distribuciÓn gamma

5/10/2018 DISTRIBUCIÓN GAMMA - slidepdf.com

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DISTRIBUCIÓN

GAMMA



LA DISTRIBUCIÓN GAMMAEs una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuascon asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a laizquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función

Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.

Los parámetros de la distribuciónEl primer parámetro (α) situa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunas

fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a ceroaparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se tomanvalores más grandes de (α) el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareceiendo

la forma de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el quedetermina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidaden la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) la distribución acumula más densidad de

probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando laprobabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de (β)

conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad máselevado. Una forma de interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”.

Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el ratio deocurrencia: λ=1/β.

Relación con otras distribucionesSi se tiene un parámetro α de valores elevados y β pequeña, entonces la función Gammaconverge con la distribución normal. De media , y varianza . Cuando y β la distribución Gamma

es exactamente la distribución exponencial con parámetro (α=1). Cuando la proporción entreparámetros es entonces la variable aleatoria se distribuye como una Chi-cuadrado con grados delibertad. Si α=1, entonces se tiene la distribución exponencial negativa de parámetro λ=1/β. Ventajas De esta forma, la distribución Gamma es una distribución flexible para modelizar las formas dela asimetría positiva, de las más concentradas y puntiagudas, a las más dispersas y achatadas.Como ejemplos de variables que se comportan así: - Número de individuos involucrados enaccidentes de tráfico en el área urbana: es más habitual que la mayoría de partes abiertos den laproporción de 1 herido por vehículo, que otras proporciones superiores. - Altura a la que seinician las precipitaciones; sucede de forma más habitual precipitaciones iniciadas a una alturabaja, que iniciadas a gran altitud. - Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos quesiguen una distribución de Poisson. - Distribución de la finura de fibras de lana: la mayoríapresentan una menor finura que unas pocas fibras más gruesas.InconvenientesProblemas en la complejidad de algunos cálculos, especialmente respecto a la función Gamma

cuando el parámetro α es un valor no entero.



Para valorar la evolución de la distribución al variar los parámetros se tienen los siguientesgráficos. Primero se comprueba que para α=1 la distribución tiene similitudes con la exponencial.

α=1 α=1

β =1 β =5

Si ahora se hace variar el parámetro alfa

α=2 α=3

β =1 β =2

Y para valores altos de α y pequeños de β, se observa la convergencia con la normal,

α=10

β =1

Como ya se ha indicado, la expresión de la distribución Gamma incluye la propia función Gamma Γ(α),

que para valores enteros de alpha se ha demostrado que Γ(α)= (α-1)! En este caso la distribución

Gamma se conoce como “distribución de Erlang”.

C Función Gamma

1 1

2 1

3 2

4 6

5 24

6 120

7 720

8 5040

9 40320

10 362880

11 3628800

12 39916800

Para valores no enteros, el valor de la función Gamma se obtiene a partir de,

La función de densidad de la distribución Gamma es,



donde x>0 y β,α son parámetros positivos.

Se puede ver que para α=1 la función de densidad será,

lo que significa que una distribución Gamma de parámetro α=1 y β =0 es una distribución

exponencial de parámetro α=1.

Se demuestra que f(x) es una función de densidad porque para f(x)≥0 y haciendo el cambio de

variable h=

La función de distribución es,

La función característica es, teniendo en cuenta de nuevo que h=

La esperanza matemática será, siendo h=

La varianza será,

donde otra vez h=



Si se buscan estimadores de los parámetros de la distribución, el Método de MáximaVerosimilitud es el más adecuado ya que goza de más propiedades que el estimador obtenido porel método de los momentos (Chico, 2010). Sin embargo la máxima verosimilitud conduce a unsistema de ecuaciones que no se puede resolver de forma analítica, y se necesita recurrir almétodo numérico, por ejemplo de Newton-Raphson.

Resolución de probabilidades de la distribución Gamma

En R se pueden usar las órdenes >dgamma y >pgamma que devuelven resultados de la funciónde densidad y de densidad acumulada respectivamente. >dgamma(x, “parámetro (α)”, scale =

“parámetro (β); escala”) Y devuelve el valor de la densidad de probabilidad en cuando la variablealeatoria tiene valor = x >pgamma(x, “parámetro (α)”, scale = “parámetro (β); escala”; lower.tail= T) Devuelve el valor de probabilidad acumulada hasta el valor x. Con lower.tail = F devuelvela probabilidad por la derecha. Si en lugar de parámetro escala se está usando el parámetro ratiose escribirá; >dgamma(x, “parámetro (α)”, ratio = “parámetro (β); escala”) >pgamma(x,

“parámetro (α)”, ratio = “parámetro (β); escala”; lower.tail = T)

En excel la función es, para la intensidad de probabilidad =DISTR.GAMMA(x;”parámetro

(α);”parámetro escala (β)”;FALSO) Y para la probabilidad acumulada,

=DISTR.GAMMA(x;”parámetro (α);”parámetro escala (β)”;VERDADERO) Pero no permite

diferenciar entre “escala” o “ratio”.

Ejemplos de distribución Gamma

Ejemplo 1.

En un estudio de la guardia urbana de Barcelona se toma una distribución gamma para modelizarel número de víctimas en accidentes de tráfico. Como es más habitual la proporción de 1ocupante por vehículo siniestrado, y es más rara la probabilidad de 4 ó 5 ocupantes por vehículosiniestrado, se crea una distribución gamma para modelizar el número de víctimas por accidentede tráfico. El 38% de la distribución lo acumula la proporción 1 accidentado por accidente, el36% 2:1, 16% la 3:1, 6% el 4:1 y finalmente un 3% para 5:1. La media del modelo es 1,5

víctimas por accidente, pero no indican el valor de los parámetros α y β tomados en cuenta.



Ejemplo 2.

También en el ámbito de la siniestralidad viaria, en un estudio de la ciudad de Medellín,Colombia, se usa la distribución Gamma para obtener la distribución de probabilidad de lavariable aleatoria “edad de fallecimiento en accidentes de tráfico”. En este caso explican que se

asignaron los parámetros α y “a ojo”. El mejor resultado es el que parece minimizar los errores

cuadráticos medios después de varias asignaciones. Finalmente obtienen α=2,94 y =13,94.

α=2,94

B =13,94

Ejemplo 3.

Relación entre la distribución gamma y procesos de Poisson A una centralita de teléfonos llegan12 llamadas por minuto, siguiendo una distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de queen menos de 1 minuto lleguen 8 llamadas?

Existe un 91,05% de probabilidades de recibir 8 llamadas en un plazo de tiempo de menos de 1minuto.



Ejemplo 4.

Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas, ¿cuál es el tiempo medio que transcurrehasta que fallan dos componentes? ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 12 horas antes deque fallen los dos componentes?

En un 30,84% de las situaciones pasarán 12 horas hasta que fallen dos componentes.

Ejemplo 5.

En una ciudad se observa que el consumo diario de energía (en millones de kilowatt-hora) es unavariable aleatoria que sigue una distribución gamma con parámetros α= 3 y =2. Si la planta de

energía que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria de generar un máximo de 12, ¿cuáles la probabilidad de que haya un día donde no se pueda satisfacer la demanda?

donde,

de forma que,

La probabilidad de que exista 1 exceso,

Resolviendo la integral con ayuda del Derive, la probabilidad obtenida es,



La representación gráfica y verificación con excel del cálculo:

Valores de

x

Densidad

deprobabilidad

Probabilida

dAcumulada

Probabilida

d por laderecha

0 0 0 1

0,09 0,000483974 1,4684E-05 0,999985316

0,25 0,003447254 0,000296478 0,999703522

0,5 0,012168762 0,002161497 0,997838503

0,75 0,024162514 0,006652214 0,993347786

1 0,037908166 0,014387678 0,985612322

1,25 0,052271624 0,025656931 0,974343069

1,5 0,066426546 0,040505439 0,959494561

1,75 0,079789996 0,058803721 0,941196279

2 0,09196986 0,080301396 0,919698604

3 0,125510715 0,191153169 0,8088468314 0,135335283 0,32332358 0,67667642

5 0,12825781 0,456186873 0,543813127

6 0,112020904 0,576809919 0,423190081

7 0,092479487 0,679152801 0,320847199

8 0,073262556 0,761896694 0,238103306

9 0,056239295 0,826421929 0,173578071

10 0,042112169 0,875347981 0,124652019

12 0,02230877 0,938031196 0,061968804

14 0,011170554 0,970363836 0,029636164

16 0,005367402 0,986246032 0,013753968

18 0,002499049 0,993767805 0,006232195

20 0,001134998 0,997230604 0,002769396

25 0,000145572 0,999658545 0,00034145530 1,7207E-05 0,999960692 3,93084E-05

40 2,06115E-07 0,999999544 4,55515E-07

90 1,44915E-17 1 0



Ejemplo 6.

Si se sabe que el tiempo de sobrevivencia de ratas expuestas a un determinado tóxico es unavariable aleatoria que sigue una distribución Gamma (5, 10), ¿cuál es la probabilidad de que una

rata no supere las 60 semanas de vida?

Su representación gráfica en Excel

RESUMEN DE DISTRIBUCION GAMMA

La distribución Gamma es una serie de datos en figura que nos sirve para un fácil determinaciónde un conteo de objetos perdido o de un accidente suscitado es de fácil determinar cuánto existepor la figuras, la distribución Gamma tiene dos parámetro una el parámetro (a) y el otro elparámetro (b) en donde cada uno debe tener una cantidad y de acuerdo esa cantidad se forma laescala de grafico pero esta tiene une densidad muy alta y si el parámetro (b) es muy alto su colase alarga como vimos en la figura anterior.



Fuentes:

http://gredos.usal.es/jspui/handle/10366/83459http://www.coini.com.ar/COINI%202009/COINI%202008/Trabajos/TC3.pdf http://departamentos.unican.es/macc/asignaturas/informatica/estadistica/pdf/Cap4.pdf http://unbarquero.blogspot.com/2009/06/r-distribucion-gamma.htmlhttp://www.suratep.com/articulos/27/accidentalidad_vial.pdf

http://upcommons.upc.edu/pfc/bitstream/2099.1/8321/1/Memoria%20PFC.pdf http://www.aiaccess.net/English/Glossaries/GlosMod/e_gm_gamma_distri.htmhttp://upcommons.upc.edu/revistes/bitstream/2099/5616/1/Article03a.pdf http://office.microsoft.com/es-mx/excel-help/distr-gamma-HP005209101.aspx

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