07 01 distribucion de medias muestrales

ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y

CIENCIAS DE LA SALUD.

CAPÍTULO 7: MÉTODOS DE

MUESTREO Y DISTRIBUCIÓN DE

MEDIAS MUESTRALES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Agosto de 2015.

Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.

Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Estadística para estudiantes de Ingeniería,

Ciencias, Tecnología, Ciencias Administrativas y Ciencias de la Salud dictada en las

carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial,

Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y Química, así como Contaduría Pública y

Administración de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Estadística en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Estadística, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



7.1.- PRELIMINARES.

Población.

Conjunto de todos los individuos, medidas y objetos de interés. La población puede ser

finita o infinita, siendo su número el tamaño de la población, generalmente designada

como N.

Muestra.

Una porción o parte representativa de la población de interés. El número en la muestra se

denota por tamaño de la muestra o tamaño muestral, se denota como n y generalmente es

finito.

Muestreo.

Es el procedimiento por medio del cual se estudia una parte de la población llamada

muestra, con el objetivo de inferir con respecto a toda la población.

Ejemplo ilustrativo 7.1.

Podemos querer sacar conclusiones sobre las calificaciones promedio de 12000 estudiantes

del Núcleo de Monagas de la UDO (la población) al examinar tan sólo 100 estudiantes (la

muestra) seleccionados de esa población.

Ejemplo ilustrativo 7.2.

Podemos querer sacar conclusiones sobre el porcentaje de estudiantes aprobados en la

asignatura Estadística Aplicada durante un semestre si examinamos 120 estudiantes

seleccionados en diferentes secciones. En este caso, todos los estudiantes que inscriben la

materia en el semestre forman la población, mientras que los 120 seleccionados constituyen

la muestra.

Teoría del muestreo.

Es el estudio de las relaciones existentes entre una población y muestras extraídas de la

misma.

Ventajas del Muestreo:

Costos reducidos. El costo de estudiar todos los elementos en una población puede resultar

prohibitivo.



Mayor rapidez para obtener resultados. Establecer contacto con la totalidad de la

población requeriría de demasiado tiempo y en la mayoría de los casos es físicamente

imposible verificar todos los elementos de la población.

Mayor exactitud o mejor calidad de la información. Los resultados de la muestra son

adecuados.

Factibilidad de hacer el estudio cuando la toma de datos implica técnicas destructivas.

Tipos de Muestreo:

Muestreos No Probabilísticos

Los elementos o individuos de la muestra se eligen sin tomar en cuenta su probabilidad de

ocurrencia. Por tanto, es imposible determinar el grado de representatividad de la muestra.

Estas pueden ser:

Muestreo por Juicio: También conocido como muestreo por selección experta o selección

intencional. El investigador toma la muestra seleccionando los elementos que a él le

parecen representativos o típicos de la población.

Muestreo Casual o fortuito: Se utiliza en los casos en que no es posible seleccionar los

elementos, y deben sacarse conclusiones con los elementos que estén disponibles.

Muestreo de Cuota: Se utiliza en el estudio de opinión de mercado.

Muestreo de Poblaciones Móviles: En este tipo de muestreo se utiliza métodos de captura,

marca y recaptura. Se utiliza mucho en el estudio de migración de poblaciones de animales

y otras características.

Muestreos Probabilísticos

Los elementos de la muestra son seleccionados siguiendo un procedimiento que brinde a

cada uno de los elementos de la población una probabilidad conocida de ser incluidos en la

muestra. Dentro de este tipo tenemos:

Muestreo Aleatorio Simple: Los elementos que conforman la muestra son seleccionados de

tal manera que cada elemento en la población tiene igual probabilidad de resultar

seleccionado. Es el tipo de muestreo que más se utiliza.



Un método conveniente para seleccionar una muestra aleatoria simple consiste en

utilizar el número de identificación de cada uno de los elementos de la muestra y una tabla

de números aleatorios.

Muestreo Sistemático: Este tipo de muestreo se obtiene cuando los elementos de la muestra

son seleccionados en una manera ordenada. La manera de selección depende del número de

elementos incluidos en la población y el tamaño de la muestra. El número de elementos en

la población es dividido por el número deseado en la muestra y el cociente (resultado) se

redondea al entero más cercano, el cual indicará si cada décimo, cada onceavo, o cada

centésimo elemento en la población va a ser seleccionado.

kn

N

Muestra

Población

Se selecciona un punto de inicio aleatorio y después se elige cada k-esimo elemento de la

población. Es necesario que los elementos de la muestra estén en orden físico. Este orden

físico no debe relacionarse con la característica en estudio de la población.

Muestreo Estratificado: Para este tipo de muestreo se divide la población en grupos,

llamados estratos, que son más homogéneos que la población como un todo. Los elementos

de la muestra son seleccionados al azar o por un método sistemático de cada estrato. El

número de elementos seleccionado de cada estrato puede ser proporcional al tamaño del

estrato en relación con la población.

E

E

N

n

N

n

Al despejar el tamaño muestral para cada estrato ( En ):

nN

Nn E

E

Muestreo Por Conglomerado: Para este tipo de muestreo se divide la población en grupos

que son convenientes para el muestreo. Se selecciona una porción de los grupos al azar o

por un método sistemático y se toma todos los elementos o parte de ellos al azar o por un

método sistemático de los grupos seleccionados para obtener una muestra. Este tipo de



muestreo produce un mayor error muestral que una muestra aleatoria simple del mismo

tamaño.

Ejercicios propuestos.

1. [JF] En la sección de estadística 2 se encuentran inscritos 45 estudiantes enumerados del

01 hasta 45. Determine:

a) Una muestra de 5 estudiantes utilizando i) la tabla de números aleatorios y ii)

Calculadora.

b) Una muestra de 6 estudiantes que debe consistir de cada 5to estudiante. El estudiante Nº

3 es el punto de partida.

c) Una muestra de 7 estudiantes utilizando su calculadora.

d) Una muestra de 8 estudiantes, tomando como punto de partida el estudiante Nº 2.

2. [JF] De una población de 50 individuos, deseamos extraer una muestra de 5 individuos.

a) Muestreo Aleatorio simple. b) Muestreo Sistemático

3. [JF] Una fábrica está conformada por 1000 empleados, se quiere tomar una muestra de

80 empleados. Se sabe que hay 250 empleados en el departamento de herrería, 270 en

mecánica, 200 en costura, 150 en carpintería y 130 en administración.

4. [JF] En cierto barrio se desea realizar un estudio para conocer mejor el tipo de

actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100

individuos elegidos al azar. Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio

viven 2500 niños, 7000 adultos y 500 ancianos. Determine el tamaño muestral

correspondiente a cada estrato.

Calculo del tamaño de la muestra.

El tamaño de la muestra depende de los siguientes elementos:

Tamaño de la población.

Nivel de confianza adoptado.

Error de estimación permitido.

Proporción en que se encuentre en el universo la característica estudiada (p).

Fórmulas para determinar el tamaño de la muestra:

Para Poblaciones Finitas ( 100000N ):



Cuando se conoce la varianza poblacional: )1()1(

)1(22

2

ppNe

Nppn

Cuando no se conoce la varianza poblacional: )1()1(

)1(2

2/

2

2

2/

ppZNe

NppZn

Para Poblaciones Infinitas ( 100000N ):

Cuando se conoce la varianza poblacional: 2

2 )1(

e

ppn

Cuando no se conoce la varianza poblacional: 2

2

2/ )1(

e

ppZn

Nota: Cuando no es posible estimar la característica mediante un ensayo piloto (p en %)

adoptará la suposición de que dicho porcentaje es igual al 50%.


5. [JF] Para un trabajo de investigación de mercado en Venezuela, se cuenta con una

población de 24.000.000 de habitantes con una desviación estándar de 2, se quiere saber

cuántas personas viajarán al extranjero, con la decisión de radicar definitivamente en el país

de destino. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para un nivel de confianza de la

encuesta del 96% y un margen de error posible del 4%?

6. [JF] Para el mismo trabajo de investigación de mercado en una ciudad de Venezuela que

cuenta con una población de 10000 habitantes con una desviación estándar de 2, se quiere

saber cuántas personas viajarán al extranjero, con la decisión de radicar definitivamente en

el país de destino. ¿Cuál será el tamaño de la muestra para un nivel de confianza de la

encuesta del 96% y un margen de error posible del 4%?

7.2.- DISTRIBUCIONES MUESTRALES.

Parámetro.

Es una medida usada para describir alguna característica de una población, tal como una

media aritmética, una desviación típica o estándar de una población.

Estadístico.

Es una medida usada para describir alguna característica de una muestra, tal como una

media aritmética, una desviación típica o estándar de una muestra.



El estadístico se utiliza como estimador del parámetro.

La estadística inferencial involucra el uso de un estadístico para sacar una conclusión o

inferencia sobre el parámetro correspondiente.

Los símbolos utilizados para representar los estadísticos y los parámetros son los

siguientes:

Medida Parámetro Estadístico

Media Aritmética x

Varianza 2 2s

Desviación Típica o Estándar s

Proporción p

Nº de Elementos N n

Distribuciones en el muestreo.

Cuando el tamaño de la muestra (n) es más pequeño que el tamaño de la población

(N), dos o más muestras pueden ser extraídas de la misma población. Un cierto estadístico

puede ser calculado para cada una de las muestras posibles extraídas de la población.

Distribución muestral.

La es una lista de todos los valores posibles para un estadístico y la probabilidad

relacionada con cada valor.

Error estándar.

La desviación estándar de una distribución en el muestreo de un estadístico, es

frecuentemente llamada el error estándar del estadístico. La diferencia entre los términos

desviación estándar y error estándar es que la primera se refiere a los valores originales

mientras que la última está relacionada con valores calculados.

Error muestral o error de muestreo.

Es la diferencia entre el parámetro poblacional y el estadístico de la muestra

utilizado para estimar el parámetro. Un error de muestreo usualmente ocurre cuando no se

lleva a cabo la encuesta completa de la población, sino que se toma una muestra para

estimar las características de la población.

Teorema del límite central

A continuación se presenta un enunciado del teorema del límite central.



Si todas las muestras de un tamaño en particular se seleccionan de cualquier

población, la distribución muestral de medias se aproxima a una distribución normal. Esta

aproximación mejora con muestras más grandes.

Si la población o proceso del cual se toma una muestra tiene una distribución

normal, también la distribución de muestreo de la media tendrá distribución normal, sin

importar el tamaño de la muestra. El teorema de límite central establece que cuando el

tamaño de la muestra se incrementa la distribución de muestreo de la media así como de

otros estadísticos muéstrales se aproxima, en cuanto a su forma, a la distribución normal,

independientemente de la forma de la distribución de la población de la que fue tomada la

muestra.

El teorema del límite central en sí no dice nada acerca de la comparación de la

media de la distribución muestral de medias con respecto a la media de la población o

acerca de la dispersión de la distribución muestral de medias.

Uso de la distribución muestral

Es importante ya que se pueden tomar decisiones con base en los resultados

muestrales.

Una aplicación de la distribución muestral es la de determinar la probabilidad de

que una media muestral clasifique dentro de un rango dado. La distribución muestral está

distribuido normalmente si la muestra se toma de una población normal )30( n y el

teorema del límite central garantiza la normalidad en el proceso de muestreo, mientras que

la desviación normal puede utilizarse para el proceso de toma de decisiones.

6.1.- LA DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES.

Distribución muestral de la media

Es una distribución de probabilidad de todas las medias posibles de las muestras de

un determinado tamaño de muestra de la población.

Si se toman muestras aleatorias repetidas de una población, y se calcula la media de

cada muestra, se puede observar que la mayoría de estas medias muéstrales ( x ) difieren

entre sí. La distribución de probabilidad de estas medias muestrales se denomina



distribución muestral de la media, la cual tiene una media x

y una desviación estándar o

error estándar x

, entonces:

La distribución muestral de la media ( x ) tiene media x

, es decir: x

xE )(

La distribución muestral de la media tiene desviación estándar o error estándar: n

x

En esta sección también llegamos a otras conclusiones importante:

1. La media de la distribución muestral de medias será exactamente igual a la media de la

población, si somos capaces de seleccionar todas las muestras posibles del mismo tamaño

de una población dada, esto es xx . Aunque no seleccionemos todas las muestras,

podemos esperar que la media de la distribución muestral de medias se aproxime a la media

de la población.

2. Habrá menos dispersión en la distribución muestral de medias que en la población. Si la

desviación estándar de la población es , la desviación estándar de la distribución muestral

de medias es n

. Observe que cuando aumentamos el tamaño de la muestra disminuye el

error estándar de la media.

Nota: Si el tamaño muestral n no es una fracción pequeña del tamaño poblacional N,

entonces, al error estándar se le aplicará un factor de corrección, es decir:

Si 05.0N

n se requiere de un factor de corrección, por lo tanto, el error estándar a utilizar

sería: 1

N

nN

nx

El algoritmo siguiente muestra cómo elegir la fórmula apropiada para el cálculo de

la desviación estándar de la distribución de medias muestrales.



Si la distribución de la población es normal, entonces: x

xx

z

sigue una distribución

normal estándar.

A menudo no conocemos el valor de la desviación estándar de la población, . De

nuevo, como la muestra es por lo menos 30, calculamos la desviación estándar de la

población con la desviación estándar de la muestra. La distribución real de la estadística es

la Distribución t de Student, que estudiaremos en el capítulo siguiente. Cuando utilizamos s

para sustituir , la nueva fórmula para encontrar el valor de z es: ns

xz x

/

.

A medida que aumenta el tamaño de la muestra, es decir, a medida que n , la

distribución muestral de la media se aproxima a la distribución normal independientemente

de la distribución de la población de origen de la muestra. La aproximación es



suficientemente buena cuando 30n , entonces, el teorema del límite central es

aproximadamente válido y se aplica la distribución normal estándar (z).

Media de las medias muestrales

La distribución muestral de las medias muestrales es una lista de todas las medias

muéstrales posibles. Estas medias muéstrales al igual que cualquier lista de números, tienen

una media denominada media de las medias muéstrales o gran media. Esta media de las

medias se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

k

xX

Donde k es el número de muestras en la distribución muestral, y esta se obtiene a

través de la fórmula de combinación.

!)(!

!

nNn

NCk nN

Sin reemplazo.

nNk Con reemplazo.

La media de la distribución muestral X es igual a la media de la población original

. ( X )

Varianza y error estándar de las medias muestrales:

La varianza en las medias muéstrales mide la dispersión de las observaciones

individuales (medias muéstrales) alrededor de su media (la gran media X ), esta se

determina de la siguiente manera:

k

Xx i

x

2

2)(

k

xi

x

2

2)(

El error estándar de la distribución muestral es una medida de la dispersión de las

medias muéstrales alrededor de . Por tanto, el error estándar x

, mide la tendencia a

sufrir del error de muestreo en el esfuerzo por estimar . Este se obtiene de la raíz

cuadrada de la varianza de la distribución de las medias muéstrales.

k

Xx i

x

2)(

k

Xx i

x

2)(

2

xx



Ejemplo 7.1. Ilustración de elementos de la muestra y cálculo de parámetros y

estadísticos. Muestras sin reemplazo de tamaño 2.

Los seis pozos que conforman el campo exploratorio Corocito tienen una producción de en

miles de BND de 1.0, 1.2, 2.1, 0.7, 2.6 y 0.3. A partir de estos datos se pide calcular, sin

reemplazo:

a) El promedio de la producción del campo.

b) La desviación típica de la producción.

c) La media de la distribución muestral para muestras de tamaño 2.

d) La desviación típica de la distribución muestral para muestras de tamaño 2.

Solución.

a) Media poblacional.

n

X

6

3.06.27.01.22.10.1

6

9.7

3167.1 BND

b) Desviación típica poblacional.

n

nXn

i

i

2

1

2

Para determinar la desviación típica de la producción se elabora la tabla siguiente:

Elemento de la

población iX 2

iX

1 1.0 1

2 1.2 1.44

3 2.1 4.41

4 0.7 0.49

5 2.6 6.76

6 0.3 0.09

7.9 14.19



6

)3167.1()6(19.14 2

6

7878.3

6313.0

7945.0 BND

Distribución de las medias muestrales.

Para muestras de tamaño 2. Cantidad de muestras:

nN Ck

26 Ck

15k muestras.

Las medias muestrales se muestran a continuación.

Muestra Elementos de

la muestra

Promedio de la

muestra, ix

1 1.0 - 1.2 1.10

2 1.0 - 2.1 1.55

3 1.0 - 0.7 0.85

4 1.0 - 2.6 1.80

5 1.0 - 0.3 0.65

6 1.2 - 2.1 1.65

7 1.2 - 0.7 0.95

8 1.2 - 2.6 1.90

9 1.2 - 0.3 0.75

10 2.1 - 0.7 1.40

11 2.1 - 2.6 2.35

12 2.1 - 0.3 1.20

13 0.7 - 2.6 1.65

14 0.7 - 0.3 0.50

15 2.6 - 0.3 1.45

c) Media de la distribución muestral.

k

Xx



15

45.150.065.1...85.055.110.1

x

15

75.19

x

3167.1x

BND

Se verifica que la media de la distribución muestral es igual a la media poblacional.

d) Desviación típica de la distribución muestral.

k

kxx

k

i

i

x

22

1

)()(

Para determinar la desviación típica de la distribución muestral se elabora la tabla siguiente:

Muestra ix 2)( ix

1 1.10 1.2100

2 1.55 2.4025

3 0.85 0.7225

4 1.80 3.2400

5 0.65 0.4225

6 1.65 2.7225

7 0.95 0.9025

8 1.90 3.6100

9 0.75 0.5625

10 1.40 1.9600

11 2.35 5.5225

12 1.20 1.4400

13 1.65 2.7225

14 0.50 0.2500

15 1.45 2.1025

19.75 29.7925

15

)3167.1()15(7925.29 2

x

15

7870.3

x

2525.0x



5025.0x

BND

Se puede demostrar que

1

22

N

nN

nx

.

La ecuación anterior se verifica cuando el muestreo se realiza sin reemplazo.


estadísticos. Muestras con reemplazo de tamaño 2.

Una población consta de cinco números: 2, 3, 6, 8, 11. Considere todas las muestras

posibles de tamaño dos que pueden obtenerse con reemplazo de esta población. Encuentre

a) la media de la población, b) la desviación estándar de la población, c) la media de la

distribución muestral de medias, d) la desviación estándar de la distribución muestral de

medias, es decir, el error estándar de las medias.

Solución.

a) Media poblacional.

n

X

5

118632

5

30

6

b) Desviación típica poblacional.

n

nXn

i

i

2

1

2

Para determinar la desviación típica de la producción se elabora la tabla siguiente:

Elemento de la

población iX 2

iX

1 2 4

2 3 9

3 6 36

4 8 64



5 11 121

30 234

5

)6()5(234 2

5

54

8.10

2863.3



nNk

25k

25k muestras.



la muestra

Promedio de la

muestra, ix

1 2 – 2 2

2 2 – 3 2.5

3 2 – 6 4

4 2 – 8 5

5 2 – 11 6.5

6 3 – 2 2.5

7 3 – 3 3

8 3 – 6 4.5

9 3 – 8 5.5

10 3 – 11 7

11 6 – 2 4

12 6 – 3 4.5

13 6 – 6 6

14 6 – 8 7

15 6 – 11 8.5

16 8 – 2 5

17 8 – 3 5.5

18 8 – 6 7

19 8 – 8 8



20 8 – 11 9.5

21 11 – 2 6.5

22 11 – 3 7

23 11 – 6 8.5

24 11 – 8 9.5

25 11 – 11 11


k

Xx

25

115.95.8...45.22

x

25

150

x

6x

Se verifica que la media de la distribución muestral es igual a la media poblacional.


k

kxx

k

i

i

x

22

1

)()(


Muestra ix 2)( ix

1 2 4

2 2.5 6.25

3 4 16

4 5 25

5 6.5 42.25

6 2.5 6.25

7 3 9

8 4.5 20.25

9 5.5 30.25

10 7 49

11 4 16

12 4.5 20.25

13 6 36

14 7 49



15 8.5 72.25

16 5 25

17 5.5 30.25

18 7 49

19 8 64

20 9.5 90.25

21 6.5 42.25

22 7 49

23 8.5 72.25

24 9.5 90.25

25 11 121

150 1035

25

)6()25(1035 2

x

25

135

x

4.5x

3238.2x

Se puede demostrar que nx

22

.

La ecuación anterior se verifica cuando el muestreo se realiza con reemplazo.


ix if )( ixP

2 1 0.04

2.5 2 0.08

3 1 0.04

4 2 0.08

4.5 2 0.08

5 2 0.08

5.5 2 0.08

6 1 0.04

6.5 2 0.08

7 4 0.16

8 1 0.04

8.5 2 0.08

9.5 2 0.08



11 1 0.04

25 1


estadísticos. Muestras sin reemplazo de tamaño 3.

Resuelva el ejemplo 7.2 para el caso de muestras sin reemplazo de tamaño 3.

Solución.

La media ( 6 ) y la desviación estándar poblacional ( 2863.3 ) se determinaron en el

ejemplo 7.2. Se procederá a determinar los correspondientes estadísticos muestrales.


nN Ck

35 Ck

10k muestras.



la muestra

Promedio de la

muestra, ix

1 2 – 3 – 6 3.6667

2 2 – 3 – 8 4.3333

3 2 – 3 – 11 5.3333

4 2 – 6 – 8 5.3333

5 2 – 6 – 11 6.3333

6 2 – 8 -11 7.0000

7 3 – 6 – 8 5.6667

8 3 – 6 – 11 6.6666

9 3 – 8 – 11 7.3333

10 6 – 8 - 11 8.3333


k

Xx

10

3333.83333.7...3333.46667.3

x

10

60

x



6x

Se verifica que la media de la distribución muestral es igual a la media poblacional e igual a

la media de la distribución muestral de cualquier tamaño de muestra.


k

kxx

k

i

i

x

22

1

)()(


Muestra ix 2)( ix

1 3.6667 13.4444

2 4.3333 18.7778

3 5.3333 28.4444

4 5.3333 28.4444

5 6.3333 40.1111

6 7.0000 49.0000

7 5.6667 32.1111

8 6.6666 44.4444

9 7.3333 53.7778

10 8.3333 69.4444

60 378

10

)6()10(378 2

x

10

18

x

8.1x

3416.1x

Se puede demostrar que

1

22

N

nN

nx

.

Ejemplo 7.4. Uso de las fórmulas.

Resuelva el ejemplo 7.3 para el caso de muestreo con reemplazo usando las fórmulas

apropiadas.



La media ( 6 ) y la desviación estándar poblacional ( 2863.3 ) se determinaron en el

ejemplo 7.2. Se procederá a determinar los correspondientes estadísticos muestrales.

Cantidad de muestras.

nNk

35k

125k muestras.

Media de la distribución muestral.

x

6x

Desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.

Puesto que se trata de una cantidad de muestras considerablemente alta, no se enumerarán,

sino que se determinará la desviación estándar con la fórmula apropiada.

nx

3

2863.3

x

8973.1x

Ejemplo 7.5, Cálculo de media y desviación estándar de la distribución muestral con y

sin reemplazo.

[MS] Suponga que las estaturas de 3000 estudiantes varones en una universidad tiene una

distribución normal con media 68.0 pulgadas y desviación estándar 3.0 pulgadas. Si se

obtienen 80 muestras de 25 estudiantes cada una, ¿cuál será la media y la desviación

estándar de la distribución muestral de medias si las muestras se tomaron a) con reemplazo,

b) sin reemplazo?

Solución.

3000N Tamaño de la población.

0.68 Media poblacional.

0.3 Desviación estándar poblacional.



25n Tamaño de la muestra.

a) Con reemplazo.

Media muestral.

x

0.68x

pulgadas.


nx

25

0.3

x

6.0x

pulgadas

b) Sin reemplazo.

Media muestral.

x

0.68x

pulgadas.

Desviación estándar muestral.

1

N

nN

nx

13000

253000

25

0.3

x

5976.0x

pulgadas


7. [JF] Una población de las ventas semanales (en miles de dólares) de un restaurante

vegetariano es 27, 32, 17, 21 y 32. Determine la distribución muestral para muestras de

tamaño 2, el error estándar de la distribución muestral y compare la gran media con la

media poblacional.



8. [JF] Utilizando los datos del ejercicio anterior, determine la distribución muestral para

muestras de tamaño 3, el error estándar y compare la media poblacional con la gran media.

9. [MS] Una población consta de los cuatro números 3, 7, 11, 15. Considere todas las

muestras posibles de tamaño 2 que se pueden obtener con reemplazo de esta población.

Encuentre a) la media de la población, b) la desviación estándar de la población, c) la media

de la distribución muestral de medias, d) la desviación estándar de la distribución muestral

de medias. Verifique c) y d) directamente de a) y b) usando fórmulas apropiadas.

Respuesta: a) 9.0; b) 4.47; c) 9.0; d) 3.16.

10. [MS] Resuelva el problema 9 si se toman muestras sin reemplazo.

Respuesta: a) 9.0; b) 4.47; c) 9.0; d) 2.58.

11. [JF] Los siguientes datos representan el número de días de ausencia al año de una

población de seis empleados de una empresa pequeña: 1, 3, 6, 7, 9 y 10. Selecciones todas

las muestras de tamaño 3 y construye la distribución muestral de la media. Determine la

media de todas las medias muéstrales y compárela con la media poblacional. Determine el

error estándar.

12. [AW] Se toma una muestra de n = 50 de una población grande, con una media de 12.2 y

una desviación estándar de 4.1. ¿Cuáles son la media y el error estándar de la distribución

muestral de las medias muestrales?

Ejemplo 7.6. Cálculo de probabilidades.

[RV] Cierta marca de neumáticos tiene una vida útil media de 21000 km con una

desviación de 800 km.

a) Suponiendo que las vidas útiles de los neumáticos están distribuidas normalmente, ¿cuál

es la probabilidad de que un neumático cualquiera dure menos de 20900 km?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil media de 64 neumáticos sea inferior a 20900

km?

Solución.

21000 km Media poblacional.

800 km Desviación estándar poblacional.

a) ?)20900( xP



Puesto que la muestra es de sólo un neumático, la desviación estándar de la distribución de

las medias muestrales es igual a la desviación estándar poblacional. De hecho, en

problemas de este tipo considerados en el capítulo correspondiente a la distribución de

probabilidad normal, no había discriminación para la desviación estándar o para la

varianza, porque siempre se consideraba sólo un elemento para su análisis.

Recordemos que para determinar ?)20900( xP disponemos de dos formas:

Primera forma:

Normalizar 20900x

xz

800

2100020900 z

13.0z

)13.0()20900( zPxP

)13.0(5.0)20900( xP

0517.05.0)20900( xP

4483.0)20900( xP

Segunda forma:

20900)20900(

xPxP

800

2100020900)20900( zPxP



)13.0()20900( zPxP

El manejo de la gráfica de la distribución normal estándar y de la tabla de valores se efectúa

de la misma manera que para la primera forma explicada.

El profesor indicará la forma más conveniente de trabajo, o el estudiante lo decidirá

siempre y cuando tenga la libertad de elección.

b) Puesto que la muestra es de tamaño diferente de 1, la desviación estándar muestral debe

ser calculada con la fórmula apropiada.


nx

64

800

x

100x

xx

xPxP

20900)20900(

100

2100020900)20900( zPxP

)00.1()20900( zPxP

)00.1(5.0)20900( xP

3413.05.0)20900( xP

1587.0)20900( xP



Ejemplo 7.7. Probabilidad con la condición “mayor que”.

[SW] Una máquina expendedora de refrescos está programada para que la cantidad de

refresco que sirva sea una variable aleatoria con una media de 200 mililitros y una

desviación estándar de 15 mililitros. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de

refrescos promedio (media) servida en una muestra tomada al azar de 36 sea cuando menos

de 204 mililitros?

Solución.

200 mL Media poblacional.

15 mL Desviación estándar poblacional.


?)204( xP


nx

36

15

x

5.2x

Probabilidad.

xx

xPxP

204)204(

5.2

200204)204( zPxP

)60.1()204( zPxP



)60.1(5.0)204( xP

4452.05.0)204( xP

0548.0)204( xP

Ejemplo 7.8. Probabilidad con la condición “entre”. Error estándar calculado con

factor de corrección por población finita.

Se tiene para la venta un lote de 1000 pollos, con un peso promedio de 3.50 kg y una

desviación estándar de 0.18 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria,

100 pollos de esta población, pesen entre 3.53 y 3.56 kg?

Solución.


50.3 kg Media poblacional.

18.0 kg Desviación estándar poblacional.


?)56.353.3( XP


Puesto que se conoce el tamaño de la población, es necesario determinar la relación N

n

para conocer si se debe aplicar el factor de corrección por población finita.

1000

100

N

n

1.0N

n



Puesto que 05.0N

n, se debe aplicar el factor de corrección por población finita, por lo

tanto la desviación estándar de la distribución de las medias muestrales se calcula a partir

de la ecuación:

1

N

nN

nx

11000

1001000

100

18.0

x

0171.0x

Probabilidad.

xxx

xPxP

56.353.3)56.353.3(

0171.0

50.356.3

0171.0

50.353.3)56.353.3( zPxP

)51.375.1()56.353.3( zPxP

)75.1()51.3()56.353.3( xP

4599.04998.0)56.353.3( xP

0399.0)56.353.3( xP



Ejemplo 7.9. Probabilidad con la condición “entre” y “menor que”. Cálculo del

número de elementos de la muestra con cierta condición.

[MS] ¿En cuántas muestras del ejemplo 7.5 esperaría encontrar la media a) entre 66.8 y

68.3 pulgadas? b) menor que 66.4 pulgadas?


0.68 Media poblacional.

0.3 Desviación estándar poblacional.


3000

25

N

n

008.0N

n

Puesto que 05.0N

n, no se debe aplicar el factor de corrección por población finita, por lo

tanto la desviación estándar de la distribución de las medias muestrales se calcula a partir

de la ecuación:

nx

25

0.3

x

6.0x

pulgadas

a)

xxx

xPxP

3.688.66)3.688.66(

6.0

0.683.68

6.0

0.688.66)3.688.66( zPxP

)5.000.2()3.688.66( zPxP



)00.2()50.0()3.688.66( xP

4772.01915.0)3.688.66( xP

6687.0)3.688.66( xP

Cantidad de muestras que cumplen con la condición especificada.

806687.0 mN

49.53mN ó 53 muestras.

b)

xx

xPxP

4.66)4.66(

6.0

0.684.66)4.66( zPxP

33.5)4.66( zPxP

0)4.66( xP

Ejemplo 7.10. Cuidado! El dato proporcionado no es la desviación estándar

poblacional, sino la varianza poblacional.

[DL] Una población normal tiene una media de 60 y una varianza de 144. Usted seleccionó

una muestra aleatoria de tamaño 9. Calcule la probabilidad de que la medias muestrales

sean:

a) Mayor que 63.

b) Menor que 56.

c) Entre 56 y 63.



Solución.

60 Media de la población.

1442 Varianza de la población.



nx

Obsérvese que no disponemos de la desviación estándar de la población, sino de la varianza

de la población, por lo cual es necesario un cálculo previo del parámetro desconocido.

2

144

12

Se determina entonces la desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.

9

12

x

4x

a)

xx

xPxP

63)63(

4

6063)63( zPxP

)75.0()63( zPxP



)75.0(5.0)63( xP

2734.05.0)63( xP

2266.0)63( xP

b)

xx

xPxP

56)56(

4

6056)56( zPxP

)00.1()56( zPxP

)00.1(5.0)56( xP

3413.05.0)56( xP

1587.0)56( xP

c)

xxx

xPxP

6356)6356(



4

6063

4

6056)6356( zPxP

)75.000.1()6356( zPxP

)75.0()00.1()6356( xP

2734.03413.0)6356( xP

6147.0)6356( xP

Una forma alternativa de calcular la probabilidad en el ítem c) en base a los resultados de a)

y b) es la siguiente:

1)63()6356()56( xPxPxP

)56()63(1)6356( xPxPxP

Las probabilidades )63( xP y )56( xP fueron calculadas en los ítem a) y b)

respectivamente, por lo cual:

1587.02266.01)6356( xP

6147.0)6356( xP

Ejemplo 7.11. Un ejercicio que podría conducir a un error de interpretación.

Supóngase que el voltaje medio en un circuito eléctrico tiene distribución normal con

media 110 voltios y desviación típica 1.5 voltios. Si se toman cuatro mediciones

independientes del voltaje, ¿cuál es la probabilidad de que las cuatro mediciones estén entre

106 y 108 voltios?

Solución.



110 voltios Media poblacional.

5.1 voltios Desviación estándar poblacional.

El error de interpretación en el que se podría incurrir en este ejercicio es suponer que se

trata de una distribución de medias muestrales con muestras de tamaño 4, cuando en

realidad no lo es. Observe que las muestras son de tamaño 1, pues cada muestra es tomada

de manera independiente, una por una, y por lo tanto, la desviación estándar para el cálculo

de la probabilidad es la desviación estándar poblacional y no la desviación estándar de la

distribución de medias muestrales.

Se debe determinar en primer lugar la probabilidad de que una de las mediciones se

encuentre entre 106 voltios y 108 voltios, luego aplicar la regla de probabilidad para

eventos independientes.

?)108106( xP

108106)108106(

xPxP

5.1

110108

5.1

110106)108106( zPxP

)33.167.2()108106( zPxP

)33.1()67.2()108106( xP

4082.04962.0)108106( xP

0880.0)108106( xP

Para las cuatro mediciones independientes:



4)0880.0()108106( xP

000060.0)108106( xP

Ejemplo 7.12. Toma de decisiones en base a una distribución de las medias muestrales

y probabilidades.

Una siderúrgica está produciendo actualmente cables para suspensión de puentes. La

característica más importante de este producto es su resistencia, el peso que puede soportar

antes de que se reviente. Por experiencias pasadas se sabe que el promedio de la resistencia

es de 6 toneladas con desviación típica de 43 de tonelada. Para efectos de control, se

selecciona una muestra de 9 cables y se adopta la siguiente regla de decisión:

Si la resistencia promedio está por encima de 6.5 toneladas o por debajo de 5.5 se suspende

el proceso. Si está entre 5.5 y 6.5 se deja tal como está.

a) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso si la media de la producción es aún de 6

toneladas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso si la media ya no es 6 toneladas sino 6.18

toneladas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso si el promedio es en realidad de 6.4

toneladas? ¿Si es de 5.8 toneladas?

Solución.

6 toneladas Media de la población.

75.0 toneladas Desviación estándar de la población.


a) ?)5.6()5.5( xPxP , 6 toneladas

b) ?)5.6()5.5( xPxP , 18.6 toneladas

c) ?)5.65.5( xP , 4.6 toneladas

Desviación estándar de la distribución de medias muestrales.

nx



9

75.0

x

25.0x

a)

xxxx

xP

xPxPxP

5.65.5)5.6()5.5(

25.0

65.6

25.0

65.5)5.6()5.5( zPzPxPxP

)00.2()00.2()5.6()5.5( zPzPxPxP

)]00.2(5.0[)]00.2(5.0[)5.6()5.5( xPxP

)4772.05.0()4772.05.0()5.6()5.5( xPxP

0456.0)5.6()5.5( xPxP

b)

xxxx

xP

xPxPxP

5.65.5)5.6()5.5(

25.0

18.65.6

25.0

18.65.5)5.6()5.5( zPzPxPxP

)28.1()72.2()5.6()5.5( zPzPxPxP



)]28.1(5.0[)]72.2(5.0[)5.6()5.5( xPxP

)3997.05.0()4967.05.0()5.6()5.5( xPxP

1036.0)5.6()5.5( xPxP

c)

xxx

xPxP

5.65.5)5.65.5(

25.0

4.65.6

25.0

4.65.5)5.65.5( zPxP

)40.060.3()5.65.5( zPxP

)40.0()60.3()5.65.5( xP

1554.04998.0)5.65.5( xP

652.0)5.65.5( xP

xxx

xPxP

5.65.5)5.65.5(



25.0

8.55.6

25.0

8.55.5)5.65.5( zPxP

)80.220.1()5.65.5( zPxP

)80.2()20.1()5.65.5( FFxP

4974.03849.0)5.65.5( xP

8823.0)5.65.5( xP


13. [MS] Los pesos de 1500 balineras tienen distribución normal con media 22.40 onzas y

desviación estándar 0.048 onzas. Si de esta población se toman 300 muestras aleatorias de

tamaño 36, determine la media esperada y la desviación estándar de la distribución muestal

de medias si el muestreo se hizo a) con reemplazo, b) sin reemplazo.

Respuesta: a) oz 04.22x

, oz 008.0x

; b) a oz 04.22x

, oz 008.0x

.

14. [MS] Resuelva el problema 13 si la población consta de 72 balineras.

Respuesta: a) oz 04.22x

, oz 008.0x

; b) a oz 04.22x

, oz 0057.0x

.

15. [RV] Los pesos de la placenta en cierta especie de animales experimentales están

distribuidos normalmente con una media de 7 gramos y una desviación típica de 1.5

gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio de la placenta en una muestra

aleatoria de 9 animales sea menor que 6 gramos?

Respuesta: 0.0228.

16. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye

aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40



horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida

promedio de menos de 775 horas.

Respuesta: 0.0062.

17. [AW] Los clientes de un salón de belleza son un promedio de 40.7 personas por día,

con una desviación estándar de 12.9. Si se toma una muestra de 100 días ¿Cuál es la

probabilidad de que el número promedio de clientes exceda de 43?

Respuesta: 0.0375.

18. [RV] El valor promedio de las cuentas pendientes que figuran en los archivos de una

tienda comercial es de Bs 215 con una desviación estándar de Bs 33. ¿Cuál es la

probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 36 cuentas seleccionadas del archivo

tengan un promedio igual o mayor a Bs 115?

Respuesta: 0.9988.

19. [RV] El número promedio de años de experiencia en conducir de cierto grupo de

camioneros es de 10 años y la desviación típica de 3 años. ¿Cuál es la probabilidad de que

una muestra aleatoria de 81 de estos camioneros arroje una media mayor de 10 años y 8

meses?

20. [DM] Una fibra sintética usada en la fabricación de alfombras tiene una resistencia a la

tensión distribuida normalmente con una media de 75.5 psi y una desviación estándar de

3.5 psi. a) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de n = 6 fibras tenga una

resistencia a la tensión media muestral que exceda 75.75 psi. b) ¿Cómo cambia la

desviación estándar de la media muestral cuando el tamaño de la muestra se incrementa de

n = 6 a n = 49?

Respuesta: b) Se reduce en 0.929.

21. [AW] Los depósitos promedios en una entidad bancaria equivalen a US$ 7012 con una

desviación estándar de US$ 532 y están distribuido normalmente.

a) Si se selecciona un depósito aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que exceda de

US$ 6911?

b) Si se selecciona aleatoriamente una muestra de n = 35 depósitos ¿Cuál es la probabilidad

de que la media exceda de US$ 6911?



22. [MS] El peso de los paquetes que recibe una bodega tiene una media de 300 lb y una

desviación estándar de 50 lb. ¿Cuál es la probabilidad de que un ascensor cargado con 25

paquetes, recibidos al azar, exceda su límite de seguridad, considerado como 8200 lb?

Respuesta: a) 0.0026.

23. [AW] El promedio de los años de experiencia de los pilotos de aerolínea en Venezuela

es de 25.2. Se asume una desviación estándar de 12 años. Este año usted debe tomar 36

vuelos comerciales. Usted espera que la experiencia promedio de los pilotos de los vuelos

que usted tome sea superior a 30. ¿Qué tan probable es que 30x ?

Respuesta: 0.0082.

24. [AW] En promedio, el nivel de producción en una planta de manufactura local es de

47.3 unidades por día, con una desviación estándar de 12.7. El gerente de planta tomará una

muestra de 100 días. Si la media muestral excede de 49, promete dar a todos los empleados

una bonificación de Navidad. ¿Qué tan probable es que los empleados disfruten de una feliz

navidad?

Respuesta: 0.0901.

25. [RV] Una empresa emplea 1500 personas. La cantidad promedio gastada durante un

año determinado, en servicios médicos personales por un empleado fue $25.75., y la

desviación típica fue $5.25. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 100 empleados

arroje una media comprendida entre 25 y 27?

26. [MS] 500 balineras tienen un peso promedio de 5.02 gramos y una desviación estándar

de 0.30 gramos. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 balineras

escogidas de este grupo tengan un peso combinado a) entre 496 y 500 gramos, b) más de

510 gramos.

Respuesta: a) 0.2164; b) 0.0015.

27. [RV] La ingestión media diaria de agua de un animal de laboratorio es de 16 gramos.

La desviación típica es de 2 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que la ingestión media

diaria de agua para una muestra aleatoria de 65 animales esté entre 15.50 y 16.25 gramos?

Respuesta: 0.8221.



28. [RV] Los puntajes de facilidad de lectura de los niños de un jardín infantil están

normalmente distribuidos con una media y desviación típica 75 y 10 respectivamente.

¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 niños arroje un promedio entre

70 y 78?

Respuesta: 0.9270.

29. [DM] Se fabrica tubería de PVC con un diámetro medio de 1.01 pulgadas y una

desviación estándar de 0.003 pulgadas. Encuentre la probabilidad de que una muestra

aleatoria de 9n secciones de tubería tenga un diámetro muestral mayor que 1.009

pulgadas y menor que 1.012 pulgadas.

30. [DM] La fuerza de compresión del concreto tiene una media de 2500 psi y una

desviación estándar de 50 psi. a) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de

5n observaciones tenga una fuerza de compresión media muestral que esté en el

intervalo de 2499 a 2510 psi. b) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral?

Respuesta: b) 22.361.

31. [DM] La cantidad de tiempo que un pasajero pasa esperando en el mostrador de registro

de un aeropuerto es una variable aleatoria con media 8.2 minutos y desviación estándar 1.5

minutos. Suponga que se observa una muestra aleatoria de n = 49 pasajeros. Encuentre la

probabilidad de que el tiempo promedio en la fila de estos pasajeros sea:

a) Menor que 10 minutos.

b) Entre 5 y 10 minutos.

c) Menor que 6 minutos.

Respuesta: a) 1; b) 1; c) 0.

32. [JF] Un proceso de manufactura producen unidades que miden en promedio 10

pulgadas de largo con una desviación estándar de 3.2 pulgadas. Si se toma una muestra de

100 unidades. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media se encuentre entre 9.5 y 10.5

pulgadas?, b) ¿Cuántas pueden descartarse de una muestra de 100?

Respuesta: b) 88 unidades.

33. [RV] Los pesos netos de los paquetes de cierto cereal tienen una media de 16 onzas y

una desviación típica de 0.5 onzas. Los pesos están normalmente distribuidos. ¿Cuál es la



probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 paquetes tenga un peso neto promedio

comprendido entre 15.8 y 16.2 onzas?

Respuesta: 0.9544.

34. [JF] Los ingresos para los trabajadores de una línea de producción tienen un promedio

de US$ 21.15 por hora con una desviación estándar de US$ 5.15. Si se toman 100 ingresos

de los trabajadores a) ¿Cuál es la probabilidad de que no exceda de US$ 20.35 por hora? b)

¿De qué se encuentre entre US$ 20.48 y US$ 21? C) ¿De que exceda de US$ 20.87?

35. [JF] En la clase de computadora que se le da a los estudiantes de estadística de segundo

nivel, los estudiantes tuvieron un promedio de 14.2 errores con una desviación estándar de

4.3.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 15 estudiantes tengan más de 13 errores en el curso?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 36 estudiantes tengan un promedio superior de 13

errores?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que 36 estudiantes tengan un promedio menor a 13.5 errores?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que 36 estudiantes tengan un promedio entre 14,4 y 16

errores?

36. [MS] Ciertos tubos fabricados por una compañía tienen tiempo de vida media de 800

horas y desviación estándar de 60 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra

aleatoria de 16 tubos tomados del grupo tengan tiempo de vida media a) entre 790 y 810

horas, b) menos de 785 horas, c) más de 820 horas, d) entre 770 y 830 horas; e) Desarrolle

el problema si se toma una muestra aleatoria de 64 tubos. Explique la diferencia.

Respuesta: a) 0.4972; b) 0.1587; c) 0.0918; d) 0.9544; d) a) 0.8164, b) 0.0228, c) 0.0038, d)

1.0000.

37. [AW] Un mecánico local en promedio cobra US$ 110 por hacer una reparación

determinada. Los registros muestran una desviación estándar de US$ 21.50 en cobros. Un

cliente se quejó recientemente porque su factura de US$ 115.50 era excesiva. Después de

un regateo considerable, el mecánico acepto reembolsar el dinero si la muestra de 36

trabajos similares revelaba tener una facturación promedio menor que la del cliente.

¿Piensa usted que el mecánico fue sabio al ofrecer esta negociación?



38. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal

con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se

extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:

a) El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.

b) El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Respuesta: a) 0.7607; b) 0.0336.

39. [MS] ¿Cuántas muestras aleatorias del problema 13 tendrán su media a) entre 22.39 y

22.41 oz?, b) mayor que 22.42 oz, c) menor que 22.37 oz, d) menor que 22.38 oz o mayor

que 22.41 oz?

Respuesta: a) 237; b) 2; c) ninguno; d) 24.

40. [UNA] Un antropólogo desea estimar la estatura media de los hombres de cierto grupo

étnico (se supone que la altura se distribuye normalmente). Si la desviación estándar es

5.2 pulgadas y se escoge al azar 100 hombres. Calcule la probabilidad de que la

diferencia entre la media de la muestra y la media real de la población no exceda a 0.5

pulgadas. (Se supone que cada individuo se elige de manera independiente). [Sugerencia:

Suponga que es la media real de la población y x es la media de la muestra, para

calcular )5.0( xP ].

Respuesta: 0.9772.

41. [AW] El consumo diario de agua en Maturín promedia los 18.9 galones por hogar, con

una desviación estándar de 3.6 galones. El Alcalde de la ciudad desea estimar esta media no

conocida con una muestra de 100 hogares. ¿Qué tan probable es que el error de muestreo

exceda los 0.5 galones?

Respuesta: 0.1646.

42. [AW] El promedio del fondo de pensiones en la UDO, para una población de

profesores, es de Bs 40715, con una desviación estándar de Bs 19015. Halle la probabilidad

de que una muestra de 75 profesores produzca un error de muestreo menor que US$ 10000.

Respuesta: 0.3544.



43. [DM] Suponga que se seleccionan al azar muestras de tamaño 25n de una población

normal con media 100 y desviación estándar 10. ¿Cuál es la probabilidad de que la media

muestral esté en el intervalo de xx

8.1 y xx

0.1 ?

Respuesta: 0.8504.

44. [AW] Agroisleña fabrica equipos para agricultura. Su trabajo requiere del uso de barras

de acero que deben tener una longitud promedio de por lo menos 90 pulgadas. Las barras

pueden comprarse a un distribuidor en Puerto Ordaz cuyas barras miden en promedio 47

pulgadas solamente, con una desviación estándar de 12 pulgadas, o de un proveedor en

Ciudad Bolívar cuyas barras miden en promedio 49 pulgadas, con una desviación estándar

de 3.6 pulgadas. Si Agroisleña debe comprar 81 barras, ¿debería utilizar el proveedor en

Puerto Ordaz o el de Ciudad Bolívar?

45. [MS] En una evaluación general las notas tuvieron distribución normal con media 72 y

desviación estándar 8. a) Encuentre la nota mínima del 20% superior de los estudiantes, b)

Encuentre la probabilidad de que en una muestra de 100 estudiantes tomada al azar, la nota

mínima del 20% superior de los estudiantes sea menor que 76.

Respuesta: a) 78.7; b) 0.0090.

Ejemplo 7.13. Cálculo del tamaño de la muestra.

[RL] Un investigador desea tener alguna idea concreta sobre la media de una población

para lo cual decide tomar una muestra aleatoria de la población, y usar el valor de la media

muestral como aproximación de la media de la población. Se sabe que la desviación típica

es 0.05. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra, para que la probabilidad de que la media

muestral no difiera de la media de la población en más de 0.01 sea 0.95?

05.0 Desviación estándar de la población.

95.0)01.001.0( xP

Solución.

95.001.001.0

xxx

xP



95.0/

01.0

/

01.0

nz

nP

De la tabla de distribución normal, para una probabilidad simétrica de 0.95 en torno a la

media, la probabilidad desde la media hasta el valor de z debe ser 0.95/2 = 0.475. El valor

correspondiente de z es z = 1.96.

96.1/

01.0

n

96.1/05.0

01.0

n

Al despejar el valor de n, obtenemos:

2

01.0

05.096.1

n

04.96n

Al aproximar al entero superior, obtenemos como resultado que el tamaño de la muestra es

97n .

En general, para obtener el tamaño de la muestra con un error estándar determinado, se

aplica la ecuación

2

2/

zn , donde 2/z es el valor de z que deja una probabilidad de

2/ a su derecha, siendo 1 la probabilidad del error estándar.


46. [DM] Una población normal tiene media 100 y varianza 25. ¿De qué tamaño deberá ser

la muestra aleatoria si se quiere que el error estándar del promedio muestral se 1.5?

47. [RL] A un productor de transistores le interesa estimar cuánto duran en promedio sus

transistores, sabiendo que la desviación típica es de 150 horas. Para hacerlo, toma una

muestra aleatoria y estima la media por la duración promedio en la muestra. ¿Cuántos

transistores debe tener la muestra para que la probabilidad de que la duración media en la

muestra difiera de la duración media de la población en más de 10 horas, sea 0.1?

Respuesta: 609.



48. [RL] Se sabe que la resistencia a la tracción de los cables producidos por un cierto

fabricante es una variable aleatoria con media µ desconocida y desviación típica de 100 kg.

El valor de un cable es de 0.1 µ bolívares. Un cliente ofrece pagar al productor 0.1 x

bolívares por cada cable, siendo x la resistencia media en una muestra aleatoria que el

cliente toma para examinar la producción. ¿De qué tamaño debe ser la muestra para que la

probabilidad de que el comprador no sobrepague cada cable en más de Bs 5 sea 0.95?

Respuesta: 11.

49. [RL] Un investigador desea estimar la media de una población usando una muestra

suficientemente grande, para que la probabilidad de que la media muestral no difiera de la

media de la población en más del 25% de la desviación típica, sea 0.95. ¿De qué tamaño

debe tomarse la muestra?

Ejemplo 7.14. Cálculo de límites para una probabilidad dada.

[DL] Un proveedor de materiales de construcción afirma que el peso medio de sus

camiones cuando están totalmente cargados es 6000 libras, y la desviación estándar es 150

libras. Suponga que la población sigue la distribución normal. Se seleccionan al azar 40

camiones y se pesan. ¿Dentro de qué límites ocurrirá 95% de las medias de la muestra?

Solución.

6000 libras Media de la población.

150 libras Desviación estándar de la población.


Desviación estándar de la distribución de medias muestrales.

nx

40

150

x

72.23x

libras

Existen dos límites, uno inferior ( ix ) y uno superior ( sx ) en torno a la media muestral que

definen una probabilidad de 0.95.



95.0)( si xxxP

95.0

x

s

xx

i xxxP

95.0

x

s

x

i xz

xP

De la tabla de distribución normal, para una probabilidad simétrica de 0.95 en torno a la

media, la probabilidad desde la media hasta el valor de z debe ser 0.95/2 = 0.475. El valor

correspondiente de z es 96.1z .

El límite inferior corresponde a 96.1z y el límite superior a 96.1z

Límite inferior. Límite superior.

96.1

x

ix

96.1

x

sx

xix 96.1 xsx 96.1

)72.23(96.16000ix )72.23(96.16000sx

5.5953ix 5.6046sx

El 95% de las medias muestrales se encuentra entre 5953.5 y 6046.5 libras.

En general, para obtener el los límites inferior y superior de la media muestral (simétricos)

que contienen una probabilidad 1 , se aplica la ecuación x

zx 2/ , donde 2/z es

el valor de z que deja una probabilidad de 2/ a su derecha.


50. En la fabricación de cojinetes para motores, se sabe que el diámetro promedio es de 5

cm con una desviación estándar igual a 0.05 cm. El proceso es vigilado en forma periódica

mediante la selección aleatoria de 64 cojinetes, midiendo sus correspondientes diámetros.

El proceso no se detiene mientras la probabilidad de que la media muestral se encuentre

entre dos límites especificados sea de 0.95. Determine el valor de estos límites.

Respuesta: 012.5988.4 x .

07 01 distribucion de medias muestrales

Education