8. regresion y correlacion, segundo documento, 2015

Regresin y Correlacin Lineal Simple Abril, 2014

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Dra. Olivia de Higueros 1

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO METROPOLITANO CUM- FACULTAD DE CIENCIAS MDICAS Fase I Primer Ao U.D. Estadstica

REGRESIN Y CORRELACIN LINEAL SIMPLE En proyectos de investigacin, con frecuencia se desea obtener algn conocimiento acerca de la relacin entre dos variables; por ejemplo es posible que se tenga inters en analizar la relacin entre: la presin arterial y la edad, el consuno de algn alimento y la ganancia de peso, la intensidad de un estmulo y el tiempo de reaccin, la concentracin de un medicamento y la frecuencia respiratoria, etc. Las variables antes mencionadas son variables cuantitativas o numricas, esto no significa que solamente sobre ste tipo de variables pueda realizarse investigaciones con el propsito de detectar relacin entre ellas, en las variables cualitativas o categricas tambin es posible hacer estudios semejantes, sin embargo, las pruebas estadsticas son diferentes. Al investigar la relacin entre variables, suele tenerse inters tanto en la naturaleza como en la intensidad de la relacin, situaciones que son examinadas por medio de los anlisis de regresin y correlacin, las cuales son tcnicas que, aunque estn relacionadas sirven para propsitos diferentes. El trmino regresin lineal se refiere al hecho de que correlacin y regresin miden slo una relacin en lnea recta o lineal, entre dos variables. Cuando se utiliza el trmino simple, se refiere a la situacin donde slo se usa una variable explicatoria (independiente) para predecir a la otra (dependiente). En la regresin mltiple se incluye ms de una variable explicatoria (independiente) en la ecuacin de prediccin.

NOTA: Te recomiendo que al ir leyendo ste documento tambin anotes en tu cuaderno los conceptos que vayas encontrando, como que fueras a hacer un mapa conceptual. Pon mucha atencin durante tu lectura, y trata de describir posteriormente dichos conceptos, en otras palabras, debes dar las respectivas definiciones, a los conceptos que has listado.

Modelo de Regresin El anlisis de regresin es til para averiguar la forma probable de relacin entre las variables; su objetivo final es predecir o estimar el valor de una variable, que corresponde al valor de la otra variable con la cual se est relacionando.1

1 Dawson Saunders, Beth; Trapp, Robert G. Bioestadstica Mdica. pp. 204

Documento elaborado por:

Dra. Olivia de Higueros


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Eres hoy lo que decidiste ayer, sers maana lo que decidas hoy. Recuerda, T decides!

En la mayora de los casos, los investigadores cuentan con los datos de una muestra. Tomando como base los resultados del anlisis de los datos de la muestra, se pretende llegar a decisiones respecto a la poblacin, de la cual se extrajo la muestra, proceso conocido como inferencia estadstica. Por lo anterior, es importante que los investigadores comprendan la naturaleza de las poblaciones para que puedan elaborar un modelo matemtico que la represente o, determinar si se ajusta razonablemente a algn modelo ya establecido. Por ejemplo, si un investigador va a analizar un conjunto de datos mediante los mtodos de regresin lineal simple, debe estar seguro de que el modelo de regresin lineal simple proporciona una representacin al menos aproximada de la poblacin.2 Como se dijo con anterioridad el anlisis de regresin lineal simple es til para averiguar la forma probable de la relacin entre dos variables, X y Y. La variable X se conoce (por lo general) como variable independiente, ya que frecuentemente se encuentra bajo el control del investigador, es decir, los valores de X pueden ser seleccionados por el investigador para obtener uno o ms valores de Y, en correspondencia con los valores de X. En consecuencia, la otra variable, Y, se conoce como variable dependiente, y se habla de regresin de Y sobre X. La variable independiente suele ser llamada, por otros autores, variable explicatoria y la variable dependiente, de variable de respuesta. En general, la caracterstica explicatoria es la que se presenta primero o es ms fcil de medir.3 Supuestos que fundamentan la regresin lineal simple:

a. Se dice que los valores de la variable independiente X son fijos, son previamente seleccionados por el investigador. Algunos autores la demominan variable no aleatoria.

b. La variable X se mide sin error. Dado que ningn procedimiento de medicin es perfecto, esto significa que la magnitud del error de medicin en X es insignificante.

c. Para cada valor de X existe una subpoblacin de valores Y. d. Todas las variancias de las subpoblaciones de Y son iguales e. Todas las medidas de las subpoblaciones de Y se encuentran sobre la misma lnea

recta. Lo que se conoce como suposicin de linealidad. f. Los valores de Y son estadsticamente independientes. Diagrama de Dispersin

El primer paso, generalmente til en el estudio de la relacin entre dos variables, es elaborar un Diagrama de Dispersin. Este diagrama es una grfica en un sistema de ejes, de todos los pares de datos recolectados de las variables en estudio. En el eje horizontal se coloca la escala que permitir la localizacin de los datos de la variable independiente (X) y en el eje vertical la escala correspondiente para los datos de la variable dependiente (Y). Se procede a graficar, colocando un punto por cada pareja de datos (para cada valor de X, su correspondiente en Y).

2 Daniel, Wayne W. Bioestadstica. Base para el Anlisis de las Ciencias de la Salud. pp. 454

3 Dawson Saunders, Beth; Trapp, Robert G. Bioestadstica Mdica. pp. 194.


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Al construir un diagrama de dispersin es conveniente elegir las escalas de los ejes, de tal manera que la amplitud de los valores sobre el eje vertical sea igual o ligeramente menor que la amplitud sobre el eje horizontal.4

El diagrama de Dispersin ayuda a visualizar la forma de la relacin entre las variables, tambin permite observar si hay alguna relacin; porque si se evidencia grficamente que no hay relacin, o por lo menos no es una relacin lineal, automticamente no se continuara con ms anlisis o clculos.

A continuacin se presentan algunos diagramas de dispersin, elaborados con datos hipotticos, con el objetivo de ilustrar diversas situaciones:

A

Correlacin positiva

B

No hay correlacin

C

Correlacin perfecta positiva

o directa

D

Correlacin negativa

E

No hay correlacin

F

Correlacin perfecta negativa o

inversa

G

H

I

Correlacin no lineal o curvilnea

4 Johnson, Robert. Estadstica Elemental pp. 95


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Recta de Mnimos Cuadrados Al analizar los diagramas de dispersin que se muestran anteriormente, puede observarse que algunos representan una relacin lineal entre las variables. Para hacer ms evidente o visible la relacin, puede trazarse una lnea recta a travs de la nube de puntos, que representan los valores de las variables, para indicar la direccin de la relacin, aunque en algunos casos no lo ameritara (figuras C y F). Para trazar dicha lnea recta, existe el mtodo de mnimos cuadrados, y la recta resultante, se conoce como recta de mnimos cuadrados, que es un medio para determinar la ecuacin de la lnea que se ajusta con precisin al conjunto o nube de puntos. De acuerdo con los conceptos bsicos de lgebra, la ecuacin general de una recta est dada por la expresin:

y = a + bx

Donde:

Y: es un valor sobre el eje vertical o valor de la variable dependiente.

X: un valor sobre el eje horizontal o valor de la variable independiente.

a: es la ordenada al origen, por lo tanto es el punto donde la recta de mnimos cuadrados cruza el eje vertical.

b: es la pendiente de la recta e indica la cantidad con la cual Y (variable dependiente) cambia por cada unidad de cambio en X (variable independiente).

Para calcular los valores de a y de b, se cuenta con las siguientes frmulas:

b = n xy (x) (y) n x2 (x)2

a = y - bx n

Dado que para trazar una recta son necesarios dos puntos, y en el diagrama de dispersin, cada punto est formado por un valor de X y un valor de Y, se puede entonces por medio de la ecuacin (y = a + bx) calcular los valores de Y, para dos valores de X dados. Al unir los puntos que estas dos parejas de datos permiten ubicadas en el sistema de coordinadas se obtiene la recta correspondiente a la ecuacin. Una vez se tiene la mejor recta para describir la relacin entre las dos variables, es necesario determinar bajo qu criterio se considera mejor; y es mejor en el sentido que:

La suma de las desviaciones verticales al cuadrado de los puntos correspondientes a los datos observados (yi) a partir de la recta de mnimos cuadrados es menor que la suma de las desviaciones verticales al cuadrado de los puntos de los datos que forman cualquier otra recta.


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Predecir o Estimar Con anterioridad se mencion que el objetivo final del anlisis de regresin es, predecir o estimar el valor de una variable que corresponde al valor dado de otra variable, en otras palabras, el valor de la variable dependiente (Y), que corresponde a un valor dado de la variable independiente (X). Para calcular una estimacin o prediccin se hace uso de la ecuacin utilizada para trazar la recta de mnimos cuadrados:

= a + bx (la variante del smbolo indica que es y calculada).

Modelo de Correlacin El anlisis o modelo de correlacin se refiere a la medicin de la intensidad de la relacin entre variables. En otras palabras, la correlacin es bsicamente una medida de la relacin entre dos variables. Debe advertirse que tales relaciones no necesariamente implican que una sea causa de la otra, ste podra o no ser el caso. En algunas situaciones se observa que dos variables estn relacionadas debido a que se asocian o son causadas por una tercer variable, denominada sta ltima variable interviniente o de confusin. Coeficiente de Correlacin El diagrama de dispersin permite visualizar la relacin entre las variables, sin embargo es necesario medir que tan fuerte o dbil es la relacin. La magnitud o intensidad de la relacin lineal entre dos variables se mide con el

coeficiente de correlacin de Pearson, conocido como r de Pearson). Este coeficiente puede tener valores que pueden ir de -1 a 1 (-1 r 1). Entre ms se acerca a la unidad, el valor del coeficiente, mayor relacin hay entre las variables. El signo positivo o negativo indica el tipo de relacin entre las variables; si es positivo significa que al aumentar la variable independiente tambin lo hace la dependiente; y si es negativo, al aumentar la variable independiente, la dependiente disminuye. Para el clculo del coeficiente de correlacin existen varias frmulas. Se utilizar la que se detalla a continuacin:

r =. n x y ( x ) ( y ) .

n x2 (x)2 n y2 (y)2

Nota: En el denominador debe tomarse en cuenta que: x

2 no es lo mismo que (x)

2; el

primero indica que cada valor de X debe elevarse al cuadrado y luego sumarlos; en tanto que el segundo indica que es la sumatoria de los valores de X la que debe elevarse al cuadrado.


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Una vez calculado el coeficiente de correlacin, es necesario interpretarlo, la forma de interpretacin suele variar de un autor a otro, por lo que, con fines docentes, y para unificacin de criterios, se tom la informacin que a continuacin se presenta:

Gua para interpretacin del coeficiente de correlacin

(r de Pearson)5.

Valor de r

Correlacin Con signo positivo

Con signo negativo

1.00

Grande, perfecta

Positiva o Directa

Negativa o Inversa

0.90 0.99 Muy alta

positiva

Negativa 0.70 0.89 Alta 0.40 0.69 Moderada 0.20 0.39 Baja 0.01 0.19 Muy baja

0.00 Nula

Ejemplo: Se realiz una investigacin en pacientes con fibrosis qustica que reciben teraputica de reemplazo con enzimas pancreticas; se midi la cantidad de lpidos en heces y prdida de energa en las evacuaciones de 20 nios.6 Los datos obtenidos se presentan a continuacin:

Sujeto

Lpidos fecales

(g/da) Energa fecal

(MJ/da) Sujeto Lpidos fecales

(g/da) Energa fecal

(MJ/da)

1 10 2.1

11 3.2 1

2 11 1.1

12 4 0.5

3 9.9 1.1

13 6 0.9

4 9.8 0.9

14 8.9 0.8

5 15.5 0.7

15 9.1 0.6

6 5 0.4

16 4.1 0.5

7 10.7 1

17 17 1.2

8 13 1.5

18 22.2 1.1

9 13.8 1.2

19 2.9 0.9

10 16.7 1.4 20 5 1

Con la informacin anterior puede procederse a realizar el anlisis de regresin y correlacin lineal simple, que consiste en:

5 Tomado de Estadstica Psico-Educativa

6 Tomado de Dawson Saunders, Beth; Trapp, Robert G. Bioestadstica Mdica pp. 193 Estudio elaborado por

Murphy y colaboradores (1991). La informacin del problema fue tomada realizando algunas modificaciones y

omisiones, con fines didcticos.


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1. Anlisis de regresin:

a. Diagrama de dispersin

b. Clculo de los valores de a y de b

c. Trazo de la recta de mnimos

cuadrados

d. Estimacin o prediccin

2. Anlisis de correlacin:

a. Clculo e interpretacin

del coeficiente de

correlacin.

Para los clculos a realizar, es necesario elaborar una tabla de trabajo, con la informacin que se requerir, segn las frmulas a utilizar, como la siguiente:

Sujeto

Lpidos fecales

(g/da) x

Energa fecal

(MJ/da) y x*y x2 y2

1 10 2.1 21 100 4.41

2 11 1.1 12.1 121 1.21

3 9.9 1.1 10.89 98.01 1.21

4 9.8 0.9 8.82 96.04 0.81

5 15.5 0.7 10.85 240.25 0.49

6 5 0.4 2 25 0.16

7 10.7 1 10.7 114.49 1

8 13 1.5 19.5 169 2.25

9 13.8 1.2 16.56 190.44 1.44

10 16.7 1.4 23.38 278.89 1.96

11 3.2 1 3.2 10.24 1

12 4 0.5 2 16 0.25

13 6 0.9 5.4 36 0.81

14 8.9 0.8 7.12 79.21 0.64

15 9.1 0.6 5.46 82.81 0.36

16 4.1 0.5 2.05 16.81 0.25

17 17 1.2 20.4 289 1.44

18 22.2 1.1 24.42 492.84 1.21

19 2.9 0.9 2.61 8.41 0.81

20 5 1 5 25 1

197.8

19.9

213.46

2489.44

22.71


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a. Diagrama de dispersin:

c. Trazo de recta de mnimos cuadrados

Recordemos que para trazar una lnea recta son necesarios dos puntos, por lo

tanto se deben calcular dos valores de Y, para dos valores de X, de la

b. Clculo de los valores de a y de b

b = n xy (x) (y) n x2 (x)2

b = 20(213.46) (197.8) (19.9) 20(2489.44) (197.8)2

b = 4269.2 3936.22 49788.8 39124.84

b = 0.031224798

b 0.03122 Interpretacin: Por cada g/da de lpidos fecales, la energa fecal se modifica en 0.031; y como la relacin es positiva se puede interpretar de mejor manera as: Por cada g/da de lpidos fecales que aumenta, la energa fecal aumenta en 0.031 MJ/da;

a = y - bx n

a = 19.9 0.031224798 (197.8) 20

a = 19.9 6.176265102 20

a = 0.686186744

a 0.6862

El valor de a indica el punto donde la recta de mnimos cuadrados atraviesa el eje Y, por ello tambin se le llama ordenada al origen.


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distribucin que se tiene, para poder localizar los puntos respectivos que permitan el trazo de la recta.

Algunos autores opinan que se tome los valores extremos de X y otros que pueden ser cualquiera de los valores de X; el caso es que deben localizarse dos puntos.

y = a + bx

y = 0.686186744 + 0.031224798 (2.9) y = 0.776738659 0.7767 X=2.9 Y=0.7767

y= 0.686186744 + 0.031224798 (22.2) y = 1.379377267 1.3794 X=22.2 Y=1.3794 Nota: Con el fin de unificar criterios, para los clculos se deben utilizar todos los decimales y se deber aproximar hasta la respuesta final.

d. Estimacin o prediccin

Con anterioridad se dijo que la frmula para calcular la recta de mnimos cuadrados es til para estimar o predecir.

= a + bx

Ejemplo: Qu cantidad de energa fecal se espera para un paciente a quien se le encontr 20.5 g/da de Lpidos fecales?

= 0.686186744 + 0.031224798 (20.5) = 1.32629511 = 1.3263 R// Para un paciente a quien se le encontr 20.5 g/da de lpidos fecales, se espera que tenga 1.3263 MJ/da de energa fecal.


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Clculo e Interpretacin del Coeficiente de Correlacin

(r de Pearson)

r = n x y ( x ) ( y ) n x2 (x)2 n y2 (y)2 r = . 20 (213.46) (197.8) ( 19.9) . 20

(2489.44) (197.8)2 20(22.71) (19.9)2

r = . 4269.2 3936.22 . 49788.8 39124.84 454.2 396.01

r = . 3936.22 . 787.740968

r = 0.422702402 r 0.42

Interpretacin:

El valor del coeficiente de correlacin (r=0.42) indica que existe una correlacin moderada positiva entre las variables.

Ejercicios SERIE I

A continuacin se te presenta una serie de incisos, elabora lo que en cada uno se solicita:

Escribe las caractersticas y la utilidad del: 1. Anlisis de Regresin Lineal Simple.

2. Anlisis de Correlacin Lineal Simple.

3. Diagrama de dispersin.

Explica el valor de:

4. b

5. r

6. a

7.

SERIE II

A continuacin encontrars una serie de problemas, elabora los incisos que en cada uno se te presentan:

1. A 12 alumnos de un centro se les pregunt a qu distancia estaba su residencia del

establecimiento educativo, con el fin de estudiar si esta variable estaba relacionada con la nota media o promedio obtenida en su rendimiento acadmico. A continuacin se presentan los datos obtenidos:


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Distancia (en km) 0,05 0,1 0,12 0,4 0,5 0,7 1 1,2 2,5 2,1 3 3

Nota media

8.4 4 5.7 9.1 6.3 6.7 4.3 5.4 7.8 4.5 7.2 8.1

a. Elabora un diagrama de dispersin.

b. Traza la recta de mnimos cuadrados e indica si existe relacin lineal entre

las dos variables, explica.

c. Calcula el valor de la ordenada al origen.

d. Calcula el valor de la pendiente de la recta.

2. Se midi peso y circunferencia de la cintura en 10 mujeres, que ingresarn a una

rutina en un gimnasio capitalino; los datos son los siguientes:

Peso (lb) 108 143 120 143 111 137 154 123 104 128 Circunferencia de cintura (cm)

55 72.5 65 67.5 67.5 62.5 75 70 65 62.5

a. Cul es la variable dependiente?

b. Elabora un diagrama de dispersin.

c. Calcula el valor de la ordenada al origen.

d. Calcula el valor de la pendiente de la recta.

e. Qu valor tiene r? interpreta el resultado

f. Para una mujer con peso de 140 libras, cunto se espera que tenga de

circunferencia de cintura?

3. A continuacin se presentan los resultados de las mediciones de glucosa en un

grupo de pacientes diabticos, despus de la ingesta de un medicamento alternativo que se tiene en investigacin, para el tratamiento de dicha enfermedad.

No. De Paciente 1 2 3 4 5 6 7 Nivel de glucosa (mg/dl)

95.5 210 156 150 185 100 75.9

Cantidad de medicamento (mg)

10 5 9 7 6 8 12

Del problema anterior puede afirmarse lo siguiente:

a. La variable independiente es el nivel de glucosa

b. Por cada mg/dl que se modifica la glucosa, el medicamento vara en 0.043


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c. El valor en el eje y donde atravesara la recta de mnimos cuadrados es de 14.07

d. El coeficiente de Pearson (r) indica una correlacin alta entre las variables

De las alternativas anteriores solamente una es correcta, explica porqu no pueden ser correctas cada una de las restantes.

Para una ingesta de 7.5 mg, del medicamento, se esperara lo siguiente:

a. Que el nivel de medicamento fuese de 214.19

b. Que el nivel de glucosa fuese de 150.69 mg/dl

c. La glucosa estimada sera de 14.39 mg/dl

d. La glucosa disminuir 18.31 mg/dl para la ingesta de 7.5 mg

De las alternativas anteriores solamente una es correcta, explique porqu no pueden ser correctas cada una de las restantes.

4. A continuacin se presenta los resultados obtenidos en la investigacin de tres grupos de pacientes, analiza los datos y responde: a. Cul de los grupos presenta resultados incongruentes, explica porqu? b. Interpreta la relacin entre las variables, de los otros dos grupos.

Grupo A Grupo B Grupo C

a = 0.96 b = 1.25 r = 0.91

a = 79.84 b = - 3.12 r = - 0.70

a = 21.42 b = - 2.5 r = 0.76

BIBLIOGRAFA

1. Daniel, Wayne W. Bioestadstica. Base para el Anlisis de las Ciencias de la Salud. 3a. Edicin. Editorial Limusa. Mxico. 1999.

2. Levin, Jack. Fundamentos de la Estadstica en la Investigacin Social, 2. Edicin, Editorial Harla, Mxico.

3. Pagano, Marcelo; Gauvreau, Kimberlee. Fundamentos de Bioestasstica 2. Edicin, 2000. Editorial Thomson Learning. Mxico D.F.

4. Dawson Saunders, Beth; Trapp, Robert G. Bioestadstica Mdica 2a. Edicin, 1999. Editorial El Manual Moderno. Mxico D.F,

5. Johnson, Robert, Estadstica Elemental. Grupo Editorial Iberoamrica. Mxico D.F. 1991

6. Wonnacott, Thomas; Wonnacott, Ronald. Introduccin a la Estadstica. 2. Edicin, 1997. Editorial Limusa. Mxico D.F.


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7. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Correlacion_regresion_recta_regresion/correlacion_y_regresion.htm

8. http://www.slideshare.net/gracielacoach/regresion-y-correlacion-presentation

9. http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/RegresionLineal.pdf

10. http://web.usal.es/~javisan/hidro/practicas/correlacion/Correlacion_explicacion.pdf

ANOTACIONES FINALES

Es probable que al concluir con la lectura del documento y la elaboracin de los ejercicios uno de los pensamientos sobre el tema es que el procedimiento es muy largo, sin embargo, recuerda que cuentas con el programa Excel y tambin con tu calculadora cientfica, quienes te ayudarn a hacerte menos engorroso el trabajo. No olvides que el nfasis est en: la eleccin adecuada de la utilizacin de ste tipo de anlisis estadstico y en la interpretacin de los resultados. Algunos Tips: Recuerdas cmo utilizaste tu calculadora para introducir los datos y poder calcular la media aritmtica y la desviacin estndar, en una distribucin de frecuencias? De forma similar se realiza para regresin y correlacin: 1. Ahora no es MODO estadstico sino MODO RL (Regresin Lineal)

2. Se introducen los datos en parejas, antes se haca introduciendo el dato de la

variable y luego el de la frecuencia, ahora se introduce el dato de X y luego el dato de Y.

3. Recordars que entre el dato de la variable y la frecuencia deba colocarse el signo por (que en otras calculadoras era una coma o punto y coma) ahora entre los datos de X y Y debe colocarse una coma. Si en tu calculadora, en el procedimiento anterior era una coma, quiz ahora sea un punto y coma; debers investigar cmo funciona tu calculadora.

4. El ltimo paso era oprimir la tecla Dt (data o M+) para introducir la informacin de cada pareja de datos, a la memoria de la calculadora.

Recuerda que tambin cuentas con internet, he visto videos que te pueden ayudar a utilizar el programa Excel, para realizar estos clculos y anlisis; por si an no lo puedes hacer, lnzate a navegar, te aseguro que aprenders esto y mucho ms.

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