INSTITUCION EDUCATIVA ALMIRANTE PADILLA

ALGEBRA.

Conceptos Básicos

Ecuación: Una ecuación es una igualdad matemática con una o más variables.

1) 3x – 2 = 8 + 4x 2) 7x + 5y = 12 3) 8z/3 +6 = 9 4) 6y2 + 3x = 12

En la ecuación uno podemos identificar que 3x – 2 es el primer miembro, y 8 + 4x es el segundo

miembro.

Ecuación Lineal: Es aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las

incógnitas no están elevadas a potencia

Como despejar la variable en una ecuación.

Despejar la variable de una ecuación dependerá si esta es de primer grado, o de segundo grado.

Para despejar ecuaciones de primer grado deberemos seguir estos pasos:

- Reconocer que la variable o valor desconocido el cual hay que despejar y calcular.

- Tenemos que recordar que todos los términos que están multiplicando en un lado,

pasan al otro lado de la igualdad a dividir y los que están dividiendo pasan al otro lado de la

igualdad a multiplicar.

- En cuanto a los términos que están sumando pasan al otro lado de la igualdad a restar y

los que están restando pasan al otro lado del igual sumar.

- Para despejar una potencia al cuadrado debemos aplicar raíz cuadrada a ambos miembros

de la igualdad y para eliminar la raíz cuadrada elevamos al cuadrado a ambos miembros de la

igualdad

EJEMPLO

• Tenemos esta ecuación: 2x + 3 = 13

• Como el 3 está sumando a 2x se pasa a restar al lado del 13 (2x = 13 – 3)

• Hacemos la resta (2x=10)

• Necesitamos despejar a x, entonces pasamos el 2 que está multiplicando a x,

• A dividir al 10 (x = 10 / 2)

• De este modo el resultado será x= 5

Ejemplo

a. Área: DOCENTES Jornada email Celular WhatsApp

Asi

gna

tura

s

algebra Ricardo Montero

única riardomontero@inealpa.edu.co 3164527888 3164527888

algebra

trigonometría

Estadística

Fecha de inicio: 15 marzo 2021 Fecha de devolución: 2 de abril 2021

La suma de las edades de Jaime y Liliana es 84 años, Liliana tiene 8 años menos que Jaime

¿Hallar las dos edades?

Sea x la edad de Jaime, Como Liliana tiene 8 años menos sería.

x - 8 edad de Liliana

Como la suma de las edades es 84 entonces formamos la ec.

x+ x - 8 = 84

Resolviendo

2x = 84 +8

2x = 92

X = 92/2

X =. 46

Como la edad de Liliana es x - 8 años menos

46 - 8 = 38

R / Jaime tiene 46 y Liliana 38

Sistema de Ecuaciones: Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que

conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que

satisfacen las ecuaciones.

7x – 4y = 5

9x + 8y = 13

Este es un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 porque tiene dos ecuaciones lineales, con dos

incógnita.

Método de solución de dos ecuaciones con dos incógnitas: La solución de un sistema de

ecuaciones son los valores que toman las variables que satisfacen las dos ecuaciones.

Para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas vamos

aplicar los siguientes métodos:

1. El método de igualación.

2. El método de reducción, también de suma o resta.

.Aplicación:

1. Método de igualación: ejemplo

https://lasmatesfaciles.com/

Método de reducción o de suma y resta

El método de eliminación consiste en realizar la sumatoria de ambas ecuación con la finalidad

de que alguna de las incógnitas desaparezca en el resultado de dicha operación.

Por lo general, es necesario realizar una serie de pasos pertinentes para que ambas ecuaciones

lo permitan.

Paso 1. Se preparan las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.

Para ello elegimos arbitrariamente cuál incógnita queremos eliminar; en este caso optamos por

eliminar a la variable x.

EJEMPLO 1

2x + 3y = 20 Ecuación 1

X – 2y = 3 Ecuación 2

Analicemos: en la Ecuación 1, la variable x viene representada por un 2x. Esto implica que para

eliminarla al sumar dicha ecuación con la Ecuación 2, esta última debería tener un -2x con el cual

cancelarse o eliminarse. Por lo tanto es pertinente multiplicar la Ecuación 2 por un factor de -2 de

la siguiente manera:

Ecuación 2n = Ecuación 2 nueva

Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones.

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante.

Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

En este caso elegimos reemplazar en la Ecuación 2

https://lasmatesfaciles.com/

EJEMPLO 2

5x + 6y =20 Ecu 1

4x – 3y = - 23 Ecu 2

En este ejemplo vamos a igualar los coeficientes de x en ambas ecuaciones por lo tanto

multiplicamos la Ecu 1 por -4 y la Ecu 2 por 5

-4 (5x + 6y =20) tendremos -20x – 24y = -80 Ecu 3

5 (4x – 3y = -23) tendremos 20x - 15y = -115 Ecu 4

Ahora sumamos las Ecu 3 y la Ecu 4

-20x – 24y = -80 Ecu 3

20x – 15y = -115 Ecu 4

----------------------

0 - 39y = - 195 entonces y = -195 / -39 ; y = 5

Ahora vamos a hallar el valor de x, para lo cual multiplicamos la Ecu 2 por 2

2 (4x – 3y = -23) tendremos 8x – 6y = - 46 Ecu 3

Ahora sumamos la Ecu 1 y la Ecu 3

5x + 6y = 20 Ecu 1

8x – 6y = - 46 Ecu 3

-------------------

13x + 0 = - 26 entonces 13x = -26 ; x = -26 / 13 por lo tanto x = -2

TRIGONOMETRIA

Conjunto de los números reales

Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden

clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.

En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos

representarlo en la recta real.

Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números

complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.

Los números reales se representan mediante la letra R ↓

Dominio de los números reales

Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números comprendidos entre los extremos

infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el conjunto.

Dominio de los números reales

Números reales en la recta real

Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los números

reales.

Esquema de los números reales

Clasificación de los números reales

Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros,

racionales e irracionales.

Números naturales

Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no

tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral).

Expresión:

Letra N Números Naturales

Pista → Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números que usamos

“naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo mismo para los números

naturales.

Números enteros

Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números

negativos.

Expresión:

Letra Z Números Enteros

Pista: → Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los números que

usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero (0). A diferencia de los

racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor.

Números racionales

Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y

naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.

Expresión:

Letra Q Números Racionales

Pista → Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo fracciones de números

enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o un número decimal finito o semiperiódico.

Números irracionales

Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de

manera periódica.

Expresión:

Letra I Números Irracionales

Pista → Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos los números que

no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen a la recta real.

Ejemplos de números reales

En el siguiente ejemplo sobre los números reales, comprueba que los siguientes números corresponden a

punto en la recta real.

Números naturales: 1, 2, 3,4…

Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…

Números racionales: cualquier fracción de números enteros… ,1/8,1/4,1/2,1/1…

Números irracionales:.., √ 2, √ 3, π,…

FUNCIONES

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el

conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen o dominio de la función y se

representa por Dom(f ).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variable independiente.

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa

por y denominada variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el

conjunto imagen (Im(f )) o recorrido de la función (f(D)).

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales,

en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un

elemento

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

El conjunto inicial o dominio de la función.

· El conjunto final o imagen de la función.

· La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto

imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por

Ejemplo x --> f(x2) 3 32 = 9

Asigna a cada número real su cuadrado.

El dominio está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante

la función f.

REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su

comportamiento.

Una función f asigna a cada número x del conjunto origen, un número y = f(x) del conjunto imagen.

El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de gráfIca de la

función.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de

ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de

variable real f y g, como la función:

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función

producto de f y g a la función definida por

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función

cociente de f y g a la función definida por

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

Funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función (g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

FUNCIONES SIMÉTRICAS

Funciones pares

Una función f es par cuando cumple f(x) = f(-x).

Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.

Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del

eje Y.

Funciones impares

Una función f es impar si cumple f(x) = -f(x).

A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen

de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de 1...).

Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es

simétrica respecto al origen de coordenadas.

Funciones inversas

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b,

entonces f-1(b) = a

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1er cuadrante

ACTIIDADES DE ALGEBRA

1 despeje la variable de las siguientes ecuaciones

a) 6x -21 = 4x +9

b) 7y +12 – 3y = 15 – 6

c) 3x/4 = 5

d) 5Z2 -7 =3

e) y/8 – y/6 =8/3

f) √ 3x /2 - 6

2 Crear la ecuación y resolver los siguientes problemas

a. Calcula el número natural que sumado a su siguiente da 157.

b. Calcula dos números impares consecutivos tales que la suma es 36.

c. Si a un número le sumo el doble del siguiente me da 14. ¿Qué número es? Tres veces

la suma de un número más 5 es igual a 21. Halla los números.

d. La suma de tres números proporcionales a 2, 3 y 4 es 54. ¿Qué números son?

e. La suma de tres números inversamente proporcionales a 4, 6 y 18 es 17. ¿Qué

números son?

f. La suma de un número, de su doble, de su triple, de su cuádruple, menos 3 es 67.

¿Cuál es ese número?

3 De las siguientes formulas despejar la variable indicada

a) a =v/ t despejar v

b) u =kx2/2 despejar x

c) p= f/314 r despejar r

d) ma=mg-bv despejar g

x= vt+at2/2 despejar t

4 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación

a)

b)

c)

d)

4 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación

a) 4x+5y=5

-4x-10y=-7

b) 6x-5y=-9

4x+3y=13

c) 10x-3y=36

2x+5y= -4

d) 2x-3y=-6

3x+3y=21

ACTIVIDADES DE TRIGONOMETRIA

Ejercicio 1.

Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

a) -5 ( ) b) 4/5 ( ) c) 3,26 ( )

d) 15 ( ) e) 0,07 ( ) f) (-3) 2 ( )

Ejercicio 2

a) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que

tiene unos 4 500 000por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.

b) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008

milímetros promedio? Exprésalo en kilómetros.

c) Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá

en una caja de 120ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?

Ejercicio 3

Suprime los signos de agrupación y resuelve.

a. (–35) + (–16) + (–29)

b. –36 -- (–19) -- (–49)

c. (–39) + 57 – (–95) + (–49) – 16

d. 12 – [2 + (–4 – 3) – (–4 + 2)] + 4ei. 3 – {9 + [(–15) – (–8)] – 17} + (8 – (–9))

e. 47 + {47 – (–47) + 47 – [(–47) – (–47)]}

Ejercicio 4

Analiza cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cuáles no. Fundamenta tu

respuesta.

a) La correspondencia definida de N en N que a cada número real asocia su antecesor.

b) La correspondencia definida de R en R que a cada número real asocia su valor absoluto.

c) La correspondencia que cada hombre asocia sus hijos.

d) La correspondencia que a cada país se le asocia su bandera.

e) La correspondencia que a cada polígono se le asocia su cantidad de lados.

Solución:

a) No es función. El antecesor de 0 es – 1 que no es un número natural, por lo que no está en

el conjunto de llegada.

b) Sí es función. Aunque los números opuestos, como – 2 y 2, tienen el mismo valor

absoluto, este valor es único para cada número.

c) No es función. Hay padres que pueden tener más de un hijo.

d) Sí es función. Cada país tiene una sola bandera nacional.

e) Sí es función. Aunque hay polígonos que tienen la misma cantidad de lados, como son el

cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., esta correspondencia es una función. Ten en cuenta

que los elementos del conjunto de partida son los polígonos y los elementos del conjunto de

llegada son la cantidad de lados, por lo que cada polígono se enlaza una sola vez con su

cantidad de lados en el otro conjunto.

Ejercicio 5

Antonio va a comprarse un teléfono móvil y está estudiando la oferta de dos compañías

distintas:

La compañía A le ofrece pagar 0,2$ por el establecimiento de la llamada y 0,15$ por cada

minuto de llamada.

La compañía B le ofrece pagar 0,5$ por el establecimiento de la llamada y 0,05$ por cada

minuto de llamada.

Se pide:

a. Representar la función del coste de una llamada en cada una de las compañías.

b. Calcular cuándo es más recomendable una compañía u otra en función del tiempo de

duración de una llamada.

c. Antonio sabe que, aproximadamente, realiza 100 llamadas mensuales que suman un

total de 350 minutos. ¿Qué compañía le conviene?

ESTADISTICA

1. Explique brevemente que entiende por:

a. Estadística

b. Sucesos aleatorios

c. Población y muestra

d. Variables discretas y continuas

¿Cuáles son los gráficos más conocidos para representar información estadísticas? Enumere

algunos y justifique su importancia

Explique la diferencia entre :

a. Población y muestra

b. Atributo y variable

4. Una muestra es aleatoria cuando las unidades se seleccionan:

a. En forma caprichosa

b. Por conveniencia

c. A través de un censo

d. De tal manera que todas tengan la misma probabilidad.

Explique la respuesta correcta

una tabla de frecuencias, como determina:

a. Frecuencia absoluta

b. Frecuencia relativa

c. Frecuencia acumulada

d. El porcentaje