Tema 1. Inferencia estadstica para una poblacin

Contenidos

Inferencia estadstica Estimadores puntuales Estimacin de la media y la varianza de una poblacin Estimacin de la media de la poblacin mediante intervalos de confianza Intervalos de confianza para la media de una poblacin normal con varianza conocida Intervalos de confianza para la media en muestras grandes Intervalos de confianza para la proporcin en una poblacin Intervalos de confianza para la media de una poblacin normal con varianza desconocida Estimacin de la varianza de la poblacin mediante intervalos de confianza Intervalos de confianza para la varianza de una poblacin normal

Objetivos de aprendizajeAl final de este tema debieras ser capaz de: Estimar parmetros de la poblacin desconocidos a partir de datos muestrales Construir intervalos de confianza para los parmetros de la poblacin desconocidos a partir de datos muestrales: En el caso de una distribucin normal: intervalos de confianza para la media y la varianza de la poblacin En muestras grandes: intervalos de confianza para la media de la poblacin y la proporcin Interpretar el significado de un intervalo de confianza Entender el efecto del tamao muestral, el nivel de confianza, etc sobre la longitud del intervalo de confianza Calcular un tamao muestral necesario para controlar la longitud de un intervalo de confianza

Inferencia Estadstica: palabras clave (i)

Poblacin: el conjunto de toda la informacin numrica relativa a una cantidad de inters. Identificaremos el concepto de poblacin con el de una variable aleatoria X. La ley o distribucin de la poblacin es la distribucin de X, FX. Muestra: un subconjunto observado (por ejemplo, de tamao n) de valores de la poblacin. Representada como una coleccin de n variables aleatorias X1;X2,,Xn, tpicamente iid (independientes e idnticamente distribuidas) . Parmetro: una constante que caracteriza a X o FX

Inferencia Estadstica: palabras clave (ii)

Inferencia estadstica: el proceso mediante el que se llega a conclusiones sobre una poblacin a partir de las medidas o las observaciones realizadas sobre una muestra de individuos de la poblacin. Estadstico: una variable aleatoria definida como una funcin de una muestra aleatoria, Y = f (X1,X2,,Xn) Estimador de un parmetro: una variable aleatoria, por ejemplo T, funcin de una muestra aleatoria, T = T(X1, X2,,Xn), que se emplea para aproximar (estimar) el valor de un parmetro de la poblacin desconocido. Estimacin: una realizacin concreta del estimador, por ejemplo T, correspondiente a una muestra observada, x1; x2,, xn, y que proporciona una aproximacin al valor del parmetro de inters.

Estimadores puntuales: introduccin

Un estimador puntual de un parmetro de una poblacin es una funcin, por ejemplo T, de la informacin muestral Xn = (X1,,Xn) que toma un valor numrico.

Ejemplos de parmetros de poblaciones, estimadores y estimaciones:

Estimadores puntuales: propiedades (i)

Qu caractersticas querramos que tuviese un estimador? Ausencia de sesgo. Esta propiedad se da cuando un estimador tiene sesgo igual a cero. Qu es el sesgo? El sesgo es la diferencia entre el valor esperado del estimador y el valor del parmetro de inters.

Estimadores puntuales: propiedades (ii)

Eficiencia. Se mide por la varianza del estimador. Un estimador con menos varianza es ms eficiente. La eficiencia relativa de dos estimadores insesgados X,1 y X,2 para un parmetro X se define como

Nota: En algunos casos se emplea la definicin inversa. En todo caso, un estimador con menor varianza es ms eficiente.

Estimadores puntuales: propiedades (iii)

Un criterio ms general para seleccionar estimadores (incluyendo estimadores insesgados y sesgados) es el error cuadrtico medio, definido como

Nota: El error cuadrtico medio de un estimador insesgado es igual a su varianza. Un estimador con menor ECM es mejor. El estimador insesgado de mnima varianza tiene la menor varianza/ECM entre todos los estimadores.

Cmo encontrar una buena definicin para un estimador T?

En algunos casos se conoce un estimador ptimo: estimador insesgado de mnima varianza Si no es as, existen distintos mtodos de construccin de estimadores que proporcionan resultados razonables, por ejemplo: Estimacin mximo verosmil Mtodo de momentos

Estimacin puntual: ejemplo

Ejemplo: 7.1 (Newbold) Las ratios precio-beneficio para una muestra aleatoria de diez acciones negociadas en la bolsa de NY en un da concreto fueron

10 16 5 10 12 8 4 6 5 4Emplee un procedimiento de estimacin insesgado para obtener estimaciones puntuales para los siguientes parmetros de la poblacin: media, varianza, proporcin de valores que exceden 8.5.

Estimacin puntual: ejemplo

De estimaciones puntuales a estimacin por intervalos de confianza

Hasta ahora hemos considerado la estimacin puntual de un parmetro desconocido de una poblacin que, partiendo de una MAS de n observaciones de X, proporciona una aproximacin razonable para ese parmetro desconocido.

Una estimacin puntual no tiene en cuenta la variabilidad del proceso de estimacin, debida entre otras causas a: El tamao muestral - una muestra mayor debiera proporcionar una informacin ms precisa sobre el parmetro de la poblacin. Variabilidad en la poblacin - una muestra de una poblacin con menos varianza debiera proporcionar estimaciones ms precisas Que se conozcan otros parmetros de la poblacin. Etc Estas limitaciones pueden tratarse mediante el uso de estimaciones por intervalos de confianza, esto es, un mtodo que proporciona un intervalo de valores al que es probable que pertenezca el valor del parmetro.

Estimadores por intervalos de confianza e intervalos de confianza

Obteniendo un estimador por intervalos de confianza: procedimiento

Intervalo de confianza para la media de la poblacin, poblacin normal con varianza conocida

Intervalo de confianza para la media de la poblacin, poblacin normal con varianza conocida

Ejemplo: clculo de un intervalo de confianza para

Interpretacin frecuentista del IC: nivel de confianza

Interpretacin frecuentista del IC: tamao muestral

Ejemplo: estimacin del tamao muestral

Intervalo de confianza para la media de la poblacin en muestras grandes

Intervalo de confianza para la proporcin en la poblacin en muestras grandesAplicacin de ICs para la media en muestras grandes

Ejemplo: clculo de un intervalo de confianza para pX

Intervalo de confianza para la media de la poblacin: poblacin normal con varianza desconocida

Intervalo de confianza para la media de la poblacin: poblacin normal con varianza desconocida

Intervalo de confianza para la media de la poblacin: poblacin normal con varianza desconocida

Ejemplo: calcular un intervalo de confianza para _XEjemplo: 8.4 (Newbold) Se ha medido el consumo de combustible en una muestra aleatoria de seis coches del mismo modelo, obteniendo en mpg: 18.6, 18.4, 19.2, 20.8, 19.4, 20.5. Calcule un intervalo de confianza al 90% para el consumo medio, suponiendo que la poblacin sigue una distribucin normal.

Ejemplo: calcular un intervalo de confianza para X

Distribuciones t de Student y x2 (chi-cuadrado)

Intervalo de confianza para la varianza de la poblacin, poblacin normal

Ejemplo: calcular un intervalo de confianza para Ejemplo: 8.8 (Newbold) Una muestra aleatoria de quince pastillas para el dolor de cabeza tiene una cuasi desviacin tpica de 0.8% en la concentracin del ingrediente activo. Calcule un IC al 90% para la varianza de la poblacin para estas pastillas. Obtenga tambin un IC para la desviacin tpica de la poblacin.

Frmulas para intervalos de confianzaResumen para una poblacin

Intervalos de confianza para la media de la poblacin: Qu usar cundo?