FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La

factorización es encontrar los factores, dado el producto. Se llaman factores

de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan como

resultado la primera expresión.

Ejemplo: si;

𝑥 + 2 𝑥 + 3 = 𝑥2 + 5𝑥 + 6

tenemos que 𝑥 + 2 y 𝑥 + 3 son factores de 𝑥2 + 5𝑥 + 6 , así pues,

factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado.

Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un

producto, los mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos

podamos combinar dos o más de estos procedimientos.

Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto,

los mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos

combinar dos o más de estos procedimientos.

1ºFactor común de un polinomio

Extraer factor común a un pol inomio cons is te en ap l i ca r la

propiedad d istr ibut iva .

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del pol inomio será s iempre x = 0

Descomponer en factores sacando factor común y hal lar las raíces

de:

1 x3 + x2 = x 2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Só lo t iene una raíz X = 0; ya que e l po l inomio, x 2 + 2 , no t iene

n ingún va lor que lo anu le; deb ido a que a l es ta r la x a l cuadrado s iempre

dará un número pos i t i vo , por tanto es i r reduc ib le .

3 x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x= a y x = b.

2ºIgualdad notable

1Diferencia de cuadrados

Una d i ferencia de cuadrados es igual a suma por d i ferencia.

a2 − b 2 = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hal lar las raíces

1 x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2 x4 − 16 = (x 2 + 4) · (x 2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x 2 + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2Trinomio cuadrado perfecto

Un tr inomio cuadrado perfecto es igual a un b inomio al

cuadrado.

a2 ± 2 a b + b 2 = (a ± b) 2

Descomponer en factores los tr inomio cuadrados perfectos y

hal lar sus raíces

La raíz es x = − 3.

La raíz es x = 2.

3ºTrinomio de segundo grado

Para descomponer en factores e l tr inomio de segundo grado

P (x) = a x 2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º

grado . S i las so luc iones a la ecuac ión son x 1 y x 2 , e l po l inomio

descompuesto será:

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

Descomponer en factores los tr inomios de segundo grado y hal lar

sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

Descomponer en factores los tr inomios de cuarto grado de

exponentes pares y hal lar sus raíces

x 4− 10x 2 + 9

x 2 = t

x 4 − 10x 2 + 9 = 0

t 2 − 10t + 9 = 0

x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

x 4 − 2x 2 − 3

x 2 = t

t 2 − 2t − 3 = 0

x 4 − 2x 2 + 3 = (x 2 + 1) · (x + ) · (x − )

4º Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Uti l izamos el teorema del resto y la regla de Ruff in i .

Descomposic ión de un pol inomio de grado superior a dos y cálcu lo

de sus raíces

P(x) = 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6

1Tomamos los d iv isores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Apl icando e l teorema del resto sabremos para que va lores la

d iv is ión es exacta .

P(1) = 2 · 1 4 + 1 3 − 8 · 1 2 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Divid imos por Ruff in i .

4Por ser la d iv is ión exacta , D = d · c

(x −1) · (2x 3 + 3x 2 − 5x − 6 )

Una ra íz es x = 1.

Cont inuamos rea l i zando las mismas operac iones a l segundo fac tor .

Vo lvemos a probar por 1 porque e l pr imer f ac tor podr ía es ta r e levado

a l cuadrado.

P(1) = 2 · 1 3 + 3 · 1 2 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 · (− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)

Ot ra ra íz es x = -1 .

E l tercer fac tor lo podemos encont ra r ap l i cando la ecuac ión de 2º

grado o ta l como ven imos hac iéndo lo , aunque t iene e l inconven iente de

que só lo podemos encont ra r raíces enteras .

E l 1 lo descar tamos y segu imos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1) 2 + (−1) − 6 ≠ 0

P (2) = 2 · 2 2 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en ú l t imo b inomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factor izac ión del pol inomio queda:

P(x) = 2x 4 + x3 − 8x 2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x −

3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Ejercicios resueltos de factorización de polinomios

Factor izar los pol inomios

19x 4 − 4x 2 =

x 2 · (9x 2 − 4) =

x2 · (3x + 2) · (3x − 2)

2x 5 + 20x 3 + 100x =

x · (x 4 + 20x 2 + 100) =

x · (x 2 + 10) 2

33x 5 − 18x 3 + 27x =

3x · (x 4 −6 x 2 + 9) =

= 3x · (x 2 − 3) 2

42x 3 − 50x =

=2x · (x 2 − 25 ) =

2x · (x + 5) · (x - 5)

52x 5 − 32x =

= 2x · (x 4 − 16 ) =

2x · (x 2 + 4) · (x 2 − 4) =

= 2x · (x 2 + 4) · (x +2) · (x − 2)

62x 2 + x − 28

2x 2 + x − 28 = 0

2x 2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)

Descomponer en factores los pol inomios

1

2xy − 2x − 3y +6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

325x 2 − 1=

= (5x +1) · (5x − 1)

436x 6 − 49 =

= (6x3 + 7) · (6x 3 − 7)

5x 2− 2x +1 =

= (x − 1) 2

6x 2 − 6x +9 =

= (x − 3) 2

7x 2 − 20x +100 =

= (x − 10) 2

8x 2 + 10x +25 =

= (x + 5) 2

9x 2 + 14x +49 =

= (x + 7) 2

10x 3− 4x 2 + 4x =

= x · (x 2 − 4x +4) =

= x · (x − 2) 2

113x 7 − 27x =

= 3x · (x 6 − 9 ) =

= 3x · (x 3 + 3) · (x 3 − 3)

12x 2− 11x + 30

x 2 − 11x + 30 = 0

x 2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

133x 2 + 10x +3

3x 2 + 10x +3 = 0

3x 2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

142x 2− x −1

2x 2 − x −1 = 0

2x 2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

Factor izar y hal lar las raíces de los pol inomios

1 2x3 − 7x2 + 8x − 3

P (1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 )

P (1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

(x −1 ) 2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 ) 2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

2x3 − x2 − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P (2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x 2+ x + 2 )

x 2+ x + 2 = 0

(x − 2) · (x 2+ x + 2 )

Ra íz: x = 2.

3x3 + 3x2 −4 x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 1 3 + 3 · 1 2 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 + 3 · (−1) 2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

(x − 2) · (x 2 + 5x +6)

x 2 + 5x +6 = 0

(x − 2) · (x + 2) · (x +3)

Las ra íces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.

46x3 + 7x2 − 9x + 2

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 1 3 + 7 · 1 2 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1) 3 + 7 · (−1) 2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P (2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2) 2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2

= 0

(x+2) · (6x 2−5x +1)

6x 2 −5x +1 = 0

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3