos, ¿cuál sería el importe de los mismos si se
colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26% convertible
mensualmente?
2.Haga una tabla de amortización para el ejercicio 1
3.Para pagar una deuda de $5, 400,000 que vence dentro de 5 meses se va a
constituir un fondo mediante depósitos mensuales anticipados. Si los
depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde el 32% anual
convertible mensualmente, hallar su importe.
4.Haga una tabla de amortización para el ejercicio 3
5.Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15,
000,000 contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12%
trimestral capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo
mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que
rinde el 2.7% mensual efectivo.
6.Ernesto Torres contrae una deuda por $8, 000,000 a pagar en 14 meses con
194
el 3.5% de interés efectivo mensual. La va a amortizar constituyendo un fondo
mediante depósitos mensuales vencidos. ¿cuál deberá ser el importe de los
depósitos si el fondo se coloca al 30% convertible mensualmente?
7.¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados
que se colocan en un fondo de inversión que rinde el 28.5% convertible
mensualmente con el objeto de amortizar una deuda de $8, 888,888 que
vence exactamente dentro de 8 meses?
8.El Licenciado Vidriera ha estado ahorrando $200, 000 cada dos meses desde
hace año y medio en una cuenta de inversión de renta fija que paga el 8%
anual convertible mensualmente. Lo que pretende es pagar dentro de seis
meses una deuda que a esa fecha tiene un valor de $2,700 000.
a) ¿Le alcanzará con lo que acumule en el fondo para pagar su deuda?
b) ¿Cuánto le sobrará o cuánto le faltará?
9.Un comerciante decide crear una reserva para adquirir un local más amplio
para su negocio. Deposita cada semana $25, 000 en un fondo de inversiones
que paga el 6% anual convertible mensualmente. ¿Cuánto habrá acumulado
en el fondo al cabo de seis meses?
10.Un chofer desea adquirir el taxi que maneja y que pertenece al señor Urrutia.
Éste ha convenido en venderle el auto y el permiso de taxi dentro de año y
medio en $100,000 ¿Cuánto debe depositar semanalmente el chofer en un
fondo de inversión que paga el 6% convertible mensualmente para acumular
la cantidad que necesita?
11.Si el mismo chofer del ejercicio 10 hiciera los depósitos cada tercer día,
¿cuánto necesitaría depositar? Considérense años de 360 días y meses de
30 días.
12.Una persona debe liquidar $ 500, 000 al 15 de diciembre. Si ese día recibe $
195
100 000 de aguinaldo y lo va a aplicar el pago de su deuda, y el resto lo va a
pagar con lo que se acumule en el fondo de inversión. ¿Cuánto deberá
depositar mensualmente en el fondo que paga el 8% anual convertible
mensualmente, si el primer depósito lo va hacer el 15 de junio?
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Haga una tabla que muestre cómo se amortiza una deuda de $4,000,000
contratada hoy y que debe pagarse mediante 5 pagos mensuales iguales y
vencidos si se carga el 29% anual convertible mensualmente.
2. Cuál sería el importe de cada uno de 15 pagos bimestrales iguales y
vencidos necesarios para pagar un automóvil que cuesta $27 800 000, si se
da un enganche de $7 800 000 y se cobra un interés del 4% mensual sobre
saldos insolutos?
3. El señor Ramírez compra un juego de muebles de sala en $4, 500 Paga el
15% de enganche y tres mensualidades de $800 cada una a los 30, 60 Y 90
días de realizada la operación, respectivamente. Si convino en liquidar el resto
mediante dos mensualidades más a los 120 y 150 días. ¿cuál será el importe
de cada uno de estos pagos iguales si la transacción se contrató al 3.5%
mensual sobre saldos insolutos?
4. Un abogado debe liquidar mediante 13 pagos mensuales vencidos una
deuda de $1, 000,000 que contrae hoy. Si paga intereses a razón del 1.8%
mensual sobre saldos insolutos y conviene en pagar 12 mensualidades iguales de
$60 000, ¿cuál debe ser el importe del último pago para amortizar totalmente
su deuda?
5. Haga una tabla de amortización que muestre las condiciones de una deuda
en los dos primeros y en los dos últimos períodos si el importe del débito es
196
de $5, 450,000 y se convino en amortizarlo mediante 24 pagos bimestrales
vencidos y la tasa es del 3.9% mensual sobre saldos insolutos.
6. Se compró un lote de automóviles con $12, 000,000 de enganche y un
saldo de $20, 000,000 a pagar en 24 mensualidades iguales con el 3.7%
anual capitalizable mensualmente. ¿A cuánto ascendían los derechos
adquiridos por el comprador sobre el automóvil exactamente después de
realizar el decimotercer pago?
7. Al comprar un refrigerador que cuesta $19, 000, un cliente pagó el 25% de
enganche y acordó pagar el saldo con 5 pagos mensuales vencidos iguales y
con intereses del 2.85% mensual sobre saldos insolutos. ¿A cuánto
ascendían los derechos adquiridos por el cliente inmediatamente antes de
realizar el tercer pago?
8. ¿Cuál sería el saldo insoluto de una deuda de $9, 380,000 contratada hoy y
para pagar mediante 6 pagos bimestrales iguales y vencidos con interés del
5.7% bimestral efectivo, exactamente al realizar el segundo pago?
9. Daniel obtiene un préstamo hoy por $3, 650,000 que conviene en pagarlo
mediante abonos quincenales de $212 365. Si el interés que pagará es del
3% efectivo mensual. ¿cuál será el saldo de su deuda inmediatamente antes
de realizar el décimo pago?
10. Se va a amortizar una deuda de $8, 000, 000 con 12 pagos mensuales
iguales con el 34% anual convertible bimestralmente. Calcule el saldo de la
deuda al realizar el sexto pago y determine de este sexto pago qué proporción
es de intereses y que proporción corresponde a amortización.
11. Se adquiere un departamento que cuesta $850 000 con $100,
000 de enganche y el saldo a pagar a 10 años, con interés variable y abonos
197
mensuales. Si durante el primer año se carga el 34% anual convertible
mensualmente y se pagan 12 mensualidades de $34 963 y durante el
segundo año se carga el 32% anual convertible mensualmente y se pagan 6
mensualidades de $10 000, hallar el saldo insoluto al hacer el decimoctavo
pago
12. Se paga una deuda de $8, 370, 000 con 15 pagos mensuales vencidos
iguales, con el 46% de interés efectivo anual. ¿Qué cantidad se paga en total
de intereses?
13. El señor López obtiene un préstamo de $1, 500,000 para comprar unos
autos. Va a liquidar el préstamo con pagos mensuales durante 3 años con el
34.5% efectivo anual. ¿Qué cantidad paga de intereses durante el segundo
año?
14. ¿Por qué en una operación de amortización la parte de los pagos que se
aplica a la amortización misma va siendo cada vez mayor?
15. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $948 616 serían necesarios
para amortizar una deuda de $9, 500,000 si el interés es de 2.73% mensual
efectivo?
16. ¿Cuántos pagos mensuales de $1, 000, 000 serían necesarios para pagar
una deuda de $5, 000,000 si se carga interés al 46% efectivo anual? ¿De qué
cantidad tendría que ser el último pago (menor que $1,000 000) para
amortizar completamente la deuda?
UNIDAD. VII DEPRECIACION
Las maquinarias, las instalaciones, los edificios y otras clases de activos necesarios
para las operaciones de las empresas, sufren por su uso, una disminución de sus
valores, que no puede evitarse con los gastos corrientes de reparaciones. Puesto
198
que el capital invertido debe permanecer constante, es necesario estudiar la forma
de establecer un fondo de reserva que compense esa pérdida del valor.
Definición
Depreciación: es la pérdida de valor, no recuperada con el mantenimiento, que
sufren los activos, y se debe a diferentes factores que causan finalmente su
inutilidad, obligando por tanto al reemplazo del activo.
Al terminar la vida de un activo, debe reemplazarse, invirtiéndose para ello un valor
que recibe l nombre de costo de reemplazo.
Durante la vida útil del activo debe guardarse periódicamente cierta suma, para con
ella un fondo que recibe el nombre de reserva para depreciación y que debe ser igual
al costo de reemplazo al terminar la vida útil del activo.
La vida útil o duración probable de un activo se determina con base en la experiencia
y tanto los expertos en estas materias como los fabricantes de equipos y maquinarias
señalan la vida útil de los distintos activos y con base en estos datos se establece el
cálculo de la depreciación.
Cuando el activo deja de ser útil, siempre conserva algún valor, así sea como
chatarra o material de desecho; este valor residual recibe el nombre de Valor de
salvamento.
El agotamiento es la pérdida progresiva de un activo por reducción de la cantidad
aprovechable del mismo. Tal es el caso de los minerales cuya cantidad disminuye
por la operación de extracción, hasta agotarse. Estos activos reciben el nombre de
activos agotables y no pueden remplazarse.
199
Caída en desuso u obsolescencia. Ocurre cuando por razón de nuevos inventos o
perfeccionamientos técnicos, no resulta económica la utilización de cierto activo
CÁLCULO DE LOS CARGOS PERIÓDICOS POR DEPRECIACIÓN
Existen varios métodos para determinar el cargo que periódicamente debe hacerse
por concepto de depreciación; a continuación se estudiarán los más utilizados
METODO UNIFORME O DE LA LÍNEA RECTA.
Es el más simple de los métodos y el más utilizado; consiste en suponer que
depreciación anual es la misma para toda la vida útil del activo y, de acuerdo con
esto, cada año se reservan partes iguales, de tal modo que al terminar la vida útil del
activo, se tenga un fondo de reserva que, sumado al valor de salvamento, dé el valor
de reemplazo.
Al designar por C el costo inicial -que se supone será igual al de reemplazo-, por S el
valor de salvamento Y por n los años de vida útil, la depreciación anual D se plantea
mediante la ecuación:
D = C- S
n
Ejemplo:
Cierto equipo de una compañía tiene un costo de $5,000 y una vida útil estimada en
4 años. Si el valor de salvamento corresponde al 10% del costo inicial, hallar la
depreciación anual.
C = 5,000; S = 5.000 (0,1) =
500
D = 5.,000 - 500 = $1125 4
200
DEPRECIACIÓN POR FONDO DE AMORTIZACIÓN
Este método es una modificación del uniforme y consiste en depositar las
depreciaciones en un fondo que devengue intereses, de tal modo que el incremento
anual sea la suma del cargo anual por depreciación y del interés ganado por el
fondo, en el mismo año. Si el cargo anual por depreciación es D, al depositarse en
un fondo a la tasa de interés i, el monto al final de n años debe ser igual al valor de
reemplazo, o sea:
1
Notación algebraica: D = (C - S)· (1 + i)n -1 (63a)
Notación estándar:
D = (C - S) (A/ F, i %, n)
Ejemplo.
Mediante la aplicación del método del fondo de amortización para el equipo del
ejemplo 12.1, hallar la depreciación anual, suponiendo una tasa de interés
de16%, y elaborar un cuadro para la depreciación.
C = 5 000
S = 5 000 (0.1) = 500;
n = 4;
i = 0,06
D = (5.000- 500) (A/F, 6%, 4) = 4,500 (0,22859) = $1,028.66
AÑOS DE
USO
PAGO
AL
FONDO
6% DE INTERES
SOBRE FONDO
ACUMULADO
DEPRECIACION
ANUAL
ACUMULACIÓN
DE FONDO
VALOR EN
LIBROS
0 0.00 0.00 0.00 0.00 5,000.00
201
1 1,028.66 0.00 1,028.66 1,028.66 3,971.34
2 1,028.66 61.72 1,090.38 2,119.04 2,880.96
3 1,028.66 127.14 1,155.80 3,274.84 1,725.16
4 1,028.66 196.50 1,225.16 4,500.00 500.00
El valor en libros, al final del cuarto año, es igual al valor de salvamento. Los cargos
por depreciación se acostumbra llevarlos a cabo en la fecha de balance. Los equipos
comprados y puestos en uso, entre dos fechas de balance, se deprecian
proporcionalmente con el tiempo en uso.
MÉTODO DE LA SUMA DE DÍGITOS O ENTEROS QUE CORRESPONDEN A LOS
AÑOS DE DURACIÓN DEL ACTIVO
Con este método se logra que el cargo por depreciación sea mayor en los primeros
años de vida del activo y disminuya cada año. Para hallar el cargo anual por
depreciación, se procede así:
1. Ordénense de mayor a menor los enteros que corresponden a los años de
duración del activo
2. La depreciación para cada año queda expresada por una fracción cuyo
denominador es la suma de todos los números y que tiene como numerador el entero
que corresponde, en el orden invertido, al año cuya depreciación se calcula. De esta
manera, si un activo tiene una vida útil de 6 años se tiene:
Denominador de la fracción = 21 (suma de los números del 1 al 6).
Años en orden
invertido 6 5 4 3 2 1
Año 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Depreciación 6 5 4 3 2 1
21 21 21 21 21 21
202
En el caso del ejemplo 12.3 se tiene un equipo con un valor depreciable de $4 500 y
una vida útil de 4 años. Con este método, se tiene:
Año 1 2 3 4 Suma = 10
Depreciación 4 3 2 1 de 4,500 10 10 10 10
La depreciación al final de cualquier año se obtiene mediante la suma e las
fracciones hasta ese año. Así para el ejemplo dado, la depreciación total acumulada
al final del tercer año es:
050,410/210/310/4500,4
AÑOS DE
USO
FRACCIÓ
N
DEPRECIACIO
N ANUAL
DEPRECIACIO
N TOTAL
VALOR EN
LIBROS
0 0.00 0.00 0.00 5,000.00
1 4/10 1,800.00 1,800.00 3,200.00
2 3/10 1,350.00 3,150.00 1,850.00
3 2/10 900.00 4,050.00 950.00
4 1/10 450.00 4,500.00 500.00
METODO DE DEPRECIACION POR PORCENTAJE FIJO O DE VARIACIÓN
GOEMETRICA
Este método consiste en cargar, cada año, por depreciación, un porcentaje fijo del
valor con que figura el activo en libros. Puesto que el valor en libros es decreciente al
aplicar el porcentaje fijo, la depreciación también resulta decreciente.
Sean C: costo inicial que se supone igual al de reemplazo.
n = el número de años de vida útil
r = el % fijo de depreciación.
V1 = C-Cr = C (1-r)
V2 = V1 – V1r = V1 - (1-r) = C (1-r)2
203
Vn = Vn-1 – Vn-1r = Vn-1 - (1-r) = C (1-r)n
Vn = C (1-r)n
Vn = C (F/P, - r%, n)
Esta formula permite hallar el valor en los libros al final de cualquier año. Al final del
último año, el valor en libros Vn es igual al valor de salvamento; reemplazando a la
formula se tiene:
S = C (1-r)n
S = C (F/P, - r%, n)
Ejemplo:
Costo del equipo $5 000; valor de salvamento de $500 y una vida útil de 4 años.
C =$5000 S = 5000 n = 4
5000 (F/P, - r%, 4) = 500
5000 (1- r)4= 500
(1- r)4 =0.1
1- r=(0.1)1/4
1- r= 0.5624
r = 0.4376 ; 43.76%
El cuadro de depreciación para este método es:
AÑOS
DE USO
DEPRECIACION
ANUAL
DEPRECIACION
TOTAL
VALOR EN
LIBROS
0 0.00 0.00 5,000.00
204
1 2,188.00 2,188.00 2,812.00
2 1,230.53 3,418.53 1,581.47
3 692.05 4,110.58 889.42
4 389.21 4,499.79 500.21
METODO DE DEPRECIACION CON INTERESES SOBRE LA INVERSIÓN
Desde el punto de vista financiero, el dinero invertido en un activo productivo debe de
generar un interés, como cualquier inversión de capital; desde este punto de vista,
puede hacerse que los ingresos del negocio provean los fondos de depreciación y, al
mismo tiempo, los intereses sobre la inversión que expresa el valor del activo.
El interés obtenido en el fondo de reserva no necesariamente es igual al interés que
gana la inversión.
Ejemplo:
Costo del equipo $5 000; valor de salvamento de $500 y una vida útil de 4 años
Intereses sobre la inversión = 8%; interés que gana el fondo de reserva = 6%.
AÑOS DE USO
DEPRECIACION ANUAL
VALOR EN LIBROS
8% DE INTERES SOBRE VALOR
EN LIBROS
CARGO ANUAL POR DEPRECIACIONES E
INTERESES
0 0.00 5,000.00 0.00 0.00
1 1,028.66 3,971.34 400.00 1,428.66
2 1,090.38 2,880.96 317.70 1,408.08
3 1,155.80 1,725.16 230.47 1,386.27
4 1,225.16 500.00 138.01 1,363.27
Ejercicios resueltos
Las oficinas de una empresa comercial funcionan en un edificio cuyo costo inicial es
de $1.500.000 y que deprecian cada año en el 10% de su valor en libros; hallar el
valor en libros, al final del quinto año.
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Se aplica la fórmula:
C = 1.500.000 r = 0,1 n = 5
Vn= C (1- r)n = C (F/P, -r%, n)
V5 = 1.500.000 (1- 0.1)5
VS = $885.735
Valor en libros = $885.735
2. Demostrar que, por el método de la suma de enteros (dígitos) para un activo cuya
vida útil es de n años, el denominador de las fracciones que expresan en cada año la
depreciación es:
Denominador
½ n(n + 1)
MÉTODOS DE AGOTAMIENTO
Hay 2 métodos de agotamiento: el agotamiento por costos y el agotamiento
porcentual.
a) El agotamiento por costos: al cual se hace referencia algunas veces como
agotamiento de factor, se basa en el nivel de actividad o uso, no en el tiempo, como
en la depreciación. Este puede aplicarse a la mayoría de los recursos naturales. El
factor agotamiento por costos para el año t, p es la razón del costo inicial de la
propiedad con respecto al número estimado de unidades recuperables.
inversión inicial
Capacidad de recursos
Pt =
206
El costo por agotamiento anual es pt veces el uso del año o volumen de actividad. El
agotamiento basado en el costo acumulado no puede exceder el costo inicial total del
recurso. Si se estima nuevamente la capacidad de la propiedad en algún año futuro,
se calcula un nuevo factor de agotamiento de costos con base en la cantidad no
agotada y la nueva estimación de capacidad.
b) El agotamiento porcentual: el segundo método de agotamiento, es una
consideración, especial dada para recursos naturales. Cada año puede agotarse un
porcentaje constante dado del ingreso bruto del recurso siempre que este no exceda
el 50% del ingreso gravable del a compañía. Entonces, anualmente la cantidad
agotada se calcula como:
Porcentaje del a cantidad agotada: porcentaje * ingreso bruto del a propiedad
Usando el agotamiento porcentual, los cargos totales por agotamiento pueden
exceder el costo inicial sin límite. La cuantía del agotamiento cada año puede
determinarse usando el método de costo o el método de porcentaje, como lo permite
la ley.
PROBLEMAS PROPUESTOS DE DEPRECIACION
1. Una máquina tiene un costo inicial de $120,000, una vida útil de 6 años y un valor
de salvamento de $30,000. Elaborar un cuadro de depreciación, aplicando:
a) El método de línea recta;
b) El método del fondo de amortización a la tasa del 8%
c) El método de la suma de enteros (dígitos)
2. Las instalaciones de una industria cuestan $250,000, tiene una vida útil de 20
años y se estima que no tendrán valor de salvamento. Hallar la depreciación
acumulada y el valor en libros al final del decimoquinto año:
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a) Por el método uniforme
b) Por el método del fondo de amortización a la tasa del 6%;
c) Por el método de la suma de enteros.
3. Un equipo industrial tiene un costo inicial de $80,000, un valor de salvamento de
$10,000, y una vida útil es de 15 años; se deprecia utilizando el método del fondo
de amortización, a una tasa deI 7%. Hallar:
a) El valor en el fondo al final de 8 años
b) El valor en libros al final de 8 años
c) La depreciación que debe cagarse al final del décimo año.
4. Un equipo tiene un valor inicial de $30,000 y un valor de salvamento de $2,000;
se deprecia al 25% del valor en libros cada año.
a) Elaborar el cuadro de depreciación para los primeros 3 años
b) Hallar el valor en libros al final de 10 años. Conocido este valor, indíquese en
cuántos años se estimó la vida útil del equipo.
5. Una máquina tiene un valor de $60,000 y debe depreciarse hasta $5,000. Hallar
el porcentaje fijo de depreciación y hacer el cuadro de depreciación.
6. Una máquina que tiene un valor de $140,000 y un valor de salvamento de
$40,000 debe depreciarse en 15 años por el método del porcentaje fijo. Hallar el
valor en libros al final del décimo año y la depreciación que debe cargarse en el año
undécimo.
7. Una máquina tiene un costo inicial de $40,000, un valor de salvamento de $2,000
y una vida útil de 5 años. Con el método de depreciación con base en los intereses
sobre la inversión, hallar el cargo anual por depreciación con intereses sobre la
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inversión para el primero y para el segundo año si la tasa del 8% efectivo se utiliza
tanto para el fondo como para los intereses sobre la inversión.
8. Elaborar el cuadro de depreciación e intereses para la máquina del
problema 13.
9. Un equipo tiene un costo de $60,000, un valor de salvamento de $6,000 y
una vida útil de 4 años. Hacer el cuadro de depreciación si el interés sobre el
fondo es del 4% y el interés sobre la inversión es del 8%.
10. Calcular el precio que puede pagarse por una mina de carbón que
produce una renta de $600,000 anuales, si los ingenieros estiman que
manteniéndose el mismo nivel de explotación se agotará en 15 años y los
inversionistas desean obtener un 8% de interés sobre la inversión, teniendo
en cuenta que puede obtenerse un 4% de interés sobre el fondo de
amortización.
11. Un campo petrolero podrá rendir una utilidad neta de $5, 000,000
anuales durante 10 años. Calcular el valor de las acciones que podrán
emitirse, si se ofrece un dividendo del 12% nominal con pagos trimestrales y
puede obtenerse un interés del 4% sobre el fondo de recuperación de la
inversión.
BIBLIOGRAFIA
1. Matemáticas Financieras, Alfredo Díaz Mata y Víctor Manuel Aguilera G. 2da.
Edición Editorial Mc GRAW-HILL.
209
2. Matemáticas Financieras, 4ta. Edición Autor: Lincoyán Portus Govinden. Editorial
Mc GRAW-HILL.
3. Matemáticas financieras, nueva edicion, octava reimpresión,Hellen Cissell, David
C. Flaspohler, Editorial CECSA.
4. Matemáticas para administración, economía y ciencias sociales. Frank S.
Budnick., Tercera Edición, Editorial Mc GRAW-HIL.