distribución gamma y exponencial

DISTRIBUCIÓN GAMMA Y EXPONENCIAL

FCC BUAPLuis Alfredo Moctezuma

4/16/2016 Aprox. normal a la binomial, distribución gamma-exponencial

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Introducción

• Usada en t eo r í a de co l as y en p rob l e m a s d e confiabilidad

• Si se esta interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media λ, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma


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Función gamma,I

• La función gamma se define como

– Propiedades• Γ(α) = (α – 1)(α – 2) ··· (1) Γ (1)• Γ(α+1) = αΓ(α) • Γ(α) = (α − 1)! • Γ(1) = 1• Γ(1/2) = √π


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Distribución gamma,I

• La variable aleatoria continua X tiene una distribución gamma, con parámetros α y β, si su función de densidad está dada por

donde α > 0 y β > 0


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Distribución gamma,I,~

• La media de la distribución gamma esμ = αβ

• La varianza de la distribución gamma esσ2 = αβ2


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Distribución gamma, ejemplo 1

• En un estudio biomédico con ratas se utiliza una investigación de respuesta a la dosis para determinar el efecto de la dosis de un tóxico en su tiempo de supervivencia.

• El tóxico es producido por el combustible que utilizan los aviones y, en consecuencia, descargan con frecuencia a la atmósfera. Para cierta dosis del tóxico, el estudio determina que el tiempo de supervivencia de las ratas, en semanas, tiene una distribución gamma con

α = 5 y β = 10.¿Cuál es la probabilidad de que una rata no sobreviva más de 60 semanas?4/16/2016 Aprox. normal a la binomial, distribución

gamma-exponencial6

Distribución gamma, ejemplo 1,~

• Sea la variable aleatoria X el tiempo de supervivencia (tiempo hasta la muerte). La probabilidad que se requiere es

• Se puede resolver mediante la función gamma incompleta, que se convierte en la función de distribución acumulativa para la distribución gamma. Esta función se escribe como


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• Cambio de variable y = x/β, x = βy dx=βdy

• Que se denota como F(6; 5) en la tabla de la función gamma incompleta

P (X ≤ 60) = F (6; 5)= 0.7150


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Distribución gamma, ejemplo 2

• A partir de datos previos se sabe que la longitud de tiempo, en meses, entre las quejas de los clientes sobre cierto producto es una distribución gamma con α = 2 y β = 4.

• Se realizaron cambios para hacer más estrictos los requerimientos del control de calidad, después de los cuales pasaron 20 meses antes de la primera queja. ¿Parecería que los cambios realizados en el control de calidad resultaron eficaces?


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• Sea X el tiempo para que se presente la primera queja, el cual, en las condiciones anteriores a los cambios, seguía una distribución gamma con α = 2 y β = 4.

• La pregunta se centra alrededor de qué tan raro es X ≥ 20 dado que α y β permanecen con los valores 2 y 4, repectivamente.

• En otras palabras, en las condiciones anteriores ¿es razonable un “tiempo para la queja” tan grande como 20 meses?


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α = 2 y β = 4

• De nuevo, usando y=x/β x=yβ tenemos

Donde F(5; 2) = 0.96

• Como resultado, podríamos concluir que las condiciones de la distribución gamma con α = 2 y β = 4 no son sustentadas por los datos de que un tiempo observado para la queja sea tan extenso como 20 meses. Entonces, es razonable concluir que el trabajo de control de calidad resultó eficaz


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Distribución exponencial,I

• Describe el tiempo que transcurre hasta la ocurrencia de un evento de Poisson (o el tiempo entre eventos de Poisson)

• El tiempo (o espacio) que transcurre hasta que ocurre un número específico de eventos de Poisson es una variable aleatoria, cuya función de densidad es descrita por la distribución gamma


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Distribución exponencial,I,~

• La distribución gamma especial para la que α = 1 se llama distribución exponencial

• La variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial, con parámetro β, si su función de densidad es dada por


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Distribución exponencial,I,~

• La media de la distribución exponencial esμ = β

• La varianza de la distribución exponencial esσ2= β2


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Relación con el proceso de Poisson

• La relación entre la distribución exponencial y el proceso de Poisson se denominada exponencial negativa

• La distribución de Poisson con λ que se interpreta como

el número medio de eventos por unidad de tiempo


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Relación con el proceso de Poisson,~

• Considere ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento.

• Si utilizamos la distribución de Poisson, vemos que la probabilidad de que no ocurra algún evento, en el periodo hasta el tiempo t, es dada por


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• Si X es el tiempo para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que la duración del tiempo hasta el primer evento exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra algún evento de Poisson en x.

• Así, la función de distribución acumulativa para X es dada por


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• Ahora, para poder reconocer la presencia de la distribución exponencial, podemos diferenciar la función de distribución acumulativa anterior con el fin de obtener la función de densidad

Que es la función de densidad de la distribución exponencial con λ = 1/β


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Distribución exponencial,ejemplo 1

• Suponga que un sistema contiene cierto t ipo de componente cuyo tiempo de operación antes de fallar, en años, está dado por T.

• La variable aleatoria T se modela bien mediante la distribución exponencial con tiempo medio de operación antes de fa l lar β = 5. S i se insta lan 5 de estos componentes en diferentes sistemas

¿Cuál es la probabilidad de que al final de 8 años al menos dos aún funcionen?


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Distribución exponencial,ejemplo 1,~

• La probabilidad de que un componente determinado siga funcionando después de 8 años es dada por

≈ 0.2

• Representemos con X el número de componentes que todavía funcionan después de 8 años. Entonces, utilizando la distribución binomial tenemos


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• Se calcula el complemento de P(X≧2)


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La propiedad de falta de memoria y su efectoen la distribución exponencial

• Un componente electrónico, en el que la distribución del tiempo de vida es exponencial, la probabilidad de que el componente dure, por ejemplo, t horas, es decir, P(X > t), es igual que la probabilidad condicional

Si el componente “alcanza” las t0 horas, la probabilidad de que dure otras t horas es igual que la probabilidad de que dure t horas

Si la falla del componente es resultado del desgaste lento o gradual (por ejemplo,desgaste mecánico), entonces la distribución exponencial no es aplicable


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Distribución exponencial,ejemplo 2

• Suponga que las llamadas telefónicas que llegan a un conmutador particular siguen un proceso de Poisson con un promedio de 5 llamadas entrantes por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurra hasta un minuto en e l momento en que han ent rado 2 l lamadas a l conmutador?

Se aplica el proceso de Poisson, con un lapso de tiempo hasta que ocurren 2 eventos de Poisson que sigue una distribución gamma con β = 1/5 y α = 2.


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• X es el tiempo en minutos que transcurre antes de que lleguen 2 llamadas. La probabilidad que se requiere está dada por:


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Referencias

• Editor de formulas: https://www.mathway.com • Walpole,Myers.Probabilidad y estadística para ingeniería

y ciencias: Pearson


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