dissertacao estabilidade

Universidade Federal de Campina Grande

Centro de Engenharia Elétrica e Informática

Coordenação de Pós-Graduação em Informática

Uma Ferramenta de Avaliação de Estabilidade

Dinâmica para Sistemas Elétricos de Potência

Bruno Coitinho Araújo

Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em

Ciência da Computação da Universidade Federal de Campina Grande -

Campus I como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau

de Mestre em Ciência da Computação.

Área de Concentração: Ciência da Computação

Linha de Pesquisa: Engenharia de Software

Dr. Jacques Philippe Sauvé

Dr. Wellington Santos Mota

(Orientadores)

Campina Grande, Paraíba, Brasil

c©Bruno Coitinho Araújo, Julho de 2010

.

A663f Araújo, Bruno Coitinho. Uma ferramenta de avaliação de estabilidade dinâmica para sistemas elétricos de potência/Bruno Coitinho Araújo. ─ Campina Grande, 2010.

106 f.: il.

Dissertação (Mestrado em Ciência da Computação) – Universidade Federal de Campina Grande, Centro de Engenharia Elétrica e Informática. Orientadores: Prof. Dr. Jacques Philippe Suavé e Prof. Dr. Wellington Santos Mota.

Referências.

1. Sistemas Elétricos de Potência. 2. Avaliação de Estabilidade. 3. Análise Nodal de REI-Dimo. 4. Software On-line. I. Título.

CDU 621.311(043)

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UFCG

i

Resumo

Alguns centros de supervisão e controle de sistemas elétricos de potência não dipõem

de informações atualizadas sobre o estado de estabilidade dos sistemas supervisionados.

Em particular, no caso da Companhia Hidro Elétrica do São Francisco (CHESF), que é

subordinada ao Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS), a falta de informação com

respeito à estabilidade compromete o entendimento das ordens de operação enviadas pelo

ONS. Além de ser útil para entender as solicitações do ONS, a informação de estabilidade do

sistema de potência pode ser utilizada na tentativa de evitar futuras ocorrências, em especial

precaver-se contra possíveis blackouts ou interrupções do fornecimento de energia causados

pela instabilidade. Este trabalho teve como objetivo principal desenvolver uma ferramenta

de avaliação de estabilidade em sistemas elétricos de potência capaz de calcular a distância

para a instabilidade de forma on-line e exibi-la aos operadores. A ferramenta desenvolvida

foi validada com relação a outras técnicas de avaliação de estabilidade e foi implantada no

Centro Regional de Operação Leste (CROL) da CHESF. Como resultados da avaliação,

tem-se que 1) o software desenvolvido se comporta de forma consistente quando comparado

com execuções de fluxos de carga; 2) a técnica escolhida e implementada pôde ser verificada

através de dois exemplos numéricos encontrados na literatura e 3) a ferramenta consegue

calcular a informação de estabilidade de uma barra de carga do sistema elétrico em menos

de um segundo, e de todas as barras relevantes do CROL em menos de 20 segundos. Além

disso, um caso de utilização com sucesso da ferramenta foi relatado após a implantação da

mesma.

Palavras-chave: Sistemas Elétricos de Potência; Avaliação de Estabilidade; Análise

Nodal de REI-Dimo; Software On-line.

ii

Abstract

Some power system control centers do not have updated information about the stability

of the systems monitored. In particular, for the Companhia Hidro Elétrica do São Francisco

(CHESF), which is subordinate to the Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS), the

lack of information regarding stability compromises the understanding of operation orders

sent by ONS. Besides being useful for understanding the demands of ONS, the stability

information can be used in an attempt to prevent future occurrences, in special preventing

possible blackouts caused by instability. This work aimed to develop a on-line stability

assessment tool for electrical power systems capable of calculating the distance to the

instability and displaying it to system operators. The developed tool was validated with

respect to other stability assessment techniques and was deployed in Centro Regional de

Operação Leste (CROL) in CHESF. As evaluation results, we have that 1) the developed

software behaves consistently when compared to load-flow executions, 2) the implemented

technique was verified using two numerical examples found in literature and 3) the tool

can assess the stability information of a load bus in less than one second, and the stability

information of all relevant CROL buses in less than 20 seconds. After deployment, a

successful use of the tool was reported.

Keywords: Electrical Power Systems; Stability Assessment; REI-Dimo Nodal Analysis;

On-line Software.

iii

AgradecimentosGostaria de agradecer aos que, de maneiras diferentes, ajudaram a concluir este trabalho.

Primeiramente, agradeço grandemente a minha Anne Caroline. Nós iniciamos o

mestrado juntos, como noivos, e concluímos juntos, como marido e mulher. Sem sua ajuda e

incentivo, eu não teria sequer iniciado. Ajudou-me não apenas a perseverar durante todas as

fases do trabalho, mas também em uma infinidade de outros aspectos tão e mais importantes.

Agradeço especialmente por ela ser tão altruísta e companheira.

Muito obrigado a Maria Anete, minha mãe, e a Marcos Antônio, meu pai, por me

apoiarem tanto desde consigo lembrar. Posso imaginar vividamente sua alegria e o orgulho

em suas palavras. Não é necessário dizer que o imensurável apoio e moral passados a mim

por eles foram primordiais para esse feito. Agradeço insuficientemente a Rodrigo Souza e

Denise Vaz: sua amizade verdadeira foi motivadora em numerosos momentos.

Sou grato ao professor Jacques pela orientação prestada durante esses dois anos. Vários

obstáculos puderam ser ultrapassados por mérito de seu conhecimento e empenho. Agradeço

firmemente ao professor Wellington, que acabou por tornar-se tão importante na realização

deste trabalho – imaginar um sem o outro se tornou impossível. Por dezenas de vezes tirei

dúvidas, pedi auxílio, recebi conselhos. Sua paciência e serenidade são inconfundíveis.

Sou grato por ter participado da equipe do SmartAlarms, com a qual interagi ao longo

dos últimos anos: Jacques, Jorge, Peter, Eloi, Stéfani e os demais. De uma forma ou

de outra, o trabalho foi facilitado a partir da ajuda deles. Em especial, agradeço a Eloi

Rocha: sua inserção e compromisso com o projeto viabilizaram a finalização e implantação

do ferramental que foi produzido.

Aos engenheiros da CHESF: Sérgio de Araújo, Carlos Augusto e Gustavo Henrique,

pelas diversas contribuições prestadas ao trabalho.

Sou grato a todos que contribuíram de alguma forma com o trabalho, mesmo que não

esteja ciente neste momento de suas contribuições. Tenho certeza que a lista é enorme.

À CHESF pelo apoio financeiro e pela oportunidade de expor à prática os conhecimentos

desenvolvidos neste projeto de pesquisa.

iv

Conteúdo

1 Introdução 1

1.1 Objetivos da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Estrutura da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Sistemas Elétricos de Potência 7

2.1 Desempenho dos sistemas de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Avaliação de Segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Avaliação de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Técnicas de avaliação de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Análise Nodal de REI-Dimo 18

3.1 Entradas e Saídas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 REI Net . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Imagem Nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.3 Case Worsening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.4 Visualização da Informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Premissas e simplificações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Implementação do Método de Avaliação de Estabilidade Dinâmica 34

4.1 SmartAlarms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 SmartStability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 Tecnologia utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

v

CONTEÚDO vi

4.2.2 Requisitos do SmartStability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.3 Projeto arquitetural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.4 Projeto detalhado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Interface gráfica do SmartStability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Avaliação da Ferramenta de Avaliação de Estabilidade Dinâmica 53

5.1 Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1 Experimento 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1.2 Experimento 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1.3 Experimento 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1.4 Relato de experiência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Trabalhos Relacionados 72

7 Conclusão 76

7.1 Limitações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A Conceitos em sistemas elétricos de potência 83

A.1 Solução do fluxo de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.2 Calculando o valor máximo de potência consumida utilizando fluxos de carga 87

B Códigos fontes 88

B.1 Cálculo do dQ/dU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

B.2 Formato PSXML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

B.2.1 Exemplo de sistema com formato PSXML . . . . . . . . . . . . . 90

C Dados dos sistemas elétricos de potência 94

C.1 IEEE14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

C.2 IEEE30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

C.3 IEEE118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Lista de Siglas

ANAREDE Programa de Análise de Redes

ANEEL Agência Nacional de Engenharia Elétrica

ATC Capacidade de Transmissão Disponível (Available Transfer Capability)

CEPEL Centro de Pesquisas de Energia Elétrica

CHESF Companhia Hidro Elétrica do São Francisco

CROL Centro Regional de Operação Leste

DOEL Divisão de Estudos da Operação do Sistema Elétrico

EJB Enterprise JavaBeans

EMS Energy Management System

FC Fluxo de Carga

FIRJAN Federação das Indústrias do Estado do Rio de Janeiro

GQM Goal Question Metric

IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers

NERC North American Electric Reliability Corporation

ONS Operador Nacional do Sistema Elétrico

OO Orientado a Objetos

P&D Pesquisa & Desenvolvimento

vii

CONTEÚDO viii

PSXML PowerSystemXML

p.u. por unidade (per unit)

RMI Remote Method Invocation

SAGE Sistema Aberto de Gerenciamento de Energia

SCADA Supervisory Control and Data Acquisition

TTC Capacidade de Transmissão Total (Total Transfer Capability)

UFCG Universidade Federal de Campina Grande

ZPBN Zero Power Balance Network

Lista de Símbolos

B - Barra.

δ - Ângulo de carga (abertura ângular).

E - Tensão interna.

G - Gerador.

i - Índice de elemento genérico.

I - Corrente.

Icm - Corrente de curto-circuito full-load entre a carga de referência e gerador m.

K - Somatório das admitâncias entre os geradores e cargas (incluindo admitância entre

carga e terra).

L - Carga.

P - Potência ativa (ou real).

PL - Potência real consumida.

PG - Potência real gerada.

Pmax - Potência ativa máxima.

Pmin - Potência ativa mínima.

Q - Potência reativa.

QL - Potência reativa consumida.

QG - Potência reativa gerada.

Qmax - Potência reativa máxima.

Qmin - Potência reativa mínima.

R - Resistência.

S - Potência aparente.

Θ - Ângulo de tensão.

V - Tensão.

ix

CONTEÚDO x

|V| - Amplitude de tensão.

X - Reatância.

X ′d - Reatância transitória do eixo direto.

Y - Admitância.

Ybus - Matriz de admitâncias das linhas de transmissão.

Ybus - Matriz de admitâncias.

Z - Impedância.

Lista de Figuras

2.1 Limites da Capacidade de Transmissão Total (TTC). . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Classificação da estabilidade de sistemas de potência. . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Transições entre os estados de operação de um sistema de potência. . . . . 14

2.4 Distância para a instabilidade e o limite de estabilidade. . . . . . . . . . . 15

3.1 Dados de entrada e saída da técnica de Dimo para um sistema elétrico de N

barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Numeração dada às barras com geradores e cargas. Geradores estão

representados por G, cargas por L e barras de modo geral (sejam barras

de geração ou barras de carga) por B. A carga tomada por referência recebe

índice i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 A carga Li recebendo correntes de curto-circuito dos geradores do sistema.

A partir desta rede, é possível extrair a REI Net correspondente. . . . . . . 24

3.4 Representação de uma REI Net, que é caracterizada pelas correntes de

curto-circuito Ii−c e Ii−0 para uma carga Li. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5 Imagem nodal, mostrando as correntes de curto-circuito de um sistema. Ii−c

indica corrente full-load; Ii−0, corrente no-load; Ii−cm, full-load com relação

ao nó m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Mapeamento entre o critério de estabilidade dQ/dU e as imagens nodais. . 28

3.7 Detalhe do cálculo do dQ/dU nas imagens nodais para um gerador m. . . 28

3.8 Exemplos de possibilidades de deslocamento de pontos nas imagens nodais. 29

3.9 Gráfico que indica o estado atual do sistema (seta pontilhada) e sua distância

para a instabilidade (região indicada como vermelha). . . . . . . . . . . . . 31

3.10 Mesma informação contida na Figura 3.9, mas em forma de barras. . . . . . 31

xi

LISTA DE FIGURAS xii

4.1 SmartStability como um dos módulos do projeto SmartAlarms. . . . . . . . 35

4.2 Visão geral da arquitetura do SmartStability. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Relação entre o SmartStability e a técnica de Dimo. . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Estrutura de dados enviada para o SmartViewer. Métodos get e set simples

estão omitidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5 Diagrama com dependências entre os pacotes do SmartStability. O pacote

smart.stability.util é utilitário e possui dependências com quase todos os

demais pacotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6 Diagrama com as classes do pacote smart.stability.model.transf. . . . . . . 43

4.7 Diagrama de classes do pacote smart.stability.model.elimination. . . . . . . 44

4.8 Representação do algoritmo de case worsening desenvolvido. A cada

rotação anti-horária, novos pontos O′m, F ′m e I ′cm são formados. . . . . . . . 47

4.9 Tela inicial do SmartAlarms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.10 Visão do módulo de estabilidade SmartStability no sistema SmartAlarms. . 51

4.11 Detalhe: a) janela com a distância para a instabilidade de uma barra; b) janela

com contribuições dos geradores; e c) botão cuja ação é exibir a janela (b). . 52

5.1 Execução do SmartStability e do FC sobre m estados de operação diferentes

de um mesmo sistema de potência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Novos estados gerados a partir dos valores máximos de consumo encontrados. 56

5.3 Boxplot com os resultados do Experimento 1. O valor 100% indica o

resultado obtido utilizando fluxos de carga. O gráfico refere-se a 8 valores

para o IEEE14, 18 para IEEE30 e 53 para IEEE118. . . . . . . . . . . . . . 59

5.4 Sistema de potência descrito no artigo de Zaneta. . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Imagem nodal antes (caso base) e depois (estado crítico) do procedimento

de case worsening no sistema de Zaneta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.6 Diagrama do sistema de 6 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.7 Tempo de processamento por barra de 21 sistemas de potência. . . . . . . . 67

5.8 Paralelização do módulo SmartStability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

A.1 Diagrama do sistema de potência exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

LISTA DE FIGURAS xiii

A.2 Execução de fluxos de carga para encontrar o valor máximo de potência ativa

consumida pela carga Li antes que o FC divirja. . . . . . . . . . . . . . . . 87

C.1 Diagrama unifilar do sistema IEEE14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

C.2 Diagrama unifilar do sistema IEEE30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

C.3 Diagrama unifilar do sistema IEEE118. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Lista de Tabelas

5.1 Limites de carga para o sistema IEEE14 calculados com o fluxo de carga e

com o SmartStability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57





5.4 Tabela com os resultados do procedimento de case worsening . . . . . . . . 62

5.5 Tempo necessário para processar alguns sistemas. . . . . . . . . . . . . . . 66

5.6 Tempo de processamento total de 21 sistemas de potência com número de

barras crescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.1 Características de algumas técnicas de avaliação de estabilidade. . . . . . . 74

A.1 Parâmetros do sistema exemplo – linhas de transmissão. . . . . . . . . . . 85

A.2 Parâmetros do sistema exemplo – barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.3 Matriz de admitâncias Ybus do sistema exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . 86

C.1 Dados das barras do sistema IEEE14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

C.2 Dados das linhas de transmissão do sistema IEEE14. . . . . . . . . . . . . 97





xiv

Lista de Códigos Fonte

4.1 Procedimento implementado em MatrixBasedElimination. . . . . . . . . . 44

4.2 Algoritmo de case worsening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Função responsável por verificar se as potências dos geradores estão dentro

dos limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

B.1 Função que calcula o valor do dQ/dU a partir de uma imagem nodal. . . . 88

B.2 Função que recupera os pontos Fm do dQ/dU . . . . . . . . . . . . . . . . 88

B.3 Função que calcula os termos positivos do dQ/dU . . . . . . . . . . . . . . 89

B.4 Função que calcula o termo negativo do dQ/dU . . . . . . . . . . . . . . . 90

B.5 Sistema numérico de 4 barras descrito com PSXML. . . . . . . . . . . . . 91

xv

Capítulo 1

Introdução

Sistemas elétricos de potência são sistemas complexos responsáveis pela geração,

transmissão e distribuição da energia elétrica para as indústrias, domicílios e demais

consumidores. Esses sistemas estão sujeitos a perturbações externas – ou (contingências),

que podem ser perturbações gradativas, com o decorrer da operação do sistema, ou grandes, a

exemplo de perdas de linhas de transmissão ou falhas em equipamentos. Essas perturbações

podem ser suficientes para interromper o fornecimento de energia, podendo levar o sistema

a uma perda de estabilidade (blackout).

Os blackouts geram grandes prejuízos econômicos tanto para a empresa de energia

elétrica quanto potencialmente aos consumidores afetados. Além disso, é possível que as

falhas de equipamentos relacionadas com a contingência causem mortes humanas. Um

exemplo claro do prejuízo causado por falhas em sistemas elétricos foi o conjunto de

blackouts ocorridos em 2003 em vários lugares do mundo. No dia 14 de agosto de 2003,

os Estados Unidos enfrentaram um efeito em cascata que deixou quase todo o estado de

Nova Iorque no escuro, estendendo-se para outros estados até chegar ao Canadá. Em 23

de setembro, a Dinamarca e a Suécia ficaram com 4 milhões de consumidores sem energia,

seguidos de um efeito em cascata que se espalhou pelo resto da Escandinávia. Dias depois,

outro incidente na Europa deixou quase toda a Itália no escuro [ADF+05]. Somente para os

Estados Unidos, o prejuízo total estimado para o blackout do dia 14 de agosto foi entre 4 e

10 bilhões de dólares [Fin04]. No Brasil, o blackout do dia 10 de novembro de 2009 causou

prejuízo superior a 1 bilhão de reais apenas na cidade do Rio de Janeiro, segundo a Federação

das Indústrias do Estado do Rio de Janeiro (FIRJAN). Eventos como esses têm grandes

1

2

proporções econômicas e é de interesse que sejam evitados. Para tanto, deve-se manter os

sistemas de potência preparados para suportar um determinado número de contingências e

continuar operando corretamente: esse é o conceito de segurança de sistemas de potência

[Mei06]. Para manter o sistema em segurança, os operadores visualizam o estado do sistema

de potência utilizando aplicações de software de supervisão e controle, podendo interceder

quando necessário.

Os centros de supervisão e controle de redes de transmissão e distribuição dispõem

atualmente de sistemas computacionais que disponibilizam aos operadores, continuamente,

um conjunto de informações sobre o estado de um sistema de potência. Apesar de essas

informações ajudarem a realizar diagnósticos e a localizar algumas anormalidades existentes,

não são suficientes, por si só, para que os operadores do sistema elétrico possam prevenir ou

mitigar falhas iminentes, pois tratam basicamente do estado dos equipamentos do sistema

ou de alertas de eventos que já ocorreram, sem informações que determinem a condição

de segurança atual do sistema de potência ou, principalmente, sua condição de segurança

projetada diante de possíveis cenários de contingências. Com o objetivo de processar esses

dados brutos e adquirir informação sobre o estado de segurança do sistema de potência,

deve-se realizar um procedimento denominado de Avaliação de Segurança.

A avaliação de segurança tem por objetivo garantir que o estado de operação de

um sistema de potência seja um estado seguro. Um sistema de potência é dito seguro

quando os equipamentos do sistema são capazes de sobreviver a todos os cenários de

contingências definidos. Essa informação é útil aos operadores, pois poderá guiar suas ações

e ajudá-los a evitar, especialmente para o cenário considerado, que haja sobrecarregamento

de equipamentos. Avaliar a segurança dos sistemas de potência envolve avaliar a Capacidade

de Transmissão Total (TTC) de suas linhas de transmissão. Segundo a North American

Electric Reliability Corporation (NERC), a TTC é determinada pelo valor mais restritivo

(valor mínimo) dentre o limite de tensão, o limite térmico e o limite de estabilidade dos

sistemas de potência [Nor96]. Os limites de tensão e térmicos podem ser confiavelmente

definidos de forma off-line e reutilizados posteriormente. Eles são previsíveis e podem

inclusive ser violados. O limite de estabilidade, no entanto, varia com a topologia do sistema.

Um conceito relacionado ao limite de instabilidade é a distância para a instabilidade

(ou índice de estabilidade). A distância para a instabilidade mede a diferença do consumo

3

de potência entre o estado atual do sistema de potência e o estado no qual os geradores não

conseguem mais atender à demanda dos consumidores, perdendo sincronismo. A distância

para a instabilidade é uma propriedade dos sistemas de potência que se altera facilmente:

se houver aumento de carga, de geração ou mudanças na topologia, a distância para a

instabilidade mudará. Para se ter informação atualizada sobre a estabilidade do sistema

de potência, a distância para a instabilidade deve ser sempre recalculada, por conta de seu

aspecto dinâmico. Algumas técnicas de avaliação de estabilidade, capazes de determinar se

um dado estado de um sistema é estável ou instável, não têm sido eficazes em determinar

a distância para a instabilidade, ou seja, o quanto o sistema pode ser carregado antes que

a instabilidade ocorra; em especial, não têm sido capazes de determiná-lo em tempo real

[Sav05, p. 32] 1. O conjunto de ações responsável por estimar a estabilidade de um sistema

de potência chama-se Avaliação de Estabilidade. Idealmente, a avaliação de estabilidade

deve informar: 1) se o sistema encontra-se em um estado estável ou instável; e 2) quão

distante (ou próximo) o sistema se encontra da instabilidade.

Ao obter a primeira informação, um operador poderá saber se o estado do sistema

(após uma contingência, por exemplo) se encontra em blackout e, caso positivo, agirá para

prevenir essas contingência ou ao menos reduzir seus efeitos negativos. Entretanto, isso

não é suficiente para saber quão estável está o sistema, pois é necessária a quantificação

da distância para a instabilidade (segunda informação). Identificar se um estado é

estável/instável é mais fácil que quantificar a distância para a instabilidade. A execução

de um único Fluxo de Carga (FC)2 é suficiente para informar se um sistema está estável

ou não. No entanto, várias execuções de fluxos de carga seriam necessárias para calcular a

distância para a estabilidade de maneira off-line [Sav05, p. 32].

1A definição de “tempo real” utilizada neste trabalho é a de uma simulação em malha fechada, ou seja, um

software é em tempo real se ele consegue responder em tempo hábil para que o operador consiga intervir nos

eventos que originaram a execução do software. Uma simulação on-line ou off-line é de malha aberta, pois

não é rápida o suficiente para que o operador realize uma intervenção. Uma simulação off-line é utilizada em

planejamentos de médio ou longo prazo, enquanto que um software on-line pode ainda ser utilizado para guiar

a operação dos sistemas, por ter um tempo de resposta mais próximo da simulação em tempo real.2Fluxo de carga, fluxo de potência ou load flow é um problema matemático, formado por um conjunto de

equações algébricas, cuja solução permite determinar os valores de tensão e potência em cada um dos pontos

do sistema de potência em estudo.

4

Nesse contexto, tem-se que os operadores do sistema elétrico em alguns centros de

supervisão não possuem informação antecipada com relação à estabilidade do sistema de

potência. Apesar de existirem ferramentas capazes de calcular essa informação, elas não

foram construídas utilizando técnicas detalhadas totalmente na literatura. A ferramenta

QuickStab [QUI09], por exemplo, é capaz de calcular a informação de estabilidade de

forma rápida, mas parte da técnica utilizada em sua implementação não é divulgada por

motivos comerciais/industriais. Em particular, no caso da Companhia Hidro Elétrica do São

Francisco (CHESF), que é subordinada ao Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS),

a falta de informação com respeito à estabilidade compromete o entendimento por parte

da CHESF das ordens de operação enviadas pelo ONS. Além de ser útil para entender as

solicitações do ONS, a informação de estabilidade do sistema de potência pode ser utilizada

na tentativa de evitar futuras ocorrências, em especial precaver-se contra possíveis blackouts

ou interrupções do fornecimento de energia causados pela instabilidade.

Neste trabalho, uma ferramenta de avaliação de estabilidade on-line foi desenvolvida

e implantada na CHESF. Com ela, os operadores podem realizar um monitoramento

da estabilidade do sistema e identificar alguns equipamentos mais críticos, que merecem

maior atenção. A ferramenta foi validada com outras técnicas de avaliação de estabilidade,

mostrando que ela consegue calcular informação de estabilidade de uma barra de carga de um

sistema de até 240 barras em menos de um segundo ou de todas as barras relevantes desse

sistema em menos de 20 segundos. Após a implantação no Centro Regional de Operação

Leste da CHESF, um caso de utilização com sucesso da ferramenta foi relatado.

O presente trabalho está inserido em um projeto de P&D, intitulado SmartAlarms. O

SmartAlarms foi financiado pela Companhia Hidro Elétrica do São Francisco (CHESF) com

apoio da Agência Nacional de Engenharia Elétrica (ANEEL) e executado pela Universidade

Federal de Campina Grande (UFCG).

A CHESF é uma empresa cuja atuação envolve todo o Nordeste do Brasil, gerando e

transmitindo energia elétrica. O sistema responsável pelo controle e supervisão do processo

de geração e transmissão de energia elétrica chama-se Sistema Aberto de Gerenciamento de

Energia (SAGE). O SAGE é um sistema do tipo Supervisory Control and Data Acquisition

(SCADA) / Energy Management System (EMS), baseado em uma arquitetura distribuída e

redundante, e organizado em torno de um software gerente de banco de dados em tempo

1.1 Objetivos da dissertação 5

real. O SAGE foi desenvolvido pelo Centro de Pesquisas de Energia Elétrica (CEPEL)

do Ministério de Minas e Energia, sendo também usado por outras empresas do sistema

brasileiro de distribuição de energia [Sil98].

O objetivo do projeto SmartAlarms é a construção de uma ferramenta robusta para o

tratamento de eventos na rede de transmissão de energia elétrica da CHESF, e integrá-la ao

SAGE. A primeira versão do SmartAlarms, o SmartOne, é uma ferramenta de correlação

de eventos que utiliza uma técnica híbrida constituída de raciocínio baseado em regras e de

raciocínio baseado em modelos [Dua03]. Este trabalho está inserido na segunda versão do

projeto SmartAlarms: o SmartTwo.

1.1 Objetivos da dissertação

Esta dissertação tem como objetivo implementar uma ferramenta de avaliação de

estabilidade on-line e integrá-la ao SmartAlarms, como um novo módulo de software.

Esse novo módulo, denominado Módulo de Gestão Pró-Ativa, apresentará informação de

estabilidade de sistemas de potência para guiar os operadores em suas decisões.

Associado a este objetivo, está o de viabilizar a implantação e operação do módulo

de estabilidade no Centro Regional de Operação Leste (CROL / CHESF). No caso dos

operadores da CHESF, a ferramenta poderá auxiliá-los a entender e julgar melhor as

operações ordenadas pelo ONS.

Outro objetivo desta dissertação é divulgar em detalhes os algoritmos e conhecimentos

utilizados na implementação da ferramenta de avaliação de estabilidade.

1.2 Estrutura da dissertação

A dissertação está dividida em sete capítulos, incluindo esta introdução.

No Capítulo 2, são apresentados alguns conceitos de sistemas elétricos de potência,

avaliação de segurança e avaliação de estabilidade. Além disso, alguns métodos responsáveis

por realizar a avaliação de estabilidade são abordados nesse capítulo, bem como a

aplicabilidade desses métodos para o contexto do trabalho.

A Análise Nodal de REI-Dimo [Dim75], escolhida para realizar a avaliação de

1.2 Estrutura da dissertação 6

estabilidade, é apresentada com detalhes no Capítulo 3. Conceitos fundamentais para o

entendimento do método de Dimo, como REI Nets, imagens nodais e o case worsening, são

descritos nesse capítulo.

No Capítulo 4, são apresentados detalhes de implementação do módulo de software

SmartStability e como ele interage com outros sistemas da CHESF para realizar a avaliação

de estabilidade. A interface gráfica do módulo também é apresentada.

A avaliação experimento do método implementado encontra-se no Capítulo 5. Nele, são

descritos os experimentos que visam validar a técnica desenvolvida e avaliar o tempo de

processamento requerido.

Os trabalhos relacionados são apresentados no Capítulo 6 e as conclusões são dadas no

Capítulo 7.

Além dos capítulos acima descritos, existem ainda três apêndices: o Apêndice A

apresenta alguns conceitos mais detalhados em sistemas elétricos de potência, a exemplo

da solução do fluxo de carga; o Apêndice B descreve alguns algoritmos em pseudocódigo

do método implementado; por fim, o Apêndice C apresenta os dados – tensão e potência

das barras, resistência, reatância das linhas, etc. – dos sistemas de potência utilizados na

avaliação experimental do Capítulo 5.

Capítulo 2

Sistemas Elétricos de Potência

Sistemas elétricos de potência são responsáveis pelo processo de geração, transmissão e

distribuição de energia elétrica. A energia elétrica é produzida por geradores e transmitida

para subestações localizadas em áreas mais povoadas, de onde é distribuída até indústrias e

domicílios, dentre outros consumidores.

Os primeiros sistemas elétricos de potência, da década de 1880, eram sistemas isolados

e de proporção muito menor que os atuais. Consistiam, normalmente, em um único gerador

conectado a uma carga de tamanho apropriado, composta por fábricas, casas e da iluminação

de ruas [Mei06]. Com o passar do tempo, a crescente demanda por energia fez com que esses

sistemas isolados passassem a se interligar, formando sistemas maiores e mais abrangentes

geograficamente, atendendo a um número maior de clientes. À medida que os sistemas

elétricos tornaram-se mais interligados, mais complexo tornou-se o gerenciamento desses

sistemas e também as operações necessárias para manter seu desempenho.

2.1 Desempenho dos sistemas de potências

Gerenciar um sistema elétrico de potência para que ele se mantenha operante não

é uma tarefa trivial. Mudanças nas cargas, na geração ou na topologia podem causar

uma reconfiguração do sistema que leve a um estado de operação inadequado para os

consumidores ou mesmo a uma interrupção do fornecimento de energia.

O desempenho de um sistema de potência pode ser estudado a partir de duas

propriedades, a saber: segurança e estabilidade.

7

2.1 Desempenho dos sistemas de potências 8

2.1.1 Segurança

A segurança de um sistema elétrico de potência refere-se à sua capacidade de conseguir

sobreviver a perturbações iminentes sem interrupção de serviço em qualquer instante de

tempo [LM06]. Uma perturbação iminente, conhecida como contingência, é um evento que

pode acontecer a qualquer instante (evento possível), mas sem garantias de que realmente

acontecerá (evento incerto). Em um sistema inseguro, a ocorrência de uma perturbação como

o desligamento de linhas de transmissão ou problemas com geradores pode facilmente causar

um blackout. Isso acontece porque essas perturbações (contingências) podem provocar o

sobrecarregamento de um ou mais equipamentos do sistema. Um sistema preparado para

sofrer algumas contingências selecionadas (mas não todas nem em qualquer quantidade) e

continuar funcionando sem interrupção está em um estado de operação seguro [Mei06].

Em sistemas de potência, um critério de segurança padrão é o critério N-1 (Normal

menos um), também conhecido como critério da suportabilidade à 1a contingência, que

indica que o sistema deve se manter funcional após a perda de um de seus elementos, como

linhas, transformadores, geradores, etc. [Mei06, p. 234]. Para um sistema de transmissão,

esse critério de segurança pode ser alcançado a partir da limitação na transmissão de potência

de cada linha, criando “rotas alternativas”: se alguma linha for perdida, a potência que

passava por ela poderá fluir por outro caminho, pois cada uma das outras linhas poderá

acomodar um pouco da potência excedente, pois possuem uma reserva na capacidade de

transmissão. Desta forma, para garantir o critério N-1, basta limitar a transmissão de

potência nas linhas adequadamente. Obviamente, após a perda de uma linha, o aumento

na transmissão de potência nas demais deixará o sistema mais frágil, pois diminuirá as

reservas de segurança nas linhas restantes, fazendo-as aproximarem-se de sua Capacidade de

Transmissão Total (TTC), após a qual o sistema deixará de funcionar corretamente. Segundo

a NERC, a TTC é determinada pelo valor mais restritivo (valor mínimo) dentre os seguintes

limites físicos/elétricos [Nor96]:

• Limite térmico – os limites térmicos estabelecem a quantidade máxima de corrente

elétrica que uma linha de transmissão pode conduzir, por um período de tempo, antes

que danos permanentes aconteçam à linha (através de superaquecimento);

• Limite de tensão – este limite refere-se aos valores máximo e mínimo aceitáveis para


a tensão. O não-cumprimento destes limites pode causar danos ao sistema elétrico

ou aos equipamentos dos consumidores por conta de um fornecimento inadequado de

potência elétrica;

• Limite de estabilidade – o limite de estabilidade representa a quantidade máxima de

carga que o sistema pode atender antes que ele entre em instabilidade (blackout).

A Figura 2.1 apresenta como a TTC se comporta no tempo com relação aos três limites

descritos.

Limite Térmico

Transmissão de Potência

A para B(MW)

Limite de Estabilidade

Limite de Tensão

Capacidade de Transmissão Total

(TTC)

Tempo

Figura 2.1: Limites da Capacidade de Transmissão Total (TTC). Obtido de [CIG07].

Portanto, para determinar a Capacidade de Transmissão Total é necessário conhecer os

valores dos três limites citados. Os limites de tensão e térmicos podem ser confiavelmente

definidos de forma off-line e reutilizados posteriormente. Eles são previsíveis e podem

inclusive ser violados. O limite de estabilidade, no entanto, varia com a topologia do sistema.

2.1.2 Estabilidade

Segurança e estabilidade são termos relacionados. A segurança de um sistema elétrico é

uma condição instantânea, variante no tempo e é função da robustez do sistema com relação a

perturbações iminentes. A estabilidade é um conceito mais restrito, referente à continuidade


da operação sincronizada e paralela dos geradores, que são máquinas síncronas dos sistemas

elétricos. A estabilidade é um fator muito importante de segurança [CIG07, p. “2-1”].

O termo “estabilidade” é uma aplicação rigorosa da estabilidade da física, baseada no

conceito de equilíbrio. Existem dois tipos de equilíbrio: o equilíbrio estável e o equilíbrio

instável. A estabilidade é a propriedade física de um sistema qualquer (não necessariamente

elétrico), após uma perturbação, retornar para seu estado de equilíbrio. Quanto maior for

uma perturbação, mais difícil é para o sistema voltar para o equilíbrio, existindo certo ponto

em que a perturbação é tão forte que retira o sistema da estabilidade e o passa para um estado

dito instável. Um sistema instável é incapaz de retornar para seu estado de equilíbrio [Mei06,

p. 235].

O conceito de estabilidade também se aplica aos sistemas de potência. Nesse caso, o

“equilíbrio” é o estado em que os geradores estão em sincronismo.

Um sistema de potência está “em estabilidade” enquanto ainda for possível restaurar

o sincronismo entre os geradores interligados. A partir de determinado ponto, a falta de

sincronismo entre os geradores é tamanha que não há mais volta: o sistema entra em

instabilidade, ocasionando um blackout.

Classificação da estabilidade de sistemas de potência

A Figura 2.2 mostra os tipos de estabilidade dos sistemas de potência e sua hierarquia.

Existem os seguintes tipos de estabilidade [VCC07, p. “2-1”]:

Estabilidade de Ângulo do Rotor

Estabilidade de Freqüência

EstabilidadeTransitória

EstabilidadeDinâmica

Estabilidade de Tensão de Curto Prazo

Estabilidade de Tensão

Estabilidade de Tensão de Longo Prazo

Curto Prazo

Longo Prazo

Dirigido a Geradores

Dirigido a Cargas

Figura 2.2: Classificação da estabilidade de sistemas de potência.


• Estabilidade de Ângulo de Rotor – a estabilidade de ângulo de rotor se refere à

habilidade das máquinas síncronas de sistemas de potência interligados em manter-se

em sincronismo sob condições normais de operação e após uma perturbação. É

subdividida em estabilidade transitória (o sincronismo é mantido após severas

perturbações?) e estabilidade dinâmica (o sincronismo é mantido após pequenas

perturbações?).

• Estabilidade de Freqüência – a estabilidade de freqüência é a capacidade de um

sistema de potência em manter a freqüência dentro de uma faixa determinada após uma

perturbação do sistema que possa resultar na subdivisão do sistema em subsistemas.

• Estabilidade de Tensão – a estabilidade de tensão é a capacidade do sistema de

potência em manter valores de tensão aceitáveis em todas as barras do sistema sob

as condições normais de operação e após uma perturbação. Ao ultrapassar este limite,

as tensões entram em colapso [Sav09, p. 30]. É subdividida em estabilidade de tensão

de curto e de longo prazo.

Na Figura 2.2, é possível observar que alguns tipos de estabilidade são referentes ao

longo prazo enquanto outros são de curto prazo. Algumas estabilidades são dirigidas a

geradores – as operações para encontrar o limite de estabilidade alteram o estado dos

geradores do sistema –, enquanto outras são dirigidas a cargas – as alterações ocorrem nas

cargas.

Para cada tipo de estabilidade, existe um limite de estabilidade correspondente. Esses

limites caracterizam até que ponto o sistema de potência pode operar antes de entrar no

estado de instabilidade de tensão, de ângulo de rotor ou de freqüência. Um dos objetivos da

avaliação de segurança (Seção 2.2) é encontrar esses limites de estabilidade.

Dentre os tipos de estabilidade listados na Figura 2.2, apenas três são relevantes em um

cenário de execução on-line: estabilidade transitória, estabilidade dinâmica e estabilidade de

tensão (de curto prazo). Os demais tipos de estabilidade referem-se a estudos off-line, pois

são de longo prazo.

2.2 Avaliação de Segurança 12

2.2 Avaliação de Segurança

O monitoramento e controle dos sistemas de potência com o intuito de mantê-los em

segurança, ou seja, mantê-los sempre que possível no “estado normal” de operação, é

conhecido como Avaliação de Segurança. Além do estado de operação normal, existem

outros quatro estados de operação em que o sistema de potência pode se encontrar em virtude

de sobrecarregamento ou da ocorrência de contingências.

Estados de operação dos sistemas de potência

Os estados de operação de um sistema de potência são classificados de acordo com o seu

nível de segurança. Um sistema é dito estar em um estado de operação específico a depender

da maneira que ele satisfaz a três conjuntos de equações gerais – um de equações diferenciais

e dois de equações algébricas –, que representam restrições [CIG07, p. “2-2”]. Caso todas

as equações forem satisfeitas, o sistema é dito estar em segurança. Parte das equações

diferenciais diz respeito ao comportamento dinâmico do sistema elétrico e são as equações

utilizadas em um programa de estabilidade transitória. As equações algébricas especificam

a igualdade (balanço) que deve existir entre a potência das cargas e dos geradores, e são

as equações utilizadas em um fluxo de carga1. As equações restantes são, na verdade,

inequações que indicam os limites na transmissão de potência das linhas e das barras. Nesse

último grupo incluem-se o limite de estabilidade.

Os estados de operação são:

• Estado Normal – no estado normal ou seguro, todas as restrições são satisfeitas. Isso

significa que a) existe um balanço entre a potência das cargas e dos geradores, b)

nenhum equipamento está sobrecarregado e c) as reservas de segurança são suficientes

para resistir a qualquer contingência nos limites operativos.

• Estado de Alerta – no estado de alerta, todas as restrições são satisfeitas, mas as

reservas de segurança não são suficientes para garantir que após uma contingência as

restrições continuarão sendo satisfeitas. Nesse contexto, medidas devem ser tomadas

para fazer o sistema voltar para o “estado normal”.

1Maiores detalhes sobre fluxos de carga podem ser encontrados no Apêndice A.1.

2.2 Avaliação de Segurança 13

• Estado de Emergência – um sistema pode chegar ao estado de emergência de duas

formas: se ele estiver no “estado normal” e sofrer uma contingência muito severa ou

se ele estiver no “estado de alerta” e, antes de tomar ações para retorná-lo ao “estado

normal”, sofrer outra contingência. Em ambos os casos, o sistema de potência estará

no estado de operação de emergência se ao menos uma das restrições representadas

por inequações for violada. Nesse cenário, apesar de alguns equipamentos estarem

sobrecarregados, ainda é possível retornar o sistema ao “estado normal” (ou ao menos

para o “estado de alerta”) após ações corretivas adequadas.

• Estado In Extremis2 – um sistema pode passar para o estado “in extremis” vindo do

“estado de alerta”, no caso de uma perturbação severa, ou do “estado de emergência”,

quando nenhuma medida corretiva for tomada, mesmo sem ocorrência de nova

perturbação. Nesse estado, tanto as inequações quanto as equações que representam

restrições encontram-se violadas. O sistema perde sincronismo, efeitos em cascata

e possivelmente desligamento da maior parte do sistema. Ações podem ser tomadas

no sentido de tornar os danos os menores possíveis na tentativa de evitar um blackout

generalizado.

• Estado de Restauração – no “estado de restauração”, o operador realiza ações de

controle para reconectar todos os equipamentos e restaurar todas as cargas. Depois

de reestabelecido, o sistema pode atingir o estado normal ou o estado de alerta,

dependendo das condições.

A Figura 2.3 ilustra as mudanças entre os estados de operação. Perceba-se que mesmo em

estados de operação de caráter urgente, como o “estado de emergência”, o sistema permanece

intacto (funcional), porém vulnerável contra contingências.

2In Extremis é uma expressão em latim que significa “à beira da morte”, “em situação muito difícil”.

2.3 Avaliação de Estabilidade 14

Estado Normal

Restauração

In Extremis

Sistema intacto

Sistema

não-intacto

Estado Normal

Estado de

Alerta

Emergência

Sistema intacto

Sistema

intacto

Figura 2.3: Transições entre os estados de operação de um sistema de potência. Adaptado

de [CIG07].

2.3 Avaliação de Estabilidade

A avaliação de estabilidade3 é um fator importante para a avaliação de segurança, pois

auxilia na determinação da condição de estabilidade do sistema e na identificação dos limites

de estabilidade [CIG07, p. “2-1”]. Idealmente, a avaliação de estabilidade deve responder às

seguintes questões:

• O sistema se encontra em um estado estável ou instável?

• Quão distante o sistema se encontra da instabilidade?

A Figura 2.4 mostra o ponto a partir do qual o sistema entra em instabilidade, à medida

que o ângulo de tensão (δ) cresce, indicando a aproximação do sistema à instabilidade.

Essa figura ajuda a entender visualmente quais variáveis a avaliação de estabilidade visa

3“Avaliação”, neste caso, possui o sentido de “dar valor”, “estimar”.


identificar: a distância para a instabilidade e o limite de estabilidade. A distância para a

instabilidade é uma medida que se refere à carga máxima que pode ser adicionada ao estado

atual de um sistema sem que ele entre em instabilidade. Essa medida de distância pode ser

utilizada como meio de estimar o limite de estabilidade, que indica a quantidade de carga

que o sistema pode suportar sem passar para um estado de operação inseguro.

MW

δ

Instabilidade (blackout)

Máximo de carga em MW antes de blackout

Região insegura

Região potencialmente insegura

Limite de carga em MW seguro

Carga em MW atual

Quão distante

do blackout?

Qual é o limite

de operação

seguro?

δd

dP

Figura 2.4: Distância para a instabilidade e o limite de estabilidade. Adaptado de [Sav05].

Ao ter a resposta da primeira questão, um operador poderá saber se o estado do sistema

(após uma contingência, por exemplo) se encontra em blackout e, caso positivo, agirá para

prevenir essas contingência ou ao menos reduzir seus efeitos negativos. Entretanto, ao se

responder à primeira questão, não se obtém informação sobre quão estável está o sistema.

A resposta da segunda questão consegue fornecer essa informação quantificando a distância

para a instabilidade. Identificar se um estado é estável/instável é mais fácil que quantificar

a distância para a instabilidade.

A subseção a seguir descreve algumas técnicas utilizadas na avaliação de estabilidade e

apresenta a aplicabilidade das mesmas no contexto deste trabalho.


2.3.1 Técnicas de avaliação de estabilidade

Existem algumas técnicas de avaliação de estabilidade transitória que satisfatoriamente

determinam se uma condição é de estabilidade ou instabilidade de forma on-line. Dentre

elas, destacam-se as simulações no domínio do tempo e métodos de uma única máquina

equivalente [ZC96].

A análise de estabilidade transitória possui, no entanto, uma dificuldade intrínseca,

independente da técnica utilizada: ela informa apenas se o caso base inicial do sistema de

potência está estável e permanece estável para cada contingência avaliada, mas não consegue

determinar rapidamente a distância para a instabilidade (ou índice de instabilidade) nem

provê uma margem segura onde nenhuma contingência causaria instabilidade. Para que a

distância para a instabilidade seja avaliada, é necessário que o sistema seja “estressado”

gradativamente, aumentando, por exemplo, a potência em MW gerada pelas máquinas ou

gradativamente aumentando as cargas. O processo inverso de diminuir a potência gerada das

máquinas poderia ser utilizado para encontrar margens seguras de operação. O problema é

que para cada passo do processo de “estresse” do sistema de potência, todos os cálculos da

estabilidade transitória devem ser realizados novamente. Esse processo exaustivo demanda

muito tempo e é virtualmente impossível num cenário real [Sav09, p. 30].

Existe uma técnica que realiza a avaliação da estabilidade de tensão e da estabilidade

dinâmica em tempo real: a Análise Nodal de REI-Dimo. Essa técnica é capaz de mensurar

a distância para a instabilidade de forma muito rápida (em tempo real), além de ser um

método implantado e testado em campo há anos [Sav05]. Além disso, também é possível

utilizar a técnica de Dimo para calcular a distância para a estabilidade após o sistema ser

submetido a uma grande perturbação, dado que as estruturas internas da técnica de Dimo

sejam atualizadas para refletir o novo estado do sistema [Dim75, cap. 7, p.93].

Diante desse contexto, escolheu-se a técnica de Dimo para ser desenvolvida no trabalho

por se apresentar na avaliação de estabilidade de tensão e na estabilidade dinâmica. Além

disso, por ser uma técnica cuja implementação em tempo real já foi relatada diversas vezes,

inclusive no Review of On-line Dynamic Security Assessment Tools and Techniques [CIG07].

O problema das ferramentas existentes da técnica de Dimo é que são ferramentas comerciais

caras e que o conhecimento da técnica de Dimo, embora parcialmente divulgado, não é na

sua totalidade público. Este trabalho visa, além de implementar a técnica de Dimo, expor os


detalhes necessários para futuras implementações ou melhorias.

No próximo capítulo, a Análise Nodal de REI-Dimo é apresentada e explicada. Os dados

de entrada necessários e a técnica em si são descritas. Os aspectos de implementação e

implantação do módulo SmartStability encontram-se no Capítulo 4.

Capítulo 3

Análise Nodal de REI-Dimo

Uma metodologia rápida e confiável de análise de sistemas de potência foi desenvolvida

por Paul Dimo na década de 1960 [Dim75]. Essa metodologia é conhecida como a Análise

Nodal de REI-Dimo e oferece soluções para várias questões de sistemas de potência,

como problemas de equivalência de sistemas elétricos e análise de estabilidade dinâmica

e transitória [EOS94]. Além disso, essa metodologia oferece uma forma de visualização

para exibição das informações.

A análise nodal de Dimo é capaz de mensurar a distância para a instabilidade de forma

muito rápida (em tempo real), além de ser um método implantado e testado em campo em

países como a Bósnia, Romênia e Panamá [CIG07].

As seções a seguir descrevem a Análise Nodal de REI-Dimo, apresentando as

informações de entrada e saída da técnica e seus conceitos.

3.1 Entradas e Saídas

A técnica de Dimo tem como entrada a matriz de admitâncias Ybus e as tensões V

(magnitudes e ângulos) das barras do sistema. Ambas as informações podem ser obtidas

como parte do resultado de um fluxo de carga1 aplicado sobre o modelo do sistema

elétrico. Os elementos da matriz Ybus, formados a partir das admitâncias entre as linhas

de transmissão, são definidos da seguinte maneira:

1Maiores detalhes sobre fluxos de carga podem ser encontrados no Apêndice A.1.

18

3.1 Entradas e Saídas 19

• Elementos da diagonal principal (Yii) – são iguais à soma de todas as admitâncias

ligadas à barra i, multiplicada por -1 (inversão de sinal)2.

• Elementos fora da diagonal principal (Yik, com i 6= k) – são iguais à admitância entre

a barra i e a barra k.

A partir de sucessivas transformações nas variáveis Ybus e V , obtém-se um sistema

elétrico reduzido, contendo os geradores do sistema e uma única carga, tomada por

referência. A técnica de Dimo então trabalha sobre esse sistema reduzido (chamado de “REI

Net”, maiores detalhes na seção 3.2.1).

A partir do sistema reduzido, pode-se calcular a distância para a instabilidade de um

estado qualquer de um sistema elétrico. Na realidade, é calculado um valor de distância para

a instabilidade para cada barra de geração do sistema elétrico. Portanto, se um sistema

elétrico possuir N geradores, a técnica de Dimo medirá – individualmente para cada um dos

N geradores – a quantidade de carga que ainda pode ser adicionada ao sistema antes que a

barra de geração entre em instabilidade.

A Figura 3.1 exibe um fluxo de informações com respeito aos dados de entrada e saída

citados. Perceba-se que a entrada consiste da matriz de admitâncias Ybus e das tensões V

e a saída é caracterizada por um valor de distância para a instabilidade para cada barra de

geração do sistema.

Fluxo de carga REI-Dimo

Distância para a instabilidade

(Barra 1)


(Barra 2)


(Barra n)

...

Ybus

, V

Figura 3.1: Dados de entrada e saída da técnica de Dimo para um sistema elétrico de N

barras.2Na Análise Nodal de REI-Dimo, os sinais de todos os elementos da matriz Ybus são invertidos com relação

aos convencionalmente utilizados.

3.2 Conceitos Básicos 20

A próxima seção trata dos novos conceitos envolvidos no método de REI-Dimo e como,

a partir das entradas apresentadas, ele consegue calcular a distância para a instabilidade.

3.2 Conceitos Básicos

Os principais conceitos envolvidos no método de Dimo são [Sav05, p. 39]:

1. As REI Nets, a partir da transformação da representação de correntes de curto-circuito

de um sistema.

2. As Imagens Nodais, que são uma representação vetorial das correntes de

curto-circuito.

3. A utilização de um critério de estabilidade dinâmica em conjunção com as imagens

nodais.

4. O procedimento de case worsening para computar estados do sistema sucessivamente

mais degradados, enquanto realiza-se a análise de estabilidade em todo o sistema.

Esta seção tem por objetivo descrever os conceitos citados. Além disso, a visualização

dessa informação também será discutida.

3.2.1 REI Net

As REI Nets são parte fundamental da Análise Nodal de REI-Dimo. A partir delas, é

possível examinar o estado dos nós do sistema elétrico. Os nós referem-se às barras dos

sistemas de potência e podem indicar os geradores ou cargas de um sistema.

As REI Nets são redes elétricas com formato padrão: são Radiais (R), Equivalentes (E)

e Independentes (I). Radiais, pois a potência é transmitida de um nó para outro através de

um caminho sem loops ou retornos3. Equivalentes, pois para um nó específico tomado em

consideração, as REI Nets fazem equivalência ao resto do sistema (através de eliminação de

algumas barras). Por último, são independentes de quaisquer outras circunstâncias, desde

3Em redes elétricas de topologia radial, o fluxo começa em um ponto inicial e termina no último nó (sem

retornos). Ele pode, no entanto, se ramificar.


que aplique-se aos terminais dos ramos radiais a mesma tensão aplicada à rede original

[Dim75, p. 23].

Normalmente, um sistema de potência real tem uma configuração em rede (com loops), e

não radial, como as REI Nets. As REI Nets são, então, uma síntese de um sistema de potência

qualquer em uma nova estrutura, que fornece um novo conjunto de informações. Essa nova

estrutura é uma simplificação baseada em suposições sólidas sobre o sistema de potência.

Correntes de curto-circuito

As correntes de curto-circuito de um sistema de potência são o ponto de partida na

criação das REI Nets. Para calcular essas correntes, deve-se primeiramente conhecer o

estado – tensão, correntes injetadas, transmissão de potência – de cada nó (barra) do sistema

de potência. Esse estado pode ser representado através da seguinte equação:

I = Ybus × V (3.1)

em que I é o vetor de correntes injetadas nos nós, Ybus (também chamada de Y ) é a matriz

de admitâncias complexas nodais e V é o vetor de tensões complexas das barras [Sav05].

A potência do sistema pode ser relacionada com a corrente e tensão da seguinte forma:

Sk = I∗k ·Vk (3.2)

em que Sk é a potência complexa da barra k, I∗k é a corrente complexa conjugada injetada na

barra k e Vk é a tensão complexa da barra k.

Considere-se, então, um sistema de potência genérico com g barras de geração e n barras

de carga (totalizando g+n barras). A equação que representa este sistema, uma extensão da

Equação (3.1), é descrita por:


I1

I2...

Ig

Ig+1

...

Ig+n

=

Y1,1 Y1,2 · · · Y1,g Y1,g+1 · · · Y1,g+n

Y2,1 Y2,2 · · · Y2,g Y2,g+1 · · · Y2,g+n

...... . . . ...

... · · · ...

Yg,1 Yg,2 · · · Yg,g Yg,g+1 · · · Yg,g+n

Yg+1,1 Yg+1,2 · · · Yg+1,g Yg+1,g+1 · · · Yg+1,g+n

...... · · · · · · · · · . . . ...

Yg+n,1 Yg+n,2 · · · Yg+n,g Yg+n,g+1 · · · Yg+n,g+n

×

V1

V2

...

Vg

Vg+1

...

Vg+n

(3.3)

A Equação (3.3) sumariza todo o sistema com relação a correntes, tensões, potências,

impedâncias/admitâncias, etc. A partir dela, é possível calcular o impacto de cada gerador

sobre uma barra de carga específica, escolhida como foco. Em outras palavras, é possível

manipular matematicamente as variáveis I , Ybus e V de modo a encontrar uma rede elétrica

alternativa em que é possível “visualizar” o comportamento dos geradores com relação a uma

barra de carga qualquer (que será indexada por i, onde g+ 1 ≤ i ≤ n, conforme Figura 3.2).

O processo utilizado para calcular essa rede alternativa chama-se transformação de correntes

de curto-circuito [Sav05, p. 40].

...

G1 G2 Gg L1 L2 Li Ln

...

Geradores Cargas

...

B1 B2 Bg Bg+1 Bg+2 Bg+i Bg+n

Figura 3.2: Numeração dada às barras com geradores e cargas. Geradores estão

representados por G, cargas por L e barras de modo geral (sejam barras de geração ou barras

de carga) por B. A carga tomada por referência recebe índice i.

O procedimento padrão para calcular o estado do sistema “como visto” a partir da carga

tomada como referência, Li, é:

1. Eliminar todas as outras barras de carga – zerar as correntes injetadas das outras

barras de carga (isto é, zerar todas as correntes Ik com exceção de Ii, gerando um novo


vetor de correntes, I ′). Além disso, deve-se adicionar à matriz Ybus uma admitância4

correspondente à retirada da carga, gerando Y ′bus. O vetor V permanece inalterado.

2. Realizar eliminação de Gauss – executar o método de eliminação de Gauss no sistema

de equações resultante (I ′, Y ′bus e V ) até que o sistema contenha apenas os geradores e

a carga escolhida, ou seja, até que possua apenas G1, G2, · · · , Gg e Li.

Inicialmente, o sistema de equações obtido de (3.1) possui g + n equações. Após a

eliminação de Gauss, ele passará a possuir apenas g + 1 equações, sendo a última equação

referente à carga escolhida como foco, Li. A partir dessa última equação, podem ser

extraídas as correntes individuais que saem dos geradores e vão até a carga Li. A corrente

de curto-circuito Ii que passa por Li é calculada da seguinte forma:

Ii = Ii−c − Ii−0 (3.4)

em que

Ii−c =∑m

Yi,mEm (3.5)

é a corrente de curto-circuito trifásica simétrica com carga (full-load), e

Ii−0 = ((∑m

Yi,m) + Yi,0)Vi (3.6)

é a corrente de curto-circuito sem carga (no-load) entre os geradores e a carga Li [Sav05]. A

resultante entre as duas correntes de curto-circuito, full-load e no-load, é a corrente no nó i.

Um exemplo de uma rede de sistema de potência após a eliminação de Gauss é ilustrado

na Figura 3.3, enquanto que na Figura 3.4 é apresentada a REI Net correspondente.

4Admitância que corresponde à carga da barra representada por impedância constante.


Em

EgE1

Eim

Li

Ii = Σ YimEm-(Σ Yi + Yio)Vi

YioYi = Σ Yim+Yio

Ii = Ii-c - Ii-o

Figura 3.3: A carga Li recebendo correntes de curto-circuito dos geradores do sistema. A

partir desta rede, é possível extrair a REI Net correspondente. Adaptado de [Sav05].


Gm

Gg

G1I mi-c

Li

Σ I mi-c= Ii-c

Ii-0 Ii

Corrente de curto-circuito full-load

Corrente da cargaCorrente de

curto-circuito

no-load

Figura 3.4: Representação de uma REI Net, que é caracterizada pelas correntes de

curto-circuito Ii−c e Ii−0 para uma carga Li. Adaptado de [Sav05].

A REI Net é o ponto de partida no estudo de estabilidade da técnica de Dimo. A partir

dela, outra estrutura importante é criada: a Imagem Nodal. A seção a seguir descreve as

imagens nodais e explica sua importância na avaliação de estabilidade.

3.2.2 Imagem Nodal

As imagens nodais são uma representação gráfica das REI Nets, sendo obtidas através

do “plot” das correntes de curto-circuito (Ii−c e Ii−0) em forma de vetores. Assim como as

REI Nets, as imagens nodais tomam por referência uma única barra de carga do sistema (a

carga Li) e apresenta as informações de corrente, tensão, etc., de cada gerador com relação

a esta carga. A Figura 3.5 ilustra uma imagem nodal para um sistema qualquer. Observe-se

que nas imagens nodais o eixo das ordenadas representa a parte real da corrente e o eixo das

abscissas, a parte imaginária.


I(Re)

0

m

1−m

cmiI

−

γ

I(Imag)

ciI

−

0−iI

iI

iwI

idI

Figura 3.5: Imagem nodal, mostrando as correntes de curto-circuito de um sistema. Ii−c

indica corrente full-load; Ii−0, corrente no-load; Ii−cm, full-load com relação ao nó m.

Adaptado de [Dim75, p. 52]

Nessa figura, é possível observar:

• A corrente de curto-circuito full-load (Ii−c), composta de correntes Ii−m, em que m

(1 ≤ m ≤ g) indexa cada gerador.

• A corrente de curto-circuito no-load (Ii−0).

• A corrente total da carga de referência (Ii), resultado da subtração de Ii−c por Ii−0.

• A parte imaginária (Iid) e a parte real (Iiw) da corrente Ii.

• O ângulo γ, formado pelo eixo das abscissas (parte imaginária) e o vetor Ii−0.

O que faz com que as imagens nodais sejam tão importantes é que, a partir do gráfico

da imagem nodal e usando apenas manipulações geométricas e visuais, é possível alterar

o estado do sistema elétrico de uma maneira controlada, sem necessidade de rodar novos

fluxos de carga para encontrar a solução do sistema de potência.

É importante perceber que apesar de as imagens nodais fornecerem um meio de

visualização sobre o sistema elétrico, elas apresentam informação muito técnica (envolvendo

correntes, ângulos, tensões, etc.) e não são adequadas para uma leitura simplificada e rápida


do estado do sistema. Uma outra forma de visualização, proposta em [Sav05], permite

visualizar apenas a distância para a instabilidade – objetivo final da técnica de Dimo – de

forma intuitiva (ver Seção 3.2.4 para detalhes).

3.2.3 Case Worsening

O case worsening é um procedimento que visa encontrar o estado a partir do qual um

sistema pode ser considerado “em instabilidade”. Isso é possível devido à capacidade das

imagens nodais de refletir, a partir de seus componentes gráficos, o estado físico de um

sistema. O procedimento de case worsening consiste em realizar modificações geométricas

sucessivas nas contribuições dos geradores (vetores do tipo Ii−cm da Figura 3.5). Essas

modificações representam alterações nas produções dos geradores ou nas cargas do sistema

de potência. Para saber se um estado representado pela imagem nodal é estável ou instável, é

utilizado o critério dQ/dU , que indica se o sistema passou pelo topo da curva de estabilidade

[Sav05, p. 56]. Se dQ/dU for menor que zero, o sistema está estável. Caso seja maior que

zero, o sistema está em instabilidade. Se dQ/dU for exatamente igual a zero, o sistema é

teoricamente estável, mas por razões práticas é considerado instável.

Dimo conseguiu mapear o critério de estabilidade dQ/dU para a geometria das imagens

nodais, utilizando a seguinte equação [Dim75, p. 74]:

dQ

dU=

∑m

Icmcosδm

− 2KU (3.7)

em que dQ/dU é o critério de estabilidade, Icm é a corrente de curto-circuito full-load entre

a barra de carga de referência e o gerador m, cos(δm) é o cosseno do ângulo de cada corrente

Icm, K é o somatório das admitâncias entre os geradores e cargas (incluindo admitância

entre carga e terra) e U é a tensão da barra de referência.

Dessa forma, o valor de dQ/dU pode ser calculado e recalculado diretamente das

imagens nodais, contribuindo para um tempo de processamento menor. Como não será

necessário executar um fluxo de carga para cada mudança nas cargas ou geradores,

basta realizar rotações ou modificações geométricas na imagem nodal e a validade das

propriedades físicas será preservada. A Figura 3.6 mostra o mapeamento do cálculo de

dQ/dU nas imagens nodais. Nessa figura, observam-se diversos segmentos de reta –


O1F1, O2F2, . . . , OnFn referenciadas por retas perpendiculares e 0F1, O1F2, . . . , On−1Fn

referenciadas por retas hipotenusas – criadas a partir dos pontos que representam as correntes

de curto-circuito dos geradores (círculos brancos). As retas perpendiculares são as retas

OmFm com uma diferença de 90o com relação às retasOm−1Om (ver detalhes na Figura 3.7).

Para calcular os componentes∑

mIcmcosδm

(termos positivos do dQ/dU ) e 2KU (termo

negativo do dQ/dU ) da Equação (3.7), é necessário percorrer todos os pontos Om dos

geradores, calcular as retas hipotenusas correspondentes, fazer uma interseção dessas retas

com a reta perpendicular OmFm e encontrar o vetor Icm. O Código Fonte B.1 mostra

a visão geral do algoritmo de cálculo do dQ/dU . Os pseudocódigos que demonstram

como a imagem nodal pode ser processada para calcular o critério de estabilidade dQ/dU

encontram-se nos códigos fontes do Apêndice B.1.

O2Gn

Ic3

O3 Icn

G3

G2

Ic1

F2O1 Ic2

OnI(Re)

I(Img)

2KU

0

F3

F1G1

Fn

S

Σ Icm −dQdU cos δm

m

= 2KU

δ1

δ2

δ3

Figura 3.6: Mapeamento entre o critério de estabilidade dQ/dU e as imagens nodais.

Gm

δmOm-1

Icm

Om

Fm

Reta OmsReta Oms Reta Perpendicular

Reta Hipotenusa

Figura 3.7: Detalhe do cálculo do dQ/dU nas imagens nodais para um gerador m.

O procedimento de case worsening aplica, portanto, modificações geométricas à

imagem nodal até fazer o dQ/dU , inicialmente negativo, atingir o valor zero, indicando


a instabilidade. Ao encontrar esse ponto de instabilidade, deve-se comparar a transmissão

de potência total do sistema original, do início da execução do algoritmo, com a transmissão

final. Essa diferença de potência representa a distância para instabilidade.

O deslocamento de pontos nas imagens nodais pode ser, a princípio, para qualquer

direção, pois cada alteração nos pontos corresponde a uma alteração física na magnitude ou

ângulo de tensão, nas cargas ou na potência fornecida pelos geradores. Pode-se, entretanto,

escolher determinadas rotas com o objetivo de preservar algumas das propriedades físicas. A

Figura 3.8 mostra algumas possibilidades de deslocamento nas imagens nodais que podem

ser utilizadas na composição do case worsening.

O'3

O3

I(Re)

I(Img)

O'1

O''1

O1

O'2

O''2

O2 O''3

On I(Re)

I(Img)

O'1

O''1O1

O'2

O2 O''2

O'3

O3 O''3

On

I(Re)

I(Img)

On

O1

O2

O3

U = constante

(c)

(b)(a)

Figura 3.8: Exemplos de possibilidades de deslocamento de pontos nas imagens nodais.

Os deslocamentos ilustrados na Figura 3.8 são descritos abaixo:

(a) os pontos O1, O2 e O3 estão situados em linhas retas paralelas ao eixo das ordenadas.

Dessa forma, a distribuição da potência reativa entre os geradores permanecerá constante.

(b) os pontos O1, O2 e O3 estão situados em linhas retas paralelas ao eixo das abscissas.

Dessa forma, , a distribuição da potência ativa entre os geradores permanecerá constante.


(c) cada ponto está situado em um círculo cujo centro é o ponto precedente. Dessa forma,

a tensão interna dos geradores (U ) permanecerá constante.

O algoritmo de case worsening não é divulgado em nenhuma das referências. Tudo o que

existe são indicações gerais de como realizar movimentos gráficos nas imagens nodais. Uma

das contribuições deste trabalho é a versão do algoritmo de case worsening implementada.

Detalhes desse algoritmo podem ser encontrados na Seção 4.2.4.

Depois que o algoritmo de case worsening for executado, é possível conseguir toda a

informação de estabilidade do sistema elétrico fazendo comparações entre as propriedades

físicas do caso inicial (dQ/dU inicial) e do caso final (dQ/dU = 0). Essa informação

precisa, então, ser exposta para o operador do sistema elétrico para que ele possa tomar suas

decisões. A visualização dessa informação é discutida na próxima seção.

3.2.4 Visualização da Informação

A distância para a estabilidade pode ser facilmente visualizada a partir de um gráfico

semelhante a um medidor de VU5 [SOP+93]. Nesse gráfico, uma seta aponta a transmissão

total de potência no estado atual de um sistema e o medidor distingue três áreas de operação:

“verde”, “amarelo” e “vermelho”. À medida que a transmissão de potência no sistema

aumenta, a seta move-se para a direita e deixa a região verde passando para a amarela,

indicando uma região de perigo. Se continuar havendo aumento de potência, o estado passará

do amarelo para o vermelho (blackout). A Figura 3.9 ilustra um exemplo do medidor de

estabilidade como proposto originalmente por Savulescu. Uma versão alternativa é utilizar

um gráfico de barras para exibir as mesmas informações, como mostra a Figura 3.10. Ambas

as figuras apontam os três níveis de segurança, indicando o estado atual do sistema através

de uma seta e as regiões de segurança utilizando cores.

Essa forma de visualizar a distância para a estabilidade oferece as seguintes vantagens:

• Por ser um gráfico simples e enxuto, a informação que ele contém consegue ser

interpretada rapidamente por quem a visualiza (ex: operador de sistema de potência).

5Um medidor de VU é um dispositivo normalmente incluído em equipamentos de áudio analógico para

mostrar os sinais de áudio em Unidades de Volume (Volume Units). Também é utilizado em softwares de áudio

em formas de barras coloridas.


• Por possuir uma forma padrão de apresentação de dados (exibindo a distância para

a instabilidade em formato de porcentagem), possibilita realizar comparações entre

estados distintos de forma facilitada.

verde

amarelo

1440,10 MW

1859,01 MW

vermelho

Atual: 1279,50 MW

Figura 3.9: Gráfico que indica o estado atual do sistema (seta pontilhada) e sua distância

para a instabilidade (região indicada como vermelha). Adaptado de [EOS94].

Verde Amarelo

Vermelho

Atual:1279 MW (68%)

1440 MW(77%)

1859 MW

Figura 3.10: Mesma informação contida na Figura 3.9, mas em forma de barras.

Dessa forma, resumidamente, a técnica de Dimo consiste nas seguintes etapas:

1. As cargas são eliminadas, com exceção da carga de referência. Para isso, as correntes

Ik com k 6= i são zeradas, gerando um novo vetor de correntes I ′ (transformando o

modelo de potências constantes em impedâncias constantes). Além disso, deve-se

adicionar à matriz Ybus uma admitância constante correspondente à carga retirada,

gerando Y ′bus. O vetor V permanece inalterado.

2. Uma das barras de carga é escolhida como a barra de referência. Com isso, o vetor

de tensões V também sofrerá alterações, fazendo com que a tensão da barra escolhida


tenha ângulo zero (ângulo de referência). Os valores de ângulo das tensões das outras

barras são ajustados apropriadamente.

3. Para cada barra de geração do sistema de potência, é criada uma nova barra,

correspondendo à tensão interna da máquina. Essa barra adicional tem tensão

V ′ = V − X ′d × I e se conecta diretamente e exclusivamente à barra do gerador

correspondente.

4. O sistema de equações formado pelas variáveis Ybus e V (equação I = Ybus × V ) é

reduzido através de eliminação de Gauss (nem as barras de geração internas nem a

barra de carga de referência são eliminadas).

5. Do sistema resultante (que consiste apenas das barras de geração e da barra da carga

escolhida) são computadas as correntes de curto-circuito Ii−c e Ii−0, formando uma

REI Net.

6. É gerada uma imagem nodal a partir da REI Net. Nesta etapa, despreza-se a resistência

(R) e trabalha-se apenas com a reatância X .

7. A imagem nodal, que inicialmente representa um sistema estável, é manipulada

graficamente a fim de encontrar o ponto em que ela passa a representar um sistema em

instabilidade (que é encontrado quando o critério de estabilidade dQ/dU calculado

deixa de ser negativo e passa a ser zero). Este procedimento é chamado de case

worsening.

8. A potência do sistema inicial é comparada com a do sistema em instabilidade,

chegando-se à medida de “distância para a instabilidade”.

9. Um gráfico que exiba a distância para a instabilidade de forma clara é criado.

Esta seção apresentou os conceitos relacionados com o método de Dimo. Como dito

inicialmente, a técnica de Dimo age sobre uma versão reduzida do sistema elétrico. Isso

implica que há premissas e considerações envolvidas na técnica, fazendo-a ser adequada

em determinados contextos. A próxima subseção trata das simplificações existentes na

modelagem dessa técnica.

3.3 Premissas e simplificações 33

3.3 Premissas e simplificações

A técnica de Dimo modela o sistema de potência segundo algumas premissas ou

simplificações. Uma das simplificações utilizadas por Dimo é desprezar a resistência

(parte real) da matriz Ybus, deixando apenas a reatância. Isso é devido à técnica de Dimo

ser empregada em sistemas de transmissão, cuja reatância nas linhas é bem superior à

resistência, podendo esta última ser desprezada sem alterar significativamente o resultado do

cálculo das correntes de curto-circuito. Uma vez que o cálculo da potência de contribuição

de cada máquina com relação à barra de referência (Li) também ser baseado nas correntes

de curto-circuito, presume-se que essa potência também não seja significativamente afetada

pela ausência da resistência.

Ao desprezar a resistência, Dimo simplificou o gráfico das imagens nodais, permitindo

que a corrente no-load coincidisse com o eixo-x do gráfico – caso houvesse resistência,

haveria um ângulo γ > 0 entre o eixo-x e Ii−o (ver Figura 3.5). Isso facilitou a visualização

do ângulo de tensão de cada gerador com relação à tensão da barra de carga i.

Outra simplificação é a representação da totalidade da carga por impedâncias constantes

(durante a eliminação das barras de carga na Seção 3.2.1), o que garante a redução da rede.

Normalmente, em estudos de estabilidade, a maior parte da carga – em torno de 70% –

tem exatamente essa representação. As cargas industriais, no entanto, são representadas por

corrente constante. Se parte da carga fosse representada por corrente constante, não seria

possível fazer a redução da rede da forma que foi feita na modelagem de Dimo.

Estas são as duas maiores simplificações do modelo. Em conjunto, elas fazem com que o

método de Dimo tenda a ser conservativo, isto é, tenda a informar que o sistema está entrando

em instabilidade antes da realidade.

Capítulo 4

Implementação do Método de Avaliação

de Estabilidade Dinâmica

Ao longo deste trabalho, um módulo de software foi desenvolvido e integrado ao projeto

SmartAlarms: o SmartStability. Este capítulo visa apresentar a relação entre o SmartStability

e o SmartAlarms, bem como seus detalhes de implementação.

4.1 SmartAlarms

Por possuir uma arquitetura componentizada, o SmartAlarms distribui suas diversas

funcionalidades em vários módulos de software. A Figura 4.1 exibe alguns dos módulos

do SmartAlarms, descritos abaixo.

• SmartModel (Módulo Modelo) – contém informação sobre as entidades do negócio,

que compõem um sistema elétrico de potência.

• SmartViewer (Módulo de Visualização) – integra a visualizações dos módulos do

SmartAlarms em uma interface gráfica única.

• SmartReports (Módulo de Relatórios) – produz relatórios do sistema.

• SmartBIM (Módulo de Impacto no Negócio) – responsável por elaborar telas especiais

para consumo por pessoas de outras áreas e níveis da empresa. Essas telas podem

34

4.2 SmartStability 35

ser utilizadas pela diretoria e superintendência da CHESF ou gerentes e chefes de

departamento, mostrando o efeito de ocorrências nos negócios da CHESF.

• SmartStability (Módulo de Estabilidade) – responsável por fornecer informações sobre

o estado de estabilidade do sistema elétrico de potência.

SmartTwo

SmartReports

SmartViewer

SmartBIM

SmartModel

SmartStability...

Figura 4.1: SmartStability como um dos módulos do projeto SmartAlarms.

A implementação do módulo SmartStability, desenvolvido neste trabalho, é detalhada na

seção a seguir.

4.2 SmartStability

O SmartStability é o módulo do software SmartAlarms responsável por realizar a

avaliação de estabilidade de sistemas elétricos de potência e reportá-la aos operadores. Nesta

seção, apresentam-se as tecnologias utilizadas, o projeto arquitetural e também detalhes da

implementação.

4.2.1 Tecnologia utilizada

O SmartStability foi desenvolvido utilizando a linguagem de programação Java (versão

1.5), a mesma linguagem do SmartAlarms – facilitando, portanto, a integração entre os dois

sistemas. Ao fim do desenvolvimento, o módulo possui 11.500 linhas de código do algoritmo

principal e mais de 3000 linhas de código de testes de unidade. Os principais frameworks

utilizados no desenvolvimento do SmartStability foram:


• Linguagem de programação MATLAB – utilizada na fase de prototipagem (o sistema

final foi escrito em Java).

• SpringFramework – framework utilizado para realizar injeção de dependência [Fow04]

nos componentes do SmartStability [SPR09].

• Jampack – capaz de realizar operações matemáticas – multiplicações, inversões, etc.

– tanto em matrizes reais, quanto também em matrizes de números complexos. Foi

bastante útil, pois os números complexos são bastante utilizados dentro da área de

sistemas de potência [Ste07].

• dom4j – faz leitura de arquivos XML de forma facilitada e flexível. Foi utilizado para

a leitura do formato de arquivo de dados PowerSystemXML, desenvolvido para fins de

testes [DOM09].

• javax.rmi – faz a comunicação entre o SmartStability e o SmartViewer, para que o

último exiba os dados calculados em uma interface gráfica.

• JUnit – executa testes unitários em aplicações Java [JUN09].

O projeto arquitetural do módulo SmartStability, informando como ele foi implantado e

como o software é organizado internamente, é descrito a partir da seção a seguir.

4.2.2 Requisitos do SmartStability

O SmartStability deve atender aos seguintes requisitos funcionais:

1. Comunicar-se com sistemas de software da CHESF para obter os dados do sistema de

potência continuamente.

2. Calcular o estado de estabilidade das barras do sistema elétrico.

3. Calcular a distância para a instabilidade das barras do sistema elétrico.

4. Ordenar as barras iniciando com a barra mais crítica (mais próxima da instabilidade)

e concluindo com a barra menos crítica (mais distante da instabilidade) para

apresentação.


5. Possuir uma interface auto-atualizável, isto é, à medida que novos dados estão

disponíveis, a interface se ajusta automáticamente (facilita monitoramento).

6. Exibir dados das barras (nome, tensão, potência consumida, etc) juntamente com a

informação de estabilidade.

7. Permitir configurar que determinadas barras não serão processadas (filtragem por

nome).

8. Permitir que a partir de determinada barra, possa-se identificar os geradores que mais

contribuem para o consumo dessa.

Como requisitos não-funcionais, têm-se:

1. Possuir interface gráfica acessível pela WEB. Especificamente, estar incorporado ao

SmartAlarms.

2. O SmartStability deve ser capaz de calcular a informação de estabilidade em poucos

minutos (menos de 2 minutos).

3. Possuir uma visualização intuitiva para o operador.

4. Possuir comportamento “pró-ativo” – isto é, apresentar informação sobre um possível

evento, como ocorrência de instabilidade do sistema elétrico, antes que ele aconteça.

A seção a seguir apresenta o projeto arquitetural desenvolvido.

4.2.3 Projeto arquitetural

A Figura 4.2 ilustra uma visão geral de como o componente de estabilidade se comunica

com o SmartAlarms e com o Estimador de Estados1 em uso na CHESF para apresentar ao

operador do sistema elétrico as informações de estabilidade.

1O estimador de estados é um software responsável por recuperar o estado do sistema de potência como

emitido pelos sensores em campo e realizar um processamento de forma a corrigir o maior número de omissões

e inconsistências possível.


Estimador de Estados

OperadorSmartAlarms

SmartStability SmartViewer

Calcula Estado de Estabilidade

(a) (b) (c)

Atualiza Interface WEB

Arquivos PWF

Solicita importaçãoa cada 5 min

Rotina Importadora PWF

Diretório de armazenamento

Leitura regular

Figura 4.2: Visão geral da arquitetura do SmartStability.

O módulo de estabilidade utiliza dados fornecidos pelo estimador de estados

(Figura 4.2a). O estimador de estados possui informação das linhas e barras do sistema

de potência, estimada após a execução de um fluxo de cargas. A versão do estimador

de estados instalada na CHESF é capaz de exportar arquivos em formato texto (padrão

ANAREDE, extensão PWF) com os dados necessários para a avaliação da estabilidade,

tais como: ângulo e magnitude de tensão em cada barra, admitância das linhas, potências

geradas e consumidas por barra, etc [CEP09]. Ao exportar os arquivos pelo estimador de

estados, podem-se exportar os dados para as barras de todas as áreas da CHESF ou apenas

para uma área específica. Como o SmartStability foi instalado na área CHESF Leste, os

arquivos consumidos são referentes a essa área. Quando o SmartStability passar a operar em

outros centros, arquivos PWF referentes a outras áreas serão também exportados.

Na Figura 4.2b, pode-se observar uma rotina que solicita ao estimador de estados a

geração e gravação de arquivos PWF em intervalos regulares de 5 em 5 minutos. Esse

intervalo foi escolhido pela equipe da CHESF por conveniência, mas poderia ter sido até

o tempo de simulação do estimador de estados, que é de 30 segundos. Uma integração

direta foi evitada pela atual ausência de uma API adequada e bem definida entre o estimador

de estados e um software externo. Esses arquivos são armazenados em um diretório e

acumulados ao passar do tempo, sendo os mais antigos sobrescritos após um longo período

de tempo, por motivos de espaço em disco. Cada arquivo PWF exportado (referente apenas


à área de CHESF Leste) tem em média 42kB.

Também periodicamente, o diretório onde são gravados os arquivos .pwf é averiguado

pelo StabilityDataReader (componente interno do SmartStability), ilustrado pelo círculo

com setas na Figura 4.2b. Sempre que um novo arquivo for gravado, ele o lê e passa os

dados para o SmartStabilityEvaluator, que então realiza a Avaliação de Estabilidade. Com o

acesso aos dados, o SmartStability calcula a informação de estabilidade com relação a cada

barra de carga do sistema utilizando sua implementação da Análise Nodal de REI-Dimo

(Capítulo 3). A Figura 4.3 mostra a composição interna do SmartStability e como ele utiliza

a técnica de Dimo.

SmartStability

Dados do sistema

L1

L2

L2

Ln

...

DadosBarras de

carga

CWSS: CaseWorsening do SmartStability

...

ExecuçãoDimo

Ordenação das Barras

...

Est3

Est1

Estn

Est2

Est1

Est2

Estn

Est3

EstabilidadeCalculada

CWSS

Análise Nodal de Dimo

Figura 4.3: Relação entre o SmartStability e a técnica de Dimo.

O resultado da avaliação de estabilidade é estruturado em forma de objetos, que são

repassados para o SmartViewer, que é o responsável pela visualização da informação. O

SmartViewer utiliza, então, os objetos recuperados do SmartStability para renderizar páginas

WEB para o usuário do software – o operador do sistema elétrico – , conforme Figura 4.2c.

Dentre as informações que podem ser exibidas, incluem-se: nome, número e tensão da barra

de carga, potência total atual recebida pelos outros geradores (em p.u. e em porcentagem)

e um medidor de estabilidade (com três indicativos de estado nas cores verde, amarelo e

vermelho). Em termos estruturais, os objetos passados ao SmartViewer – que são instâncias

da classe BusStability – contém os dados apresentados na Figura 4.4. A informação é

apresentada de forma que o operador possa visualizar as barras mais críticas do sistema

de forma ordenada.


Figura 4.4: Estrutura de dados enviada para o SmartViewer. Métodos get e set simples estão

omitidos.

4.2.4 Projeto detalhado

Esta seção apresenta o projeto detalhado do módulo de software desenvolvido. São

enumerados os pacotes de software do SmartStability e os algoritmos mais relevantes. A

relação de dependência entre os pacotes do SmartStability é mostrada na Figura 4.5.


Figura 4.5: Diagrama com dependências entre os pacotes do SmartStability. O pacote

smart.stability.util é utilitário e possui dependências com quase todos os demais pacotes.

Os principais pacotes do SmartStability são:

• smart.stability.facade – pacote com a implementação de Enterprise JavaBeans (EJB)

responsável pela comunicação entre o SmartStability e o SmartAlarms, através de

Remote Method Invocation (RMI).

• smart.stability.service – ponto de acesso das funcionalidades do SmartStability.

• smart.stability.model – pacote com as principais classes do método de avaliação. Inclui

as classes das REI Nets, das imagens nodais e as classes responsáveis por realizar o

procedimento de case worsening. Além disso, contém a funcionalidade de redução da

matriz Ybus.

• smart.stability.data – pacote responsável pela aquisição das informações do sistema de

potência a partir da leitura de uma fonte de dados. As fontes de dados implementadas

são: arquivos com extensão .pwf (exportados pelo Estimador de Estados da CHESF)

e arquivos com extensão .ps.xml (PowerSystem XML), formato próprio deste trabalho

utilizado para testes e simulações.


• smart.stability.util – pacote utilitário do SmartStability. Possui classes para

manipulação de arquivos, streams, entidades matemáticas e coleções.

Um nível maior de detalhe sobre algumas partes específicas da arquitetura do sistema é

abordado nas subseções a seguir.

Operações de transformação sobre o sistema de potência

Em vários momentos ao longo da execução do SmartStability é necessário realizar

alterações na matriz Ybus ou no vetor V , por exemplo:

• ao definir uma nova barra de referência para o ângulo de tensão (etapa 2 da

seção 3.2.4).

• ao estender o sistema com novas barras com a tensão interna dos geradores (etapa 3).

• ao realizar a eliminação de Gauss para reduzir o número de barras do sistema de

potência (etapa 4).

• ao desprezar a resistência R após a formação das REI Nets (etapa 6).

Para facilitar e simplificar a implementação, foi utilizado o padrão de projetos

Composite de modo que essas alterações de Ybus ou V pudessem ser distribuídas

em classes independentes e agrupáveis. A Figura 4.6 mostra as classes do pacote

smart.stability.model.transf.


Figura 4.6: Diagrama com as classes do pacote smart.stability.model.transf.

Eliminação de nós

O pacote responsável por fazer a eliminação de nós dos sistemas de potência é o

smart.stability.model.elimination. A eliminação é a “etapa 4” da técnica de Dimo (as etapas

são listadas na seção 3.2.4) executada logo após a leitura das variáveis Ybus, V e as potências

dos geradores e cargas. O objetivo da redução do sistema é basicamente deixar a matriz Ybus

apenas com as linhas referentes a todos os geradores e a uma única barra de carga, ou seja,

as demais barras de carga são eliminadas. A Figura 4.7 mostra as classes do pacote e seus

relacionamentos.


Figura 4.7: Diagrama de classes do pacote smart.stability.model.elimination.

As classes CircuitTransformer e MatrixBasedElimination implementam a mesma

funcionalidade de redução, mas com algoritmos diferentes. O CircuitTransformer segue

o pseudocódigo encontrado em [Sav05]. Percebeu-se, no entanto, que o algoritmo apresenta

tempo de processamento muito longo para entradas de tamanho maior (número de barras

elevado). Implementou-se, portanto, a classe MatrixBasedElimination, que é uma versão da

eliminação de Gauss com um melhor desempenho no tempo de processamento (utilizou-se o

complemento de Schur [ZF05]). O pseudocódigo do MatrixBasedElimination é descrito no

Código Fonte 4.1.

Código Fonte 4.1: Procedimento implementado em MatrixBasedElimination.

1 p r o c e d i m e n t o r e d u z _ s i s t e m a ( Ybus ( 1 . . n _ b a r r a s ) ,

2 b a r r a s _ a _ e l i m i n a r ( 1 . . n _ b a r r a s _ e l i m i n a r ) ) :

3 # as l i n h a s / c o l u n a s que s e r ã o e l i m i n a d a s são d e i x a d a s à d i r e i t a .

4 Ybus := r e a r r a n j a r _ e l i m i n a d o s _ p o r _ u l t i m o ( Ybus , b a r r a s _ a _ e l i m i n a r ) ;

5

6 # número de b a r r a s que i r ã o pe rmanece r na m a t r i z r e d u z i d a .

7 n_bar ras_permanecem := ( n _ b a r r a s − n _ b a r r a s _ e l i m i n a r ) ;

8

9 # s i n t a x e : m a t r i z . s u b m a t r i x ( p o n t o _ s u p e r i o r _ e s q u e r d o : p o n t o _ s u p e r i o r _ d i r e i t o ,

10 # p o n t o _ i n f e r i o r _ e s q u e r d o : p o n t o _ i n f e r i o r _ d i r e i t o )

11 a := Ybus . s u b m a t r i z ( 1 : n_bar ras_permanecem ,

12 1 : n_bar ras_permanecem ) ;

13 b := Ybus . s u b m a t r i z ( 1 : n_bar ras_permanecem ,

14 n_bar ras_permanecem + 1 : n _ b a r r a s ) ;

15 c := Ybus . s u b m a t r i z ( n_bar ras_permanecem + 1 : n _ b a r r a s ,

16 1 : n _ b a r r a s ) ;

17 d := Ybus . s u b m a t r i z ( n_bar ras_permanecem + 1 : n _ b a r r a s ,

18 n_bar ras_permanecem + 1 : n _ b a r r a s ) ;

19

20 m a t r i z _ r e d u z i d a := a − b ∗ ( m a t r i z _ i n v e r s a ( d ) ∗ c ) ;

21

22 Ybus := m a t r i z _ r e d u z i d a ;

23

24 f im p r o c e d i m e n t o r e d u z _ s i s t e m a ;

Testes unitários

Vários testes unitários foram escritos para testar as funcionalidades do SmartStability.

Uma vez que os arquivos PWF contêm uma estrutura interna de difícil edição e leitura,

criou-se um formato próprio para facilitar a edição e execução dos testes do sistema. Esse

formato foi nomeado PowerSystemXML (PSXML) e possui a extensão de arquivo “.ps.xml”.

Por ser em formato XML, pôde-se utilizar leitores XML como o dom4j para realizar a leitura

do formato.

Um arquivo PSXML possui uma tag raiz, <powersystem>, com quatro tags internas, de

segundo nível: <description>, com uma descrição do sistema de potência; <busdata>, com

dados das barras; <linedata>, com dados das linhas de transmissão; e <xddata>, com dados

de X ′d das máquinas. Essas três tags possuem, por sua vez, tags internas de terceiro nível:

<item>. Cada <item> descreve informações das barras, das linhas ou de X ′d, a depender

se está contida dentro de <busdata>, <linedata> ou <xddata>. Os itens da tag <busdata>

contêm as seguintes tags internas (quarto nível):

• number – número da barra.

• type – tipo da barra: 0 = carga, 1 = gerador, 2 = balanço.

• vmag – magnitude de tensão.

• vang – ângulo de tensão (graus).

• PL – carga em MW (potência ativa).

• QL – carga em Mvar (potência reativa).

• PG – geração em MW (potência ativa).

• QG – geração em Mvar (potência reativa).

• Qmin – potência reativa mínima.

• Qmax – potência reativa máxima.

• Pmin – potência ativa mínima.

• Pmax – potência ativa máxima.

• Vmin – magnitude de tensão mínima.

• Vmax – Mmagnitude de tensão máxima.

• bank – Mvar injetado dos capacitores shunt (em pararelo).

Os itens da <linedata> contêm as seguintes tags filhas:

• from – barra "de". Esta propriedade em conjunto com to define as duas barras que a

linha de transmissão conecta.

• to – barra "para".

• R – resistência em p.u.

• X – reatância em p.u..

• half_B – metade da susceptância shunt da linha.

Por fim, os itens da <xddata> contêm:

• bus_bumber – número da barra relacionada.

• xld – valor do X ′d (reatância transitória do eixo direto) da barra bus_number.

Um exemplo de sistema descrito pelo formato PSXML pode ser visualizado no

Código Fonte B.5 do Apêndice B.2.


Case Worsening desenvolvido

Na técnica de Dimo, depois de ler os dados de um sistema de potência e reduzi-los

a uma estrutura chamada de REI Net, são formadas as imagens nodais (Seção 3.2.2). O

case worsening é o procedimento aplicado imediatamente após essa etapa. Para um dado

sistema de potência, o objetivo principal do case worsening é encontrar o ponto a partir

do qual esse sistema deixa de estar estável e passa à instabilidade. Para isso, tem-se que

alterar os pontos da imagem nodal sucessivamente de modo a piorar (deteriorar) o sistema

de potência, a cada execução. O algoritmo de Case Worsening não chegou a ser divulgado em

detalhes nem por Dimo nem por Savulescu, os dois principais autores da Análise Nodal de

REI-Dimo. Dessa forma, este trabalho teve de implementar sua própria versão do algoritmo.

O algoritmo implementado de case worsening – ilustrado na Figura 4.8 e detalhado nos

Códigos Fontes 4.2 e 4.3 – faz rotações anti-horárias e sucessivas de todos os pontos Om dos

geradores e reduz o comprimento do vetor 0Io até que:

(a) o valor de dQ/dU seja maior ou igual a zero, considerando todos os geradores do

sistema de potência; ou

(b) a potência gerada por algum gerador viole o limite mínimo ou máximo da máquina:

Pmin, Pmax, Qmin ou Qmax.

Ic1

F2O1

Ic2

Ic3

OnO3

O2

I(Re)

I(Img)(a)

O'1

O'3

O'2

O'n

2×KU

Icn

0

F3

F1 Io

Figura 4.8: Representação do algoritmo de case worsening desenvolvido. A cada rotação

anti-horária, novos pontos O′m, F ′m e I ′cm são formados.


Código Fonte 4.2: Algoritmo de case worsening.

1 p r o c e d i m e n t o c a s e _ w o r s e n i n g ( imagem_nodal ) :

2

3 p o n t o s _ g e r a d o r e s := imagem_nodal . p o n t o s _ g e r a d o r e s ;

4 t amanho_pon tos := p o n t o s _ g e r a d o r e s . tamanho ;

5

6 valor_dQdU := calcula_dQdU ( p o n t o s _ g e r a d o r e s ) ;

7 a n g u l o _ i n t e r v a l o := 1 0 ; # em g r a u s

8 a n g u l o _ i n t e r v a l o _ m a x := 0 . 0 1 ;

9 angu lo_acumulado := 0 ;

10

11 # exemplo com p r e c i s ã o de duas c a s a s d e c i m a i s

12 p r e c i s a o _ c a s a s := 2 ;

13

14 e n q u a n t o não e x i s t e _ g e r a d o r _ v i o l a d o ( imagem_nodal )

15 e a n g u l o _ i n t e r v a l o >= a n g u l o _ i n t e r v a l o _ m a x f a ç a :

16 angu lo_acumulado := angu lo_acumulado + a n g u l o _ i n t e r v a l o ;

17

18 # r o t a c i o n a n d o e c a l c u l a n d o novo dQdU .

19 p o n t o s _ g e r a d o r e s := r o t a c a o _ a n t i h o r a r i a ( p o n t o s _ g e r a d o r e s ,

20 angu lo_acumulado ) ;

21 valor_dQdU := calcula_dQdU ( p o n t o s _ g e r a d o r e s ) ;

22

23 se valor_dQdU >= 0 e n t ã o :

24 # r o t a c i o n o u demais , v o l t a r um pouco

25 angu lo_acumulado := angu lo_acumulado − a n g u l o _ i n t e r v a l o ;

26 a n g u l o _ i n t e r v a l o := a n g u l o _ i n t e r v a l o / 1 0 ;

27 f im se

28 f im e n q u a n t o

29 imagem_nodal . p o n t o s _ g e r a d o r e s = p o n t o s _ g e r a d o r e s ;

30 f im p r o c e d i m e n t o c a s e _ w o r s e n i n g ;

Código Fonte 4.3: Função responsável por verificar se as potências dos geradores estão

dentro dos limites.

1 f un çã o e x i s t e _ g e r a d o r _ v i o l a d o ( imagem_nodal )

2 r e t o r n a b o o l e a n o :

3 g e r a d o r e s = imagem_nodal . r e i n e t . g e r a d o r e s ;

4.3 Interface gráfica do SmartStability 49

4

5 p a r a i : 1 a t é g e r a d o r e s . tamanho f a ç a :

6 g e r a d o r := g e r a d o r e s [ i ] ;

7 [ P , Q] = imagem_nodal . c a l c u l a P o t e n c i a ( g e r a d o r ) ;

8

9 se P >= g e r a d o r . Pmax e P <= g e r a d o r . Pmin e

10 Q >= g e r a d o r . Qmax e Q <= g e r a d o r . Qmin e n t ã o :

11 r e t o r n a v e r d a d e i r o ;

12 f im se

13 f im p a r a

14 r e t o r n a f a l s o ;

15 f im fu n çã o e x i s t e _ g e r a d o r _ v i o l a d o ;

A vantagem em realizar o case worsening da maneira descrita é que são realizadas duas

operações não-favoráveis à estabilidade ao mesmo tempo:

1. A potência dos geradores em MW é aumentada, pois a parte real da corrente Icm

aumenta com a rotação.

2. A tensão da carga de referência é diminuída.

O procedimento acima encontra o estado crítico do sistema, em que ele passa de estável

para instável. Para encontrar o estado de segurança, que é um estado ainda em estabilidade,

mas com uma margem de segurança com relação ao estado crítico – por exemplo, de 15%

–, deve-se fazer a rotação no sentido inverso da apresentada, a partir do estado crítico, até

que a soma dos segmentos de reta Om−1Fm seja igual a 85% (100%-15%) da soma desses

segmentos no estado crítico.

Nesta seção, apresentaram-se detalhes da implementação da ferramenta de avaliação de

estabilidade desenvolvida. A interface gráfica do sistema é explicada na seção a seguir.

4.3 Interface gráfica do SmartStability

Esta seção apresenta a interface gráfica do módulo de estabilidade SmartStability. A

interface gráfica do SmartStability está integrada com a do SmartAlarms, sendo ambas parte

de uma mesma interface. Inicialmente, o SmartAlarms apresenta um diagrama unifilar como


mostrado na Figura 4.9. O diagrama representa as barras e linhas de transmissão do sistema

de potência considerado. Na parte inferior da tela, existe uma barra com botões que acessam

alguns módulos do SmartAlarms. O botão com título “Estabilidade” é responsável por dar

acesso ao SmartStability. Ao clicar nesse botão, a tela inicial do SmartStability, ilustrada na

Figura 4.10, é exibida ao usuário.

Figura 4.9: Tela inicial do SmartAlarms.

A Figura 4.10 apresenta todos os elementos do SmartStability, como a lista de medidores

ordenados e as informações de cada barra (nome, número, tensão, potência atual, potência

de segurança e potência crítica) (detalhes na Figura 4.11a). Após clicar em um pequeno

quadrado que aparece próximo a cada barra ao aproximar o mouse (Figura 4.11c), surge

uma janela com a contribuição ordenada dos geradores, como ilustrada na Figura 4.11b. A

contribuição dos geradores é ordenada do gerador que mais contribui para a barra selecionada

para o gerador que menos contribui. O nome do gerador e a porcentagem da contribuição

total estão presentes na janela exibida.


Figura 4.10: Visão do módulo de estabilidade SmartStability no sistema SmartAlarms.


Figura 4.11: Detalhe: a) janela com a distância para a instabilidade de uma barra; b) janela

com contribuições dos geradores; e c) botão cuja ação é exibir a janela (b).

Este capítulo apresentou o projeto arquitetural do SmartStability, alguns detalhes de

implementação e a interface gráfica com o usuário. A maneira pela qual o SmartStability se

comunica com o estimador de estados também foi explicada. No próximo capítulo, realiza-se

a avaliação experimental do SmartStability com o objetivo de comparar o desempenho e

precisão do SmartStability com relação a outras técnicas semelhantes.

Capítulo 5

Avaliação da Ferramenta de Avaliação de

Estabilidade Dinâmica

Este capítulo tem por objetivo apresentar a avaliação experimental da ferramenta de

avaliação de estabilidade desenvolvida. O capítulo está organizado da seguinte maneira:

inicialmente, descreve-se o planejamento dos experimentos e seus objetivos. Em seguida, os

resultados da execução dos experimentos são apresentados. Por fim, realiza-se uma análise

baseada nos dados coletados.

Para realizar o planejamento dos experimentos, utilizou-se a abordagem Goal Question

Metric (GQM), que propicia um guia geral para o planejamento de avaliações [SB99]. Ao

utilizar GQM, definem-se os objetivos (Goal), as questões (Question) e as métricas (Metric)

para guiar o planejamento de um experimento.

5.1 Experimentos

Nesta seção, apresenta-se alguns experimentos planejados com a finalidade de avaliar

o SmartStability seguindo objetivos, questões e métricas definidos na seção anterior. Os

resultados da execução dos experimentos são apresentados a seguir.

53

5.1 Experimentos 54

5.1.1 Experimento 1

Introdução

Este experimento tem o objetivo de identificar se o SmartStability reconhece um estado

de um sistema de potência como estável ou instável corretamente. Para isso, são utilizados

fluxos de carga como técnica para validação de modelos. Dessa forma, a seguinte questão

foi formulada:

Questão 1 O SmartStability classifica o estado de um sistema de potência em

“estável/instável” de forma similar ao classificado usando fluxos de carga?

• Métrica 1 – seqüência de valores de carga máxima por barra (fluxo de carga):

PmaxFC = (Pmax

L1 , PmaxL2 , . . . , Pmax

Li , . . . , PmaxLn ) (5.1)

em que PmaxLi é o valor máximo de potência que a barra de carga Li pode consumir

antes que o fluxo de cargas divirja. Em outras palavras, a condição de estabilidade será

“estável” para uma barra de carga Li com consumo PLi ≤ PmaxLi , mas “instável” para

um consumo PLi > PmaxLi .

• Métrica 2 – seqüência de valores de carga máxima por barra (SmartStability):

PmaxSS = (Pmax

L1 , PmaxL2 , . . . , Pmax

Li , . . . , PmaxLn ) (5.2)

em que PmaxLi é o valor máximo de potência que a barra de carga Li pode consumir.

Em outras palavras, dQ/dU≥ 0 quando Li > Lmaxi e dQ/dU< 0 quando Li ≤ Lmaxi .

Descrição do experimento

O SmartStability será comparado com a execução de um Fluxo de Carga (FC): se o FC

divergir para um dado estado de operação, o SmartStability deverá acusar aquele estado como

instável. Se, pelo contrário, o FC convergir para um estado de operação, o SmartStability

deve acusá-lo como estável (Figura 5.1).

5.1 Experimentos 55

Sistema

E1

E2

Em

. . .

SmartStability

EstáveldQdU<0

Fluxo de carga

EstáveldQdU<0

InstáveldQdU>=0

Estávelconvergiu

Estávelconvergiu

Instáveldivergiu

EstadoSistema

Figura 5.1: Execução do SmartStability e do FC sobre m estados de operação diferentes de

um mesmo sistema de potência.

O experimento é executado sobre os sistemas IEEE14, IEEE30 e IEEE118. Os dados

desses sistemas foram obtidos de [POW00] e são detalhados no Apêndice C. Observando

a Figura 5.1, percebe-se que é necessário um número de estados diferentes do sistema de

potência para realizar o experimento, mas em [POW00] apenas um caso base é fornecido para

cada sistema. Além disso, todos os casos base são estáveis para os sistemas considerados,

não sendo suficientes para realizar o experimento: é necessário obter alguns estados

instáveis. Outro fator importante é que a transição entre os estados estáveis e instáveis é

particularmente importante neste experimento e deve ser incluída.

Utilizando uma seqüência de FC da forma apresentada no Apêndice A.2, encontra-se o

valor máximo de consumo de potência ativa de cada barra de carga possível antes que o FC

divirja. A partir desses valores, pôde-se obter 10 novos estados para cada barra de carga do

sistema, partindo-se de 90% do valor final e incrementando este valor de 1 em 1% até chegar

aos 100% (Figura 5.2).

5.1 Experimentos 56

Sistema

L1

Estado

E1-1(90%)

E1-2(91%)

E1-10(100%)

. . .Último estado estável para barra L1100% do limite de estabilidade.

L1 com 90% do seu limite de estabilidade

L1 com 91% do seu limite de estabilidade

. . .

Ln

E2-1(90%)

E2-2(91%)

E2-10(100%)

. . .

Barra

Último estado estável para barra Ln.

Ln com 90% do seu limite de estabilidade

Ln com 91% do seu limite de estabilidade

Figura 5.2: Novos estados gerados a partir dos valores máximos de consumo encontrados.

Para coletar os dados das métricas do experimento, executou-se o SmartStability sobre

todos os estados dos sistemas – o caso base e os estados derivados. Para melhor visualizar os

resultados, em vez de apenas informar se o SmartStability acusou um estado como estável ou

instável, fez-se um estudo para descobrir a partir de qual valor percentual o SmartStability

acusaria o estado como instável, ou seja, se o SmartStability não acusar instabilidade ao

simular o estado “100%”, projetou-se o valor da porcentagem do estado que o SmartStability

iria indicar como primeiro estado instável. A projeção se baseia nos valores de dQ/dU

obtidos ao longo dos estados anteriores1.

Resultados

Após a execução do Experimento 1 sobre os sistemas em estudo, identificou-se uma

seqüência de valores que discriminam se o estado está instável ou estável. A partir desses

valores, derivaram-se valores máximos de carga para cada barra do sistema (como descrito

na Seção 5.1.1). Os resultados são apresentados nesta seção.

Sistema IEEE14 A Tabela 5.1 relaciona os valores encontrados pelo FC e pelo

SmartStability. A coluna “Carga fluxo de cargas” representa a Métrica 1 definida para

1À medida que os estados se aproximam de “100%”, mais próximo de zero o dQ/dU se torna.

5.1 Experimentos 57

este experimento e a coluna “Carga SmartStability” reprsenta a Métrica 2. A carga

encontrada pelo fluxo de carga foi utilizada como referência e representa 100%. A carga do

SmartStability foi comparada com essa referência e o percentual da terceira coluna da tabela

indica se o SmartStability identifica estados instáveis exatamente no momento esperado

(=100%), antes do momento esperado (< 100%) ou depois do momento esperado (> 100%).

Tabela 5.1: Limites de carga para o sistema IEEE14 calculados com o fluxo de carga e com

o SmartStability.

Barra Carga fluxo de cargas Carga SmartStability

4 6.4256 6.4385 (100.2%)

5 6.1955 6.2265 (100.5%)

9 3.1626 3.1626 (100.0%)

10 2.2817 2.2817 (100.0%)

11 2.2784 2.2784 (100.0%)

12 1.9029 1.8039 (94.8%)

13 2.8029 2.7749 (99.0%)

14 1.4574 1.4574 (100.0%)


SmartStability.


o SmartStability.

Barra Carga fluxo de cargas Carga SmartStability Barra Carga fluxo de cargas Carga SmartStability

3 560.38 564.863 (100.8%) 18 117.13 118.5356 (101.2%)

4 656.23 656.23 (100%) 19 121.15 122.9673 (101.5%)

7 517.24 506.8952 (98%) 20 125.77 127.405 (101.3%)

10 289.60 289.6 (100%) 21 212.98 213.8319 (100.4%)

12 280.21 280.21 (100%) 23 118.33 118.33 (100%)

14 128.82 132.0405 (102.5%) 24 135.42 137.1805 (101.3%)

15 194.96 195.7398 (100.4%) 26 36.48 37.2461 (102.1%)

16 175.34 176.0414 (100.4%) 29 44.50 44.9895 (101.1%)

17 206.93 207.7577 (100.4%) 30 45.42 46.1013 (101.5%)

5.1 Experimentos 58


SmartStability.


o SmartStability.

Barra Carga fluxo de cargas Carga SmartStability Barra Carga fluxo de cargas Carga SmartStability

2 790.90 794.8545 (100.5%) 58 477.50 482.7525 (101.1%)

3 843.10 850.6879 (100.9%) 60 2390.80 2414.71 (101.0%)

7 927.30 908.7539 (98%) 67 697.80 701.9868 (100.6%)

11 1020.90 1036.2135 (101.5%) 75 1153.40 1153.4000 (100%)

13 528.30 531.9981 (100.7%) 78 2140.80 2012.3520 (94%)

14 614.60 619.5168 (100.8%) 79 1480.00 1490.3600 (100.7%)

16 593.90 597.4634 (100.6%) 82 913.50 925.3755 (101.3%)

17 1101.20 1112.2120 (101.0%) 83 679.70 682.4188 (100.4%)

20 379.20 381.8544 (100.7%) 84 536.60 533.9170 (99.5%)

21 298.10 296.6095 (99.5%) 86 336.20 339.5620 (101%)

22 332.70 334.0308 (100.4%) 88 859.60 869.9152 (101.2%)

23 1125.10 1113.8490 (99.0%) 93 671.70 677.0736 (100.8%)

28 639.00 640.9170 (100.3%) 94 1028.80 1023.6560 (99.5%)

29 818.90 802.5220 (98.0%) 95 718.30 729.7928 (101.6%)

33 472.90 472.9000 (100%) 96 1036.40 1044.6912 (100.8%)

35 1022.80 1080.0768 (105.5%) 97 718.40 721.9920 (100.5%)

39 709.40 665.4172 (93.8%) 98 574.00 576.2960 (100.4%)

41 722.90 678.0802 (93.8%) 101 507.10 510.6497 (100.7%)

43 285.00 285.8550 (100.3%) 102 773.90 80795.1600 (100.4%)

44 274.00 276.1920 (100.8%) 106 734.60 727.2540 (99%)

45 463.30 467.4697 (100.9%) 108 639.20 683.9440 (107%)

48 825.70 836.4341 (101.3%) 109 586.20 593.2344 (101.1%)

50 587.40 600.9102 (102.3%) 114 862.50 871.1250 (101.0%)

51 487.80 493.16579 (101.1%) 115 869.20 877.8920 (101.0%)

52 367.10 367.4671 (100.1%) 117 254.90 256.6843 (100.7%)

53 396.70 399.0802 (100.6%) 118 785.30 777.4470 (99%)

57 474.50 479.245 (101.0%)

5.1 Experimentos 59

A Figura 5.3 mostra os resultados do Experimento 1 na forma de boxplots. Um boxplot

é uma maneira conveniente de apresentar graficamente grupos de dados. A linha horizontal

no centro do quadrado representa a mediana. As bordas inferior e superior do quadrado são

o 25o percentil e o 75o percentil, respectivamente. Valores atípicos são representados com o

símbolo “+”.

90

92

94

96

98

100

102

104

106

108

110

1

IEEE 14 bus

90

92

94

96

98

100

102

104

106

108

110

1

IEEE 30 bus

90

92

94

96

98

100

102

104

106

108

110

1

IEEE 118 bus

Figura 5.3: Boxplot com os resultados do Experimento 1. O valor 100% indica o resultado

obtido utilizando fluxos de carga. O gráfico refere-se a 8 valores para o IEEE14, 18 para

IEEE30 e 53 para IEEE118.

Pela figura acima, observa-se que para o sistema IEEE14 o SmartStability apresentou

mediana de exatamente 100%, com pequena variação nos dados. Além disso, existe um

pouco mais de ocorrências abaixo dos 100% que acima. Isso significa que o SmartStability

acusa os estados do IEEE14 como instáveis aproximadamente nos mesmos casos que o FC,

com uma tendência para acusá-los um pouco antes. Quando a instabilidade é acusada antes

em comparação com o FC, isso quer dizer que foi marcado como instável um estado para o

qual o FC ainda convergia (mas que estava prestes a divergir, quando a potência consumida

fosse aumentada mais um pouco).

Percebe-se, pela Figura 5.3, que à medida que o tamanho dos sistemas aumenta,

a quantidade absoluta de barras cujo estado de instabilidade foi identificado de forma

precipitada ou retardada (símbolos “+” abaixo ou acima de 100%, no boxplot) torna-se mais

5.1 Experimentos 60

numerosa. Para os sistemas analisados, a quantidade de pontos encontrados fora do boxplot

soma até 10% do número de barras total de cada sistema. Esse número não é alarmente,

uma vez que o desvio apresentado não é grande (menos de 2%). No entanto, há uma leve

tendência da mediana distanciando-se do valor de referência de 100%. Uma vez que os

sistemas de potência das áreas da CHESF possuem menos de 180 barras, isso faz com que

estejam dentro de uma região aceitável de precisão. Para sistemas de potência muito maiores,

a precisão do SmartStability pode não ser suficiente. A implementação do SmartStability não

é específica para o sistema da CHESF, mas atende atualmente a um tamanho de sistema um

pouco maior que o encontrado nos subsistemas da CHESF.

5.1.2 Experimento 2

Introdução

Este experimento tem como objetivo validar a implementação do método de Dimo do

SmartStability. Para esse objetivo, a questão a seguir foi definida.

Questão 1 Os cálculos realizados pelo SmartStability referentes à técnica de Dimo

coincidem com outras implementações existentes?

• Métrica 1: valores da matriz de admitâncias Ybus após eliminação de Gauss utilizando

o SmartStability e outra implementação.

• Métrica 2: corrente de curto circuito full-load Ic calculada com o SmartStability e

outra implementação.

• Métrica 3: corrente de curto circuito no-load Io calculada com o SmartStability e outra

implementação.

• Métrica 4: valor do dQ/dU calculado para o caso base utilizando o SmartStability e

outra implementação.

• Métrica 5: valor do dQ/dU calculado após o case worsening utilizando o

SmartStability e outra implementação.

5.1 Experimentos 61


Para identificar se os cálculos efetuados na implementação estão consistentes,

executou-se o SmartStability em exemplos com dados numéricos encontrados em algumas

referências. Ao todo, dois exemplos foram encontrados na literatura: um sistema de potência

de 3 barras em um artigo de Zaneta [EB08] e um sistema de 6 barras publicado em um livro

de Savulescu [Sav09, p. 320]. Os valores encontrados nas referências foram comparados

com os valores calculados pelo SmartStability. Por conta de poucos exemplos terem sido

encontrados na literatura, a capacidade de generalização deste experimento é limitada.

Mesmo assim, com base nos exemplos disponíveis, realizou-se a comparação de resultados.

Resultados

A Figura 5.4 é do sistema de potência encontrado em [EB08].

VLe

X'd = 0.25j

E = 1.1413 | 28.81º

Vg

VL= 1 | 0ºX = 0.1j X = 0.2j

u

~ ______

____

Figura 5.4: Sistema de potência descrito no artigo de Zaneta.

Para o sistema de potência da figura acima, Zaneta detalhou valores das correntes de

curto-circuito e do dQ/dU . Além disso, também mostrou valores de tensão, ângulo e

potência para cada passo do processamento do case worsening. O SmartStability encontrou

os mesmos valores de corrente de curto-circuito no-load e full-load descritos no artigo

(Ic = 2.07516 61.19o e Io = 1.81826 − 90o). Além disso, o mesmo valor de dQ/dU

foi encontrado para o caso base (dQ/dU = −1.268). O artigo de Zaneta contém uma

tabela em que cada linha corresponde a um estado do sistema de potência durante alguns

estágios do case worsening. Todos os valores calculados pelo SmartStability coincidem

exatamente. A Tabela 5.4 mostra os resultados encontrados pelo SmartStability (iguais aos

encontrados no artigo). A Figura 5.5 compara a imagem nodal formada para o caso inicial do

sistema de Zaneta e a imagem nodal final, após o processo de rotação anti-horária encontrar

o dQ/dU = 0 (rotação de 16.19o).

5.1 Experimentos 62

Tabela 5.4: Tabela com os resultados do procedimento de case worsening

com o SmartStability.

δ (o) Io (p.u.) Ii (p.u.) VL (p.u.) dQ/dU P (p.u.) Obs.

28,81 1,8182 1,00 1,00 -1,268 1,00 caso base

36,94 1,659 1,247 0,912 -0,720 1,138 segurança

40,00 1,589 1,334 0,874 -0,470 1,1664

45,00 1,467 1,4674 0,807 0 1,1844 crítico

δ=28,81º

δ'=45,00º

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,5

1,0

1,5

2,0

I'g1

Ig1

16.19º (rotação)

Parte imaginária das correntes de curto-circuito

Par

te r

eal

da

s co

rren

tes

de

curt

o-ci

rcui

to

On

O'n

ss'0

Figura 5.5: Imagem nodal antes (caso base) e depois (estado crítico) do procedimento de

case worsening no sistema de Zaneta.

Percebe-se que o case worsening do SmartStability (Seção 4.2.4) produz os mesmos

valores que o case worsening do artigo de Zaneta para o sistema considerado. Isso significa

que a autora teve a mesma idéia de realizar rotações anti-horárias nos pontos dos geradores

na imagem nodal. No entanto, o exemplo utilizado por Zaneta tem dados pouco heterogêneos

de forma que deixa ambíguo como a corrente de curto-circuito no-load Io é alterada à medida

que a rotação acontece. No exemplo, a corrente Io é o vetor que parte do ponto (0, 0) até

o ponto (s, 0). Observando a figura, percebe-se que s coincide com a projeção de On no

5.1 Experimentos 63

eixo das abscissas de modo que quando o ponto On é rotacionado, o ponto s é atualizado

e continua na projeção de On. Se s estivesse em uma posição arbitrária no caso base, seria

possível identificar o real comportamento do case worsening de Zaneta com relação a essa

variável. Em suma, verificou-se que os valores de todas as métricas definidas no experimento

foram coincidentes entre o trabalho de Zaneta e a execução do SmartStability.

Outro exemplo numérico utilizado para validar o SmartStability foi um sistema de seis

barras encontrado em [Sav09] (Figura 5.6).

2 7 8

4 9 3

X'd=0.00774

P2=17.50+3.0966j

V2=1.0/37.7086

V3=1.005/0.0

V4=0.98983/23.3255

V7=0.99243/34.828

V8=0.99962/17.349

V9=0.99962/0.0

X'd=0.00774

P3=0.3606j

P7= 4.69j P8= 0

P9= 17.50+0jP4= 2.4j

0.0085j 0.0357j

0.0428j

0.0214j 0.0357j

0.015j

Y/2=3.31j

Y/2=1.38j

Y/2=1.38j

Y/2=1.655j

Figura 5.6: Diagrama do sistema de 6 barras encontrado em [Sav09, p. 321].

A barra de carga selecionada como referência é a barra 9. Os valores apresentados na

Equação 5.3 – uma equação nodal do sistema de potência – representam a tensão, corrente e

admitância calculados por Savulescu para o exemplo acima. Esses valores são obtidos após

a etapa de eliminação de Gauss. Todos os valores coincidem em todas as casas decimais

exibidas com os valores calculados pelo SmartStability:

I2

I3

0

=

−21, 45j 0 23, 86j

0 −16, 28j 16, 28j

23, 86j 16, 28j −34, 014j

×V2

V3

V9

(5.3)

Com relação ao dQ/dU do caso base, Savulescu apresentou dois valores: -20,867

e -21,63. O primeiro valor foi calculado normalmente utilizando as equações de Dimo,

enquanto o segundo foi com base em um cálculo exato (usando um método direto com

5.1 Experimentos 64

modelagem completa dos geradores). O valor de dQ/dU para o caso base encontrado pelo

SmartStability foi -20,5304, portanto muito próximo ao encontrado por Savulescu. Todos os

três valores são menores que zero, logo representam um sistema estável.

Após a execução do procedimento de case worsening, o sistema é estressado até que

dQ/dU atinja o valor zero. Com isso, um novo valor para a potência total gerada

é encontrado. A potência calculada pelo SmartStability divergiu do valor relatado por

Savulescu: ele indica uma potência gerada de 1854 MW [Sav09, p. 343] enquanto o

SmartStability encontrou uma potência de 1946 MW.

Como resultado desse experimento, tem-se que a implementação do algoritmo de Dimo

no SmartStability está de acordo com as duas referências citadas até o ponto imediatamente

anterior ao case worsening. Isso significa que os cálculos da matriz Ybus, a eliminação de

barras, a expansão do sistema e o cálculo do critério de estabilidade dQ/dU estão corretos.

Com relação ao algoritmo de case worsening, o SmartStability apresentou uma pequena

diferença na potência de geração – 1854 MW contra 1946 MW – quando comparada com a

de Savulescu. Uma vez que o algoritmo de case worsening implementado por Savulescu não

está disponível na literatura e dadas as possibilidades de movimentação nas imagens nodais,

era esperado que realmente houvesse diferenças no algoritmo implementado. Analisando o

exemplo acima, nota-se que o SmartStability identificou uma distância para a instabilidade

um pouco maior que a real: isso significa que quando o sistema elétrico alcançar seu limite de

estabilidade, o SmartStability estará indicando um estado menos crítico. De qualquer forma,

para um operador que esteja utilizando o SmartStability como ferramenta de trabalho, essa

diferença não é suficiente para prejudicar a identificação correta das barras mais críticas, pois

sua ordenação – barras mais críticas para menos críticas – permanece.

5.1.3 Experimento 3

Introdução

Este experimento tem a finalidade de avaliar o tempo de processamento do

SmartStability. Para atingir esse objetivo, formularam-se algumas questões e métricas,

listadas a seguir:

5.1 Experimentos 65

Questão 1 Qual é a relação entre o tamanho dos sistemas de potência e o tempo necessário

para executar o SmartStability?

• Métrica 1 – seqüência com os tempos médios de processamento por barra para

sistemas de potência de tamanhos diferentes:

T Sbus = (T S1 , TS2 , . . . , T

Si , . . . , T

Sn ) (5.4)

em que T Si é o tempo médio – em ms – para calcular a estabilidade da barra i de

um sistema S, em que 1 ≤ i ≤ n com n sendo o numero de barras de carga. Os

sistemas de potência possuem número de barras (tamanho) crescente.

• Métrica 2 – tempo total médio por sistema:

T Stotal =n∑i=1

TSi (5.5)

isto é, o tempo total médio gasto para calcular a estabilidade de todas as barras de

um sistema S. Medido em milisegundos e executado sobre sistemas de potência de

tamanhos diferentes.

Questão 2 Qual é a relação entre o tempo de processamento do SmartStability e o tempo

de processamento da técnica de Dimo divulgado na literatura?

• Métrica 1 – tempo de processamento por barra do SmartStability.

• Métrica 2 – tempo de processamento por barra encontrado na literatura.


Vários sistemas de potência com tamanho uniformemente crescente foram utilizados

para avaliar o tempo de processamento total e por barra do SmartStability. Além disso,

comparou-se o desempenho do SmartStability com o desempenho da implementação da

técnica de Dimo encontrado em [Sav05]. O computador utilizado na execução deste

experimento tem a seguinte configuração:

• Processador: Intel Core 2 Duo de 2.80 Ghz.

5.1 Experimentos 66

• Memória RAM: 2 GB.

• Sistema Operacional: Windows XP Home Edition.

Resultados

Inicialmente, calculou-se o tempo de processamento para os sistemas de potência

IEEE14, 30 e 118 e para o sistema CHESF Leste. A Tabela 5.5 apresenta o tempo total

de processamento e o tempo total por barra de cada sistema simulado.

Tabela 5.5: Tempo necessário para processar alguns sistemas.

Sistema Tamanho* Tempo total (ms)** Tempo por barra (ms)**

IEEE14 14/5/9/10 (20,4183; 25,0817) (2,0828; 2,6394)

IEEE30 30/6/24/41 (107,1576; 121,6424) (5,4073; 6,1527)

IEEE118 118/54/64/186 (7198,46; 7268,45) (130,2558; 140,2242)

CHESF Leste 173/35/138/260 (16218,98; 17097,32) (307,8293; 316,6107)

* Número total de barras / barras de geração / barras de carga / número de linhas.

** Intervalo de confiança de 95% (IC(95%)). A distribuição do tempo de processamento é Normal.

- Tamanho das amostras: 50. Numéro de threads: 2

Observando os dados acima, percebe-se que o tempo para processar uma barra de carga

do sistema IEEE14 tem IC(95%) = (2, 0828; 2, 6394), ou seja, ele se encontra – com 95%

de probabilidade – entre 2,0828 e 2,6394ms. Esse valor é cerca de 2,5 vezes menor que o

tempo para processar uma barra do sistema IEEE30. Apesar de IEEE30 ter quase o dobro

de barras que IEEE14, ele tem 4 vezes mais linhas de transmissão e uma proporção entre

barras de geração e barras de carga diferente. Por conta disso, utilizar apenas os sistemas da

Tabela 5.5 para analisar o crescimento do tempo de processamento do SmartStability não é

adequado: o número de barras de geração, de carga e de linhas está variando com proporções

diferentes.

Com o objetivo de medir o tempo de processamento de sistemas semelhantes, porém

com uma complexidade crescente, criaram-se alguns sistemas fictícios que detêm as mesmas

proporções entre seus equipamentos. As proporções consideradas foram as seguintes

(baseadas no sistema CHESF Leste):

5.1 Experimentos 67

• Proporção entre o número de barras de geração g e o número de barras de carga n:

n = g × 4

• Proporção entre o número de linhas de transmissão m e o número de barras n+ g:

m = (n+ g)× 1, 50

Utilizando as proporções acima, geraram-se 21 sistemas de potência com o número de

barras crescente: 50, 60, 70, ..., 240 e 250. A Figura 5.7 apresenta o tempo de processamento

desses sistemas.

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 2500

500

1000

1500

Numero de Barras

Tem

po (

ms)

Figura 5.7: Tempo de processamento por barra de 21 sistemas de potência.

Pelo gráfico acima, percebe-se que o SmartStability consegue executar um sistema de

240 barras e 360 linhas de transmissão em aproximadamente um segundo. O sistema

CHESF Leste, administrado na CHESF pela equipe do Centro Regional de Operação

Leste (CROL), possui 173 barras2. Dessa forma, o tempo necessário para processar a

informação de estabilidade do sistema CHESF Leste é adequado para aplicações em

tempo real, obedecendo o mesmo tempo citado por Savulescu em suas publicações

(desconsiderando o tempo de comunicação com o estimador de estados). De fato, se

2Nas 173 barras do sistema CHESF Leste, incluem-se algumas barras que na verdade são de outras áreas.

Elas precisam estar no modelo pois fazem a ligação entre a área leste com o restante do sistema CHESF.

5.1 Experimentos 68

apenas o tempo de processamento for analisado – um segundo – , percebe-se que é o mesmo

tempo indicado na literatura por Savulescu (Questão 2). Os sistemas de potência processados

por Savulescu, no entanto, são bem maiores que os processados pelo SmartStability: ele cita

um sistema da ordem de 2.000 barras. Apesar de o SmartStability não ser capaz de processar,

atualmente, um sistema desse tamanho em tempo satisfatório, existem possibilidades viáveis

de melhorias do tempo de resposta. Alguns exemplos:

Operações com matrizes Uma parte significativa do tempo utilizado para processar a

técnica de Dimo é decorrente de operações matemáticas sobre matrizes. Da época da

implementação da eliminação de Gauss, procurou-se um framework matemático para Java

que fosse capaz de realizar operações (multiplicação, decomposição, inversão, etc.) sobre

matrizes esparsas e complexas de duas dimensões. É importante que sejam matrizes esparsas,

pois em sistemas de potência o número de linhas de transmissão é muito inferior à N2,

em que N = n + g é o número total de barras. Um sistema de 100 barras poderia ter

até 10.000 linhas de transmissão, se toda barra se conectasse a todas as outras, mas na

realidade o número de linhas é muito menor. Considerando os frameworks analisados –

Jampack [Ste07], JAMA [oST00], ojAlgo [Opt10], Apache Commons Math [Fou10], UJMP

[UJM10] –, nenhum deles dá suporte a todas as características desejadas: normalmente

os frameworks lidam com matrizes densas reais, esparsas reais ou densas complexas, mas

não com matrizes esparsas e complexas com todas as operações. O SmartStability utiliza o

framework Jampack para grande parte das operações de matrizes, apesar do inconveniente

de o Jampack operar apenas sobre matrizes densas. Uma forma de reduzir o tempo de

processamento do SmartStability é utilizar ferramentas matemáticas que se aproveitem da

simetria e esparsidade das matrizes dos sistemas de potência para ganhar em desempenho.

Modelagem O SmartStability tem uma modelagem Orientada a Objetos (OO). Apesar

de suas vantagens, o fato de as informações sobre diferentes entidades do sistema estarem

dispostas em objetos separados exigiu que essas informações fossem agrupadas antes de

operações matemáticas. Isso criou um overhead no sistema que poderia ser diminuído com

uma modelagem diferente (não necessariamente completamente não-OO).

O tempo apresentado na Figura 5.7 refere-se ao tempo de processamento médio de

5.1 Experimentos 69

uma única barra de carga para sistemas de potência diferentes. Para entender o tempo de

processamento total, considere-se um sistema com n barras de carga e com tempo médio

T de processamento de uma barra. A priori, o tempo total para calcular a distância para a

instabilidade de todas as barras de carga desse sistema seria Ttotal = n× T . Na prática, dois

fatores contribuem para um tempo de processamento menor:

1. Barras relevantes – nem todas as barras de carga são consideradas relevantes pelo

operador do sistema elétrico3. Tomando o sistema real CHESF Leste como exemplo,

avaliou-se que cerca de 77% das barras de carga são fictícias e 60% possuem consumo

de potência igual a zero – essas são as barras não-relevantes. Com base nessa

informação, lista-se na Tabela 5.6 o tempo de processamento estimado para 21

sistemas de potência – os mesmos da Figura 5.7. O comportamento do sistema CHESF

Leste é similar ao do sistema “160/120/240”. O número de barras considerados

na prática é cerca de 46% (77%×66%) menor que n – e isso reduz o tempo de

processamento total.

2. Paralelismo – o cálculo da distância para a instabilidade é realizado para cada barra de

carga de forma independente. Isso faz com que o planejamento de jobs (unidades de

execução) na paralelização do SmartStability seja trivial: é possível criar um cenário

de execução separado para cada barra de carga (Figura 5.8). Dessa forma, pode-se

reduzir o tempo de processamento de uma barra utilizando múltiplas threads ou grids

computacionais. O módulo SmartStability consegue usar threads extras para aumentar

a velocidade de processamento, mas não utiliza processamento em grids. Uma vez

que o computador utilizado na avalição possui dois núcleos de processamento, duas

threads propiciaram o melhor resultado.

3O estimador de estados informa sobre barras fictícias e barras reais. Os operadores não consideraram as

barras fictícias como relevantes, pois não representam exatamente equipamentos físicos instalados em campo.

Informar a estabilidade de barras fictícias – ou de barras com carga igual a zero – não contribui diretamente

para que o operador identifique e encontre problemas. Por conta disso, a interface gráfica do SmartStability

mostra apenas as barras mais importantes.

5.1 Experimentos 70

Tabela 5.6: Tempo de processamento total de 21 sistemas de potência com número de barras

crescente.

Sistema∗ Relevantes∗∗ T. médio (ms) T. total (s)∗∗∗ Sistema∗ Relevantes∗∗ T. médio (ms) T. total (s)∗∗∗

50/37/75 17, 09 13, 30 0,23 160/120/240 55, 44 309, 05 17,13

60/45/90 20, 78 22, 40 0,47 170/127/255 58, 68 345, 80 20,37

70/52/105 24, 00 36, 40 0,88 180/135/270 62, 37 380, 10 23,71

80/60/120 27, 72 46, 20 1,28 190/142/285 65, 60 525, 35 34,59

90/67/135 30, 95 88, 90 2,77 200/150/300 69, 30 616, 00 42,69

100/75/150 34, 65 91, 00 3,15 210/157/315 72, 53 665, 35 48,41

110/82/165 37, 88 116, 55 4,44 220/165/330 76, 22 742, 35 56,59

120/90/180 41, 58 141, 40 5,88 230/172/345 79, 46 947, 10 75,48

130/97/195 44, 81 170, 10 7,66 240/180/360 83, 16 1034, 60 86,04

140/105/210 48, 51 209, 65 10,17 250/187/375 86, 40 1256, 15 108,81

150/112/225 51, 74 233, 80 12,15

∗ Tamanho: número total de barras / número de barras de carga / número de linhas.∗∗ Barras relevantes: número de barras consideradas relevantes. Num sistema de potência real, o número de barras sempre é um valor

inteiro. O valor apresentado na tabela trata-se de uma estimativa, por isso é um número decimal. As proporções foram tiradas do sistema

CHESF Leste: n× 0, 77× 0, 60, em que n é o número de barras de carga; 77% das barras são não-fictícias e e 60% das barras tem carga

PL > 0.∗∗∗ Tempo total: número de barras consideradas multiplicado pelo tempo médio de processamento de uma barra.

SmartStability

Em paralelo

...


(Barra 1)


(Barra 2)


(Barra n)

...

Processo 1

Processo 2

Processo n

Figura 5.8: Paralelização do módulo SmartStability.

A subseção a seguir apresenta um relato de experiência dos usuários do SmartAlarms ao

utilizarem o SmartStability após o período de implantação.

5.1.4 Relato de experiência

Esta seção apresenta um relato da utilização do SmartStability em um sistema de potência

real. O relato ajuda a demonstrar a utilidade do módulo desenvolvido na tomada de decisão

5.1 Experimentos 71

dos operadores.

Em maio de 2010, a equipe do Centro Regional de Operação Leste (CROL) da CHESF

identificou a existência de um anel de 138kV que estava operando em aberto em função

de restrições eletromagnéticas. Ao permanecer nessa configuração, as tensões do eixo de

138kV acabaram ficando instáveis. Um dos operadores do CROL observou no SmartStability

como estava o comportamento de cada barra e verificou que uma barra específica estava

operando no amarelo a maior parte do dia, chegando muito próxima do vermelho em alguns

horários. Após essa constatação, o operador entrou em contato com a Divisão de Estudos da

Operação do Sistema Elétrico (DOEL), informando a situação. Um estudo de fluxo de carga

foi feito com base na barra identificada como instável a fim de verificar que ponto seria mais

apropriado para realizar uma abertura do anel. Após o estudo, verificou-se que seria possível

deixar o anel fechado, contanto que uma das linhas de transmissão que operavam em paralelo

ficasse aberta em vazio. O gráfico da barra que constantemente operava no amarelo passou a

operar no verde.

O caso acima exemplifica bem a utilidade do SmartStability na operação do sistema

elétrico: a informação de distância para a instabilidade auxiliou os operadores a encontrarem

anomalias no sistema de potência. A correção dessas anomalias, além de benéfica para o

estado atual do sistema em si, também pode ter evitado possíveis ocorrências no sistema de

potência.

Capítulo 6

Trabalhos Relacionados

Este capítulo tem como objetivo relatar trabalhos que tratam de avaliação de estabilidade

dinâmica e de distância para a instabilidade.

O método convencional de avaliar a estabilidade dinâmica a partir de pequenas

perturbações consiste em examinar os autovalores da equação característica [AF90; Ven77]

associada a um sistema linearizado de equações diferenciais. A condição para a estabilidade

dinâmica é obtida avaliando o sinal do último termo da equação característica, que é o

determinante do Jacobiano dinâmico. Um obstáculo significativo dessa abordagem é a

representação dos geradores, que precisa ser detalhada. Métodos com análise detalhada

implicam em modelar as máquinas síncronas através de funções de transferência. Os

dados de sistema requeridos, a complexidade dos algoritmos relacionados e a pesada carga

computacional fazem dessas técnicas impraticáveis em tempo real [Sav09]. Como alternativa

à modelagem detalhada dos geradores, pode-se simplificar algumas de suas características

e obter uma modelagem aproximada, mas ainda próxima da real. Com uma modelagem

aproximada, ganha-se grandemente no tempo de processamento, embora a informação de

estabilidade calculada não seja exata. Com isso, quando o interesse for implementar um

método de avaliação de estabilidade em tempo real ou on-line, a técnica deve abrir mão de

uma modelagem detalhada dos geradores em detrimento de uma modelagem simplificada.

Calcular a distância para a instabilidade exige uma quantidade ainda maior de cálculos

que simplesmente avaliar a estabilidade atual de um sistema. Dessa forma, novamente, um

método com modelagem simplificada mostra-se necessário num contexto em tempo real.

Exemplos de técnicas nessa última categoria são: a Análise Nodal de REI-Dimo e a extensão

72

73

da técnica de Dimo proposta por Savulescu.

A Análise Nodal de REI-Dimo A Análise Nodal de REI-Dimo é uma técnica de avaliação

de estabilidade cuja modelagem dos geradores é simplificada1. Foi formulada inicialmente

em 1975 por Paul Dimo e hoje é utilizada em alguns países como auxílio ao operador do

sistema elétrico. Essa técnica é descrita detalhadamente no Capítulo 3.

Extensão da Análise Nodal realizada por Savulescu Savu Savulescu estendeu a técnica

de Dimo, permitindo que se obtenha a distância para a instabilidade de um sistema de

potência como um todo, em vez de do ponto de vista de uma barra específica. Para isso,

Savulescu adicionou uma nova etapa no método de Dimo2: ele cria uma barra fictícia3 que

representa todas as outras barras de carga. Após adicionar a barra fictícia ao sistema, as

demais barras de carga são eliminadas. Dessa forma, ao executar o restante do método

de Dimo, obtém-se a distância para a instabilidade “do ponto de vista” de todas as barras

do sistema de uma única vez – com o tempo de processamento de uma única execução de

Dimo. A técnica de Savulescu, no entanto, apesar de fornecer a distância para a instabilidade

do sistema como um todo, não permite identificar que barras do sistema estão mais próximas

da instabilidade. Esse nível de detalhe é importante quando o operador precisa localizar

anormalidades no sistema para encontrar uma solução para uma possível instabilidade.

A Tabela 6.1 resume as características consideradas nos trabalhos relacionados para a

implementação do SmartStability e sua implantação em um centro operacional. Na tabela,

indica-se:

• Precisão – a estabilidade avaliada é exata ou aproximada?

• Localização – a estabilidade avaliada é referente ao sistema como um todo ou a uma

parte específica dele?

• Estabilidade Atual – a técnica indica se o estado atual do sistema está instável ou

estável?1Para entender quais são as simplificações, ver Seção 3.3.2A nova etapa foi inserida antes da etapa 3, listada na Seção 3.2.4.3Ao sistema após a adição dessa barra, ele chama de Zero Power Balance Network (ZPBN).

74

• Distância para a Instabilidade (ou índice de estabilidade) – a técnica indica qual é a

distância do estado atual para um futuro estado de instabilidade?

• Velocidade de Execução – a técnica é apropriada para ser usada off-line, on-line ou em

tempo real?

• Visualização – como a informação pode ser visualizada?

Tabela 6.1: Características de algumas técnicas de avaliação de estabilidade.

Jacobiano Dimo Savulescu SmartStability

Precisão Exata Aproximada Aproximada Aproximada

Localização Geral Por Barra Geral Por Barra

Estabilidade Atual Sim Sim Sim Sim

Distância para a Instabilidade Não∗ Sim Sim Sim

Velocidade de Execução Off-line Tempo real Tempo real On-line∗∗

Visualização Geral Imagens Nodais Medidor VU Medidor VU

∗ “Sim” somente com múltiplas execuções, mas isso torna inviável pelo tempo de processamento.∗∗ On-line, pois o tempo de espera na comunicação com o estimador de estados (5 minutos) torna o tempo de

resposta muito longo com o usuário final (o operador do sistema de potência). Somente se a informação de

estabilidade fosse fornecida de forma mais instantânea que o método seria considerado em tempo real.

Perceba-se que o SmartStability possui os mesmos valores para as características

“Precisão”, “Localização”, “Estabilidade Atual” e “Distância para a Instabilidade” da técnica

de Dimo, por ser uma nova implementação dessa. A visualização foi baseada na técnica de

Savulescu.

Decidiu-se implementar a técnica de Dimo no SmartStability por ela: 1) avaliar tanto

a estabilidade atual quanto a distância para a instabilidade; 2) permitir a localização das

barras do sistema de potência que mais contribuem para a instabilidade; 3) possui um

número de simplificações compatíveis com o sistema da CHESF, onde foi implantado; e

4) ser comprovadamente utilizada em tempo real em alguns países do mundo [Dim75;

Sav05; Sav09; CIG07]. A técnica de Dimo, no entanto, tem a desvantagem de possuir uma

visualização muito técnica e de interpretação demorada: as imagens nodais. Savulescu, por

sua vez, propôs gráficos em formato de um medidor de VU para indicar a distância para

75

a instabilidade, podendo ser facilmente interpretados pelos operadores “em um lance de

olhos”. Escolheu-se utilizar os gráficos de Savulescu no SmartStability pela sua praticidade.

Neste capítulo, apresentaram-se as principais técnicas de avaliação de estabilidade

dinâmica. Explicou-se que a técnica convencional que possui um modelo detalhado de

representação dos geradores não pode ser executada em tempo real ou on-line devido a seu

elevado custo computacional. Apresentaram-se duas técnicas cuja modelagem simplificada,

que viabilizam um menor tempo de processamento: a técnica de Dimo e a extensão de

Savulescu. As características importantes dessas técnicas foram listadas e comparadas com

as características finais do SmartStability.

Capítulo 7

Conclusão

Este documento apresentou o SmartStability, uma ferramenta de avaliação de

estabilidade em sistemas elétricos de potência. Mostrou-se o SmartStability como um meio

de auxiliar os operadores de sistemas elétricos a evitarem possíveis ocorrências, identificando

e corrigindo problemas de forma antecipada.

Inicialmente, foram discutidos os requisitos do SmartStability: ser capaz de fazer a

avaliação de estabilidade dinâmica, possuir um comportamento pró-ativo, possuir uma

visualização intuitiva para o operador, etc. Alguns métodos de avaliação de estabilidade

dinâmica foram estudados. Como resultado, a Análise Nodal de REI-Dimo foi escolhida por:

1) avaliar a estabilidade dinâmica e de tensão; 2) calcular a distância para a instabilidade,

característica que proporcionou comportamento pró-ativo à ferramenta; e 3) possuir relatos

de utilização, em alguns países, de ferramentas em tempo real baseadas na técnica de Dimo1.

Apesar de a técnica de Dimo em si não possuir uma visualização simples e intuitiva, um

trabalho posterior de Savulescu propôs uma forma de visualização de fácil leitura, a qual foi

incorporada ao SmartStability.

Após a escolha do método de Dimo, iniciou-se o desenvolvimento do Módulo de Gestão

Pró-Ativa do projeto SmartAlarms: o SmartStability. Ele possui uma implementação do

método de Dimo com exceção do algoritmo de case worsening. Este algoritmo, por não

estar disponível na literatura, teve de ser desenvolvido por este trabalho, sendo uma de suas

contribuições. Alguns aspectos de implementação do módulo foram descritos e seu projeto

1Exemplo de ferramenta comercial baseada em Dimo: QuickStab [QUI09]. Como essas são ferramentas

comerciais, não se pôde utilizá-las diretamente durante a fase de implementação e validação do SmartStability.

76

77

arquitetural foi detalhado. De forma geral, o SmartStability adquire dados dos sistemas de

potência a partir do software estimador de estados instalado na CHESF e exibe a informação

de estabilidade em um browser, atualizado automaticamente, para o operador. Para avaliar a

ferramenta desenvolvida, foram realizados três experimentos com características distintas.

O experimento 1 foi realizado sobre três sistemas de potência de tamanhos diferentes com

o objetivo de identificar se o SmartStability reconhece um estado como estável ou instável de

forma correta. Como resultado do experimento, observou-se que o SmartStability respondia

de forma consistente com a técnica comparada (fluxos de carga). Devido à diferença na

modelagem dos geradores, era esperado que os resultados não fossem realmente idênticos,

mas aproximados.

A finalidade do experimento 2 foi validar a implementação do método de Dimo presente

no SmartStability. Dos dois exemplos numéricos encontrados na literatura, o SmartStability

apresentou resultados idênticos ao sistema reportado por Zaneta e resultado aproximado

ao reportado por Savulescu. No caso de Savulescu, a divergência é devida a diferenças

existentes nas duas versões do case worsening: a do SmartStability e a de Savulescu.

O experimento 3 foi conduzido com o objetivo de medir o tempo gasto no cálculo da

estabilidade. Como resultado, tem-se que o SmartStability consegue processar sistemas

de potência de abrangência sub-regional – que é o caso do CHESF/Leste2, onde ele

encontra-se instalado no momento – com o mesmo tempo de processamento (< 1s) que

a ferramenta de Savulescu consegue processar sistemas de abrangência nacional. Dessa

forma, o SmartStability não aproveitou completamente as simplificações do método de

Dimo para ganhar em velocidade. No entanto, percebeu-se que o tempo de processamento

poderia ser reduzido a partir de algumas modificações, a exemplo de melhorias no

framework matemático e de paralelização do algoritmo. Atualmente, pode-se considerar

o SmartStability como uma ferramenta on-line de avaliação de estabilidade, por conseguir

avaliar a estabilidade de todas as barras de carga dos sistemas da CHESF em menos de 20

segundos. Como o estimador de estados demora cerca de 5 minutos para fornecer os dados

do sistema, o SmartStability exibe atualmetne para o operador a avaliação de estabilidade

nesse mesmo período. Caso essa exibição fosse quase instantânea (menos de 1 segundo, por

2Os outros sistemas de potência da CHESF (Norte, Oeste, Maranhão, etc.) possuem tamanho menor ou

equivalente ao do sistema CHESF/Leste.

7.1 Limitações 78

exemplo), a ferramenta se enquadraria como em tempo real.

Por fim, foi apresentado um relato de experiência reportado por um membro da equipe

do CROL/CHESF que detalha como o SmartStability foi utilizado com sucesso, em maio de

2010, para encontrar anomalias na configuração do sistema elétrico.

7.1 Limitações

Após a conclusão do trabalho, as seguintes limitações podem ser identificadas:

1. Tempo gasto na execução de sistemas de potência maiores que CHESF/Leste muito

alto.

2. Tempo de espera na comunicação entre o SmartStability e o estimador de estados muito

longo (5 minutos).

3. Operadores não conseguem identificar “tendências” na distância para a instabilidade

das barras; eles visualizam apenas a informação instantânea.

7.2 Trabalhos futuros

Embora a ferramenta tenha sido implementada e esteja em operação no Centro Regional

de Operação Leste da CHESF, ela ainda carece de refinamentos. Com o intuito de melhorar o

desempenho ou qualidade da ferramenta, enumera-se as seguintes propostas de refinamentos:

1. Melhorias no tempo de resposta: desenvolvimento de melhorias a fim de diminuir o

tempo necessário para calcular a distância para a instabilidade de uma barra. Algumas

sugestões de melhoramentos encontram-se na Seção 5.1.3.

2. Agilização na aquisição de dados do estimador de estados: a redução do tempo

de aquisição de dados é importante, pois atualmente o SmartStability precisa esperar

5 minutos por cada exportação de arquivos. A solução atual não utiliza o banco de

dados em tempo real da CHESF, pois ele não possui todas as variáveis necessárias –

em especial, não possui o ângulo de tensão. Uma integração direta foi evitada pela

7.2 Trabalhos futuros 79

atual ausência de uma API adequada e bem definida entre o estimador de estados e um

software externo.

3. Histórico da distância para a instabilidade: adicionar um gráfico na interface do

SmartStability contendo o histórico dos últimos segundos, minutos e horas da distância

para a instabilidade. Isso auxiliaria o operador a identificar tendências na estabilidade

de uma barra.

Com o objetivo de adicionar uma nova funcionalidade ao SmartStability, tem-se:

• Implementação de avaliação de segurança baseada no SmartStability: é possível

utilizar o SmartStability para realizar a Avaliação de Segurança a partir da simulação de

contingências – em especial, da simulação de perda de linhas de transmissão. A idéia

básica é simular a perda de cada linha de um sistema de potência e identificar o estado

de estabilidade subseqüente: com essa informação, o operador poderia identificar,

além das barras e geradores, quais linhas estão mais próximas da instabilidade.

A modelagem nodal dos sistemas de potência presente no SmartStability facilita

a simulação de perdas de linhas – foram realizados alguns estudos iniciais que

demonstraram que o tempo de processamento da simulação de uma perda de linha é

inferior à 20ms e tem complexidade O(1). Além disso, também ficou constatado que

a estabilidade calculada com essa simulação de perda de linha é idêntica à estabilidade

calculada com uma perda de linha simulada com um fluxo de carga. No entanto, para

utilizar o SmartStability na avaliação de segurança, é necessário identificar se existe ao

menos uma barra instável para cada perda de linha simulada. Isso impossibilitou sua

aplicação devido a restrições de tempo – um sistema de 100 barras e 150 linhas exigiria

100 × 150 = 15.000 execuções do SmartStability. Por conta disso, é importante

conhecer a estabilidade do sistema como um todo de uma única vez, e não barra por

barra. Um possível trabalho futuro seria incorporar o método de Savulescu, capaz

de calcular a estabilidade de um sistema como um todo, e utilizá-lo em conjunto

com a simulação de perda de linhas do SmartStability para realizar uma avaliação

de segurança on-line.

Bibliografia

[ADF+05] G. Andersson, P. Donalek, R. Farmer, N. Hatziargyriou, I. Kamwa, P. Kundur,

N. Martins, J. Paserba, P. Pourbeik, J. Sanchez-Gasca, R. Schulz, A. Stankovic,

C. Taylor, and V. Vittal. Causes of the 2003 major grid blackouts in north america

and europe, and recommended means to improve system dynamic performance.

Transactions on Power Systems, IEEE, 20(4):1922–1928, 2005.

[AF90] P. M. Anderson and A. A. Fouad. Power System Control and Stability. Iowa

University Press, 1990.

[CEP09] CEPEL - Centro de Pesquisas de Energia Elétrica. Programa de Análise de

Redes - Manual do Usuário, Junho 2009.

[CIG07] CIGRÉ Technical Brochure. Review of On-line Dynamic Security Assessment

Tools and Techniques, Janeiro 2007.

[Dim75] Paul Dimo. Nodal Analysis of Power Systems. Taylor & Francis, 1975.

[DOM09] dom4j, 2009. Disponível em http://dom4j.sourceforge.net/ em

maio de 2010.

[Dua03] Alexandre Nóbrega Duarte. Tratamento de eventos em redes elétricas: Uma

ferramenta. Dissertação de Mestrado, COPIN/ CCT/UFCG, Fevereiro 2003.

[EB08] Zaneta Eleschova and Anton Belan. The power system steady-state stability

analysis. AT&P journal PLUS2, 2008.

[EOS94] Samuel R. Erwin, Michael L. Oatts, and Savu C. Savulescu. Predicting

steady-state instability. Computer Applications on Power Systems, IEEE, 1994.

80

BIBLIOGRAFIA 81

[Fin04] US-Canada Power System Outage Task Force. Final Report on the August 14,

2003 Blackout in the United States and Canada: Causes and Recommendations,

2004.

[Fou10] Apache Foundation. Apache commons math, 2010. Disponível em http:

//commons.apache.org/math/ em maio de 2010.

[Fow04] Martin Fowler. Inversion of control containers and the dependency

injection pattern, 2004. Disponível em http://martinfowler.com/

articlesinjection.html em maio de 2010.

[JUN09] Junit 4, 2009. Disponível em http://www.junit.org/ em maio de 2010.

[LM06] W. Lei and K. Morison. Implementation of online security assessment. Power

& Energy Magazine, IEEE, 4(5):46–59, 2006.

[Mei06] A. Meier. Electric Power Systems - An Conceptual Introduction. Wiley-IEEE

Press, 2006.

[Nor96] North American Electric Reliability Corporation. Available Transfer Capability

Definitions and Determination, 1996.

[Opt10] Optimatika. ojalgo, 2010. Disponível em http://ojalgo.com/ em maio

de 2010.

[oST00] NIST National Institute of Standards and Technology. Jama: Java

matrix package, 2000. Disponível em http://math.nist.gov/

javanumerics/jama/ em maio de 2010.

[POW00] Power systems test case archive, 2000. Disponível em http://www.ee.

washington.edu/research/pstca/ em maio de 2010.

[QUI09] Quickstab, 2009. Disponível em http://www.quickstab.com/ em junho

de 2010.

[Sav05] S. C. Savulescu. Real-Time Stability in Power Systems: Techniques for Early

Detection of the Risk of Blackout. Springer, 2005.

BIBLIOGRAFIA 82

[Sav09] S. C. Savulescu. Real-Time Stability Assessment in Modern Power System

Control Centers. Wiley, 2009.

[SB99] R. Solingen and E. Berghout. The Goal/Question/Metric Method: a pratical

guide for quality improvement of software development. The McGraw-Hill

Companies, 1999.

[SEA68] Glenn W. Stagg and Ahmed H. El-Abiad. Computer Methods in Power System

Analysis. McGraw-Hill, 1968.

[Sil98] A. J. Silva. Sage architecture for power system competitive environments. VI

SEPOPE Salvador/BA, Maio 1998.

[SOP+93] Savu C. Savulescu, Michael L. Oatts, J. Gregory Pruitt, Frank Williamson,

and Rambabu Adapa. Fast steady-state stability assessment for real-time and

operations planning. Transactions on Power Systems, IEEE, 1993.

[SPR09] Spring framework, 2009. Disponível em http://www.springsource.

org/ em maio de 2010.

[Ste07] G. W. Stewart. Jampack: A java package for matrix computations, 2007.

Disponível em http://www.mathematik.hu-berlin.de/~lamour/

software/JAVA/Jampack/ em maio de 2010.

[UJM10] UJMP. Universal java matrix package, 2010. Disponível em http://www.

ujmp.org/ em maio de 2010.

[VCC07] Costas Vournas, Thierry Van Cutsem, and Thierry Van Cutsem. Voltage Stability

of Electrical Power Systems. Springer, Outubro 2007.

[Ven77] V. V. Venikov. Transient Processes in Electrical Power Systems. MIR Publishers,

1977.

[ZC96] Fang Da Zhong and T. S. Chung. Dynamic single machine equivalent techniques

for on-line transient stability assessment. Electric Power Systems Research,

1996.

[ZF05] Zhang and Fuzhen. The Schur Complement and Its Applications. Springer, 2005.

Apêndice A

Conceitos em sistemas elétricos de

potência

A.1 Solução do fluxo de carga

O objetivo do fluxo de carga é obter informação completa sobre um ponto de operação

do sistema de potência (regime permanente). Para um determinado carregamento, obtêm-se

as tensões de todas as barras. Uma vez que essa informação é conhecida, as transmissões

de potência real e reativa em cada linha podem ser analiticamente determinadas. Devido à

natureza não-linear desse problema, é necessário empregar métodos numéricos para obter

uma solução com precisão aceitável.

A equação que descreve um sistema de potência é descrita por

Ibus = Ybus × Ebus (A.1)

em que Ibus é o vetor de correntes injetadas nos nós da rede; Ybus é o vetor de tensões dos

nós com relação à terra e Ebus é a matriz de admitâncias das barras.

A potência aparente em uma barra genérica i é dada por

Pi − jQi = E∗i × Ii (A.2)

e a corrente injetada por

83

A.1 Solução do fluxo de carga 84

Ii =Pi − jQi

E∗i(A.3)

A solução do problema de fluxo de carga é iniciada estimando-se uma tensão inicial para

todas as barras, exceto a barra de balanço em que a tensão é pré-fixada [SEA68].

Para cada barra, exceto a de balanço, as correntes nos nós são calculadas pela equação

(A.3), com i = 1, 2, . . . , n e n 6= s onde n é o número total de barras e s é a barra de balanço

(swing bus).

O conjunto de equações simultâneas pode ser escrito na forma:

Ei =1

Yii(Ii −

n∑k=1,k 6=i

YikEk) (A.4)

com i = 1, 2, ..., n e i 6= k. Essa equação pode ser resolvida pelo método numérico de

Gauss-Seidel e a solução dessa equação caracteriza a solução do fluxo de carga.

Exemplo de utilização do fluxo de carga

Um exemplo numérico com a utilização das equações acima será apresentado de forma a

demonstrar a solução do fluxo de carga. Para o sistema de potência dado na Figura A.1,

são calculadas as tensões nas barras de carga utilizando o método de Gauss-Seidel e

considerando uma tolerância de 0.0001.

G GL1

G

1 3 4

2 5

Figura A.1: Diagrama do sistema de potência exemplo.

Os parâmetros das linhas de transmissão do sistema de potência são listados na


Tabela A.1 e os parâmetros das barras na Tabela A.2. Todas as grandezas são dadas em

p.u de 100 MVA.

Tabela A.1: Parâmetros do sistema exemplo – linhas de transmissão.

Barra i Barra k Impedância série Zik Admitância série Yik Admitância paralela Yik/2

1 2 0.02 + j0.06 5.00000 - j15.000 0.0 + j0.030

1 3 0.08 + j0.24 1.25000 - j3.750 0.0 + j0.025

2 3 0.06 + j0.18 1.66667 - j5.000 0.0 + j0.020

2 4 0.06 + j0.18 1.66667 - j5.000 0.0 + j0.020

2 5 0.04 + j0.12 2.50000 - j7.500 0.0 + j0.015

3 4 0.01 + j0.03 10.00000 - j30.00000 0.0 + j0.010

4 5 0.08 + j0.24 1.25000 - j3.75000 0.0 + j0.025

Tabela A.2: Parâmetros do sistema exemplo – barras.

Barra i Vi PGi QGi PLi QLi

1 1.06 + j0.0 0.00 0.00 0.00 0.00

2 1.0 + j 0.0 0.40 0.30 0.20 0.10

3 1.0 + j 0.0 0.00 0.00 0.45 0.15

4 1.0 + j 0.0 0.00 0.00 0.40 0.05

5 1.0 + j 0.0 0.00 0.00 0.60 0.10

Os elementos da matriz Ybus, calculados a partir dos dados da Tabela A.1 é exibida na

Tabela A.3.


Tabela A.3: Matriz de admitâncias Ybus do sistema exemplo.

Barras 1 2 3 4 5

1 6.250 - j18.695 -5.000 + j15.000 -1.250 + j3.750 0 0

2 -5.000 + j15.000 10.834 - j32.415 -1.667 + j5.000 -1.667 + j5.000 -2.500 + j7.500

3 -1.250 + j3.750 -1.667 + j5.000 12.917 - j38.695 -10.000 + j30.000 0

4 0 -1.667 + j5.000 -10.000 + j30.000 12.917 - j38.695 -1.250 + j3.750

5 0 -2.500 + j7.500 -1.250 + j3.750 3.750 - j11.210 0

Observando a Equação (A.3) e utilizando os dados das linhas de transmissão, das barras

e a matriz Ybus, tem-se as seguintes equações para resolver:

E11 = 1.06 + j0.0

Et+12 =

1

y22

(P2 − jQ2

(Et2)∗ − y21E1 − y23E

t3 − y24E

t4 − y25E

t5)

Et+13 =

1

y33

(P3 − jQ3

(Et3)∗ − y31E1 − y32E

t+12 − y34E

t4)

Et+14 =

1

y44

(P4 − jQ4

(Et4)∗ − y42E

t+12 − y43E

t+13 − y45E

t5)

Et+15 =

1

y55

(P5 − jQ5

(Et5)∗ − y52E

t+12 − y54E

t+14 )

em que t indica as iterações.

Após 10 iterações na execução do método de Gauss-Seidel, é possível obter uma solução

com tolerância de 0.0001. O resultado final é:

E1 = 1.0 + j0.0

E2 = 1.04623 + j0.05126

E3 = 1.02036 + j08917

E4 = 1.01920 + j0.09504

E5 = 1.01211 + j0.10904

A.2 Calculando o valor máximo de potência consumida utilizando fluxos de carga 87

A.2 Calculando o valor máximo de potência consumida

utilizando fluxos de carga

Esta seção visa informar como o procedimento de fluxo de carga pode ser utilizado para

encontrar a potência ativa consumida máxima em uma barra. De forma resumida, para uma

dada barra Li com consumo PLi, um ou mais fluxos de carga são executados sobre Li,

com um PLi crescente, até que o fluxo de carga deixe de convergir. Essa forma de realizar

avaliação de estabilidade através do consumo incremental é citada em [Sav05]. O esquema

da Figura A.2 ilustra como os fluxos de carga são executados.

Barra de Carga Licom consumo PLi

Executa Fluxo de Carga no sistema

FC convergiu?PLi é

o limite da barra Li

NãoSim

PLi ← PLi + incremento

Rep

etir

para

toda

s a

s ba

rras

de

carg

a

início

Figura A.2: Execução de fluxos de carga para encontrar o valor máximo de potência ativa

consumida pela carga Li antes que o FC divirja.

Ao final da execução dos fluxos de carga, o último PLi em que o FC ainda convergiu é

considerado como o valor máximo de potência ativa consumida na barra Li.

Apêndice B

Códigos fontes

B.1 Cálculo do dQ/dU

O dQ/dU é um critério de estabilidade e pode ser calculado a partir das informações

contidas nas imagens nodais. O pseudocódigo definido no Código Fonte B.1 demonstra

como ler uma imagem nodal e recuperar o valor do dQ/dU . As funções auxiliares estão

definidas nos códigos fontes B.2, B.3 e B.4. Observe-se que os nomes dos pontos e outros

elementos nos pseudocódigos a seguir referem-se aos nomes encontrados na Figura 3.7.

Código Fonte B.1: Função que calcula o valor do dQ/dU a partir de uma imagem nodal.

1 f un çã o calcu la_dQdU ( p o n t o s _ g e r a d o r e s ( 1 . . t amanho_pon tos ) ) r e t o r n a número :

2 pontos_Fm := c a l c u l a _ p o n t o s _ F m ( p o n t o s _ g e r a d o r e s ) ;

3

4 # c o n j u n t o de v a l o r e s ( Icm / d e l t a m) .

5 t e r m o s _ p o s i t i v o s := c a l c u l a _ t e r m o s _ p o s i t i v o s ( p o n t o s _ g e r a d o r e s , pontos_Fm ) ;

6 # 2 KU.

7 t e r m o _ n e g a t i v o := c a l c u l a _ t e r m o _ n e g a t i v o ( p o n t o s _ g e r a d o r e s ) ;

8

9 # se o número r e t o r n a d o f o r maior ou i g u a l a zero ,

10 # o s i s t e m a e s t á em i n s t a b i l i d a d e .

11 valor_dQdU := s o m a t o r i o ( t e r m o s _ p o s i t i v o s ) − t e r m o _ n e g a t i v o ;

12 r e t o r n a valor_dQdU ;

13 f im fu n çã o ca lcu la_dQdU ;

Código Fonte B.2: Função que recupera os pontos Fm do dQ/dU .

88

B.1 Cálculo do dQ/dU 89

1 f un çã o recupe ra_pon tos_Fm ( p o n t o s _ g e r a d o r e s ( 1 . . t amanho_pon tos ) )

2 r e t o r n a l i s t a de p o n t o s :

3 pontos_Fm := { } ;

4

5 # I n i c i a d o com o p r i m e i r o ponto , que não

6 # c o r r e s p o n d e a nenhum g e r a d o r : o pon to 0 ( 0 , 0 ) .

7 ú l t i m o _ p o n t o := ( 0 , 0 ) ; # n o t a ç ã o : (X, Y) .

8

9 p a r a i := 1 a t é t amanho_pon tos f a ç a :

10 # Om_1 r e f e r e n c i a o pon to Om−1 do g r á f i c o .

11 Om_1 := ú l t i m o _ p o n t o ;

12 Om := p o n t o s _ g e r a d o r e s ( i ) ;

13

14 # I n t e r p o l a d o i s p o n t o s p a r a um p o l i n ô m i o de 1 o g rau .

15 re ta_Oms := c r i a _ r e t a _ a _ p a r t i r _ d e _ p o n t o s (Om_1 , Om) ;

16 r e t a _ p e r p e n d i c u l a r := c r i a _ r e t a _ p e r p e n d i c u l a r ( reta_Oms , Om) ;

17 r e t a _ h i p o t e n u s a := c r i a _ r e t a _ a _ p a r t i r _ d e _ p o n t o s ( ( 0 , Om_1 .Y) , Om_1) ;

18

19 # Ponto de i n t e r s e ç ã o .

20 i n t e r s e ç ã o := i n t e r s e c a o _ r e t a s ( r e t a _ p e r p e n d i c u l a r , r e t a _ h i p o t e n u s a ) ;

21

22 se r e t a _ p e r p e n d i c u l a r . c o e f i c i e n t e _ a n g u l a r ( ) f o r d e s p r e z í v e l

23 ou i n t e r s e ç ã o = Om.X e n t ã o :

24 Fm := Om;

25 senão

26 # O pon to Fm tem mesmo X do pon to " i n t e r s e ç ã o " , mas com Y d i f e r e n t e .

27 Fm := ( i n t e r s e c a o , a v a l i a _ f u n c a o ( r e t a _ p e r p e n d i c u l a r , i n t e r s e c a o ) ) ;

28 f im se

29

30 pontos_Fm . a d i c i o n a (Fm) ;

31 ú l t i m o _ p o n t o := p o n t o _ a t u a l ;

32 f im p a r a

33 r e t o r n a pontos_Fm ;

34 f im fu n çã o recupe ra_pon tos_Fm ;

Código Fonte B.3: Função que calcula os termos positivos do dQ/dU .

1 f un çã o c a l c u l a _ t e r m o s _ p o s i t i v o s (

B.2 Formato PSXML 90

2 p o n t o s _ g e r a d o r e s ( 1 . . t amanho_pon tos ) ,

3 pontos_Fm ( 1 . . t amanho_pon tos ) ) r e t o r n a l i s t a de números :

4

5 t e r m o s _ p o s i t i v o s := { } ;

6 ú l t i m o _ p o n t o := ( 0 , 0 ) ; # n o t a ç ã o : (X, Y) .

7

8 p a r a i = 1 a t é t amanho_pon tos f a ç a :

9 # o pon to Om_1 r e f e r e n c i a Om−1 do g r á f i c o .

10 Om_1 := ú l t i m o _ p o n t o ;

11 Fm = pontos_Fm ( i ) ;

12

13 d i s t a n c i a := d i s t a n c i a _ e n t r e _ p o n t o s (Om_1 , Fm) ;

14 t e r m o s _ p o s i t i v o s . a d i c i o n a ( d i s t a n c i a ) ;

15 ú l t i m o _ p o n t o = p o n t o s _ g e r a d o r e s ( i ) ;

16 f im p a r a

17 r e t o r n a t e r m o s _ p o s i t i v o s ; # = s o m a t ó r i o de Icm / d e l t a m

18 f im fu n çã o c a l c u l a _ t e r m o s _ p o s i t i v o s ;

Código Fonte B.4: Função que calcula o termo negativo do dQ/dU .

1 f un çã o c a l c u l a _ t e r m o _ n e g a t i v o (

2 p o n t o s _ g e r a d o r e s ( 1 . . t amanho_pon tos ) ) r e t o r n a número :

3

4 On = p o n t o s _ g e r a d o r e s ( t amanho_pon tos ) ;

5 r e t o r n a 2 ∗ On .X; # = 2 KU

6 f im fu n çã o c a l c u l a _ t e r m o _ n e g a t i v o ;

B.2 Formato PSXML

Este apêndice contém sistemas de potência descritos com o formato de dados PSXML

(ver Seção 4.2.4 sobre PSXML).

B.2.1 Exemplo de sistema com formato PSXML

Um exemplo de sistema de potência descrito pelo formato PSXML é listado no

Código Fonte B.5.

Código Fonte B.5: Sistema numérico de 4 barras descrito com PSXML.

1 <?xml v e r s i o n ="1 .0"? >

2 <powersystem >

3 < d e s c r i p t i o n > S i s t e m a numér ico de 4 b a r r a s < / d e s c r i p t i o n >

4 

5 <item >

6 <number >1 </ number >

7 <type >1 </ type >

8 <vmag >1 .02 </ vmag>

9 <vang >0 </ vang >

10 <PL>0 </PL>

11 <QL>0 </QL>

12 <PG>0.71248 </PG>

13 <QG>1.6406 </QG>

14 <Qmin>0 </Qmin>

15 <Qmax>0 </Qmax>

16 <bank >0 </ bank >

17 

18 <item >


20 <type >2 </ type >

21 <vmag >1 .01 </ vmag>

22 <vang >0.24423 </ vang >

23 <PL>0 </PL>

24 <QL>0 </QL>

25 <PG>0.6 < /PG>

26 <QG>−1.0019 </QG>

27 <Qmin>0 </Qmin>

28 <Qmax>0 </Qmax>

29 <bank >0 </ bank >

30 

31 <item >


33 <type >0 </ type >

34 <vmag >1.0035 </ vmag>

35 <vang >−0.25359 </ vang >

36 <PL >0.6 < / PL>

37 <QL>0.3 < /QL>

38 <PG>0 </PG>

39 <QG>0 </QG>

40 <Qmin>0 </Qmin>

41 <Qmax>0 </Qmax>

42 <bank >0 </ bank >

43 

44 <item >


46 <type >0 </ type >

47 <vmag >1.0104 </ vmag>

48 <vang >−0.1819 </ vang >

49 <PL >0.7 < / PL>

50 <QL>0.35 </QL>

51 <PG>0 </PG>

52 <QG>0 </QG>

53 <Qmin>0 </Qmin>

54 <Qmax>0 </Qmax>

55 <bank >0.0019 </ bank >

56 

57 

58 < l i n e d a t a >

59 <item >

60 <from >1 </ from >

61 <to >2 </ to >

62 <R>0.005 </R>

63 <X>0.01 </X>

64 <hal f_B >0.004 </ ha l f_B >

65 

66 <item >

67 <from >1 </ from >

68 <to >4 </ to >

69 <R>0.005 </R>

70 <X>0.01 </X>

71 <hal f_B >0.004 </ ha l f_B >

72 

73 <item >

74 <from >2 </ from >

75 <to >3 </ to >

76 <R>0.01 </R>

77 <X>0.025 </X>

78 <hal f_B >0.003 </ ha l f_B >

79 

80 <item >

81 <from >2 </ from >

82 <to >4 </ to >

83 <R>0.01 </R>

84 <X>0.025 </X>

85 <hal f_B >0.003 </ ha l f_B >

86 

87 <item >

88 <from >3 </ from >

89 <to >4 </ to >

90 <R>0.015 </R>

91 <X>0.02 </X>

92 <hal f_B >0.003 </ ha l f_B >

93 

94 </ l i n e d a t a >

95 < xdda ta >

96 <item >

97 <bus_number >1 </ bus_number >

98 <xld >0 .02 </ xld >

99 

100 <item >

101 <bus_number >2 </ bus_number >

102 <xld >0 .01 </ xld >

103 

104 </ xdda ta >

105 </ powersystem >

Apêndice C

Dados dos sistemas elétricos de potência

Este apêndice reúne informações das barras e das linhas de transmissão de alguns dos

sistemas elétricos de potência abordados ao longo da dissertação. Os dados dos sistemas

de potência da Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) foram obtidos de

[POW00].

A coluna Tipo das tabelas de barras contém os seguintes valores: S, para barras swing;

TC, para barras de tensão controlada; e C, para barras de carga. As colunas de magnitude de

tensão, potência ativa e reativa consumida, potência ativa e reative gerada, potência reativa

mínima e máxima e a coluna de capacitor / reator estão em p.u. (por unidade). Os ângulos θ

são medidos em graus.

C.1 IEEE14

O IEEE14 é um sistema de potência disponibilizado pela IEEE e representa uma parte

do sistema elétrico do Centro-Oeste dos Estados Unidos em fevereiro de 1962. Esse sistema

possui 14 barras: uma barra de balanço (swing), quatro barras de tensão controlada e nove

barras de carga. A Figura C.1 mostra o diagrama unifilar do sistema IEEE14 e as Tabelas C.1

e C.2 contêm informação das barras (tensão, geração, carga, etc.) e das linhas de transmissão

(reatância, resistência e admitância).

94

C.1

IEE

E14

95Figura C.1: Diagrama unifilar do sistema IEEE14.

C.1 IEEE14 96

Tabela C.1: Dados das barras do sistema IEEE14.

Barra Tipo |V | θ PL QL PG QG Qmin Qmax C/R

1 S 1.06 0 0 0 10.1266 1.7048 0 0 0

2 TC 0.995 -23.3147 0.217 0.127 0.4 4.315 -0.4 0.5 0

3 TC 0.96 -47.4693 0.942 0.19 0 1.5594 0 0.4 0

4 C 0.77945 -55.2339 5.783 -0.039 0 0 0 0 0

5 C 0.8121 -42.7769 0.076 0.016 0 0 0 0 0

6 TC 1.02 -55.3287 0.112 0.075 0 1.4481 -0.06 0.24 0

7 C 0.90389 -57.413 0 0 0 0 0 0 0

8 TC 1.04 -57.413 0 0 0 0.80363 -0.06 0.24 0

9 C 0.88478 -58.4226 0.295 0.166 0 0 0 0 0.0019

10 C 0.89915 -58.1358 0.09 0.058 0 0 0 0 0

11 C 0.9537 -56.7709 0.035 0.018 0 0 0 0 0

12 C 0.9957 -56.5102 0.061 0.016 0 0 0 0 0

13 C 0.98069 -56.6383 0.135 0.058 0 0 0 0 0

14 C 0.90565 -58.8755 0.149 0.05 0 0 0 0 0

C.2 IEEE30 97

Tabela C.2: Dados das linhas de transmissão do sistema IEEE14.

De Para R X Yshunt/2 De Para R X Yshunt/2

1 2 0.01938 0.05917 0.0264 6 11 0.09498 0.1989 0

1 5 0.05403 0.22304 0.0246 6 12 0.12291 0.25581 0

2 3 0.04699 0.19797 0.0219 6 13 0.06615 0.13027 0

2 4 0.05811 0.17632 0.017 7 8 0 0.17615 0

2 5 0.05695 0.17388 0.0173 7 9 0 0.11001 0

3 4 0.06701 0.17103 0.0064 9 10 0.03181 0.0845 0

4 5 0.01335 0.04211 0 9 14 0.12711 0.27038 0

4 7 0 0.20912 0 10 11 0.08205 0.19207 0

4 9 0 0.55618 0 12 13 0.22092 0.19988 0

5 6 0 0.25202 0 13 14 0.17093 0.34802 0

C.2 IEEE30

O IEEE30 representa parte do sistema elétrico do Centro-Oeste dos Estados Unidos em

dezembro de 1961. Esse sistema possui 30 barras: uma barra de balanço, 5 barras de tensão

controlada e 24 barras de carga. A Figura C.2 mostra o diagrama unifilar do sistema IEEE30

e as Tabelas C.3 e C.4 contêm informação das barras e das linhas de transmissão.

C.2

IEE

E30

98Figura C.2: Diagrama unifilar do sistema IEEE30.

C.2 IEEE30 99



1 S 1.06 0 0 0 9.5009 2.3199 0 0 0

2 TC 0.993 -17.2548 0.217 0.127 0.4 2.1319 -0.4 0.5 0

3 C 0.76773 -43.7834 5.0434 0.012 0 0 0 0 0

4 C 0.84676 -38.5313 0.076 0.016 0 0 0 0 0

5 TC 0.96 -34.324 0.942 0.19 0 0.71792 -0.4 0.4 0

6 C 0.90887 -37.3111 0 0 0 0 0 0 0

7 C 0.91956 -36.6325 0.228 0.109 0 0 0 0 0

8 TC 0.96 -39.1453 0.3 0.3 0 1.7549 -0.1 0.4 0

9 C 0.94071 -41.9185 0 0 0 0 0 0 0

10 C 0.91165 -44.3459 0.058 0.02 0 0 0 0 0.0019

11 TC 1.032 -41.9185 0 0 0 0.45292 -0.06 0.24 0

12 C 0.93097 -45.1321 0.112 0.075 0 0 0 0 0

13 TC 1.021 -45.1321 0 0 0 0.65658 -0.06 0.24 0

14 C 0.91227 -46.0745 0.062 0.016 0 0 0 0 0

15 C 0.90669 -45.9361 0.082 0.025 0 0 0 0 0

16 C 0.91504 -45.124 0.035 0.018 0 0 0 0 0

17 C 0.90661 -44.8782 0.09 0.058 0 0 0 0 0

18 C 0.89447 -46.2925 0.032 0.009 0 0 0 0 0

19 C 0.89082 -46.25 0.095 0.034 0 0 0 0 0

20 C 0.89514 -45.846 0.022 0.007 0 0 0 0 0

21 C 0.89652 -44.944 0.175 0.112 0 0 0 0 0

22 C 0.89686 -44.929 0 0 0 0 0 0 0

23 C 0.89104 -45.9285 0.032 0.016 0 0 0 0 0

24 C 0.87978 -45.4477 0.087 0.067 0 0 0 0 0.00043

25 C 0.8803 -44.626 0 0 0 0 0 0 0

26 C 0.85973 -45.1899 0.035 0.023 0 0 0 0 0

27 C 0.89057 -43.7692 0 0 0 0 0 0 0

28 C 0.91554 -38.3048 0 0 0 0 0 0 0

29 C 0.86737 -45.4038 0.024 0.009 0 0 0 0 0

30 C 0.85396 -46.5898 0.106 0.019 0 0 0 0 0

C.3 IEEE118 100



1 2 0.0192 0.0575 0.0264 15 18 0.1073 0.2185 0

1 3 0.0452 0.1652 0.0204 18 19 0.0639 0.1292 0

2 4 0.057 0.1737 0.0184 19 20 0.034 0.068 0

3 4 0.0132 0.0379 0.0042 10 20 0.0936 0.209 0

2 5 0.0472 0.1983 0.0209 10 17 0.0324 0.0845 0

2 6 0.0581 0.1763 0.0187 10 21 0.0348 0.0749 0

4 6 0.0119 0.0414 0.0045 10 22 0.0727 0.1499 0

5 7 0.046 0.116 0.0102 21 22 0.0116 0.0236 0

6 7 0.0267 0.082 0.0085 15 23 0.1 0.202 0

6 8 0.012 0.042 0.0045 22 24 0.115 0.179 0

6 9 0 0.208 0 23 24 0.132 0.27 0

6 10 0 0.556 0 24 25 0.1885 0.3292 0

9 11 0 0.208 0 25 26 0.2544 0.38 0

9 10 0 0.11 0 25 27 0.1093 0.2087 0

4 12 0 0.256 0 28 27 0 0.396 0

12 13 0 0.14 0 27 29 0.2198 0.4153 0

12 14 0.1231 0.2559 0 27 30 0.3202 0.6027 0

12 15 0.0662 0.1304 0 29 30 0.2399 0.4533 0

12 16 0.0945 0.1987 0 8 28 0.0636 0.2 0.0214

14 15 0.221 0.1997 0 6 28 0.0169 0.0599 0.0065

16 17 0.0524 0.1923 0

C.3 IEEE118

O IEEE118 representa uma parte do sistema elétrico do Centro-Oeste dos Estados Unidos

em dezembro de 1962. Esse sistema possui 118 barras: uma barra de balanço, 53 barras de

tensão controlada e 64 barras de carga. A Figura C.3 mostra o diagrama unifilar do sistema

IEEE118 e as Tabelas C.5 e C.6 contêm informação das barras e das linhas de transmissão.

C.3

IEE

E118

101

Figura C.3: Diagrama unifilar do sistema IEEE118.

C.3 IEEE118 102



1 TC 0.905 -104.2173 0.51 0.27 0 2.0405 -0.05 0.15 0

2 C 0.74017 -117.9244 6.8331 0.09 0 0 0 0 0

3 C 0.91601 -96.4541 0.39 0.1 0 0 0 0 0

4 TC 0.998 -80.7069 0.3 0.12 -0.09 1.4711 -3 3 0

5 C 0.99356 -79.736 0 0 0 0 0 0 -0.004

6 TC 0.97 -86.0931 0.52 0.22 0 0.60237 -0.13 0.5 0

7 C 0.95778 -87.8505 0.19 0.02 0 0 0 0 0

8 TC 1.015 -67.2939 0 0 -0.28 2.7988 -3 3 0

9 C 1.0429 -60.0398 0 0 0 0 0 0 0

10 TC 1.05 -52.4589 0 0 4.5 -0.51042 -1.47 2 0

11 C 0.94582 -86.4984 0.7 0.23 0 0 0 0 0

12 TC 0.94 -90.3952 0.47 0.1 0.85 4.5966 -0.35 1.2 0

13 C 0.91501 -83.0372 0.34 0.16 0 0 0 0 0

14 C 0.91678 -84.5591 0.14 0.01 0 0 0 0 0

15 TC 0.92 -65.8734 0.9 0.3 0 0.66299 -0.1 0.3 0

16 C 0.91065 -82.2958 0.25 0.1 0 0 0 0 0

17 C 0.95319 -61.9361 0.11 0.03 0 0 0 0 0

18 TC 0.933 -63.553 0.6 0.34 0 0.48783 -0.16 0.5 0

19 TC 0.913 -63.1047 0.45 0.25 0 -0.032079 -0.08 0.24 0

20 C 0.90244 -58.8588 0.18 0.03 0 0 0 0 0

21 C 0.90351 -54.6823 0.14 0.08 0 0 0 0 0

22 C 0.92155 -49.1585 0.1 0.05 0 0 0 0 0

23 C 0.97851 -39.8079 0.07 0.03 0 0 0 0 0

24 TC 0.992 -32.1218 0 0 -0.13 0.89202 -3 3 0

25 TC 1.03 -38.0923 0 0 2.2 1.1192 -0.47 1.4 0

26 TC 1.015 -38.2401 0 0 3.14 0.12784 -10 10 0

27 TC 0.968 -53.1162 0.62 0.13 -0.09 0.2033 -3 3 0

28 C 0.96129 -55.8107 0.17 0.07 0 0 0 0 0

29 C 0.96334 -57.8842 0.24 0.04 0 0 0 0 0

30 C 0.94326 -54.5064 0 0 0 0 0 0 0

31 TC 0.967 -58.1524 0.43 0.27 0.07 0.60997 -3 3 0

32 TC 0.964 -53.705 0.59 0.23 0 0.28693 -0.14 0.42 0

33 C 0.90055 -56.9623 0.23 0.09 0 0 0 0 0

34 TC 0.936 -45.7236 0.59 0.26 0 1.0498 -0.08 0.24 0.0014

35 C 0.94518 -46.3754 0.33 0.09 0 0 0 0 0

36 TC 0.95 -46.4807 0.31 0.17 0 1.2089 -0.08 0.24 0

37 C 0.93024 -44.8395 0 0 0 0 0 0 -0.0025

38 C 0.87334 -38.6923 0 0 0 0 0 0 0

39 C 0.94822 -43.672 0.27 0.11 0 0 0 0 0

40 TC 0.97 -42.12 0.2 0.23 -0.46 1.0927 -3 3 0

41 C 0.96356 -40.1135 0.37 0.1 0 0 0 0 0

42 TC 0.985 -31.7724 0.37 0.23 -0.59 1.4885 -3 3 0

43 C 0.87584 -36.0964 0.18 0.07 0 0 0 0 0

44 C 0.87381 -17.6096 0.16 0.08 0 0 0 0 0.001

45 C 0.90634 -10.1761 0.53 0.22 0 0 0 0 0.001

C.3 IEEE118 103


46 TC 0.995 -3.9493 0.28 0.1 0.19 1.0563 -1 1 0.001

47 C 0.97506 2.3412 0.34 0 0 0 0 0 0

48 C 0.98011 -0.85564 0.2 0.11 0 0 0 0 0.0015

49 TC 0.985 0.50945 0.87 0.3 2.04 1.62 -0.85 2.1 0

50 C 0.97085 -1.4741 0.17 0.04 0 0 0 0 0

51 C 0.94882 -3.9747 0.17 0.08 0 0 0 0 0

52 C 0.94188 -4.9064 0.18 0.05 0 0 0 0 0

53 C 0.93957 -5.7065 0.23 0.11 0 0 0 0 0

54 TC 0.955 -4.6338 1.13 0.32 0.48 0.48519 -3 3 0

55 TC 0.942 -4.6423 0.63 0.22 0 -0.74957 -0.08 0.23 0

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57 C 0.95797 -3.7503 0.12 0.03 0 0 0 0 0

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59 TC 0.985 0.81362 2.77 1.13 1.55 1.3843 -0.6 1.8 0

60 C 0.99312 5.0931 0.78 0.03 0 0 0 0 0

61 TC 0.995 6.0467 0 0 1.6 -0.097283 -1 3 0

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63 C 0.98626 4.7833 0 0 0 0 0 0 0

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67 C 1.0035 6.6585 0.28 0.07 0 0 0 0 0

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69 S 1.035 30 0 0 17.0557 2.6064 -3 3 0

70 TC 0.934 7.5718 0.66 0.2 0 0.53733 -0.1 0.32 0

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C.3 IEEE118 104


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C.3 IEEE118 105



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C.3 IEEE118 106


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45 46 0.04 0.1356 0.0166 94 100 0.0178 0.058 0.0302

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46 48 0.0601 0.189 0.0236 96 97 0.0173 0.0885 0.012

47 49 0.0191 0.0625 0.00802 98 100 0.0397 0.179 0.0238

42 49 0.0715 0.323 0.043 99 100 0.018 0.0813 0.0108

42 49 0.0715 0.323 0.043 100 101 0.0277 0.1262 0.0164

45 49 0.0684 0.186 0.0222 92 102 0.0123 0.0559 0.00732

48 49 0.0179 0.0505 0.00629 101 102 0.0246 0.112 0.0147

49 50 0.0267 0.0752 0.00937 100 103 0.016 0.0525 0.0268

49 51 0.0486 0.137 0.0171 100 104 0.0451 0.204 0.02705

51 52 0.0203 0.0588 0.00698 103 104 0.0466 0.1584 0.02035

52 53 0.0405 0.1635 0.02029 103 105 0.0535 0.1625 0.0204

53 54 0.0263 0.122 0.0155 100 106 0.0605 0.229 0.031

49 54 0.073 0.289 0.0369 104 105 0.00994 0.0378 0.00493

49 54 0.0869 0.291 0.0365 105 106 0.014 0.0547 0.00717

54 55 0.0169 0.0707 0.0101 105 107 0.053 0.183 0.0236

54 56 0.00275 0.00955 0.00366 105 108 0.0261 0.0703 0.00922

55 56 0.00488 0.0151 0.00187 106 107 0.053 0.183 0.0236

56 57 0.0343 0.0966 0.0121 108 109 0.0105 0.0288 0.0038

50 57 0.0474 0.134 0.0166 103 110 0.03906 0.1813 0.02305

56 58 0.0343 0.0966 0.0121 109 110 0.0278 0.0762 0.0101

51 58 0.0255 0.0719 0.00894 110 111 0.022 0.0755 0.01

54 59 0.0503 0.2293 0.0299 110 112 0.0247 0.064 0.031

56 59 0.0825 0.251 0.02845 17 113 0.00913 0.0301 0.00384

56 59 0.0803 0.239 0.0268 32 113 0.0615 0.203 0.0259

55 59 0.04739 0.2158 0.02823 32 114 0.0135 0.0612 0.00814

59 60 0.0317 0.145 0.0188 27 115 0.0164 0.0741 0.00986

59 61 0.0328 0.15 0.0194 114 115 0.0023 0.0104 0.00138

60 61 0.00264 0.0135 0.00728 68 116 0.00034 0.00405 0.082

60 62 0.0123 0.0561 0.00734 12 117 0.0329 0.14 0.0179

61 62 0.00824 0.0376 0.0049 75 118 0.0145 0.0481 0.00599

63 59 0 0.0386 0 76 118 0.0164 0.0544 0.00678

dissertacao estabilidade

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