documento fusionado 8

7/23/2019 Documento Fusionado 8

http://slidepdf.com/reader/full/documento-fusionado-8 1/54

Módulo 2: Vectores,Derivabilidad y

gradiente

Unidad 3Lectura 3

Materia: Cálculo Avanzado

Profesor: Carlos Leonardo Di Prinzio



Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 2

“Las Matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el

Universo.”

Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano.

3 VECTORES

3 1 Punto en un espacio n dimensional

Un vector en un espacio n-dimensional (R n) es un segmento orientado que

se denota como:

,......)3,2,1( x x x P

Figura 1: Vector en 3D (R 3)

donde xi son las coordenadas del vector en cada eje i ortogonal del n-

espacio dimensional.

Para el caso 3-dimensional, el vector ),,( z y x P

puede ser visualizado en

la figura 1.




3 2 Producto escalar

Operaciones con vectores:

Producto escalar de dos vectores pertenecientes a la base canónica de (R 2

)(aplicable a R n):

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por

el coseno del ángulo que forman, por tanto, el producto escalar será un valor

real resultante de la expresión:

),cos(. vuvuvu

Propiedades:

0

)(

)()()(

0

uuvu

vwuwvuw

vk uvuk vuk

uvvu

uu

Expresión analítica del producto escalar:

Se la base canónica de R 2 ( )0,1(ˆ i y )1,0(ˆ j ) y ),( 11 y xu

y

),( 22 y xv

dos vectores cualesquiera. Si los expresamos en función de los

vectores de la base:

Aplicando las propiedades del producto escalar, obtenemos:

ji x y ji y x j j y yii x x j yi x j yi xvu ˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆˆ()ˆˆ( 212121212211

2121 y y x xvu

http://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml






3 3 Norma de un vector

Módulo de un vector:

Es fácil observar que:

2

0cos.),cos(. vvvvvvvvv

Analíticamente tengo:

2

1

2

111111111 )ˆˆ()ˆˆ( y x y y x x j yi x j yi xvu

Ángulo de dos vectores:

Dado que

,

obtenemos que

Vector unitario:

Es aquel cuyo módulo es la unidad, es decir, que la raíz cuadrada de la suma

de los cuadrados de sus componentes es la unidad:

Sea el vector , entonces el vector

es un vector unitario en la misma

dirección y sentido que , ya que:




Vectores ortogonales:

Dados dos vectores ),( 11 y xu

y ),( 22 y xv

, serán ortogonales si su

producto escalar es cero, es decir, forman un ángulo de noventa grados:

APLICACIONES DE LOS VECTORES:

Condiciones para que tres puntos estén alineados:

Los puntos

),( 11 y x A , ),( 22 y x B , ),( 33 y xC

están alineados si los vectores AB y BC tienen la misma dirección:

)12,12( y y x x AB y

)23,23( y y x x BC

O sea:

2323

1212

x x y y

x x y y

3 4 Rectas y Planos

RECTAS

Ecuaciones de la recta:




Sistema de referencia en el plano es la base canónica de R 2 ( )0,1(ˆ i y

)1,0(ˆ j )

La ecuación vectorial de la recta:

Dado un punto:

),( 00 y x A

y un vector director

),(21

uuu

Es:

),(),(),( 2100 uu y xu A y x

donde es un parámetro que indica el número de veces que un vector

unitario está contenido en el vector director.

La ecuación paramétrica de la recta:

Si despejamos x e y:

La ecuación continua de la recta:

Si despejamos en las dos ecuaciones y las igualamos:




La ecuación general o implícita:

.

Sustituyendo, y sabiendo que obtendremos:

0 cmynx

Donde:

1,2 umun

(Directamente no conocemos ni coordenadas del punto ni vector director)

La ecuación explícita:

bax y

Donde a es la pendiente )(1

2 tg

u

u

B

Aa

y b es la ordenada al origen

B

C b

Si la recta pasa por dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) entonces:

)(12

12 tg

x x

y ya

22 ax yb

La ecuación segmentaria:

La ecuación segmentaria es:

1

b

y

a

x

corta a los ejes de coordenadas en los puntos (a,0) y (0, b):




Ángulo de dos rectas:

a) Cuando conocemos los vectores directores entonces podemos hacer el

producto escalar y conocer el ángulo.

B) Cuando conocemos (directa o indirectamente) la pendiente de dos rectasm y m’ respectivamente utilizamos esta:

'1

')(

mm

mmtg

Plano:

Para determinar un plano se necesitan un punto ),,( 0000 z y x P y un vector),,( C B A N normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada

por la relación:

0)()()( 000 z z C y y B x x A

0 DCz By Ax

Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo

Caso particulares:

a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la

forma:

B.y + C.z + D = 0

Siendo el vector director normal al plano de la

forma:

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la

forma:




A.x + C.z + D = 0

Siendo el vector director normal al

plano de la forma:

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la

forma:

A.x + B.y + D = 0

Siendo el vector director normal al plano de

la forma:

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la

forma:

A.x + B.y + C.z = 0

e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la

ecuación general toma la forma:

C.z + D = 0 ; z = Cte.

Esta ecuación puede considerarsetambién como la correspondiente a un

plano paralelo al plano XOY.

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ.

Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

B.y + D = 0 ; y = Cte.




g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ.

Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + D = 0 ; x = Cte.

Ecuación segmentaria del plano:

Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación

segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los

ejes de coordenadas en los puntos

x = a ; y = b ; z = c.

Según lo anterior se tiene:

Po = (a,0,0) ; P1 = (0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ; P = (x,y,z)

Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:

y desarrollando el determinante:

b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c

o, lo que es igual :

3 5 Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores A y B es otro vector cuya dirección es

perpendicular a los dos vectores y su sentido esta dado por la regla de la

mano derecha. Su módulo es igual a:

sin B A B A




El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Ejemplos

Calcular el producto vectorial de los vectores )2,1,1()3,2,1( v yu

El producto vectorial de vu es ortogonal a los vectores. v yu

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide

con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

hvvuuv A sin




Ejemplo

Dados los vectores )4,3,2()1,1,3(

v yu , hallar el área del

paralelogramo que tiene por lados los vectores y ·

Área de un triángulo




Ejemplo

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3),

B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

3 6 Ejercicios

Vectores, modulo, producto escalar.

1)

Encontrar A+B, A-B ,3A ,-2B en cada uno de los siguientes casos:

a. 1) )1,1(),1,2( B A

b. 2) )1,1,1(),5,1,2( B A

c. 3) )4,0(),3,1( B A

d. 4) )3,1,1(),1,1,2( B A




2)

Encontrar la longitud de los vectores anteriores

3) Encontrar la proyección de los vectores A sobre los B.

4) Encontrar la proyección de los vectores B sobre los A.

5) Encontrar el coseno de los ángulos del triángulo cuyos vértices son:

a. (2,-1,1) (1,-3,-5)(3,-4,-4)

b. (3,1,1), (-1,2,1) (2,-2,5)

Rectas:

1) Encontrar la ecuación de la recta paramétrica que pasa por siguientes

puntos:

a. (1,1,-1) (-2,1,3)

b. (-1,5,2) (3,-4,1)

2) Encontrar la recta que es perpendicular a A y pasa por P para los

siguientes valores de A y P.

a. A=(1,-1) P=(-5,3)

b. A=(-5,4) P=(3,2)

3) Demostrar que las rectas:

3x-5y=1 y 2x+3y=5

No son perpendiculares.

4) ¿Cuál de las siguientes rectas son perpendiculares?

a. 3x-5y=1 2x+y=2

b.

2x+7y=1 x-y=5

c.

3x-5y=1 5x+3y=7

d.

– x+y=2 x+y=9

Planos:

1) Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al vector N y

pasa por el punto dado P:




a.

N=(1,-1,3) P=(4,2,-1)

b. N=(-3,-2,4) P=(2,П,-5)

c. N=(-1,0,5) P=(3,3,7)

2) Encontrar el plano que pasa por los siguientes 4 puntos:

a. (2,1,1) (3,-1,1) (4,1,-1)

b. (-2,3,-1) (2,2,3) (-4,-1,1)

c.

(-5,-1,2) (1,2,-1) (3,-1,2)

3)

Encontrar un vector perpendicular a (1,2,-3) y (2,-1,3) y otro vector perpendicular a (-1,3,2) y (2,1,1).

4) Sea P el punto (1,2,3,4) y Q el punto (4,3,2,1). Sea A el vector

(1,1,1,1). Sea L la recta que pasa por P y es paralela a A.

a.

Dado un punto X de la recta L, calcular la distancia entre Q y

X (como función del parámetro t).

b. Demostrar que existe un punto X0 en la recta tal que la

distancia resulta mínina y ese valor es 52

c. Demostrar que X0-Q es perpendicular a la recta.

5) Encontrar un vector paralelo a la recta de la intersección de los

planos:

2x-y+z=1 3x+y+z=2

La misma pregunta para:

2x+y+5z=2 3x-2y+z=3

6) Encontrar una ecuación paramétrica para las rectas de la intersección

de los planos anteriores.

7)

Sea P=(1,-1,2) Encontrar el punto de intersección con el plano:3x-4y+z=2




Con la recta que pasa por P y es perpendicular al plano.

8)

Sea Q=(1,-1,2) P=(1,3,-2) N=(1,2,2) Encontrar el punto de

intersección de la recta que pasa por P con dirección N con el planoque pasa por Q y que es perpendicular a N.

9)

Encontrar la distancia entre el punto y el plano indicados:

a.

(1,1,2) y 3x+y-5z=2

b. (1,3,2) 2x-4y+z=1

10)

Sea P=(1,3,-1) y Q=(-4,5,2) determinar las coordenadas de lossiguientes puntos:

a.

Punto medio del segmento de recta entre P y Q.

b. El punto que está a un quinto de la distancia de P y Q.

Producto vectorial:

1) Encontrar AxB para los siguientes vectores:

a.

A=(1,-1,1) B=(-2,3,1)

b. A=(-1,1,2) B=(1,0,-1)

2) Encontrar AxB y BxB de los ejercicios anteriores.

3) Calcular el área del paralelogramo determinado por los siguientes

vectores:

a. A=(3,-2,4) B=(5,1,1)

b. A=(3,1,2) B=(-1,2,4)




Bibliografía Lectura 3

1.

Brinton, George –

De Oteiza, Elena - Hass, Joel - Ibarra Mercado,Victor - Giordano, Frank - Palmas, Thomas - Palmas Velasco,Oscar - Velasco, Alfredo, - Weir, Maurice. Cálculo: Varias variables.

Edición: 11. Publicado por Pearson Educación, 2006.

2. Lang Serge. Cálculo I - S/D - Fondo educativo interamericano S.A. -

México (D.F.) - 1976

3. Lang Serge. Cálculo II - S/D - Fondo educativo interamericano S.A. -


Sitios de internet

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ (mayo 2011)

http://www.matematicas.net/ (mayo 2011)




gradiente

Unidad 4Lectura 4






“Las Matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza

suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.”

Bertrand Russell (1872-1970) Filósofo, matemático y escritor inglés.

4

DERIVACIÓN DE UN

VECTOR

4 1 La derivada

Funciones vectoriales:

Si t es una variable escalar, entonces una función escalar f asigna a cada t en

un intervalo único escalar f(t) llamado valor de f en t. En general la variable

representa el tiempo, un conjunto de coordenadas o parámetros

cualesquiera.

DEFINICIÓN Y NOTACIÓN.

Una función vectorial de variable real es una regla que hace corresponder a

un número real un valor vectorial:

2

21 :)()()()( R Rt f jt f it f t f

3

321 :)()()()()( R Rt f k t f jt f it f t f

Interpretación

Sea: 3

321 :)()()()()( R Rt f k t f jt f it f t f

Para cada t existe un vector cuyo punto inicial se encuentra en el origen de

coordenadas del sistema cartesiano rectangular y el punto final especifica el

punto ))(),(),((),,( 321 t f t f t f z y x P en el espacio

Es la ecuación paramétrica de la curva C

http://www.proverbia.net/citasautor.asp?autor=872





Ejemplo:

t 0 1 2 3

r r1 r2 r3 r4

C




Por otro lado

Como:

LÍMITES Y CONTINUIDADSe dice que el límite de una función f(t) es un vector a cuando t → t0,

excepto para el valor t0 entonces a es un vector límite de f(t) cuando t se

acerca t0 esto se expresa como:

0

0

0)(00)(lim

t t at f at f t t




Esta definición se vuelve el límite de una función escalar si se reemplaza f(t) por una función escalar y el vector a por un escalar.

Sea:

k a jaiat a

R Rt f k t f jt f it f t f

ˆˆˆ)(

:)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

321

3

321

k t f t t

jt f t t

it f t t

t f t t

ˆ)(lim

ˆ)(lim

ˆ)(lim

)(lim

3

0

2

0

1

00

Lo anterior se resume en:

330

220

110 )(

lim

)(

lim

)(

lim

at f t t at f t t at f t t

Continuidad

)(t f es continua en t o si cumple:

a) Si )(lim

0

t f

t t

existe




b) Si )( 0t f también existe

c) )()(lim

0

0

t f t f t t

Ejemplo:

Hallar el límite:

t t

t t t f

2,

1)cos(,

1

)sin()(

t t t t

t t

t t f

t 2lim,1)cos(lim,

1)sin(lim)(lim

2

1,

2,0)(

lim

t f

t

Estudiar la continuidad de: f(t) en t =0

1,

1

1,2)( t et

t t f

1

0

lim,

1

1

0

lim,2

0

lim)(

0

limt e

t t t t

t t f

t

2,1,2)(0

lim

t f

t

DERIVADA DE FUNCIONES VECTORIALES

Sea:

3

321 :)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()( R Rt f k t f jt f it f t f




La derivada de f(t) se define como:

')()()()(

0

limt f

dt

t f d

h

t f ht f

h

Por propiedades de límite tengo:

)')(,)'(,)'((ˆ')(ˆ)'(ˆ)'(')( 321321 t f t f t f k t f jt f it f t f

Reglas de Derivación.

Sean )()(,)( t ht g t f funciones vectoriales y )(t una función escalar

1)

2)

3) Producto Escalar

4) Producto vectorial

5)

6)

7) Regla de la cadena




Ejemplo:

Sea una función vectorial wt wt ebeat r )( donde a y b son vectores

constantes, satisfacen la ecuación de onda:

Por lo tanto, la solución )(t r es una onda. Resolviendo:

Reemplazando:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.

La derivada de una función vectorial en un punto es el vector tangente a la

curva en dicho punto.




Si t es el tiempo f(t) representa una trayectoria f`(t) será la velocidad

instantánea

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Las derivadas de orden superior de una función vectorial, se definen en

forma similar a la de un valor escalar de una sola variable.

Ejemplo:

Hallar: '')'(,')'(,)'( t r t r t r

k ht jt ait at r ˆˆ)sin(ˆ)cos()(

4 2 Longitud de arco

Si Una curva en el espacio está representada por, )(t f para un intervalo

entonces la longitud de la curva L está dada por la siguiente

expresión:

dt t f Lb

a ')(




ds es diferencial de arco

Ecuaciones paramétricas




La longitud de arco S(t) es una función de la variable escalar t desde un

punto fijo hasta t

dt t f t S t

a ')()(

Ejemplo:

Encontrar Lt S t S ),('),( en el intervalo

Si




COMPONENTE NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN

La rapidez v(t) de una partícula en el instante t es la magnitud del vector

velocidad , si S es el arco que mide la distancia de la partícula desde su punto de partida sobre un camino C desde su partida.




4 3 Regla de la cadena y sus

aplicaciones

Sea una función3:)( R Rt f y una función R R s g :)( podemos ver

que la función compuesta 3:))(()( R Rt g f sh .

Ejemplo:

)1,,()( t t et f t

)()( s sen s g

Podemos ver que:

)1)(),(,())(()( )( s sen s senet g f sh s sen

Regla de la cadena:

Si la curva3

:)( R Rt f es derivable y R R s g :)( es derivable en algún

intervalo donde la función )(t f está definida entonces la curva

3:))(()( R Rt g f sh es derivable y su derivada es:

ds

dg

dt

df

ds

dh

s g )(




La demostración es muy sencilla si se aplica la regla de la cadena a cada una

de las componentes de )(t f

4 4 Ejercicios

Vectores derivación:

1) Encontrar el vector velocidad de las siguientes curvas:

a. (et, cost, sen t)

b.

(cost , sin t)

c. (sin 2t, log(t+1),t)

d.

(cos(3t),sen(t))

2) En los ejercicios anteriores b) y d) demostrar que la velocidad es

perpendicular al vector posición.

3)

Si A y B son vectores. ¿Cuál es la velocidad de la curva A+tB?

4)

Encontrar la ecuación de un plano normal a la curva (et, t, t2) en el

punto t=0 y t=1.

5)

Demostrar que si el vector aceleración de una curva es siemprenormal a la velocidad entonces su velocidad es constante.

6) Escribir una ecuación paramétrica para la recta tangente a la curva

dada en el punto dado, en cada uno de los casos siguientes:

a. (cos4t, sen 4t, t) en el punto8

t

b. (t,2t,t2) punto (1,2,1)

c. (t,t2,t4) punto (1,1,1)

7) Sea A y B vectores fijos no nulos.

Sea:

X(t)=e2tA+e-2tB

Demostrar que X’’(t) tiene la misma dirección que X(t).

8) Demostrar que las curvas (et,e2t,1-e-t) y (1-θ,cos θ,sin θ) se intersecan

en el punto (1,1,0) ¿Cuál es el ángulo entre las tangentes en ese

punto?




Longitud de de curva:

1) Encontrar la longitud de la espiral (cos t, sen t, t) entre t=0, y t=1.

2) Encontrar la longitud de la espiral (cos 2t, sen 2t, 3t) entre t=1, t=3.

Regla de la cadena

1)

Encontrar la curvatura de la curva:

X(t)=(t,t2,t3)

En t=1, t=0 y t=-1.

2)

Encontrar la curvatura de la curva:

a. X(t)=(t,sint)

b. X(t)=(sen3t,cos3t)

c.

X(t)=(sen3t, cos3t,t)

3)

Encontrar la curvatura de la parábola y=x2.

4)

Encontrar la curvatura de la curva definida:

duu

t x

1

0

2

2cos)(

duu

t y

1

0

2

2sin)(

Curva de nivel:

1) Graficar las curvas de nivel para las funciones z=f(x,y), donde f(x,y)

está dado por:

a.

x2+2y2

b.

y-x2

c.

y-3x2




d.

x-y

e. 22 y x

xy

Derivadas parciales:

1) Si 22, y x

xy f Y X

demuestre que DYX (0,1) = -1

2) Si Y

Y X ae y x f sec, demuestre que DXY = DYX = sec (y) . tg (y)

3) Si 22254ln

,,t sr f

T S R demuestre que DRTS (rst)=

322254

320

t sr

rst

4)

SI = 22 224 y x x= r cos

y= r sen

Encuentre las posibles derivadas parciales de” ” e identifique a

cuál corresponden los siguientes valores:

a.

a)

22224

cos2

y x

ysen x

b.

b) 2r

42224

cos

y x

y xsen

5) Si Y X f Z , y 12 22 z yz x demuestre que las derivadas “cruzadas”

son iguales entre si y dan resultado 3 z y

xy

6) Si Y X f Z , e 0 z x sen y probar que YX XY Z Z

7) Si senY e z X demuestre que 02

2

2

2

Y

Z

X

Z




8) a) SI X senee z Y Y .2

1 demuestre que 02

2

2

2

Y

Z

X

Z

b) Si 22

1

,Y X

X

X

Y tg u Y X

demuestre que 0

2

2

2

2

Y

u

X

u

9) Si P.V=NRT siendo R una constante, demuestre que 1..

V

P

P

T

T

V

10) Si

322

,, Z YZ Y X f Z Y X , demuestre que:

Z Y X f Z ZDY YD X XD ,.

3





1. Brinton, George – De Oteiza, Elena - Hass, Joel - Ibarra Mercado,

Victor - Giordano, Frank - Palmas, Thomas - Palmas Velasco,

Oscar - Velasco, Alfredo, - Weir, Maurice. Cálculo: Varias variables.Edición: 11. Publicado por Pearson Educación, 2006.



3.

Lang Serge. Cálculo II - S/D - Fondo educativo interamericano S.A. -


Sitios de Internet






gradiente

Unidades 5 y 6Lectura 5






“Las Matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación

para la Filosofía.”

Isócrates (436 AC-338 AC) Orador ateniense.

5 FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES

Introducción:

Una función vectorial es una regla que a cada vector x de Rn le asigna como

imagen otro vector )( x f de Rm.

Ejemplo:

)1,1,3()2,1(

),,(),(

f

y x y x y x f

Ejemplo:

Hallar el dominio para la siguiente función vectorial

Para hallar el dominio de )( x f tenemos en cuenta:

1.

-No debe existir la división por cero

2. -No se admite raíces complejas

3. -No se admiten logaritmos complejos






Por lo tanto, el dominio es:

0)()0(),( 2 x y x y R y x Domf

x y x y R y x Domf )(),( 2

5 1 Gráficas y curvas de nivel

Sea una )( x f de Rn en R se denomina conjunto de nivel

con c constante.

Cuando n = 2 hablamos de una curva de nivel

Cuando n = 3 hablamos de una superficie de nivel

Si

c y x

y x x f

R R x f

1

)1()(

:)( 2

43

32

2110

y xc

y xc

y xc y xc




LÍMITES Y CONTINUIDAD

Si n R D se dice que D es un conjunto abierto si para todo r z 0 tal que

una esfera centrada de radio r centrada en 0 z esta contenida en D

4/ xy xy D

Ejercicios:

Encontrar los siguientes dominios:

a) 4/ xy xy D

b) 4/ xy xy D




LÍMITE

Sea una función mn R R f : se define el límite de esa función en un punto

0 x igual a A como:

A x x

x f

0

)(lim

Cuando:

A x f x x )(00 0

Propiedades.

a) Si A x x

x f

0

)(lim y c es una constante entonces:

Ac x x

x f c

x x

xcf

00

)(lim)(lim

b) Si A x x

x f

0

)(lim y B

x x

x g

0

)(limentonces:

CONTINUIDAD

Se dice que una función vectorial es continua en 0 x si

)()(lim

0o x f

x x

x f




5 2 Derivadas Parciales

La derivada parcial u f de )( x f con respecto a u se define mediante la

siguiente notación

u

wvu f wvuu f

uu

f f u

),,(),,(

0

lim

Si k f j f i f f ˆˆˆ321

Entonces:

u

f u

f u

f

u

wvu f wvuu f u

wvu f wvuu f u

wvu f wvuu f

uu

f f u

3

2

1

33

22

11

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

0

lim

La derivada parcial v f de )( x f con respecto a v se define mediante la

siguiente notación

v

wvu f wvvu f

vv

f f

v

),,(),,(

0

lim

La derivada parcial w f de )( x f con respecto a w se define mediante la

siguiente notación

w

wvu f wwvu f

ww

f f

w

),,(),,(

0

lim




Las derivadas parciales segundas de:

Propiedades:

)()( x g y x f son funciones vectoriales, es función escalar

1)u

x f x f

u x f

u

)())(())((

2)u

x g

u

x f x g x f

u

)()())()((

3)

u

x g x f x g

u

x f x g x f

u

)()())((

)())()((

4)u

x g x f x g

u

x f x g x f

u

)()())((

)())()((

Ejemplo:

Hallar:




5 3 Derivabilidad y Gradiente

Gradiente

El gradiente de una función escalar es un vector

“ ” Operador Nabla

Ejemplo:

Hallar el gradiente de en el punto

TEOREMAS Y PROPIEDADES

Sea f y g dos funciones esclares y c una constante

1) ))(())(( x f c xcf

2) ))(())(())()(( x g x f x g x f

3) )()()()())()(( x g x f x f x g x f x g




4)2)(

)()()()()

)(

)((

x g

x g x f x f x g

x g

x f

5 4 Ejercicios

Curva de nivel:

1) Graficar las curvas de nivel, para las funciones z=f(x,y) donde f(x,y)

está dado por:

a. x2+2y2

b.

y-x

2

c. y-3x2

d. x-y

e. 22 y x

xy

Derivadas parciales:

1) Si 22, y x

xy f Y X

demuestre que DYX (0,1) = -1

2) Si Y

Y X ae y x f sec, demuestre que DXY = DYX = sec (y) . tg (y)

3)

Si 22254ln

,,t sr f

T S R demuestre que DRTS (rst)=

322254

320

t sr

rst

4) SI = 22 224 y x x= r cos

y= r sen




Halle las posibles derivadas parciales de” ” e identifique a cuál

corresponden los siguientes valores:

a. a)

22 224

cos2

y x

ysen x

b. b) 2r

42 224

cos

y x

y xsen

5) Si Y X f Z , y 12 22 z yz x demuestre que las derivadas “cruzadas”

son iguales entre si y dan resultado 3 z y

xy

6) Si Y X f Z , y 0 z x sen y probar que YX XY Z Z

7) Si senY e z X demuestre que 02

2

2

2

Y

Z

X

Z

8) a) Si X senee z Y Y .2

1 demuestre que 02

2

2

2

Y

Z

X

Z

b) Si 22

1

,Y X

X

X

Y tg u Y X

demuestre que 0

2

2

2

2

Y

u

X

u

9) Si P.V=NRT siendo R una constante, demuestre que 1..

V

P

P

T

T

V

10) Si 322

,, Z YZ Y X f Z Y X demuestre que:

Z Y X f Z ZDY YD X XD ,.3




Derivabilidad y Gradiente:

1) Se va a construir una caja rectangular de 15cm de alto, 20 de ancho y 50

de largo. Las tablas tienen un error en su longitud de ± 0,01cm calcule:

a) error disperso en el cálculo de volumen

b) error relativo en el cálculo de volumen

2) En un instante dado la longitud de uno de los lados de un triángulo

rectángulo es de 10 cm y está aumentado a la rapidez de 1 cm /min y la

longitud del otro cateto es de 12 cm y está disminuyendo a la rapidez de 2

cm/min. Encuentre la rapidez de cambio de la medida del ángulo agudo

opuesto al cateto de longitud 12 cm en el instante mostrado.

3) El radio de un cilindro circular recto está creciendo a razón de 6 cm/min

y su altura decrece a razón de 4 cm/min ¿cuál es el ritmo de cambio de su

volumen y su área cuando el radio es de 12cm y la altura de 36 cm?

4) El radio “r” y la altura “h” de un cilindro circular recto se miden con un

posible error del 4% y del 2% respectivamente. Estime el valor máximo delerror relativo que se podría cometer en el cálculo del volumen.

5) La potencia eléctrica viene dada por P=E2/R, donde “E” es el voltaje y

“R” la resistencia. Estime el máximo porcentaje de error al calcular la

potencia si se aplican 200 voltios a una resistencia de 4000 ohmios con un

posible error del 2% y 3% para “E” y “R” respectivamente.




6 REGLA DE LA CADENA Y

GRADIENTE

6 1 La regla de la cadena

Sea una función de )( x f definida en R Rn y )(t es función definida

en n R R .

Podemos hacer una función compuesta de )( x f y )(t como:

))(( t f

Su derivada se calcula mediante la regla de la cadena como sigue:

dt

d f

dt

t df

))((

Ejemplo:

Sea una función de xy x x f 2)( 2 definida en R R 2 y

),()( cor senr t es función definida en 22 R R .

Calcular

d

t df ))((

Empecemos calculando el gradiente de f:

)cos),sin(cos(2)2,22( r r x y x f

Luego calculemos sólo la

d

d entonces:




)cos,sin(

r r

d

d

Luego:

222 cos2sin)cos(sin2))((

r r d

d f

d

t df

6 2 Plano tangente

Sea )( x f : y con f(x,y,z) = c donde c es una constante. Esta

función forma una superficie. Veremos que el gradiente es normal a lasuperficie en cada punto y el mismo define un plano que es tangente a la

superficie en cuestión.

Diferencia total de )( x f o diferencial de la función )( x f es:

Ahora un punto sobre la superficie

k t z jt yit xt r ˆ)(ˆ)(ˆ)()(




z

f

y

f

x

f f ,,

Un vector tangente a la función f(x) es:

k t t

z jt

t

yit

t

xt v ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

Si hagodt

df

t

z

z

f

t

y

y

f

t

x

x

f t v f

)(

Sabemos que si c x f )( su derivada será cero por lo tanto según

propiedades del producto escalar los vectores )(t v y f son ortogonales, por lo tanto, el gradiente es perpendicular a la superficie.

6 3 La derivada direccional

Sea )( x f con una función escalar, una función definida en el

conjunto abierto de un punto de D se define la derivada de

la función )( x f en , en la dirección del vector unitario denotado por:

Ejemplo:

Calcular la derivada direccional para:




Teorema

Si )( x f tiene

z

f

y

f

x

f f ,, se cumple que la derivada direccional va a

estar dada por:

e z

f

y

f

x

f x f e D

,,)(

Teorema

El valor máximo de la derivada direccional es igual al modulo del gradiente

6 4 Ejercicios

Derivada y gradiente:

1) La ecuación de la superficie de una montaña es Z=1200-3X2-2Y2 donde

la distancia se mide en pies, el eje X apunta al este y el eje Y apunta al

norte. Un montañista se encuentra en el punto correspondiente a las

coordenadas (-10, 5, 850) calcule

a.

¿Cuál es la dirección más pronunciada de la ladera? (Rumbo)




b.

Si el montañista se mueve hacia es norte ¿está ascendiendo o

descendiendo?

c. Si el montañista se mueve en dirección nor-oeste ¿está ascendiendo

o descendiendo?

d.

¿En qué dirección recorrería una trayectoria a nivel?

2) La temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una placa

metálica viene dada por T(X,Y)=20-4X2-Y2, midiéndose “X” y “Y” en cm,

desde el punto (2,-3) ¿en qué dirección corre la temperatura más

rápidamente? ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?

3) La temperatura en el punto (X,Y) de una placa viene dada por:

Hallar la dirección de mayor crecimiento del calor desde el punto (3,4)

4) Si “V” es el potencial eléctrico en cualquier punto (X,Y,Z) en el espaciotridimensional y 222 Z Y X V . Encuentre la rapidez de cambio de

“V” en el punto (2,2-1) en la dirección del vector k ji ˆ6ˆ32

y la

dirección de mayor rapidez de cambio de “V” en (2,2,-1).

5) Supongamos que la superficie del cerro de las adyacencias de la

UEsiglo21 se define por la ecuación Z=900-3XY. Donde la distancia se

mide en metros. El eje “X” apunta hacia el oeste y el eje “Y” apunta hacia

el sur. Un estudiante se encuentra en el punto (50,4,300):

a) ¿Cuál es la dirección de mayor pendiente?

b) Si el estudiante avanza hacia el norte, ¿asciende o desciende?

c) ¿En qué dirección recorrería una trayectoria a nivel?

d) Si sigue un rumbo S30°E ¿está ascendiendo?

22Y X

X T




Plano tangente:

1) Halle la ecuación del plano tangente y la recta normal en el punto dado

a) 1,1,1,0 P Z XYZ Ln XYZ 2X+2Y+Z-5=0

1

1

2

1

2

1 Z Y X

b) 1,0,12, P Xe Z

Y 02 Z Y X 1

1

2

0

1

1

Z Y X

c) 3,0,2

222 ,18

P XZ ZY YX 0541249 Z Y X

12

3

49

2

Z Y X

d) 4,2,122 ,9 P Z Y X 1442 Z Y X

1

4

4

2

2

1

Z Y X

e) 4/,1,11 , P tg Z X

Y 22 Z Y X 21

11

1 4

Z Y X

f) 2,1,12 , P e X Z Y 12 Z Y X

1

2

2

1

1

1

Z Y X

2) Halle el ángulo de inclinación del plano tangente a la superficie dada en

el punto indicado.

a) 1,2,2

222

,131212

P Z Y X

=35,3°

b) 5,2,222

,1523 P Z Y X =86°

c) 3,2,122 ,0 P Z Y X =77,4°




3) Halle un punto de la superficie 1232 222 Z Y X donde el plano

tangente es perpendicular a la recta

X= 1+2t

Y= 3+8t

Z= 2-6t

4) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva intersección del

elipsoide 2724 222 Z Y X y en hiperboloide 112 222 Z Y X en

el punto (3,-2,1)

5) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva intercepción entre

las superficies

041449 222

,, Z Y X f Z Y X y 01032 222

,, Z Y X f Z Y X

en el punto (1,2,2 )

6) Encuentre los puntos del hiperboloide 1642 222 Z Y X en los cuales

el plano tangente a la superficie es paralelo al plano 4X-2y+4z=5

7) Encuentre el punto en el que el plano tangente a la superficie

Z=X2+2XY+2Y2-6X+8Y es horizontal.




1. Brinton, George – De Oteiza, Elena - Hass, Joel - Ibarra Mercado,

Victor - Giordano, Frank - Palmas, Thomas - Palmas Velasco,

Oscar - Velasco, Alfredo, - Weir, Maurice. Cálculo: Varias variables.Edición: 11. Publicado por Pearson Educación, 2006.



3. Lang Serge. Cálculo II - S/D - Fondo educativo interamericano S.A. -


Sitios de Internet



documento fusionado 8

Documents