distribucion muestral de diferencias de medias 32767

7/26/2019 Distribucion Muestral de Diferencias de Medias 32767

1/15

Distribucin Muestral de Diferencia de Medias

Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con

media 1y desviacin estndar 1, y la segunda con media 2 y

desviacin estndar 2. Ms an, se elige una muestra aleatoria detamao n1de la primera poblacin y una muestra independientealeatoria de tamao n2de la segunda poblacin; se calcula la mediamuestral para cada muestra y la dierencia entre dic!as medias. "acoleccin de todas esas dierencias se llama distribucin muestral delas diferencias entre mediaso la distribucin muestral del

estadstico

"a distribucin es apro#imadamente normal para n1 $% y n2 $%. Si laspoblaciones son normales, entonces la distribucin muestral de mediases normal sin importar los tamaos de las muestras.

&n e'ercicios anteriores se !ab(a demostrado que y que ,

por lo que no es di(cil deducir que y

que .

"a rmula que se utili)ar para el clculo de probabilidad del estad(sticode dierencia de medias es*


2/15

&'emplo*

&n un estudio para comparar los pesos promedio de nios y nias de

se#to grado en una escuela primaria se usar una muestra aleatoria de

2% nios y otra de 2+ nias. Se sabe que tanto para nios como para

nias los pesos siguen una distribucin normal. &l promedio de los pesos

de todos los nios de se#to grado de esa escuela es de 1%% libras y su

desviacin estndar es de 1.12, mientras que el promedio de lospesos de todas las nias del se#to grado de esa escuela es de -+ libras y

su desviacin estndar es de 12.2 libras. Si representa el promedio

de los pesos de 2% nios y es el promedio de los pesos de una

muestra de 2+ nias, encuentre la probabilidad de que el promedio de

los pesos de los 2% nios sea al menos 2% libras ms grande que el de

las 2+ nias.

Solucin:

/atos*

1 0 1%% libras

20 -+ libras

1 0 1.12 libras

2 0 12.2 libras

n10 2% nios

n20 2+ nias

0


3/15

or lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de lamuestra de nios sea al menos 2% libras ms grande que el de la

muestra de las nias es %.1%+3.

&'emplo*

4no de los principales abricantes de televisores compra los tubos de

rayos catdicos a dos compa(as. "os tubos de la compa(a 5 tienen una

vida media de .2 aos con una desviacin estndar de %.- aos,

mientras que los de la 6 tienen una vida media de 3. aos con una

desviacin estndar de %.. /etermine la probabilidad de que una

muestra aleatoria de $ tubos de la compa(a 5 tenga una vida

promedio de al menos un ao ms que la de una muestra aleatoria de% tubos de la compa(a 6.

Solucin:

/atos*

5 0 .2 aos

60 3. aos

5 0 %.- aos

6 0 %. aos

n50 $ tubos


4/15

n60 % tubos

0

&'emplo*

Se prueba el rendimiento en 7m8" de 2 tipos de gasolina, encontrndose

una desviacin estndar de 1.2$7m8" para la primera gasolina y unadesviacin estndar de 1.$7m8" para la segunda gasolina; se prueba laprimera gasolina en $+ autos y la segunda en 2 autos.

a. 9:ul es la probabilidad de que la primera gasolina de unrendimiento promedio mayor de %.+7m8" que la segundagasolina

b. 9:ul es la probabilidad de que la dierencia en rendimientospromedio se encuentre entre %.3+ y %.-$7m8" a avor de lagasolina 1.

Solucin:

&n este e'ercicio no se cuenta con los parmetros de las medias enninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrn que soniguales.

/atos*


5/15

1 0 1.2$ m8"to

2 0 1.$ m8"to

n10 $+ autos

n20 2 autos

a. 0

b.


6/15

"a probabilidad de que la dierencia en rendimientos promedio en lasmuestras se encuentre entre %.3+ y %.-$ m8"to a avor de la gasolina 1es de %.%11.

Distribucin muestral de Proporciones

isten ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media dela muestra, sino que queremos investigar la proporcin de art(culosdeectuosos o la proporcin de alumnos reprobados en la muestra. "adistribucin muestral de proporciones es la adecuada para dar respuestaa estas situaciones. &sta distribucin se genera de igual manera que la

distribucin muestral de medias, a e#cepcin de que al e#traer lasmuestras de la poblacin se calcula el estad(stico proporcin #itos u observaciones de inter>s y =n= eltamao de la muestra? en lugar del estad(sitico media.


7/15

4na poblacin binomial est estrec!amente relacionada con ladistribucin muestral de proporciones; una poblacin binomial es unacoleccin de >#itos y racasos, mientras que una distribucin muestralde proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos losnmeros posibles de >#itos en un e#perimento binomial, y como

consecuencia de esta relacin, las a@rmaciones probabil(sticasreerentes a la proporcin muestral pueden evaluarse usando laapro#imacin normal a la binomial, siempre que np + yn


8/15

p0%.3%

#0


9/15

Cbserve que este valor es igual alobtenido en el m>todo de la apro#imacin de la distribucin normal a labinomial, por lo que si lo buscamos en la tabla de =)= nos da la mismaprobabilidad de %.%%1. Dambi>n se debe de tomar en cuenta que elactor de correccin de %.+ se est dividiendo entre el tamao de lamuestra, ya que estamos !ablando de una proporcin.

"a interpretacin en esta solucin, estar(a enocada a la proporcin de lamuestra, por lo que dir(amos que laprobabilidad de que al extraeruna muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la

proporcin de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al

55% es del 0.17%.

Distribucin Muestral de Diferencia de Proporciones

Muc!as aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos quedeben compararse utili)ando proporciones o porcenta'es. 5 continuacinse citan algunos e'emplos*

&ducacin.A 9&s mayor la proporcin de los estudiantes queaprueban matemticas que las de los que aprueban ingl>s

Medicina.A 9&s menor el porcenta'e de los usuarios delmedicamento 5 que presentan una reaccin adversa que el de losusuarios del rmaco 6 que tambi>n presentan una reaccin deese tipo


10/15


11/15

"os !ombres y mu'eres adultos radicados en una ciudad grande delnorte di@eren en sus opiniones sobre la promulgacin de la pena demuerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12B de los!ombres adultos estn a avor de la pena de muerte, mientras que slo1%B de las mu'eres adultas lo estn. Si se pregunta a dos muestras

aleatorias de 1%% !ombres y 1%% mu'eres su opinin sobre lapromulgacin de la pena de muerte, determine la probabilidad de que elporcenta'e de !ombres a avor sea al menos $B mayor que el de lasmu'eres.

Solucin:

/atos*

E0 %.12

M0 %.1%

nE0 1%%

nM0 1%%

p


12/15

Se concluye que la probabilidad de que el porcenta'e de !ombres a avorde la pena de muerte, al menos $B mayor que el de mu'eres es de%.+32.

&'emplo*

4na encuesta del 6oston :ollege const de $2% traba'adores deMic!igan que ueron despedidos entre 1GG y 1G-, encontr que 2%B!ab(an estado sin traba'o durante por lo menos dos aos. Supngaseque tuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de $2% traba'adoresde entre todos los empleados despedidos entre 1GG y 1G-. 9:ul ser(ala probabilidad de que su porcenta'e muestral de traba'adores sinempleo durante por lo menos dos aos, di@era del porcenta'e obtenidoen la encuesta de 6oston :ollege, en +B o ms

Solucin:

&n este e'ercicio se cuenta nicamente con una poblacin, de la cual seestn e#trayendo dos muestras y se quiere saber la probabilidad de ladierencia de los porcenta'es en esas dos muestras, por lo que se debede utili)ar la distribucin muestral de proporciones con 10 2, ya que esuna misma poblacin.

Ctra de las situaciones con la cual nos topamos es que desconocemos laproporcin de traba'adores despedidos entre 1GG y 1G- queestuvieron desempleados por un per(odo de por lo menos dos aos, slose conoce la

p10 %.2% ya que al tomar una muestra de $2% traba'adores se observesa proporcin.

&n la rmula de la distribucin muestral de proporciones para el clculode probabilidad se necesita saber las proporciones de las poblaciones,las cuales en este e'ercicio las desconocemos, por lo que se utili)ar elvalor de %.2% como una estimacin puntual de . &n el siguiente tema seabordar el tema de estimacin estad(stica y se comprender el porqueestamos utili)ando de esa manera el dato.

Dambi>n debe de comprenderse la pregunta que nos !ace este

problema, 9cul ser(a la probabilidad de que su porcenta'e muestral detraba'adores sin empleo durante por lo menos dos aos, diera delporcenta'e obtenido en la encuesta de 6oston :ollege, en +B o ms, lapalabra dieraquiere decir que puede e#istir una dierencia a avor dela muestra uno, o a avor de la muestra dos, por lo que se tendrn quecalcular dos reas en la distribucin y al @nal sumarlas.

/atos*


13/15


14/15

b. 9cul es la probabilidad de que la proporcin de art(culosdeectuosos de la mquina 1 rebase a la mquina 2 en por lomenos %.1+

Solucin:

/atos*

1 0 $83 0 %.+

2 0 28+ 0 %.

n1 0 12% ob'etos

n2 0 12% ob'etos

a. p


15/15

"a probabilidad de que e#ista una dierencia de proporciones deart(culos deectuosos de por lo menos 1%B a avor de la mquina2 es de %.%%11.

b. p

distribucion muestral de diferencias de medias 32767

Documents