7.2.distribucion muestral de la media

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA

1. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

En el estudio de la estadística analizamos varias medidas de tendencia central. Sin duda, la media es la medición de la tendencia central que más se utiliza. Con frecuencia, la media muestral se utiliza para calcular la media poblacional. La distribución muestral de la media es la distribución de todas las medias posibles que surgen si en realidad se seleccionaran todas las muestras posibles de cierto tamaño.

Propiedad de imparcialidad de la media muestral

La media muestral es imparcial porque la media de todas las medias muestrales posibles (de una muestra dada con tamaño n) es igual a la media poblacional. Esta propiedad se demuestra por medio de un sencillo ejemplo referente a una población de cuatro asistentes administrativos. Se pide a cada uno de los asistentes que teclee la misma página de un manuscrito. La tabla 7.1 muestra el número de errores.

En la figura 7.1 se muestra esta distribución poblacional.

Cuando se tienen los datos de una población, la media se calcula utilizando la ecuación (7.1):

MEDIA POBLACIONAL

La media poblacional es la suma de los valores de la población dividida por el tamaño de la población N.

μ=∑i=1

N

i

N(7 .1)

Calcule la desviación estándar σ

de la población utilizando la ecuación (7.2):

DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL

μ=√∑i=1N

( i−μ )2

N(7 .2 )

Así, para los datos de la tabla 7.1:

Lic. Manuel Aguilar Ortiz Página 1


μ=3+2+1+44

=2 .5 errores

Y

σ=√(3−2.5)2+(2−2.5)2+(1−2.5)2+(4−2 .5)2

4=1 .12 errores

Si a partir de esta población usted selecciona muestras compuestas por dos asistentes administrativos con reemplazo, habrá 16 muestras posibles (Nn = 42 = 16). La tabla 7.2 presenta los resultados de las 16 muestras

posibles. Si calcula el promedio de las medias de las 16 muestras, la media de estos valores,μx ,

es igual a 2.5,

que es también la media poblacional μ

.

TABLA 7.2

Las 16 muestras de n = 2 asistentes administrativos, de una población de N = 4 asistentes administrativos, al muestrear con reemplazo.

Asistentes Muestra administrativos Resultado de la muestra Media muestral 1 Ana, Ana 3.3 X 1 = 32 Ana, Roberto 3,2 X 2 =2.5

3 Ana, Carla 3,1 x3

=2

4 Ana, David 3,4 x4

=3.5

5 Roberto, Ana 2, 3 x5

=2.5

6 Roberto, Roberto 2, 2 x6

=2

7 Roberto, Carla 2, 1 x7

=1.5

8 Roberto, David 2, 4 x8

=3

9 Carla, Ana 1,3 x9

=2

1O Carla, Roberto 1, 2 x10

=1.5

11 Carla, Carla 1, 1 x11

= 1

12 Carla, David 1,4 x12

=2.5

13 David, Ana 4,3 x13

=3.5

14 David, Roberto 4, 2 x14

=3



15 David, Carla 4, 1 x15

=2.5

16 David, David 4,4 x16

=4

μx=2 .5

Puesto que la media de las 16 medias muestrales es igual a la media poblacional, la media muestral es un estimador imparcial de la media poblacional. Por lo tanto, aunque no sepa qué tan cercana está la media muestral de cualquier muestra seleccionada a la media poblacional, al menos estará seguro de que la media de todas las medias muestrales posibles que se pueden seleccionar es igual a la media poblacional.

Error estándar de la media

La figura 7.2 ilustra la variación de la media muestral al seleccionar las 16 muestras posibles. En este pequeño ejemplo, aunque la media muestral varía de una muestra a otra, en función de los asistentes administrativos seleccionados, no lo hace tanto como los valores individuales de la población. El que las medias muestrales varíen menos que los valores individuales es resultado de que cada media muestral promedia todos los valores de la muestra. Una población se compone de resultados individuales que pueden tomar una gran variedad de valores, desde los extremadamente pequeños hasta los muy grandes. No obstante, si una muestra contiene un valor extremo, aunque éste influya sobre la media muestral, el efecto se reduce gracias a que su valor se promedia con todos los demás incluidos en la muestra. Conforme aumenta el tamaño de la muestra, se reduce el efecto de un solo valor extremo, ya que se le promedia con más valores.

FIGURA 7.2 Distribución muestral de la media basada en todas las muestras posibles conformadas por dos asistentes administrativos.

El valor de la desviación estándar de todas las medias muestrales posibles, llamado error estándar de la media, expresa cuánto varía la media muestral entre una muestra y otra. La ecuación (7.3) define al error estándar de la media al hacer muestras con o sin reemplazo (vea la página 221) de una población enorme o infinita.

ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA

El error estándar de la media O X

es igual a la desviación estándar de la población O

dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra n.

σ x= σ

√n(7 .3 )



Por lo tanto, cuando aumenta el tamaño de la muestra, el error estándar de la media se reduce en un factor igual a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

También es factible utilizar la ecuación (7.3) como aproximación del error estándar de la media cuando la muestra seleccionada sin reemplazo incluye a menos del 5% de la población total. En el ejemplo 7.1 se calcula el error estándar de la media para tal situación.

EJEMPLO 7.1 CALCULAR EL ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA

Volvamos al proceso de llenado de cereal descrito en el escenario “Uso de la estadística” de la página 206. Si de los miles de cajas empacadas durante un turno usted selecciona de manera aleatoria una muestra de 25 cajas sin reemplazo, la muestra contendrá mucho menos del 5% de la población. Si la desviación estándar del proceso de llenado de cereal es de 15 gramos, calcule el error estándar de la media.

SOLUCIÓN Al utilizar la ecuación (7.3) mencionada antes, con n = 25 y a = 15, se determina que el error estándar de la media es

σ x= σ

√n=15

√25=155

=3

La variación de las medias muestrales correspondientes a las muestras de n = 25 es mucho menor que la

variación en las cajas de cereal individuales (es decir,

OX

= 3, mientras que O = 15)

Muestreo de poblaciones con distribución normal

Ahora que ya se explicó el concepto de distribución muestral y que se ha definido el error estándar de la media,

¿qué distribución tendrá la siguiente media muestral x

? Si está muestreando una población que tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar o, independientemente del tamaño de la muestra n, la

distribución muestral de la media tendrá una distribución normal con media µx=µ

y error estándar de la

mediao x

. En el caso más simple, si extrae muestras de tamaño n = 1, cada una de las medias muestrales posibles es un solo valor de la población, puesto que

x=∑i=1

n

X i

n=X i1

=X i

Por lo tanto, si la población tiene una distribución normal con una media µ y una desviación estándar Ơ,

entonces la distribución muestral de x

para muestras de n = 1 también debe seguir una distribución normal con

media µx=µ

y error estándar de la media

o x=o√1

=o. Además, al aumentar el tamaño de la muestra, la

distribución muestral de la media conserva una distribución normal con media µx=µ

, pero se reduce el error estándar de la media, de manera que una mayor proporción de las medias muestrales se encuentra más cerca de la media poblacional. La figura 7.3



FIGURA 7.3

Distribución muestral de la media de 500 muestras con tamaños den = 1, 2, 4, 8,16 y 32, seleccionadas de una población normal.

ilustra esta reducción de la variabilidad en la que se seleccionaron 500 muestras con tamaños de 1, 2, 4, 8, 16 y 32 de manera aleatoria de una población con distribución normal. A partir de los polígonos de la figura 7.3, usted observa que a pesar de que la distribución muestral de la media es aproximadamente 1 normal para cada tamaño de la muestra, las medias muestrales tienen una distribución más estrecha alrededor de la media poblacional conforme aumenta el tamaño de la muestra.

Al examinar el concepto de la distribución muestral de la media, considere de nuevo el escenario “Uso de la estadística” descrito en la página 206. El equipo empaquetador que llena las cajas con 368 gramos de cereal está programado de manera tal que la cantidad de cereal introducido en una caja tenga una distribución normal, con una media de 368 gramos. A partir de la experiencia, se determinó que la desviación estándar poblacional de este proceso de llenado es de 15 gramos.

Si se selecciona de manera aleatoria una muestra 25 cajas de las miles que se llenan durante un día, y se calcula el peso promedio de esta muestra, ¿qué tipo de resultado se espera? Por ejemplo, ¿cree que la media muestra! puede ser de 368 gramos? ¿De 200 gramos? ¿De 365 gramos?

La muestra actúa como una representación en miniatura de la población, de tal manera que si los valores de la población tienen una distribución normal, los valores de la muestra deben tener una distribución aproximadamente normal. De esta forma, si la media poblacional es de 368 gramos, la media muestral tiene buenas posibilidades de acercarse a 368 gramos.



¿Cómo se determina la probabilidad de que una muestra de 25 cajas tenga una media inferior a 365 gramos? A partir de la distribución normal (sección 6.2) usted sabe que puede encontrar el área debajo de cualquier valor X al convertir a unidades estandarizadas Z.

Z= X−μσ

En los ejemplos de la sección 6.2, se estudió cuánto difiere de la media cualquier valor sencillo X. Ahora, en el ejemplo de llenado de cajas de cereal, el valor implicado es una media muestral Xy usted quiere determinar la probabilidad de que una media muestral sea inferior a 365. De esta manera, al sustituir X por X, l. LX por i y a por a, se define el valor Z apropiado en la ecuación (7.4):

CÁLCULO DE Z PARA LA. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

El valor Z es igual a-la diferencia que existe entre la media muestral y la media poblacional .t, dividida por el error

estándar de la media Ơx .

Z=x−μxσ x

= x−μσ√n

(7 .4 )

Para encontrar el área que se encuentra debajo de 365 gramos, a partir de la ecuación (7.4),

Z=x−μxσ x

=365−36815√25

=−33

=−1.00

En la tabla E.2 el área correspondiente a Z =- 1.00 es 0.1587. Por lo tanto, el 15.87% de todas las muestras posibles con un tamaño de 25 tienen una media muestral inferior a 365 gramos. Esta afirmación no es lo mismo que decir que cierto porcentaje individual de las cajas tendrá menos de 365 gramos de cereal. Calcule ese porcentaje de la siguiente manera:

Z= X−μσ

=365−36815

=−315

=−0 .20

En la tabla E.2, el área correspondiente a Z = - 0.20 es 0.4207. Por lo tanto, cabe esperar que el 42.07% de todas las cajas individuales tengan un contenido inferior a 365 gramos. Al comparar esos resultados, observará que se encuentran muchas más cajas individuales debajo de los 365 gramos. Este resultado se explica por el hecho de que cada una de las muestras se compone de 25 valores distintos, algunos pequeños y otros grandes. Al promediar, se diluye la importancia de cualquier valor individual, sobre todo cuando el tamaño de la muestra es grande. De esta forma, la posibilidad de que la media muestral de 25 cajas esté alejada de la media poblacional es menor que la posibilidad de que lo esté una sola caja.

Los ejemplos 7.2 y 7.3 ilustran cómo el uso de distintos tamaños de la muestra influye sobre esos resultados.



EJEMPLO 7.2 EFECTO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA EN EL CÁLCULO DE σ x

¿Cómo se ve afectado el error estándar de la media al aumentar el tamaño de la muestra de 25 a 100 cajas?

SOLUCIÓN Si n = 100 cajas, al utilizar la ecuación (7.3) de la página 209 tenemos:

σ x=σ

√n=15

√100=1510

=1.5

Al cuadruplicar el tamaño de la muestra de 25 a 100, se reduce a la mitad el error estándar de la media (de 3 a 1.5 gramos). Esto prueba que el uso de una muestra más grande tiene como resultado una menor variabilidad de las medias muestrales entre una muestra y otra.

EJEMPLO 7.3 EFECTO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA SOBRE EL AGRUPAMIENTO DE LAS MEDIAS EN LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL

En el ejemplo de llenado de cereal, si se selecciona una muestra de 100 cajas, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 365 gramos?

SOLUCIÓN Al utilizar la ecuación (7.4)

Z=x−μxσ x

=365−36815√100

=−31.5

=−2 .00

De acuerdo con la tabla E.2, el área menor que Z = - 2.00 es 0.0228. Por lo tanto, el 2.28% de las muestras compuestas por 100 cajas tienen una media inferior a 365 gramos, en comparación con el 15.87% de las muestras de 25 cajas.

A veces se requiere encontrar el intervalo que abarca una proporción fija de medias muestrales. Se necesita determinar la distancia arriba y abajo de la media poblacional que abarque un área específica de la curva normal. Al utilizar la ecuación (7.4) de la página 211,

Z= x−μσ

√n

Despejando para x

se obtiene la ecuación (7.5).

CÁLCULO DE PARA LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

x=μ+Z σ√n

(7 .5 )

El ejemplo 7.4 ilustra el uso de la ecuación (7.5).

EJEMPLO 7.4 DETERMINAR EL INTERVALO QUE ABARCA UNA PROPORCIÓN FIJA DE LAS MEDIAS MUESTRALES

En el ejemplo de llenado con cereal, encuentre un intervalo alrededor de la media poblacional que abarque el 95% de las medias muestrales a partir de muestras de 25 cajas.



SOLUCIÓN Si el 95% de las medias muestrales se encuentra dentro del intervalo, entonces un 5% está fuera de él. Divida el 5% en dos partes iguales de 2.5%. En la tabla E.2, el valor de Z correspondiente a un área de 0.0250 en la cola inferior de la curva normal es —1.96, y el valor de Z correspondiente a un área acumulada de 0.975 (es decir, 0.025 de la cola superior de la curva normal) es +1.96. El valor menor de X (llamado XL) y el valor superior de X (llamado Xu) se encuentra utilizando la ecuación (7.5):

X L=368+(−1.96 )15

√25=368−5.88=362.12

Xu=368+(1.96 )15√25

=368−5 .88=373 .88

Por lo tanto, el 95% de todas las medias muestrales correspondientes a muestras de 25 cajas se encuentra entre 362.12 y 373.88 gramos.

Muestreo de poblaciones sin distribución normal —Teorema del límite central

Hasta este punto de la sección, ha estudiado la distribución muestra! de la media de una población con distribución normal. Sin embargo, se sabe que en muchos casos la población no tiene una distribución normal o no es realista suponer tal distribución. Esta situación se trata mediante un teorema muy importante en estadística, a saber, el teorema del límite central.

EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

El teorema del limite central dispone que cuando el tamaño de la muestra (es decir, el número de valores en cada muestra) es lo bastante grande, la distribución muestra! de la media tiene una distribución aproximadamente normal. Esto es válido sin importar la forma de la distribución de los valores individuales en la población.

¿Qué tamaño de la muestra es lo bastante grande? A este aspecto se le ha dedicado una gran cantidad de investigación estadística. Por lo general, al utilizar muchas distribuciones de población, los especialistas en estadística han encontrado que cuando el tamaño de la muestra es de por lo menos 30, la distribución muestral de la media es aproximadamente normal. No obstante, si la distribución poblacional tiene una forma aproximada de campana, se aplica el teorema del límite central incluso con tamaños de la muestra menores. Ante el improbable caso de que la distribución sea extremadamente asimétrica o tenga más de una moda, necesitará tamaños de las muestras mayores de 30 para garantizar la normalidad.

La figura 7.4 ilustra la aplicación del teorema del límite central a diferentes poblaciones. Se muestran las distribuciones muestrales de tres distribuciones continuas distintas (normal, uniforme y exponencial) para distintos tamaños de la muestra (n = 2, 5, 30).

En el panel A de la figura 7.4 aparece la distribución muestra! de la media seleccionada de una población normal. Como ya se mencionó, cuando la población tiene una distribución normal, la distribución muestra! de la media está distribuida de manera normal para cualquier tamaño de la muestra. (Usted puede medir la variabilidad utilizando el error estándar de la media, ecuación (7.3) de la página 209.) En virtud de la propiedad de imparcialidad, la media de toda distribución muestra! siempre es igual a la media de la población.



FIGURA 7.4 Distribución muestral de a media de distintas poblaciones para muestras de n = 2, 5 y 30.

El panel B de la figura 7.4 describe la distribución muestral de una población con distribución uniforme (o rectangular). Cuando se seleccionan muestras con un tamaño n = 2, hay un efecto de compensación o restricción central ya en funcionamiento. Para n = 5, la distribución muestral tiene forma acampanada y aproximadamente normal. Cuando n = 30, la distribución muestral se asemeja mucho a una distribución normal. Por lo general, cuanto mayor es el tamaño de la muestra, más se inclinará la distribución muestral a seguir una distribución normal. En todos los casos, la media de cada una de las distribuciones muestrales es igual a la media de la población, y la variabilidad disminuye cuando aumenta el tamaño de la muestra.



El panel C de la figura 7.4 muestra una distribución exponencial. Esta población es extremadamente asimétrica hacia la derecha. Cuando n = 2, la distribución muestral continúa siendo muy asimétrica hacia la derecha, pero mucho menos que la distribución de la población. Para n = 5, la distribución muestral es más asimétrica, con sólo una ligera asimetría hacia la derecha. Cuando n = 30, la distribución muestral tiene una apariencia aproximadamente normal. Una vez más, la media de cada una de las distribuciones muestrales es igual a la media de la población, y la variabilidad disminuye al aumentar el tamaño de la muestra.

Utilizando los resultados surgidos de estas reconocidas distribuciones estadísticas (normal, uniforme y exponencial), se obtienen las siguientes conclusiones con respecto al teorema del límite central.

• Para la mayor parte de las distribuciones poblacionales, sin importar su forma, la distribución muestral de la media tiene una distribución aproximadamente normal cuando se seleccionan muestras de por lo menos 30 elementos.

• Si la distribución poblacional es bastante simétrica, la distribución muestral de la media es aproximadamente normal en muestras tan pequeñas como las de 5 elementos.

• Si la población tiene una distribución normal, la distribución muestral de la media también tiene una distribución normal, independientemente del tamaño de la muestra.

El teorema del límite central es importantísimo al utilizar la inferencia estadística para obtener conclusiones sobre una población. Permite elaborar inferencias sobre la media poblacional sin necesidad de conocer la forma específica de su distribución.

EXPLORACIONES VISUALES Explorando las distribuciones muestrales

Utilice el procedimiento de Exploraciones Visuales Probabilidad con dos dados para observar el efecto que el simulacro de lanzamiento de dados tiene sobre la distribución de frecuencia de la suma de los dos dados. Abra la hoja de trabajo macro Visual

Explorations.xla (Visual Explorations.xla) y seleccione VisualExplorations —> Two Dice Probability en la barra de menús de Excel. Este procedimiento genera una hoja de trabajo que contiene una tabla de distribución de frecuencia vacía, un histograma y un panel de control flotante (vea la ilustración que se presenta abajo). Dé clic sobre el botón Tally para llevar la cuenta de un conjunto de tiros en la tabla y el histograrna de la distribución de frecuencia. Como opción, utilice los botones de ajuste para establecer el número de tiros por cuenta (ronda).

Para más información sobre este simulacro, dé clic en el botón Help. Cuando termine esta exploración, dé clic en Finish.



Aprendizaje básico

7.1 Dada una distribución normal con µ = 100 y Ơ = 10, si se selecciona una muestra de n = 25. ¿Cuál es la

probabilidad de que x sea:

a. menor que 95? b. esté entre 95 y 97.5?

c. supere 102.2?

d. Existe un 65% de posibilidades de que x esté por encima ¿de qué valor?

7.2 Dada una distribución normal con µ = 50 y Ơ = 5, si se selecciona una muestra de n = 100, ¿cuál es la

probabilidad de x que sea:

a. menor que 47? b. esté entre 47 y 49.5? c. supere 51.1?

d. Existe un 35% de posibilidades de que x esté por encima ¿de qué valor?

Aplicación de conceptos

7.3 Indique cuál es la distribución muestral para muestras de 25 elementos, en cada una de las tres siguientes poblaciones. a. Vales de viáticos para una universidad durante un año académico. b. Registros de ausencia (días de ausencia por año) durante 2004 para los empleados de una gran empresa manufacturera. c. Ventas anuales (en galones) de gasolina sin plomo de las gasolineras ubicadas en una ciudad particular.

7.4 Los siguientes datos representan el número de días de ausencia al año de una población de seis empleados de una empresa pequeña: 1 3 6 7 9 10

a. Suponga que muestrea sin reemplazo, selecciona todas las muestras de n = 2 posibles y construye la distribución muestral de la media. Calcule la media de todas las medias muestrales y la media poblacional. ¿Cómo se denomina a esta propiedad?

b. Responda al inciso a) considerando todas las muestras posibles con n = 3.

c. Compare la forma de la distribución muestral de la media de los incisos a) y b). ¿Cuál distribución muestral tiene menor variabilidad? ¿Por qué?

d. Suponga ahora que muestrea con reemplazo, responda a los incisos a) a c) y compare los resultados. ¿Cuáles distribuciones muestrales tienen menor variabilidad, las de a) o las de b)? ¿Por qué?

7.5 El diámetro de las pelotas de ping-pong fabricadas en una enorme planta tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 1.30 pulgadas y una desviación estándar de 0.04 pulgadas. Si usted selecciona una muestra aleatoria de 16 pelotas de ping-pong. a. ¿Cuál es la distribución muestral de la media?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestra! sea menor que 1.28 pulgadas?



c. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestra! se encuentre entre 1.31 y 1.33 pulgadas?

d. Existe una probabilidad del 60% de que la media muestral se encuentre ¿entre cuáles dos valores simétricamente distribuidos alrededor de la media poblacional?

7.6 El Departamento de Comercio de Estados Unidos informó que la mediana del precio de una casa nueva vendida en marzo de 2004 fue de $20 1,400, y la media del precio fue de 260,000 (Michael Schroeder, “New-Home Sales Increase 8.9%, the Big gest Rise in Nine Months”, The Walt Street Journal, 27 de abril, 2004, A 15). Suponga que la desviación estándar de los precios es de 90,000.

a. Si toma muestras de n = 2, describa la forma de la distribución muestral de x

b. Si toma muestras den = 100, describa la forma de la distribución muestral de x . c. Si toma una muestra aleatoria de n = 100, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que $250,000?

7.7 El tiempo dedicado al uso del correo electrónico sesión tiene una distribución normal, con µ = 8 minutos y Ơ = 2 minutos. Si se selecciona una muestra aleatoria de 25 sesiones. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 7.8 y 8.2 minutos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 7.5 y 8 minutos? c. Si selecciona una muestra aleatoria de 100 sesiones, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 7.8 y 8.2 minutos? d. Explique la diferencia en los resultados de los incisos a) y c).

7.8 La cantidad de tiempo que un cajero de PH Grade Y Examen de banco dedica a cada cliente tiene una media poblacional de µ = 3.10 minutos y una desviación estándar de Ơ = 0.40 minutos. Si se .selecciona una muestra aleatoria de 16 clientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio dedicado a cada cliente sea al menos de 3 minutos? b. ¿Existe un 85% de posibilidades de que la media muestral se encuentre por debajo de cuántos minutos? c. ¿Qué suposición debe hacerse para resolver los incisos a) y b)? d. Si selecciona una muestra aleatoria de 64 clientes, existe un 85% de posibilidades de que la media muestral se encuentre debajo ¿de cuántos minutos?

7.9 El New York Times reportó (Laurie J. Flynn, “Tax Surfing”, The New York Times, 25 de marzo, 2002, ClO) que el tiempo medio necesario para descargar la página inicial del sitio Web del Servicio de Recaudación Interna estadounidense www.irs.gov fue de 0.8 segundos. Suponga que el tiempo de descarga tiene una distribución normal con una desviación estándar de 0.2 segundos. Si se selecciona una muestra aleatoria de 30 tiempos de descarga.

a. ¿Cuál es la posibilidad de que la media muestral sea menor que 0.75 segundos?

b. ¿Cual es la posibilidad de que la media muestral se encuentre entre 0.70 y 0.90 segundos?

c. La probabilidad de que la media muestral se encuentre entre dos valores simétricamente distribuidos alrededor de la media poblacional es del 80% ¿Cuáles son eso dos valores?

d. Existe un 90% de probabilidades de que la media muestral sea menor ¿de que valor?

7.10 En el articulo descrito en el problema 7.9, también se informaba que el tiempo medio de descarga de sitio Web de H&R Block www.hrblock.com fue de 25 segundos. Suponga que el tiempo de descarga de este sitio Web tubo una distribución normal, con unja desviación estándar de 0.5 segundos. Si se selecciona una muestra aleatoria de 30 tiempos de descarga.



a. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que 2.75 segundos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 2.70 y 2.90 segundos?

c. Hay una probabilidad de 80% de que la media muestral se encuentre entre dos valores simétricamente distribuidos alrededor de la media poblacional. ¿Cuáles son esos valores?

d. Existe un 90% de probabilidades de que la media muestral sea menor ¿de que valor?


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