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DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA

SEMINARIO DE PROYECTO I y II:

Ciclo 2007-2010 Diciembre, 2010

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

“FUNDAMENTOS TERMODINÁMICOS Y METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO DE TURBOCOMPRESORES CENTRÍFUGOS”

DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS:

Con ya cuatro años de mi vida dedicados a un gran sueño que es concluir la

Universidad de forma satisfactoria, es importante recordar para nunca

olvidar de donde vengo, que aun cuando creía en algunos momentos que el final

de este camino jamás llegaría, que cada una de las desveladas, ayunos y

cansancios interminables no valdrían la pena, siempre a mi lado y para cada

ocasión se encontraba un persona que me impulsaba a concluir lo que ya había

iniciado, diciéndome en cada una de sus palabras y continuamente, que

siempre para obtener éxito en lo que uno desea con el alma y con gran pasión

será difícil, “por que en la vida lo bueno y lo que te de felicidad será siempre

difícil de obtener”, esto es algo que me llevaré para toda mi vida y que siempre

buscaré transmitírselo a quienes tenga la oportunidad de conocer. A través de

las siguientes palabras espero poder corresponderles y dedicarle a cada una de

estas personas especiales e importantes en mi vida este trabajo que costó

lágrimas y gran dedicación.

A MIS PADRES: FILIBERTO SALAZAR OLIVAREZ Y ELVIRA FRANCO

SÁNCHEZ, ustedes que siempre me han apoyado incondicionalmente, ustedes

que siempre han buscado lo mejor para mí aún cuando ustedes también

sufrieran a mi lado, que importa si les escribo miles de palabras, si lo único que

quiero decirles es “gracias por todo” y que este logro de mi vida es de ambos y,

que seguiremos con el siguiente sueño, por que nada es imposible y lo único que

se requiere es constancia y disciplina, y nunca dejar de luchar por aquello que

nos de felicidad, por muy difícil que parezca, ustedes me lo enseñaron muy bien

desde que nací, Gracias…..

A MI HERMANO: LINO SALAZAR FRANCO Y FAMILIA que me enseñaron

a siempre tener estas ganas de crecer en la vida, por desvelarse a mi lado y por

hacerme sentir siempre seguro de poder lograrlo, gracias hermano por todo el

apoyo que me has dado y que lo recuerdo desde que tengo uso de razón, gracias.

A MI ASESOR: RAÚL LUGO LEYTE le agradezco demasiado por haber creído

en mi, por haberme brindado un lugar de estudio por tantos años y por

apoyarme a concluir satisfactoriamente el presente trabajo, también le

agradezco por haberme dedicado tiempo para platicar en aquellos días en que

sentía caerme y por hacerme crecer como estudiante y como persona, gracias…

A AMIGOS: como Dr. Juan Manuel Zamora, Dr. Alejandro Vázquez y amigos

de carrera que me dieron los suficientes regaños y orientaciones para tener

siempre una perspectiva de lo quiero lograr en mi vida, gracias…

Atte. Salazar Franco Filiberto

Universidad Autónoma Metropolitana

CONTENIDO Página

RESUMEN I

OBJETIVOS III

JUSTIFICACIÓN III

CONTENIDO V

NOMENCLATURA XIII

INTRODUCCIÓN XVII

CAPÍTULO 1 ECUACIÓN DE EULER DE LA TRANSFERENCIA

DE LA ENERGÍA 1

1.1 Cambio en la Cantidad de Movimiento 1

1.2 Ecuación de Euler 3

1.2.1 Segunda Ley de Newton para Sistemas Rotativos 3

1.3 Ecuación de la Transferencia de Energía bajo la forma de Componentes

Energéticas 6

1.3.1 Primera Ley de la Termodinámica 11

1.3.2 Energía Total de un Fluido en Movimiento 11

1.4 Grado de Reacción 15

1.4.1 Grado de Reacción en Turbinas de Vapor y de Gas 20

1.4.2 Grado de Reacción en Turbocompresores Centrífugos 21

1.4.3 Grado de Reacción en Turbocompresores Axiales 26

1.5 Grado de Reacción en un Escalonamiento 26

1.5.1 Turbinas de Impulso 26

1.5.2 Turbinas de Reacción 29

1.5.3 Turbinas de Reacción Pura 34

CAPÍTULO 2 TEORÍA TERMODINÁMICA DE LOS TURBOCOMPRESORES

CENTRÍFUGOS 36

2.1 Componentes de un Turbocompresor 36

2.2 Procesos de Compresión 37

2.2.1 Proceso de Compresión Isoentrópico 39

2.2.2 Proceso de Compresión Politrópico 42

2.2.3 Proceso de Compresión Politrópico con Enfriamiento 47

2.2.4 Proceso de Compresión Isotérmico 49

2.3 Diagramas de Compresión 51

2.4 Eficiencia en un Escalonamiento 53

2.5 Eficiencia en Varios Escalonamientos 57

Contenido


2.6 Enfriamiento Intermedio en la Compresión 60

2.6.1 Condición Necesaria y Suficiente de Óptimalidad 63

CAPÍTULO 3 TEORÍA PARA EL DISEÑO DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO 69

3.1 Compresor y Turbocompresor 69

3.2 Parámetros que Caracterizan al Fluido 71

3.3 Trabajo de Compresión 72

3.4 Relación de Presiones 73

3.5 Coeficiente de Flujo 74

3.6 Característica de Operación 75

3.7 Coeficiente de Presión 76

3.8 Coeficiente de Potencia 77

3.9 Coeficiente de Par 77

3.10 Análisis de Fluidos Compresibles 78

3.11 Propiedades de Estancamiento 80

3.12 Diseño Óptimo de la Entrada de un Compresor Centrífugo 83

3.13 Difusores 86

CAPÍTULO 4 TURBOMAQUINARIAS DE FLUJO RADIAL 145

4.1 Aplicaciones de las Turbomaquinarias 145

4.2 Factor de Compresibilidad 147

4.3 Relación entre la Eficiencia Politrópica y la Eficiencia Isoentrópica

de Compresión 147

4.4 Cálculo de las Propiedades del Gas 155

4.5 Fracción Mol de Vapor de Agua en una Mezcla 157

4.6 Índice de la Velocidad del Sonido 157

4.7 Método “N” para Estimar el Tamaño del Compresor 159

4.8 Enfriamiento Intermedio 166

4.9 Tren de Compresor Multi-Cuerpos 172

ÍNDICE DE FIGURAS

CAPÍTULO 1 ECUACIÓN DE EULER DE LA TRANSFERENCIA DE LA ENERGÍA

Figura 1.1 Componentes espaciales ortogonales de la velocidad absoluta 2

Figura 1.2 Curvatura de álabes en función de 3

Figura 1.3 Triángulo de velocidades en función del ángulo de álabe β 4

Figura 1.4 Compresor centrífugo con álabes con salida radial, mostrando las

Contenido


componentes de la velocidad de entrada y salida de una masa

elemental después de un tiempo dt. 5

Figura 1.5 Triángulo de velocidades 7

Figura 1.6 Dinámica del movimiento circular 9

Figura 1.7 Aceleración normal en virtud al cambio en la dirección de la velocidad cu 10

Figura 1.8 Elemento de fluido dentro del compresor, modelado como un émbolo

imaginario 12

Figura 1.9 Turbocompresor radial-axial STC-SR (Cortesía SIEMENS) 15

Figura 1.10 Turbocompresor centrífugo de un solo escalonamiento. 16

Figura 1.11 Difusor 17

Figura 1.12 Proceso de compresión adiabático-politrópico de un compresor centrífugo 18

Figura 1.13 Saltos entálpicos en una turbina para un proceso isoentrópico 21

Figura 1.14 Grado de Reacción en función de las velocidades periféricas U1 y U2 23

Figura 1.15 Diagrama T-s para el turbocompresor centrífugo de un

solo escalonamiento 24

Figura 1.16 Triángulos de velocidades para el impulsor 25

Figura 1.17 Curvatura de los álabes y diagramas de velocidades para el impulsor 26

Figura 1.18 Turbina De Laval (Turbomaquina Axial), Fuente: Crónica de la Técnica 27

Figura 1.19 Triángulo de velocidades en función del ángulo de álabe β (Turbina

De Laval) 28

Figura 1.20 Diagramas de presión y velocidad absoluta para un Turbina

ideal, y de una sola etapa de impulso (Turbina De Laval) 28

Figura 1.21 Turbina de Vapor Curtis (Cortesía General Electric) 29

Figura 1.22 Diagramas de presión total y velocidad absoluta para una

Turbina de Reacción de un solo escalonamiento 30

Figura 1.23 Triángulo de velocidades para una Turbina de Reacción de una sola etapa 31

Figura 1.24 Triángulo de velocidades de la Figura 1.23 en forma compacta 32

Figura 1.25 Turbina Francis (Turbina de Reacción) 35


CENTRÍFUGOS 37

Figura 2.1 Turbocompresor centrífugo de 6 escalonamientos con carcasa dividida

horizontalmente (Cortesía MAN) 37

Figura 2.2 Trabajo de compresión isoentrópico contra la relación de presiones (πimp) 41

Figura 2.3 a) Coeficiente de recalentamiento (α) contra relación de presiones (πimp)

b) Factor de recalentamiento (f) contra relación de presiones (πimp) 44

Figura 2.4 Eficiencia contra relación de presiones (πimp) 44

Contenido


Figura 2.5 Diagrama T-s para el proceso de compresión isoentrópico y politrópico 45

Figura 2.6 Diagrama T-s para el proceso de compresión isoentrópico y politrópico 49

Figura 2.7 Procesos de compresión en el diagrama T-s para distintos valores de n 52

Figura 2.8 Procesos de compresión en el diagrama p-v para distintos valores de n 52

Figura 2.9 Relación de presiones en un escalonamiento para un turbocompresor

centrífugo 53

Figura 2.10 Trabajo real contra relación de presiones (π) 55

Figura 2.11 Cambio de entropía contra relación de presiones (π) 55

Figura 2.12 Turbocompresor centrífugo de 3 escalonamientos (Cortesía MAN) 57

Figura 2.13 Proceso de compresión isoentrópico y politrópico con 4 escalonamientos 58

Figura 2.14 Turbocompresor centrífugo isotermo de 5 escalonamientos, con una

relación de presión total de hasta 80 bar (Cortesía MAN) 60

Figura 2.15 Diagrama T-s para el proceso de compresión con enfriamiento

intermedio del Turbocompresor centrífugo mostrado en la Figura 2.14 61

Figura 2.16 Diagrama p-v para el proceso de compresión con enfriamiento

intermedio del Turbocompresor centrífugo mostrado en la Figura 2.14 62

Figura 2.17 Diagrama T-s para la obtención de la relación de presiones óptima 64

Figura 2.18 Área normal a la salida del impulsor en función del gasto volumétrico 68

CAPÍTULO 3 TEORÍA PARA EL DISEÑO DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO

Figura 3.1 Compresor centrífugo con álabes de salida radial 69

Figura 3.2 Compresor centrífugo a) De entrada simple, b) De entrada doble 70

Figura 3.3 Triángulo de velocidades para una corriente de flujo con deslizamiento 72

Figura 3.4 Curva característica de operación 75

Figura 3.5 Número de escalonamientos contra relación de presiones 77

Figura 3.6 Flujo estable unidimensional 78

Figura 3.7 Relación entre el estado estático y el estado de estancamiento 80

Figura 3.8 Diagrama entalpía-entropía con estados de estancamiento para

una compresión 81

Figura 3.9 Pérdidas de presión a la entrada del impulsor 83

Figura 3.10 Representación del área transversal del ojo de admisión 84

Figura 3.11 Ángulo de álabe máximo para la función f (Mr,1) 86

Figura 3.12 Geometrías de difusores subsónico, a) Bidimensional, b) Cónico

y c) Anular 87

Figura 3.13 Difusión del flujo 87

Figura 3.14 Diagrama de Mollier para el proceso de difusión en un difusor subsónico 90

Figura 3.15 Variación de la eficiencia del difusor con respecto a πdif y el factor p03/p02 91

Figura 3.16 Representación esquemática de un compresor centrífugo de una sola etapa 97

Contenido


Figura 3.17 Triángulos de velocidades para un compresor centrífugo a) En la raíz

del ojo de admisión, b) En la punta del ojo de admisión y c) A la salida

del impulsor 99

Figura 3.18 Triángulos de velocidades sin prerrotación para el ojo de admisión 102

Figura 3.19 Número de Mach de acuerdo a las características del compresor 105

Figura 3.20 Variación de la presión, temperatura y velocidad en función de M1 106

Figura 3.21 a) Representación del acanalado axial en la periferia a la salida del

impulsor y b) Área perpendicular a la dirección de la velocidad radial cR2 107

Figura 3.22 Triángulos de velocidades para el compresor del caso práctico 3.3 109

Figura 3.23 Diagrama de Mollier representativo para un compresor centrífugo 112

Figura 3.24 Triángulo de velocidades a la salida del impulsor (isoentrópico y

politrópico) 116

Figura 3.25 Difusores usados en compresores centrífugos 122

Figura 3.26 Diagrama de Mollier para el compresor de un escalonamiento del

ejemplo 3.3 129

Figura 3.27 Diagrama de Mollier para el compresor del ejemplo 3.3 130

Figura 3.28 Conjunto de líneas primitivas sobre parte de la superficie de

curvatura del álabe del impulso 133

Figura 3.29 Efectos del cambio del área de paso sobre las propiedades de flujo

en toberas y difusores subsónicos y supersónicos 138

Figura 3.30 Variación de las propiedades del fluido y de la velocidad absoluta

del fluido a lo largo del ducto divergente 141

Figura 3.31 Representación esquemática de la variación del área transversal de

la voluta de un difusor 142

Figura 3.32 Variación de las velocidades absolutas en función del flujo másico 142

Figura 3.33 Variación de las presiones estáticas en función del flujo másico 143

Figura 3.34 Variación de las temperaturas estáticas en función del flujo másico 143

Figura 3.35 Variación de las densidades estáticas en función del flujo másico 144

CAPÍTULO 4 TURBOMAQUINAS DE FLUJO RADIAL

Figura 4.1 Clasificación de la Turbomaquinaria en función del tipo de

trayectoria del flujo de fluido 145

Figura 4.2 Turbina de Gas para generación de energía 146

Figura 4.3 Diagrama de Mollier representativo para la obtención de la eficiencia

politrópica 152

Figura 4.4 Eficiencia isoentrópica de compresión contra relación de presiones para

distintos valores de ηPIC 153

Figura 4.5 Eficiencia isoentrópica en función de la eficiencia politrópica para

Contenido


distintos valores de p2/p1 154

Figura 4.6 Carga politrópica máxima para una sola etapa en función de θ 157

Figura 4.7 Corte horizontal de un compresor centrífugo de múltiples-etapas 160

Figura 4.8 Sección de un compresor centrífugo con enfriamiento a la entrada 166

Figura 4.9 Diagrama de Flujo para un proceso de compresión de tres etapas con

Interenfriamiento a la salida de cada una de las etapas 167

Figura 4.10 Representación esquemática de un solo compresor con interenfriamiento 172

Figura 4.11 Tren de Compresor multi-cuerpos con Interenfriamiento (Cortesía Siemens) 173

Figura 4.12 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-Secciones 177

Figura 4.13 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-Cuerpos 179

Figura 4.14 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-

Cuerpos con enfriamiento intermedio y sección de limpieza 185

Figura 4.15 Diagrama T-s para el tren de compresores de tres cuerpos 185

ÍNDICE DE TABLAS


CENTRÍFUGOS

Tabla 2.1 Propiedades termodinámicas en cada estado de la compresión

(Sección 2.6) 61

Tabla 2.2 Relación de presiones óptima y presiones al final de cada escalonamiento,

al igual que el rendimiento interno correspondiente (Sección 2.6). 66


Tabla 3.1 Relaciones para una similitud física completa entre dos máquinas 70

Tabla 3.2 Tipo de flujo de acuerdo al número de Mach 79

Tabla 3.3 Valores de la densidad, velocidad, temperatura y presión para cada

iteración (Ejemplo 3.3) 101

Tabla 3.4 Valores para la presión estática p3 en cada una de las iteraciones

(caso práctico 3.3) 120

Tabla 3.5 Valores de la densidad, temperatura y presión para distintos valores

de cR3,med (Ejemplo 3.3) 126

Tabla 3.6 Valores para las propiedades estáticas y de estancamiento a la entrada

y salida del impulsor, al igual que a la salida del difusor (Ejemplo 3.3) 127

Tabla 3.7 Valores de la densidad, velocidad, temperatura y presión para cada

iteración (Ejemplo 3.3) 136

Contenido


CAPÍTULO 4 TURBOMAQUINARIA DE FLUJO RADIAL

Tabla 4.1 Aplicación de la turbomaquinaria 145

Tabla 4.2 Aproximación de pérdidas mecánicas como un porcentaje de la

potencia requerida para el gas 162

Tabla 4.3 Valor para la presión reducida y temperatura reducida a la salida

del compresor (Ejemplo 4.1) 165

Tabla 4.4 Valor de la temperatura de descarga en función del número de

secciones (Ejemplo 4.3) 176

Tabla 4.5 Estimación de los parámetros para el Tren de Compresor de Tres-Secciones 178

Tabla 4.6 Estimación de los Parámetros del Tren de compresor de Cuatro-Secciones 180

Tabla 4.7 Resumen de la variables para el compresor del caso práctico 4.3 184

CONCLUSIONES 187

ANEXOS 191

REFERENCIAS 197

Contenido


I

RESUMEN

Debido a la amplia gama de aplicaciones que se le ha dado a los compresores de flujo

radial y axial en los diversos procesos industriales, principalmente en el campo de la

generación de energía eléctrica, tales como, ciclos de potencia de Turbinas de Gas, Ciclos

Combinados, etc., es indispensable un estudio cada vez más detallado del fenómeno de la

transferencia de energía o cambio de la cantidad de movimiento que ocurre entre máquina

y fluido, para así poder incrementar la eficiencia del proceso, es decir, reducir en mayor

medida las pérdidas de energía que se tienen como consecuencia del calor de

recalentamiento o de la degradación de algunos de los componentes de la propia máquina.

Por ello, en el primer capítulo del presente escrito, se desarrolla tanto Vectorialmente

como Termodinámicamente la deducción de la ecuación de Euler de la Transferencia de

Energía entre máquina y fluido, y viceversa, en términos de la velocidad periférica y de la

componente tangencial de la velocidad absoluta del flujo de fluido. Posteriormente, se

expresa esta ecuación de Euler en términos de las componentes energéticas (estática más

dinámica), que permiten poder realizar la clasificación de la Turbomaquinaria en función

del valor que tome el Grado de Reacción, pudiendo resultar máquinas de Impulso, de

Reacción o de Reacción Pura.

En el capítulo dos, se abarca la teoría correspondiente a la deducción de las ecuaciones

termodinámicas que gobiernan a los diversos procesos de compresión, definidos por el

valor del índice politrópico. Se presenta además, un ejemplo representativo para cada uno

de estos procesos de compresión, haciendo énfasis esencialmente en la explicación

termodinámica de los diagramas de Mollier correspondientes, al igual que la obtención de

la relación de presiones para la eficiencia isoentrópica de compresión óptima, esto a través

de las condiciones de óptimalidad y para el caso en que se tuviera más de un solo

escalonamiento en el compresor.

Para el capítulo tres, se establecen las relaciones que deben de existir entre dos máquinas

para poder obtener una similitud física completa entre éstas, haciendo posible la

experimentación en prototipos de menor tamaño y costo, para después aplicar los

resultados a máquinas reales.

Por otro lado, se especifican también los parámetros que caracterizan al fluido y algunos

de los coeficientes de diseño (de flujo, de presión, de potencia y de par). No obstante, el

tema de mayor interés de esta sección, corresponde a la que hace referencia a la dinámica

de gases, definiendo las propiedades de estancamiento, que son utilizadas durante el

análisis para el diseño de un compresor aerodinámico de un solo escalonamiento, rea-

Resumen


II

lizando la comparación entre los triángulos de velocidades ideal y real, los diagramas de

Mollier y algunas de las variables de gran interés, como son: velocidad absoluta, flujo

másico, densidad, temperatura, número de álabes, etc.

Es en el cuarto capítulo donde se representa esquemáticamente la clasificación de la

Turbomaquinaria en función de la trayectoria del fluido, al igual que se presentan las

ventajas y desventajas que existen entre turbocompresores axiales y centrífugos. También,

se retoma la definición de las eficiencias isoentrópicas, de compresión y de expansión,

pero ahora en términos del Politrope, esto con la finalidad de poder contar con los datos

nominales de los impulsores correspondientes a ser ocupados para cualesquier diseño

inicial de un compresor.

Por otro lado, para el diseño de compresores centrífugos, existen distintas metodologías

que varían de acuerdo al enfoque y precisión que se requiera en su aplicación, sin

embargo, debido a que son máquinas de fluido compresible, y que no han sido del todo

analizados por la complejidad que conlleva el poder expresar mediante expresiones

matemáticas el comportamiento aerodinámico del flujo del fluido, es indispensable

identificar el grado de confiabilidad o las limitantes de las metodologías existentes. En

este documento se presentan dos métodos: el Método N, con el cual es posible diseñar

hasta un Tren de Compresores, siendo aplicable para cualesquier mezcla y que es basado

principalmente, en los datos nominales de los impulsores, por otro lado, el segundo

método es basado en la dinámica de gases, el cual requiere de métodos iterativos en

algunos de los casos, para poder determinar las dimensiones faltantes para los dispositivos

del impulsor y difusor. Los resultados obtenidos mediante el análisis de una comparación

correspondiente, indican que el método basado en la dinámica de gases posee una mayor

precisión, al considerar las pérdidas que podrían originarse debido a la trayectoria del

flujo de fluido por el impulsor, se generan también los diagramas T-s y los triángulos de

velocidades.

Resumen


III

OBJETIVOS

Para el primer capítulo del presente trabajo, se tiene como finalidad poder obtener los

conocimientos necesarios que permitan distinguir a los diferentes clasificaciones de

compresores en términos de la transferencia de energía, al mismo tiempo de familiarizarse

con la nomenclatura dada en la literatura.

Otro objetivo es poder comprender las ecuaciones que gobiernan a los procesos de

compresión, al igual que se logra tener la habilidad de comprender los fenómenos

termodinámicos mediante la representación esquemáticas correspondiente, objetivo que es

cubierto por el capítulo dos.

En cuando al capítulo tres, se tiene como objetivo diseñar un primer compresor de un solo

escalonamiento mediante la aplicación de la definición de propiedades de estancamiento y

diagramas de Mollier.

Mientras que, para el capítulo cuatro, se tiene como objetivo el poder comprender y

dominar el Método N, basado en las propiedades de la mezcla y en los datos nominales de

los impulsores.

JUSTIFICACIÓN

Poder familiarizarse, comprender y lograr aplicar los conceptos básicos que rigen a los

procesos de compresión en compresores centrífugos para aplicaciones industriales, al

igual que se desglosan dos metodologías para el diseño de compresores centrífugos, el

Método Basado en la Dinámica de Gases y el Método N, para así lograr estimular la

investigación que conlleve junto con datos de pruebas experimentales y principios

aerodinámicos y termodinámicos a nuevas metodologías de diseño que permitan tener una

mejor precisión y exactitud en sus resultados.

Objetivos


XIII

NOMENCLATURA

Capítulo 1 ECUACIÓN DE EULER DE LA TRANSFERENCIA DE LA ENERGÍA

velocidad absoluta; [m/s],

fuerza; [N],

flujo másico; [kg/s],

flujo de calor; [kW],

(t) vector posición en función del tiempo; [m],

velocidad periférica; [m/s],

(t) vector velocidad en función del tiempo; [m/s],

velocidad relativa; [m/s],

potencia; [kW],

(t) vector aceleración en función del tiempo; [m/s2],

A área; [m2],

Cp calor específico a presión constante; [kJ/kgK],

Cv calor específico a volumen constante; [kJ/kg

d derivada; [-],

GR grado de reacción; [-],

h entalpía por unidad de masa; [kJ/kg],

m masa; [kg],

M torque; [N m],

p presión; [Pa o bar],

calor por unidad de masa; [kJ/kg],

R constante particular de los gases; [kJ/kgK],

r radio; [m],

t tiempo; [s],

v volumen específico; [m3/kg],

V volumen; [m3],

VC volumen de control; [-],

τ trabajo por unidad de masa; [kJ/kg],

e energía total por unidad de masa; [kJ/kg],

u energía interna por unidad de masa; [kJ/kg],

rapidez; [m/s],

Letras griegas

β ángulo de álabe; [ ° ],

π relación de presiones; [-],

δ derivada inexacta; [-],

ρ densidad; [kg/m3],

ω velocidad angular; [s-1

],

Subíndices

1 punto de entrada 2 punto de salida

Nomenclatura


XIV

a dirección axial a aire

dif difusor imp impulsor

m meridiana part partícula

rev reversible R dirección radial

s proceso isoentrópico u dirección tangencial

SIC eficiencia isoentrópica de compresión

Superíndices

´ primera derivada ´´ segunda derivada

Capítulo 2 TEORÍA TERMODINÁMICA DE LOS TURBOCOMPRESORES

CENTRÍFUGOS

X relación igual a 0.2857; [-],

entropía por unidad de masa; [kJ/kgK],

T temperatura; [°C o K],

f factor de recalentamiento; [-],

z número de escalonamientos; [-],

Letras griegas

α coeficiente de recalentamiento; [-],

η eficiencia; [-],

Subíndices

Aho ahorro c compresión

e enfriamiento elim eliminado

i escalonamiento, etapa máx máximo

mín mínimo rec recalentamiento

t isotérmica

Capítulo 3 TEORÍA PARA EL DISEÑO DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO

conda velocidad de la onda elástica; [m/s],

Eu número de Euler; [-],

KM coeficiente de par; [-],

KS coeficiente de compresibilidad isoentrópica; [-],

KT coeficiente de compresibilidad isotérmica; [-],

coeficiente de potencia; [-],

M número de Mach; [-],

Pr número de Prandtl; [-],

Re número de Reynolds; [-],

Letras griegas

β coeficiente isobárico de expansión; [-],

μ coeficiente de presión; [-],

Nomenclatura


XV

σ factor de deslizamiento; [-],

ϕ coeficiente de flujo; [-],

ψ factor de potencia; [-],

Subíndices

0 estado de estancamiento acan acanalado

alt altura avan avance

int interior mec mecánica

med medio punta punta

part particular r relativo

tier tierra

Capítulo 4 TURBOMAQUINARIA DE FLUJO RADIAL

N flujo molar; [kmol/s],

xi fracción mol; [-],

yi fracción masa; [-],

Z factor de compresibilidad; [-],

Subíndices

cr crítica gs gas seco

nom nominal mec mecánica

mez mezcla obj objetivo

p politrópica PIC politrópica de compresión

PIT politrópica de expansión r reducida

tot total v vapor

Nomenclatura


XVII

INTRODUCCIÓN

Debido a que más del 97 % de la energía que se consume en el mundo en cualesquier uso,

es procedente de alguna transformación de una energía natural a una más práctica, es

importante que las máquinas que dan lugar a esta transformación energética, operen en los

rangos más altos de eficiencia. Por ello, es importante en este caso, que las máquinas de

fluido compresible, en donde se citan a las de aire, gas y de vapor, sufran el menor

deterioramiento en su eficiencia, que está en función de las horas de operación y de los

servicios de mantenimiento que pueden recuperar parcialmente este deterioro.

No obstante, para lograr realizar un análisis más detallado de los mecanismos de

degradación, así como también de la optimización de los tiempos de servicios de

mantenimiento, se requiere de un conocimiento extenso y previo sobre el diseño de la

maquinaria a analizar, esto con motivo de ser una de las alternativas para dar lugar a una

disminución en el trabajo suministrado si es un compresor, en cuando se opta por tener

interenfriamiento o cierta curvatura que beneficie al tipo de transformación de energía que

se desea obtener, o bien, en reducir las pérdidas por transformación de energía a través del

impulsor o difusor, como pueden ser, cuando se evitan las ondas de choque.

Como los compresores pueden estar constituidos por más de un escalonamiento, es decir,

tener más de una sección que contiene varias etapas, o cuerpos que constituyen un tren de

compresor, es entonces de suma importancia, conocer algunas de las metodologías con las

cuales son basados estos diseños, al igual que las ecuaciones que gobiernan esta

transformación de energía a través de la máquina, sin embargo, siendo un tema que no ha

sido desarrollado ha profundidad, debido a la complejidad implícita que se tiene cuando

se busca expresar el comportamiento dinámico del fluido en expresiones matemáticas, es

necesario hacer uso de algunas consideraciones que son establecidas por experiencia

propia de diseñadores de compresores centrífugos que han estado laborando por muchos

años en este campo de la turbomaquinaria.

Por tanto, en el presente escrito se abarca en gran parte, las ecuaciones y diagramas

correspondientes a los distintos procesos de compresión, además de la clasificación de la

turbomaquinaria en función de la trayectoria del fluido de trabajo, que de acuerdo al tipo

de trayectoria que lleva el flujo de fluido, estos compresores se clasifican en axiales o

radiales. Como los compresores radiales proporcionan una mayor seguridad en la

operación y requieren de un menor número de escalonamientos para la misma relación de

presiones en comparación con los axiales, son los compresores centrífugos los más

utilizados en la industria (refinerías, plantas de separación de aire, plantas petroquímicas,

Introducción


XVIII

etc.), en aviación, automóviles, etc. Para el método basado en la dinámica de gases [11],

es necesario el bosquejo y análisis del diagrama de Mollier, donde se requiere conocer el

ángulo de álabe a la salida del impulsor, con el cual es posible trazar el triángulo de

velocidades y calcular el número de álabes requeridos para llevar acabo el proceso de

compresión. Para el cálculo del trabajo de compresión, determinado por la ecuación de

Euler para la transferencia de la energía, debe ser considerado el deslizamiento del flujo

de fluido a la salida impulsor, como consecuencia del torbellino relativo que se forma

entre los álabes, y de esta manera tener la posibilidad de determinar el punto de operación

del compresor que evite en mayor medida las pérdidas que podrían originarse por ondas

de choque. Pérdidas que no son consideradas por el Método N [19], ya que es basado

principalmente en la disposición de los datos nominales del impulsor, como la velocidad

de giro, diámetro del impulsor, eficiencia politrópica y trabajo politrópico. No obstante, la

metodología de este Método N lo hace el más apto para poder realizar un diseño

preliminar de compresores de ciclos de potencia, debido a que toma en cuenta la

posibilidad de tener interenfriamiento, maximizando la potencia de salida.

Introducción

Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-

1

CAPÍTULO 1 ECUACIÓN DE EULER DE LA TRANSFERENCIA DE

LA ENERGÍA

1.1 CAMBIO EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La transferencia de energía entre máquina y fluido se da en relación a las propiedades

elásticas, determinada por el número de Mach, y en los cambios que sufre el momento de

la cantidad de movimiento del fluido con relación al tiempo, que se origina al pasar el

fluido por los ductos que forman los álabes y la carcasa misma de la turbomaquina, que al

darse la interacción entre fluido y álabe, da lugar a una fuerza o impulso, es decir, que da

origen a la transformación de energía cinética del fluido en cantidad de movimiento, a la

vez, convertida en energía mecánica en el eje de la máquina, que hace girar al rotor o

viceversa.

Para el diseño de las turbomaquinas se busca primordialmente, que se dé la mayor

transferencia de energía entre máquina y fluido, lo que ha propiciado un exhausto estudio

sobre los parámetros que determinan esta transferencia. Para evaluar el cambio en la

cantidad de movimiento, se hacen consideraciones en el flujo de fluido, éste se puede

caracterizar como un flujo en una, dos o tres coordenadas, es decir, que se tiene un flujo

unidimensional, bidimensional o tridimensional, respectivamente. Por tanto, analizar el

cambio de la cantidad de movimiento, también es analizar la velocidad del flujo del fluido

que entra al cuerpo de la turbomaquina, siendo ambas cantidades vectoriales, donde la

primera de ellas es caracterizada por el sentido y la segunda por la dirección; se

descompone la velocidad absoluta c del flujo del fluido en las tres componentes

espaciales ortogonales (x, y y z), que junto con la velocidad periférica, U, puede

introducirse el concepto de la velocidad relativa.

Para la representación de las componentes, se bosqueja una superficie de revolución S a

una distancia r del eje del rotor, que es por donde fluye una partícula de fluido que lleva

una trayectoria Tpart y una velocidad absoluta c (ver Figura 1.1). El vector velocidad c , en

el punto M, es tangente a la trayectoria de la partícula de fluido Tpart, y se representa

vectorialmente como

. La Figura 1.1 también muestra que la velocidad periférica

del rotor U que se origina en la zona de acción es tangente al contorno de la superficie S;

por otro lado, del plano MNO se tiene que la velocidad mc (velocidad meridiana) es la

resultante de las componentes de la velocidad axial y radial, es decir

m a Rc =c +c (1.1)

Si el plano del vector mc se traslada al punto P, y se toma ahora el plano PQR, se deter-

Cambio en la Cantidad de Movimiento


2

Cambio en la Cantidad de Movimiento

mina una nueva resultante, que se denota como .

u mW= c +U +c (1.2)

Esta velocidad relativa W , puede ser resumida con el sólo hecho de hacer referencia a los

principios generales de la dinámica, como se muestra en la ecuación (1.3).

Figura 1.1 Componentes espaciales ortogonales de la velocidad absoluta .

W=c U (1.3)

Las partículas de fluido siguen los contornos del álabe, que son las líneas de corriente,

entonces se tiene que la velocidad relativa W es tangente al álabe del rotor, y al ángulo

que forma con el vector U , se denomina ángulo de álabe “β” que, es el que determina en

el compresor si los álabes son curveados hacia atrás, álabes curveados hacia adelante o

álabes de salida radial (ver Figura 1.2).

Además, este ángulo de álabe “β” también determina la distribución y la magnitud de las

presiones sobre el álabe, que son de suma importancia para su diseño. En el diseño se

deben considerar otros argumentos, como pueden ser:

Gradientes de temperatura, como resultado de originarse un gradiente de presión

dinámica, que se relacionan a través de modelos matemáticos, una de ellas:

n 1

n2 2

1 1

T p=

T p

Reacciones debido a la acción centrífuga o centrípeta alrededor del eje de la máquina.

z

x y

Superficie de revolución S

P

L

O

N

Q

Tpart

R

M

N


3

c)

a)

Momentos flexionantes que se definen de la estática como la resultante de los esfuerzos

que actúan sobre la sección transversal, en este caso del álabe. Entre otras cuestiones,

están las propiedades mecánicas, propiedades físicas, propiedades térmicas, etc.

Figura 1.2 Curvatura de álabes en función de β:

a) Curveados hacia atrás, b) Curveados hacia adelante, c) Con salida radial.

1.2 ECUACIÓN DE EULER

La transferencia de energía que se da por la acción del fluido sobre los álabes a su paso,

generan la aparición de fuerzas sobre ellas, debido a los cambios que sufre la cantidad

de movimiento del fluido con el tiempo, es decir, el torque sobre el eje, multiplicado por

la velocidad de rotación de eje y dividida entre el flujo másico, resulta la carga específica

transferida o recibida por el eje de la turbomaquina, que puede ser modelado por la

Segunda Ley de Newton para sistemas rotativos.

1.2.1. Segunda Ley de Newton para Sistemas Rotativos:

Se define como Impulsión angular al cambio en el momento de la cantidad de

movimiento

Mdt=c rdm

Donde r es la distancia entre el elemento diferencial de masa y el eje de rotación.

Ecuación de Euler

a) c)

b)


4

Las partes del rotor cumplen distintas funciones, como lo es el inductor, donde el ángulo

de álabe debe ser apropiado para que el fluido entre al rotor con una velocidad relativa W

que es paralela a la superficie de éste, de manera que, entre la entrada y la salida sufra un

cambio de dirección para producir el torque. Considerando flujo estable y antes de darse

el cambio de dirección se tienen las tres componentes de la velocidad absoluta (ver Figura

1.1), donde dos de ellas, ac y Rc , o bien, la resultante de ambas mc (ver Figura 1.3) son

las que determinan el flujo másico del fluido que pasa por la máquina receptora o motriz,

y uc califica la trasferencia de energía.

Figura 1.3 Triángulo de velocidades en función del ángulo de álabe β.

Como ya se mencionó en un inicio, la transferencia de energía entre máquina y fluido es

consecuencia del cambio en la cantidad de movimiento, que se ve reflejado en la rapidez

de la velocidad absoluta c . Para la demostración se toma como modelo a un compresor

centrífugo con álabes de salida radial (ver Figura 1.4), es decir, que el flujo radial es de

dentro hacia afuera. Suponiendo, flujo estable a la entrada del compresor, que se da en el

dispositivo de admisión y considerando una masa elemental dm en el punto inicial

marcado con el número 1, se bosquejan las componentes del vector de la velocidad

absoluta, denotada como c1. Cabe resaltar, que se han bosquejado las tres componentes de

la velocidad c para poder deducir en forma general la ecuación de Euler, posteriormente

se establece cuales de ellas son características de este tipo de compresor.

Al paso por el rotor que consta de cierto número de álabes, los cuales pueden ir dispuestos

de alguna de las formas mostradas en la Figura 1.2, se tiene que no se produce cualquier

cambio en la cantidad de movimiento con el tiempo, sin embargo, después de un tiempo

dt y suponiendo una velocidad angular ( ω ) del rotor constante, la misma masa elemental

dm que se ha tomado estará ubicada en el punto 2, que poseerá una magnitud de velocidad

absoluta diferente de c1, denotándola como c2. Esto ha propiciado un cambio en la

cantidad de movimiento en ese tiempo dt, que da lugar a una fuerza o impulso entre fluido

y álabe. Que de acuerdo a la segunda Ley de Newton (1.2.1) aplicada a la masa elemental

dm para el lapso de tiempo dt entre la entrada y la salida del rotor, resulta

2 1Fdt=dm c c (1.4)

Ecuación de Euler

β

U uc

cmc

W


5

Figura 1.4 Compresor centrífugo con álabes con salida radial, mostrando las componentes

de la velocidad de entrada y salida de una masa elemental después de un tiempo dt.

Despejando F de la ecuación (1.4) y considerando al compresor como el sistema, el cual

es un volumen de control (sistema abierto) porque la masa cruza su frontera durante el

proceso, observando sólo una entrada y salida en el sistema, entonces, la rapidez de

cambio de masa con respecto al tiempo dentro de las fronteras del volumen de control es

dm/dt= m , quedando

2 1F=m c c (1.5)

Al igual que la velocidad absoluta, ésta tiene sus tres componentes espaciales ortogonales

(x, y y z), y por ello, se le conoce como la ecuación dinámica para flujo estable

tridimensional, donde la componente tangencial uF es la que produce el momento de giro

sobre el eje del rotor, ya que la componente axial aF al igual que la radial RF no tiene

alguna acción útil en la transferencia de energía. Por lo tanto, la ecuación (1.5) puede ser

R1c

u1c a1c

1c

R1

R2

1U

2W

m1c

1β

u2c 2c

R2c

u2c

2U 2β

2W

Ecuación de Euler


6

reescrita, en términos de magnitud como:

u u2 u1F =m c c (1.6)

La impulsión angular exterior o momento M=F r (para el caso en que, el vector F sea

perpendicular al vector posición r) transmitido por el fluido al rotor o viceversa, entre la

entrada y la salida es:

u 2 u2 1 u1M=F R=m R c R c (1.7)

Debido a que se ha considerado al eje del rotor como punto de referencia, entonces R2 y

R1 son los radios de los puntos de entrada y salida del fluido, respectivamente. La

potencia transferida de la máquina al fluido de trabajo, suponiendo que ω sea constante es

2 u2 1 u1=mω R c R c (1.8)

La velocidad periférica está definida como U=ω R, sustituyendo U con los subíndices

respectivos de la entrada y la salida del compresor, la potencia se expresa como:

2 u2 1 u1Τ=m U c U c (1.9)

La potencia por unidad de flujo másico ( m ), es decir, el trabajo por unidad de masa

(denotado por ) entre rotor y fluido, resulta

2 u2 1 u1τ= U c U c (1.10)

A τ se le denomina también como carga específica transferida. Ahora bien, la ecuación

(1.10) es conocida como Ecuación de Euler de la transferencia de la energía [1]. La

Ecuación de Euler se aplica tanto para máquinas de fluido compresible, como de fluido

incompresible, bajo la hipótesis de que todas las partículas que entran en el rotor tienen la

misma velocidad y experimentan la misma aceleración. Para que siempre conserve un

valor positivo, la Ecuación de Euler se escribe de manera convencional de la forma

siguiente:

Para máquinas receptoras, Compresores o Bombas 2 u2 1 u1U c >U c

2 u2 1 u1τ= U c U c (1.11)

Para máquinas motrices, Turbinas 2 u2 1 u1U c <U c

1 u1 2 u2τ= U c U c (1.12)

1.3 ECUACIÓN DE LA TRANSFERENCIA DE ENERGÍA BAJO LA FORMA DE

COMPONENTES ENERGÉTICAS

La Ecuación de Euler cuantifica la energía transferida entre el rotor y fluido mientras éste

pasa a través del rotor. Para fines prácticos, toda máquina se clasifica de acuerdo a su

Ecuación de Euler


7

rendimiento, al fluido a ocupar, tamaño, diseño, etc. Para máquinas de transferencia de

energía (receptora o motriz) se induce un concepto más, llamado Grado de Reacción, que

es la relación de las energías Dinámica y Estática. Esta expresión evalúa la transferencia

de energía en función de las componentes energéticas en una máquina receptora, tanto

interna, como externa que experimenta el fluido. La ecuación de Euler no cuantifica de

manera independiente cada una de estas energías, para eso se transforma dicha ecuación

en otra, que muestre estas componentes energéticas específicas. Al considerar nuevamente

a la ecuación de Euler (ecuación (1.10)), en la Figura 1.5 se muestra que cm ha dividido al

triángulo de velocidades en dos triángulos rectángulos, aplicando el teorema de Pitágoras

al triángulo abd, queda que

2 2 2m uc =c c (1.13)

de igual manera, para el triángulo bcd

22 2

m uc =W U c (1.14)

Ahora, al igualar la ecuación (1.13) con (1.14), se obtiene

22 2 2

u uc c =W U c

desglosando y despejando al término U cu, se tiene que

2

2 2 2

u

c +U WUc =

aplicando a la entrada y la salida

2

2 2 21 1 1

1 u1

c +U WU c = (1.15)

2 2 22

2

2 2 2

u2

c +U WU c = (1.16)

Finalmente, sustituyendo en la Ecuación de Euler (1.10) y agrupando términos

2 1 1

2 2 2

2 2 2 2 2 22 1 2c c U U W W

τ= (1.17)

Componentes Energéticas

Figura 1.5 Triángulo de velocidades.

a b c

d

β

U cu

c cm

W


8

2 1

2

2 2c c

2 1 1 2

2 2

2 2 2 2U U W W

2 1

2

2 2U U

1 2

2

2 2W W

Esta última expresión evalúa la transferencia de energía en función de las componentes

energéticas (carga dinámica más carga estática) en una máquina receptora, mientras que,

para una máquina motora (Turbina de Gas o Vapor) resulta:

1 2 1 2 2 1

2 2 2

2 2 2 2 2 2c c U U W Wτ= (1.18)

La interpretación física de cada una de las componentes energéticas de la ecuación (1.17)

[1], o bien, de la ecuación (1.18) es la siguiente:

Es el cambio de energía cinética transferida, debida a un cambio de las

velocidades absolutas c1 y c2, este término es conocido como carga dinámica.

Cuantifica la transferencia de energía interna debido al efecto

interno, involucrando una acción centrífuga consecuencia del

paso del fluido por el rotor, conocida como carga estática.

De manera individual expresan lo siguiente:

Es la parte de la energía estática debida a la acción centrífuga o reacción

inercial del fluido, producida por la aceleración normal, que se crea con el

arrastre del fluido por los álabes en su rotación alrededor del eje de la

máquina.

Es la contribución de la carga estática, referente al cambio de la velocidad

relativa del fluido, o efecto de difusión entre los álabes desde la entrada

hasta la salida del rotor, sin embargo, es poca su influencia en la carga

estática total.

Para demostrar la acción centrífuga 1

2

2 22U U creada en el interior del compresor,

considérese lo siguiente [2]: Una partícula de masa m se mueve con rapidez constante “ξ ”

siguiendo una trayectoria circular, es decir, se encuentra a una distancia r0 del eje de

rotación. Suponiendo que se mueve en el plano x-y, se elimina de esta forma la tercera

componente y se escribe su posición como:

0 0

0 0

ξt ξtr(t)= r Cos ,r Sen

r r (1.19)

Es la ecuación de una circunferencia de radio r0, la razón de cambio de la distancia con



9

respecto al tiempo define la rapidez de la partícula m en el tiempo t, que se determina

como la magnitud del vector velocidad, es decir, ξ=||r´(t)|| .

Por consiguiente, si la velocidad angular está dada como 0ω=ξ/r [s-1], entonces, la

posición es expresada como:

0 0r(t)= r Cos ωt ,r Sen ωt

El vector velocidad, tangente al vector posición en r0 es:

0 0v(t)=r'(t) r ωSen ωt ,r ωCos ωt (1.20)

Para obtener el vector aceleración de la partícula, siendo definida como la derivada de la

velocidad, se tiene que

a 2 2

0 0(t)=v'(t) r ω Cos ωt , r ω Sen ωt (1.21)

Con la consideración, de que la velocidad angular con la que gira el eje es constante, y

factorizando ω de la ecuación (1.21), se obtiene

a 2

0 0(t)=v'(t)=r''(t)= ω r Cos ωt ,r Sen ωt (1.22)

Donde el término dentro de los corchetes, es exactamente la posición de la partícula de

masa m en el tiempo t, por lo tanto, sustituyendo la ecuación (1.19) en (1.22)

a 2(t)=v'(t)= ω r(t) (1.23)

A la aceleración se le llama aceleración radial o centrípeta, por que el vector está

dirigido hacia el centro de la circunferencia (ver Figura1.6), dirección opuesta al del

vector posición .

Figura 1.6 Dinámica del movimiento circular.

De acuerdo a la dinámica del movimiento circular uniforme, se concluye que se requiere

una fuerza para mantener a la partícula de masa moviéndose circularmente, siempre y


a(t2)

v(t2)

r(t1)

v(t0)

y

x

ωt0

r(t0)

ω

m


10

cuando la rapidez sea constante. Debe tenerse en cuenta, que la fuerza centrípeta no es un

nuevo tipo de fuerza. Usando la segunda Ley de Newton, se tiene que la Fuerza Total

(neta) que experimenta la partícula en la dirección radial es:

a 2RF =m (t)= m ω r(t) (1.24)

Con lo anterior, se demostrará que el término 1

2

2 22U U corresponde a la acción centrífuga,

considerando a una masa elemental dm y debido a un cambio en la dirección de la

velocidad tangencial, se crea la aceleración normal, “ω2r”, dirigida hacia el centro del eje

del rotor, que da origen a una presión dinámica entre las dos caras dA de la diferencial dm

separadas por un dr (ver Figura 1.7), en la diferencial dA interna se tiene una presión p,

mientras que en la diferencial dA externa se tiene una presión p+dp.

Figura 1.7 Aceleración normal en virtud al cambio en la dirección de la velocidad cu.

Entonces, expresando el equilibrio de fuerzas en la dirección radial

2RF =0 pdA+ d+dp dA ω rdm=0 (1.25)

2pdA ω rdm (1.26)

La densidad se expresa como sigue:

dmρ=

dV (1.27)

despejando dm de la ecuación (1.26), y como dV=drdA, entonces dm es:

dm ρdV ρdrdA (1.28)


dr Radio

dm

ω2r

ω

dA

ω2rdm


11

sustituyendo la ecuación (1.28) en (1.26) 2dpdA=ω rρdrdA

2dp=ω rρdr (1.29)

Como la densidad es el inverso del volumen específico, entonces, se obtiene 2vdp=ω rdr

Integrando entre el estado 1 y 2, y considerando además a ω=cte, resulta:

2

1

2 2

1 1

R R

2 2

R R

vdp= ω rdr=ω rdr

2 2 2

1 1

12 2

2 22 2 2R R U U

vdp=ω (1.30)

Desde el punto de vista Termodinámico, el primer miembro de la ecuación (1.30) es la

expresión del trabajo reversible por unidad de masa para un sistema de flujo estable, que

se obtiene aplicando la Primera Ley de la Termodinámica (1.3.1), es decir, un balance de

energía para un dispositivo que experimenta un proceso internamente reversible.

Trabajo reversible 2

rev

1

τ = vdp (1.31)

1.3.1 Primera Ley de la Termodinámica

Conocida como el principio de la conservación de la energía, establece que la energía no

se crea ni se destruye durante un proceso, sólo se transforma. Para determinar el cambio

neto de energía durante un proceso, se hace la diferencia entre la energía total que entra

y la energía total que sale del sistema durante el proceso [3].

En ausencia de efectos eléctricos, magnéticos, y de tensión, la Primera Ley de la

Termodinámica se expresa como:

1

2 22 2 1 2 1

1Q+Τ=m c c +g z z + h h

2 (1.32)

A fin de obtenerse la relación de la ecuación de Euler que se obtuvo vectorialmente con la

que se obtendría Termodinámicamente, se realiza primero algunos análisis

termodinámicos con respecto a la energía en volúmenes de control.

1.3.2 ENERGÍA TOTAL DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO

Se considera ahora como volumen de control a un elemento de fluido (ver Figura 1.8)

dentro del compresor, el cual es lo suficientemente pequeño para que tenga propiedades



12

uniformes en cualquier punto del mismo, entonces, a este volumen de control se le puede

idealizar como un émbolo imaginario, en el cual, un elemento de fluido precedente a éste

efectuará sobre el elemento de fluido dentro del volumen de control, una fuerza que lo

empujará a forma de hacerlo pasar por las fronteras. La fuerza aplicada estará actuando a

lo largo de una distancia L, así, el trabajo por unidad de masa realizado al empujar el

elemento de fluido por la frontera (es decir, trabajo de flujo) es :

flujo

Fδτ = dL

m

Si la presión se define como la fuerza normal que actúa por unidad de área, entonces,

reescribiendo la ecuación de trabajo de flujo para cuando el émbolo se ha desplazado una

distancia dL, resulta ser:

L L

flujo

0 0

F pAδτ = dL dL

m m

Si el producto AdL define el dV del elemento de fluido, entonces

V V

flujo

0 0

p pτ = dV= dV

m m

Figura 1.8 Elemento de fluido dentro del compresor, modelado como un émbolo imaginario.

Realizando la integración correspondiente, se obtiene que

flujo

p Vτ = V 0 =p

m m

Como el volumen específico es el volumen ocupado por unidad de masa, resulta

flujoτ =pv (1.33)

De lo anterior resulta que, el trabajo de flujo es el producto de dos propiedades del fluido,

por esta razón, algunos lo consideran como una propiedad de combinación (como la

p

e

n

t

r

a

r

L

e

n

t

r

a

r

Frontera del VC


VC dV

p

m

dV

p

m

Antes de entrar Después de salir

F entrar

L

e

n

t

r

a

r

A

e

n

t

r

a

r


13

entalpía) y lo llaman energía de flujo, energía de convección o energía de transportación

en lugar de trabajo de flujo. Tratando con fluidos compresibles, la energía total del

sistema por unidad de masa está dada por los 4 tipos de energía siguientes:

1.- Energía cinética (c2/2) 2.- Energía potencial (gz)

3.- Energía interna (u) 4.- Energía de flujo (pv)

e u2c

=pv+ + +gz2

(1.34)

Pero a la suma pv + u se le define como la entalpía, así que la ecuación (1.34) se reduce a

e2c

=h+ +gz2

(1.35)

Para el caso, cuando una corriente de fluido con propiedades uniformes se mueve a un

flujo másico , el flujo de energía transportada con esa corriente es:

e

2

masa

cE m =m h+ +gz

2 (1.36)

El proceso considerado para la transferencia de energía entre máquina y fluido, o

viceversa, ha sido un proceso de flujo estable, en el cual, el fluido fluye por el volumen de

control, que al realizar un balance de masa para un sistema general de flujo estable, se

obtiene que

entrada salida

m= m (1.37)

Lo que permite determinar que el contenido de energía total de un volumen de control

permanece constante (EVC=0); por lo tanto, el cambio en la energía total del volumen de

control es cero (ΔEVC=0). Ahora, si se efectúa un balance de flujo de energía general, en

este caso para dispositivos de una sola corriente (es decir, 1 2m =m =m ), y para cuando se

ha contemplado ya cualquier otra contribución de energía al VC como es en forma de

calor o trabajo, se tiene

22 2

2 21

1 1

c cQ+Τ+m h gz m h gz

2 2

dividiendo entre , la energía por unidad de masa es:

2 2 1 2 1

1

2

2 21q+τ= c c g z z h h (1.38)

Esta última expresión, es la primera ley de la termodinámica dada en el enunciado (1.3.1).



14

Si al balance de energía (1.38) para un dispositivo de flujo estable que experimenta un

proceso internamente reversible es expresado en forma diferencial, resulta:

rev revq + τ =d ke +d pe +dh (1.39)

La ecuación de Gibbs para sistemas abiertos, se define como:

Tds=dh vdp (1.40)

pero

revδq =Tds

(1.41)

sustituyendo la ecuación (1.40) y (1.41) en el balance de energía (1.39)

revdh vdp+δq =d ke +d pe +dh

Integrando desde la entrada a la salida, se tiene

2

rev

1

q = vdp+Δke+Δpe

Ahora, debido a que los dispositivos de turbinas y compresores por las que fluye el fluido

no poseen grandes diferencias de elevaciones unos de otros, se considera que los cambios

de energía potencial son insignificantes, por lo tanto

2

2 2rev 2 1

1

1τ = vdp+ c c

2 (1.42)

La ecuación (1.42) se puede obtener bajo otras consideraciones, por ejemplo, sustituyendo

ecuación (1.41) en (1.40).

revTds=δq =dh vdp

Considerando un proceso isoentrópico, al realizar la integración queda que

2 1 2

1

h h vdp

Por tanto, la ecuación (1.42) puede ser reescrita como:

2 1

22 2 2 2

rev 2 1 2 1

1

1 1q =h h + c c vdp+ c c

2 2 (1.43)

Comparando esta ecuación con la ecuación de Euler bajo la forma de componentes

energéticas (1.17), se puede concluir que el cambio en la carga dinámica tiene la misma

expresión tanto en la ecuación obtenida vectorialmente, como termodinámicamente,

mientras que la carga estática corresponde al salto entálpico h2-h1, es decir:

Grado de Reacción


15

12 1

2 2

2 2 2 22 1 2U U W W

h h (1.44)

1.4 GRADO DE REACCIÓN

La clasificación de las turbomaquinas es de gran importancia debido a las distintas

aplicaciones que se les da en cada una de las distintas ramas de la industria (ver Figura

1.9), que exigen presiones de trabajo altas o bajas, resultado del manejo de distintos

fluidos, ya que las condiciones en que se trabaja, por ejemplo: con aire (usado en plantas

de separación de aire), son distintas a las condiciones si el fluido es, por ejemplo:

hidrógeno, sulfuro de hidrógeno, etano, propano (usados en refinerías), propileno, butano,

benzeno, (usado en plantas petroquímicas), amoniaco, metanol, dióxido de carbono

(usados en la industria química), freón, gas licuado de petróleo, gas licuado natural, helio

(usado en procesos de criogénesis) [1], etc:

Figura 1.9 Turbocompresor radial-axial STC-SR, para un gasto de 1,300,000 m³/h, es el

turbocompresor de aire más grande operando en el mundo, usado en plantas CTL (Coal-to-

liquids) (Cortesía SIEMENS).

Las bases con las que se hace la clasificación de las turbomaquinas no son tan claras,

Grado de Reacción


16

debido a tantos factores involucrados, sin embargo, de forma general resaltan cuatro

variantes [1]:

1. La naturaleza del fluido, es decir, si éste es incompresible o compresible.

2. La transferencia de energía, es decir, si son máquinas receptoras o motrices.

3. Dirección del flujo de fluido al paso por el rotor de la turbomaquina.

Máquinas de flujo radial.

Máquinas de flujo axial.

Máquinas de flujo mixto (radial-axial).

4. Grado de reacción, determina si se trata de una máquina de impulso o de reacción.

Para una turbomaquina perteneciente a cualquiera de las cuatro variantes anteriores, el

tipo de fluido empleado comprende una relación de presión, garantizando los

requerimientos que se espera tanto de entrada como de salida de la turbomaquina, además

de la estabilidad del proceso, por ejemplo: para el caso de los turbocompresores, que son

máquinas que sirven para hacer ganar energía a un fluido compresible, generalmente bajo

la forma de presión, y según sea la presión final que se requiera obtener, éstos serán de

uno o más escalonamientos.

Entonces, al hacer referencia a un turbocompresor centrífugo con álabes curveados hacia

atrás, cuando se habla de un escalonamiento, se entiende que es la presión ganada en el

rotor o impulsor más la presión ganada en el difusor, es decir, un cambio en la cantidad de

movimiento (sea en la energía dinámica o en la energía estática) [1], que de acuerdo a la

Figura 1.10, se hacen las siguientes observaciones:

Figura 1.10 Turbocompresor centrífugo de un sólo escalonamiento.

Difusor

Acanalado

Circunferencial

Inductor

Rotor o

Impulsor

Difusor

Eje del Rotor

Carcasa

Aire de

Admisión

Álabes curveados hacia atrás


17

1. La presión ganada en el Impulsor, es debido a la acción centrífuga, como resultado

del paso del flujo de fluido a través de los ductos formados entre los álabes y la

carcasa.

2. La presión ganada en el difusor, es resultado de una disminución de la velocidad del

fluido, en cuanto éste es dirigido, desde la salida del impulsor hasta la descarga o al

siguiente impulsor, para el caso en que se tiene más de un escalonamiento. Para

demostrar esta transformación parcial de energía dinámica en estática, se considera a

un ducto divergente (ver Figura 1.11).

Figura 1.11 Difusor.

Se consideran las siguientes suposiciones:

Del punto 1 al punto 2, hay un proceso de flujo estable, es decir, que se trata de un

proceso estacionario.

Se considera al fluido como un gas ideal para poder modelar su comportamiento,

haciendo uso de la ecuación de los gases ideales.

Se desprecia al cambio en la energía potencial.

No hay interacciones de trabajo con el VC (volumen de control).

Haciendo uso de Primera Ley de la Termodinámica (ecuación 1.32), y al aplicar cada una

de las suposiciones consideradas, se obtiene que

2 1

2 22 1

1h h c c

2

Para determinar, si el cambio en la energía cinética es positivo, negativo o es igual a cero,

se considera a la expresión para un proceso de compresión con n>γ.

2 1 2

1

h h vdp

Lo cual permitirá concluir sí hay un Δp en el difusor, por lo que, siendo flujo estable y

considerando una densidad constante, se procede a aplicar la ecuación de continuidad o

A1 A2

c1 c2<<c1

1 2

VC

Difusor

Difusor


18

conservación de masa.

1 1 2 2m=ρA c =ρA c (1.45)

al despejar c2, y como A2 >A1, entonces

2 1c <c

con lo que resulta que, el salto entálpico es:

2 1 0 2

1

h=h h vdp

resultando que

Δp>0

Entonces, se concluye que, efectivamente un difusor es un dispositivo que tiene como

finalidad incrementar la presión del fluido, en cuando éste experimenta una disminución

en su energía cinética, es decir, la velocidad absoluta del fluido a la salida es menor a la

de entrada, dándose un incremento de temperatura en el caso de fluidos compresibles.

Este proceso de compresión adiabático-politrópico se muestra en el diagrama T-s de la

Figura 1.12, observando dos procesos de compresión que son caracterizados de acuerdo al

valor que tome el índice politrópico n, para el caso del aire, cuando n=γ, se define a γ

como la relación de calores específicos a presión constante y a volumen constante, es

decir, Cp/Cv, (ambos calores específicos están en función de la temperatura).

Figura 1.12 Proceso de compresión adiabático-politrópico de un compresor centrífugo.

Al ser considerado como fluido de trabajo al aire en condiciones normales, se tiene que

γ=1.4, que es para el caso de un proceso de compresión adiabático reversible, que va del

estado 1 (entrada del impulsor) al estado 3s (salida del difusor), pasando por el estado 2s

(entrada al difusor). Entonces, la relación de presiones en el impulsor y difusor son:

p1

p3

3

3s

p2

2s

1

2

Tem

pe

ratu

ra

Entropía

Grado de Reacción


19

La relación de presiones en el impulsor (proceso 1-2s) es: 2

imp

1

pπ =

p

La relación de presiones en el difusor (proceso 2s-3s) es: 3

dif

1

pπ =

p

Resultando que, la relación de presiones para un sólo escalonamiento (proceso 1-3s) será:

3 32imp dif

1 2 1

p ppπ π π =

p p p (1.46)

Esta relación de presiones (ecuación 1.46) que se obtiene considerando a n=γ

(isoentrópico), es la misma para el caso en que se tiene un proceso de compresión

politrópico sin enfriamiento (n > γ), que va del estado 1 al estado 3, aunque claro, el

trabajo requerido en el proceso de compresión isoentrópico es menor al del trabajo de

compresión politrópico.

Además, la ecuación (1.46) expresa que, en cuanto mayor sea la relación de presiones,

mayor debe ser la transferencia de energía entre máquina y fluido, o viceversa, esto es

muy importante para poder determinar el diseño adecuado, debido a la gran diversidad de

aplicaciones, que propician en el campo de estudio de los turbocompresores, la búsqueda

de la mayor transferencia de energía estática (de presión) al fluido de trabajo, para así

alcanzar las altas presiones que hoy exigen los procesos industriales.

Basado en lo anterior, se define el Grado de Reacción (GR) a la relación entre el cambio

de energía estática en el rotor y la energía total transferida en el mismo (estática más

dinámica). La ecuación de Euler (1.17) proporciona la transferencia de energía bajo la

forma de componentes energéticas para máquinas receptoras, si la energía dinámica es:

2 1

2

2 2

dinámica

c cτ =

y la energía estática es

1

2 2

2 2 2 22 1 2

estática

U U W Wτ =

de acuerdo a la definición, el Grado de Reacción es

2

1

2 1 1

2 2 22 1 2estática

2 2 2 2 2 2estática dinámica 2 1 2

U U + W WτGR=

τ τ c c + U U + W W (1.47)

Grado de Reacción


20

Como ya se mencionó, es sólo para máquinas de un sólo escalonamiento (máquinas

hidráulicas y ciertos turbocompresores), donde se tiene como función convertir,

parcialmente, la energía cinética que tiene el fluido a la salida del rotor en energía estática

o de presión, considerando además que las variaciones de temperatura y de volumen

específico no son sensibles.

De la ecuación (1.47) se hacen las siguientes observaciones:

No abarca toda clasificación de turbomaquinas, por ejemplo: las turbinas de vapor

y de gas de fluidos compresibles, donde son muy sensibles los cambios de

temperatura y de volumen específico.

Está limitada sólo para turbomaquinas que operan a bajas relaciones de presiones.

Para alcanzar una presión final dada, mayor a la presión máxima que podría obtenerse

ante condiciones ideales en un sólo escalonamiento, entonces, se requieren tener más de

un escalonamiento para poder incrementar la energía estática al paso de cada uno de éstos.

1.4.1 GRADO DE REACCIÓN EN TURBINAS DE VAPOR Y DE GAS.

Ya se demostró a través de la Primera Ley de la Termodinámica (bajo ciertas condiciones)

que el cambio en la carga estática significa un salto entálpico, que para el caso de

máquinas motriz, es la causa de la expansión adiabática del fluido, que puede realizarse en

más de una etapa, por lo tanto, para un escalonamiento y tratándose de turbinas de vapor

en la que su estructura se conforma por dos conjuntos, siendo el primero un conjunto de

toberas fijas que hacen la función de coronas de álabes fijos (directrices), que hacen

cuerpo con el estator, y el segundo conjunto de canales móviles delimitados por los

álabes que hacen cuerpo con el rotor, entonces, el grado de reacción se define por los

saltos entálpicos de acuerdo a la corona fija y móvil (ver Figura 1.13) como [1]:

salto entálpico isoentrópico móvilGR=

salto entálpico en el escalonamiento (1.48)

La Figura 1.13 muestra el salto entálpico en la corona fija más el salto entálpico en la

corona móvil, donde: h1 representa la entalpía en el estado 1 (entrada de la corona fija), h2

la entalpía en el estado 2s (entrada de la corona móvil) y h3s la entalpía en el estado 3s

(salida de la corona móvil), reescribiendo la ecuación (1.48) en función de las entalpías, se

obtiene que

2s 3s

1 3s

h hGR=

h h (1.49)

Grado de Reacción en Turbinas de Vapor y de Gas


21

Figura 1.13 Saltos entálpicos en una turbina para un proceso isoentrópico.

1.4.2 GRADO DE REACCIÓN EN TURBOCOMPRESORES CENTRÍFUGOS

Con base a la definición de Grado de Reacción, para el caso de turbocompresores

centrífugos se tiene que, está definido el GR como la relación de saltos entálpicos por

escalonamiento (ecuación 1.50) y lógicamente debe ser lo más grande posible (ecuación

1.50), que se logra de distintas maneras, una de ellas es con un aumento de la acción

centrífuga, lográndose principalmente con un aumento en el número de revoluciones por

minuto (N), ya que la velocidad periférica se define como U=ω N (donde ω es constante).

Otra manera de aumentar el GR es reduciendo la energía cinética del fluido, que se logra

en el impulsor cuando se tienen álabes curveados hacia atrás (β < 90° , ya que la

velocidad absoluta del fluido a la salida (c2) del rotor o impulsor es la más baja que podría

obtenerse en comparación cuando se tienen álabes curveados hacia adelante o álabes con

salida radial (ver Figura 1.2), por tanto el grado de reacción está dado como [1]:

salto de presión en la corona móvilGR=

salto de presión en el escalonamiento (1.50)

Con base a la Figura 1.12, se tiene que la ecuación (1.50) que define el Grado de Reacción

para turbocompresores centrífugos, puede ser reescrita en función de los saltos de presión,

es decir, que el salto de presión en la corona móvil es el análogo al salto de presión en el

impulsor, y el salto de presión del escalonamiento sería la presión ganada desde la entrada

hasta la salida del turbocompresor, es decir:

2s 1 2 1

3s 1 3 1

h h p pGR= =

h h p p (1.51)

3s

2s

1

p1

t1

p2

t2

t3

s

h3s

h2

h1

h

p3

Corona fija

Corona móvil

Grado de Reacción en Turbocompresores Centrífugos


22

◙ Caso 1.4.2

Un turbocompresor centrífugo de un escalonamiento aspira aire a una temperatura T1= 15

°C y una presión p1=1 bar, girando a 7200 rpm. El diámetro exterior del impulsor es 80

cm y de 16 cm el del interior. La velocidad relativa de salida es de 65 m/s y la de entrada

de 120 m/s. En el difusor se recupera, en forma de presión, el 60 % de la energía dinámica

generada en el rotor. La energía transferida de la máquina al fluido es de 80 kJ/kg.

Calcular el Grado de Reacción haciendo uso de las ecuaciones (1.47) y (1.51) y hacer la

comparación correspondiente.

Solución:

2

1

2 1 1

2 2 2estática 2 1 2

2 2 2 2 2 2estática dinámica 2 1 2

τ U U +W WGR=

τ τ c c +U U +W W (1.47)

2s 1 2 1

3s 1 3 1

h h p pGR= =

h h p p (1.51)

Primero se calcula el GR con la ecuación (1.47), para ello, se requiere del cálculo de las

velocidades periféricas U1 y U2, las cuales están en función de los diámetros respectivos,

ya que la velocidad angular es constante y determinada por el número de revoluciones (N)

a la que gira el eje del rotor, dando así, los siguientes valores para las velocidades

periféricas tanto a la entrada como a la salida del impulsor.

11 1

D2πN 0.16 mU =ωR = = 753.982 =60.318

60 2 2 s

22 2

D2πN 0.80 mU =ωR = = 753.982 =301.593

60 2 2 s

El valor de la energía total transferida de máquina a fluido es proporcionado por el

problema, de esta manera, el Grado de Reacción es:

2 2 2 22 2 2 2

2 1 1 2301.593 60.318 + 120.0 65.0U U +W W

GR= =0.6092 80,000.0 2τ

Se tiene entonces que, el valor de GR está en función de las velocidades periféricas,

1 2GR= (U ,U )f , o de igual manera 1 2GR= (D ,D )f , si se mantiene constante alguna de las

velocidades periféricas mientras se hace variar la velocidad periférica restante, el valor de

GR variará respectivamente, tal comportamiento es mostrado en la Figura 1.14 marcando

el valor obtenido de GR=0.609.



23

Figura 1.14 Grado de Reacción en función de las velocidades periféricas U1 y U2.

Ahora, se prosigue a calcular el Grado de Reacción con la ecuación (1.51), para ello, se

requiere conocer las presiones p2 y p3, que es a la entrada y salida del difusor,

respectivamente, o de acuerdo a la definición de los saltos de presión, se requiere conocer

el salto de presión p2-p1 que es en la corona móvil (impulsor) y el salto de presión en el

escalonamiento p3-p1. Recordando que la energía estática se expresa para fluidos

incompresibles como el gradiente de presión, entonces

2

1

2 2

2 2 22 1 2

2 1

U U W Wp=p p ρ

La densidad no es una variable proporcionada por el problema, sin embargo, se puede

relacionar con la temperatura y presión por medio de la ecuación de estado del gas ideal

ρ=ρ1=p1/RaT1, donde Ra es la constante particular del aire, que al considerar un peso

molecular del aire seco de 28.9 kg/kmol, resulta

a

a

uR 8314.0 JR = = =287.7

M 28.9 kg K

Dando un valor de la densidad igual a:

a

51

1 31

p 1.0×10 kgρ = = =1.165

R T 287.7 298.15 m

Sustituyendo el valor de la densidad en la expresión del salto de presión para la corona

móvil, se obtiene

2301.593 60.318 120.0 65.0 2

2 2 2

2 1p=p p 1.165 =568.30 mbar

El salto de presión en el escalonamiento es:

3 3 2 2 1 1p p p p p p

El término 3 2p p significa la ganancia de presión en el difusor, y según se indica en el

GR=0.609

D1=0.16 m D2=0.80m

N=12000 rpm

W1=120 m/s W2=65 m/s



24

enunciado del problema, es el 60 % de la energía dinámica generada en el rotor.

2 13 2

60.0

2 100.0

2 2c cp p ρ

Ahora, de acuerdo a la ecuación de Euler bajo la forma de componentes energéticas, ec.

(1.17), el término de la carga dinámica es:

2

2 1 1 80000 48747.52 2 2

2 2 2 2 22 1 2c c U U W W J

τ =31252.5 kg

por lo tanto

3 2

60.0

100.0

p p 1.165 31252.5 21860.5 Pa=218.605 mbar

Por lo que, el salto de presión para el turbocompresor centrífugo considerado es:

3 3 2 2 786 1 1p p p p p p 218.605 568.30 .906 mbar

Lo que da un valor para el Grado de Reacción de

568.300.772

786.906

2 1

3 1

p pGR=

p p

Los saltos de presión obtenidos en el impulsor y en el difusor para el turbocompresor

centrífugo con un grado de Reacción de 0.722 se muestran en un Diagrama T-s (ver

Figura 1.15). Bajo la consideración de que los álabes del turbocompresor centrífugo son

álabes curveados hacia atrás (β2 < 90 °), en la Figura 1.16 se muestran los triángulos de

velocidades a la entrada y a la salida del impulsor.

Figura 1.15 Diagrama T-s para el turbocompresor centrífugo de un solo escalonamiento.

p1=1.00 bar

p2=1.568 bar

p3=1.786 bar

1

2s

3s

T1=298.2

T2s=339.0

T3s=351.0

270

290

310

330

350

370

390

410

5.6 5.65 5.7 5.75 5.8 5.85 5.9 5.95

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Entropía [kJ/kgK]

T1= 25 °C p1= 1.0 bar

Cp= 1.004 kJ/kgK

τ = 80 kJ/kg



25

Figura 1.16 Triángulos de velocidades para el impulsor a) A la entrada b) A la salida.

De acuerdo a los datos del ejemplo tratado, τ = 80 kJ/kg, lo que permite realizar el cálculo

de la velocidad tangencial cu2.

u2

2

τ 80,000.0 mc = = =265.258

U 301.5928 s

Del triángulo de velocidades de la Figura 1.16b y aplicando la Ley del Coseno, la

velocidad absoluta del fluido a la salida del impulsor es:

270.6782 2 2 22 2 2 u22

mW -U +2U c (65.0) -(301.592) +2(301.592)(265.258)c = =

s La velocidad absoluta a la que debe entrar el fluido de trabajo (aire) al impulsor, se

obtiene al ser despejada de la ecuación (1.17).

2

1

2 2270.678 80,000.0 301.592 60.318 120.0 103.73

2 2 m- + (65.0)c = =

s

Los ángulos de álabe que garantizan la transferencia de energía a las condiciones

proporcionadas son:

22

2

1 11 u21

1

U U cβ =Cos =59.82° β =Cos =56.01°

W W

Los ángulos de álabe (β1, β2), las velocidades abosulutas del fluido (c1, c2), las velocidades

periféricas (U1, U2), y las velocidades relativas (W1, W2), son mostradas a escala en la

Figura 1.17.

Cabe resaltar dos puntos, uno de ellos es que, si la energía recuperada en el difusor

hubiese sido del 100 % de la energía dinámica generada en el rotor el valor de GR hubiera

sido el mismo para ambas ecuaciones, sin embargo, para fines prácticos, se usa más la

ecuación (1.47) por su simplicidad y por proporcionar un valor de GR lo suficientemente

aproximado a la realidad. El segundo punto es que, al considerar al fluido como

incompresible, se entrañan pequeños errores, ya que la densidad a la salida del impulsor

no es la misma que la de entrada.

c1=cR

1

mU =60.318

s

1

mW =120.0

s

1β

a) b)

2β cm

2

mU =301.593

s

u2c =?

2c =? 2

mW =65.0

s



26

a)

β2=56.01°

c2 U2

W2 cm2

c1

U1

W1 β1=59.82°

Estado 2

Estado 1

Figura 1.17 Curvatura de los álabes y diagramas de velocidades para el impulsor.

1.4.3 GRADO DE REACCIÓN EN TURBOCOMPRESORES AXIALES

Un Turbocompresor Axial está constituido por un rotor provisto de álabes y un estator de

álabes fijos a la carcasa que sirven de difusor y como directores del flujo, el cual es

paralelo al eje del rotor, para este tipo de turbocompresores, la velocidad periférica a la

salida es la misma a la de entrada para cualquier diámetro o número de revoluciones (N),

ocasionando que la componente energética correspondiente a la acción centrífuga en la

ecuación de Euler (1.17) sea cero.

Entonces, nuevamente de acuerdo a la definición de grado de reacción, se tiene que, el

Grado de Reacción para turbocompresores axiales está en función de las velocidades que

caracterizan el comportamiento dinámico del fluido [1], es decir: 2

2 12 1

1

1

21 2

2 22 2 2 21 2

2 21 2

W WGR

c cc c +W W

W W

(1.52)

1.5 GRADO DE REACCIÓN EN UN ESCALONAMIENTO

El valor que puede tomar el grado de reacción está acotado entre cero y uno, por lo tanto,

se tienen sólo tres posibles valores, GR = 0, 0 < GR < 1 o GR = 1, y que de acuerdo al

valor que tome, se habla de turbomaquinas de Impulso, de Reacción o de Reacción Pura,

respectivamente [1].

1.5.1 TURBINAS DE IMPULSO

El primer valor que podría tomar el Grado de Reacción es cero, y corresponde al caso en

Grado de Reacción en un escalonamiento

Escala: 1cm =70 m/s

ω


27

que las turbomaquinas tienen ruedas móviles de acción o impulso, donde el salto entálpico

se produce únicamente en las ruedas fijas o toberas de alimentación, siendo h1 - h2 =0.

Estas turbinas de impulso se caracterizan por ser de una o varias etapas dotadas de paletas

de impulso, las cuales se reconocen fácilmente por su forma simétrica, pero también, se

caracterizan por el hecho de que la mayor parte o la totalidad de la caída de entalpía (y de

la presión) ocurre en las toberas (o paletas fijas, que funcionan como tales), mientras que

no se produce prácticamente caída alguna en las paletas móviles [1].

La Turbina de vapor De Laval (ver Figura 1.18), de flujo compresible, es la máquina de

impulso más simple, que trata de aprovechar la energía cinética del fluido obtenida en

toberas acopladas a ésta. Esta turbina, consta de un rotor simple, que es dotado de álabes

simétricos, en el cual se le distribuyen de manera uniforme toberas de alimentación del

tipo convergente-divergente, que convierten la energía de presión en un incremento en la

energía cinética, por lo que, la dirección en la que se dirige el flujo de fluido a la salida de

las toberas, es en dirección a los álabes del rotor, y así, proporcionar el torque que lo haga

girar.

Figura 1.18 Turbina De Laval (Turbomaquina Axial), Fuente: Crónica de la Técnica,

Editada en Barcelona, Plaza and Jánes,1989, pág. 419.

En la Figura 1.19 se muestran los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del

rotor, trazados para un radio dado, y que sirven para calcular la transferencia de energía

entre fluido y máquina, entonces, a partir de la ecuación de Euler para la transferencia de

energía por unidad de masa, se tiene que

1 u1 2 u2τ= U c U c

(1.12)

Turbinas de Impulso


28

Figura 1.19 Triángulo de velocidades en función del ángulo de álabe β (Turbina De Laval).

Y tratándose de una turbomaquina axial, donde la velocidad periférica 1 2

U =U =U , se

concluye que el trabajo por unidad de masa para una turbina de impulso de un sólo

escalonamiento es:

u1 u2τ=U c c (1.53)

Este cambio en la cantidad de movimiento dado en el rotor, puede observarse en la Figura

1.20, mostrando la variación de la presión y de la velocidad absoluta del fluido en la

tobera y en el canal que es formado entre las paletas de la turbina. Entonces, siendo el

caso de paletas simétricas y considerando que no hay caídas de presión por rozamiento en

la corona móvil, se tiene que, la carga estática es nula, lo que permite concluir que la

energía transferida por unidad de masa para esta turbina de impulso es:

2 22 1c c

τ=2

(1.54)

Figura 1.20 Diagramas de presión y velocidad absoluta para una Turbina ideal, y de una

sola etapa de impulso (Turbina De Laval).

La Turbina de vapor Curtis (Figura 1.21), al igual que en la Turbina De Laval, se busca

aprovechar la energía cinética inicial del vapor, de forma que disminuya la acción diná-

c1

c2

Dirección de Rotación

Pre

sió

n

Vel

oci

da

d

Ab

solu

ta

Tobera

Turbinas de Impulso

1c 2

c a

c 2

β

U

u1c

2W

1W

1β

u2c

U


29

mica de éste. Se tienen álabes simétricos en el rotor, mientras que en el estator se

encuentran invertidos con respecto a los del rotor. La ecuación que cuantifica la energía

transferida por unidad de masa para el caso tratado, es la misma que en la ecuación (1.54).

Algunas ventajas de las turbinas de impulso son [1]:

Menor velocidad periférica para un mismo salto entálpico adiabático, dando como

consecuencia, un menor número de escalonamientos para una misma relación de

presión y por tanto, dimensiones de la turbina más reducidas.

Mejor equilibrio axial de los rodetes en estas turbinas.

Posibilidad de utilización de la admisión parcial y de escalonamientos de

velocidad, lo cual es irrealizable en las turbinas de reacción.

Son las máquinas en las que es más fácil localizar alguna avería producida en un

escalonamiento cualquiera.

Figura 1.21 Turbina de Vapor Curtis, Fuente Enciclopedia Temática Planeta, Barcelona,

1974, vol. 3 pág. 163 (Cortesía General Electric).

1.5.2 TURBINAS DE REACCIÓN

Para el segundo caso, en que el Grado de Reacción toma valores que van desde 0 < GR <

1, se habla de Turbinas de Reacción, que fueron desarrolladas inicialmente por C.A.

Parsons, en las cuales es de esperarse un gradiente de presión entre la entrada y salida de

la turbomaquina, resultado de una caída de entalpía, tanto en las ruedas fijas como

móviles, siendo, el caso más general, además de que indica que las máquinas deben

trabajar a ducto cerrado. El Grado de Reacción para el caso de una turbina (máquina

axial) de un solo escalonamiento viene dado por la relación de la carga estática sobre la

total transferida (ecuación 1.52) [1].

Turbinas de Reacción


30

2

2 12 1

1

1

21 2

2 22 2 2 21 2

2 21 2

W WGR

c cc c +W W

W W

(1.52)

Aunque, para el caso en que el Grado de Reacción sea menor a 0.2, se incluirá dentro de

la clasificación de turbinas de impulso. Ahora, frecuentemente el grado de reacción para

turbinas de gas y de vapor su valor aproximado es GR= 0.5, debido a que el valor de las

velocidades absolutas del flujo de fluido a la entrada y a la salida de la turbina toman los

siguientes valores:

1 2 2 1c W ; c W

Para una Turbina de Reacción de un solo escalonamiento, compuesta de una corona de

álabes fijas y otra de álabes móviles, se muestra en la Figura 1.22 los diagramas de

presiones totales y velocidades absolutas a lo largo de ambas coronas para un radio dado.

Se observa en la Figura 1.22 que la caída de presión producida se da en ambas coronas,

resultado de que en la corona móvil los álabes con forma semejante a la de los álabes fijos

pero incurveados en sentido opuesto, además de que funcionan como ductos directores del

flujo también funcionan como toberas encontradas en la periferia del rotor, dando así,

admisión total al flujo (vapor), y que debido a esta caída progresiva de presión, los álabes

deben irse haciendo más grandes para lograr acciones equivalentes en los distintos saltos

entálpicos, y cuyos rotores van todos montados sobre el mismo eje.

En la misma Figura 1.22, se muestra la dirección en la que el fluido entra a la corona fija,

Figura 1.22 Diagramas de presión total y velocidad absoluta para una Turbina de Reacción

de un solo escalonamiento.

Co

ron

a

Fij

a

Co

ron

a

Mó

vil

c1 c3

Pre

sió

n

Vel

oci

da

d

Ab

solu

ta

c2

p1

p3

p2



31

donde dentro de ésta sufre una expansión acelerada y enseguida es inyectado a la corona

móvil con una velocidad c2; a partir del diámetro de la corona móvil y la velocidad

angular de la flecha de la turbina, se obtiene la velocidad periférica ω . La razón por

la que los álabes son incurvados en sentido opuesto a los de la corona fija, es para que

sean tangentes a la velocidad relativa W2 que es la resta vectorial c2 -U2 que determina a

β , y así, el fluido ingrese a la rueda móvil sin cambiar de dirección [4].

A la salida de la corona móvil, la velocidad relativa es W3 con una dirección β ; donde la

velocidad absoluta c3 a la salida es dada por la adición vectorial U3+W3. En las Figuras

1.23 y 1.24 se muestran los triángulos de velocidades, considerados como representativos

de la circulación del fluido a través de las coronas de la Turbina de Reacción de una sola

etapa de reacción, y en los que se admite la hipótesis de bidimensionalidad.

Figura 1.23 Triángulo de velocidades para una Turbina de Reacción de una sola etapa.

Los ángulos y β son las direcciones entre las velocidades absolutas y relativas de la

salida del fluido de trabajo (c3 y W3), respectivamente, y la dirección de la velocidad

periférica ; como regla, se encuentran como positivas en el sentido contrario de las

manecillas del reloj.

Las velocidades c2 y W2 son positivas en el sentido de rotación de la rueda, es decir, la del

vector ; mientras que las velocidades c3 y W3 son positivas en el sentido contrario a la

rotación de la rueda móvil. Las componentes periféricas de la velocidad absoluta de

acuerdo al triángulo de velocidades de la Figura 1.23, son:

u2 2 2c =c Cosα (1.53)

3 3u3c =c Cosα' (1.54)

Mientras que las velocidades axiales a2c y a3c

son las proyecciones de las velocidades

absolutas en la dirección del eje de la turbina, y se expresan de la siguiente manera

a2 2 2 a3 3 3c =c Senα ; c =c Senα

Álabes Fijos

Álabes Móviles

c1

U2

U3

β

β



32

Figura 1.24 Triángulo de velocidades de la Figura 1.23 en forma compacta.

Y las componentes periféricas de la velocidad relativa, se expresan como:

u2 2 2 u3 3 3W =W Cosβ ; W =W Cosα

o bien

u2 u2 2 2 2 2W =c U =c Cosα U

3 3 3 3 u3 u3W =c U =c Cosα U

Como ya se mencionó anteriormente, la velocidad periférica es U=ω r =2 π N r, donde r es

el radio medio del álabe y N son las revoluciones por minuto, por tanto, se expresa

como:

2πrN πNDU= =

60 60 (1.55)

El trabajo motor por unidad de masa para una etapa de reacción, que es producido cuando

el fluido circula en la corona móvil que constituye el órgano motor de la turbina, puede

obtenerse a través de la Primera Ley de la Termodinámica, o a través de Conservación de

la Cantidad de Movimiento, para darle aplicación al triángulo de velocidades mostrado en

las Figuras 1.23 y 1.24, se obtendrá el trabajo motor con la segunda opción (Conservación

de la Cantidad de Movimiento). La variación de la cantidad de movimiento (Fuerza

Periférica) en la dirección del movimiento de los álabes en la corona móvil o en dirección

de la velocidad periférica , se expresa como:

u u2 u3F =m c c

o bien

3 3u 2 2F =m c Cosα c Cosα' (1.56)

El momento transmitido por el fluido al rotor en una turbina (o por el rotor al fluido a un

compresor) está dado por la fuerza periférica multiplicada por el radio , por lo

tanto, sustituyendo la ecuación (1.56) en el momento transmitido, y reemplazando r por

los radios respectivos a los puntos de entrada y salida del fluido en la corona móvil, se

obtiene que:

β

β



33

3 3 32 2 2M=m c R Cosα c R Cosα'

El trabajo desarrollado por unidad de tiempo o potencia, que es el producto del momento

y de la velocidad angular de rotación de la flecha de la turbina, está dado como:

3 3 3 u 2 2 2=Mω=F rω=ωm c R Cosα c R Cosα' (1.57)

El trabajo periférico o energía transferida entre el rotor y el fluido, se obtiene al dividir la

potencia por el flujo m :

3 3 32 2 2

Ττ= =ω c R Cosα c R Cosα'

m (1.58)

Y de acuerdo a la definición de velocidad periférica, la ecuación (1.58) se reescribe como:

2 2 2 3 3 3τ=c U Cosα c U Cosα' (1.59)

Sin embargo, entre los ángulos 3α' y 3β' que se encuentran en las ecuaciones y los ángulos

3α y 3β que se aplican en la práctica de los cálculos de las turbinas, existe la siguiente

relación:

3 3 3 3α' =π α y β' =π β

Por tanto, aceptando estas designaciones de los ángulos, se tiene que la fuerza periférica

dada en la ecuación (1.56) se reescribe como:

3 3u 2 2F =m c Cosα c Cosα (1.60)

o bien

u 2 2 3 3F =m W Cosβ +W Cosβ (1.61)

Entonces, la ecuación de Euler de la transferencia de energía es:

2 2 2 3 3 3τ=c U Cosα +c U Cosα (1.62)

o bien, como

3 3 3u2 2 u3 3 2 2 2τ=c U +c U U W Cosβ +U W Cosβ (1.63)

Esta ecuación de Euler, es la ecuación fundamental de las turbomaquinas receptoras, que

cuantifica la transferencia de energía y que indica además, el valor de la desviación que

hay que dar al fluido para producir el esfuerzo exigido, aunque no da alguna otra

información con respecto a la forma en que hay que darle a los álabes para producir este

esfuerzo. Ahora, con base a la Figura 1.24, se tiene que las velocidades tangenciales

expresadas en las ecuaciones (1.53) y (1.54) también se pueden expresar, como:

2 3u2 u2 u3 u3c =W +U ; c =W U



34

Y la ecuación de Euler de la transferencia de energía que se obtiene es:

3 2 u2 2 u3 3τ=U W +U U W U

Realizando el producto y reagrupando términos, queda que

2 2

32 2 u2 3 u3τ= U U + U W +U W

No hay que perder de vista el signo del ángulo β de la componente u3W , 3 3β' =π β ; por

ello, finalmente la ecuación de Euler queda como sigue:

2 2

3 2 2 u2 3 u3τ= U U + U W U W (1.64)

En donde el término 2 2

32U U es la variación de la energía cinética de rotación y el

término 2 u2 3 u3U W U W es la variación de la cantidad de movimiento en la dirección

tangencial.

Algunas ventajas de las Turbinas de Reacción son:

Para el montaje de los álabes en cada escalonamiento, conducen a disposiciones

más sencillas constructivamente y económicamente, que en los discos de las

turbinas de acción.

Pueden operar fácilmente a velocidades angulares relativamente bajas, como es el

caso de las turbinas propulsoras de las hélices de los barcos.

1.5.3 TURBINAS DE REACCIÓN PURA

Por último, se dice que se tiene un escalonamiento puro de reacción para cuando GR = 1,

es decir, que se utiliza fundamentalmente la energía de presión de fluido (ver Figura 1.25),

Por ejemplo, para una Turbina Francis, la variación de la cantidad de movimiento axial es

prácticamente cero, lo que da como resultado, una caída de entalpía en las ruedas móviles,

ya que los álabes de los rotores sobre los que ejerce acción el fluido, son asimétricos.

La relación de presión en un escalonamiento puede llegar a valores de 10 a 12 en un

turbocompresor centrífugo y a valores entre 6 a 8 en un turbocompresor axial. Para poder

satisfacer la presión de salida que se exigen hoy en día, se requiere de más de un

escalonamiento, lo que resulta favorable en sus diseños; por ejemplo [1]:

Permite la construcción de máquinas de tamaño razonable.

Se mejora el rendimiento del proceso de compresión.

Turbinas de Reacción Pura


35

Se puede hacer uso de sistemas de enfriamiento intermedio, que minimizan el

trabajo de compresión.

Se puede reducir el trabajo de compresión, si se mantiene la misma relación de

presiones en cada uno de los escalonamientos.

Figura 1.25 Turbina Francis (Turbina de Reacción), con cabezas anchas que van desde 20 m

a 700 m, una producción que va desde 1 kW hasta 1,000 MW, su tamaño varía desde unos

100 mm a unos 10 metros (desarrollada por James B. Francis).

Turbinas de Reacción Pura


36


CENTRÍFUGOS

2.1 COMPONENTES DE UN TURBOCOMPRESOR

Los turbocompresores son máquinas receptoras, que tienen como finalidad hacer ganar

energía al fluido de trabajo, esto sucede en un órgano cilíndrico dotado de movimiento de

rotación y provisto de álabes; generalmente esta energía en forma de presión. Para este

tipo de máquinas, se considera al fluido de trabajo como fluido compresible, y por

consiguiente, experimenta variaciones en su densidad, como consecuencia del incremento

de presión y de su temperatura.

Los turbocompresores centrífugos son el grupo más importante de las turbomaquinas

radiales (centrípetos y centrífugos), siendo los más comunes en los procesos industriales.

Como punto de partida, en la Figura 2.1 se muestra a un turbocompresor centrífugo de 6

escalonamientos con la carcasa abierta, para poder apreciar cada uno de los órganos que lo

componen, a continuación se da una explicación de cada uno de éstos [1]:

1. Cojinetes: éstos son de bronce y tienen lubricación forzada, tanto los de paso, como

los de chumaceras, siendo de fácil inspección. Los cojinetes deben permitir el giro de

la masa rodante en ambos sentidos.

2. Corona directriz de entrada: suele ser opcional y permite tener control del flujo.

3. Difusores: los cuales están constituidos por ductos conformados por diafragmas y

carcasa. En algunos casos pueden ser álabes fijos a la carcasa.

4. Rotor sólido: es robusto y debe ser de gran estabilidad rotatoria.

5. Sellos de Laberinto en el rotor: evitan la distorsión del rotor para el caso de

sobrecalentamiento local debido a la fricción.

6. Acanalado circunferencial de la flecha a la entrada de los impulsores: para facilitar

la succión en cada escalonamiento.

7. Impulsores (colocados al inicio): son de tipo cerrado con álabes curveados hacia atrás.

Éstos son de alta capacidad de flujo en los primeros escalonamientos, con lo que se

tienen diámetros más grandes, los álabes están soldados a las cubiertas forjadas de

disco que constituyen el impulsor, el cual debe de ser de acero al carbón o especial.

8. Carcasa de hierro fundido: dividida horizontalmente por un plano que contiene el eje.

Turbocompresores Centrífugos


37

9. Impulsores (colocados al final): tienen ductos de paso más estrechos, además de que

los álabes son remachados o soldados a las coronas y cubos forjados.

10. Acoplamiento rígido: para evitar problemas de bloqueo del par que se puede tener

con transmisión por engranes. Se transmiten así empujes axiales que reducen la

acción sobre los cojinetes y mejoran el rendimiento mecánico.

Figura 2.1 Turbocompresor centrífugo de 6 escalonamientos para un gasto de 10,000 –

230,000 m3/h y presiones menores a 1,000 bar, con carcasa dividida horizontalmente

(Cortesía MAN) [20].

2.2 PROCESOS DE COMPRESIÓN

Antes de realizar un análisis detallado de un turbocompresor centrífugo con alguna

aplicación industrial en específico, se requiere conocer las ecuaciones que determinan las

propiedades en cada uno de los estados del proceso de compresión, este análisis se realiza

desde el punto de vista termodinámico.

Procesos de compresión

1

2

5

6 7

3

8

9

4

10


38

El modelo matemático de un proceso de compresión politrópico es de acuerdo al uso para

el cual fue diseñado el turbocompresor. La ecuación que rige a los procesos de

compresión adiabáticos-politrópicos es:

npv =Cte (2.1)

n es el índice politrópico, y es quien caracteriza al proceso, y de acuerdo al valor que tome

este índice, se tiene que sí:

n = 1.4 , es un proceso de compresión isoentrópico

n > 1.4, es un proceso de compresión politrópico.

1 < n < 1.4, es un proceso de compresión politrópico con enfriamiento.

n = 1.0, es un proceso de compresión isotérmico.

Para cada uno de los procesos de compresión anteriores, se puede obtener la misma

presión al final de cada escalonamiento, si y sólo si, se suministra el trabajo requerido

para llevar a cabo el proceso de compresión deseado, ya que es distinto para cada uno de

ellos, debido al valor que tome el índice politrópico; enseguida se obtiene la relación que

hay entre el trabajo y el índice politrópico [5]; partiendo de la definición del trabajo, se

tiene que

δτ=vdp (1.31)

De la ecuación (2.1) se despeja al volumen específico, que al sustituir en la ecuación

(1.31) e integrando del estado 1 al estado 2, se obtiene

211

+12 2 21 1 1 1 n 1 n 1nnn n n n n n

2 1

1 1 1

1

Cte p nτ= vdp= dp=Cte p dp=Cte Cte p p

1p n 1+1n

Multiplicando por n-1

n1p al numerador y denominador, no se afecta a la expresión, sin

embargo, al reagrupar términos, se tiene que

n 11 n 1 n

2n n1

1

pnτ= Cte p 1

n 1 p

Como n n1 1 2 2p v =p v =Cte , entonces, el trabajo queda como sigue:

Proceso de compresión isoentrópico


39

n 1 n 1n 1 n n

n 2 2n1 1 1 1 1

1 1

p pn nτ= v p p 1 v p -1

n 1 p n 1 p

Por tanto, el trabajo expresado en términos de la temperatura el inicio de la compresión y

del índice politrópico n, es:

a

n 1

n2

1

1

pnτ= R T 1

n 1 p (2.2)

Donde Ra es la constante particular del fluido de trabajo (aire), para comprender cada uno

de los distintos procesos de compresión se retoma como base al turbocompresor

centrífugo descrito en el ejemplo 1.4.2 (pág. 22).

2.2.1 PROCESO DE COMPRESIÓN ISOENTRÓPICO

De acuerdo a la ecuación (2.2), el trabajo suministrado al impulsor, cuando n=γ [6], es:

a

γ 1

γ2

s 1

1

pγτ = R T 1

γ 1 p (2.3)

Si la relación de presión en el impulsor está dada por

2imp

1

pπ =

p

Definiendo a la relación entre la constante particular (Ra) y el calor específico a presión

constante (Cp), como:

a

p

Rγ 1X=

γ C

Entonces, la expresión del trabajo isoentrópico de la ecuación (2.3) se reescribe como:

a

X Xs 1 imp p 1 imp

1τ = R T π 1 =C T π 1

X (2.4)

La expresión (2.4) también se obtiene, partiendo de la definición del trabajo reversible en

función del salto entálpico en el impulsor, es decir:

s 2s 1 p 2s 1τ = h h =C T T

(2.5)

En donde la temperatura 2sT , se obtiene a través de la relación de temperaturas para un

proceso de compresión isoentrópico, expresada de la siguiente manera:



40

γ 1

γ2s 2

1 1

T p=

T p

Por tanto, el trabajo por unidad de masa suministrado a la turbomaquina, en función de la

relación de presiones, es:

X

s p 1 impτ =C T π 1 (2.4)

Esta última expresión junto con la contribución de la energía dinámica del fluido, debe dar

un valor igual al de la ecuación de Euler bajo la forma de componentes energéticas.

2 1 1 2 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 1 2

s 2s 1

c c U U W W c cτ = h h

2 1

2

2 2X

s p 1 imp

c cτ =C T π 1 (2.6)

Para realizar la comparación entre el trabajo de compresión que se obtiene de la ecuación

(2.6) y la ecuación de la Primera Ley de la Termodinámica, con los datos del Caso 1.4.2

(pág. 22), c1=103.739 m/s, c2=270.678 m/s, T1=25 °C y πimp=1.568, se tiene que

1.004

2 2

0.2857s

270.678 103.739 kJτ = 298.15 1.568 1 + =41.069+31.322=72.322

2×1000 kg

El valor no concuerda con los 80.0 kJ/kg proporcionados por el problema, como

consecuencia de obtener la relación de presión πimp, bajo la consideración de que la

densidad del fluido de trabajo permanece constante durante el proceso de compresión. Si

se requiere conocer la relación de presiones πimp, que satisfaga la ecuación (2.5) para las

mismas velocidades absolutas c1 y c2 sería:

0.285780,000.01.695

1004.0 298.15

1 12 2 2 2X

s 2 1

imp

p 1

2τ c c 2 270.678 130.739π = +1 +1

2C T 2

Además, al realizar la comparación entre la relación de presiones dada por la ecuación de

Euler y la ecuación Termodinámica, se tiene que el error relativo porcentual es del 9.59

%, lo que indica que ambas ecuaciones pueden ser consideradas como validas.

En la Figura 2.2 se ha bosquejado una serie de curvas del trabajo isoentrópico por unidad

de masa (τs) en función de la relación de presiones en el impulsor (πimp), para 4 valores de

la temperatura a la entrada del turbocompresor (T1), manteniendo constante el cambio en



41

la energía dinámica del fluido. La Segunda Ley de la Termodinámica define a la Entropía,

como una medida cuantitativa del desorden microscópico de un sistema, donde un cambio

en esta propiedad es ocasionado por la transferencia de calor, el flujo másico o las

irreversibilidades.

Figura 2.2 Trabajo de compresión isoentrópico contra la relación de presión πimp.

Para el caso de gases ideales, y partiendo de la primera y segunda ecuación de Gibbs.

uTds=d +pdv

(2.7)

Tds=dh vdp

(2.8)

Empleando las relaciones de propiedad para los gases ideales

vdu=C dT

(2.9)

pdh=C dT (2.10)

Sustituyendo la ecuación (2.9) en (2.7), y con la ecuación de los gases ideales, se tiene

que p=RaT/v; entonces, la primera relación para el cambio diferencial de entropía es:

vC Rds= dT+ dv

T va

Sustituyendo la ecuación (2.10) en (2.8), y con la ecuación de los gases ideales se tiene

que v=RaT/p; entonces, la segunda relación para el cambio diferencial de entropía es:

τs=80.0

30

40

50

60

70

80

90

100

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

τ s[k

J/kg

]

Relación de presiones (πimp)

Proceso de compresión politrópico

T1=5 °C

T1=25 °C

T1=45 °C

T1=35 °C

p1= 1.0 bar

γ=1.4 Cp= 1.004 kJ/kgK

2 22 1c -c kJ

=31.252 kg


42

av

dT dpds=C R

T p

Integrando ambas relaciones para el cambio de entropía entre los estados extremos para

un proceso de compresión, se tiene que

a 2

2 1 v

1

dT dvs s = C T R

T v

a 2

2 1 p

1

dT dps s = C T R

T p

Bajo la consideración de que los calores específicos Cv(T) y Cp(T) permanecen constante

para un cierto rango de temperaturas, se sustituye Cv(T)= Cv y Cp(T)= Cp, entonces, el

cambio de entropía está dado como:

ln a

2 22 1 v

1 1

T vs s =C R

T v (2.11)

ln a

2 22 1 p

1 1

T ps s =C R

T p (2.12)

Por tanto, debido a que el proceso de compresión es isoentrópico (Caso 1.4.2), entonces,

la entropía se mantiene constante, es decir: 2s 1s s =0 .

2.2.2 PROCESO DE COMPRESIÓN POLITRÓPICO

Para este proceso de compresión politrópico, n > γ, su valor suele estar entre 1.5 y 1.62 en

turbocompresores. Además, el proceso requiere mayor trabajo de entrada, aumentando

conforme aumenta n, como consecuencia de considerar la irreversibilidad del proceso, si

se considera el modelo politrópico ideal sin contemplar la fricción producida por el flujo

de fluido durante su recorrido por la turbomaquina, se obtiene la ecuación (2.2) (será

reenumerada para hacer referencia al proceso de compresión de esta sección):.

a

n 12 n

21

11

pnvdp R T -1

n 1 p (2.13)

Aplicando Primera Ley de la Termodinámica a un sistema abierto con flujo estable, y

asumiendo que el compresor opera adiabáticamente pero no isoentrópicamente, en donde

Δpe = Δke = 0, y considerando la fricción producida por el flujo de fluido, se tiene que



43

2 1 p 2 1τ= h h =C T T (2.14)

La fricción producida se ve reflejada a través de la temperatura al final de la compresión,

es decir, T2 > T2s, obteniendo su valor de la ecuación de las politrópicas

1

n 1

n2

2

1

pT =T

p

A la diferencia entre el trabajo de compresión politrópico por Primera Ley de la

Termodinámica y el trabajo de compresión politrópico ideal, se le llama calor de

recalentamiento qrec, es decir [5]:

a

n 1

nrec 2 1 1 imp

nq h h R T π 1

n 1

Factorizando términos de la ecuación qrec, se tiene en una sola expresión que el calor de

recalentamiento se expresa como:

a

n 1

nrec 1 imp p

nq T π 1 C R

n 1 (2.15)

El coeficiente de recalentamiento (α), se define como:

rec

s

qα=

τ (2.16)

Y sirve para definir el factor de recalentamiento f, según la formula

f =1+α (2.17)

Para un valor de n=1.52, se muestra en la Figura 2.3 como el coeficiente de

recalentamiento aumenta con la relación de presiones, al igual que el factor de

recalentamiento [1]. Por definición, la eficiencia de un compresor ηi es la relación entre el

trabajo de entrada requerido para elevar la presión de un gas a un valor específico de una

manera isoentrópica y el trabajo real, es decir:

si

τη =

τ (2.18)

En función de las entalpías, o bien, en función de las temperaturas

2s 1 2s 1i

2 1 2 1

h h T Tη = =

h h T T

De acuerdo a la relación de temperaturas para un proceso isoentrópico y un proceso

politrópico, haciendo algebra se encuentra la siguiente expresión para la eficiencia



44

Figura 2.3 a) Coeficiente de recalentamiento (α) contra relación de presión, b) Factor de

recalentamiento (f) contra relación de presión.

1

1

γ 1γ

imp

i n 1n

imp

π

η =

π

(2.19)

En la Figura 2.4 se observa que cuando la relación de presiones aumenta, la eficiencia

disminuye, al igual que cuando n aumenta. Cuando el índice politrópico se acerca al valor

del índice adiabático (n=γ=1.4) la eficiencia tiende a uno, que es para el caso en que el

proceso es adiabático e internamente reversible, además, cuando la relación de presiones

es igual a la unidad (πimp=1) no existe compresión [6].

. Figura 2.4 Eficiencia isoentrópica contra relación de presiones πimp.

Ejemplo 2.1.2

Se comprime aire en un turbocompresor centrífugo sin enfriamiento, siguiendo un proceso

politrópico con n=1.52. El aire entra a la turbomaquina a una temperatura T1=25 °C y

0.190

0.195

0.200

0.205

0.210

0 2 4 6 8 10

Co

efi

cie

nte

de

R

eca

len

tam

ien

to

πimp [-]

1.190

1.195

1.200

1.205

1.210

0 2 4 6 8 10

Fact

or

de

Re

cale

nta

mie

nto

πimp [-]

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Efic

ien

cia

iso

en

tró

pic

a [η

i]

πimp [--]


n=1.61

n=1.55

n=1.52

n=1.46

n=1.41

Cp= 1.004 kJ/kgK p1= 1.0 bar

T1=25 °C

n=1.52

a) b)


45

p1=1 bar, a razón de 20 m3/s y se descarga a 6 bar absolutos. Calcular. a) Calor de

recalentamiento, b) Coeficiente de recalentamiento, c) Factor de recalentamiento, d)

Eficiencia del compresor, e) Potencia para mover el compresor despreciando las pérdidas

mecánicas y f) El cambio de entropía.

Solución: Al considerar que los cambios en la energía cinética y potencial son

insignificantes, el proceso de compresión isoentrópico y politrópico son trazados en un

diagrama T-s (ver Figura 2.5).

Figura 2.5 Diagrama T-s para el proceso de compresión isoentrópico y politrópico.

a) Calor de Recalentamiento.

Usando la ecuación de calor de recalentamiento en términos del índice politrópico, de la

relación de presión obtenida y de las condiciones iniciales a las que entra el aire al

turbocompresor, se tiene que

a

n 1

nrec 1 imp p

nq T π 1 C R

n 1 (2.15)

1.521.52

298.15 0.2877 41.

1.52 1

rec

kJq 6.0 1 1.004 117

1.52 1 kg

b) Coeficiente de recalentamiento.

rec

s

qα=

τ (2.16)

Si el trabajo de compresión isoentrópico es dado por

X

s p 1 impτ =C T π 1 (2.4)

p1=1.0 bar

T2s=497.4

p2=6.0 bar

2s

1

2T2=550.3

T1=298.2

200

300

400

500

600

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Entropía [kJ/kgK]

T1= 25 °C

p1= 1.0 bar

n=1.52 Cp= 1.004 kJ/kgK

Ra=0.2877 kJ/kgK

πimp=6.0



46

0.2857

1.004 298.15 6.0 1 20 X

s p 1 imp

kJτ =C T π 1 0.113

kg

Por tanto, el coeficiente de recalentamiento es:

41.1170.205

200.113 rec

s

qα=

τ

c) Factor de recalentamiento.

f =1+α=1+0.2054=1.205 (2.17)

El valor de α=0.205, es el mismo que se tiene de la Figura 2.3a para una relación de

presiones πimp=6, de igual manera para el factor de recalentamiento f =1.205 en la Figura

2.3b.

d) Eficiencia del compresor

La eficiencia isoentrópica de compresión, se obtiene con la ecuación (2.19)

0.2857

1.52 1

1.52

110.79

11

Ximp

i n 1

nimp

6.0πη =

6.0π

Puede observarse, que la ecuación de la eficiencia, es independiente de la temperatura T1,

por tanto, de la Figura 2.4 para π y un valor de n=1.52, el valor de . El

máximo valor que podría tomar la eficiencia para un valor de n=1.52, es de ,

siendo el caso en que, el cambio en la energía estática (de presión) del fluido fuese cero.

e) Potencia para mover el compresor despreciando las perdidas mecánicas

a

n-1 n-1

1n np 1 imp p imp

pΤ=mτ= ρG C T π 1 GC π 1

R

5

1.52

1.0 1010.0 1.004 295

0.2877

1.52-1

Τ 6.0 1 1.998 kW

e) El cambio de entropía

ln lna

2 22 1 p

1 1

T ps s =C R

T p (2.12)

1.52ln 1.004 ln 0.2877ln 6.0 0.0999a

1.52 1n 1

n2 1 p imp imp

kJs -s =C ln π R π 6.0

kgK



47

2.2.3 PROCESO DE COMPRESIÓN POLITRÓPICO CON ENFRIAMIENTO

En ocasiones, los turbocompresores son enfriados, utilizando aletas o camisas de agua

colocados alrededor de la carcasa para reducir el trabajo suministrado, lo cual hace perder

calor al fluido que se comprime, reduciendo su temperatura al final de la compresión por

debajo de la temperatura isoentrópica o politrópica, es decir, T2e < T2s <T2. Para este

proceso de compresión politrópico con enfriamiento (pvn=Cte), n < γ, y su valor estará

entre 1 y 1.4, para el caso en que n=1 se trata de una compresión isotérmica (siendo el

mínimo valor que podría obtener).

El trabajo por unidad de masa para la compresión politrópica ideal (1< n <1.4) con

enfriamiento y sin fricción, será

a

n 12e n

21

11

pnvdp R T 1

n 1 p (2.20)

Considerando el calor que es retirado del fluido de trabajo y la fricción interna por el flujo

del fluido, aplicando Primera Ley de la Termodinámica para un sistema abierto de flujo

estable, donde los cambios en la energía cinética y potencial son insignificantes, se tiene

que

e 2e 1 elimτ = h h +q

(2.21)

O bien, en función de las temperaturas

e p 2e 1 elimτ =C T T +q

(2.22)

En función de la relación de presiones, como:

n-1

ne p 1 imp elimτ =C T π 1 +q (2.23)

El calor eliminado es la diferencia entre el trabajo de compresión politrópico con fricción

(real) y el trabajo de compresión politrópico sin fricción (ideal) [5], es decir:

2e

elim 2e 1

1

q h h vdp (2.24)

Es decir, que el trabajo dado por Primera Ley representa el trabajo ideal

2e

e

1

τ vdp

Factorizando términos en la ecuación (2.24), resulta ser igual a la ecuación (2.15)

Proceso de compresión politrópico con enfriamiento


48

a

n 1

nrec 1 imp p

nq T π 1 C R

n 1 (2.15)

Como el calor es eliminado, entonces, tiene signo negativo, por lo tanto

2e

2e 1

1

h h vdp

Ejemplo 2.1.3

Se comprime aire en un turbocompresor con enfriamiento, siguiendo un proceso

politrópico con n=1.3. El aire entra a la turbomaquina a una temperatura T1=25 °C y p1=1

bar, y se descarga a 6 bar absolutos. Calcular. a) El trabajo de compresión politrópico

ideal (sin fricción), b) El trabajo de compresión politrópico real (con fricción), c) El calor

eliminado, d) El trabajo ahorrado al considerar una compresión con n=1.3, en

comparación con el isoentrópico y e) El cambio de entropía.

Solución:

a) El trabajo de compresión politrópico ideal (ver Figura 2.6).

a

n 12e n

2e 1

11

pnτ = vdp R T 1

n 1 p (2.20)

1.31.3

0.2877 298.15 190.

2e 1.3 1

1

kJvdp 6.0 1 340

1.3 1 kg b) El trabajo de compresión politrópico real (con fricción)

1.31.004 298.15 6.0

n-1 1.3-1n

2c 1 p 1 imp

kJh h =C T π 1 1 =153.285

kg

c) El calor eliminado

1.31.3

298.15 6.0 1.004 0.28771

2e 1.3-1

elim 2e 1

1

kJq h h vdp 1 37.054

1.3 kg

d) El trabajo de compresión ahorrado con respecto al isoentrópico

n 1 n 1X Xn n

aho p 1 imp p 1 imp p 1 imp impτ C T π 1 C T π 1 C T π π

0.2857

1.31.004 298.15 6.0 6.0

1.3 1

aho

kJτ =46.827

kg

Proceso de compresión politrópico con enfriamiento


49

Figura 2.6 Diagrama T-s para el proceso de compresión isoentrópico y politrópico.

e) El cambio de entropía.

Usando un valor de Cp constante, como resultado de tener una diferencia de temperaturas

relativamente pequeño durante el proceso, el cambio de entropía está dado como:

a

2 22 1 p

1 1

T ps -s =C ln R ln

T p (2.12)

1.3 1

1.36.0a

n-1

n2 1 p imp imp

kJs -s =C ln π R ln π 1.004 ln 0.2887 ln 6.0 0.10035

kg K

2.2.4 PROCESO DE COMPRESIÓN ISOTÉRMICO

Se entiende por servicios auxiliares de enfriamiento, a los equipos mediante los cuales se

enfría a un fluido, que se ha utilizado para retirar calor de otro fluido que en un inicio se

encuentra a una mayor temperatura, este proceso de transferencia de calor se da en

equipos llamados intercambiadores de calor.

En la realidad se emplean estos servicios auxiliares en las turbomaquinas para dos casos

en específico, uno de ellos, cuando el proceso de compresión estrictamente lo requiera,

por ejemplo: cuando se trabaja con gases en los que se exige conservar su pureza,

librándolos de la contaminación del aceite lubricante o cuando se necesita conservar la

temperatura de los mismos (evitar la polimerización, por ejemplo), para el segundo caso,

cuando la relación beneficio-costo sea mayor a uno, es decir, que al utilizar un fluido de

enfriamiento en la compresión, el cual reduce el trabajo que hay que suministrar a la

p1=bar

T2s=497.4

p2=6 bar

2s

1

2eT2e=450.8

T1=298.2

200

300

400

500

600

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Entropía [kJ/kgK]

T1= 25 °C

p1= 1 bar n=1.3

Cp= 1.004 kJ/kgK

Ra=0.2877 kJ/kgK

πimp=6

Proceso de compresión isotérmico


50

turbomaquina, el costo que se invierte para regresar al fluido de enfriamiento a sus

condiciones iniciales sea menor al costo equivalente del trabajo (energía) ahorrado en la

compresión [7].

Para este proceso de compresión isotérmico ( ), n =1, lo cual indica que no hay

variación de la temperatura del fluido durante el proceso de compresión, es decir, T2t=T1,

esto da como consecuencia que no haya variación en la energía interna

u u u

2t 1

1

T T2t

2t 1 v

1 T

= d = C dT=0

el cambio de entalpía es:

2t 1

1

T T2t

2t 1 p

1 T

h h = dh= C dT=0

Por consiguiente, durante una compresión isotérmica, el gas tiene que ceder calor en una

cantidad equivalente al trabajo realizado sobre él.

Entonces, la expresión del trabajo ideal de compresión isotérmico se obtiene al despejar el

volumen específico de la ecuación (2.1), con n=1, que al sustituir en la ecuación (1.31) e

integrando, se obtiene

2

1

2t 2t 2t

1 2

11 1 1

pCtevdp= dp=Cte p dp=Cteln p =Cteln

p p

Como 1 1 2 2p v =p v =Cte , entonces, sustituyendo su igualdad con respecto al estado uno,

resulta

a

2t

21

11

pvdp=R T ln

p (2.25)

Siendo un proceso isotérmico en el cual no hay fricción, ya que es reversible, aplicando

Primera Ley de la Termodinámica en el que son insignificantes los cambios en la energía

cinética y potencial, se tiene que

t elimτ =q

(2.26)

a

2t

2t 1 elim

11

pτ vdp=R T ln =q

p

Es decir, el trabajo ideal es igual al trabajo dado por Primera Ley de la Termodinámica, ya

que el calor que cede el fluido de trabajo es igual al trabajo que se suministra a la

turbomaquina.

Para un proceso de compresión isotérmico, es conveniente evaluar la relación del trabajo

que hay en un proceso de compresión isotérmico ideal y el trabajo real de compresión

Proceso de compresión isotérmico


51

politrópico de un compresor enfriado, lo cual es la definición de la eficiencia isotérmica ηt

a

21

1t elimt

e 2e 1 elim p 2e 1 elim

pR T ln

pτ qη =

τ h h +q C T T +q (2.27)

El cambio de entropía para un proceso de compresión isotérmico estará dado como

lna

22t 1

1

ps s = R

p (2.28)

Ejemplo 2.1.4

Para los mismos datos del ejemplo 2.1.3, calcular a) Trabajo de compresión por kg, si el

proceso fuera isotérmico, b) Eficiencia isotérmica y c) Cambio de entropía para el proceso

isotérmico.

Solución

a) Trabajo de compresión por kg, si el proceso fuera isotérmico

a

2t

21

11

pvdp=R T ln

p (2.25)

0.2877 298.15 2t

1

kJvdp= ln 6.0 153.693

kg

b) Eficiencia isotérmica

153.6930.80

190.340 t

t

e

τη =

τ

c) Cambio de entropía para el proceso isotérmico.

a

22t 1

1

p kJs s = R ln 0.2877 ln 6.0 = 0.515

p kgK

2.2 DIAGRAMAS DE COMRESIÓN

Los procesos de compresión isoentrópico, compresión politrópica, compresión politrópica

con enfriamiento y compresión isotérmica que se han desglosado en cada uno de los

ejemplos anteriores, son mostrados en un sólo diagrama T-s (ver Figura 2.7), en el cual se

puede apreciar que, cuando el valor de n disminuye, también disminuye el valor de la

temperatura final de la compresión, al igual que el trabajo requerido para la compresión,

Diagramas de Compresión


52

como consecuencia del enfriamiento, además de producir un cambio de entropía negativo.

Los mismos procesos de compresión y a las mismas condiciones, se muestran en un

diagrama p-v (ver Figura 2.8), en el cual se observa, como el volumen específico (v)

disminuye en mayor medida durante la compresión con enfriamiento, resultado de una

disminución de la temperatura al final de la compresión [5]

Figura 2.7 Procesos de compresión en el diagrama T-s para distintos valores de n.

Figura 2.8 Procesos de compresión en el diagrama p-v para distintos valores de n.

p1=1 bar

p2=6 bar

n=1

.4

T2t=298.2 n=1

T2=550.3

T2s=497.4

T2e=450.8

100

200

300

400

500

600

700

5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Entropía [kJ/kgK]

p1=1.0 bar

p2=6.0 bar2; n

=1.5

22

s;n

=1.4

2e;

n=1

.3

2t;

n=1

.0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Pre

sió

n [

bar

]

Volumen específico [m3/kg]

T1= 25 °C

p1= 1 bar

Cp= 1.004 kJ/kgK Ra=0.2877 kJ/kgK

πimp=6

T1= 25 °C p1= 1 bar


πimp=6

Diagramas de Compresión


53

2.4 EFICIENCIA EN UN ESCALONAMIENTO

En la Figura 2.9 se muestran los procesos de compresión isoentrópico y politrópico

(n=1.52) para el caso de un turbocompresor centrífugo de un solo escalonamiento (πi =6,

πimp=4), ya se mencionó con anterioridad que, cuando se habla de un escalonamiento se

entiende que es la presión ganada en el rotor o impulsor más la ganada en el difusor, por

lo tanto, la relación de presión está dada como [1]:

3 32i imp dif

1 2 1

p ppπ π π =

p p p

(1.46)

Para elevar la presión en el impulsor, se requiere suministrar trabajo; éste se expresa por

la ecuación de Euler de la transferencia de energía para máquinas receptoras, por lo tanto,

considerando una compresión isoentrópica y sin tener prerrotación a la entrada del ojo de

admisión del compresor, se tiene que

s 2 u2 1 u1τ = U c U c (1.10)

De no ser así, se tendría un trabajo de compresión politrópico, que se obtiene al aplicar

Primera Ley de la Termodinámica para un sistema de flujo estable; al ser despreciable el

cambio en la energía potencial, y considerando la energía cinética, debido a que la

relación de presiones que se desea obtener es muy baja, entonces, la ecuación de la

Primera Ley de la Termodinámica se reduce a:

2 1

2

2 2X

s p 1 imp

c cτ =C T π 1 (2.6)

Figura 2.9 Relación de presiones en un escalonamiento para un turbocompresor centrífugo.

p1=1 bar

p3=6.0 bar

n=1

.4

T3=550.36

T3s=497.47

p2=4.0 bar

T2s=443.05

T1=298.15

T2=479.07

200

300

400

500

600

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Entropía [kJ/kgK]

3

3s

1

22s

T1= 25 °C

p1= 1 bar n=1.52

Cp= 1.004 kJ/kgK

Ra=0.2877 kJ/kgK

πi=6

Eficiencia en un escalonamiento


54

Con ambos trabajos de compresión, se define a la eficiencia del impulsor como:

1

2 1

2

s 2 u2 1 u1imp n 2 2

np 1 imp

τ U c U cη = =

τ c cC T π 1

(2.29)

O bien, en función de las entalpías

2s 1 2s 1imp

2 1 2 1

h h T Tη = =

h h T T

De igual manera, y con base a la Figura 2.9, la eficiencia del difusor en función de las

temperaturas es:

2 2

3 2 3 2

3s 3sdif

h h T Tη = =

h h T T

(2.30)

Al aplicar la Primera Ley de la Termodinámica al dispositivo del difusor se tiene que, el

término de la potencia (Τ) y el cambio en la energía potencial (Δpe), son cero, al igual que

el flujo de calor, siendo este último consecuencia del poco tiempo de interacción entre

fluido y difusor, debido a las altas velocidades del fluido. Por tanto, el cambio de entalpía

en el difusor corresponde a un proceso de compresión adiabático reversible, es decir, el

trabajo para un proceso de compresión isoentrópico.

2 22 3

s,dif 3s 2

c cτ =h h =

2 (2.31)

Por ello, se reescribe a la expresión de la eficiencia del difusor como

2 3

2 2s,dif

dif

p 3 2

τ c cη =

τ 2C T T (2.32)

O bien, en términos de las relación de presiones como:

2 3 2 3 2 3

1 1

2 2 2 2 2 2

dif n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

n n n n np 2 dif p imp dif p i imp

c c c c c cη =

2C T π 1 2C T π π 1 2C T π π

La eficiencia de los difusores suele ser del mismo orden que el del rotor, pudiéndose

estimar la eficiencia interna global (rotor + difusor), del orden del 75% al 95%. De igual

manera, se tiene que la eficiencia para el escalonamiento está dado como:

1

3 1

X

3si n 1

n

π 1T Tη = =

T Tπ 1

(2.33)

La eficiencia para un solo escalonamiento dado por la ecuación (3.22) sólo es aplicable



55

para procesos de compresión sin enfriamiento (n>γ). El trabajo de compresión real está

dado como el trabajo de compresión isoentrópico entre la eficiencia, se observa en la

Figura 2.10 [6], como el trabajo real aumenta cuando disminuye la eficiencia del

compresor o aumenta la relación de presión en el escalonamiento.

Figura 2.10 Trabajo real contra relación de presión.

El cambio de entropía para un proceso de compresión en un escalonamiento (ecuación

(2.34)) está en función de la relación de presión π, siendo independiente de la temperatura

del aire a la entrada del compresor, se observa en la Figura 2.11, cómo el cambio de

entropía aumenta con la relación de presión en forma exponencial.

3 lna

n 1

n1 ps s =C ln π R π (2.34)

Figura 2.11 Cambio de entropía contra relación de presión π.

0

100

200

300

400

500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Trab

ajo

re

al [

kJkg

]

Relación de presión (π)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Δs

[kJ/

kgK

]

Relacion de presión (π)

Cp= 1.004 kJ/kgK

Ra=0.2877 kJ/kgK


T1= 25 °C

γ=1.4

Cp= 1.004 kJ/kgK

η=1.00

η=0.85

η=0.70

η=0.60


56

Ejemplo 2.2

Entra aire a un turbocompresor de un escalonamiento a T1=25 °C y p1=1 bar. La velocidad

de entrada al impulsor es c1=100 m/s y a la salida del mismo es c2=170 m/s. Del difusor

sale el aire con una velocidad c3=120 m/s. El trabajo de compresión es de 130 kJ/kg y el

índice politrópico tiene un valor de n=1.48, si la eficiencia en el impulsor y en el difusor

es el mismo, calcular a) Presión a la salida del impulsor, b) Temperatura del aire a la

salida del impulsor, c) Eficiencia del impulsor, d) Presión a la salida del difusor e)

Relación de presiones del escalonamiento, f) Temperatura al final del escalonamiento y e)

Eficiencia del escalonamiento.

Solución:

a) Presión a la salida del impulsor

12

n

2 2 n 12

imp 1 1

p 1

c c1p =π p p τ +1

C T 2

1.48

2

170.0 100.01.0 2.838

1.004 298.15

1.482 2 1

1p = 130.0 +1 bar

2 1000

b) Temperatura del aire a la salida del impulsor

1.48

1.482 298.15 2.838 .07

n 1 1

n1 impT =T π 418.22 K =145 °C

c) Eficiencia del impulsor

1.48

1.48

2.8380.862

2.838

X 0.2857imp

imp n 1 1

nimp

π 1 1η =

π 1 1

d) Presión a la salida del difusor

1.48

1.48

3

170.0 120.02.838 1.0

2 0.862 1004.0 298.15

n2 2 12 2 n 1

2 3imp 1

imp p 2

c cp =π p +1 +1 3.017 bar

2η C T

e).-Relación de presiones del escalonamiento

i imp dif

3.017π =π π = =3.017

1.0

f) Temperatura al final del escalonamiento

1.48

1.483 298.15 3.017 53.44

n 1 1

n1 iT =T π 426.592 K =1 °C



57

e) Eficiencia del escalonamiento.

X 0.2857

i n-1 1.48-1

n 1.48

π 1 3.017 1η = = =0.861

π 1 3.017 1

2.5 EFICIENCIA EN VARIOS ESCALONAMIENTOS

Generalmente, y como ya se ha comentado, las turbomaquinas están compuestas por

varios escalonamientos (z), y es uno de los parámetros fundamentales para el diseño de

los turbocompresores, junto con el diámetro de referencia (D), y la velocidad de giro (N),

permitiendo la construcción de máquinas de tamaño razonable.

Para obtener una primera aproximación de las dimensiones de la turbomaquina, se

considera en la ecuación de Euler que las componentes de la carga dinámica y el término

de la carga estática referente a la velocidad relativa del flujo de fluido son cero; y

expresando al término de la acción centrífuga en función de la velocidad de giro (N), y de

los diámetros correspondientes (D1 y D2) para un trabajo de compresión fijo, el cual está

dado por la ecuación del modelo politrópico (2.2.) con n=γ, se tiene que [1]

2 2

2 2s 2 1

π Nτ = D D

7200 …………. (2.35)

Donde la velocidad límite para la velocidad periférica U2 es aproximadamente de 320 m/s

en turbocompresores centrífugos, evitando así, turbulencia en la máquina o fracturas tanto

en el rotor como en álabes, consecuencia de una resistencia mecánica baja, lo que

conlleva a realizar la compresión del fluido en varios escalonamientos (ver Figura 2.12)

para poder obtener la relación de presiones deseada al final del proceso. Además de que la

máquina alcanza una mayor eficiencia.

Figura 2.12 Turbocompresor centrífugo de 3 escalonamientos, con una relación de presiones

total de hasta 80.0 bar, para un gasto de 2,000.0-660,000.0 m3/h (Cortesía MAN) [20].

Eficiencia en varios escalonamientos


58

En la Figura 2.13 se han trazado los procesos de compresión isoentrópico y politrópico en

un diagrama h-s para un turbocompresor de 4 escalonamientos (z=4), para una relación de

presiones π=16, del cual se tiene que, el salto entálpico isoentrópico en cada uno de los

escalonamientos es [5]:

i,s 2s 1 3s 2s 4s 3s 5s 4sh =h h =h h =h h =h h =90.5 kJ/kg

Figura 2.13 Proceso de compresión isoentrópico y politrópico con 4 escalonamientos.

Si se realizará el análisis pensando en un sólo proceso de compresión, es decir, un sólo

escalonamiento, el rendimiento interno de forma general sería

1z+1 s

1z+1

h hη=

h h (2.36)

Para los cuatro escalonamiento, se tiene que

1

5s

2s

3s

4s

2

3

4

p1=1.00 bar

5

pi,1=2.51 bar

Δhi,1=90.5

pi,2=5.22 bar

Δhi,2=93.41

pi,3=9.56 bar

Δhi,3=97.61

pi,4=16 bar

Δhi,4=99.91

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

5.60 5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90 5.95 6.00

Enta

lpía

[kJ

/kg]

Entropía [kJ/kgK]

3ss

4ss

5ss735.68

661.00

299.38

622.55

511.83

403.90

T1= 25 °C

p1= 1 bar n=1.52

Cp= 1.004 kJ/kgK

Ra=0.2877 kJ/kgK

π=16

Eficiencia en varios escalonamientos


59

5s 1

5 1

h hη=

h h

El salto entálpico isoentrópico es:

1.00 2 5s 1

kJh h =66 99.38=361.65

kg

El salto entálpico politrópico es:

5.68 2 5 1

kJh h =73 99.38=436.34

kg

Por tanto, la eficiencia (η) es:

361.650.828

436.34η=

Sin embargo, al dividir la compresión, en este caso en 4 escalonamientos, se puede

observar, que el trabajo de compresión isoentrópico que se requiere suministrar en cada

uno de los escalonamientos (Δhi,s), es distinto en comparación al equivalente en el caso de

un solo escalonamiento (excepto para el primer salto entálpico (h2s-h1)), es decir:

2s 2s 1 i,1 3s i,2h h Δh ; h h Δh

3 4s s 4s i,3 5s i,4h h Δh ; h h Δh

Al dividir la compresión, la eficiencia en general resulta ser:

1

z

g

i,g

1z+1

Δh

η'=h h

(2.37)

Al realizar la comparación entre los saltos entálpicos isoentrópico de las ecuaciones (2.36)

y (2.37), resulta ser que

1

z

sg

i,g 1z+1Δh h h (2.38)

sustituyendo los valores en la ecuación (2.25)

5

1

90.5 93.41 97.61 99.91 381. 361.65g

i,g 5s 1

kJ kJΔh 35 h h

kg kg

Entonces, la eficiencia queda como:

381.350.873

436.34η'=

Al realizar la comparación entre las eficiencias internas se tiene que, la eficiencia

Enfriamiento intermedio en la compresión


60

mejora con la división de la compresión en varios escalonamientos, debido a la

divergencia de las isóbaras.

η'>η (2.39)

2.6 ENFRIAMIENTO INTERMEDIO EN LA COMPRESIÓN

Una de las ventajas, resultado de la división de la compresión es el poder reducir el

trabajo de compresión a través de cada una de las etapas múltiples con enfriamiento

intermedio, en la que se comprime al gas en etapas y se enfría pasándolo por un

intercambiador de calor, bajo la consideración idealizada de que la presión permanece

constante, debido a que las pérdidas de presión en el aire son muy pequeñas en relación

con las presiones de trabajo. En la Figura 2.14 se muestra un compresor isotermo de 5

escalonamientos, en el cual, el índice politrópico considerado en cada escalonamiento es

1.48, en el que se realiza el enfriamiento al final de los primeros 4 escalonamientos,

aunque puede darse después de dos o tres escalonamientos según sean las temperaturas

que se deseen obtener al final de cada salto de presión.

Figura 2.14 Turbocompresor centrífugo isotermo de 5 escalonamientos, con una relación de

presiones total de hasta 80 bar, para un gasto de 66,000-700,000 m3/h (Cortesía MAN) [20].

Se ilustra gráficamente en la Figura 2.15 el diagrama T-s del turbocompresor isotermo,

con las presiones conocidas al final de cada escalonamiento. Además, se observa en la

Enfriamiento intermedio en la compresión


61

misma Figura 2.15 que la temperatura al final de cada escalonamiento con el enfriamiento

correspondiente se mantiene con el mismo valor al de la temperatura de entrada de la

Turbomáquina [6].

Figura 2.15 Diagrama T-s para el proceso de compresión con enfriamiento intermedio del

Turbocompresor centrífugo mostrado en la Figura 2.14.

En la Tabla 2.1 se muestran los valores de la temperatura, de la presión y del volumen

específico en cada estado del proceso de compresión con enfriamiento intermedio.

Tabla 2.1 Propiedades termodinámicas en cada estado de la compresión (Sección 2.6).

Estado p (bar) T (K) v (m3/kg) Estado p (bar) T (K) v (m

3/kg)

1 1.000 298.15 0.8578 6 5.665 359.63 0.1827

2 1.783 359.63 0.5804 6s 5.665 351.69 0.1786

2s 1.783 351.69 0.5676 7 5.665 298.15 0.1514

3 1.783 298.15 0.4812 8 10.098 359.63 0.1025

4 3.178 359.63 0.3256 8s 10.098 351.69 0.1002

4s 3.178 351.69 0.3184 9 10.098 298.15 0.0849

5 3.178 298.15 0.2699 10e 18.000 359.63 0.0575

10s 18.000 351.69 0.0562

13579

2s4s6s8s10s

246810e

270

280

290

300

310

320

330

340

350

360

370

380

390

4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Entropía [kJkg/K]

T1= 25 °C p1= 1 bar

n=1.48


π=18

Relación de presiones óptima en varios escalonamientos


62

En el diagrama p-v de la Figura 2.16 se muestran los 5 procesos de compresión

politrópicos (color rojo), siendo en las isobaras pi,1, pi,2, pi,3 y pi,4 donde se da el proceso de

enfriamiento, reduciendo el volumen específico como resultado de una disminución en la

temperatura, relacionadas mediante la ecuación del gas ideal. Además, la línea punteada

(color negro) muestra el salto de presión de 18 bar para cuando es un solo escalonamiento

y el proceso es isotérmico, la línea continua (color amarillo) muestra el salto de presión de

18 bar para cuando es un solo escalonamiento y el proceso es politrópico.

Figura 2.16 Diagrama p-v para el proceso de compresión con enfriamiento intermedio del

Turbocompresor centrífugo mostrado en la Figura 2.14.

Ya se mencionó en la sección 2.1.3 que para una compresión politrópica con

enfriamiento, el trabajo requerido en la compresión es menor, lo cual se muestra en la

Figura 2.16, donde el área encerrada entre la línea amarilla (compresión politrópica, un

solo escalonamiento), las líneas rojas (compresión politrópica por escalonamiento) y las

isobaras, corresponde al calor eliminado o calor cedido por el fluido de trabajo a los

fluidos de servicios auxiliares en los equipos de intercambio de calor.

3 2 5 4 7 6 9 8 elimq = h h h h h h h h

p1=1.0 bar3

Enfr

iam

ien

to

pi,1= 1.783 bar25

4 pi,2= 3.178 barEnfr

iam

ien

to

76 pi,3=5.665 barEn

fria

mie

nto9

8 pi,4=10.098 barEnfr

iam

ien

to

Compresión Isotérmica

-----------

10e pi,5=18.0 bar

Compresión politrópica

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

20.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Pre

sió

n [

bar

]

Volumen específico [m3/kg]

T1= 25 °C

p1= 1 bar

n=1.48


π=18

10



63

O bien, en función de las relaciones de presión

π

Donde el trabajo de compresión politrópico con fricción es:

π

El trabajo de compresión politrópico ( suministrado al turbocompresor centrífugo

isotermo considerado, es de

1.48-1 1.48-1 1.48-1 1.48-1 1.48-1

1.48 1.48 1.48 1.48 1.48

c

1.78 3.17 5.66 10.09 18.0 kJτ = 1.004 298.15 + + + + -5 =308.637

1.0 1.78 3.17 5.66 10.09 kg

Por tanto, el calor transferido del fluido de trabajo (aire) a los servicios auxiliares es de

elim

kJq =464.99 308.637=156.354

kg

Una ventaja más que respalda la división en la compresión, es nuevamente la disminución

del trabajo de compresión, al mantener constante una relación de presión óptima en cada

uno de los escalonamientos presentes en el turbocompresor, para ello, se citan las

condiciones de óptimalidad.

2.6.1 CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE DE ÓPTIMALIDAD

Considérese minimizar el trabajo de compresión en función de cualquier variable, por

ejemplo: L; Sea Min τ=f(L), donde L es un número real y f(L) una función diferenciable

en los reales, entonces, se establecen los siguientes Teoremas [8].

Teorema 1 (Condición necesaria): Si f(L) tiene un óptimo local en Lopt y si f(L) es

diferenciable sobre un pequeño intervalo centrado en Lopt, entonces f’(Lopt)=0.

Teorema 2 (Condición suficiente): Si f(L) es 2 veces diferenciable en un pequeño

intervalo centrado en Lopt y sí

i. f’(Lopt)=0

ii. f’’(Lopt)>0

entonces, tiene un mínimo local en Lopt, o si

iii. f’(Lopt)=0

iv. f’’(Lopt)<0

entonces, f’(Lopt)=0 iene un máximo local en Lopt.



64

Para obtener la relación de presión óptima para varios escalonamientos, basta con sólo

tomar dos saltos de presión cualquiera entre un proceso de compresión de varios

escalonamientos, por lo tanto, se muestra en la Figura 2.17 a las isobaras p1, pi,1 y pi,2 de la

Figura 2.15, pensando que no se conocen aún los valores de las presiones consideradas.

Figura 2.17 Diagrama T-s para la obtención de la relación de presión óptima.

El trabajo real por unidad de masa para ambos escalonamientos es

2 4 3 4 3 1 p 2 1 pτ= h h + h h C T T C T T

Como se trata de procesos de compresión isotérmica, T1=T3, entonces

4 12p 2τ=C T +T T

O bien, en función de la relación de presiones correspondiente

1 2

n 1 n 1

n ni,1 i,2

p

1 1

p pτ=C T

p p

Definidas las relaciones de presiones como:

i,1i,1

1

pπ =

p (2.40)

i,2i,2

i,1

pπ =

p (2.41)

Entonces, i,1p es la variable que determina la relación de presión óptima, lo que indica que

para optimizar f i,1τ, τ= p . Al aplicar el Teorema 1 de óptimalidad (condición necesaria),

queda que

135

2s4s24

270

290

310

330

350

370

390

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Entalpía [kJkg/K]



65

1

1 1

1

1' 0f

n 1 n 1 n 1 n

n n n ni,1 p 1 i,1 i,2 i,1

n 1 np =C T p p p p

n n

Como se busca el valor de , al dividir a la ecuación homogénea anterior por 1pC T y

multiplicar por n 1

n, se tiene que

1 2

0

n 1 1 n 1 n

n n n n1 i,1 i,2 i,1p p p p

multiplicando por 1

ni,1p

12

0

nn 1 n 1nn n

1 i,2 i,1p p p

despejando a la variable i,1p

1 1

2

nn n 1 n

n ni,1 1 i,2p p p

2i,1 1 i,2p =p p (2.42)

Se puede expresar también a la ecuación (2.29) como:

i,1 i,2

1 i,1

p p=

p p

Con las definiciones en las ecuaciones (2.27) y (2.28), la relación de presión óptima es:

i,1 i,2i,opt

1 i,1

p pπ = =

p p

Al aplicar el Teorema 2 de óptimalidad (condición suficiente), el valor de i,1p es

i,1 1 i,2p 2n 1 p p >0

Por tanto, f i,1τ= p tiene un mínimo en cuanto i,1 i,2π =π , al aplicar el mismo

procedimiento a los tres siguientes escalonamiento, se encuentra que

i,1 i,2 i,3 i,4 i,5π =π =π =π =π

La relación de presiones para todo el proceso es compresión con z=5 es:

i,5 i,1 i,2 i,3 i,4 i,5i,1 i,2 i,3 i,4 i,5

1 1 i,1 i,2 i,3 i,4

p p p p p pπ= = =π π π π π

p p p p p p



66

Por tanto, de forma general, la relación de presión óptima está en función del número de

escalonamientos (z) para una π dada, es decir:

1

zi,optπ =π (2.43)

El valor de i,optπ para el Turbocompresor isotermo tratado en esta sección es:

1 1

518.0 1.782z i,optπ =π

La eficiencia para el primer escalonamiento del turbocompresor isotérmico, con una

relación de presión πi =1.783 es:

0.2857

2 1.48

0.871

Xi,12s 1s

i,1 n-1 1.48-11 n

i,1

π 1 1.783 1h hτη = =

τ h hπ 1 1.783 1

En la Tabla 2.2 están contenidos los valores de las presiones óptimas, del rendimiento

interno y presiones, todos para el estado final en cada proceso de compresión, cabe

resaltar que las presiones para cada escalonamiento coinciden con las presiones mostradas

en la Figura 2.15.

Tabla 2.2 Relación de presiones óptima y presiones al final de cada escalonamiento, al igual

que el rendimiento interno correspondiente (Sección 2.6).

Escalonamiento Presión pi,z (bar) πi,opt ηi,z

0 1.000 --- ---

1 1.782 1.782 0.871

2 3.178 1.782 0.871

3 5.665 1.782 0.871

4 10.098 1.782 0.871

5 18.000 1.782 0.871

Para poder mejorar la transferencia de energía, evitar turbulencias a la entrada del flujo de

fluido a la turbomaquina, así como mejorar la eficiencia, debe impedirse una prerrotación

del fluido en el sentido del giro de la velocidad angular del eje del rotor, dando como

resultado, que la velocidad tangencial a la entrada del impulsor sea cero (cu1=0), lo que

reduce a la ecuación de Euler del trabajo de compresión ideal (isoentrópico) a

s 2 u2τ =U c

Si la velocidad límite de la velocidad periférica U2 para turbocompresores centrífugos con

Área normal al gasto volumétrico


67

álabes curveados hacia atrás es de 320 m/s, la velocidad cu2 del fluido a la salida del

impulsor es

0.2857

1 1 1.004 298.15 1

320.0

Xp i,1s

u2

2 2

C T π 1.783τ mc 167.99

U U s

Para poder determinar un valor aproximado del área normal al gasto volumétrico , por

ecuación de continuidad se sabe que 2 R2m=ρA c =ρG , por tanto, al utilizar el triángulo de

velocidades representativo a la salida del impulsor de la Figura 1.16b, se expresa a la

velocidad como:

u2 2 R2 2c U c Cot β (2.44)

Sustituyendo cR2 de la ecuación de continuidad en la ecuación (2.44), al despejar A2 se

obtiene

22

R2 2 u2

Cot β GGA =

c U c (2.45)

Para valores intermedios de β2, de entre 30° y 90°, para los que suele estar el ángulo de

álabe del impulsor en un turbocompresor con álabes curveados hacia atrás, se bosqueja en

la Figura 2.18 el comportamiento de A2 en función del gasto volumétrico, G , para

distintos valores de β2, donde la pendiente es / 2 2 u2Cot β U c . Se observa en la Figura

2.18 que A2 aumenta linealmente al incrementarse el gasto volumétrico, o bien, cuando el

ángulo de álabe (β2) disminuye.

La potencia que se requiere suministrar al turbocompresor isotérmico para obtener una

relación de presiones total igual a 18, considerando el máximo gasto volumétrico (70, 000

m3/hr) que podría esperarse a la entrada del turbocompresor es:

1700,000.0 308.63

0.2877 298.15 3600máx

a

51

c máx cG1

p 1.0 10=mτ G τ 69.96 MW

R T

Por el contrario, la potencia que se requiere suministrar cuando se tiene a la entrada del

turbocompresor el mínimo gasto volumétrico (66,000 m3/hr), es:

min

166,000.0 308.63

0.2877 298.15 3600a

51

c min cG1

p 1.0 10=mτ G τ 7.334 MW

R T

El cambio de entropía del estado 1 al estado 10e es:

Potencia en función del gasto volumétrico


68

la

10e10e 1 p

1

T 359.63s s =C ln R n π = 1.004 ln 0.2877 ln 18.0

T 298.15

10e 1

kJs s = 0.6433

kgK

Figura 2.18 Área normal a la salida del impulsor en función del gasto volumétrico.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Áre

a n

orm

al [

m2 ]

Gasto volumétrico [m3/hr]X1000

β2= 30°

β2= 45°

β2= 75°

β2= 60°

Potencia en función del gasto volumétrico


69


3.1 COMPRESOR Y TURBOCOMPRESOR

Es muy importante poder comprender la diferencia que existe entre un compresor y un

turbocompresor, ya que ambos pueden ser de flujo axial, flujo radial o su combinación. La

función del compresor es comprimir al fluido de trabajo, mediante el uso de movimiento

mecánico a través de cualquier dispositivo; mientras que el turbocompresor o compresor

dinámico, es para el caso en que se tiene acoplada una turbina a un compresor, y

aprovechar la energía de los gases de combustión para poder comprimir al fluido de

trabajo, además de conseguir aumentar la energía dinámica del fluido por acción del rotor,

en el difusor se desacelera el fluido y aumenta la energía estática, a este proceso se le

llama difusión; de ésta manera, es característico que la presión de salida sea mayor o igual

en un turbocompresor al hacer uso del mismo trabajo suministrado.

En las secciones siguientes se introducen nuevos conceptos referentes a las partes del

compresor, como es el ojo de admisión, el cual es un ducto por el que ingresa el fluido de

trabajo al impulsor (ver Figura 3.1).

Figura 3.1 Compresor centrífugo con álabes de salida radial.

También es común encontrar en operación compresores con más de una entrada de

admisión, debido a que las dimensiones del espaciado varían de acuerdo a su aplicación

industrial, por lo tanto, se tiene que los impulsores pueden ser, por ejemplo: de entrada

simple o de entrada doble (ver Figura 3.2). Las principales diferencias radican en sus

dimensiones y en el arreglo de los ductos de admisión, por ejemplo: en el compresor de

Compresor y Turbocompresor

Punta del ojo (Eye tip)

Raíz del ojo (Eye root)

Profundidad axial de los canales

Impulsor

Ojo de admisión

Ojo de admisión

Salida del Difusor

Rotor


70

doble entrada se tiene un diámetro menor; además, de manejar velocidades de giro

mayores y así poder asegurar la corriente de aire necesaria a la entrada, caso contrario en

el compresor de una sola entrada, ya que se requiere un diámetro mayor para entregar la

misma cantidad de aire a la salida, aunque claro, su diseño estructural es más sencillo.

Figura 3.2 Compresor centrífugo a) De entrada simple, b) De entrada doble.

Si los compresores correspondientes a los impulsores de la Figura 3.2 tienen como

finalidad efectuar una misma aplicación; entonces, existe una relación equivalente entre

los parámetros que rigen su funcionamiento, por tanto, de forma general, para que exista

una similitud física completa entre dos máquinas, debe darse una similitud geométrica,

cinemática y dinámica (ver Tabla 3.1), dando la ventaja de que este principio radica en el

estudio de las propiedades físicas en un prototipo de menor tamaño o costo, para después

aplicar los resultados a la máquina real [1].

Tabla 3.1 Relaciones para una similitud física completa entre dos máquinas.

Similitud Relación

Geométrica Dimensiones lineales en partes homogéneas.

Cinemática Velocidades absolutas de entrada y salida.

Dinámica Magnitudes de fuerzas en puntos análogos.

Cada una de las similitudes anteriores se basan en parámetros característicos que siguen

las leyes de funcionamiento para turbomaquinas, siguiendo modelos idealizados, con los

que se logra determinar las variables que condicionan a una función en específico, por

ejemplo: de la ecuación (3.1), donde las 9 primeras variables se refieren al fluido y las dos

restantes a la máquina, agrupando variables mediante un análisis dimensional o por

principios dinámicos, se encuentran a los parámetros que caracterizan el diseño u

operación de las turbomaquinas. Uno de los métodos de análisis dimensional más usado

para demostrar las ecuaciones físicas ya existentes, es el Teorema de Buckingham (Anexo

B1).

a) b)

Compresor y Turbocompresor


71

f p v partp,v,T,C ,C ,R ,λ,μ,G,N,D =0

(3.1)

3.2 PARÁMETROS QUE CARACTERIZAN AL FLUIDO

Otros grupos adimensionales se forman a través del análisis dimensional, y con éstos se

determinan los parámetros que caracterizan al fluido, que son de suma importancia para

encontrar los límites de diseño y de operación de la turbomaquina, desde distintas

perspectivas (por ejemplo: Termodinámica y Mecánica de Fluidos), algunos de estos

parámetros característicos son [1]:

i. Coeficiente de expansión isobárico

p

1 vβ=

v T

ii. Coeficiente de compresibilidad isotérmica

T

T

1 vK =

v p

iii. Coeficiente de compresibilidad isoentrópica

s

s

1 vK =

v p

iv. Módulo de elasticidad isoentrópica s

s

1E =

K

v. Número de Euler, que califica la acción inercial u

cE =

2Δp

ρ

vi. Número de Reynolds, referente a la viscosidad ρcD

Re=μ

vii. Número de Mach, califica la acción inercial onda

cM=

c

viii. Número de Plandtl, relacionado con la conductividad

térmica p

r

C μP =

λ

ix. Relación de calores específicos o coeficiente

isoentrópico

p

v

Cγ=

C

x. Relación de presiones 2

1

pπ=

p

xi. Velocidad de la onda elástica onda

Ec =

ρ

Parámetros que caracterizan al fluido


72

c´u2

cu2

3.3 TRABAJO DE COMPRESIÓN

El trabajo suministrado en un proceso de compresión isoentrópico, está dado por la

ecuación de Euler de la transferencia de la energía para máquinas receptoras,

considerando que la dirección de la velocidad del flujo de fluido a la entrada del impulsor

es totalmente axial (c1=ca), se reescribe la ecuación de Euler como sigue [23]:

s 2 u2τ =U c (3.2)

La ecuación (3.2) determina el trabajo de compresión de forma idealizada, ignorando al

torbellino relativo entre los álabes, que son en sentido opuesto a ω, resultado de la propia

rotación de la turbomaquina (ver Figura 3.3). En la misma Figura 3.3 se muestra el

triángulo de velocidades para la corriente de flujo con deslizamiento a la salida del

impulsor, resultado del torbellino, obligándolo a salir bajo un ángulo β´2<β2. A la relación

entre la velocidad del fluido en dirección tangencial y la velocidad periférica, define el

factor de deslizamiento (σ), que cuantifica la disminución de la energía transferida [25].

u2

2

cς=

U (3.3)

Figura 3.3 Triángulo de velocidades para una corriente de flujo con deslizamiento.

El factor de desplazamiento es siempre constante, y se relaciona con el número de álabes

en el impulsor (n) por medio de modelos matemáticos, una de ellas, es propuesta por

Stodola [9].

2πSen βς=1

n (3.4)

r1

rpun

r2

W2 c2 β´2

U2

cm2

Δcu

β2

Trabajo de Compresión


73

El valor de σ es típicamente de alrededor de 0.9 para un compresor con un número de

álabes entre 19-21; de forma general, σ tiene un valor alto para un β2 chico y un n grande,

o viceversa. Ahora, al despejar a la velocidad tangencial cu2 de la ecuación (3.3) y

sustituyendo en la ecuación (3.2), se tiene que

2s 2τ =ςU (3.5)

Al ser la ecuación de Euler una expresión modelada idealmente, se ignoran algunas

pérdidas de energía, como son: por fricción en el eje de rotor, por efecto del frenado de

aire al paso del fluido por los ductos entre álabes y carcasa, o también, por variaciones en

la velocidad del viento que modifican el flujo de fluido a la entrada de la máquina, por lo

tanto, se introduce el factor de potencia de entrada (ψ), tomando valores mayores a la

unidad, para así, tener una primera aproximación del trabajo real que hay que suministrar,

y se expresa de la siguiente manera:

2c 2τ =ψςU (3.6)

Entonces, la potencia (Τ) requerida para el proceso de compresión es:

2c 2=m τ =mψςU (3.7)

3.4 RELACIÓN DE PRESIONES

El trabajo suministrado en un proceso de compresión adiabático reversible, en función de

la temperatura de estancamiento a la salida del compresor T02, y a la entrada del impulsor

(ver Sección 3.9), T01, es:

c 02 01 p 02 01τ = h h =C T T (3.6.1)

El impulsor y difusor son los dispositivos que conforman a un escalonamiento de un

compresor, siendo sólo en el impulsor en donde se hace trabajo, la temperatura a la salida

del difusor es igual a la temperatura a la salida del impulsor, es decir, T03=T02, entonces,

se define a la eficiencia isoentrópica de compresión (ηSIC) como:

p 01 03s 01 03s 01SIC

p 01 03 01 03 01

C T T T T Tη = =

C T T T T T (3.8)

O bien, en función de la relación de presiones en el escalonamiento

Xi

SIC n-1

ni

π 1η =

π 1 (3.9)

En la actualidad, el diseño de cualquier compresor debe ser factible a las condiciones

Relación de Presiones


74

dadas, especialmente por los procesos industriales, buscando su viabilidad o rentabilidad,

en este caso podría ser, si se dispone de energía con calidad que puede ser transformada

en trabajo, entonces, habría que verificar si la relación de presiones al final de la

compresión está por arriba de la deseada, de no ser así, proponer un nuevo diseño que sí

las satisfaga. Para encontrar esta relación de presiones en función del trabajo real

disponible [10], se sustituye la ecuación (3.6) en la ecuación (3.8) de la eficiencia

isoentrópica de compresión (ηSIC), se tiene que

X 2s p 03s 01 p 01 i SIC 2τ =C T T =C T π 1 =η ψςU

la relación de presiones está dada como:

1

X

2SIC 203

i

01 p 01

η ψςUpπ = = +1

p C T (3.10)

O bien, en función de la relación de temperaturas de estancamiento para un proceso de

compresión isoentrópico.

γγ-1

03 03si

01 01

p Tπ = =

p T

Para impulsores fabricados de aleación ligera y de una sola entrada, la velocidad

periférica U2 está limitada a los 460 m/s.

3.5 COEFICIENTE DE FLUJO

Los factores que son indispensables en el diseño del compresor, pero independientes del

propio diseñador, son las condiciones del lugar en que operará el compresor, por ejemplo:

la presión atmosférica y la temperatura del fluido en la admisión del compresor, lo que

conlleva a un estudio previo de la ubicación de la planta o industria, y así obtener una

mayor eficiencia del proceso. De la expresión (3.10), el parámetro que determina las

dimensiones del compresor es la velocidad periférica, el diseñador relaciona a la

velocidad periférica con el gasto volumétrico disponible y con la velocidad de giro, con la

siguiente proporcionalidad 3GαD N, al coeficiente que convierte esta proporción en

igualdad se llama coeficiente de flujo (ϕ), definido como [1]:

3

G=

D N (3.11)

Este coeficiente de flujo depende de la geometría del ducto de circulación del flujo en el

compresor, para el caso de compresores centrífugos, se determina por la anchura d/D,

Coeficiente de flujo


75

siendo d el ancho del difusor. En la realidad se da su valor basado en la experiencia del

diseñador, por lo que, al ser redefinida la expresión del coeficiente de flujo, se tiene que

2

G=

D U (3.12)

3.6 CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN

Continuando con la hipótesis en donde cu1=0, es decir, sin prerrotación, entonces, al tener

flujo estable y un área determinada a la salida del impulsor (A2), la cual corresponde al

área de entrada del dispositivo del difusor, es posible mostrar gráficamente, el

comportamiento de la transferencia de energía de un compresor en específico, en función

del gasto volumétrico, a esta curva se le conoce como Característica de Operación, y se

obtiene de la ecuación de la velocidad tangencial (cu2) en función del ángulo de álabe [1]

(ver Figura 1.2), la cual está dada como:

u2 2 R2 2c =U c Cot β (3.13)

Si a la salida del impulsor, la componente de la velocidad absoluta c2 que atraviesa al área

A2 perpendicularmente es la velocidad radial (cR2). De la definición del gasto volumétrico

),R2 2(c =G/A sustituyendo G en la ecuación (3.13), y posteriormente en la ecuación (3.2),

el trabajo de compresión isoentrópico es:

2 22s 2

2

U Cot βτ =U G

A (3.14)

Del ejemplo (1.4.2) y suponiendo un área igual a la unidad, las curvas características de

operación se muestran en la Figura 3.4, observando que

Figura 3.4 Curva característica de operación.

τs es constante para cualquier G, con un β2=90°.

β2<90°

β2=90°

β2>90°

89

90

91

92

93

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

τ s[k

J/kg

]

Gasto volumétrico [m3/s]

Característica de Operación

A2= 1m2

U2=301.6 m/s


76

τs aumenta al aumentar G , para el caso en que β2 > 90°.

τs disminuye al aumentar G , para el caso en que β2 < 90°.

3.7 COEFICIENTE DE PRESIÓN

Si el trabajo por unidad de masa es proporcional a D2N2, se tiene la siguiente expresión:

2 2uτ=Uc αD N

El coeficiente que convierte en igualdad la proporción de la ecuación anterior, es llamado

coeficiente de presión o coeficiente de carga, denotado con la letra griega (μ).

2 2

τμ'=

D N (3.15)

De acuerdo a la definición de la velocidad periférica U = πND, al sustituir ND en la

ecuación (3.15) y multiplicando por π2, resulta el coeficiente utilizado en la práctica

constructiva, debido a que μ’ y μ son adimensionales y ambos significan lo mismo, por

tanto, el coeficiente de presión está expresado como:

2

τμ=

U (3.16)

Si se tienen z escalonamientos, y en cada uno de ellos se requiere el mismo trabajo,

entonces, el trabajo para cada escalonamiento es τ/z, que al sustituir en la ecuación (3.16),

se tiene que

2

τμ=

zU (3.17)

Si el valor de la energía disponible para ser suministrado como trabajo al compresor es un

valor ya conocido, entonces, ahora la incógnita es conocer el número de escalonamientos

requeridos, cuando se tiene una primera perspectiva de la dimensión radial que debe tener

la máquina. Bajo un modelo idealizado, el trabajo de compresión politrópico sin fricción

estará dado por la ecuación (2.13), que al despejar de la ecuación (3.17) el número de

escalonamientos z [1], se tiene que

a

n 1

n2

1

1

2

pn 1R T 1

n p

z=μU

(3.18)

Los valores de μ varían de acuerdo al tipo de turbomaquina, siendo aproximadamente de

0.48 en compresores centrífugos y de 0.35 a 0.5 en compresores axiales. Se demostró en

Coeficiente de Presión


77

la sección 2.2.1 que al aumentar el índice politrópico, se reduce la eficiencia en el proceso

de compresión, requiriendo un mayor trabajo suministrado o un mayor número de

escalonamientos cuando se mantiene constante la relación de presiones (ver Figura 3.5), si

por el contrario, se mantiene constante el índice politrópico y se aumenta la relación de

presiones, se tiene también un aumento en el número de escalonamientos z, esto se

muestra en un diagrama p-v (Figura 2.8), al aumentar el área encerrada por las isobaras

correspondientes y la politrópica con n>γ.

Figura 3.5 Número de escalonamientos contra relación de presiones.

3.8 COEFICIENTE DE POTENCIA

Si la potencia se expresa como [1]:

3 2 2 5 3Τ=mτ=ρGτα D N D N αρD N (3.19a)

Al coeficiente que convierte en igualdad la proporción de la ecuación (3.19a), se le llama

coeficiente de potencia (KT), éste da un valor aproximado de la potencia que se debe

proporcionar con relación al tamaño de la máquina, y de su velocidad de giro; el

coeficiente de potencia se escribe como:

T 5 3

ΤK =

ρD N (3.19b)

3.9 COEFICIENTE DE PAR

Si el par o momento definido en la sección 1.1, se expresa como:

5 35 2Τ ρD N

M= α αρD Nω N

Al coeficiente que convierte en igualdad la proporción, se le llama coeficiente de par, éste

da un valor aproximado del par que se requiere proporcionar con relación al tamaño

n=1.52n=1.4

n=1.62

0

1

2

3

4

5

6

7

0 3 6 9 12 15

Nú

me

ro d

e

Esca

lon

amie

nto

s (z

)

Relación de presiones [-]

Coeficiente de Potencia y de Par


78

de la máquina y de su velocidad de giro. La velocidad de giro tiene mayor preponderancia

en la potencia que en el par, pasando de un término cúbico a uno cuadrático. El

coeficiente de par es:

M 5 2

ΤK =

ρD N (3.20)

Cabe resaltar, que para cada uno de los coeficiente anteriores, los valores son

determinados estadísticamente mediante la experimentación en máquinas ya existentes

(punto práctico constructivo), y se recopilan en tablas o gráficos disponibles para dar

solución a nuevos problemas.

3.10 ANÁLISIS DE FLUIDOS COMPRESIBLES

Al ser el fluido de trabajo un fluido compresible, se requiere de cálculos de mayor

complejidad en comparación a las relaciones en fluidos incompresibles, debido a los

cambios importantes en la densidad, relacionados con las variaciones en la presión

estática. Esta variación de presiones se propaga al resto del gas, la concentración de masa

también se propaga, esta propagación se da de forma elástica en cada punto; entonces, de

forma general, esta propagación se da en forma de onda elástica, cambiando la estructura

física del fluido, por concentrar en un mismo espacio una mayor cantidad de masa,

cuando se está realizando el proceso de compresión.

La expresión de la velocidad de propagación de esta onda elástica, y como sólo depende

del proceso de compresión del fluido y es independiente del cambio de presión, entonces,

de la ecuación dinámica unidimensional del cambio en la cantidad de movimiento [1]

(ver Figura 3.6), se tiene que

2 1F=m c c (3.21)

Figura 3.6 Flujo estable unidimensional.

Análisis de Fluidos Compresibles

c2

Área normal a c2

2

x

c1

Área normal a c1

dx


79

Al dividir la ecuación (3.21) en forma diferencial entre el área (A), donde el término

dF/A, expresa un gradiente de presión negativa en el sentido de la fuerza, es decir

dF=-dp=ρcdc

A (3.22)

De la ecuación de continuidad y para una sola corriente, el flujo másico por unidad de

área permanece constante, diferenciando se tiene

cdρ+ρdc=0

Despejando dc y sustituyendo en la ecuación (3.22), el gradiente de presión queda como:

2cdρ-dp=ρcdc=ρc - =-c dρ

ρ

c representa la velocidad del fluido con respecto al observador; el proceso de compresión

isoentrópico se expresa como p=cteργ, que al diferenciar y sustituir en la ecuación de la

velocidad del fluido, se obtiene la velocidad de la onda elástica u onda sónica, conda.

a

onda

s

dp γpc = = = γpv= γR T

dρ ρ (3.23)

La relación entre la velocidad del fluido y la velocidad del sonido, define al Número de

Mach (M), que caracteriza a la propiedad elástica del fluido (densidad), calificando a los

fluidos de acuerdo al valor que tome (ver Tabla 3.2).

Tabla 3.2 Tipo de flujo de acuerdo al número de Mach.

Número de Mach Tipo de Flujo Número de Mach Tipo de Flujo

= 0 Incompresible > 1,< 5 Supersónico

< 1 Subsónico = 1 Transónico

> 5 Hipersónico

Si el proceso de difusión ocurre en un difusor subsónico, el número de Mach a la salida

del impulsor debe ser menor a 1, al igual que a la entrada, ya que si la velocidad relativa

del fluido alcanza la velocidad del sonido en el fluido, éste causará pérdidas de presión

excesivas por ondas de choque. El número de Mach a la entrada del impulsor es:

11

1

cM =

kRT

(3.24)

El número de Mach a la salida del impulsor está dado por la siguiente expresión:

Análisis de Fluidos compresibles


80

3.11 PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO

Para el caso de las turbomaquinas que manejan fluidos compresibles con grandes cambios

en su velocidad, resultado de los cambios de presión, causados por un proceso de

expansión o compresión, se requiere tener un estado de referencia, con el cual se

determinan las propiedades termodinámicas del fluido en movimiento, para cualquier

punto del fluido. Asimismo, es conveniente combinar los términos de energía implicados,

entalpía, energía cinética y potencial, que dan como resultado al concepto de entalpía de

estancamiento, cuando los cambios de altura son despreciables y la velocidad c0=0 [12].

20

1h =h+ c

2 (3.25)

A la entalpía de estancamiento se le considera como el valor de la entalpía resultante,

cuando la altura y la velocidad inicial son reducidas a cero, a través de una desaceleración

isoentrópica, siendo constante en un proceso de flujo estable, en donde no hay trabajo

suministrado ni transferencia de calor. Los estados de estancamiento se muestran en un

diagrama h-s (ver Figura 3.7), donde el punto 1 representa el estado real o estático de un

fluido con entalpía h1, presión p1 y entropía s1, y la velocidad del fluido es c1. El punto 01s

representa el estado de estancamiento, debido a una desaceleración reversible de una

partícula que es llevada al reposo (c0=0) y considerando la contribución de la energía

potencial [12].

Figura 3.7 Relación entre el estado estático y el estado de estancamiento.

El estado de estancamiento una vez establecido, fija a dos propiedades termodinámicas

independientes, presión y temperatura de estancamiento, con éstas se determinan las

propiedades restantes e identificar por completo al estado termodinámico del fluido

(postulado de estado).

1

01s

p1

h1

p01

h0

Enta

lpía

Entropía

Propiedades de Estancamiento

2

1s

1c

2

1gz


81

En el Diagrama de Mollier de la Figura 3.8 se muestra un proceso de compresión desde el

estado 1 hasta el estado 2, también se representa al proceso de compresión ideal [13].

En la misma Figura 3.8 se muestra que el trabajo por unidad de masa real es el cambio de

entalpía de estancamiento entre los estados 02 y 01, donde le corresponden a las isobaras

p02 y p01, respectivamente; el trabajo ideal por unidad de masa, es el cambio de entalpía de

estancamiento entre las mismas isobaras correspondientes con un Δs=0. La energía

cinética para el proceso ideal no es igual al del proceso real, debido a que c2>c2s, sin

embargo, en la práctica es usual que se ignore que existe una diferencia entre tales

velocidades, por tanto, se considera que c2=c2s.

Figura 3.8 Diagrama T-s con estados de estancamiento para una compresión.

Si el fluido se comporta como un gas ideal, la entalpía se expresa como h=CpT, que al

sustituir en la ecuación (3.25) y al dividir ambos lados de la ecuación por Cp, se tiene a la

temperatura de estancamiento: 2

0

p

cT =T+

2C (3.26)

T es la temperatura estática, al termino c2/(2Cp) se le llama temperatura dinámica. Ahora,

si se divide a la ecuación (3.26) entre la temperatura T, se obtiene la relación de

temperaturas.

s2

1

2s

02s

01

2

02

s1

p02

p2

p01

p1

Enta

lpía

Entropía

2

2

1c

2s

2

1

1c

2

2

2

1c

2



82

2

0

p

T c=1+

T 2C T

Si el calor específico se expresa como Cp=γ Ra /(γ-1), entonces

2

0γ 1 cT

=1+T 2γR Ta

(3.27a)

De la definición del número de Mach, ecuación. (3.24), al ser sustituida en la ecuación

(3.27a); entonces, la relación entre la temperatura de estancamiento y la temperatura

estática se expresa en función del número de Mach, como:

20γ 1T

=1+ MT 2

(3.27b)

Para determinar la relación que existe entre la presión de estancamiento y la presión

estática, al aplicar la ecuación de Gibbs para un proceso isoentrópico, queda que

Tds 0 dh vdp

De la ecuación del gas ideal, al sustituir el volumen específico por su igual, se tiene que

p

dpC dT vdp R T

pa

Integrando entre los estados extremos del proceso, resulta que

0 0 0

p

T R p pγ 1ln = ln = ln

T C p γ p

a

Por las propiedades de los logaritmos, finalmente se obtiene que a la relación de presiones γ

γ 10 0p T

p T

(3.28)

O bien, en función del número de Mach como:

γ

γ 120

γ 1p= 1+ M

p 2

(3.29)

Realizando el mismo procedimiento para la relación de densidades, se obtiene

11

γ 1γ 120 0

γ 1ρ T= = 1+ M

ρ T 2

(3.30)

Ejemplo 3.1

A través de un ducto horizontal fluye aire a una velocidad de 130 m/s, la temperatura es



83

de 20 °C y la presión p1=0.78 bar. Calcular la temperatura y presión de estancamiento

correspondiente, y el número de Mach.

Solución:

Siendo T1=293.15 K y c1=130 m/s; entonces, la temperatura de estancamiento T01 vale:

22

101 1

p

130cT =T + 293.15 301.566 K=28.416 °C

2C 2 1004

La presión de estancamiento p01, queda que

γ 1.4

γ-1 1.4 101

01 1

1

T 301.566p p 0.78 0.861 bar

T 293.15

El número de Mach para el flujo de aire a tales condiciones, tiene un valor de

01

1

1

T 2 301.566 2M 1 1 0.378

T γ 1 293.15 1.4 1

O bien, al aplicar la ecuación (3.24), se obtiene que

1

1

1

130cM = = =0.378

γR T 1.4 287.7 293.15a

3.12 DISEÑO ÓPTIMO DE LA ENTRADA DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO

Hay que resaltar que, si el número de Mach se incrementa por arriba de la unidad,

principalmente en la cara convexa de la parte de la curva del impulsor, se pueden originar

ondas de choque y por consecuencia pérdidas de presión (ver Figura 3.9), por ello, es muy

importante controlar el número de Mach a la entrada del ojo de admisión [10].

Figura 3.9 Pérdidas de presión a la entrada del impulsor.

Zona en que comienza

la onda de choque

c1

Diseño óptimo de la entrada en un compresor centrífugo


84

En la realidad, cuando las dimensiones del compresor se encuentran determinadas, se

requiere conocer el flujo máximo que debe ingresar por el ojo de admisión, de manera que

se evite tener un número de Mach mayor a la unidad. Por lo tanto, se obtiene la expresión

del flujo máximo permitido ( mmáx ) en función de la densidad, de la velocidad y del área

del ojo de admisión.

2

2 2 2 121 1 pun 1 1 1 punpun

rm=ρ c π r r =ρ c πr C ;donde C=1

r

De la definición de la velocidad periférica, la expresión anterior se puede reescribir como:

2

1 1 punm=ρ c π U ω C (3.31)

Del triángulo de velocidades para la punta del ojo de admisión (ver Figura 3.10b), se

tienen las siguientes relaciones trigonométricas:

1 1 1 pun 1 1c =WSen β ; U =WCos β

1 1 1 pun 1 1c =WCos α ; U =WSen α

Figura 3.10 Representación del área transversal del ojo de admisión.

Al sustituir en la ecuación (3.31) las expresiones para las velocidades c1 y Upun en

términos de la velocidad relativa W1, se tiene que

3 2 3 21 11 1 1 1 1 1

ρ πC ρ πCm= W Sen β Cos β = W Cos α Sen α

ω ω (3.32)

El Número de Mach relativo está en función de la velocidad relativa W1, y de la velocidad

de la onda; se escribe como sigue

1r,1

onda,1

WM =

c (3.33)

Eje del Rotor

A1

Raíz del ojo

Punta del ojo D1 Dpun

Diseño óptimo de la entrada en un compresor centrífugo

a) b)

c1=cR 1β

W1

U1

1


85

Y el número de Mach absoluto en términos del número de Mach relativo es:

1 r,1 1 r,1 1M =M Cos α =M Sen β (3.34)

Al sustituir la densidad de la ecuación (3.30) en la ecuación (3.32), y a la velocidad

relativa de la ecuación (3.33), la expresión del flujo másico queda como:

1

γ 1 3 3 20r,1 onda,1 1 1

0 1

TπCm= M c Cos α Sen α

ρ ω T

(3.35)

De la ecuación de los gases ideales, la densidad de estancamiento es ρ0=p0/RaT0, que al

sustituirla junto con la relación de temperaturas de la ecuación (3.27) en la ecuación

(3.35), se tiene que

3 3 2

r,1 onda,1 1 10

1

0 γ-12

1

M c Cos α Sen αR T πCm=

ρ ωγ-1

1+ M2

a (3.36)

Siendo y de acuerdo a la siguiente relación entre la velocidad del

sonido de estancamiento y la local (estática), para un flujo isoentrópico es:

1

2onda,0 2

1

onda,1

c γ-1= 1+ M

c 2

(3.37)

Al sustituir en la ecuación (3.36), se tiene que

3 3 2

r,1 onda,0 1 10

1 3+

0 γ-1 22 2

r,1 1

M c Cos α Sen αR T πCm=

ρ ωγ-1

1+ M Cos α2

a

(3.38)

La ecuación (3.38) puede ser reescrita en una forma más útil para determinar el valor

óptimo del flujo másico o la velocidad angular en función del número de Mach relativo o

el ángulo de ataque o de álabe, ya que las propiedades de estancamiento pueden ser

determinadas al especificar las propiedades k, Ra, p1 y T1.

3

a a

3 2r,1 1 10

1 3+

γ-1 20 0 2 2r,1 1

M Cos α Sen αmp ω=

CR T π kR T γ-11+ M Cos α

2

(3.39)

Como ejemplo ilustrativo de la ecuación (3.39), se obtiene gráficamente el valor óptimo

del ángulo de álabe para tener un máximo global de la siguiente función:

Diseño inicial de un Compresor


86

f

3 2r,1 1 1

r,1 4

2 2r,1 1

M Sen β Cos βM =

11+ M Sen β

5

En la Figura 3.11 se muestra el valor óptimo del ángulo de álabe de la función anterior,

para 4 valores distintos del número de Mach relativo, siendo β1,opt=30°, la recta que une a

los puntos óptimos es una recta vertical; además, se observa que β1,opt es un óptimo global,

debido a que es el punto máximo para cada una de las curvas cóncavas [13].

Figura 3.11 Ángulo de álabe máximo para la función f(Mr,1).

3.13 DIFUSORES

Un difusor está diseñado para reducir la velocidad del flujo y teóricamente incrementar la

presión del fluido. Todas las turbomaquinas y muchos otros sistemas de flujo incorporan

un difusor, por ejemplo: en una cámara de combustión, donde la combustión es más

eficiente si la velocidad del aire que entra a ésta es lo más baja posible. En turbomaquinas

para flujos subsónicos (M<1), el difusor es un ducto divergente en la dirección del flujo,

un difusor básico es un ducto geométrico, como se muestra en la Figura 3.12.

En el proceso de difusión, se llevan a cabo varios fenómenos, uno de ellos es la tendencia

natural del aire (capas límite) de separarse de las paredes a lo largo del ducto divergente,

si la velocidad de la difusión es muy rápida, invirtiendo su dirección y flujo en sentido

contrario a la dirección del gradiente de presión (ver Figura 3.13), formando remolinos,

Mr,1=0.9

Mr,1=0.8

Mr,1=0.7

Mr,1=0.6

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 15 30 45 60 75 90

f(M

r,1)

Ángulo de álabe [°]

Difusores


87

que durante la desaceleración del aire causa la disminución de la presión máxima a

obtener.

Figura 3.12 Geometrías de difusores subsónico, a) Bidimensional, b) Cónico y c) Anular.

Figura 3.13 Difusión del flujo.

El resultado de una difusión rápida son las grandes pérdidas en la presión de

estancamiento, por el contrario, si la difusión es muy lenta, el fluido se expone a una

duración excesiva en la pared y las pérdidas del fluido por fricción son predominantes.

Al expresar mediante un modelo matemático a las pérdidas de presión, se encuentra una

velocidad óptima y un ángulo óptimo, con los cuales se minimicen las pérdidas de

presión, el ángulo de abertura, con el cual se da la óptima recuperación de presión, tanto

Flujo

r2

θ

L

K

2 3

3r

2 1

2A 1

A KTan

A r

2

3r

2 2

A 1A K

TanA r

a) b)

c)

L

K

2 3

θ

θ

Flujo r2

1 2

Difusores

K

L0

θi θ0

rt2

∆r2


88

en difusores bidimensionales como en cónicos, que de acuerdo a la literatura el ángulo

optimo es alrededor de 2θ ≈ 7 grados [14].

El funcionamiento real de un difusor se puede expresar de distintas formas, entre ellas

Como la relación entre el cambio de entalpía isoentrópico y el cambio de entalpía real.

Como la relación entre el coeficiente de presión ideal y el aumento del coeficiente de

presión real.

Para un proceso de difusión adiabático de flujo estable, se tiene h03=h02, entonces

2 2

3 2 2 3

1h h = c c

2 (3.40)

Para un proceso de difusión isoentrópico, se tiene que

2 2

3s 2 2 3s

1h h = c c

2 (3.41)

Por tanto, la eficiencia del difusor o también llamada eficacia del difusor se define como:

2 2

2 3s3s 2

D 2 23 2 2 3

c ch hη = =

h h c c

(3.42)

Considerando que la velocidad del flujo de fluido sea muy lento, o considerando que la

densidad permanece constante, entonces, el cambio de entalpía isoentrópico es:

3 2

3s 2

p ph h =

ρ

Al retomar la ecuación que define a la eficiencia del difusor, se puede reescribir como:

3s 2 3 2

D 2 23 2 2 3

h h 2 p pη = =

h h ρ c c

(3.43)

La eficiencia del difusor se puede expresar en términos de las presiones de la siguiente

manera:

3s 2 3s 2

D

3s 33 2 3s 2 3s 3

3s 2

h h h h 1η = = =

h hh h h h h h1

h h

Al término (h3s-h3), se puede expresar como:

3 2 02 032 2

3 3s 3 2 3s 2 2 3

p p p p1h h = h h h h = c c =

2 ρ ρ

Eficiencia del Difusor


89

Entonces, la expresión de la eficiencia del difusor en términos de las presiones resulta ser:

D

02 03

3 2

1η =

p p1+

p p

(3.44)

La eficiencia del difusor se puede expresar de distinta manera; si el coeficiente de

aumento de presión que convierte en igualdad a la proporción v(p3-p2)α(c22)/2 es igual a

3 2 2

p 1 2

1

p p 1K = ;donde q = ρc

q 2

(3.45)

Haciendo un balance de energía a un difusor, y considerando al fluido de trabajo como

incompresible, además se consideran las pérdidas totales de presión, Δp0.

2 23 022 3

p Δpp 1 1+ c = + c +

ρ 2 ρ 2 ρ

Al pasar al término p2/ρ al segundo miembro, y dividiendo a ambos miembros de la

ecuación por el término de la energía cinética del estado 2, se tiene que

23 2 3 0

2 2 2

2 2 2

p p c 2Δp1 2 + +

ρc c ρc

Al reagrupar términos, se define al coeficiente de aumento de presión ideal como:

0pi p

1

ΔpK =K

q (3.46)

Al usar la definición de la ecuación (3.46), se reescribe a la eficiencia del difusor (referido

a la eficiencia del difusor por Sovran and Klomp (1967)) como:

p

D

pi

Kη =

K (3.47)

La segunda forma en que se puede mostrar la eficacia del difusor, es en términos del

factor de recuperación de presión total, p03/p02, por tanto, al reescribir a la ecuación de la

eficiencia del difusor como:

3s

3s 2 2

D

3 2 3

2

T1

T T Tη = =

T T T1

T

(3.48)

Para poder expresar a la eficiencia del difusor en términos del factor de recuperación de

Expresión análoga para la eficiencia del difusor


90

presión total, se representa al proceso de difusión en un diagrama de Mollier (ver Figura

3.14) como el cambio del estado 2 al estado 3 con su respectivos cambios en la presión y

velocidad que van de p2 y c2 a p3 y c3 [15].

Hay que notar que la presión de estancamiento, p02, es mayor a las presiones estáticas (p2

y p3), como consecuencia de que la energía cinética que posee el fluido al ingreso del

difusor es la máxima para todo el proceso.

Figura 3.14 Diagrama de Mollier para el proceso de difusión en un difusor subsónico.

De la ecuación (3.28), se tiene que la relación para las temperaturas entre el estado

estático y el estado de estancamiento correspondiente, son [16]: γ-1

γ02 02

2 2

T p=

T p

(3.49)

γ-1

γ03 03

3 3

T p=

T p

(3.50)

2

3s

02

'03 3

03

p02

p1

p03

p3

Enta

lpía

Entropía

Expresión análoga para la eficiencia del difusor

2

2

1c

2

2

3

1c

2


91

De la ecuación de la eficiencia del difusor, se toma al cociente T3/T2, que será sustituida

por su igual, entonces, despejando T2 de la ecuación (3.49) y T3 de la ecuación (3.50), al

ser sustituidas en el cociente, se tiene que γ 1

γ02 γ 1γ 1

γγ23 03 03 02 3

γ 1

2 02 02 2 03γ03

3

p

pT T T p p=

T T T p pp

p

Como la temperatura de estancamiento T02=T03, la expresión anterior se reduce a γ 1γ 1

γγ3 02 3

2 2 03

T p p

T p p

(3.51)

Sustituyendo la ecuación (3.51) en la ecuación de la eficiencia del difusor, resulta que γ-1

γ3

2

D γ-1

γ02 3

03 2

p1

pη =

p p1

p p

(3.52)

La Figura 3.15 muestra que la eficiencia del difusor aumenta conforme aumenta el factor

de recuperación de presión total, p03/p02, al igual que lo hace en cuando aumenta la

relación de presiones en el dispositivo.

Figura 3.15 Variación de la eficiencia del difusor con respecto a πdif y el factor p03/p02.

0.50

0.65

0.80

p03/p02=0.95

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Efic

ien

cia

[--

]

πdif [--]

Diagrama de Mollier para un escalonamiento


92

CASO PRÁCTICO 3.2

En un compresor centrífugo de una sola etapa, entra aire a una temperatura de

estancamiento de 288 K y una presión de estancamiento de 1.01 bar. El impulsor tiene 17

álabes radiales, sin álabes guía a la entrada [10]. Con los siguientes datos:

-Velocidad periférica en la punta del impulsor U2=475 m/s

-Velocidad absoluta a la entrada del impulsor c1=150 m/s

-Velocidad absoluta a la salida del difusor c3=90 m/s

-Profundidad del acanalado a la salida del impulsor d=6.5 mm

-Flujo másico (de aire) m 2.5 kg/s

-Factor de potencia de entrada ψ 1.04

-Eficiencia mecánica mecη 0.96

-Eficiencia del difusor difη 0.82

-Eficiencia isoentrópica de compresión SICη 0.84

Determinar:

1.-La potencia del eje.

2.-Presión estática y de estancamiento a la salida del difusor.

3.-Velocidad radial, número de Mach absoluto y presión estática y de estancamiento a la

salida del impulsor, asumiendo un GR=0.5.

4.-Eficiencia del difusor y velocidad de giro.

Solución 1.-La potencia del eje.

La eficiencia mecánica (ηméc) se define como:

mec

Trabajo tranferido al fluido de trabajoη =

Trabajo suministrado al eje (3.53)

Por tanto, la potencia del eje (Τeje) es:

ceje

cη

Para el trabajo por unidad de masa se requiere conocer del factor de deslizamiento (σ),

que con el número de álabes y con la ecuación dada por Stanitz para álabes radiales, se

obtiene la siguiente relación:

Caso Práctico 3.2-Diseño de un Compresor


93

π 0.63ς=1

n (3.54)

Sustituyendo valores, se tiene que

0.883

π 0.63ς=1

17 Considerando que no hay prerrotación (cu1=0), el trabajo real que hay que suministrar de

acuerdo a la ecuación (3.6) es:

2

1.04 0.883 475 2c 2

kJτ =ψςU 207.331

kg

La potencia requerida para el proceso de compresión es:

2.5 2c 2=mψςU 207.331=518.327 kW

Entonces, la potencia del eje es:

539.920.96

ceje

mec

Τ 518.327= 4 kW

η

2.-Presión estática y de estancamiento a la salida del difusor.

Al calcular la relación de presiones total, se obtiene la presión p03, y posteriormente a

través de la relación de temperaturas para un proceso de compresión isoentrópico se

obtiene a la presión estática, p3.

2 1.4 11.04 4755.207

1004 288

1 1.42 X

SIC 203i

01 p 01

η ψςU 0.84 0.883pπ = = +1 +1

p C T

Por lo tanto, la presión de estancamiento a la salida del compresor es:

5.207 5.259 03 01 ip =p π 1.01 bar

Con la temperatura equivalente del trabajo

222

03 01

p

ψςU 1.04 0.883 475T T = = =206.501 K

C 1004

La temperatura de estancamiento a la salida del difusor es:

22

03 01

p

ψςUT =T + =288+206.505=494.505 K=221.135 °C

C

De la ecuación (3.26), se obtiene la temperatura estática a la salida del difusor.



94

223

3 03

p

90cT =T =494.505 =490.471 K=217.321 °C

2C 2 1004

Despejando de la ecuación (3.50) a la presión estática (p3), se tiene que

1.4

1.4

5.259 5.110494

γ

γ 1 13

3 03

03

T 490.471p =p = bar

T .505

3.-Velocidad radial, número de Mach absoluto y presión estática y de estancamiento a la

salida del impulsor, asumiendo un GR=0.5.

Conociendo la temperatura T03s, a través de la ecuación (3.26), se calcula c2, sin embargo,

se requiere de la temperatura T2, que se obtiene de la definición del Grado de Reacción.

2 1

3 1

T TGR

T T (3.55)

La diferencia de temperaturas (T3-T1) se tiene

1

2 23

3 1 03 01

p p

c cT T T T

2C 2C

reagrupando términos y sustituyendo valores, se tiene

2 2150 90

206.505 2131004

2 21 3

3 1 03 01

p

c cT T = T T .676 K

2C 2

La diferencia de temperaturas entre la entrada y la salida de impulsor es:

2 0.5 213 106.838 1 3 1T T =GR T T .676 K

si

12 2

2

1 01

p

cT T =T T

2C

despejando a T2, y sustituyendo valores queda que

2

2

150106.838

1004

T = 288 383.633 K=110.483 °C2

Como la entalpía de estancamiento h02=h03, entonces, se cumple la siguiente igualdad

02 03 2

22

p

cT =T T

2C



95

quedando que

1004 471.838 2 p 03 2

mc = 2C T T 2 494.505 383.633

s

De la definición del número de Mach dada en la ecuación (3.24), se tiene que

2

471.8381.20

1.4 287.7 383.633a

2

2

cM

γR T

Empleando nuevamente al triángulo de velocidades mostrado en la Figura (1.16b) para un

compresor centrífugo, la velocidad radial a la salida del impulsor es:

215. 2 2 2 2

R2 2 2

mc = c ςU 471.838 0.883 475 601

s

Para la presión estática p3, de la definición de la eficiencia del difusor

2

3s 2D

3

T Tη

T T (3.56)

desarrollando al numerador

2

γ 1

γ3

2

2

D

3

pT 1

p

η =T T

Por lo tanto, despejando al cociente p3/p2 se llega a la siguiente expresión

2

2

1

γ

γ 1D 33

2

η T Tp

p T

despejando p3, y sustituyendo valores

1.4

1.4 10.825.110 1 2

3

490.471 383.633p .487 bar

383.633

De la relación de temperaturas para una compresión isoentrópica, la presión de

estancamiento a la salida del impulsor es:

1.4 1.4

1.4 1.4

02 2

2

4942.487 6.048

383.633

1 102T .505

p =p = barT

4.-Eficiencia del difusor y velocidad de giro.



96

Al igual que la expresión para la eficiencia del difusor, la expresión análoga pero ahora

para el impulsor, en términos de la temperatura T0 y presión p0 de estancamiento es:

1.402

01

01

6.048

1.01

0.931

γ 11.4 1

γ

01

imp

03

pT 1 288 1

p

η =T T 206.501

De la definición para la velocidad periférica U2, la velocidad de giro (N) se expresa como:

2

2

60UN=

πD

de la ecuación de los gases ideales, se obtiene la densidad

52.487 102.25

287.7 383.633a

2

2 32

p kgρ = 3

R T m

de la ecuación de continuidad, al despejar a D2 y sustituyendo valores, queda que

2.25 215.

2

2 R2

m 2.5D 0.252 m

ρ c πd 3 601 π 0.0065

Lo que da una velocidad de giro (N) de:

475

0.252 2

2

6060.0UN= 36,000 rpm

πD π

CASO PRÁCTICO 3.3

Los compresores centrífugos son usados en situaciones, en donde los requerimientos de

flujo son bajos o moderados, y las relaciones de presiones son altas, para la misma área

frontal, las turbomaquinas centrífugas operan con un flujo másico menor a las de las

turbomaquinas axiales, por que el área frontal al flujo es una fracción del área frontal

total. Siendo las máquinas centrífugas las más empleadas, en este caso práctico se hace un

diseño previo de un compresor centrífugo de una sola etapa. La representación

esquemática de las partes esenciales del compresor al igual y la nomenclatura a manejar

se muestra en la Figura 3.16.

Para el diseño de este compresor centrífugo de una sola etapa, se dan como base los datos

siguientes [17]:

-Factor de potencia de entrada ψ 1.04

Factor de deslizamiento 0.9

Velocidad de rotación N=290 rev/s



97

Diámetro total del impulsor D2=0.5 m

Diámetro de la punta del ojo Dpunta=0.3 m

Diámetro de raíz del ojo D1=0.15 m

Flujo másico (de aire) m 9.0 kg/s

Temperatura de estancamiento a la entrada T01=295 K

Presión de estancamiento a la entrada p01=1.1 bar

Eficiencia isoentrópica de compresión SICη 0.78

Figura 3.16 Representación esquemática de un compresor centrífugo de una sola etapa.



98

Determinar: a) Relación de presiones del compresor y la potencia requerida para el

proceso de compresión, suponiendo que la velocidad del aire a la entrada del compresor

sea axial, b) El ángulo de álabe de entrada de los álabes del impulsor en la raíz y en la

punta de los radios del ojo de admisión, suponiendo que la velocidad de entrada es axial y

constante a lo largo del anillo del ojo, y c) La profundidad axial de los canales del

impulsor en la periferia del impulsor.

Solución:

a) Relación de presiones del compresor y la potencia requerida para el proceso de

compresión, suponiendo que la velocidad del aire a la entrada sea axial.

Con base a los datos proporcionados para el diseño del compresor y conociendo la

velocidad de giro (N), al igual que el diámetro total del impulsor (D2), la velocidad

periférica a la salida del impulsor vale:

2 2

mU =πND = π 290 0.5 =455.531

s La eficiencia isoentrópica de compresión (ηsic) es la relación entre el trabajo de

compresión ideal y el trabajo de compresión real

22

SIC 22

ςUη =

ψςU (3.57)

en donde

22 p 02 01ψςU =C T T

Como no hay trabajo suministrado ni un flujo de calor a través del dispositivo del difusor,

entonces, la entalpía de estancamiento para el proceso de difusión permanece constante,

debido a que sólo ocurre una transformación de energía cinética a energía de presión, es

decir, h03=h02, por lo tanto, la temperatura de estancamiento T02 es igual a la temperatura

T03, que al reescribir a la expresión anterior, queda que

22 p 03 01ψςU =C T T

Para el trabajo de compresión ideal, se tiene que

1

γ 1

γ2 032 p 01

01

pςU =C T

p

(3.58)

Sustituyendo la ecuación (3.58) en la ecuación de la eficiencia isoentrópica de compresión



99

(ηSIC), queda que

1

γ 1

γ03

p 01

01

SIC 22

pC T

p

η =ψςU

Despejando al término (p03/p01) de la ecuación anterior, y sustituyendo los valores

respectivos, se tiene entonces una relación de presión para el compresor de:

2 1.4 10.78 0.9 455.5314.246

1004 295

1 1.42 X

SIC 203i

01 p 01

η ψςU 1.04pπ = = +1 +1

p C T

La potencia real que hay que suministrar al compresor, se obtiene de multiplicar al trabajo

de compresión real por el flujo másico.

22

2Τ=m ψςU = 9.0 1.04 0.9 455.531 =1,748 kW

O bien, en HP

2 1.0

Τ= 9.0 1.04 0.9 455.531 =2,343 kHP0.746

b) El ángulo de álabe de entrada de los álabes del impulsor en la raíz y la punta de los

radios del ojo de admisión.

De los triángulos de velocidades representativos del ojo de admisión y de la salida del

impulsor (ver Figura 3.17) para un compresor centrífugo [1], se encuentra que el ángulo

de álabe en la raíz y la punta del ojo de admisión son respectivamente:

1

-1 -111 punta

1 punta

c cβ =Tan ; β =Tan

U U

Figura 3.17 Triángulos de velocidades para un compresor centrífugo a) En la raíz del ojo de

admisión, b) En la punta del ojo de admisión y c) A la salida del impulsor.

a) b) c)

1β

c1

=

cR

1U

1W 1α puntaβ

c1

puntaU

puntaW puntaα 2β

cm2= cR2

2α

2U

u2c

2c 2W



100

Donde la velocidad periférica en la raíz del ojo de admisión es:

1 1

mU =πND = π 290 0.15 =136.659

s y en la punta

punta punta

mU =πND = π 290 0.3 =273.319

s

Como se desconoce la velocidad absoluta a la que entra el flujo de fluido al ojo de

admisión, y teniendo en cuenta que se tienen sólo a las propiedades de estancamiento

presión y temperatura, entonces, de la ecuación de continuidad ( =ρ1A1c1), se puede

obtener c1, sin embargo, la densidad estática a la entrada del compresor es desconocida,

pero, para el caso de turbocompresores, la densidad es función de la velocidad absoluta

(c) a la que se mueve el flujo de fluido [12], es decir:

fρ= c

Entonces, se aplica un método iterativo, en el cual, se toma como primera aproximación

de la densidad estática, a la que está dada por las propiedades termodinámicas de

estancamiento del estado 01, para que al final del método iterativo (convergencia en los

valores de ρ, c, T y p) el valor de c1, corresponda a la velocidad absoluta a la que entra

realmente el flujo de fluido al compresor.

Es normal diseñar para una velocidad axial de 150 m/s, este valor proporciona un buen

compromiso entre un flujo elevado por unidad de superficie frontal y las pérdidas por

fricción reducidas en el dispositivo de admisión.

*Primera Iteración

De la ecuación de los gases ideales, la densidad es:

51.1 101

287.7 295a

01

1,1 301

p kgρ = = .296

R T m

Para la velocidad c, de la ecuación de continuidad se tiene que

3.1415 1,1 2 2 2 2

1,1 1 1,1 pun 1

4 9m 4m mc = = = =130.984

ρ A sρ π D D 1.296 0.3 0.15

De la definición de la temperatura de estancamiento para el estado 01, la temperatura

estática T1 es:

221,1

1,1 01

p

130.984cT =T =295 =286.456 K

2C 2 1004



101

Como la entalpía de estancamiento representa la entalpía de un fluido, cuando es llevado

al reposo isoentrópicamente, entonces, la presión p1 para la primera iteración se despeja

de la relación de temperaturas para un proceso de compresión isoentrópico, definida entre

la presión estática p1 y la presión de estancamiento p01, es decir

γ 1.4γ 1 1.4 1

1,11,1 01

01

T 286.456p =p = 1.1 =0.992 bar

T 295

Ahora, al repetir el mismo procedimiento iterativo hasta que c1,i=c1,i+1, para i=1, 2, 3, .., n,

en la Tabla 3.3 se muestra el valor de las variables ρ, c, T y p para 8 iteraciones, apreciando

que los valores convergen a partir de la sexta iteración.

Tabla 3.3 Valores de la densidad, velocidad, temperatura y presión para cada iteración.

Iteración (i) ρ1,i (kg/m3) c1,i (m/s) T1,i (K) p1,i (bar)

1 1.296 130.984 286.456 0.992

2 1.204 140.971 285.103 0.976

3 1.190 142.649 284.866 0.973

4 1.188 142.946 284.824 0.973

5 1.187 142.999 284.816 0.973

6 1.187 143.008 284.815 0.973

7 1.187 143.010 284.815 0.973

8 1.187 143.010 284.815 0.973

Con un valor de la velocidad absoluta que ha convergido a 143.010 m/s y, retomando las

expresiones anteriormente establecidas para los ángulos de álabe en la raíz y punta del ojo

de admisión, se tienen respectivamente:

-1 -111

1

c 143.010β =Tan Tan 46.30

U 136.659

-1 -11punta

punta

c 143.010β =Tan =Tan =27.62°

U 273.319

Con c1 ya conocida, se fija la velocidad relativa W1 a la que entra el flujo de fluido al

compresor, por lo tanto, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de velocidades de

la Figura 3.17a, se tiene que

143.010 136.659

2 2 2 2

1 1 1

mW = c + U + 197.807

s



102

Dando un ángulo de ataque α1 a la raíz del ojo de admisión de

-1 -111

1

U 136.659α =Tan Tan 43.70

c 143.010

Con respecto a la Figura 3.17b, la velocidad relativa en la punta del ojo de admisión es:

143.010 273.319 22 2 2

punta 1 punta

mW = c + U + 308.472

s Con un ángulo de ataque

punta-1 -1

punta

1

U 273.319α =Tan Tan 62.38

c 143.010

Implícitamente se ha estado considerando una velocidad angular (ω) constante

-1ω=2πN=2π 290.0 =1822.124 s

El gasto volumétrico a la entrada del ojo de admisión

3

2 2 2

1 1 punta 1 1

π π mG=A c = D D c 0.3 0.15 143.010 7.580

4 4 s

Para determinar cuál es la curvatura de los álabes del inductor, sólo basta con hacer la

comparación correspondiente entre β1 y βpunta, si se considera una velocidad angular en

dirección horaria y siendo βpunta< β1, se concluye que se trata de álabes curveados hacia

atrás. En la Figura 3.18 se han trazado a escala y en forma compacta a los dos primeros

triángulos de velocidades, correspondientes sólo al ojo de admisión, mostrando que la

magnitud del vector de la velocidad relativa aumenta cuando aumenta la velocidad

periférica, como consecuencia de un aumento en el radio, aun cuando se mantiene

constante la velocidad a la que entra el flujo de fluido al compresor.

Figura 3.18 Triángulos de velocidades sin prerrotación para el ojo de admisión.

El valor de las propiedades termodinámicas del estado 1, se calculan con un método;

Escala: 50.0 m/s = 1.0 cm.

c 1=

142.9

β1=46.3° βpun=27.6°

° Wpun=308.4 W1=197.8

U1=136.6 Upun=273.3

α1=43.7°

αpun=62.3°

rpun

r1 ω



103

Aunque el procedimiento del método iterativo asegure la convergencia de los valores, se

prosigue a encontrar expresiones con las cuales se determinen tales propiedades, sin hacer

uso de tal método.

El número de Mach definido como la relación entre la velocidad relativa (c) y la velocidad

sónica (conda) es:

11

1,onda

cM =

c (3.24)

Y velocidad sónica como:

a1,onda 1c = γR T

La ecuación de continuidad en términos del número de Mach es:

1 1 1 1 1,ondam=ρ A c =ρ AM c

o bien

a1 1 1m=ρ A M γR T (3.59)

De la ecuación de estado del gas ideal, se tiene que la densidad es igual a

a

11

1

pρ =

R T

que al sustituir en la ecuación (3.59), queda

a

a a

1 1 11 1

1 1

p p AMm= AM γR T = γ

R T R T

La expresión anterior se puede escribir como sigue:

a 11

1

m R T=M γ

p A (3.60)

La relación entre la temperatura de estancamiento y la temperatura estática se expresa en

función del número de Mach como:

2011

1

γ 1T=1+ M

T 2

(3.27)

Mientras que, la relación de presiones es:

γ

γ 1201

1

1

γ 1p= 1+ M

p 2

(3.28)

Sustituyendo la temperatura y la presión estática en la ecuación (3.60), se obtiene



104

a

γ

γ 12

01 1

1

201 1

γ 1m R T 1+ M

2=M γ

γ 1p A 1+ M

2

factorizando

1

2a

γ γ+1

γ 1 2 γ 101 2 2

1 1 1 1

01

m R T γ 1 γ 1=M γ 1+ M M γ 1+ M

p A 2 2 (3.61)

La ecuación (3.61) es útil, sí se establece un número de Mach máximo y se requiere

conocer alguna de las variables del primer miembro de la ecuación (3.61), fijando el resto

de las variables. Para aprovechar al máximo la información que pueda dar esta ecuación,

se hace lo siguiente: si el calor específico se define como:

a

p

γRC =

γ 1 despejando al índice adiabático

1

ap

γ=R

1C

sustituyendo en la ecuación (3.61), queda que

1

aa

a

γ+1

2 γ 1p

p01 211

01

p

C

C Rm R T M1 M

p A 2R1

C

reagrupando términos [14], se obtiene la siguiente expresión

a

a

a

γ+1

2 γ 1

201 1 1

p01

p

m R T M M1

Cp A R1 2 1

C R

(3.62)

Con un valor del índice adiabático de 1.4, se tiene que la relación entre el calor específico

y la constante particular del aire es:

3.51 1.4 1a

pC γ 1.4

R γ



105

De acuerdo a las características proporcionadas por el problema

a a

01 01

2 201 01 punta 1

m R T 4m R T

p A p π D D (3.63)

Sustituyendo los valores correspondientes

5

9 287.7 2950.45

1.1 10

a

01

2 2 2 201 punta 1

44m R T

p π D D π 0.3 0.15

De esta manera, es posible determinar el número de Mach absoluto a la entrada del ojo de

admisión, aun sin conocer la velocidad c1 para un Cp/Ra constante, esto se muestra en la

Figura 3.19, en donde se puede observar que, en el estado 1le corresponde un valor del

número de Mach de 0.422.

Figura 3.19 Número de Mach de acuerdo a las características del compresor.

Ahora, se determina el valor de la velocidad absoluta, c1, la presión estática y la

temperatura estática. Para la presión estática se tiene la siguiente expresión:

a

011

2 41 1

m R Tp =

γ 1A γ M + M

2

(3.64)

O bien, de la siguiente expresión:

γ γ

γ 1 γ 122

1 01 1

γ 1 1.4 1p =p 1+ M 1.1 1+ 0.422 0.973 bar

2 2

La temperatura estática vale:

(Cp/Ra)=3.5

Estado 1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Número de Mach

a 01

01

m R T

p A



106

1 1

22

1 01 1

γ 1 1.4 1T T 1+ M 295 1+ 0.422 284.815 K

2 2

Por consiguiente, la densidad del fluido a la entrada del compresor

50.973 101.1

287.7 284.815a

1

1 31

p kgρ = 87

R T m

Al despejar a la velocidad absoluta c1 de la ecuación (3.24), y sustituyendo a la

temperatura estática en términos de la temperatura de estancamiento, se tiene que

a

011 1

21

γR Tc =M

γ 11+ M

2

(3.65)

sustituyendo valores

287.7 295.0

1.40.422

a

011 1

221

1.4γR T mc =M 0.422 =143.010

sγ 1 11+ M 1+

2 2

Nótese que los valores obtenidos para la ρ1, p1, T1 y c1 son iguales a las que se obtuvieron

a través del método iterativo, por otra parte, las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.65) están en

función del número de Mach; la Figura 1.20 muestra el comportamiento de éstas,

marcando los valores respectivos para un número de Mach de 0.422, además, se observa

que cuando aumenta M1 también lo hace la velocidad absoluta, sin embargo disminuye la

presión estática, la temperatura estática y la densidad estática.

Figura 3.20 Variación de la presión, temperatura y velocidad en función de M1.

0

55

110

165

220

275

330

0.5

0.7

0.8

1.0

1.1

1.3

1.4

0 0.25 0.5 0.75 1

M1

p(b

ar);ρ

(kgm

3)

T(°C

); c

(m

/s)

c1

p ρ1

T1c

T

ρ

p1



107

c) La profundidad axial de los canales del impulsor en la periferia del impulsor.

Debe procurarse, que la variación de la velocidad del flujo a través del canal, sea lo más

uniforme posible, evitando que se produzcan desaceleraciones locales en la cara posterior

del álabe, que pueden entrañar una separación de flujo. Alcanzar este objetivo sólo puede

comprobarse mediante pruebas con la máquina, ya que los resultados teóricos obtenidos,

no son lo suficientemente realistas, como para poderlos utilizar directamente en el diseño,

por lo tanto, para estimar dicha profundidad de los canales (d2) (ver Figura 3.21), debe

hacerse mediante algunas suposiciones basadas en la experiencia práctica de los

diseñadores, en la recopilación y análisis cualitativos de los resultados.

Figura 3.21 a) Representación del acanalado axial en la periferia a la salida del impulsor y

b) Área perpendicular a la dirección de la velocidad radial cR2.

Para ello, se plantean las siguientes suposiciones [17]:

Según los proyectistas, el valor que se espera de la velocidad radial a la salida del

impulsor es aproximadamente igual a la velocidad axial con la que entra al

compresor el flujo de fluido, es decir

R2 a1c c

Debido a que la densidad a la salida del impulsor determina el área por la que fluirá

el flujo de fluido en dirección a la entrada del difusor, es necesario considerar un

valor de densidad lo más real posible, para evitar un mal diseño, que cause

inestabilidad en el compresor durante la rotación, por lo tanto, se consideran las

pérdidas en el rotor y en el difusor.

La ecuación de continuidad a la salida del impulsor es:

2 2 R2m=ρ A c

a) b)

ω

2πr2

2

2 R2

mA =

ρ c

D2

cR2

cR2 cR2

cR2

cR2

cR2

cR2

cR2

d2

2 c1=ca1

c R2=

c a1

D2

d2



108

y de acuerdo a la primera suposición planteada, para este inciso del problema, que la

componente radial cR2 es igual a la componente axial a la entrada del compresor (ver

Figura 3.17a), como la dirección de la velocidad del flujo del fluido a la entrada del

compresor es totalmente axial, se tiene

R2 a1 1c c c

El área normal al flujo del fluido a la salida del compresor (ver Figura 3.19b) es:

2 2 2A 2πr d

Entonces, el ancho del acanalado es:

2

2 R2 2

md =

ρ c πD (3.66)

La densidad del fluido a la salida del impulsor es:

22

2

pρ =

R Ta

(3.67)

La temperatura estática del fluido en el estado dos vale:

2 2

2 22 02 03

p p

c cT =T T

2C 2C (3.68)

Es importante resaltar que la temperatura estática dada por la ecuación (3.68), no

corresponde a la temperatura ideal al final del proceso de compresión (T2s) del impulsor,

si fuese el caso en que se considera a la temperatura T2s en lugar de T2, aun cuando la

variación sea mínima, entonces, con el mismo incremento de la temperatura dinámica,

daría como resultado una temperatura mayor a la temperatura de estancamiento T02s, pero

menor a T02, debido a la divergencia de las isobaras correspondientes, además de que la

presión de estancamiento sería mayor a p02.

Por lo tanto, se concluye, que efectivamente la temperatura estática de la ecuación (3.68)

es la temperatura real del fluido al final del proceso de compresión en el impulsor.

Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por c2, cu2 y cm2 del

triángulo de velocidades a la salida del impulsor, mostrado en la Figura 3.17c, la

velocidad absoluta c2 es:

2 2

2 R2 u2c = c + c

si la velocidad tangencial cu2 es:



109

0.9 455.531 409.978 u2 2

mc = U

s

entonces

409.978 434. 2 2 2 2

2 1 2

mc = c + U 143.010 + 205

s

Ahora, para el triángulo de velocidades formado por (U2-cu2), W2 y cm2 mostrado en la

Figura 3.17c, la velocidad relativa W2 es:

455.531 150. 2 22 2

2 R2 2

mW = c + U 1-ς 143.01 + 1-0.9 09

s El ángulo de álabe que se forma entre el vector de la velocidad relativa W2, y el vector de

la velocidad radial cR2 es:

2 72.33455.531

-1 -1R2

2

c 143.01β =Tan Tan

U 1 ς 1 0.9

Con un ángulo de ataque

2-1 -1

2

R2

U 1 σ 455.531 1 0.9α =Tan Tan 17.66

c 143.01

Los triángulos de velocidades para el ojo de admisión, al igual que el de la salida del

impulsor, se han trazado a escala con sus ángulos de álabe y de ataque, respectivos, en la

Figura 3.22.

Figura 3.22 Triángulos de velocidades para el compresor del caso práctico 3.3.

Escala: 100.0 m/s = 1.5 cm.

α2=17.6°

Salida del Difusor

c R2=

14

3.0

β2=72.3°

Raíz del ojo de admisión

Salida del Impulsor

Punta del ojo de admisión

c2=434.2

cu2=409.9

W2=150.0

U2=455.5

Wpun=308.4

W1=197.8

U1=136.6

Upun=273.3

c 1=

143.0

c 1

=143.0

β1=46.3°

βpun=27.6

°

αpun=62.3°

α1=43.7°



110

La misma Figura 3.22 muestra que la velocidad absoluta máxima alcanzada por el flujo

del fluido es a la salida del impulsor, justificando el porque es la parte del compresor en la

que se debe tener cuidado con el número de Mach, cuando ya se tiene un tipo de difusor

en específico, y de esta manera, evitar pérdidas de presión mayores.

El incremento de temperatura (temperatura dinámica) que se produce cuando se lleva al

flujo del fluido del estado estático al estado de estancamiento es:

22

2

p

434.205c93.891 K

2C 2 1004T

La temperatura equivalente del trabajo es:

222

03 01

p

ψςU 1.04 0.9 455.531T T = = =193.454 K

C 1004

Entonces, la temperatura de estancamiento a la salida del compresor vale:

22

03 01

p

ψςUT =T =295+193.454=488.454 K=215.304 °C

C

Sustituyendo en la ecuación (3.68) la temperatura de estancamiento T03, y la contribución

de la temperatura dinámica para llegar al estado de estancamiento 02, se tiene que

2T =488.454 93.891 394.563 K=121.413 °C

Con respecto a la segunda suposición, las pérdidas totales son

Pérdidas Totales = Pérdidas en el Impulsor + Pérdidas en el Difusor

Con la finalidad de poder obtener las presiones restantes, y poder bosquejar el diagrama

de Mollier idealizado, se deben considerar las pérdidas en los dispositivos. En una hoja de

cálculo de Excel, se realizaron corridas para determinar las pérdidas en el impulsor y en el

difusor, con base a estos resultados se encuentra la siguiente expresión:

Pérdidas Totales 0.65 Impulsor 0.35 Difusor

La pérdida en el impulsor se expresa en términos de la eficiencia isoentrópica de

compresión (ηSIC) como:

SICPérdidas en el Impulsor 0.65 1 η (3.69)

Para el caso del compresor en estudio, se tiene que

Pérdidas en el Impulsor 0.65 1 0.78 0.143

La eficiencia efectiva se define como:

efeη 1 Pérdidas en el dispositivo (3.70)



111

O bien, como la relación entre los trabajos de compresión ideal y real

1

γ 1

γ02

p 01

01

efec,imp 22

pC T

p

η =ψςU

(3.71)

La eficiencia efectiva para el proceso de compresión que va desde p01 hasta p02 es:

efe,impη 1 0.143 0.857

Las pérdidas para el difusor son:

Pérdidas en el Difusor 0.35 1 ηSIC

para una ηSIC dada

Pérdidas en el Difusor 0.35 1 0.78 0.077

Entonces, la eficiencia efectiva del difusor vale

efe,difη 1 0.077 0.923

La relación de presiones del impulsor, (p02/p01), se obtiene de la ecuación (3.71),

obteniendo un valor de

1.4 10.8574.763

295

1 1.42 X

efe,imp 202imp

01 p 01

η ψςU 193.454pπ = = +1 +1

p C T

La presión de estancamiento para el estado de estancamiento 02 resulta ser:

4.763 1.1 5.239 02 imp 01p π p bar

La temperatura de estancamiento T02 vale

22

02 03 01

p

ψςUT =T =T =488.454 K=215.304 °C

C

De la relación de temperaturas para un proceso isoentrópico de compresión, la presión

estática p2 vale

γ 1.4

γ 1 1.4-102

2 02

2

T 488.454p p = 5.239 2.482 bar

T 394.563

La densidad del fluido de trabajo en el estado dos es:

5

22 3

2

p (2.482×10 ) kgρ = = =2.186

R T (287.7) 394.563 ma



112

El ancho del acanalado se obtiene de la ecuación (3.66), y vale:

2

9d = 0.018 m=1.832 cm

2.186 143.01 π 0.5

La Figura 3.23 muestra una representación gráfica del Diagrama de Mollier de un

compresor de un solo escalonamiento, observando de que la entalpía de estancamiento en

el difusor es constante, es decir: h03=h02, también, para todo el proceso de compresión que

va desde la entrada el impulsor hasta la salida del difusor, el valor del índice politrópico n

es considerado como constante.

Figura 3.23 Diagrama de Mollier representativo para un compresor centrífugo.

Estado 01

La densidad de estancamiento vale:

p1

p01

p2

p02

p03

01

2s

03s

´03

02s

02p3

1

2

03

3

´3

3sEnta

lpía

Entropía

2

2

1c

2

2

3

1c

2

2

1

1c

2

Impulsor

Difusor



113

5

0101 3

01

p (1.1×10 ) kgρ = = =1.296

R T (287.7) 295 ma

Estado 2s

La temperatura del fluido a la salida del impulsor es:

γ 1 1.4 1

γ 1.42

2s 1

1

p 2.482T =T = 284.815 372.216 K=99.066 °C

p 0.973

La densidad del aire en el estado dos, para un proceso de compresión isoentrópico es

5

22

10

287.7s

a

32s

2.482p kgρ = = =2.318

R T 372.216 m

Estado 02

La densidad de estancamiento del aire a la salida del impulsor es:

5

0202 3

02

p (5.239 ×10 ) kgρ = = =3.728

R T (287.7) 488.454 ma

Estado 02s

La temperatura de estancamiento para un proceso de compresión isoentrópico vale:

γ 1 1.4 1

γ 1.402

02s 2s

2

p 5.239T =T = 372.216 460.79 K=187.64 °C

p 2.604

La densidad de estancamiento a la salida de la compresión isoentrópica del impulsor vale:

5

0202s 3

02s

p (5.239 ×10 ) kgρ = = =3.952

R T (287.7) 460.79 ma

El triángulo de velocidades para la salida del impulsor, que se ha mostrado en la Figura

3.22, corresponde al estado final del proceso de compresión politrópico para el impulsor,

en donde, el cambio de entalpía del proceso de compresión politrópico es mayor que el

del proceso isoentrópico, como consecuencia de la fricción del flujo de fluido al paso por

la máquina, o gráficamente, sería por la divergencia de las isobaras implicadas.

Considerando al proceso de compresión como isoentrópico y siendo la misma presión de

estancamiento p02 que se desea obtener, aun cuando la temperatura se reduce, la velocidad



114

absoluta con la que sale el flujo del fluido, c2s es menor a c2.

Para esta velocidad isoentrópica c2s, la temperatura de estancamiento para el estado 2s, es:

2

2s02s 2s

p

cT =T +

2C

despejando a c2s, y sustituyendo valores

2 p 02s 2

mc = 2C T T 2 1004 460.79 372.216 421.73

ss s

Al comparar a la velocidad absoluta c2s con la velocidad absoluta c2, se tiene que

2s 2

m m421.73 c < c 434.205

s s

Hay una diferencia del 2.873 %, si se considera a la velocidad c2s en lugar de c2.

Esta diferencia de la velocidad c2 con c2s se refleja en la componente radial (cR2), ya que la

velocidad tangencial cu2 está en función del factor de deslizamiento (σ), por lo tanto, del

triángulo de velocidades mostrado en la Figura 3.17c, la velocidad radial cR2s vale:

2 421.73 0.9 455.531 98.864s 2 2 2 2

R2s 2

mc = c U

s

Haciendo la comparación, se encuentra que la velocidad radial isoentrópica es menor que

la velocidad radial real.

R2s R2

m m98.864 c < c 143.01

s s

La velocidad relativa isoentrópica se define vectorialmente como:

2s 2s 2W =c U

Entonces, con la velocidad absoluta c2 menor, y con una velocidad periférica constante, la

velocidad relativa disminuye, y vale

1 98.864 455.531 1 0.9 108.854 2 22 2

2s R2s 2

mW = c U

s

La profundidad axial del acanalado se obtiene nuevamente de la ecuación de continuidad

2s

2s R2s 2

m (9)d = 0.025 m=2.5 cm

ρ c πD 2.318 98.864 π 0.5

Comparando las profundidades axiales del acanalado, se encuentra que el d2s es mayor

que d2.

2 2s0.018 m=d < d =0.025 m



115

El área normal al flujo al final de la compresión isoentrópica es:

2

2s

2s R2s

m 9A = =0.039 m

ρ c 2.318 98.864

También el área A2s es mayor que el área A2. 2 2

2s 20.039 m =A >A =0.029 m

Al comparar las áreas, se toma sentido del por qué al considerar una velocidad absoluta c2

idealizada, modifica las dimensiones del diseño del compresor, dando un error del

36.46%, es decir, que el área real a la salida del impulsor debe ser menor que el del

proceso de compresión idealizado, esto es como consecuencia de que la temperatura real a

la salida del impulsor es mayor que la isoentrópica, por ende, se tiene una densidad

menor, que al hacer el producto con la velocidad radial (también disminuida) se obtiene

un valor menor, entonces, el área transversal para un proceso isoentrópico con flujo

másico constante, es mayor que la real, pero no sólo se ven modificadas las dimensiones

de la profundidad axial, sino que también tiene que ver con el número de álabes, como se

muestra más adelante.

La comparación para los gastos volumétricos es:

3 3

2s 2

m m3.883 =G < G =4.116

s s

Una disminución de la velocidad radial a la salida del impulsor, da como consecuencia

una reducción del ángulo de álabe correspondiente, donde β2s es:

2

98.86465.26

455.531s

-1 -1R2s

2

cβ =Tan Tan

U 1 ς 1 0.9

comparando los ángulos de álabe

2 265.26 72.33s β < β

comparando los ángulos de ataque

24.74 17.67 2s 2α > α

En la Figura 3.24 se muestra al triángulo de velocidades para el proceso de compresión

isoentrópico, donde se ha sobrepuesto al triángulo de velocidades para el proceso

politrópico, observando como una disminución de la velocidad absoluta c2, reduce a la

velocidad radial de cR2 a cR2s, y como consecuencia hay una disminución en la velocidad

relativa (W), al igual que el ángulo de álabe (β), aunque hay un incremento en el ángulo



116

de ataque (α) formado entre las velocidades radial y relativa.

Figura 3.24 Triángulo de velocidades a la salida del impulsor (isoentrópico y politrópico).

Estado 03

Conocida la relación de presiones total del compresor, la presión de estancamiento es:

03 01 ip =p π =1.1 4.246 =4.67 bar

La densidad de estancamiento a la salida del difusor es:

5

0303 3

03

p (4.670×10 ) kgρ = = =3.323

R T (287.7) 488.454 ma

Estado ´03

Para un proceso de compresión isoentrópico, la temperatura de estancamiento a la salida

del compresor es:

γ 1 1.4 1

γ 1.403

03 2

2

p 4.670T´ =T = 394.551 =472.664 K = 199.513 °C

p 2.482

La densidad de estancamiento a la salida del compresor para un proceso de compresión

isoentrópico es:

5

0303

10

287.7a

303

4.670p kgρ´ = = =3.434

R T´ 472.664 m

Estado 03s


del compresor es:

Escala: 100.0 m/s = 2.5 cm.

c R2s=

98

.8

Salida del Impulsor

W2s=108.5 α2=17.6

°

α2s=24.7° c R

2=

14

3

β2=72.3°

c2=434.2

cu2=409.9

W2=150

U2=455.5

β2s=65.2

°

c2s=421.7



117

γ 1

1.4 1γ03 1.4

03s 01

01

pT =T = 295.0 4.246 =445.894 K = 172.744 °C

p

con una densidad de

5

0303

10

287.7s

a

303s

4.670p kgρ = = =3.640

R T 445.894 m

Estado 3

Corresponde a la salida del difusor, que es después de haber pasado por la sección sin

álabes y con álabes, entonces, para este estado se desconoce cualquier propiedad

termodinámica, sin embargo, de las siguientes relaciones de temperaturas n 1

n3 3

1 1

T p=

T p

(3.72)

γ 1

γ03 03

3 3

T p=

T p

(3.73)

Al aplicarles logaritmo natural a ambas ecuaciones, se tiene que

33 1

1

pn 1ln T ln T ln

n p

(3.74)

033 03

3

pγ 1ln T ln T ln

γ p

(3.75)

El sistema de ecuaciones algebraico no lineal que se forma de las ecuaciones (3.74) y

(3.75), no tiene una solución viable algebraicamente, además de no ser obvio cuál es el

valor aproximado de la presión estática p3 que se está buscando, esto conduce a aplicar un

método de prueba y error, en donde se busca un valor de p3, que al ser sustituida en las

expresiones (3.76) y (3.77) de un mismo valor para la temperatura T3. n 1

n3

3 1

1

pT =T

p

(3.76)

033 γ 1

γ03

3

TT

p

p

(3.77)



118

La metodología que se aplica, para obtener el valor de la temperatura estática real a la

salida del difusor (T3), en cuando se ha propuesto un valor para p3 incorrecto, es el

siguiente:

1. Se propone un valor inicial para la presión p3,i, que debe estar acotada entre la

presiones p03 y p2, se recomienda que p3 sea el promedio, por ejemplo: para la

primer iteración, se tendría:

1 03,i-13,i

p +pp =

2

2. Se sustituye a p3,i en las ecuaciones (3.76) y (3.77), si resultan iguales, entonces, el

valor que se ha propuesto para p3, es la presión del flujo del fluido a la salida del

difusor, por el contrario, si n 1

n3 03

1 γ 1

1 γ03

3

p TT

pp

p

entonces, p3 se debe incrementar, teniendo cuidado que p3 sea menor a p03, o bien, sí n 1

n3 03

1 γ 1

1 γ03

3

p TT

pp

p

entonces, p3 debe reducirse, teniendo cuidado que p3 sea mayor a p2, este

procedimiento se reitera hasta que se tenga n 1

n3 03

1 γ 1

1 γ03

3

p TT

pp

p

Cada una de las variables que se requiere para aplicar la metodología anterior, se conocen

con excepción del índice politrópico, n, para el proceso de compresión que va del estado 1

al estado 3, para dar solución a este problema, se aplica logaritmo natural a ambos

miembros de la ecuación de la relación politrópica, entre las temperaturas T2 y T1.

2 21ln ln 1 1

T pn=

T n p

Al despejar al índice politrópico de la expresión anterior, se obtiene



119

2

2

1

ln

1

ln

1

1

nT

T

p

p

(3.78)

Sustituyendo los valores respectivos para T y p, se tiene un valor para n igual a

11.533

ln

1

ln0.973

n394.563

284.815

2.482

Con un valor del índice politrópico n=1.533 para el proceso de compresión del estado 1 al

estado 2, o bien, del estado 1 al estado 3, se puede aplicar la metodología planteada para

encontrar p3.

Primera iteración

Se toma como un primer valor inicial de p3 al promedio de las presiones p1 y p03, es decir:

1 033,1

p +p 0.973+4.67p = = =2.821 bar

2 2

sustituyendo en las ecuaciones (3.52) y (3.53)

n 1 1.533 1

n 1.5333,1

1

1

p 2.821T 295 412.558 K

p 0.973

03

γ 1 1.4 1

γ 1.403

3,1

T 488.454422.953

4.67p

2.821p

como

n 1

n3,1 03

1 γ 1

1 γ03

3,1

p TT

pp

p

Se debe aumenta a p3, siendo ahora la cota inferior igual a p3,1 y la cota superior igual a p03



120

Segunda iteración

03 03,13,2

p +p 2.821+4.67p = = =3.746 bar

2 2

dando un valor para las ecuaciones (3.52) y (3.53)

n 1 1.533 1

n 1.5333,2

1

1

p 3.746T 295 455.312 K

p 0.973

03

γ 1 1.4 1

γ 1.403

3

T 488.454458.623 K

4.67p

3.746p

Con un p3,2>p3,1, debe aumentarse p3, siendo ahora la cota inferior igual a p3,2 y la cota

superior igual a p03 que permanece fija, esto es coherente porque p03 es la presión de

estancamiento que se encuentra separada de p3 por una distancia igual a la contribución de

la energía cinética, con respecto a la velocidad absoluta c3.

Para la tercera iteración, se realiza el mismo procedimiento, mostrando en la Tabla 3.4 el

valor de la presión estática p3 para cada una de las iteraciones, al igual que los valores de

la temperatura T3 de las ecuaciones (3.76) y (3.77), con lo cual se hace la comparación

respectiva de T3 y concluir si se requiere aumentar o disminuir a p3, para poder hacer

converger a p3; p3 converge en la cuarta iteración, tomando un valor de p3=4.208 bar, y

que efectivamente es mayor a p2, como consecuencia de la transformación de la energía

cinética a energía de presión.

Tabla 3.4 Valores para la presión estática p3 en cada una de las iteraciones (Caso 3.3).

Iteración (i) p3,i-1 (bar) T3 (K) ecuación (3.52) T3 (K) ecuación (3.53)

1 2.821 412.558 422.953

2 3.746 455.312 458.623

3 4.208 474.123 474.125

4 4.208 474.123 474.125

5 4.208 474.123 474.125

6 4.208 474.123 474.125

Estado 3

El valor de la temperatura estática T3 que arroja el método iterativo es:

3T =474.126 K=200.976 °C



121

La densidad estática del aire a la salida del difusor vale

287.7a

5

33 3

3

4.208 10p kgρ = = =3.085

R T 474.126 m

Estado ´3


del difusor es:

γ 1 1.4 1

γ 1.43

3 2

2

p 4.208T´ =T = 394.563 =458.798 K =185.65 °C

p 2.482

La densidad estática a la salida del difusor es:

5

33

10

287.7a

33

4.208p kgρ´ = = =3.188

R T´ 458.798 m

Estado 3s

Para un proceso de compresión isoentrópico, la temperatura a la salida del compresor es

γ 1 1.4 1

γ 1.43

3s 1

1

p 4.208T =T = 284.815 =432.816 K =159.666 °C

p 0.973

La densidad a la salida del compresor

5

33

10

287.7s

a

33s

4.208p kgρ = = =3.379

R T 432.816 m

Estado 3,int

Los difusores de las máquinas centrífugas pueden o no tener álabes (ver Figura 3.25).

Además de convertir la energía cinética a un incremento de presión, también recogen al

fluido para ser guiado a la siguiente etapa o al sistema de tuberías.

La parte común para cualquier tipo de difusor es la cámara espiral, en donde el área

transversal al flujo de fluido se incrementa a lo largo de la periferia del impulsor; como el

flujo en estos dispositivos es muy complejo y los efectos viscosos dominan al flujo, es

conveniente hacer análisis más simples, para obtener el desempeño total del difusor, por

esto se emplean las ecuaciones de continuidad unidimensional y de movimiento, que se

pueden usar, para obtener la relación de presión estática.



122

a) Voluta simple b) Difusor con álabes c) Difusor sin álabes

Figura 3.25 Difusores usados en compresores centrífugos.

El tipo de difusor que se emplea en este caso práctico es con álabes (ver Figura 3.16); para

ello se anexan los siguientes datos al compresor del caso tratado.

Anchura media del espaciado sin álabes Δresp= 0.05 m

Radio medio aproximado de la garganta del difusor r3,med=0.33 m

Número de álabes del difusor ndif= 12 álabes

Al igual que en el impulsor, se hace la suposición de que la pérdida de carga

suplementaria, que se produce en la corta distancia, que separa a la sección de salida del

rodete de la garganta del difusor (entre r2 y r3) es pequeña, y por lo tanto, se puede

considerar que antes de la garganta, se ha tenido el 35 % de la pérdida total.

Las ecuaciones básicas (para flujo no viscoso unidimensional) que gobiernan el flujo en

un difusor sin álabes son:

urc Cte

(3.79)

Rc 2πrh Cte

(3.80)

donde h es la anchura del ducto, y es constante para el problema tratado.

Con un espaciado sin álabes Δresp= 0.05 m, entonces

3,int 2 espr r + r 0.25 0.05 0.3 m

Por conservación de momento angular, se tiene que

u2 2 u3,int 2 espc r c r + r



123

entonces

2

u3,int u2

2 esp

r 0.25 mc c 409.978 341.648

0.3 sr + r

La componente radial de la velocidad absoluta c3,int, se obtiene al aplicar la ecuación

(3.80), en donde d2=d3,int=d, entonces

2

R3,int R2

2 esp

r 0.25 mc c 143.010 119.175

0.3 sr + r

La magnitud de la velocidad absoluta c3,int vale

3,int 119.175 361.837 2 2 2 2

u3,int R3,int

mc = c + c 341.648 +

s

A través del espaciado sin álabes, la disminución de la velocidad absoluta es

2

434. 361.837100 100 16.66

434.

2 3,int

3,int

2

c c 205c (%) %

c 205

Considerando el un aumento en el radio, la velocidad periférica vale

3,int 3,int

mU =πND = π 290 0.5+2 0.05 =546.637

s

Una disminución de la velocidad absoluta del flujo de fluido para un proceso de difusión,

en donde la temperatura de estancamiento se mantiene constante durante todo el proceso,

implica los siguientes cambios:

Una disminución de la presión de estancamiento.

Un incremento en la presión estática.

Un incremento en la temperatura estática.

Una disminución de entalpía entre el estado estático y el estado de estancamiento.

El Δh entre el estado estático 3,int y la isoentálpica h02, está dado de la siguiente manera

2

3,int

03 3,int

ch h =

2 (3.81)


2

361.837 03 3,int

kJh h = 65.463

2 kg

La temperatura en cualquier punto de la periferia a la entrada de la sección del difusor con



124

álabes, se obtiene al expresar al Δh de la ecuación (3.80) en términos de las temperaturas,

resultando que

2

488.4541.004

3,int

3,int 03

p

c 65.463T =T 423.252 K=150.102 °C

2 C

p3,int se despeja de la relación de temperaturas para una compresión isoentrópica.

γ 1.4

γ 1 1.4 13,int

3,int 2

2

T 423.252p =p = 2.482 =3.037 bar

T 394.563

La densidad es igual a

5

3,int

3,int

10

287.7a

33,int

3.037p kgρ = = =2.494

R T 432.816 m

El área de la sección transversal del flujo en la dirección radial es:

0.3 0.018 23,int 2 esp 2A =2π r + r d =2π =0.035 m

Sí cR3,int=119.175 m/s, el ángulo del borde de ataque de los álabes del difusor para que la

incidencia sea nula debe ser:

119.17519.23

R3,int-1 -13,int

u3,int

cθ =Tan Tan

c 341.648

Estado 3,int(s)

El valor de la temperatura estática es:

γ 1 1.4 1

γ 1.43,int

3,int(s) 1

1

p 3.037T =T = 284.815 =394.299 K =121.149 °C

p 0.973

Y la densidad es:

5

3,int

3

10

287.7a

,int(s) 3

3,int(s)

3.037p kgρ = = =2.677

R T 394.299 m

Estado 3,med

La ubicación de este estado para r=r3,med, se dirige a la salida del difusor con álabes, donde

el flujo de fluido es dirigido al siguiente escalonamiento o sistema de tuberías a través de

la voluta del difusor, o simplemente a la zona de descarga. Por conservación del momento

angular, se tiene que



125

2

u3,med u2

3,med

r 0.25 mc c 409.978 310.589

0.33 sr

Enseguida, se prosigue con un método de prueba y error, donde la metodología es la

siguiente:

Se propone un valor para la velocidad cR3,med (siendo cR3,med<cR3,int).

La densidad es despejada de la ecuación de continuidad para un área A3,med fija.

Se obtiene la temperatura estática T3,med, de la definición de la temperatura de

estancamiento.

De la ecuación de estado del gas ideal se obtiene a p3,med.

La p3,med se obtiene de la relación de temperaturas para un proceso de compresión

politrópico, y así realizar la comparación.

La presión p3,med que se está buscando, es cuando, se tiene para los dos puntos

anteriores, un valor igual para la presión p3,med, de no ser así, se propone otro valor

hasta que converjan a un mismo valor.

Primera Iteración

El área de la sección transversal a la salida de los álabes del difusor se encuentra definida

a través de la siguiente expresión.

0.33 0.018 23,med 3,med 2A =2π r d =2π =0.037 m

La componente de la velocidad radial se puede determinar por prueba y error. Se inicia la

iteración partiendo de que el valor de cR3,med<cR3,int, suponiendo un valor de

cR3,med(1)=109.175 m/s, entonces, de la ecuación de continuidad

0 .3,med(1) 3

R3,med(1) 3,med

m 9 kgρ = =2.228

c A 1 9 175 0.037 m

La temperatura dinámica

2 22 2 2310.589

1004T

3,med(1) u3,med R3,med(1)

p p

c c c 109.17553.977 K

2 C 2 C 2

La temperatura estática para el estado estático es:

2

488.454 3,med(1)

3,med(1) 03

p

cT =T 53.977 434.478 K=161.328 °C

2 C

con una presión estática de



126

5

2.170 287.72.17

1 10a

3,med(1) 3,med(1) 3,med(1)

434.478p =ρ R T 0 bar

Ahora, para una relación politrópica, se tiene

1.533

1.533

2

2.482394.563

n

n 1 13,med(1)

3,med(1) 2

T 434.478p =p 3.274 bar

T

La presión dada por la ecuación de estado del gas ideal debe aumentar, ya que está por

debajo de la presión obtenida por la relación de compresión politrópica, de modo que,

para que converjan a un mismo valor, se debe disminuir la velocidad radial, los resultados

para la densidad, temperatura y presión se muestran en la Tabla 3.5.

Tabla 3.5 Valores de la densidad, temperatura y presión para distintos valores de cR3,med.

Iteración (i) cR3med(i)

(m/s) ρ3,med(i)

(kg/m3)

T3,med(i)

(K) p3,med(i) (Ecuación

de estado) (bar) p3,med(i) (Compresión

Politrópicas) (bar)

1 109.175 2.170 434.478 2.712 3.274

2 105.175 2.252 434.905 2.818 3.283

3 101.175 2.341 435.316 2.932 3.292

4 97.175 2.438 435.711 3.056 3.301

5 93.175 2.542 436.090 3.190 3.309

6 91.000 2.603 436.289 3.267 3.313

7 89.700 2.641 436.406 3.316 3.316

Estado 3,med(s)

El valor de la temperatura para una compresión isoentrópica es:

γ 1 1.4 1

γ 1.43,med

3,med(s) 1

1

p 3.316T =T = 284.815 =404.126 K =200.976 °C

p 0.973

La densidad es igual a

5

3

10

287.7

3,med

,med(s) 3a 3,med(s)

3.316p kgρ = = =2.850

R T 404.326 m

En la Tabla 3.6 se muestran los valores de la temperatura, presión, densidad y del

volumen específico para cada uno de los estados estáticos y de estancamiento, en los tres

puntos esenciales del compresor, es decir, a la entrada del ojo de admisión, a la salida del

impulsor y a la salida del compresor.



127

Tabla 3.6 Valores para las propiedades estáticas y de estancamiento a la entrada y salida del

impulsor, al igual que a la salida del difusor.

Estado Temperatura

(°C) Presión

(bar) Densidad

(kg/m3)

Volumen

específico (m3/kg)

1 11.665 0.973 1.187 0.842

01 21.850 1.100 1.296 0.772

2 121.413 2.482 2.186 0.457

2s 99.066 2.482 2.318 0.431

3,int 150.102 3.037 2.494 0.401

3,int(s) 121.149 3.037 2.677 0.374

3,med 163.256 3.316 2.641 0.379

3,med(s) 131.176 3.316 2.850 0.351

3 200.976 4.208 3.085 0.324

´3 185.650 4.208 3.188 0.314

3s 159.666 4.208 3.379 0.296

03 215.304 4.670 3.323 0.301

´03 199.514 4.670 3.434 0.291

03s 172.744 4.670 3.640 0.275

02 215.304 5.239 3.728 0.268

02s 187.640 5.239 3.952 0.253

La velocidad absoluta vale

2 2 2 2

3,med R3,med u3,med

mc = c + c 89.7 310.589 323.283

s

La dirección del flujo es:

89.716.1

R3,med-1 -13,med

u3,med

cθ =Tan Tan

c 310.589

El área de flujo en la dirección de la velocidad resultante, es decir, el área total de la

garganta de los conductos del difusor vale

0.01 2T,med 3,med 3,medA =A Sen θ 0.037Sen 16.1 m

Como hay 12 álabes en el difusor, la anchura de la garganta en cada uno de los ductos de

una profundidad de 0.018 m es:



128

0.04

0.018

T,med

2

A 0.01Anchura= = 7 m

12 d 12

La velocidad absoluta c3 del flujo de fluido a la salida del difusor, se obtiene de la

definición de la temperatura de estancamiento T03, definida con la ecuación (3.26), la

temperatura dinámica con la cual se alcanza el estado de estancamiento a la salida del

compresor es: 2

303 3

p

c=T T 488.454 474.126 14.328 K

2C

Despejando la velocidad absoluta c3 de la temperatura dinámica a la salida del compresor

y sustituyendo valores, resulta que

3 p 03 3

mc = 2C T T 2 1004 488.454 474.126 169.62

s

Conociendo las 5 presiones estáticas, las 3 presiones de estancamiento y las temperaturas

locales, es posible trazar el diagrama de Mollier (ver Figura 3.26), observando que las

presiones p02 y p03 están por arriba de las presiones p2 y p3, debido a la energía cinética

que posee el flujo de fluido en esos puntos en específico, en donde

1 3 3,med 3,int 2s 2c c c c < c < c

La temperatura de estancamiento se mantiene constante para el proceso ,del estado 02 al

estado 03, aun cuando la temperatura estática para el estado 3 sea mayor a la del estado 2,

por lo tanto, los saltos entálpicos para alcanzar los estados de estancamiento respectivos

son:

Del estado 1 al estado 01

22

1

1 1 kJc = 143.01 10.226

2 2 kg

Del estado 2s al estado 02s

22

2

1 1 kJc = 421.73 88.928

2 2 kgs


22

2

1 1 kJc = 434.205 94.267

2 2 kg

Del estado 3int a la isoentálpica h02

22

3,int

1 1 kJc = 361.837 65.463

2 2 kg



129

Del estado 3med a la isoentálpica h02

22

3,med

1 1 kJc = 323.283 52.256

2 2 kg


22

3

1 1 kJc = 169.62 14.385

2 2 kg

Figura 3.26 Diagrama de Mollier para el compresor de un escalonamiento del Caso 3.3.

p1

p01

p2

p02

p03

01

2s

03s

´0302s

02

p3

1

2

03

3

´3

3s

p3,med

p3,int

3,int

3,m

ed

3,int(s)

3,med(s)

260

310

360

410

460

510

560

5.57 5.67 5.77 5.87

Enta

lpía

[kJ

/kg]

Entropía [kJ/kgK]

2

1

1c =10.22

2

2

2

1c =94.26

2

2

3

1c =14.38

2

2

2

1c =88.92

2s

Imp

uls

or

Dif

uso

r

2

3med

1c =52.2

2

2

3,int

1c =65.4

2



130

En el diagrama T-s de la Figura 3.27 se han trazado las isotermas para cada uno de los

estados implicados, al igual que se marcan los incrementos de temperatura (temperatura

dinámica y temperaturas equivalentes al trabajo) cuando se lleva al flujo al reposo de

forma isoentrópica.

Figura 3.27 Diagrama de Mollier para el compresor del caso 3.3.

p1

p01

p2

p02

p03

01

2s

03s

´0302s

02

p3

1

2

03

3

´3

3s

Impulsor Difusor

p3,int

p3,med

3,int

3,m

ed

3,int(s)

3,med(s)

260

310

360

410

460

510

560

5.57 5.67 5.77 5.87

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Entropía [kJ/kgK]

2

2

p

c=93.89

2C

2

2

p

c=88.92

2C

s

2

2

p

ψσU=193.45

C

2

1

p

c=10.18

2C

2

3

p

c=14.32

2C

2

3,med

p

c=52.0

2C

2

3,int

p

c=65.2

2C

Imp

uls

or

Dif

uso

r



131

El cambio de entropía para este compresor centrífugo de un solo escalonamiento, resulta

ser el mismo, si se toma como referencia a las propiedades de estancamiento o a las

propiedades estáticas.

3 33 1 p

1 1

T p 474.126 4.208 kJs s C ln R ln 1.004 ln 0.2877 ln 0.09

T p 284.815 0.973 kgKa

Del cambio de entropía total, el correspondiente al impulsor es:

2 22 1 p

1 1


T p 284.815 0.973 kgKa

Para el proceso de difusión en la sección sin álabes

3,int 3,int

3,int 2 p

2 2


T p 394.563 2.482 kgKa

En la sección con álabes

3,med 3,med

3,med 3,int p

3,int 3,int


T p 423.252 3.037 kgKa

En la voluta del difusor

3 33 3,med p

3,med 3,med


T p 436.406 3.316 kgKa

Para cada uno de los dispositivos del compresor, se tienen las siguientes relaciones de

presiones con respecto a las presiones estáticas.

Para el impulsor

2imp

1

p 2.482π = = =2.552

p 0.973

Para la sección del difusor sin álabes

3,int

dif,1

2

p 3.037π = = =1.224

p 2.482

Para la sección del difusor con álabes

3,med

dif,2

3,int

p 3.316π = = =1.092

p 3.037

Para la voluta del difusor



132

3dif,3

3,med

p 4.208π = = =1.269

p 3.316

Por tanto, la relación de presiones total para el difusor es

3,int 3,med 3 3dif dif,1 dif,2 dif,3

2 3,int 3,med 2

p p p p 4.208π =π π π 1.695

p p p p 2.482

La relación de presiones para el compresor tratado de un solo escalonamiento es:

3imp dif

1

p 4.208π=π π = = =4.326

p 0.973

De los resultados obtenidos, el aumento de presión debido a la acción centrífuga en el

impulsor es:

impulsor 2 1p =p p 2.482 0.973 1.509 bar

Mientras que, para el dispositivo en general del difusor

3 2 difusorΔp =p p 4.208 2.482 1.726 bar

El salto de presión total para el compresor centrífugo

3 1 compresorΔp =p p 4.208 0.973 3.235 bar

La clasificación de este compresor debe ser un compresor de reacción, es decir, que se

debe tener un 0< GR <1, ya que se tiene un gradiente de presión entre la entrada y la

salida de la turbomaquina, por lo tanto, de la definición del Grado de Reacción, para un

compresor centrífugo en función de los saltos de presión es:

2 1

3 1

p p 2.482 0.973GR= 0.467

p p 4.208 0.973

La curvatura de los álabes ya ha sido definida por los ángulos de la raíz y de la punta del

ojo de admisión (álabes curveados hacia atrás, para una velocidad angular en dirección

horaria); al retomar la teoría de la sección 3.2, es posible establecer ya un diseño

representativo del inductor e impulsor en dos dimensiones, que según la ecuación dada

por Stodola, el número de álabes acoplados al impulsor y que están distribuidos

geométricamente a lo largo de la periferia del compresor y para el caso del proceso de

compresión real, se tiene que

30

1 1 0.9

2π Sen β π Sen 72.332n= álabes

Para el proceso de compresión isoentrópico



133

29

1 1 0.9

2ss

π Sen β π Sen 65.261n = álabes

Debido a que son conocidas las principales características dimensionales del impulsor (D1,

Dpunta, D2 y n), es posible realizar la digitalización 3D del impulsor para después llevar a

cabo una simulación computacional de flujo en el compresor centrífugo. Sin embargo, se

requiere primero de una metodología para la construcción del modelo CAD3D del

impulsor (metodología de ingeniería inversa, por ejemplo), para posteriormente, con un

modelamiento tridimensional del flujo y un programa comercial de CFD, se realice la

simulación. Para la construcción del modelo virtual del impulsor mediante software

CAD3D, deben obtenerse tomografías para conocer el borde de ataque del álabe para la

trayectoria del flujo desde la entrada del ojo de admisión hasta la entrada del difusor, y

poder trazar la proyección de la superficie meridional, obteniendo un conjunto de líneas

primitivas sobre parte de la superficie de curvatura del álabe (Figura 3.18) [25].

Figura 3.28 Conjunto de líneas primitivas sobre parte de la superficie de curvatura del álabe

del impulsor [25].

Continuando con los cálculos, el número de Mach a la entrada del compresor es igual ha:

01

1

1

T 2 295.0 2M 1 1 0.423

T γ 1 284.815 1.4 1

O bien, al aplicar la ecuación (3.24), se obtiene que



134

1

1

1

143cM = = =0.423

γR T 1.4 287.7 284.815a

También, se da el número de Mach máximo a la entrada del ojo de admisión, que está

dado a partir de la velocidad relativa Wpunta, por lo tanto, el número de Mach máximo

(número de Mach relativo, Mr1,punta) a la entrada es igual a:

punta

r1,punta

1

W 308.472M = = =0.911

γR T 1.4 287.7 284.815a

Aunque este valor no se puede juzgar como satisfactorio, ni aun siendo el máximo que

pudiera darse en la práctica, si se considera que se trata de un compresor que forma parte

de un motor de aviación, que precise trabajar a una altura de 11,000.0 m, donde la

temperatura atmosférica es de sólo unos 217 K, se debe calcular el número de Mach en

estas condiciones.

Para la entrada, el efecto dinámico debido a la velocidad de avance del aparato produce un

aumento de la temperatura, el descenso de la temperatura atmosférica no tendrá tanta

influencia como cabría suponer.

Si se toman 90 m/s como la velocidad mínima previsible a gran altura, se tiene que el

equivalente de la temperatura de la velocidad de avance es:

22

avan

p

90c= =4.034 K

2C 2 1004T

La temperatura de estancamiento es igual a 2

avan01 1

p

cT T =217+4.034=221.034 K

2C

Con una velocidad axial a la entrada del compresor de 143.01 m/s, la temperatura estática

a las condiciones dadas para una altura de 11,000 m resulta ser:

22

11 01

p

143.01cT T =221.034 =210.849 K

2C 2 1004

El número de Mach que se tiene a una cierta altura, se puede expresar en términos del

número de Mach, que se tiene al nivel de la tierra, mediante la siguiente expresión: 0.5

tier tier11,alt 1,tier 1,tier

1 altalt

γRaT TcM =M =M

c TγR Ta

(3.82)




135

0.5

1,alt

284.815M = 0.911 1.059

210.849

Evidentemente, este valor es demasiado grande, por lo que se introduce una prerrotación

de 30 grados (ver Figura 3.11, repetida), que es el ángulo óptimo para cualquier número

de Mach relativo, la velocidad absoluta a la entrada es ahora ligeramente mayor, de

manera que, la temperatura estática en dicho punto es ligeramente inferior.

Figura 3.11 Ángulo de álabe máximo para la función f(Mr,1) (repetida).

Habrá que determinar el nuevo valor de la velocidad axial siguiendo un proceso de tanteo

(se vuelve al caso estático original a nivel del mar).

Primera Iteración

Probando con ca1=150 m/s, de la definición de la temperatura de estancamiento, la

temperatura estática T1 es:

a

221,1

1,1 01 2 2p

150cT =T =295.0 =280.060 K

2 Cos 30 C 2 Cos 30 1004

De la relación de temperaturas para un proceso de compresión isoentrópico, la presión

estática p1 está dada como:

γ 1.4γ-1 1.4-1

1,11,1 01

01

T 280.060p =p = 1.1 =0.917 bar

T 295.0

La densidad del aire

Mr,1=0.9

Mr,1=0.8

Mr,1=0.7

Mr,1=0.6

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 20 40 60 80

f(M

r,1)

Ángulo de álabe [°]



136

50.917 101

287.7a

1,11,1 3

1,1

p kgρ = = .138

R T 280.06 m

Por consecuente, la comprobación se efectúa con la ecuación de continuidad.

a

1,1 2 2 2 21,1 1 1,1 pun 1

4 9m 4m mc = = = =149.158

ρ A sρ π D D 1.138 π 0.3 0.15

Por consiguiente, al repetir el mismo procedimiento iterativo hasta que ca1,i=ca1,i+1, para

i=1, 2, 3, .., n, en la Tabla 3.7 se muestra el valor al que convergen las variables ρ, c, T y p,

para este caso es en la séptima iteración.

Tabla 3.7 Valores de la densidad, velocidad, temperatura y presión para cada iteración.

Iteración

(n=10)

Temperatura

(K)

Presión

(bar)

Densidad

(kg/m3)

Velocidad ca

(m/s)

1 280.060 0.917 1.138 149.158

2 280.227 0.919 1.140 148.935

3 280.271 0.919 1.140 148.877

4 280.283 0.920 1.140 148.862

5 280.286 0.920 1.140 148.858

6 280.286 0.920 1.140 148.856

7 280.287 0.920 1.140 148.856

La velocidad absoluta resultante

148.856a 1

1 2 2

c mc = 171.885

sCos 30 Cos 30

La velocidad tangencial a la entrada

30 148.856 30a u1 1

mc =c Tan Tan 85.942

s

Para la velocidad relativa máxima

1 148.856a 22 2 2

,máx 1 punta u1

mW = c + U c + 273.319 85.942 239.308

s

Por lo tanto, cuando T01=295 K, el número de Mach máximo a la entrada es:

1,máx

r1,tier,máx

1

WM =

γR Ta

(3.83)




137

r1,tier,máx

239.308M = 0.712

1.4 287.7 280.287

Por otro lado, el número de Mach máximo en la altura

1,máx

r1,alt,máx

1

WM =

γR Ta

(3.84)

por lo tanto

0.5

r1,alt,máx

280.287M = 0.712 0.821

210.849

En condiciones de altura, este valor se incrementa a poco más de 0.8, concluyendo que

una prerrotación de 30 grados es adecuada.

Para ver qué efecto produce esta prerrotación en la relación de presiones, se toma el caso

más desfavorable, y se supone que la prerrotación es constante en toda la sección de

entrada del impulsor [12]; la velocidad periférica de la sección de entrada del inductor en

el radio medio del ojo de admisión está dada como:

1 punta

media

U +UU =

2

(3.85)

Sustituyendo los valores correspondientes

media

136.659+273.319 mU = 204.989

2 s

El aumento real de temperatura se expresa como sigue:

2

real 2 u1 media

p

ψΔT = σU c U

C

(3.86)

entonces, al sustituir

2

real

1.04ΔT = 0.9 455.531 85.942 204.989 175.205 K

1004.0

La ecuación para la relación de presiones se reescribe como sigue

1

X03 sic real

01 01

p η T= +1

p T

(3.87)

Entonces la relación de presiones real para el compresor es igual a:

3.5

0.783.790

03

01

175.205p= +1

p 295



138

Esta relación de presiones se puede comparar con el valor de 4.246 obtenida sin

prerrotación. En algunas ocasiones, es ventajoso emplear álabes guías regulables en la

entrada, con objeto de mejorar el comportamiento en condiciones fuera del punto de

diseño.

Antes de pasar a analizar el efecto de tener velocidades altas del aire en el difusor, se

analiza la magnitud de los números de Mach en esta parte del compresor, por ende,

merece especial consideración su propio análisis, sin perder de vista que, el principal

objetivo es tener un incremento de presión constante, donde puede ser a expensas de

reducir su energía cinética.

Primero se calcula el número de Mach, tanto a la entrada como a la salida del difusor,

enseguida se establece el tipo de régimen de fluido, con el que se está trabajando en tales

puntos (ver Tabla 3.2) [3], posteriormente, se hace un gráfico, en el cual se muestra la

variación de las propiedades del fluido y la disminución de la velocidad del flujo de fluido

a largo del ducto, a medida que se aumenta la presión y se mantiene constante el flujo de

fluido; todo esto para fijar el tipo o tipos de dispositivos (ver Figura 3.29) que se emplean

para la forma de la voluta del difusor.

p disminuye

T disminuye

ρ disminuye

c aumenta

M disminuye

p aumenta

T aumenta

ρ aumenta

c disminuye

M disminuye

Tobera subsónica Difusor subsónico

a) Flujo subsónico

p disminuye

T disminuye

ρ disminuye

c aumenta

M aumenta

p aumenta

T aumenta

ρ aumenta

c disminuye

M disminuye

Tobera supersónica Difusor supersónico

b) Flujo supersónico

Figura 3.29 Efectos del cambio de área de paso sobre las propiedades de flujo en toberas y

difusores subsónicos y supersónicos.

A la entrada de la primera sección del difusor, se tiene un número de Mach igual a

M<1 M<1

M>1 M>1



139

02

2

2

T 2 488.454 2M 1 1 1.090

T γ 1 394.563 1.4 1

Considerando ahora el borde de ataque de los álabes del difusor

02

3,int

3,int

T 2 488.454 2M 1 1 0.878

T γ 1 423.252 1.4 1

En el diseño que se está considerando, el número de Mach vale 1.09 en la sección de la

salida del impulsor y 0.878 en el borde de ataque de los álabes del difusor. Se ha

demostrado que, siempre que la componente radial de la velocidad sea subsónica, se

puede trabajar en la sección de salida del impulsor con número de Mach mayores a la

unidad, sin que se produsca una pérdida de eficiencia, pues en el espacio sin álabes puede

haber una difusión supersónica sin formación de ondas de choque, si se realiza con

movimiento de torbellino manteniéndose constante el momento angular.

De todas formas, el número de Mach en el punto 3,int resulta un tanto grande, por lo que,

probablemente sería aconsejable aumentar la anchura radial del espacio sin álabes, o bien,

la profundidad del difusor, para así reducir la velocidad en este punto [17].

No es deseable que los números de Mach en los bordes de ataque de los álabes del difusor

sean altos, no sólo por el peligro de pérdidas de choque, sino también por que implican

grandes velocidades del aire, así como presiones comparativamente altas en los puntos de

estancamiento, situados en los bordes de ataque de los álabes y en los que el aire se ve

frenado localmente hasta el reposo.

Ello da lugar a una variación de la presión estática en toda la circunferencia que se

transmite hacia atrás en dirección radial a través del espacio sin álabes, hasta la sección de

salida del impulsor.

Aunque, para entonces, dicha variación se habrá reducido considerablemente, puede muy

bien ser aún lo suficientemente importante como para excitar a los álabes del impulsor y

ocasionar un fallo mecánico ante la aparición de grietas de fatiga, debidas a la vibración.

Esto sucede cuando la frecuencia de excitación, que depende de la velocidad de giro y del

número relativo de álabes en el impulsor y el difusor, sea del mismo orden de magnitud

que una de las frecuencias naturales de los álabes del impulsor. Para aminorar este

peligro, se procura que el número de álabes del impulsor sea un múltiplo entero del



140

número de álabes del difusor, una práctica habitual es adoptar un número primo para los

álabes del impulsor y uno par para los del difusor.

La razón de que haya un espacio desprovisto de álabes resulta ahora evidente: si los

bordes de ataque de los álabes del difusor estuvieran demasiado cerca de la salida del

impulsor, donde los números de Mach son muy altos, aumentaría considerablemente el

peligro de pérdidas de choque, así como el de una variación circular excesiva de la

presión estática.

Para la salida del difusor con álabes, se tiene un número de Mach

03

3,med

3,med

T 2 488.454 2M 1 1 0.772

T γ 1 436.406 1.4 1

A la salida del difusor

03

3

3

T 2 488.454 2M 1 1 0.389

T γ 1 474.126 1.4 1

Con un incremento de presión y una disminución de la velocidad absoluta, se trata

entonces, con un flujo subsónico, que requiere para el proceso de difusión a un difusor

subsónico, esto por ser el número de Mach menor a la unidad.

Con las propiedades estáticas T3,med y p3,med conocidas, se obtiene a la temperatura estática

T a lo largo del ducto divergente del difusor. n 1

n

3,med

3,med

pT=T

p

En donde, p está acotada entre p3.med y p3, dando como resultado un incremento de la

temperatura T, desde T3,med hasta T3, sustituyendo en la siguiente expresión

p 03c= 2C T T

se obtiene la velocidad absoluta, estando acotada entre c3,med y c3.

La densidad se expresa como:

a

pρ=

R T

El número de Mach se obtiene con la siguiente expresión

cM=

kRT

(3.24)



141

La Figura 3.30 muestra como la temperatura, la presión y la densidad (propiedades

estáticas) aumentan de forma curvilínea, sin embargo, el número de Mach y la velocidad

absoluta decrecen, debido al proceso de difusión.

Considerando que el número de Mach está entre 0.772 y 0.389, la Figura muestra que el

difusor no cuenta con una garganta intermedia, es decir, que entre el salto de presión, el

número de Mach se encuentra sólo por debajo de la unidad; si fuese el caso en que el

número de Mach cambiase de un número mayor a un número menor pasando por la

unidad, entonces, el punto en donde M=1.0 se le conoce como garganta, y es donde entra

el concepto de los dispositivos llamados toberas convergentes-divergentes.

Figura 3.30 Variación de las propiedades del fluido y de la velocidad absoluta del fluido a lo

largo del ducto divergente.

De acuerdo a la Figura 3.30, el área del ducto divergente debe irse incrementando a lo

largo de la periferia del impulsor, para así satisfacer la ecuación de continuidad, cuando el

flujo másico de cada acanalado formado por dos álabes y la carcasa del difusor se anexa al

flujo másico previo por otro acanalado, para que al final de la periferia el flujo másico sea

igual al flujo másico que entra al compresor, tal y como se muestra en la Figura 3.31.

Cada uno de los cálculos, se han realizado para un flujo másico constante de 9 kg/s, lo que

define cada una de las velocidades absolutas del flujo de fluido y las propiedades

termodinámicas (temperatura, presión y densidad).

T

c

A

ρ

M

0.3

0.8

1.3

1.8

2.3

2.8

3.3

50

110

170

230

290

350

410

470

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1

T [K

] ; c

[m

/s]

; A

[cm

2 ]

Presión [bar]

ρ [kg/m

3] ; M [--]

Proceso de Difusión

p3 p3,med



142

Con las propiedades de estancamiento ya fijas a la entrada del compresor, entonces, un

cambio en el flujo másico da como consecuencia un diseño del compresor distinto al

tratado hasta este momento, debido a un cambio en la densidad del flujo del fluido

relacionado con la temperatura y presión a través de la ecuación de estado del gas ideal.

Figura 3.31 Representación esquemática de la variación del área transversal de la

voluta de un difusor.

La Figura 3.32 muestra como al incrementarse el flujo másico a la entrada del compresor

aumenta la velocidad absoluta para cada uno de los estados estáticos (1,2 y 3), siendo en

la velocidad c1 donde se tiene un cambio mayor en comparación con la velocidad c3 y c2.

La velocidad c2 es mayor que el resto de las velocidades para cualquier flujo másico.

cR3,med acanm

m

acanm

Ad1

r3,med

Difusor

r3,med

Ad2

Ad12

cu3,med

cu3,med

c3

A3

d1 Separación creciente

hasta una distancia

igual a d1

acanm

r3,med r3,med

cu3,med



143

Figura 3.32 Variación de las velocidades absolutas en función del flujo másico.

La Figura 3.33 muestra como las presiones estáticas disminuyen cuando aumenta el flujo

másico, con ello, el salto de presión para el impulsor (p2-p1) y difusor (p3-p2) disminuye,

aunque la relación de presiones total (p3/p1) aumenta.

Figura 3.33 Variación de las presiones estáticas en función del flujo másico.

La relación de presiones de estancamiento (p03/p01) se mantiene constante, por lo tanto,

con un incremento del flujo másico, da como consecuencia un aumento en la energía

cinética del fluido, entonces, la temperatura dinámica aumenta, que al restárselo a la

temperatura de estancamiento correspondiente, se tiene que la temperatura estática para

cada uno de los estados disminuye tal y como se muestra en la Figura 3.34.

c1

c2

c3

1

2

3

50

150

250

350

450

5 7 9 11 13

Ve

loci

dad

ab

solu

ta (

m/s

)

Flujo másico (kg/s)

p1

p2

p3

1

2

3

0

1

2

3

4

5

5 7 9 11 13

Pre

sió

n (

bar

)




144

Figura 3.34 Variación de las temperaturas estáticas en función del flujo másico.

Con un incremento de la temperatura, la densidad disminuye para una presión constante,

pero como la presión también disminuye cuando aumenta el flujo másico, entonces, el

resultado del cálculo es que la densidad igual disminuye tal como se muestra en la Figura

3.35.

Figura 3.35 Variación de las densidades estáticas en función del flujo másico.

T1

T2

T3

1

2

3

250

300

350

400

450

500

5 7 9 11 13

Tem

pe

ratu

ra (

K)


ρ1

ρ2

ρ3

1

2

3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

5 7 9 11 13

De

nsi

dad

(kg

/m3 )




145

CAPÍTULO 4 TURBOMAQUINAS DE FLUJO RADIAL

4.1 APLICACIONES DE LAS TURBOMAQUINARIAS

Con la teoría presentada en los tres capítulos anteriores, se ha comprendido que las

turbomaquinarias se clasifican de acuerdo al tipo de trayectoria que lleva el flujo de fluido

(ver Figura 4.1), donde cada una de éstas tiene una aplicación diferente [4], como las que

se muestran en la Tabla 4.1 [14].

Axial MixtoRadial

Extendido Incluido

Compresores y Bombas

Axial Radial

Extendido Incluido

Turbinas

Mixto

Clasificación

Figura 4.1 Clasificación de la Turbomaquinas en función del tipo de

trayectoria del flujo de fluido.

Tabla 4.1 Aplicación de la turbomaquinaria.

Aplicación Ejemplo

Vehículos espaciales

Compresores y Turbinas son usados en turbinas de gas de

potencia, naves aéreas de propulsión, helicópteros, vehículos

espaciales sin tripulación, portaaviones V/STOL, misiles, etc.

Vehículos marinos Usados en plantas de potencia de submarinos, barcos de

plataforma naval, barcos de propela, entre otros.

Vehículos de tierra En turbinas de gas de automóvil, en donde es usada una turbina

de gas radial y un compresor centrífugo.

En energía

Se utilizan en plantas hidráulicas (Turbina Francis), en plantas

de potencia de gas (ver Figura 4.2), de vapor, nuclear y de

carbón, entre otras.

Industrial Procesamientos químicos, compresión de fluidos, purificación

de agua, equipos de refrigeración, etc.

Aplicaciones de las Turbomaquinas


146

Otras Bombas que son usadas en dispositivos para asistir al corazón,

convertidores del torque automotriz, soportes hidráulicos, etc..

Figura 4.2 Turbina de Gas para generación de energía.

El diseño de una turbina se vuelve tan complejo, a medida que, se requieren plantear

ecuaciones que precisen la variación de las propiedades del fluido para una posición y

tiempo en específico, como en la mayoría de las aplicaciones se usan turbomaquinarias de

flujo radial, enseguida se establecen las ventajas que se tienen en comparación con las de

flujo axial y viceversa [1].

Ventajas de los compresores centrífugos sobre los axiales

Mayor seguridad en la operación, debido a la robustez.

Se requiere de un menor número de escalonamientos para la misma relación de

presiones total.

Presentan mayor facilidad para alojar a los interrefrigeradores.

Mayor estabilidad de funcionamiento.

Alcanzan presiones de trabajo más altas, de hasta 400 bar, mientras que para los

axiales de hasta 50 bar.

La curva de eficiencia es más plana, por ser más sensibles a los efectos de

incidencia del fluido sobre los álabes en el trabajo o carga parcial y sobrecarga.

Ventajas de los compresores axiales sobre los centrífugos

Ventajas Centrífugos -Axiales


147

Mejor eficiencia en condiciones de diseño.

Para la misma potencia, el axial es de menor tamaño y peso, aumentando la

velocidad de giro. Esta ventaja es muy importante en ciertos servicios, sobre todo

en las Turbinas de Gas de aviación, donde tienen excelente aplicación.

Permiten manejar un mayor flujo másico de fluido, lo que significa una ventaja en

la aplicación de motores de Turbinas de Gas, ya que se pueden obtener mayores

potencias en estas máquinas.

4.2 FACTOR DE COMPRESIBLIDAD

Determinar las propiedades del fluido, puede ser tan idealizado, a modo de tener una gran

simplicidad en los cálculos, sin embargo, en la mayoría de los procesos, es primordial que

se determinen con la mayor precisión posible, esto a través de los modelos matemáticos

existentes. Para el caso de procesos de compresión, la ecuación de estado del gas ideal se

reescribe como:

apv=ZR T

(4.1)

En donde Z es el factor de compresibilidad, con el cual es posible modelar el

comportamiento real para cualquier gas, aun cuando estén cercanos a la región de

saturación y del punto crítico, ya que es en donde se tiene una desviación del

comportamiento de un gas ideal, que es en función del propio gas, la presión y la

temperatura a la cual opera [5].

El factor de compresibilidad se puede expresar también como:

actual

ideal

VZ=

V

(4.2)

Para poder determinar el valor de Z, se hace uso de la carta de compresibilidad

generalizada (Anexo B2), la cual es un ajuste de datos experimentales y se da en función

de la presión reducida (pr) y de la temperatura reducida (Tr), definidas como:

r

cr

pp =

p

(4.3)

y similarmente

r

cr

TT =

T

(4.4)

donde pcr y Tcr son presión crítica y temperatura crítica, respectivamente.

4.3 RELACIÓN ENTRE LA EFICIENCIA POLITRÓPICA Y LA EFICIENCIA

Factor de Compresibilidad


148

ISOENTRÓPICA DE COMPRESIÓN

Para facilitar la deducción de la eficiencia politrópica, se reescribe a la ecuación del

trabajo de compresión politrópico deducida en el capítulo 2 [5].

a

n 1

n2

p 1

1

pnτ R T 1

n 1 p (2.13)

Considerando al factor de compresibilidad (Z), y sin especificar aun al fluido de trabajo,

se tiene que

n 1

n2

p 1

1

pnτ ZRT 1

n 1 p (4.5)

Si el trabajo de compresión real que hay que suministrar al compresor se expresa en

términos de la relación de presiones como:

n 1

n2

p 1

1

pτ ZC T 1

p (4.6)

Siendo el calor específico definido como Cp=γR/(γ-1), entonces

n 1

n2

1

1

pγτ ZRT -1

γ 1 p (4.7)

Por tanto, la eficiencia politrópica es definida como:

p

PIC

τη =

τ

(4.8)

Debido a que en un proceso termodinámico se define a la eficiencia como la relación entre

el trabajo de compresión de salida y el trabajo de entrada, entonces, el trabajo de

compresión politrópico corresponde al trabajo de salida. Ahora, sustituyendo la ecuación

(4.5) y (4.7) en la ecuación de la eficiencia politrópica, se obtiene

n 1

n2

1

1

PIC n 1

n2

1

1

pnZRT 1

n 1 p

η =

pγZRT 1

γ 1 p

Eficiencia Politrópica de Compresión


149

simplificando

PIC

n γ 1η =

n 1 γ o bien

PIC

n γη

n 1 γ 1

(4.9)

La eficiencia politrópica es independiente del estado termodinámico que experimenta el

gas en el proceso de compresión, o bien, que el valor del índice politrópico n está en

función del índice adiabático y de la eficiencia politrópica [18].

Por otro lado, para una compresión isoentrópica, se tiene que el trabajo de entrada debe

ser el mismo que para el caso de una compresión politrópica, es decir:

p s

PIC SIC

τ ττ

η η

(4.10)

En el capítulo 3 se ha hecho uso de la eficiencia isoentrópica de compresión (ηSIC), sin

embargo, la deducción para tal definición se ha dejado hasta esta sección para poder

mostrar la relación que existe con la eficiencia politrópica, por lo tanto, despejando a ηSIC

de la ecuación (4.10), se obtiene que

sSIC PIC

p

τη η

τ

(4.11)

sustituyendo a τs y τp por sus expresiones respectivas, resulta

γ 1

γ2

1

1

SIC PICn 1

n2

1

1

pγZRT -1

γ 1 p

η η

pnZRT -1

n 1 p

sustituyendo la ecuación (4.9) en la ecuación anterior

γ 1

γ2

1

SIC PICn 1

n2

PIC

1

pγ-1

γ 1 p

η η

pγη -1

γ 1 p

Eficiencia Isoentrópica de Compresión


150

simplificando

γ 1

γ2

1

SIC n 1

n2

1

p1

p

η

p1

p

(4.12)

Una de las ventajas que se tiene al considerar al proceso politrópico, radica en que no es

necesario conocer el valor de n si se conoce a ηPIC, esto se puede corroborar al sustituir la

ecuación (4.9) en la ecuación (4.12) y así la eficiencia isoentrópica de compresión queda

en términos de la relación de presiones, del índice adiabático y del índice politrópico, tal y

como se muestra enseguida.

PIC

γ 1

γ2

1

SIC γ 1

γ η2

1

p1

p

η

p1

p

(4.13)

Para el valor de la eficiencia politrópica se requiere introducir el concepto del Politrope,

que es la relación que existe entre el trabajo de compresión vdp y el trabajo de compresión

real (expresado en términos del salto entálpico), siendo una constante para un proceso de

compresión (ηPIC), o bien, para un proceso de expansión (ηPIT). De la Primera Ley de la

Termodinámica expresada en forma diferencial [18]:

uδq+δτ=d

(4.14)

donde

u d dh vdp pdv

y

δτ pdv

Por lo tanto, la expresión (4.14) se puede expresar también como:

δq=dh vdp

(4.15)

Considerando al proceso de compresión como adiabático (donde δq=0), al cociente

vdp=Cte

dh

(4.16)

que es una constante, se le define como eficiencia politrópica de compresión, tomando



151

valores menores a la unidad debido a que vdp<dh.

PIC

vdpη

dh

(4.17)

Mientras que, para un proceso de expansión, se tiene que

PIT

dhη

vdp

(4.18)

A partir de la ecuación (4.17), es posible llegar a la misma expresión para la eficiencia

politrópica de la ecuación (4.9), de la ecuación de estado del gas ideal se sustituye al

volumen específico (v), al igual que se sustituye a dh en función de la temperatura para un

Cp constante, resulta

PIC p

dpRT η C dT

p

integrando

2 2

PIC p 1 1

p TRln ln

η C p T

aplicando exponencial a ambos miembros de la ecuación, resulta

PIC p

R

η C2 2

1 1

T p

T p

Como se trata de una relación de temperaturas para un proceso de compresión politrópico,

entonces debe cumplirse que

PIC p

R n 1=

η C n

Con la relación Cp=Rγ/(γ-1); entonces, se llega a la misma expresión de la ecuación (4.9).

PIC

n γη

n 1 γ 1

(4.9)

Haciendo referencia al diagrama de Mollier mostrado a la Figura 4.3 y considerando a una

compresión infinitesimal, donde Cp es constante [21], entonces

1

1

s

PIC

T+dT

dh´s Tη =

T+dTdh

T

(4.19)



152

Figura 4.3 Diagrama de Mollier representativo para la obtención de la eficiencia politrópica

La ecuación que rige al comportamiento de un gas en un proceso politrópico es de la

forma pvn=Cte, que al sustituir en la ecuación (4.10), resulta

1

1

γ 1

γ

PIC n 1

n

p+dp

pη =

p+dp

p

(4.20)

Al expandir las expresiones dentro de los paréntesis de la ecuación (4.20)

γ 1

γp+dp

p

y

n 1

np+dp

p

y despreciando los términos de orden superior, se obtiene

1 1

γ 1

γdp γ 1 dp

p γ p

de igual manera

1 1

n 1

ndp n 1 dp

p n p

p1Δhs

p2

1

2

p+dp

p

dh

´s

2s

dh

s dh

Δh

Enta

lpía

Entropía



153

entonces

1 1

1 1

PIC

γ 1 dp

γ pη =

n 1 dp

n p

(4.21)

Simplificando términos de la ecuación (4.21), se obtiene nuevamente con un tercer

procedimiento, que la eficiencia politrópica se expresa en términos del índice politrópico

y adiabático como:

PIC

n γη

n 1 γ 1

(4.9)

Bosquejando a ηSIC en función de la relación de presiones (p2/p1), y tomando como fluido

de trabajo al aire (γ=1.4), ηSIC disminuye cuando aumenta la relación de presiones, tal y

como se muestra en la Figura 2.4. De igual forma, para diferentes valores de la eficiencia

politrópica se tiene que ηSIC (ver Figura 4.4) también disminuye a medida que aumenta la

relación de presiones para un valor de γ fijo [6].

Figura 4.4 Eficiencia isoentrópica de compresión contra relación de presiones para

distintos valores de ηPIC.

La eficiencia isoentrópica, es por tanto, la más importante medida del comportamiento de

la máquina, esto debido a que determina el trabajo suministrado o generado de una

máquina, sin embargo, como sólo considera a los estados inicial y final para el proceso,

entonces, esto no le permite ser usada para poder estimar las características de los

compresores, caso contrario a la eficiencia politrópica que si considera a la trayectoria en

el proceso de compresión y por tanto, da más veracidad al cálculo de la potencia requerida

ηPIC=0.7

ηPIC=0.75

ηPIC=0.8

ηPIC=0.85

ηPIC=0.9

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ηSI

C[-

-]

Relación de presiones [--]

Comportamiento de Eficiencias


154

sin ser una función de la relación de presiones, lo que permite concluir que esta eficiencia

politrópica es mayor que la eficiencia isoentrópica para un proceso de compresión, es

decir: ηPIC > ηSIC para cualquier relación de presiones. En la Figura 4.5 se muestra como la

razón de cambio para ηSIC aumenta a medida que se incrementa la relación de presiones

para una eficiencia politrópica constante, además de que ambas tienden a la unidad para

cualquier relación de presiones (p2/p1).

Figura 4.5 Eficiencia isoentrópica en función de la eficiencia politrópica para distintos

valores de p2/p1.

Considerar al proceso politrópico tiene otra ventaja, y es que la suma de los trabajos de

compresión politrópicos que hay que suministrar para cada uno de los estados de

compresión es igual al trabajo de compresión total que hay que suministrar para todo el

proceso (considerando sólo al estado inicial y al estado final), caso contrario al del trabajo

de compresión isoentrópico.

4.4 CÁLCULO DE LAS PROPIEDADES DEL GAS

Para la generación de energía, las plantas de potencia son una gran alternativa, debido a

que el oxidante empleado para la reacción química exotérmica (combustión) es adquirido

de forma gratuita (aire), por ello, sus propiedades han sido ya definidas y analizadas

exhaustivamente, sin embargo, el poder conocer a las propiedades del gas no siempre

resulta ser una tarea fácil y menos si en el último de los casos no se encuentra dato alguno

en la literatura, por ello, se requiere tener un método con el cual se facilite deducir tales

propiedades.

Entonces, como primer paso se requiere conocer la composición de la mezcla, la cual

puede ser de dos forma, ya sea a través de un análisis molar (con respecto al número de

π=6.0 π=10.0

π=2.0

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.7 0.8 0.9 1

ηSI

C[-

-]

ηPIC [--]

Cálculo de las Propiedades del Gas


155

moles), con el cual se determina la fracción molar o volumen (x), que es la relación entre

el número de moles de un componente y el número de moles de la mezcla, además de que

la suma de todas las fracciones mol debe ser igual a la unidad [3].

ii

mez

Nx =

N

(4.22)

O bien, a través de un análisis gravimétrico (con respecto a la masa de cada componente),

con el cual se determina la fracción masa (y), que es la relación entre la masa de un

componente y la masa de la mezcla, de igual manera se tiene que la suma de todas las

fracciones masa debe ser igual a la unidad [3].

ii

mez

my =

m

(4.23)

Por consiguiente, la masa molar aparente o promedio de la mezcla (Mmez) se puede

expresar en términos de la fracción volumen (o mol) como:

x

i i imez

mez i i

mez mez mez

m N MmM = = = = M

N N N

(4.24)

Por ende, la constante particular de la mezcla se puede expresar como:

umez

mez

RR =

M

(4.25)

Puesto que la fracción masa y la fracción volumen determinan las mismas propiedades de

la mezcla, es de suponerse que exista una relación entre ambas, tal y como se muestra a

continuación.

i i i ii i

mez mez mez mez

m N M My = = =x

m N M M

(4.26)

Así, cada componente de la mezcla de gases no reactiva contribuye al calor específico de

la mezcla, es decir:

p,mez i p,iC = x C

(4.27)

Similarmente, para la presión crítica de la mezcla

cr,mez i cr,ip = x p

(4.28)

en cuando a la temperatura crítica de la mezcla

cr,mez i cr,iT = x T

(4.29)

Ya entendido lo anterior, se prosigue a plantear el procedimiento con el cual se facilite la

obtención de las propiedades de la mezcla [5].



156

1. Enlistar cada uno de los componentes de la mezcla con su respectiva fracción

volumen (o molar).

2. Enlistar para cada componente de la mezcla su peso molecular, su presión crítica y

temperatura crítica.

3. De igual manera, enlistar los calores específicos a presión constante (Cp,i) basados

en la temperatura a la cual la mezcla es medida.

4. Calcular y enlistar la contribución de cada gas a la masa molecular de la mezcla.

5. Calcular y enlistar la contribución de cada gas a la presión crítica, temperatura

crítica y calor específico de la mezcla.

6. Obtener la masa molecular de la mezcla mediante la suma de las contribuciones de

cada componente, calculadas en el paso 4.

7. Análogamente, sumar las contribuciones individuales de cada gas para obtener el

calor específico de la mezcla, y así poder conseguir el valor del índice adiabático

del gas a través de la siguiente relación:

p,mez

mez

p,mez u

Cγ =

C R

(4.30)

8. Similarmente, obtener la presión crítica y temperatura crítica de la mezcla

haciendo uso de las ecuaciones establecidas en la sección 4.2.

r

cr

pp =

p

(4.3)

r

cr

TT =

T

(4.4)

9. Finalmente, de la carta de compresibilidad generalizada (Anexo B2), obtener el

factor de compresibilidad para una pr y Tr en específico.

Si el flujo másico o molar de cada uno de los componentes de la mezcla es dado;

entonces, es indispensable para el cálculo de las propiedades de la mezcla que tales flujos

sean convertidos en fracciones mol, por lo tanto, para el caso de conocer los flujos mol

i

i

i

Nx =

N

(4.31)

Por el contrario, si se conocieran los flujos másicos, entonces se tendría que

ii

ii

i

mx =

mM

M

(4.32)



157

4.5 FRACCIÓN MOL DE VAPOR DE AGUA EN UNA MEZCLA

En el aire atmosférico se encuentra una cierta cantidad de agua (en fase gaseosa), debido a

que a determinada presión atmosférica, la temperatura del medio ambiente es mayor a la

temperatura de saturación, o bien, a determinada temperatura, la presión parcial del vapor

de agua está por debajo de la presión de saturación [5].

Si se requiere conocer las propiedades de una mezcla en la que se tiene vapor de agua,

sabiendo que cada gas contribuye a la presión total de la mezcla basada en su fracción

mol, entonces, se puede establecer que la fracción mol de cada componente es igual a la

relación entre la presión parcial del componente y la presión total de la mezcla, la cual se

obtiene con la ecuación de estado del gas ideal, es decir

i mez mez i u mez mez i

mez mez u mez mez mez

p T ,V N R T / V N= =

p N R T / V N

de manera tal que

ii

mez

px =

p

(4.33)

Considerando una mezcla de dos componentes, aire seco y vapor de agua; entonces, el

flujo másico total se puede expresar [19] como:

v v vtot gs gs

gs gs gs

m N Mm =m 1+ m 1+

m N M

o bien

v v meztot gs mez

gs mez gs mez

M p p 1m =m 1+ N

M p p N

por lo tanto

v vtot gs

gs gs

M pm =m 1+

M p

(4.34)

4.6 ÍNDICE DE LA VELOCIDAD DEL SONIDO

Se define como índice de la velocidad del sonido (θ) a la relación que hay entre la

velocidad del sonido en el aire a un temperatura de 27 °C y la velocidad del sonido en la

mezcla (gas) a las condiciones a las que entra al compresor [19].

Fracción Mol de vapor de agua en una mezcla


158

1 ,onda,27°C

1mez,onda

cθ=

c

a

(4.35)

si ondac = γZRT , se obtiene que

mez

mez mez mez mez mez mez mez

1.4 1.0 287.7 273.15 27 Mγ Z R Tθ=

γ Z R T 8314 γ Z T

a a a a

mez

mez mez mez

14.54 Mθ=

γ Z T

(4.36)

Este índice sirve para poder realizar una comparación de la estabilidad equivalente del

compresor, tendiendo como referencia al aire (a una T=27 °C), ya que si ambos gases

(aire y mezcla) operan a la misma velocidad del sonido, entonces, debe tenerse en ambos

un mismo desempeño.

A fin de obtener la carga politrópica máxima en función de θ, al producto del índice de la

velocidad del sonido con la velocidad periférica a la salida del impulsor, define a la

velocidad periférica equivalente (U2e) para el aire, es decir:

2e 2U =θU

(4.37)

Para bosquejar a τp,máx=f (θ), se retoma a la ecuación en que se tiene a τp como una función

de la velocidad periférica, y en la que se tiene involucrado el coeficiente de presión (μ).

2

p,máx 2τ =μ U

(4.38)

Como ejemplo ilustrativo de cómo se hace uso de las últimas tres ecuaciones, considérese

un coeficiente de presión de μ=1.075, para un cierto gas, que experimenta una acción

centrífuga, debido a la rotación del impulsor que tiene una velocidad periférica U2= 183

m/s, y un índice θ=1.3; con los datos considerados, se determina la velocidad periférica,

en la que el aire tiene estabilidad durante la rotación, dando un valor de

2e

mU = 183 1.3 =237.9

s

Por tanto, esta velocidad U2e de 237.9 m/s debe permanecer constante, ahora, despejando

a U2 de la ecuación (4.37), y sustituyendo en la ecuación (4.38), se tiene que la carga

politrópica máxima se expresa como:

2

2ep,máx

Uτ =μ

θ

(4.39)

Índice de la Velocidad del Sonido


159

Por consiguiente, la Figura 4.6 muestra como la carga politrópica máxima (para un solo

escalonamiento) disminuye en forma curveada cuando se incrementa el valor de θ, esto se

debe a que se mantienen constantes la velocidad equivalente U2e y el coeficiente de

presión (μ).

Figura 4.6 Carga politrópica máxima para una sola etapa en función de θ.

4.7 MÉTODO “N” PARA ESTIMAR EL TAMAÑO DEL COMPRESOR

Para obtener una primera estimación del tamaño del compresor, es indispensable

considerar al proceso politrópico, lo cual implica de antemano usar el valor del índice

politrópico en la mayoría de los cálculos, siendo esta la razón del porqué es llamado

Método N [19], es recomendable usar este método en caso de no tener disponible al

diagrama de Mollier correspondiente; enseguida, se plantea el procedimiento del Método

N para que, el compresor de una o varias etapas (ver Figura 4.7) se pueda definir

completamente.

1.- Determinar las propiedades de la mezcla, como son:

- Masa molecular de la mezcla

- Temperatura crítica

- Presión crítica

- Calor específico a presión constante

2.- Suponiendo que la mezcla tiene una desviación del comportamiento de un gas

ideal, determinar el factor de compresibilidad auxiliándose de la carta de

compresibilidad generalizada (Anexo B2).

Límite para impulsores de elasticidad limitada

8.0

13.0

18.0

23.0

28.0

33.0

38.0

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Car

ga m

áxim

a p

olit

róp

ica

po

re

tap

a [k

J/kg

]

Índice de la velocidad del sonido [--]

mez

mez mez mez

14.54 Mθ=

γ Z T

Carga Politrópica Máxima


160

Figura 4.7 Corte horizontal de un compresor centrífugo de múltiples-etapas.

3.- Determinar el gasto volumétrico a la entrada del compresor

1 1 1G =m v

(4.40)

4.- Mediante el uso de Tablas de datos de Carcasas típicas para compresores

centrífugos (Anexo B3), seleccionar el tipo de carcasa requerida de acuerdo al

flujo volumétrico utilizado, y de esta manera poder conocer los siguientes datos:

- Carga politrópica nominal

- Eficiencia politrópica nominal

- Velocidad de giro nominal

- Diámetro nominal del impulsor

5.- Determinar la relación de presiones para el proceso de compresión total.

6.- Calcular el valor de la temperatura al final del proceso de compresión (o al final

de un escalonamiento) a través de la relación de temperaturas para un proceso

politrópico, en donde, el valor de n se obtiene haciendo uso de la ecuación (4.9).

7.- Determinar el factor de compresibilidad promedio, el cual está definido como:

Método N

Cubierta

Entrada del flujo de fluido

Salida del flujo de fluido

Diafragma Canal de la

Voluta

Rotor de 7 Impulsores


161

1 2prom

Z +ZZ =

2

(4.41)

donde

Z1= Factor de compresibilidad a la entrada del compresor.

Z2= Factor de compresibilidad a la salida del compresor.

8.- Determinar el valor promedio de γ para la mezcla, la cual está dada por la

siguiente relación.

1 2prom

γ +γγ =

2

(4.42)

donde

γ1= Calculado a las condiciones iníciales

γ2= Se obtiene con la ecuación (4.30), en donde el calor específico a presión

constante se calcula a la temperatura de salida del compresor.

9.- Con la ecuación (4.9) determinar el valor promedio de n/(n-1) en función del

valor promedio de γ, calculado en el punto 6.

10.- Determinar el trabajo de compresión politrópico.

11.- Determinar el número de etapas (impulsores) requeridos en el compresor

mediante los siguientes tres pasos.

a) Determinar el valor del índice de la velocidad del sonido (θ).

mez

mez mez mez

14.54 Mθ=

γ Z T

(4.36)

Note que los valores de γ y Z a la entrada son usados para calcular θ, esto es

porque el máximo valor para θ se encuentra a la entrada, por lo tanto, el primer

impulsor del cuerpo del compresor requiere la máxima carga politrópica por

etapa.

b) Para un coeficiente de presión conocido al igual que U2e, se determina la carga

politrópica máxima por etapa (considerando el límite para τp), o de igual manera,

hacer uso del diagrama de la Figura 4.5.

c) Determinar el número de etapas a partir de la siguiente ecuación.

Método N


162

p

p,máx

τNo. etapas=

τ

etapa

(4.43)

En caso de tener decimales, redondear al siguiente número entero de etapas.

12.- Conociendo la velocidad de giro nominal y la carga politrópica nominal, se

determina la velocidad de giro requerida de acuerdo a la siguiente ecuación.

p

nom

p,nom

τN=N

τ ×No. etapas

(4.44)

13.- Determinar la potencia de eje requerida para el proceso de compresión.

a) Calcular la potencia suministrada, haciendo uso de la siguiente expresión.

p

mez

p

mττ =

η

(4.45)

b) Calcular las pérdidas mecánicas de la mezclacon el uso de la Tabla 4.2

(Aproximación de pérdidas mecánicas como un porcentaje de la potencia

requerida para el gas [22]) para una potencia conocida.

Tabla 4.2 Aproximación de pérdidas mecánicas como un porcentaje de la

potencia requerida para el gas.

Potencia requerida para el gas (kW) Pérdidas Mecánicas, Permec (%)

0 - 2,500 3.0

2,500 - 5,000 2.5

5,000 - 7,500 2.0

7,500 + 1.5

c) Determinar la potencia de eje, tal y como se plantea enseguida.

p,tot mez mecτ τ 1+Per

(4.46)

14.- Determinar la temperatura a la salida del impulsor mediante el uso de la

relación de temperaturas para un proceso de compresión politrópico. n 1

n2

2 1

1

pT =T

p

(4.47)

Método N


163

CASI PRÁCTICO 4.1

Considere una mezcla constituida por dos componentes, cuya composición molar es 78.1

% de N2 y 21.9 % de O2, con una presión p1=0.973 bar, una temperatura T1=11.665 °C y

un flujo másico de 9 kg/s. El objetivo es comprimir el gas hasta una presión de 2.482 bar,

entonces, determinar el tamaño de la carcasa del compresor, número de etapas, velocidad

de giro, potencia requerida y temperatura de descarga.

Solución: Se emplea el Método N para solucionar el problema planteado por el enunciado

del problema, y dar un diseño preliminar del compresor.

1.- Propiedades de la mezcla.

Fracción mol

2 2N Ox =0.781 ; x =0.219

Masa molecular aparente de la mezcla

2 2 2 2mez N N O O

kgM =x M +x M =0.781 28.02 +0.219 32 28.892

kmol

Presiones reducidas

2 2

2 22 2

1 1r,N r,O

N Ocr crN O

p p0.973 0.973p = = =0.028 ; p = = =0.019

p 33.49 p 50.81

Temperaturas reducidas

2 2

2 22 2

1 1r,N r,O

N Ocr crN O

T T284.815 284.815T = = =1.832 ; T = = =2.26

T 126 T 155

Calor específico a presión constante

0.912 2 2 2p,mez N p,N O p,O

kJC =x C +x C =0.781 1.031 +0.219 =1.004

kgK

2.- Factor de compresibilidad de la mezcla.

Se requiere del cálculo de la presión reducida y temperatura reducida de la mezcla.

2 2 2 2r,mez N r,N O r,Op =x p +x p =0.781 0.028 +0.219 0.019 0.021

2.1682 2 2 2r,mez N r,N O r,OT =x T +x T =0.781 1.832 +0.219 2.26

Caso Práctico 4.1 - Método N


164

De la carta de compresibilidad generalizada (Anexo B2), se tiene que el factor de

compresibilidad es de 1.0, esto indica que el comportamiento de la mezcla puede ser

modelado a través de la ecuación de estado del gas ideal (pv=RT).

3.- Gasto volumétrico

5

284.8159 1

0.973 10

mez 1 u 11 1 1 1

1 mez 1

8314.0R T R TG =m v =m Z m Z

p M p 28.892

27291.8613 3

1

m mG =7.581 =

s hr

4.- Tipo de carcasa requerida

Para un gasto volumétrico de 27291.8611G = m3/hr, el tipo de carcasa más competente es

del Tipo A, de la cual se tienen los siguientes datos nominales.

p,nom p nom 2,nom

kJ τ =30 , η =0.76, N =11000 rpm, d =406 mm

kg

5.- Relación de presiones para el proceso de compresión.

2.5512

1

p 2.482=

p 0.973

6.- Calcular la temperatura al final del proceso de compresión.

De la relación que existe entre el calor específico y el índice adiabático, se tiene que

1 11.4

1128.892 1004

mez

u

mez p,mez

γ =R 8314

M C

Con la eficiencia politrópica nominal, y haciendo uso de la ecuación (4.9), se tiene un

valor para el índice politrópico de

1.4 0.761.602

1.4 1 11 1

mez p

mez p

γ ηn=

0.76γ η

La relación n/(n-1), vale

1.6022.66

1 1.602 1

n=

n



165

7.- Factor de compresibilidad promedio

De acuerdo a los cálculos mostrados en la Tabla 4.3, el factor de compresibilidad a la

salida del compresor para una T2=404.999 K y p2=2.482 bar es de 1.0.

Tabla 4.3 Valor para la presión reducida y temperatura reducida a la salida del compresor.

Componente pcr,i (bar) Tcr,i (K) pr,i (-) Tr,i (-) pr2,mez (-) Tr2,mez (-)

N2 50.81 126 0.049 3.215 0.054 3.083

O2 33.99 155 0.073 2.614

Por consiguiente, el factor de compresibilidad promedio es Zprom=1.0

8.- Valor promedio de γ

Por simplicidad en los cálculos se ha estado considerando un Cp constante para cualquier

proceso de compresión, esto implica que el valor para el índice adiabático de la mezcla a

la salida del compresor sea igual que el de la entrada, es decir

2 1.42

1mez 1

γ +γγ γ

9.- Valor promedio para la relación n/(n-1) con γprom

Con un valor constante del índice adiabático (γ), entonces n/(n-1)=2.66=Cte.

10.- Valor para la carga politrópica

Sustituyendo valores en la ecuación (4.5), se obtiene

92.02

1

2.660p

8314.0 kJτ = 2.658 1.0 284.815 2.551 1

28.892 kg


Para las condiciones dadas, se tiene un valor para el índice de la velocidad del sonido de

mez

mez mez mez

14.54 M 14.54 28.892θ= 1.026

γ Z T 1.4 1.0 284.815

De acuerdo a la Figura 4.4, para un valor de θ =1.026, se tiene que la carga politrópica

máxima es de τp,máx=36 kJ/kg, por consiguiente

p

p,máx

τ 92.02No. etapas= =2.56 3 etapas

τ 36etapa



166

12.- La velocidad de giro será igual a

p

nom

p,nom

τ 92.02N=N 11000 11121.254 rpm

τ ×No. etapas 30×3

13.- La potencia de eje requerida para el proceso de compresión.

La potencia requerida para el gas es:

p

mez

p

mτ 9 92τ = = 1,089.416 kW

η 0.76

De la Tabla 4.2, las pérdidas mecánicas son del 3.0 %, por lo tanto, la potencia real

suministrada al eje es:

p,tot mez mecτ τ 1+Per 1,089.416 1+0.03 =1122,098 kW

14.- La temperatura al final del proceso de compresión es:

n 1

1n2 2.66

2 1

1

pT =T = 284.815 2.551 =404.999 K

p

4.8 ENFRIAMIENTO INTERMEDIO

Como el trabajo de compresión es directamente proporcional a la temperatura absoluta a

la que entra el flujo de fluido al compresor, es común, que en tales procesos, donde se

tienen temperaturas de descarga muy altas, debido a grandes relaciones de presiones, se

emplee enfriamiento intermedio cuando se divide al proceso de compresión en dos o más

etapas (ver Figura 4.8) [24].

Figura 4.8 Sección de un compresor centrífugo con enfriamiento a la entrada.

Enfriamiento Intermedio


167

Para este tipo de compresores, el diseño óptimo se obtiene cuando la temperatura de

entrada en cada una de las secciones o cuerpos del compresor es igual a la de la entrada

inicial al compresor. En la Figura 4.9 se observa el diagrama de flujo de un compresor con

interenfriamiento a la salida de cada una de las etapas del compresor.

Figura 4.9 Diagrama de Flujo para un proceso de compresión de tres etapas con

Interenfriamiento a la salida de cada una de las etapas.

Para usar el Método N y establecer un diseño preliminar del compresor, sólo se requiere

anexar al procedimiento general del método los siguientes pasos:

Enfriamiento Intermedio


168

1.- Estimar la relación de presión por sección con enfriamiento intermedio.

1

zi,optπ = π

(2.43)

donde:

π=relación de presiones total para el proceso de compresión.

z=número de escalonamientos

2.- Estimar la temperatura de descarga en cada una de las etapas, incorporando las

caídas de presión que se originan en el intercambiador de calor, al igual que las

asociadas a las tuberías por rozamiento o por accesorios (Nótese que cuando las

caídas de presión son consideradas, la relación de presiones total ya no es igual).

3.- Verificar que las temperaturas de descarga sean menor a la temperatura límite

establecida para el proceso, de no ser así, es recomendable incorporar una etapa

más al proceso hasta satisfacer los requerimientos de temperatura máxima.

4.- Por prueba y error, modificar la relación de presiones para el interenfriamiento

y así obtener temperaturas de descarga que se encuentren alrededor de 5 °C de

diferencia de la otra (a la anterior etapa).

CASO PRÁCTICO 4.2

Considérese como fluido de trabajo al aire seco, que entra al compresor a una p1=1 bar y

una T1= 34 °C. El objetivo es comprimir 68000 kg/hr hasta una presión de 7 bar. Se

considera que la temperatura máxima de descarga sea de 190 °C, y que la caída de presión

en el intercambiador de calor sea del 2.0 % respecto la presión de salida, además de que el

aire retorna al compresor a una temperatura de 38 °C. Determinar el tamaño de la carcasa

del compresor, número de etapas requeridas, velocidad de giro, potencia requerida y

temperatura de descarga.

Solución: Al ser el fluido de trabajo aire seco, los cálculos para los dos primeros pasos del

Método N serán igual al del ejemplo 4.1, por lo tanto, se tiene que γ1=1.4 y Z1=1.0.

3.- Gasto volumétrico

5

34 273.159 1 60,103.195

1.0 10

3 3u 1

1 1 1

mez 1

8,314R T m mG =m v m Z =16.695 =

M p s hr28.892

Caso Práctico 4.2 - Método N con Interenfriamiento


169

4.- Tipo de carcasa requerida

Con un gasto volumétrico de 60,103.1951G = m3/hr, el tipo de carcasa que más se adecua

es del Tipo D, con los siguientes datos nominales.

p,nom p nom 2,nom

kJ τ =30 , η =0.77, N =4,900 rpm, d =914 mm

kg

5.- Relación de presiones para el proceso de compresión.

712

1

p 7=

p

6.- Calcular la temperatura al final de cada etapa del proceso de compresión.

Con una eficiencia politrópica del 77 %, el valor del índice politrópico (n) es igual a

1.4 0.771.59

1.4 1 11 1

mez p

mez p

γ ηn=

0.77γ η

Por consiguiente, para la relación n/(n-1), se tiene que

1.592.695

1 1.59 1

n=

n

Para este caso práctico, se supone que la temperatura máxima permisible a la salida de

cualquier etapa del proceso de compresión sea de 190 °C; de esta manera, al considerar

una sola etapa, se tiene una temperatura de descarga igual a

n 1

1n2 2.695

2 1

1

pT =T = 34 273.15 7 =632.311 K=359.161 °C

p

Como la temperatura de descarga excede a la temperatura que se ha propuesto como

máxima, se debe seccionar el proceso de compresión, hasta satisfacer la condición de la

temperatura; para el caso de 2 etapas, se tiene que

4 72.646

1 2

1

1 1

p pπ = =

p p

con una temperatura de descarga

n 1

1n2 2.695

2 1

1

pT =T = 34 273.15 2.646 =440.697 K=167.547 °C

p

La caída de presión en el intercambiador de calor (ic) se expresa como:



170

ic 3 2Δp = p p

(4.48)

La presión a la salida de la primera sección es:

2.646 1 1 0.02 2.699 2 i 1 per,icp π p 1+p bar

y la presión a la entrada de la segunda sección

2

3

2.6992.646

1 0.02

per,ic

pp bar

1+p

entonces

ic 3 2Δp = p p 2.646 2.699 0.053 bar

Con base a los datos anteriores, la relación de presiones para la primera y segunda sección

son, respectivamente:

4

3

2.699 72.699 2.646

1 2.646 2

1 2

1

p pπ = = ; π = =

p p

Siguiendo el aire un comportamiento idealizado a lo largo del proceso de compresión,

para los pasos 7, 8 y 9 se tiene que

prom 1 mez 1 promZ =Z =1 ; γ =γ =1.4 ; n =n=1.59

10.- Cargas politrópicas por sección

2.699

1

2.658p,1

8,314 kJτ = 2.658 1 284.815 1 106.09

28.892 kg

2.646

1

2.658p,2

8,314 kJτ = 2.658 1 38+273.15 1 104.891

28.892 kg


Para las condiciones dadas, se tiene un valor para el índice de la velocidad del sonido de

mez

mez mez mez

14.54 M 14.54 28.892θ= 0.988

γ Z T 1.4 1 307.15

Con base a la Figura 4.4, para un valor de θ =0.988 se tiene que la carga politrópica

máxima es de τp,máx=36 kJ/kg, por consiguiente

p,1

1 Sección

p,máx por etapa

τ 106.09No. etapas = =2.947 3 etapas

36τ



171

p,2

2 Sección

p,máx por etapa


36τ

12.- La velocidad de giro esigual a la máxima que se tenga para cualquiera de las dos

etapas, éstas son:

p,1

1 nom

p,nom 1 Sección

τ 106.09N =N 4,900 5,320.01 rpm

τ ×No. etapas 30.0×3

p,2

2 nom

p,nom 2 Sección

τ 104.891N =N 4,900 5,289.861 rpm


Por tanto, la velocidad de giro a la que operarán ambas secciones es de 5320.010 rpm.

13.- La potencia de eje requerida para el proceso de compresión.

La potencia requerida para cada una de las secciones es:

p,1

p,1

p

m τ 18.889 106.09τ = 2,602.501 kW

η 0.77

p,2

p,2

p

m τ 18.889 104.891τ = 2,573.087 kW

η 0.77

por consiguiente

mez p,1 p,2τ =τ +τ 2602.501 2573.087 5175.588 kW

De la Tabla 4.2, las pérdidas mecánicas son del 2.5%, por lo tanto, la potencia

suministrada al eje es:

tot mez mecτ τ 1+Per 5175.588 1+0.025 =5304.978 kW

14.- La temperatura de descarga para cada una de las secciones.

Para la primera sección:

n 1 1

n 2.6952 1 1T =T π = 307.15 2.699 =443.948 K

Para la segunda sección:

n 1 1

n 2.6954 3 1T =T π = 311.15 2.646 =446.437 K



172

El calor que se retira del fluido de trabajo a la salida de la primera sección del proceso de

compresión, con el uso de servicios auxiliares de enfriamiento (agua, por ejemplo) en el

equipo de intercambio de calor es de

18.889 1.005 311.15 443.948 2519.689 elim p,mez 3 2q =mC T T kW

En la Figura 4.10 se muestra una representación esquemática del compresor del CCaso

Práctico 4.2 con interenfriamiento, marcando cada una de las entradas y salidas de las dos

secciones del proceso, al igual que las propiedades de interés como lo son la presión,

temperatura y volumen específico.

Figura 4.10 Representación esquemática de un solo compresor con interenfriamiento.

4.9 TREN DE COMPRESOR MULTI-CUERPOS

El Tren de Compresor Multi-Cuerpos (ver Figura 4.11) es un conjunto de cuerpos de

compresores, cada uno constituido por múltiples etapas acoplados al rotor, los cuales

pueden tener distintos tipos de carcasa, dependiendo de las dimensiones de los impulsores

empleados [19].

Estos trenes de compresores multi-cuerpos son utilizados, cuando la carga politrópica

requerida para el proceso de compresión es tan grande, que el número de etapas necesarias

en un sólo cuerpo de compresor también lo son, por lo tanto, se emplean varios cuerpos a

manera de minimizar la carga a suministrar.

Como la temperatura de descarga de cada cuerpo es la temperatura de entrada al siguiente

cuerpo, es por ello, que se utiliza enfriamiento intermedio, para así evitar sobrepasar la

temperatura límite, al mismo tiempo que se requiere suministrar menor carga, sin

embargo, la presión se incrementa, lo que ocasiona que el volumen específico disminuya

Tren de Compresor Multi-Cuerpo

1

1

3

1

T =307.15 K

p =1.0 bar

mv =0.884 kg

4

4

3

4

T =446.437 K

p =7.0 bar

mv =0.184 kg

3

3

3

3

T =311.15 K

p =2.646 bar

mv =0.338 kg

2

2

3

2

T =443.948 K

p =2.699 bar

mv =0.473 kg

limq 2519.689 kWe

Carcasa D

4 3 2 1

Imp

ulso

r

Imp

ulso

r

Imp

ulso

r Im

pu

lso

r

Imp

uls

or

Imp

uls

or


173

Figura 4.11 Tren de Compresor multi-cuerpos con Interenfriamiento (Cortesía Siemens).

y probablemente se requieran compresores de menor tamaño, que el de las primeras

etapas, y que operan a velocidades más altas a fin de proporcionar un servicio óptimo.

Cuando dos o más cuerpos del compresor están conectados entre sí, con la intención de

utilizar un mismo controlador, normalmente no es conveniente incorporar un engranaje

entre ellos, ya que esto complica el sistema dinámico del rotor.

Aunque claro, los engranajes también se suman a los requisitos de mantenimiento y se

consideran normalmente de entre todos los componentes del tren como los más débiles o

propensos a fallas mecánicas.

En función del controlador seleccionado, por ejemplo: un tren de compresor de tres

cuerpos posiblemente podría requerir de tres engranajes si cada compresor gira a su

velocidad de giro óptima, pero para fines prácticos, debe de considerarse sólo a la

velocidad de giro de uno de los engranajes, con el cual se establezca como el límite

práctico para el resto de los engranajes.

La complicación en la selección del compresor, comienza cuando deben de considerarse

distintos compresores, cada uno de ellos probablemente de distinto tamaño, por ejemplo:

si se tiene en un inicio a un compresor del Tipo D que opera normalmente a 4900 rpm, y

el cual va a ser conectado directamente a un compresor Tipo B que opera a 7700 rpm,

entonces, suponiendo que la carga requerida por el compresor tipo B sea de 129 kJ/kg,



174

cuya carga máxima por etapa es de 30 kJ/kg, entonces, se deberán tener 5 impulsores

(129/30), para así satisfacer el servicio requerido, sin embargo, si se desea conectar

directamente al compresor tipo D, el cual tiene una velocidad de giro de 4,900 rpm, es

necesario hacer uso de la ley del ventilador (ecuación 4.49), con la cual se calcula la carga

con la que operan los impulsores del tipo B, sin sobrepasar las 4,900 rpm. 2

Bp,B p,A

nom,A

Nτ =τ

N

(4.49)

sustituyendo valores, se obtiene

2

p,B

4,900 kJτ = 30 12.148

7,700 kg

Como la carga por impulsor para el compresor tipo B ha disminuido de 30 a 12.148 kJ/kg,

es de esperarse que aumente el número de impulsores para ser suministrado los 129 kJ/kg

requeridos por el proceso, por lo tanto, se tiene que el número de etapas para el compresor

tipo B es igual a

tot

p,B

τ 129No. etapas= 10.618 11 etapas

τ 12.148

Por otro lado, la velocidad impuesta por el compresor de carcasa más grande ha reducido

considerablemente la potencia del de menor tamaño, lo que conlleva a hacer uso de un

mayor número de etapas para una potencia en específico. Una de las soluciones a este

problema, es considerar a un compresor de doble flujo para el primer cuerpo (que es en

donde se tiene aun baja presión), ya que es con este tipo de compresores, con el cual el

flujo se divide en partes iguales entre las dos boquillas de entrada, localizadas en los

extremos del compresor, las boquillas de descarga, se encuentran localizadas en el centro

del cuerpo del compresor. El arreglo de doble flujo, esencialmente duplica la capacidad

del compresor, a expensas de aproximadamente una mitad de la producción potencial de

la carga politrópica. La ventaja de este tipo de arreglo es un compresor con carcasa de

menor tamaño, y por lo tanto, los cuerpos del compresor al final del proceso de

compresión podrían operar a mayores velocidades de giro.

CASO PRÁCTICO 4.3

Se requieren comprimir 52.919 kg/s de un gas que entra al compresor a una presión de

1.103 bar y que debe salir a 35.508 bar. La corriente de gas es preenfriado y secado antes

de entrar al tren del compresor. Los intercambiadores de calor usados para el

preenfriamiento y el interenfriamiento usan agua como medio de enfriamiento, cada inter-



175

cambiador es capaz de enfriar al gas hasta 37.777 °C con una caída de presión del 2.0 %.

Los requerimientos del proceso exigen un servicio de limpieza externo al compresor antes

de que el gas entre a la última sección del tren del compresor. La caída de presión

estimada para la sección de limpieza del gas asociada al intercambiador de calor (para el

interenfriamiento), tuberías y accesorios es de 1.034 bar.

Determinar el número de secciones del compresor, el número de cuerpos del tren del

compresor, tamaños de las carcasas del compresor, número de etapas para cada sección,

velocidad rotacional de la cadena (asumiendo la impulsión directa, es decir, sin

engranajes), la potencia total requerida y la temperatura de descarga para cada una de las

secciones.

Solución: Considérese lo siguiente:

1.- Asumir que el peso molecular del gas es constante para todo el proceso (30.0

kg/kmol).

2.- Asumir que el valor promedio del índice adiabático (γ) sea constante para todas

las secciones del compresor e igual a 1.17.

3.- Una hipótesis sobre la compresibilidad promedio se hace después de determinar

el número de secciones requeridas en el compresor. Sin embargo, por simplicidad,

el valor promedio de Z se utiliza para calcular el flujo de entrada de dicha

sección. Este enfoque no es ciertamente del todo correcto, pero sirve como una

buena primera aproximación para establecer el perfil de presiones, tras lo cual, el

análisis del gas puede ser reevaluado para su posterior selección del compresor.

Primero se determina la relación de presiones para cada una de las secciones del

compresor (según sea el caso), que sobrepase la temperatura límite de descarga

establecida. Debido a que es necesario el valor del índice politrópico, considérese como

una primera aproximación a ηPIC=0.77, por consiguiente

PIC

n 1 γ 1 1.17 1= = 0.189

n γ η 1.17 0.77

La relación de presiones total (π) para el proceso de compresión es:

obj

1

p 35.508π= = 32.188

p 1.103



176

En la Tabla 4.4 se muestra el valor de la temperatura de descarga del compresor de una

sección, dos secciones, tres secciones y cuatro secciones, respectivamente.

Tabla 4.4 Valor de la temperatura de descarga en función del número de secciones.

No. Secciones

(i)

T1

(°C) Relación de Presiones

(πi) n 1

n

Temperatura de

Descarga (°C)

1 37.777 32.188 0.189 325.481

2 37.777 5.673 0.189 158.279

3 37.777 3.181

0.189 113.655

4 37.777 2.382 0.189 93.105

Si la temperatura límite de descarga es de 190 °C, al ser dividido el compresor en dos o

más secciones, esta restricción no se viola, sin embargo, si se opta por la opción de dos

secciones, la carga que hay que suministrar es mayor, al igual que el número de

impulsores requeridos, lo que propicia a hacer uso de una sección más, por esta razón, y

para evitar hacer el doble de cálculos para esta parte, se pasa directamente a la opción de

dividir al compresor en tres secciones, teniendo una temperatura de descarga de 113.655

°C y una relación de presiones por sección de 3.181.

Con un tren de compresor de tres secciones y con un requerimiento de limpieza del fluido

de trabajo antes de la última sección del proceso, según lo establecido en el problema, se

recomienda que el servicio de limpieza sea externo al compresor, y de esta manera evitar

contaminar al gas limpio con el gas sucio, aunque esto genera una caída de presión

relativamente grande a través del equipo.

Entonces, al ser externo el servicio de limpieza, es posible instalar un intercambiador de

calor precedente a éste, y así satisfacer la condición para la temperatura de descarga en

cada sección, tal y como se muestra en la Figura 4.12, en donde se tiene en un primer

cuerpo a las dos primeras secciones del proceso y en un cuerpo independiente a la sección

procedente al servicio de limpieza (sin tomar en cuenta aun el número de impulsores

empleados).

Desconociendo el tipo de compresores que se emplean, debe conocerse la relación de

presiones por sección, en donde se contemplen las caídas de presión, para que

posteriormente se calcule la carga requerida y el número de impulsores requeridos.

La presión a la salida de la primera sección es:

3.181 1.103 1 0.02 3.579i 2 1 per,icp π p 1+p bar



177

Figura 4.12 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-Secciones.

La presión a la entrada de la segunda sección es:

2

3

3.5793.509

1 0.02

per,ic

pp bar

1+p

Para la presión a la salida de la segunda sección debe de considerarse la caída de presión,

tanto del intercambiador de calor como del equipo de limpieza, por consiguiente

4 3.509 3.181 1.034 12.196i 3 3p p π Δp bar

La presión a la entrada del segundo cuerpo del tren del compresor es de:

5 4 12.196 1.103 11.162 3p p Δp bar

Con el dato de las presiones y temperaturas conocidas en cada uno de los estados de

entrada, el factor de compresibilidad promedio puede ser estimado con la carta de

compresibilidad (Anexo B2). Por ejemplo: para el estado 1, se traza una vertical para una

T=37.77 °C y un fluido de peso molecular constante de 30 kg/kmol, se tiene que Z es

igual a 0.99. El resto de los parámetros son mostrados en la Tabla 4.5, con los cuales se

calcula el trabajo por unidad de masa para cada una de las secciones.

n 1

n2

p 1

1

pnτ ZRT 1

n 1 p (4.5)

, p,1 p,2 p,3

kJ kJ kJτ 112.429 τ 116.780 , τ 96.951

kg kg kg


Primera y Segunda Sección Tercera Sección

1 4 2 3 6

Sección de Limpieza

5

1

1

1

T

p

v

6

6

6

T

p

v

3

3

3

T

p

v

2

2

2

T

p

v

4

4

4

T

p

v

5

5

5

T

p

v

1Δp 2Δp 3Δp


178

Tabla 4.5 Estimación de los parámetros para el Tren de Compresor de Tres-Secciones.

Sección 1 2 3

Presión de entrada [bar] 1.103 3.509 11.163

Presión de salida [bar] 3.579 12.197 35.508

Temperatura de entrada [K] 310.927 310.927 310.927

Índice adiabático [-] 1.17 1.170 1.170

Índice Politrópico [-] 1.233 1.233 1.233

Factor de Compresibilidad [-] 0.99 0.965 0.87

Peso Molecular [kg/kmol] 30.000 30.000 30.000

Relación de presión [-] 3.245 3.476 3.181

Recordemos la discusión anterior en donde un compresor tipo B es conectado

directamente a uno tipo D, en donde la carga se redujo para el compresor tipo B en un

40.49 % (12.148/30), y el cual no debe ser sobrepasado, ahora, bajo la condición de que

en un sólo compresor pueden tenerse acoplados como límite a sólo nueve impulsores, la

carga máxima que podría ser suministrada a una compresor es:

(9) 0.404 30máx

kJτ =109.323

kg

Esta carga es excedida por cualquiera de las dos primeras secciones, indicando que debe

ser empleados un mayor número de secciones, lo que hace viable considerar a un

compresor de 4 secciones.

Entonces, con un compresor de 4 secciones, el último cuerpo es aun viable de tener su

sección previa de limpieza sin ser modificada, por lo tanto, esto deja a tres secciones, que

es en donde, debe de realizarse las modificaciones adecuadas, pero como tres secciones es

demasiado para un sólo cuerpo, debe ser utilizado un Tren de compresor de tres cuerpos,

lo que hace factible que pueda utilizarse ya a un compresor de doble flujo que debe ser

seguido por un compresor con interenfriamiento. Esta última propuesta permitiría

aprovechar la velocidad de manejo de mejor adaptación que ofrece el arreglo de doble

flujo. El Tren de compresor de tres cuerpos en donde se tienen cuatros secciones, tres

intercambiadores de calor y un servicio de limpieza, son mostrados en la Figura 4.13 con

la nueva nomenclatura a manejar.

Ahora, restableciendo las presiones estáticas de acuerdo a la Figura 4.13, se tiene entonces

que la relación de presiones por sección es igual a:

4 4iπ = π 32.188 2.382

A la salida del primer cuerpo del tren de compresor, se tiene una presión de



179

Figura 4.13 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-Cuerpos.

2 1 i mecp =p π 1 Per 1.103 2.382 1 0.02 =2.68 bar

a la entrada del segundo cuerpo

2

3

mec

p 2.68p = =2.628 bar

1 Per 1 0.02

en la sección media del segundo cuerpo

4 3 i mecp =p π 1 Per 2.628 2.382 1 0.02 =6.384 bar

4

5

mec

p 6.384p = =6.259 bar

1 Per 1 0.02

a la salida del segundo cuerpo

6 5 i 3p =p π Δp 6.259 2.382 1.034=15.942 bar

a la entrada del tercer cuerpo

7 6 3p =p Δp 15.942 1.034 14.907 bar

De esta manera, se pueden calcular el resto de los parámetros para el tren de compresor de

cuatro secciones, resultando valores que son mostrados en la Tabla 4.6.

Como el número de cuerpos para el tren ya están definidos, esto permite calcular las

cargas requeridas en cada uno de ellos, y así poder establecer el número de etapas

necesarias, al igual que el tipo de carcasa. Estos cálculos se realizarán por cuerpo, ya que

el gasto volumétrico se reduce al paso por los cuerpos.

Primer Cuerpo

Primer Cuerpo Tercer Cuerpo

4 8

Sección de

Limpieza

7


6 5 1 1

Segundo Cuerpo

2 3


180

Tabla 4.6 Estimación de los Parámetros del Tren de compresor de Cuatro-Secciones.

Sección 1 2 3 4

Presión de entrada [bar] 1.103 2.628 6.259 14.907

Presión de salida [bar] 2.680 6.384 15.942 35.508

Temperatura de entrada [K] 310.927 310.927 310.927 310.927

Índice adiabático [-] 1.17 1.170 1.170 1.170

Índice Politrópico [-] 1.233 1.233 1.233 1.233

Factor de Compresibilidad [-] 0.99 0.98 0.95 0.87

Peso Molecular [kg/kmol] 30.00 30.00 30.00 30.00

Relación de presión [-] 2.430 2.430 2.547 2.382

La primera sección, recuérdese que para simplificar, el valor promedio para el factor de

compresibilidad se toma igual al de la entrada, por consiguiente

3

1 u 11 5

mez 1

0.99 8,314 310.927 3,600Z R T mG =m = 52.919 =147318.904

M p hr30 1.103 10

Dado que la selección es el de un compresor de doble flujo para el primer cuerpo, un

tamaño de carcasa puede ser seleccionado para la mitad del flujo volumétrico

(14,7318.904/2 m3/hr), siendo el compresor de carcasa tipo D el que más se adecua a los

requerimientos, se tiene entonces, los siguientes datos nominales:

p,nom p nom 2,nom

kJ τ =30 , η =0.77, N =4,900 rpm, d =914 mm

kg

Con una ηPIC=0.77, el valor que toma el índice politrópico es:

1.17 0.771.233

1.17 1 11 1

mez p

mez p

γ ηn=

0.77γ η

La carga politrópica que habría que suministrar a la primera sección es:

5.2995.299 0.99 310.927 2.43 82.438

30 1000

1

p,1

8,314 kJτ = 1

kg

De la relación de temperaturas para una compresión politrópica

n 1 1

n 5.2992 1 1T =T π = 310.927 2.43 =367.626 K

Con un valor del índice de la velocidad del sonido

mez

mez mez mez

14.54 M 14.54 30θ= 1.1

γ Z T 1.17 0.99 310.927



181

Con base a la Figura 4.4, la carga máxima politrópica es de τp,máx=36 kJ/kg, dando un

número de etapas igual a

p,1

1 Sección

p,máx por etapa


36τ

La velocidad de giro a la cual opera el tren del compresor, se fija por la primera sección

del compresor, la cual se obtiene a partir de la siguiente relación:

p,1

1 nom

p,nom 1 Sección

τ 82.438N =N 4,900 4,689.637 rpm


Segundo Cuerpo (Segunda Sección)

A la entrada de esta sección, el factor de compresibilidad ha disminuido al igual que la

temperatura de la mezcla, pasando de una temperatura T2 a una temperatura T3=T1, como

consecuencia del calor eliminado en el primer intercambiador de calor. Como la caída de

presión en el intercambiador de calor no es proporcional al cambio de la temperatura,

entonces, el gasto volumétrico ha disminuido, siendo ahora igual a:

3u 32 Sección

2 Sección 5mez 3

Z R T 0.98 8,314 310.927 3,600 mG =m = 52.919 =61,224.825

M p hr30 2.628 10

Nuevamente, la carcasa que más se adecua a este gasto volumétrico es el del compresor

tipo D, y el cual tiene una eficiencia politrópica del 77 %.

La carga politrópica suministrada a la segunda sección es:

5.2995.299 0.98 310.927 2.430 81.606

30 1000

1

p,2

8,314 kJτ = 1

kg


n 1 1

n 5.2994 3 2T =T π = 310.927 2.43 =367.626 K

Conocida la velocidad de giro del tren del compresor, la cual fue fijada por la primera

sección, es posible determinar el número de etapas para esta sección, a partir de la

ecuación (4.44), por lo tanto, el número de etapas es:

2 2

p,2nom

2 Sección

p,nom

τN 4,900 81.606No. etapas = = =2.97 3 etapas

N τ 4689.637 30

En este caso, la temperatura T3=T1, por ende, el valor del índice de la velocidad del sonido

para esta sección es igual al de la primera sección.



182

Segundo Cuerpo (Tercera Sección)

Esta tercera sección al igual que la segunda sección se encuentra en el segundo cuerpo del

tren del compresor, lo que indica que la carcasa para esta tercera sección deber ser del tipo

D, sin importar en esta ocasión el gasto volumétrico por razones ya mencionadas. Por otro

lado, la carga politrópica requerida para esta tercera sección es:

5.2995.299 0.95 310.927 2.547 83.703

30 1000

1

p,3

8,314 kJτ = 1

kg


n 1 1

n 5.2996 5 3T =T π = 310.927 2.547 =370.92 K

Nótese que N será nuevamente igual al de la primera sección, por lo tanto

22

p,3nom

3 Sección

p,nom


N τ 4,689.637 30

Cuarta Sección

El gasto volumétrico a la entrada de la cuarta sección, o bien, a la entrada del tercer

cuerpo que se encuentra después del servicio de limpieza es:

3u 72 Sección

4 Sección 5mez 7

Z R T 0.86 8,314 310.927 3,600 mG =m = 52.919 =9,470.138

M p hr30 14.907 10

Para este gasto volumétrico el compresor debe ser del tipo A, sin embargo, debe de

tomarse en cuenta que, con una velocidad de giro de 4,689.637 rpm se fija a la vez el

máximo gasto volumétrico que estaría entrando en esta cuarta sección.

3

máx 4 Sección A

4,689.637 mG = 12,000=5,115.968

11,000 hr

donde el 11,000 es la velocidad de giro nominal y el valor de 12,000, corresponde al gasto

volumétrico máximo para el compresor de carcasa tipo A.

Se puede apreciar que el gasto volumétrico máximo para la velocidad de giro máxima está

por debajo de los 9,470.138 m3/hr, que estarán entrando al compresor del tercer cuerpo, es

decir, que el compresor tipo A no satisface los requerimientos del proceso, por

consiguiente, se evalua al de tipo B para las mismas condiciones. Entonces

3

máx 4 Sección B

4,689.637 mG = 31,000=18,880.359

7,700 hr



183

3

min 4 Sección B

4,689.637 mG = 10,000=6,090.438

7,700 hr

Se puede apreciar que el gasto volumétrico que entra al tercer cuerpo está dentro del rango

del compresor tipo B, teniendo los siguientes datos nominales:

p,nom p nom 2,nom

kJ τ =30 , η =0.76, N =7,700 rpm, d =584 mm

kg

Ahora, con una ηPIC=0.76, el valor que toma el índice politrópico es:

1.17 0.761.236

1.17 1 11 1

mez p

mez p

γ ηn=

0.76γ η

La carga politrópica suministrada a la cuarta sección es:

5.2315.299 0.87 310.927 2.382 70.772

30 1000

1

p,4

8,314 kJτ = 1

kg


n 1 1

n 5.2318 7 4T =T π = 310.927 2.382 =367.045 K

El número de etapas para esta sección deben ser:

22

p,3nom

4 Sección

p,nom


N τ 4,689.637 30

La potencia total requerida para el tren del compresor debe ser la suma de cada uno de los

cuerpos, o bien, de todas las secciones, tal y como se muestra enseguida:

p,1

p,1

p,1

m τ 52.919 82.438τ = 5,665.663 kW

η 0.77

p,2

p,2

p,2

m τ 52.919 81.606τ = 5,608.434 kW

η 0.77

p,3

p,3

p,3

m τ 52.919 83.703τ = 5,752.6 kW

η 0.77

p,4

p,4

p,4

m τ 52.919 70.772τ = 4,927.89 kW

η 0.76

por consiguiente

mez p,1 p,2 p,3 p,4τ =τ +τ +τ +τ 5665.663 5608.434 5752.6 4927.89



184

mezτ =21897.943 kW

Las pérdidas mecánicas para cada uno de los cuerpos del compresor está en función de la

potencia requerida en tal cuerpo, que al sumarlas todas, da una potencia total para el tren

del compresor igual a

tot p,1 mec,1 p,2 mec,2 p,3 mec,3τ τ 1+Per τ 1+Per τ 1+Per

Para el tercer cuerpo, se tienen pérdidas mecánicas del 2.0 %, ya que se encuentra más

próximo a ese intervalo de acuerdo a la Tabla 4.2, por lo tanto

totτ 5665.663 1+0.02 5608.434 5752.6 1+0.015 4927.89 1+0.02

totτ 22336.872 kW=29954.233 hp

Los resultados para una primera aproximación del tren del compresor de tres cuerpos se

muestran en la Tabla 4.7, en el cual se han ignorado totalmente el uso de los difusores,

dispositivos esenciales para incrementar la presión, y que deben de ser contemplados en el

diseño del compresor final.

Tabla 4.7 Resumen de la variables para el compresor del Caso Práctico 4.3.

Sección 1 2 3 4

Flujo másico [kg/s] 52.919 52.919 52.919 52.919

Presión de entrada [bar] 1.103 2.628 6.259 14.907

Presión de salida [bar] 2.680 6.384 15.942 35.508

Temperatura de entrada [K] 310.927 310.927 310.927 310.927

Temperatura de descarga [K] 367.626 367.626 370.920 367.045

Densidad a la entrada [kg/m3] 1.293 3.112 7.646 19.886

Densidad a la salida [kg/m3] 2.657 6.394 16.325 40.123

Índice adiabático [-] 1.17 1.170 1.170 1.170

Índice Politrópico [-] 1.233 1.233 1.233 1.236

Factor de Compresibilidad [-] 0.99 0.98 0.95 0.87

Gasto Volumétrico [m3/hr] 147318.904 61224.825 --- 9580.256

Carga Politrópica [kJ/kg] 82.438 81.606 83.703 70.772

Peso Molecular [kg/kmol] 30.00 30.00 30.00 30.00

Relación de presiones [-] 2.430 2.430 2.547 2.382

Número de etapas [-] 3 3 3 7

Velocidad de Giro [rpm]: 4689.6

Potencia requerida [kW]: 22336.872

Número de cuerpos del compresor: 3



185

El Tren del Compresor de Tres cuerpos se muestra en la Figura 4.13, donde se resalta que

la velocidad de giro del compresor es la que se ha establecido por el primer cuerpo. Por

otro lado, la Figura 4.14 muestra el diagrama T-s correspondiente.

Figura 4.14 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres- Cuerpos con

enfriamiento intermedio y sección de limpieza.

Figura 4.15 Diagrama T-s para el tren de compresores de tres cuerpos.

300

310

320

330

340

350

360

370

380

6.1 6.3 6.5 6.7 6.9 7.1

T(°C

)

Entropía (kJ/kgK)



186

El cuerpo dos (carcasa tipo D) requiere de interenfriamiento para reducir la temperatura

del fluido. El gasto volumétrico de la sección tres es diferente al de la sección dos, sin

embargo, la carcasa debe ser del tipo D, por estar en el mismo cuerpo de la sección dos.

La potencia total requerida por el Tren de Compresores es de 22,336.87 kW; en el cálculo

se han considerado las pérdidas mecánicas y caídas de presión de la sección de limpieza y

de los intercambiadores de calor.



187

CONCLUSIONES

La ecuación de Euler de la Transferencia de la Energía es una de las ecuaciones

fundamentales para el diseño de compresores radiales, axiales o mixtos, es una de las

bases esenciales para el método basado en la dinámica de gases. Esta ecuación resulta ser

de gran utilidad cuando se realiza el diseño de un compresor, que al ser expresada en

términos de las componentes energéticas, es posible clasificar a la máquina en función del

grado de reacción, e implícitamente relacionarla con la curvatura de los álabes del

impulsor, ya que es, esta curvatura la que determina la proporción de la energía estática o

dinámica que se transfiere al fluido. Por otro lado, si el compresor se encuentra ya en

operación, es más factible utilizar primero las ecuaciones termodinámicas, debido a que el

valor de los parámetros o variables podrán ser obtenidos de mediciones directas, por

consiguiente, implícitamente serían ya contempladas las pérdidas por recalentamiento

causadas por fricción, por alguno de los mecanismos de degradación.

Debido a la complejidad de poder describir el comportamiento aerodinámico del fluido

durante la compresión, principalmente para el dispositivo del difusor, es necesario realizar

algunas consideraciones basadas en la experiencia de diseñadores, como consecuencia de

la escasa disponibilidad de obtener datos de prueba en la literatura, que permitan

desarrollar las ecuaciones que describan tal comportamiento.

La diferencia entre ambos métodos radica principalmente en que, sólo con el método de la

dinámica de gases es posible ajustar las dimensiones del impulsor, número y curvatura de

los álabes tanto del impulsor como del difusor, para las condiciones del proceso de

compresión, dándole una mayor confiabilidad a sus resultados obtenidos, y extendiendo

su aplicabilidad. Para diseñar los compresores empleados en la aeronáutica, el método de

la dinámica de gases es el más adecuado, por la precisión que se tiene en sus cálculos, al

considerar las recomendaciones de diseñadores basados en su experiencia. El

deslizamiento del fluido por la acción centrífuga del compresor, las pérdidas por ondas de

choque, las temperaturas y presiones de estancamiento, donde estas últimas son mayores a

las estáticas, siendo de suma importancia para la manufactura de los álabes. Aun cuando

el diseño del compresor implique más de un escalonamiento, la eficiencia que debe

ocuparse en los cálculos es la tecnológica. Al realizar la comparación entre el valor de las

estimaciones para el número de álabes del impulsor, referidos al triángulo de velocidades

real e isoentrópico, se obtiene un error relativo del 3.33%, dando la posibilidad de

considerar que la diferencia entre las velocidades absolutas (o alguna de sus componente)

reales e isoentrópicas sea despreciable, siendo de gran utilidad para reducir el número de

cálculos necesarios para obtener el valor de alguna de las variables desconocidas.

Conclusiones


188

La limitante de este método es la falta de disponibilidad de ecuaciones que describan la

trayectoria aerodinámica del fluido, lo que hace necesario recurrir a las consideraciones

propuestas por diseñadores, sin embargo, se hace un problema cuando varía la aplicación

del compresor. Esta limitante dio como consecuencia que se impidiera realizar el

Diagrama de Mollier real, ya que los dibujados en este documento han sido resultado de

una modificación en las pérdidas totales (Caso Práctico 3.3).

Por otro lado, para el Método N se requiere sólo de la disponibilidad de los datos

nominales del impulsor seleccionado, es decir, de la carga politrópica, del diámetro del

impulsor, de la eficiencia politrópica y del número de revoluciones, donde la eficiencia

politrópica además de ser una variable de diseño y pudiendo ser distinta para cada

impulsor, también es mayor a la isoentrópica de compresión. La ventaja de este método,

es la rapidez, con la cual se tiene una perspectiva del diseño preliminar del compresor

real, es posible diseñar un compresor desde una etapa, hasta un tren de compresores con

interenfriamiento y con secciones de limpieza, garantizando la relación de presiones, que

es optimizada, a fin de minimizar la potencia suministrada al compresor. Otra de las

grandes ventajas que tiene este método, es que puede ser empleada cualquier mezcla, lo

que explica el uso del factor de compresibilidad, para calcular el gasto volumétrico a la

entrada de las secciones, y posteriormente ser calculado y poder seleccionar la carcasa que

más se adecue. No obstante, la limitante de esta metodología es que no se toma en cuenta

los dispositivos de los difusores, los cuales, son esenciales para permitir la interconexión

entre etapas, es decir, se ignora el proceso de difusión.

Por tanto, a partir de las dos metodologías presentadas en este documento, se recomienda

reestructurar a una sola metodología que extienda las ventajas de diseño, al mismo tiempo

que se reducen las limitantes y se mejora la precisión y exactitud de los cálculos.

Conclusiones


191

ANEXOS

ANEXO A -FACTORES DE CONVERSIÓN

Dimensión Métrico

Área 1 m2 = 104 cm2 = 106 mm2 = 10-6 km2

Densidad 1 g/cm3= 1 kg/L= 1000 kg/m3

Energía, calor, trabajo,

energía interna, entalpía

1 kJ= 1000 J= 1000 Nm= 1 kPam3

1 kJ/kg= 1000 m2/s2

1 kWh= 3600kJ

1 cal= 4.184 J

Fuerza 1 N= 1 kgm/s2= 105 dina

1 kgf= 9.80665 N

Flujo de calor 1 W/cm2= 104 W/m2

Longitud 1 m= 100 cm= 1000 mm= 106 μm

1 km= 1000 m

Masa 1 kg= 1000 g

1 tonelada métrica= 1000 kg

Potencia, velocidad de transferencia

de calor

1 W= 1 J/s

1 kW= 1000 W= 1.341 hp

1 hp= 745.7 W

Presión 1 Pa= 1 N/m2

1 kPa= 103 Pa= 10-3 MPa

1 atm= 101.325 kPa= 1.01325 bars

= 760 mmHg (a 0°C)= 1.03323 kgf/cm2

1 mmHg= 0.1333 kPa

Calor específico 1 kJ/kg°C= 1 kJ/kgK= 1 J/g°C

Volumen específico 1 m3/kg= 1000 L/kg= 1000 cm3/g

Temperatura T(K)= T(°C)+273.15

ΔT(K)= ΔT(°C)

Velocidad 1 m/s= 3.6 km/h

Volumen 1 m3= 1000 L= 106 cm3 (cc)

Flujo volumétrico 1 m3/s= 60000 L/min= 106 cm3/s

Anexos


192

ANEXO B.1

TEOREMA DE BUCKINGHAM O TEOREMA DE Π

El enunciado del teorema pi dice así:

1. Toda ecuación 1 2, ,..., 0nf x x x que sea una ley representativa de un fenómeno físico

con n variables y/o parámetros, las cuales a su vez involucran h magnitudes físicas

fundamentales, se puede expresar una nueva relación funcional, dada como

1 2, ,..., 0mF , donde πi son los monomios independientes de dimensión nula o

monomios πi, que pueden formarse con las magnitudes consideradas en la ley física.

2. El número de estos monomios es m =n−h, donde h es el rango de la matriz formada

con los exponentes dimensionales de las magnitudes, con relación a una base dada.

Es importante aclarar que el teorema no aporta ninguna información acerca de la relación

funcional f o F, es decir, que si no se conoce la ecuación que gobierna el fenómeno,

mediante la aplicación del teorema no se puede determinar. El teorema sólo muestra, que

grupos adimensionales se pueden formar a partir de las variables dimensionales

originales. La metodología para encontrar estos πi (grupos adimensionales) se puede

detallar así:

Seleccionar h de las variables dimensionales originales, que se llaman variables

núcleo. Entre las h variables deben estar contenidas las h magnitudes físicas

fundamentales y no se debe poder formar un grupo adimensional al realizar un

producto de potencias entre ellas.

Cada grupo adimensional πi se forma como un producto de potencias entre las h

variables núcleo y una (y sólo una) de las restantes m variables físicas no usadas.

Como el producto de potencias de todas las variables del grupo debe resultar en una

cantidad sin dimensiones, las potencias incógnitas a la que está elevada cada

variable dimensional se determinan resolviendo un sistema algebraico, planteado

con la condición que la suma de potencias de cada magnitud física debe ser nula.

Como ejemplo ilustrativo del Teorema de Π, se demostrará la relación f =f (Re, r ), que

es el factor de fricción en función de la rugosidad relativa y del número de Reynolds

referente a la viscosidad, y es sin duda el grupo adimensional más conocido de la

mecánica de fluidos. Considérese al tubo recto de sección cilíndrica de la Figura B-1, el

cual muestra las variables físicas del fenómeno para determinar la siguiente función

Anexos


193

, , , , 0p

f cl

Teniendo 6 variables y 3 magnitudes físicas (masa, longitud y tiempo), entonces, se

pueden encontrar m=3 parámetros o grupos adimensionales. Al aplicar la metodología

para encontrar los πi, se presenta enseguida las unidades respectivas de cada variable.

Figura B-1 Tubo recto de sección cilíndrica.

-3 0 0 -1 0 0 ρ [=] ML T ; c [=] M LT ; D [=] M LT

-2 -2 0 0 -1 -1Δp[=] ML T ; [=] M LT ; μ [=] ML T

l

Se forman a los tres grupos adimensionales con 3 variables núcleos que contengan a las 3

magnitudes físicas, para el caso tratado serían (ρ,c,D), quedando que

1 1 1 1 1 1d e f d e f-3 0 0 -1 0 0 -1 -1

1π =ρ c D μ=[ML T ] [M LT ] [M LT ] [ML T ]

2 2 2 2 2 2d e f d e f-3 0 0 -1 0 0 -2 -2

2

Δpπ =ρ c D =[ML T ] [M LT ] [M LT ] [ML T ]

l

3 3 3 3 3 3d e f d e f-3 0 0 -1 0 0 0 0

3π =ρ c D =[ML T ] [M LT ] [M LT ] [ML T ]

Si el producto de los exponentes debe ser igual a cero, se puede plantear un sistema de

ecuaciones algebraico homogéneo para cada grupo adimensional, para el primero de ellos

(π1 , se tiene que

d1 e1 f1 μ

M 1 0 0 1 = 0

L -3 1 1 -1 = 0

T 0 -1 0 -1 = 0

La solución del sistema de ecuaciones algebraico homogéneo para el primer grupo

adimensional (π1) es (d1, e1, f1) = (-1, -1, -1), de este modo

p2

l

c l

D p1

ρ , μ

Anexos


194

1 1 1d e f 1 1 1

1

1π =ρ c D μ=ρ c D μ=

Re

Donde, Re es el número de Reynolds, tomando valores menores a 2300 para flujo laminar

y mayores para flujo turbulento para el caso particular de tuberías cilíndricas.

La solución del sistema de ecuaciones algebraico homogéneo para el segundo grupo

adimensional (π2) es (d2, e2, f2) = (-1, -2, 1), de este modo

2 2 2d e f -1 -2 1

2 2

Δp Δp D Δpπ =ρ c D =ρ c D =

l l ρc l

La solución del sistema de ecuaciones algebraico homogéneo para el tercer grupo

adimensional (π3) es (d3, e3, f3) = (0, 0, -1), de este modo

3 3 3d e f 0 0 -1

3π =ρ c D =ρ c D =D

Donde /D , es conocido como rugosidad relativa y se denota como r . De acuerdo al

segundo punto del Teorema Π de Buckingham, la nueva relación funcional que expresa al

mismo fenómeno físico con un menor número de parámetros es:

1 2 3 2

1 D ΔpF π , π , π =F , , 0

Re ρc lr

Si ha esta última expresión, se reduce a una de menor número de variables, así como paso

de Δp,c,ρ,μ, =0

lf

a 1 2 3F π ,π ,π =0 , se tiene que

12

D ΔpF Re,

ρc lr

Al despejar Δp de la expresión anterior y multiplicar a toda la ecuación por ρg, queda que

2

1

Δp c lF Re,

ρ g Dr

g

Al multiplicar por (2/2) del lado derecho, resulta

2

1

Δp c l2F Re,

ρ 2g Dr

g

El término Δp/ρg indica, que la caída de presión se produce debido a la pérdida viscosa

por fricción, aunque, tal término se puede obtener de igual manera a través de un balance

de energía limitado entre los extremos del tubo cilíndrico. Mediante el análisis

dimensional se logró comprender que 12F Re, r es el factor de fricción, denotado como

f=f (Re,r ) y está dado en función de la rugosidad y del comportamiento del flujo

(laminar o turbulento).

Anexos


195

B.2 CARTA DE COMPRESIBILIDAD GENERALIZADA

Figura 2.1 Comparación de factores Z para varios gases.

Figura 2.2Carta de compresibilidad para altos y bajos valores de la presión reducida.

Anexos


196

Figura 2.3 Carta de compresibilidad para bajos valores de la presión reducida.

B.3 DATOS DE CARCASA TÍPICOS PARA COMPRESORES CENTRÍFUGOS

Tipo 3G (m /h) p,nomτ (kJ/kg) p,nomη (-) nomN (rpm) 2,nomd (m)

A 1700-12000 30.0 0.76 11000 0.406

B 10000-31000 30.0 0.76 7700 0.584

C 22000-53000 30.0 0.77 5900 0.762

D 39000-75000 30.0 0.77 4900 0.914

E 56000-110000 30.0 0.78 4000 1.120

F 82000-170000 30.0 0.78 3300 1.370

Anexos


197

REFERENCIAS

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(2006).

[4] R.L. Leyte, “Seminario-Triángulos de velocidades en turbomáquinaria”, Profesor

Investigador, UAM-I, (2010).

[5] R.L. Leyte, “Seminario-Procesos de Compresión”, Profesor Investigador, UAM-I,

(2010).

[6] R.L. Leyte, M.T. Velázquez, “Termodinámica de las Turbinas de Gas”, por

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[7] J.M.Z. Mata, “Apuntes–Optimización de Procesos Termodinámicos”, Profesor


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[12] R.L. Leyte, “Seminario-Dinámica de Gases en Procesos de Compresión”, Profesor


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Referencias


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Referencias

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divisiÓn de ciencias bÁsicas e ingenierÍa148.206.53.84/tesiuami/uami15683.pdf · divisiÓn de...

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