diseÑo optimizado de redes abiertas: superficie …

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

DISEÑO OPTIMIZADO DE REDES ABIERTAS: SUPERFICIE ÓPTIMA DE

PRESIONES

César Mauricio Prieto Gamboa

Proyecto de Grado de Ingeniería Ambiental

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados

CIACUA

Bogotá, Enero de 2009

Universidad de los Andes Departamento de Ingenie ría Civil y Ambiental Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados ‐ CIACUA Diseño Optimizado de Redes Abiertas: Superficie Óptima de Presiones.

ICIV 200810 15

César Mauricio Prieto Gamboa Informe Final del Proyecto de Grado de Ingenie ría Ambiental 1

Contenido

Capítulo 1 Introducción...................................................................................................... 4

Capítulo 2 Objetivos ........................................................................................................... 6

2.1 Objetivos Generales ................................................................................................. 6

2.2 Objetivos Específi cos................................................................................................ 6

Capítulo 3 Análisis de Redes Abiertas ................................................................................ 7

3.1 Defini ción ................................................................................................................. 7

3.2 Ecuaciones................................................................................................................ 7

3.2.1 Ecuación de pérdidas de energía en cada una de las tuberías de la red.......... 7

3.2.2 Ecuación de conservación de la masa en la unión o nodo U............................ 8

3.3 Diseño en Redes Abiertas ........................................................................................ 9

3.3.1 Diagrama de Flujo del Diseño de Redes Abiertas:.......................................... 13

Capítulo 4 Función de Optimización de redes ................................................................. 16

4.1 Cos tos de infraestructura en tuberías ................................................................... 16

4.2 Cri terio de I‐pai Wu ................................................................................................ 17

4.3 Expansión del cri terio de Wu ................................................................................. 19

Capítulo 5 Diseño de redes abiertas en REDES: Superfi cie Óptima de Presiones ........... 21

5.1 Introducción al programa ...................................................................................... 21

5.2 Hidráulica ............................................................................................................... 22

5.2.1 Ecuaciones ...................................................................................................... 22

5.2.2 Método de Cálculo.......................................................................................... 24


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5.3 Diseño con Superficie Óptima de Presiones .......................................................... 27

5.4 Determinación de la Superfi cie Óptima de Presiones ........................................... 28

5.4.1 Cálculo de las dis tancias a las fuentes ............................................................ 29

5.4.2 Cálculo de las alturas piezométricas ideales .................................................. 30

5.5 Superficie Óptima de Presiones modifi cada por Demanda................................... 37

Capítulo 6 Diseño de redes abiertas según Superfi cie Óptima de Presiones (SOP dis tancia) 38

6.1 Análisis de diseño................................................................................................... 38

6.1.1 Red Teóri ca C‐1 ............................................................................................... 39

6.1.2 Red Teóri ca C‐2 ............................................................................................... 48

6.1.3 Red Teórica V‐1............................................................................................... 53

6.1.4 Red Medellín Zona Occidental M‐ZO.............................................................. 58

6.1.5 Red Medellín Zona Sur M‐ZS .......................................................................... 63

6.2 Resumen de resul tados.......................................................................................... 68

Capítulo 7 Análisis del efecto de la demanda en el diseño de redes abiertas según Superfi cie Óptima de Presiones (SOP dis tancia‐demanda).................................................. 70

7.1 Efecto del diseño con SOP considerando la demanda........................................... 70

7.1.1 Red Teóri ca C‐1 ............................................................................................... 70

7.1.2 Red Teórica C‐2 ............................................................................................... 73

7.1.3 Red Teóri ca V‐1............................................................................................... 75

7.1.4 Red Medellín Zona Occidental M‐ZO.............................................................. 77

7.1.5 Red Medellín Zona Sur M‐ZS .......................................................................... 79

7.2 Resumen de resul tados.......................................................................................... 81


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Capítulo 8 Conclusiones y Recomendaciones.................................................................. 83

Capítulo 9 Bibliogra fía ...................................................................................................... 84


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Capítulo 1 Introducción

La industrialización de ini cios del siglo XIX influenció la vida de la humanidad enfocando una parte del desarrollo hacia la creación de condiciones de bienes ta r en las ciudades. Es to generó un punto de partida en lo que se puede conocer como la his toria moderna del diseño de redes de dis tribución de agua .

En ese entonces , los sistemas de abas tecimiento de agua de las ciudades tenían una tubería principal de gran diámetro que rodeaba la zona en cues tión y de ella salían varias tuberías medianas hacia la zona central para garantiza r el suministro de agua en cualquier punto de la red, incluso cruzándose en el centro con tuberías pequeñas para asegura r el cubrimiento al presenta rse fallas en algún tramo. La complejidad en los cálculos hidráulicos, llevaba a los ingenieros a simplifi ca r los análisis y omiti r los cruces de las tuberías pequeñas, considerando los ci rcuitos desconectados y omitiendo esos cos tos en el análisis económico.

En tiempos más recientes , el concepto de optimización empezó a juga r un papel crucial a la hora de diseñar una red de abas tecimiento de agua. Sin embargo durante muchos años, a pesar de la consideración del aspecto económico, las redundancias hidráuli cas en los sistemas matri ces de distribución dominaban la gran mayoría de diseños .

En los últimos años , los avances en inves tigación y tecnología , han generado desarrollos de métodos complejos de optimización dirigidos a soluciones computacionales que contemplan optimizaciones económicas en los diseños , buscando encontrar el diseño más económico entre diversos diseños que cumplan las condiciones hidráulicas requeridas .

Sin embargo, el procedimiento de diseño optimizado de redes no es sencillo debido a factores res tri ctivos de construcción. El hecho que exis tan un gran número de di ferentes materiales de tubería puede brindar la posibilidad de hacer más económico un diseño, pero incrementa su complejidad de análisis. Además, la existencia de diámetros dis cretos causa difi cul tades en el análisis de diseño porque genera la posibilidad que exis tan di ferentes combinaciones de diámetros que cumplan las restri cciones mínimas de diseño por lo cual la optimización se debe enfocar en el diseño más económico entre todas las opciones que satisfagan las condiciones hidráulicas requeridas .

Así, el cri terio económico debe ser fundamental y priori ta rio en el dimensionamiento de todo tipo de redes de distribución de agua debido a la gran magni tud de costos que implican estas obras y por la gran importancia que tiene el ahorro de recursos de es ta índole para que puedan ser invertidos en otras obras.


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En es te documento se encuentra una reseña de un cri terio de optimización de tuberías en serie bastante aceptado en el ámbi to mundial (cri terio de Wu) y la expansión a dicho cri terio realizada por Ronald Feathers ton para redes cerradas. Pos teriormente se presenta un análisis de optimización de redes abiertas mediante un método conocido como Superfi cie Óptima de Presiones y un a jus te al mismo que considera las demandas en la red.

El contenido de es te documento se encuentra organizado de la siguiente manera :

El Capítulo 2. “Objetivos” presenta los objetivos generales y específi cos del presente proyecto de grado.

El Capítulo 3. “Análisis de Redes Abiertas” define qué es una Red Abierta , qué ecuaciones involucra el análisis de las mismas y presenta una metodología de diseño de Redes Abiertas.

El Capítulo 4. “Función de Optimización de Redes” presenta un resumen de un cri terio ampliamente usado en tuberías en serie : el cri terio de optimización de I‐pai Wu y la expansión al cri terio realizada por Ronald Feathers ton.

El Capítulo 5. “Diseño de Redes Abiertas en REDES: Superfi cie Óptima de Presiones” expli ca el funcionamiento del programa REDES respecto a la solución de la hidráuli ca, el método de cálculo y el módulo de diseño mediante el cri terio de Superfi cie Óptima de Presiones .

El Capítulo 6. “Diseño de redes abiertas según Superfi cie Óptima de Presiones” muestra el análisis de optimización de diseño de diferentes redes abiertas mediante el uso del cri terio de Superfi cie Óptima por dis tancia.

El Capítulo 7. “Análisis del efecto de la demanda en el diseño de redes abiertas según Superfi cie Óptima de Presiones” mues tra el análisis de la inclusión de la demanda en la generación de la Superficie Óptima (distancia‐demanda) en el diseño de diferentes redes abiertas.

El Capítulo 8. “Conclusiones y Recomendaciones” presenta los aspectos más relevantes encontrados en el presente documento y recomendaciones para futura i nves tigación en el campo.

El Capítulo 9 “Bibliografía” presenta los documentos utilizados para el desarrollo de la presente investigación y documento.


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Capítulo 2 Objetivos

2.1 Objetivos Generales

El presente proyecto de grado tiene a consideración dos objetivos generales:

Evaluar la aplicabilidad de la optimización de diseño en redes abiertas según el criterio de

Superfi cie Óptima de Presiones.

Evaluar la incidencia en el diseño optimizado de redes abiertas de la consideración de la

demanda en la utilización del cri terio de Superfi cie Óptima de Presiones.

2.2 Objetivos Específicos Los objetivos específicos son:

Parte 1:

• Presentar el módulo de diseño optimizado del programa REDES mediante

Superfi cie Óptima de Presiones.

• Calcula r el diseño optimizado de diversas redes abiertas variando la superfi cie

objetivo.

Parte 2:

• Presentar el a jus te por demanda implementado en REDES a la Superfi cie Óptima

de Presiones .

• Realiza r un análisis de cos tos de di ferentes redes abiertas mediante diseño

utilizando la forma convencional de la Superficie Óptima de Presiones (distancia) y

la forma de Superfi cie Óptima ajustada por demanda (distancia‐demanda).


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Capítulo 3 Análisis de Redes Abiertas1

3.1 Definición

Son conocidas como Redes Abiertas aquellas redes de tubos madres o líneas expresas en sistemas de dis tribución de agua potable que se ca racteri zan por no tener ningún “ci rcui to cerrado” en el sistema . Un ejemplo descri to como una red abierta podría ser un sis tema de tuberías que une una batería de pozos de agua con un tanque de abas tecimiento o una planta de tra tamiento, o el sistema conformado por la tubería principal y las tuberías secundarias en un sistema de riego localizado de alta frecuencia .

Las redes de es te tipo encontradas en Ingeniería Hidráuli ca se analizan mediante el método de Balance de Cantidad, es deci r, conservando la masa a lo la rgo de toda la red. Como principio se plantea que en cada una de las uniones o nodos de la red se debe cumpli r la ecuación de continuidad y en cada uno de los embalses o tanques se debe suministra r el caudal demandado.

En general, el problema consiste en determinar los diámetros y los caudales en cada una de las tuberías de la red para condiciones permanentes de flujo y, a la vez, en veri fi ca r que en cada uno de los embalses se cumplan las condiciones de demanda de caudal.

3.2 Ecuaciones

Para realiza r el análisis de Redes Abiertas es necesa rio tener en cuenta en el desarrollo el factor de pérdida de energía de cada tubería y la conservación de masa en las uniones o nodos .

3.2.1 Ecuación de pérdidas de energía en cada una de las tuberías de la red

Haciendo uso de la ecuación de Darcy‐Weisbach y teniendo en cuenta las pérdidas menores como función de la altura de velocidad, es ta ecuación es :

| | ∑ 2

, , ,

Ecuación 1

1 Adaptado de Saldarriaga, Juan. Hidráulica de Tuberías. Abastecimiento de Agua, Redes, Riegos. Alfaomega y Uniandes. Bogotá, D.C. 2007.


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donde:

Zu = al tura piezométri ca en la unión (siempre es una variable desconocida).

Zi = altura piezométri ca en el tanque i.

liu = longitud de la tubería iu.

fiu = factor de fricción de Darcy para la tubería iu.

Σkmui = coefi ciente global de pérdidas menores de la tubería iu.

La ecuación se puede transformar así:

| |∑2

Ecuación 2

Ecuación 3

3.2.2 Ecuación de conservación de la masa en la unión o nodo U

Si a la unión bajo análisis llegan o parten NT tuberías la ecuación de conservación de la masa en dicha unión es:

0

Ecuación 4

donde:

Qiu= caudal en la tubería iu (se toma como posi ti vo se llega al nodo o como negativo se sale del nodo).

NT = número de tuberías que llegan a la unión o nodo U.

QLu = caudal consumido en la unión (puede ser cero).


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3.3 Diseño en Redes Abiertas

En el diseño de Redes Abiertas se conocen las demandas de caudales en cada unos de los embalses o ini cio de ci rcui tos de consumo que van a ser i nterconectados , los cuales corresponden a las demandas de agua calculadas para la ciudad en la que se localiza la red. Se debe calcula r el diámetro de cada uno de los tubos matri ces o principales y de los tubos ramales que transportan el agua hasta los tanques o nudos de consumo.

Las variables e incógnitas del proceso de diseño son:

VARIABLES INCÓGNITAS Longi tud de la tubería l(i j) Diámetro de la tubería dij Factor de rugosidad absoluta de la tubería

ksij Al turas piezométri cas de cada uno de los nodos de la red

Zj

Coefi ciente de pérdidas menores del tramo

kmij

Caudal de entrada lateral QLj Coefi ciente de vis cosidad dinámica

µ

Densidad del agua ρ

Tabla 1. Variables involucradas en el diseño de una red abierta.

Otras variables conocidas son:

Zj, para todo n, en donde n = número de embalses.

QDj, para todo m, en donde m = número de uniones (nodos).

Como se puede observa r en la Tabla 1, el proceso de diseño tiene como incógnitas los diámetros de todas las tuberías del sistema y las alturas piezométri cas en las uniones, ya que es tas deben ser supues tas en la primera iteración.

Por consiguiente, es muy probable que no se cumpla la ecuación de continuidad, por lo cual :

Ecuación 5


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donde:

XQ = error de cierre de caudales en la unión.

Si XQ no es lo sufi cientemente pequeño, la suposición en la altura piezométri ca de cada unión debe corregi rse , ya que no cumple con la ecuación de continuidad, para lo cual se utiliza la siguiente metodología, desarrollada por R. Feathers tone en 1981, basada en la modi ficación hecha por R.J. Cornish (1939‐1940) al método de Hardy‐Cross para el cálculo de redes cerradas .

Si se supone que la altura piezométri ca Zuj de la unión j es tá subestimada o sobrees timada (en ΔZuj metros), la ecuación se convierte en:

∆

∑ 2

Ecuación 6

de donde se obtiene la siguiente ecuación:

2

∑

∆

Ecuación 7

Tomando el úl timo término de la derecha de la ecuación anterior y utilizando el teorema del binomio se obtiene lo siguiente:

∆12 ∆

18 ∆

116

∆5128

∆

Ecuación 8

Eliminando los términos que involucran las potencias al tas de ΔZuj por ser muy pequeños en comparación con los demás términos , se llega a :


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∆12

∆

Ecuación 9

Reemplazando es ta úl tima ecuación en la Ecuación 7 se obtiene:

2

∑

12 ∆

Ecuación 10

Para todas las tuberías que llegan a la unión j se puede plantear la siguiente ecuación:

0

Ecuación 11

donde NTi representa el número de tubos que llegan a la unión i .

Reemplazando los Qij se llega a:

∑ 2

∆

2 ∑

2

Ecuación 12

En es ta úl tima ecuación se puede identifi ca r fácilmente los caudales Qij en cada una de las tuberías. Luego:

∆2 0

Ecuación 13

Finalmente, al despejar el factor de corrección para las al turas piezométri cas en las uniones de la red abierta se obtiene:


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∆2 ∑

∑

Ecuación 14

Antes de ini cia r el proceso de diseño es necesa rio establecer bien la geometría de la red, es deci r, la topología de los tubos existentes y los no exis tentes . Conocida la geometría de la red, el cálculo de los diámetros se basa en el Diagrama de Flujo 1 presentado a continuación. La variable nj representa el número de tubos que llega a la unión j; E representa el error permisible en el proceso de corrección de la al tura piezométri ca en las uniones y Eu, el error permisible en la diferencia de alturas piezométri cas en dos i teraciones sucesivas en las uniones . Estos errores deben ser especifi cados por el diseñador. En las ecuaciones de continuidad es necesario tener en cuenta que los caudales son positi vos si fluyen hacia la unión y negativos si fluyen desde ésta.


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3.3.1 Diagrama de Flujo del Diseño de Redes Abiertas:

Diagrama de Flujo 1. Diseño de redes abiertas (primera parte).

INICIO

Leer m, µ, ρ,E

j = 1

Leer nj , QLuj

Estimar Zuj

i = 1

Leer li, ksi, Σkmi , QDi , Zi

? i = nj

? j = m

k = 1

j = 1

A

B

j = j + 1

i = i + 1

No

No

Si

Si


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Diagrama de Flujo 2. Diseño de redes abiertas (segunda parte).

A

i = 1

ujii ZZH −=

Calcular dij siguiendo el diagrama de flujo 4

Memorizar Qij

? i=n j

i = i +1

Calcular ∆Zu j con los Qij en la ecuación 6.8

Zuj=Zuj+∆Zuj

? j = mj

j = j +1

j = 1

?

EZZ kuj

kuj ≤− −1

j = j +1

? j = mj

Impr imir todos los diámetros

FIN

k = k +1 B

Si

Si

Si

No

No

No

No

*


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Después de cada iteración obtenida del Diagrama de Flujo 1, con los datos de la suposición de al turas piezométri cas en los nodos, se debe corregi r la altura piezométri ca de la unión utilizando la ecuación de continuidad para el nodo, junto con la Ecuación 14 para la corrección de la altura piezométri ca, hasta que no hayan cambios en los diámetros de las tuberías entre las i teraciones ; ahí el proceso debe parar.

Es necesa rio resalta r que en la etapa de suposición de alturas piezométri cas en los nodos, requerido en cualquier proceso de diseño de sistema de tuberías , se es tá condicionando el diseño, por lo cual es indispensable la utilización de una función de optimización que garantice que el diseño obtenido sea el de menor costo. Es ta función debe inclui r tanto los cos tos ini ciales de la infraes tructura como los costos de operación y mantenimiento a lo largo del horizonte de diseño del proyecto.

Lo anterior introduce el siguiente capítulo, donde se presenta el desarrollo de una función de cos tos para los sistemas de distribución y el es tablecimiento de un cri terio de optimización reportado en la litera tura.


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Capítulo 4 Función de Optimización de redes

Como se ha mencionado en el capítulo anterior, la optimización de sistemas de dis tribución de agua debe obedecer primordialmente un cri terio económico siempre y cuando se cumplan las condiciones hidráuli cas. Por es to, se debe establecer una función que permita comparar l os cos tos entre los di ferentes diseños para escoger el diseño óptimo.

El pre ‐condicionamiento del resul tado de un diseño en la escogencia de las al turas piezométri cas ini ciales de las uniones, hace que el problema de optimización a resolver sea encontra r una función que genere los valores de al turas piezométri cas ini ciales que condicionen un diseño óptimo desde el punto de vis ta hidráuli co‐económico. Es te capítulo presenta un cri terio de optimización bastante aceptado en la litera tura .

4.1 Costos de infraestructura en tuberías Los cos tos de infraestructura para redes de tuberías fluyendo a presión, es tán compues tos por dos rubros principales: el primero de ellos es el costo de las tuberías en s í y sus accesorios , el cual varía exponencialmente con el diámetro de la tubería . El segundo corresponde a los cos tos de ins talación, los cuales deben inclui r los costos de excavación, cimentación de la tubería , relleno de la zanja , repavimentación y pues ta en marcha del sistema, entre otros . Estos costos también varían exponencialmente con el diámetro de la tubería, pero en forma menos brusca que el caso de los cos tos de las tuberías en sí.

Las condiciones de mano de obra , maquinaria y equipo, y de las tuberías en sí varían sus tancialmente de pa ís a pa ís, e inclusive de ciudad a ciudad dentro de un mismo país. Por consiguiente, es necesa rio que cada proyecto de diseño cuente con su propia curva de cos tos antes de ini cia r el proceso de optimización.

Teniendo en cuenta los datos de cos tos se puede hacer una regresión de tipo exponencial. Utili za r diferentes curvas de cos tos no altera los resul tados globales de los análisis de diseño realizados . En el desarrollo de esta inves tigación, a manera de ejemplo, se utiliza la Ecuación 15 para describi r los costos de la tubería .

C = 1.015 x .

Ecuación 15


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Con una función de costos definida, se pueden evaluar diferentes diseños para encontrar el más económico. La función de optimización más utilizada en la litera tura es el cri terio de optimización de I‐pai Wu, la cual se describe a continuación.

4.2 Criterio de I-pai Wu2 En 1975 el profesor I‐pai Wu, inves tigador de la Universidad de Hawai en Honolulu, en su traba jo Diseño de líneas principales de i rri gación (título original : Design of Drip I rri ga tion Main Lines) experimentó que en una serie de tuberías de riego a presión, el diseño óptimo se podría logra r uniendo los puntos de la l ínea piezométrica ini cial y final ; entre varias opciones piezométri cas la más económica es la que simula una parábola invertida , con una depresión del 15% del total de la al tura en la mitad de la línea . Sin embargo, se ha encontrado que la diferencia entre los resultados al utilizar la línea óptima y la l ínea de pendiente cons tante de energía no supera un sobrecosto de 2.5%.

La línea de pendiente de energía recta es sólo una solución entre numerosas curvas de pendiente de energía que satisfacen hidráuli camente un sistema. Cualquier curva que conecta dos puntos en un plano de presiones con una pendiente muy baja, propicia rá un resul tado de diámetros de tubería grandes y por ende unos costos importantes . Caso contra rio se presenta si la pendiente es grande: diámetros pequeños y bajos costos. As í, la forma óptima de la línea piezométri ca dependerá de las características topológicas de la red.

En su inves tigación, Wu analizó 15 diferentes modelos piezométri cos variando la curva tura de la parábola . La Grá fica 1 presenta una adaptación del informe de Wu de 11 l íneas de energía con su respectivo porcenta je de flecha de la parábola .

La línea piezométri ca recta (0%) es la señalada en amarillo. Las curvas punteadas son parábolas de diferentes curva turas entre ‐25% y 25% mientras que la curva roja punteada (15%) es la forma óptima de Wu.

2 Adaptado de Wu, I‐pai. Design of Drip Irrigation Main Lines. Journa l of de irrigation and Drainage Division, ASCE, volumen 101, número IR4, diciembre 1975.


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Gráfica 1. Líneas piezométricas del criterio de Wu.

I‐pai Wu utilizó en sus análisis tuberías en serie con ca racterísti cas comunes . Los tramos de la l ínea tenían aproximadamente la misma longi tud. Realizó nueve diseños todos con una longi tud de 1000 pies divididos en diez secciones uni formes . Se probaron 3 escenarios de caudal (10, 50 y 100 galones por minuto) y para cada escenario de desca rga se utiliza ron 3 al turas totales diferentes (11.55, 34.65, 57.75 pies) generando los nueve ejemplos de diseño. Realizando los análisis de cos tos encontrados , Wu obtuvo la Gráfi ca 2 de cos tos.

25%

20%

15%

10%

5%

0%

‐5%

‐10%

‐15%

‐20%

‐25%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

% de pérdidas

% de longitud


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Gráfica 2. Costo del diseño según la curvatura.

Se observa cla ramente un mínimo de cos tos en el diseño utilizando una parábola de 15% de flecha en la mitad de la longi tud. Esta es la conclusión final del cri terio de I‐pai Wu, que como se describe más adelante, ha sido probado en otro tipo de redes y sistemas.

4.3 Expansión del criterio de Wu

En 1981 el profesor Ronald Feathers tone de la Universidad de Newcastle upon Tyne en su traba jo “Selección del diámetro óptimo en redes de distribución” y tomando como punto de partida el traba jo de I‐pai Wu, adoptó las funciones de cos to con un único gradiente hidráulico, el cuál produci rá un diseño óptimo. El diseño óptimo se obtiene igualando los gradientes hidráuli cos de nodos adyacentes a través de suposiciones hipotéti cas; para el cálculo final de los diámetros es necesario realiza r un proceso i terativo que encuentre las al turas que más se acerquen al gradiente óptimo. Feathers tone propone realiza r un plano imaginario en el cual se une el reservorio con el punto topológico más alejado.

El cri terio de superfi cie óptima de presiones es similar al cri terio de I‐pai Wu; el profesor Oki tsugo Fujiwara entre 1987 y 1991 comprobó que el método de Wu se podría utiliza r en sistemas de dis tribución de agua potable .

‐25%

‐20%

‐15%

‐10%

‐5%

0%

5%10% 15%

20%25%

90%

95%

100%

105%

110%

115%

120%

‐25% ‐20% ‐15% ‐10% ‐5% 0% 5% 10% 15% 20% 25%

% de co

sto re

spec

to a la recta

% de flecha de la parábola


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El cri terio de Wu no solo asegura un costo mínimo en el sistema sino una rápida convergencia en el proceso de cálculo de tuberías. Para esquemas de abastecimiento de agua potable en ciudades grandes y medianas, se puede aplica r como cri terio de diseño, o función objetivo de diseño, el tra ta r de obtener una l ínea piezométri ca en las uniones semejantes a la l ínea recta que conecte las superfi cies de los tanques extremos , es deci r, el tanque o embalse que abastece de agua el sistema y el tanque más ale jado topológicamente hablando.

Con el algori tmo de diseño de redes abiertas presentado en el Capítulo 3 y los cri terios de optimización de redes del presente capítulo, en el siguiente capítulo se presenta el módulo de diseño por Superfi cie Óptima de Presiones del programa REDES con todos los cri terios que és te incluye.


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Capítulo 5 Diseño de redes abiertas en REDES: Superficie Óptima de Presiones

Dados un conjunto de diámetros comerciales de un determinado material y un número total de tuberías en una red ba jo diseño, el número de formas de combinar diámetros‐tuberías es extremadamente alto. Si NT es el número de tuberías y DC el número diámetros comerciales disponibles, el número de redes que se podrían formar esta ría dado por:

Ecuación 16

En el caso de tener una hipotéti ca red de 5000 tuberías y disponer 10 diámetros comerciales di ferentes , el número de redes posibles sería de NR=105000.

Eso signifi ca que una red puede diseñarse en muchas formas diferentes, pero solamente algunas de ellas podrán cumplir con las res tri cciones hidráulicas. A pesar de esto, el número de soluciones de diseño factibles sigue siendo muy al to. Una buena metodología de diseño sería aquella que, dentro del conjunto de soluciones de diseño factibles, permitiera escoger la de mínimo costo. Sin embargo, el problema de optimización del diseño de una red abierta es complicado debido a que las al turas piezométri cas en los nodos son incógni tas en el proceso.

Para resolver el problema , el diseño ha sido implementado en un módulo del programa REDES que se expli ca a continuación. En particula r se tra ta rá el diseño con la metodología de la Superfi cie Óptima de Presiones mencionada en el Capítulo 5.3.

5.1 Introducción al programa3 El programa REDES, desarrollado en el Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcanta rillados ‐CIACUA‐ del Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental de la Universidad de los Andes en Bogotá, Colombia, es una herramienta de simulación de sistemas de tuberías con flujo a presión.

3 Saldarriaga, Juan. Hidráulica de Tuberías. Abastecimiento de Agua, Redes, Riegos. Alfaomega y Uniandes. Bogotá, D.C. 2007.


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El desarrollo del programa REDES es tá basado en cri terios de optimización de Redes de Dis tribución de Agua Potable (RDAP) a los que se ha llegado a través de investigaciones en di ferentes universidades de Estados Unidos y Europa . Dentro de los más importantes se encuentran los cri terios análogos de optimización económica de diámetros de tuberías en redes cerradas de distribución de agua, desarrollados por Ronald Feathers tone y Karim El‐Jumaily (basados en el cri terio de Wu), y el método del gradiente para el cálculo de redes cerradas de distribución de agua, desarrollado por Ezio Todini y Enda O’Connell. El programa REDES nació en la Universidad de los Andes en 1988 a través de un proyecto especial y se siguió desarrollando como un conjunto de diversos proyectos de grado, proyectos especiales y tesis de magister, di rigidos por el profesor Juan G. Saldarriaga . En el año 2001 todo el proyecto se uni fi có con el nuevo paradigma de programación orientada por objetos y se implementó en la plata forma Delphi 6.0. En el año 2007 se tuvo la versión pública del programa.

A continuación se hace una breve descripción de los algori tmos y de los métodos de solución que utiliza REDES para resolver la hidráulica y se presenta de manera detallada el módulo de diseño por Superfi cie Óptima de Presiones.

5.2 Hidráulica

A continuación se presentan los dos aspectos principales de REDES para resolver la hidráulica de una red. El primero consiste en las ecuaciones que gobiernan el comportamiento físico del flujo, mientras que el segundo presenta el método utilizado por REDES para resolver las ecuaciones y así calcular el estado hidráulico de la red.

5.2.1 Ecuaciones

Para determinar l os caudales en las tuberías y las presiones en los nodos de una RDAP es indispensable resolver la hidráuli ca de la red, basándose en la utili zación de las ecuaciones de conservación de masa y conservación de energía .

5.2.1.1 Ecuaciones de conservación de masa:

En todos los nodos de un sis tema de distribución se presenta conservación de masa. La conservación de masa signi fi ca que la suma de los caudales que i ngresan a cada nodo es igual a la suma de los caudales que salen del nodo. Por lo tanto, para cada nodo de la red se debe cumpli r que:

Ecuación 17


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donde, Qin es el caudal de entrada , en índice j representa cada tubo que llega al nodo, Qout es el cual de salida, el índice i es cada tubo que sale de nodo, y Qd es el caudal demandado en el nodo.

En los tanques , la conservación de masa se presenta en la variación del volumen de agua almacenada en un período de tiempo Δt. El volumen aumenta o disminuye de acuerdo con la diferencia entre el caudal de entrada y salida en un período de tiempo:

∆ · ∆

Ecuación 18

En los embalses existe conservación de masa como en los nodos y tanques, pero debido a que se supone que el volumen en los embalses es infini to, se desprecia el cambio en el volumen.

5.2.1.2 Ecuaciones de conservación de energía :

El principio de conservación de energía es tablece que la diferencia de energía entre dos puntos es i gual a las pérdidas por fri cción y pérdidas menores . El programa REDES utiliza la ecuación de Darcy‐Weisbach en conjunto con la ecuación de factor de fri cción de Colebrook‐White para calcula r las pérdidas por fri cción:

2

Ecuación 19

Para flujo laminar (número de Reynolds menor a 2000), el factor de fri cción f se calcula de la siguiente forma :

64

Ecuación 20

El factor de fri cción f se calcula con la ecuación de Colebrook‐White para flujo turbulento (número de Reynolds mayor a 2000). Esta ecuación es impl íci ta porque lo que su solución se realiza manera i tera tiva .


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12 log

3.72.51

Ecuación 21

El número de Reynolds es un factor adimensional que relaciona las fuerzas inerciales y las fuerzas vis cosas, y se define de la siguiente manera para tuberías ci rculares:

·

Ecuación 22

donde v es la velocidad promedio en un tubo, d es el diámetro del tubo y ν es la viscosidad cinemática del fluido.

Para calcula r pérdidas menores se requiere conocer la suma de los coefi cientes de pérdidas menores de todos los accesorios que contenga el tubo, y la ecuación con la que se describe es tas pérdidas es la siguiente:

2

Ecuación 23

En las bombas la di ferencia de energía entre los puntos i nicial y final es i gual a las pérdidas por fri cción más las pérdidas menores menos la energía añadida por la bomba .

5.2.2 Método de Cálculo

El método de cálculo que utili za REDES para resolver las ecuaciones de masa y energía en un sistema es el método del gradiente. Este es el método matemático usado por la mayoría de programas comerciales y de distribución gra tui ta para resolver las ecuaciones hidráulicas en redes cerradas de dis tribución.

5.2.2.1 Método del Gradiente

El método del gradiente fue desarrollado por los profesores E. Todini y E. P. O’Connell en la Universidad de Newcas tle upon Tyne y por R. Salgado, como parte de su tesis doctoral en 1982‐1983. Todini y Pila ti (1987) plantearon la forma definiti va del método, en el cual las ecuaciones de energía individuales para cada tubo se combinan con las ecuaciones de masa individuales de cada unión con el fin de obtener una solución simultánea tanto de


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los caudales en las tuberías como de las alturas piezométri cas en los nodos. El método se basa en que al tener flujo permanente se garantiza el cumplimiento de las ecuaciones de conservación de masa en todos los nodos de la red y conservación de energía en todos los circui tos de la misma. 4

Por lo tanto, en cada nodo se debe cumpli r la ecuación de continuidad:

0

Ecuación 24

Para expresar la relación entre las pérdidas de energía (pérdidas por fri cción y pérdidas menores) y el caudal, considerando la exis tencia de bombas o válvulas, se recurre a la siguiente expresión:

Ecuación 25

donde:

n= Exponente que depende de la ecuación de fri cción utilizada . 2 para el caso de Darcy‐Weisbach

α, β y γ= Parámetros característicos del tubo, las válvulas y las bombas

El método utiliza las siguientes defini ciones :

NT= Número de tuberías de la red

NN= Número de nodos con altura piezométri ca desconocida

[A12]= “Matri z de conectividad” asociada a cada uno de los nodos de la red. Su dimensión es NTxNN con sólo dos elementos di ferentes de cero en la i‐ésima fila

NS= Número de nodos de al tura piezométrica fija o conocida



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[A10]= Matri z topológica tramo a nodo para los NS nodos de al tura piezométri ca fija . Su dimensión es NTxNS con un valor i gual a ‐1 en las filas correspondientes a los tramos conectados a nodos de altura piezométri ca fi ja

Considerando las anteriores defini ciones , la pérdida de al tura piezométri ca en cada tramo de tubería que conecte dos nodos es :

11 12 10

Ecuación 26

donde:

[A11]= Matri z diagonal de NTxNT definida como se observa a continuación:

11

0

00 … 00 … 0

0 … 0

0…0

… 0

…0

……

…

[Q]= Vector de caudales con dimensión NTx1

[H]= Vector de al turas piezométri cas desconocidas con dimensión NNx1

[H0]= Vector de al turas piezométri cas fijas con dimensión NSx1

La ecuación de continuidad para todos los nodos se expresa de la manera :

21

Ecuación 27

donde:

[A21]= Matri z transpuesta de [A12]

[q]= Vector de consumo (demanda) o de entrada (oferta) en cada nodo de la red. La dimensión es NNx1

La Ecuación 26 y la Ecuación 27 se pueden escribi r matri cialmente de la siguiente manera :


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11 1221 0

10

Ecuación 28

La parte superior de la Ecuación 28 corresponde a la relación de caudal contra pérdida de al tura piezométri ca Q versus H mientras que la parte i nferior garantiza la continuidad en todos los nodos de la red. Debido a que la parte superior es no lineal, se debe utiliza un algori tmo i tera tivo para resolver el sistema .

5.3 Diseño con Superficie Óptima de Presiones

La idea central de es ta aproximación de diseño es suponer que existe una superfi cie especial conformada por una familia de puntos (X, Y, h) donde X y Y representan las coordenadas planas de cada nodo de la red y h representa la al tura piezométri ca de es tos, de tal manera que con ella se obtenga un diseño óptimo. Es ta superfi cie ha sido llamada Superfi cie Óptima de Presiones. Es te método, entonces, consiste en calcula r una al tura piezométri ca ideal en cada nodo antes de proceder a un diseño.

El cri terio de la superfi cie óptima de presiones es similar al cri terio de Wu para tuberías en serie , pero aplicado al diseño de redes de dis tribución de agua potable con cualquier topología. Como se mencionó anteriormente, es ta extensión del cri terio de Wu fue sugerido por Ronald Feathers tone en 1981 en la Universidad de Newcastle upon Tyne, Inglaterra . Pos teriormente, Okitsugu Fujiwara en 1987 y 1991 comprobó que el método también se podía usar en sistemas de distribución de agua potable. Saldarriaga y Villalba en 2005 veri ficaron es ta hipótesis, al establecer un método para el diseño optimizado de redes . Para calcula r esta superfi cie de alturas piezométri cas es necesa rio defini r la presión mínima requerida en los nodos y una ecuación que modele la ca ída de la al tura piezométri ca ideal de nodo a nodo. Se ha encontrado que apli cando una ecuación cuadrá ti ca análoga a la usada en el cri terio de Wu se pueden obtener buenos resul tados. Una vez se tienen las alturas piezométri cas objetivo en cada uno de los nodos de la red se procede a hacer el diseño de cada uno de los tubos como una tubería simple con los caudales obtenidos en la i teración anterior, o suponiendo unos caudales si se trata de la primera iteración; es to da una mejor aproximación al caudal que debe i r por cada tubería. Es te procedimiento se repi te has ta que las al turas piezométri cas obtenidas sean muy similares a las ideales . Sin embargo, exis te un problema: como resul tado de es te proceso se obtiene una red diseñada que cumple con las restri cciones de mínima presión en los nodos y que se realizó siguiendo un cri terio de optimización económica e hidráulica , pero los diámetros obtenidos son números reales continuos que no pertenecen al conjunto de los diámetros comerciales definidos según la disponibilidad comercial de un material o cri terio del diseñador.


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El programa REDES posee la posibilidad de aproximar es tos diámetros reales a diámetros comerciales de tres maneras , aproximando al diámetro más cercano, al anterior o al siguiente. En inves tigaciones realizadas en la Universidad de Los Andes se ha determinado que un buen procedimiento de determinación de diámetros comerciales a partir de los reales es aproximar al siguiente y pos teriormente al anterior diámetro comercial mediante un proceso de optimización basado en un algori tmo de programación por res tricciones. Es to garantiza que no se violen las restri cciones de presión mínima en los nodos . La aproximación a diámetros mediante programación por res tricciones también se encuentra implementada en el módulo de diseño de REDES.

5.4 Determinación de la Superficie Óptima de Presiones

La determinación de la superfi cie óptima de presiones se calcula llevando a cabo los siguientes pasos5:

1) Determinar las distancias de los nodos a las fuentes . 2) Apli ca r la función en términos de la distancia calculada en el punto anterior para

calcula r la altura piezométri ca ideal en cada nodo. 3) Asignar unos diámetros ini ciales a los tubos de la red. 4) Asignar a cada tubo una pérdida de energía igual a la diferencia de las al turas

piezométri cas entre sus nodos ini cial y final. 5) Con l os diámetros actuales y las pérdidas de energía del paso anterior se calculan

los caudales de cada una de las tuberías de la red. 6) Con los caudales obtenidos en el paso anterior y las pérdidas del paso 4 se calculan

los diámetros de cada tubería simple. 7) Se repi ten l os pasos 5 y 6 hasta que las di ferencias entre las alturas piezométri cas

obtenidas en el paso 6 y las alturas piezométri cas ideales del paso 2 sean inferiores a un error admisible.

Cabe resalta r que las caracterís ti cas anteriormente mencionadas en el proceso de diseño mediante superfi cie óptima de presiones son parti culares para redes cerradas de dis tribución. Como este documento se centra en redes abiertas se debe nota r que los caudales no son desconocidos en ningún momento y por lo tanto en el proceso itera tivo no se presentan variaciones de l os caudales. Es to genera también, que así como la convergencia se presenta con mayor rapidez, la superfi cie de presiones resul tante no sea tan “suave” como en redes cerradas. Es ta di ferencia se ilustra posteriormente en es te documento. A medida que se presenta el cálculo de la superfi cie óptima se presentan las



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debidas salvedades por tra ta rse de redes abiertas y no redes cerradas para lo cual fue desarrollado el método.

Como se puede observa r, la variación del método que lleva a diseños diferentes solo se puede presentar en los pasos 2 y 3. Por lo tanto, estas posibles variaciones se expli can a continuación.

5.4.1 Cálculo de las distancias a las fuentes

La distancia a un nodo cualquiera de la red, con coordenadas (X, Y, Z), en donde Z representa la cota física del nodo, con respecto a una de las fuentes de entrada de agua a la red se puede calcula r a través de tres métodos :

5.4.1.1 Distancia euclídea 2D:

La distancia euclídea en dos dimensiones es la dis tancia entre dos puntos teniendo en cuenta solamente sus coordenadas plana X, Y. En es te caso, la distancia entre el nodo (subíndice i) y la fuente (subíndice 0) se calcula con la siguiente ecuación:

Ecuación 29

5.4.1.2 Distancia euclídea 3D:

La distancia eucl ídea en tres dimensiones es la distancia entre dos puntos teniendo en cuenta sus coordenadas espaciales X, Y, Z. En es te caso, la dis tancia eucl ídea entre el nodo (subíndice i) y la fuente (subíndice 0) se calcula de acuerdo a la siguiente ecuación:

Ecuación 30

5.4.1.3 Distancia topológica:

A di ferencia de la dis tancia euclídea, la distancia topológica depende de la topología de la red y no solo de las coordenadas de las fuentes y los nodos. Para calcula r la distancia topológica no es sufi ciente una ecuación; es necesa rio implementar un algori tmo que calcule la distancia mínima entre dos vérti ces de un gra fo. En es te caso, un vérti ce sería la fuente y el otro vérti ce sería el nodo –i. Cabe resaltar que en redes abiertas , la distancia topológica es de fácil determinación debido a la inexistencia de redundancia en las mismas por lo cual sólo hay un camino desde la fuente a cada nodo.


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í ,

Ecuación 31

Para el caso de redes abiertas , resulta cla ro que se debe usar la distancia topológica, debido a que es ta distancia representa el recorrido del agua en la red y por ende es proporcional a las pérdidas de energía en la misma .

5.4.2 Cálculo de las alturas piezométricas ideales

Una vez se han calculado las distancias entre los nodos y las fuentes , el siguiente paso es apli ca r una ecuación que relacione dicha distancia con la altura piezométrica objetivo (en es te caso al tura piezométri ca ideal). Es ta ecuación permite determinar la superfi cie óptima de presiones para una red con una o varias fuentes . Para facilita r la expli cación se presenta en cada caso una red de distribución con una sola fuente, teniendo en cuenta las siguientes premisas con respecto a la altura piezométri ca AP:

1) Se conoce la AP ideal máxima. Es ta es i gual a la AP de la fuente que alimenta la red.

Ecuación 32

2) Se puede determinar la AP ideal mínima . La AP i deal en el punto más alejado debe ser igual a la elevación máxima de los nodos más alejados de la red más la presión mínima de diseño.

Ecuación 33

En el caso de redes abiertas , la AP ideal mínima corresponde a la cota más el nivel del tanque más alejado topológicamente.

3) La AP en el nodo i debe ser un valor entre la AP ideal mínima y la AP ideal máxima .

ó 0

Ecuación 34

ó

Ecuación 35


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ó

Ecuación 36

En es te caso, Ecuación (distancia) es una ecuación que relaciona la AP ideal con la dis tancia entre la fuente y l os nodos ; dis tanciai es la distancia entre la fuente y el nodo i y dis tanciamax es la distancia entre la fuente y el nodo más alejado.

La ecuación que tiene como argumento la distancia puede ser cualquier tipo de ecuación que tienda a produci r una superfi cie decreciente entre la al tura piezométri ca de las fuentes y la altura piezométri ca mínima en el nodo más alejado, desde el punto de vis ta topológico, de dichas fuentes. A continuación se mues tran algunas ecuaciones que se pueden utiliza r para modelar es ta relación, apli cadas a una red cerrada de ejemplo.

5.4.2.1 Ecuación Lineal

Es ta ecuación modela una relación lineal entre la AP ideal y la distancia entre los nodos y las fuentes . La ecuación es :

·

Ecuación 37

La ecuación anterior produce una superfi cie objetivo de presiones mostrada en la Figura 1. En el punto más al to representa la altura piezométri ca en la fuente o embalse de entrada, mientras que el punto más ba jo representa la presión mínima en el nodo topológicamente más alejado de la fuente.


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Figura 1. Superficie Óptima de Presiones según la ecuación lineal.

5.4.2.2 Ecuación Cuadrática

Es ta ecuación modela una relación cuadrá tica entre la AP ideal y la dis tancia entre los nodos y las fuentes . La ecuación es :

· ·

Ecuación 38

Ecuación 39

2 · ·

Ecuación 40

Ecuación 41


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La ecuación anterior produce una superfi cie objetivo de presiones mostrada en la Figura 2. Es ta superficie es la que más se asemeja al cri terio original de Wu, especialmente si se manipula un poco la ecuación para que produzca una flecha de 15% cerca al centro de la red, con respecto a un plano inclinado entre la AP de la fuente y la AP del nodo más alejado.

Figura 2. Superficie Óptima de Presiones según la ecuación cuadrática.

5.4.2.3 Ecuación Catenaria

Es ta ecuación modela la relación entre la AP ideal y la dis tancia entre los nodos y las fuentes con una curva catenaria descrita mediante la siguiente ecuación:

·

Ecuación 42

donde α se calcula como:

Ecuación 43


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La ecuación anterior produce una superfi cie objetivo de presiones mostrada en la Figura 3.

Figura 3. Superficie Óptima de Presiones según la ecuación catenaria.

5.4.2.4 Ecuación Recíproca

Es ta ecuación modela la relación entre la AP ideal y la dis tancia entre los nodos y las fuentes con una curva recíproca descrita mediante la siguiente ecuación:

1·

Ecuación 44

calculando α y β como:

1·

1

Ecuación 45

1

Ecuación 46


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La ecuación anterior produce una superfi cie objetivo de presiones mostrada en la Figura 4. Es ta superfi cie tiende a tener una flecha superior a 15%.

Figura 4. Superficie Óptima de Presiones según la ecuación recíproca.

De manera similar, se pueden definir un gran número de superfi cies . REDES incluye 2 superfi cies más: una ecuación de un segmento elípti co y la ecuación de la campana de Gauss. Las superfi cies se presentan en la Figura 5 y la Figura 6.


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Figura 5. Superficie Óptima de Presiones según la ecuación elíptica.

Figura 6. Superficie Óptima de Presiones según la ecuación Gaussiana.


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5.5 Superficie Óptima de Presiones modificada por Demanda

La Superfi cie Óptima de Presiones descri ta en el Capítulo 5.3 se determina considerando como criterio para el desarrollo de la superfi cie las alturas máximas y mínimas así como la dis tancia entre los nodos y el embalse (ver Capítulo 5.4).

Sin embargo, tra tando de encontra r un cri terio de optimización con un signifi cado más físi co que el cri terio de I‐pai Wu (geométri co), en traba jos previos a es te, se implementó en el programa REDES una modi ficación al método de la Superfi cie Óptima de Presiones. La modifi cación considera un a juste a la superfi cie óptima de presiones regular considerando la demanda que debe ser entregada en la red.

El procedimiento para desarrollar la Superficie Óptima de Presiones se puede expli car como:

1) Generar la Superf icie Óptima basada en la distancia topológica (algor itmo explicado en el Capítulo 5.4).

2) Ordenar los nodos por distancia topológica. 3) Calcular el caudal faltante por entregar en cada nodo. 4) Ponderar los valores normalizados de Altura Piezométrica (A P) estimado en el

paso 1 en cada nodo y el caudal por entregar en cada nodo, de la siguiente manera:

·12

Ecuación 47

Desarrollando la ecuación Si se desarrolla el paréntesis de la Ecuación 47 se obtiene la expresión en términos de potencia:

· ·· ·12

Ecuación 48

que sería la expresión de ajuste de la Superfi cie Óptima de Presiones convencional (cri terio de distancia ) considerando la demanda de la red (criterio de distancia‐demanda).


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Capítulo 6 Diseño de redes abiertas según Superficie Óptima de Presiones (SOP distancia)

El presente capítulo presenta una evaluación de la apli cabilidad de la optimización de redes abiertas según el cri terio de Superfi cie Óptima de Presiones . Debido a que posteriormente se evaluará la utilización del a juste a la superfi cie óptima según la demanda (generando así un criterio que considera distancia‐demanda) se debe especifi car que el presente capítulo solamente evalúa el diseño por superfi cie óptima en su forma geométri ca (distancia) y por tanto se especifi ca es ta forma como Superfi cie Óptima de Presiones por distancia (SOP distancia).

6.1 Análisis de diseño Se ha empleado el módulo de diseño del programa REDES, el cual tiene incorporado por defecto la función de cos tos mencionada en el Capítulo 4. Se han realizado pruebas de diseño con todas las superfi cies objetivo de presiones que tiene el programa e incluso para la superfi cie cuadrá ti ca se utilizaron cuatro valores diferentes de flecha : Flecha de 5%, 10%, 15% y 20%.

Se han utilizado diferentes redes abiertas, algunas teóri cas definidas para este proyecto de grado y algunas redes reales.

Los diámetros comerciales que se utiliza ran en los di ferentes procesos de diseño son:


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Tabla 2. Diámetros comerciales utilizados.

6.1.1 Red Teórica C-1

La red teóri ca C‐1, es una red teóri ca creada en el desarrollo del presente proyecto de grado pretendiendo genera r condiciones similares en una red abierta a las condiciones es tablecidas por I‐pai Wu en tuberías en serie. Por lo tanto, se buscaba que la red, la cual posee dos ramales , tuviera condiciones de demanda más o menos uniformes y longi tudes similares en toda la red. Igualmente, las al turas de los tanques pertenecientes a la red decrecen gradual y uniformemente. La red contiene un solo embalse que alimenta toda la red, dividiéndose en dos ramales que entregan el caudal demandado por los tanques en ambos ramales . La red cons ta entonces, además del embalse mencionado, de 14 tuberías y 6 nodos . Todas las tuberías son en PVC (ks=1.5x10

‐6m) y se considera una función de pérdidas menores escogida arbitra riamente de 8.3 por cada kilómetro de longi tud de tubería.

A continuación se ilus tra la red con los nombres del embalse los tanques y las uniones.

Diámetro [mm] Diámetro [m]

75 0.075

100 0.1

150 0.15

200 0.2

250 0.25

300 0.3

350 0.35400 0.4450 0.45

500 0.5600 0.6720 0.721000 11200 1.21400 1.41500 1.51800 1.8

Diámetros Comerciales

Universidad de los Andes Departamento de Ingenie ría Civil y Ambiental Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados ‐ CIACUA Diseño Optimizado de Redes Abie rtas: Superficie Óptima de Presiones.

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César Mauricio Prieto Gamboa Informe Final del Proyecto de Grado de Ingeniería Ambiental 40

Figura 7. Esquema de la Red teórica C-1.


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Las al turas piezométri cas de los tanques son:

Tabla 3. Alturas de los tanques de la Red C-1.

Las ca racterís ticas topológicas de la red C‐1 son:

Tabla 4. Características topológicas de la Red C-1.

Tanque Altura [m]

PTAP 1200.00

1 925.00

2 875.00

3 850.00

4 825.00

5 875.00

6 850.007 850.008 850.00

Alturas Piezométricas

Tubería Material ks [m] l [m] km [m]

PTAP ‐ U1 PVC 1.50E‐06 1000 8.3

U1 ‐ 1 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U1 ‐ U2 PVC 1.50E‐06 500 4.2U2 ‐ 2 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U2 ‐ U3 PVC 1.50E‐06 1000 8.3

U3 ‐ 3 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U3 ‐ U4 PVC 1.50E‐06 1000 8.3

U4 ‐ 4 PVC 1.50E‐06 500 4.2U1 ‐ U5 PVC 1.50E‐06 1000 8.3

U5 ‐ 5 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U5 ‐ U6 PVC 1.50E‐06 1000 8.3

U6 ‐ 6 PVC 1.50E‐06 500 4.2U6 ‐ 7 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U6 ‐ 8 PVC 1.50E‐06 500 4.2

Características de las tuberías


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6.1.1.1 Optimización de la red C-1 con Superficie Óptima de Presiones

Para el diseño optimizado de la Red C‐1 y de las demás redes abiertas en el presente proyecto, se han utilizado en total 9 superfi cies objetivo. Se determinaron los diámetros y los costos obtenidos para cada diseño tanto para los diámetros exactos como para los diámetros ajustados a comerciales mediante programación por res tri cciones. Se determinó que el procedimiento de a jus te a diámetros comerciales sería primero incrementar al diámetro siguiente y luego reduci r al anterior. Así se garanti zaban los cumplimientos de energía en todos los nodos de la red.

Las superfi cies objetivo utilizadas en el proceso fueron:

Tabla 5. Superficies objetivo del programa REDES para diseño por SOP.

Se es tablecieron cuatro escenarios de consumo de caudal para evaluar las redes teóri cas del proyecto en diferentes condiciones hidráulicas y obtener di ferentes costos asociados a cada escenario. Los escenarios establecidos para la Red C‐1 son:

Superficies Objetivo

Lineal

Elipse

Gaussiana

Recíproca

Catenaria

Cuadrática

Flecha 5%

Flecha 10%

Flecha 15%

Flecha 20%


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Tabla 6. Escenarios de demanda evaluados en la Red C-1.

Por consiguiente, para cada uno de los escenarios de caudal y para cada superfi cie objetivo diferente se realizó el diseño SOP distancia.

6.1.1.2 Resultados de diseño

A continuación se presentan los resultados obtenidos en el diseño optimizado de la Red C‐1. Para los primeros análisis de diseño se presentan resul tados obtenidos en detalle, mientras que pos teriormente se hará énfasis únicamente en los costos obtenidos.

6.1.1.2.1 Superficie Cuadrática de 5% de flecha (Escenario 1-Tabla 6)

A continuación se presentan l os cos tos y las al turas piezométri cas en los nodos y tanques como resul tado del proceso de diseño utilizando como superfi cie objetivo una superfi cie cuadrá ti ca con una flecha del 5% en el centro.

Nodos TanquesEscenario 1 0.025 0.050Escenario 2 0.040 0.070Escenario 3 0.015 0.030Escenario 4 0.000 0.800

Demanda [m3/s]


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Tabla 7. Alturas piezométricas de los tanques y nodos de la Red C-1. Cuadrática 5%.

Como se observa , el costo con los diámetros exactos es inferior al cos to con los diámetros comerciales. Por supuesto, el cos to que se debe considerar para cualquier análisis es el cos to con diámetros comerciales debido a que es éste el que puede ser cons truido.

6.1.1.2.2 Superficie Cuadrática de 10% de flecha (Escenario 1-Tabla 6)

A continuación se presentan l os cos tos y las al turas piezométri cas en los nodos y tanques como resul tado del proceso de diseño.

Exacto Comercial301,448.06$ 316,897.90$

DISTANCIA LGH LGHMetros Metros Metros

PTAP 0 1200.00 1200.00U1 1000 1085.73 1135.00

U2 1500 944.08 1049.421 1500 925.02 990.56U5 2000 983.06 1062.742 2000 875.02 904.98U3 2500 898.63 979.495 2500 875.20 918.30U6 3000 891.63 955.723 3000 850.02 958.708 3500 850.20 934.937 3500 850.20 934.936 3500 850.20 934.93U4 3500 863.72 891.884 4000 825.05 871.08

Distancia

ID


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Tabla 8. Alturas piezométricas de los tanques y nodos de la Red C-1. Cuadrática 10%.

Si bien el diseño exacto presenta nuevamente un costo inferior al cos to con diámetros comerciales, se observa que los dos costos de este caso (Cuadrá tica con 10% de flecha) son superiores a los costos del caso anterior (Cuadrá ti ca con 5% de flecha). Mientras en el caso de 5% el cos to de diámetros comerciales es de $316,897.90 dólares el costo de diámetros comerciales en el caso de 10% es de $329,918.73 dóla res lo cual presenta cla ramente que para la Red C‐1 en parti cula r, el diseño de Cuadrá ti ca de 5% es más económico que el diseño de Cuadrá ti ca de 10%.

6.1.1.2.3 Resultados de todas las superficies (Escenario 1-Tabla 6)

Así como en los dos análisis anteriores se observó que puede existi r una superfi cie objetivo que genere un diseño más económico que otro, puede exis ti r alguna superfi cie objetivo que genere un diseño de menor costo que las demás. Esa superfi cie, genera ría el diseño óptimo y se pretende encontrar en las nueve superfi cies mencionadas en la Tabla 5.

Se presenta a continuación un resumen de resul tados de todos los diseños realizados en el escenario 1. Debido a que los únicos cos tos de interés son los generados con diámetros

Exacto Comercial307,834.30$ 329,918.73$

DISTANCIA LGH LGHMetros Metros Metros

PTAP 0 1200.00 1200.00U1 1000 1071.60 1135.00

U2 1500 932.17 1049.421 1500 925.17 990.56U5 2000 965.89 1062.742 2000 875.29 904.98U3 2500 889.18 1023.595 2500 875.18 918.30U6 3000 883.03 1025.533 3000 850.29 879.158 3500 850.21 881.097 3500 850.21 881.096 3500 850.21 881.09U4 3500 855.76 1001.274 4000 825.35 856.83

SOP distancia

ID


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comerciales, el presente capítulo omiti rá la presentación de los cos tos con diámetros exactos para l os resul tados presentados y analizados.

Tabla 9. Costos de la Red C-1 según la superficie objetivo. Escenario 1.

Como se observa en la Tabla 9, el diseño óptimo se obtiene utilizando la superfi cie objetivo lineal y la superfi cie cuadrá ti ca con flecha de 5% con un cos to de $316,897.90 dólares .


De manera similar que en el escenario 1, se presenta un resumen de resultados de todos los diseños obtenidos en el escenario 2 de demanda .


La Red C‐1 con el escenario de demanda 2, presenta cos tos muy similares. De las nueve superfi cies, seis generaron un diseño óptimo con un cos to de $391,329.92 dólares .


Se presenta a continuación un resumen de resul tados de todos los diseños realizados con el escenario 3.

Escenario 1Flecha 5% 316,897.90$ Flecha 10% 329,918.73$ Flecha 15% 329,570.72$ Flecha 20% 329,570.72$

Lineal SOP 316,897.90$ Elipse SOP 317,923.51$

Gaussiana SOP 335,320.06$ Recíproca SOP 329,918.73$

Catenaria SOP 329,570.72$

Cuadrática





Cuadrática


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En el análisis del escenario 3 se observa que dos superfi cies generaron el diseño óptimo. En es te caso, las superfi cies elipse y catenaria generaron el diseño más económico con un cos to de $236,559.37 dóla res .




Los resul tados de diseño obtenidos en el escenario 4, presentan solamente un diseño como óptimo económico. El valor de $357,001.89 corresponde al diseño utilizando una flecha de 5% como objetivo.

En términos generales, se observa que para los di ferentes escenarios analizados sobre la Red C‐1, no se observa una tendencia cla ra sobre alguna superfi cie objetivo que tienda a genera r el diseño óptimo siempre. Sin embargo, la superficie objetivo cuadráti ca con flecha de 5% generó en tres de los cuatro escenarios el diseño óptimo; tres superficies





Cuadrática





Cuadrática


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di ferentes (lineal , elipse y ca tenaria) generaron el diseño óptimo en dos de los cuatro escenarios .


La red teóri ca C‐2, es una red teóri ca creada en el desarrollo del presente proyecto de grado partiendo como base de la red teóri ca C‐1 presentando modificaciones en la topología. La red posee dos ramales, a las cuales se les ha modifi cado las longitudes de las tuberías, duplicándose las longi tudes en un ramal y reduciéndose las longi tudes en el otro ramal. Las al turas de los tanques pertenecientes a la red decrecen gradual y uniformemente con los mismos valores que en la red C‐1. La red contiene un solo embalse que alimenta toda la red, dividiéndose en dos ramales que entregan el caudal demandado por los tanques en ambos ramales. La red consta entonces , además del embalse mencionado, de 14 tuberías y 6 nodos. Todas las tuberías son en PVC (ks=1.5x10

‐6m) y se considera una función de pérdidas menores escogida arbitra riamente de 8.3 por cada kilómetro de longi tud de tubería

A continuación se ilus tra la Red C‐2.


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Figura 8. Esquema de la Red teórica C-2.


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Las al turas de los tanques son:

Tabla 13. Alturas de los tanques de la Red C-2.

Las ca racterís ticas topológicas de la red C‐2 son:

Tabla 14. Características topológicas de la Red C-2.

Tanque Altura [m]

PTAP 1200.00

1 925.00

2 875.00

3 850.00

4 825.00

5 875.00

6 850.007 850.008 850.00

Alturas Piezométricas

Tubería Material ks [m] l [m] km [m]

PTAP ‐ U1 PVC 1.50E‐06 1000 8.3

U1 ‐ 1 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U1 ‐ U2 PVC 1.50E‐06 500 4.2U2 ‐ 2 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U2 ‐ U3 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U3 ‐ 3 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U3 ‐ U4 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U4 ‐ 4 PVC 1.50E‐06 500 4.2U1 ‐ U5 PVC 1.50E‐06 2000 16.7

U5 ‐ 5 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U5 ‐ U6 PVC 1.50E‐06 2000 16.7

U6 ‐ 6 PVC 1.50E‐06 500 4.2U6 ‐ 7 PVC 1.50E‐06 500 4.2

U6 ‐ 8 PVC 1.50E‐06 500 4.2

Características de las tuberías


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6.1.2.1 Optimización de la red C-2 con Superficie Óptima de Presiones

Para el diseño optimizado de la Red C‐2 mediante Superfi cie Óptima de Presiones, se han utilizado las mismas superfi cies objetivo utilizadas en la Red C‐1 y el procedimiento de generación de cos tos se realizó de manera similar.

Al igual que en los diseños de la Red C‐1, se utilizaron los mismos cuatro escenarios de consumo de caudal:

Tabla 15. Escenarios de demanda evaluados en la Red C-2.

Por consiguiente, para cada uno de los escenarios de caudal y para cada superfi cie objetivo diferente se realizó el diseño buscando la superfi cie objetivo que genere el diseño óptimo.


A continuación se presentan los resultados obtenidos en el diseño optimizado de la Red C‐2. Para esta red se presentan resul tados únicamente de los cos tos obtenidos en el proceso de diseño.




Nodos TanquesEscenario 1 0.025 0.050Escenario 2 0.040 0.070Escenario 3 0.015 0.030Escenario 4 0.000 0.800

Demanda [m3/s]





Cuadrática


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Para este caso en parti cula r, el diseño óptimo económicamente se obtiene con tres superfi cies (lineal, recíproca y ca tenaria) que generan el mismo cos to $396,764.31 dólares .




En el escenario 2, el diseño con la superfi cie cuadráti ca de 5% de flecha es el único que presenta el mínimo valor. Así, en es te caso en particular, es $481,869.96 dóla res el valor óptimo de diseño para la red C‐2 con el escenario de demanda 2.




Para es te caso, el diseño óptimo económicamente se obtiene con tres superficies objetivo (flecha 10%, flecha 15% y recíproca) que generan un cos to de $289,977.40 dóla res.





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Cuadrática


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Los resul tados de diseño obtenidos en el escenario 4 presentan 5 superfi cies objetivo generando un cos to mínimo. El valor óptimo ($440,876.93 dóla res) fue obtenido con las superfi cies flecha 5%, flecha10%, flecha 15%, lineal y recíproca .

En términos generales, se puede determinar que para los diferentes escenarios analizados en la Red C‐2, la superfi cie recíproca generó el valor óptimo en tres de los cuatro escenarios mientras que las superficies flecha 5%, flecha 10%, flecha 15% y lineal produjeron el diseño óptimo en 2 escenarios .

6.1.3 Red Teórica V-1

La red teóri ca V‐1, es una red teóri ca abierta creada en el desarrollo del presente proyecto de grado generada de manera muy aleatoria y con ca racterís ti cas muy disparejas. La creación de es ta red y sus respectivos análisis obedecen a genera r una validación a los resul tados obtenidos con las redes C‐1 y C‐2. La red posee tres ramales como se observa a continuación:

.





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Figura 9. Esquema de la Red teórica V-1.


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6.1.3.1 Optimización de la Red V-1 con Superficie Óptima de Presiones

Para el diseño optimizado de la Red V‐1 mediante Superficie Óptima de Presiones, se han utilizado las mismas superfi cies objetivo utilizadas en la Red C‐1 y Red C‐2 y el procedimiento de generación de cos tos se realizó de manera simila r.

En es te caso, todos los nodos y tanques tienen diferente demanda . A continuación se presentan l os escenarios probados para la Red V‐1 de acuerdo al valor de identifi cación (ID) del nodo o tanque:

Tabla 20. Escenarios de demanda evaluados en la Red V-1.

Se estableció un escenario de demanda inicial (escenario 1) de manera muy i rregula r. Los siguientes escenarios corresponden a la apli cación de un factor multipli cador a cada uno de los escenarios. As í se utilizaron los factores de 0.5 (escenario 2), 2 (es cenario 3) y 3 (escenario 4).


A continuación se presentan los resul tados obtenidos en el diseño optimizado de la Red V‐1. Para esta red se presentan resul tados únicamente de los cos tos obtenidos en el proceso de diseño.

ID Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3 Escenario 42 0.084 0.042 0.168 0.2523 0.045 0.0225 0.09 0.1354 0.094 0.047 0.188 0.282

5 0.05 0.025 0.1 0.156 0.063 0.0315 0.126 0.1897 0.078 0.039 0.156 0.2348 0.15 0.075 0.3 0.459 0.12 0.06 0.24 0.3610 0.013 0.0065 0.026 0.03911 0.21 0.105 0.42 0.6312 0.17 0.085 0.34 0.51

13 0.215 0.1075 0.43 0.64514 0.135 0.0675 0.27 0.405

15 0.147 0.0735 0.294 0.44116 0 0 0 0

17 0.26 0.13 0.52 0.7818 0.18 0.09 0.36 0.54

Demanda [m3/s]


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Tabla 21. Costos de la Red V-1 según la superficie objetivo. Escenario 1.

Se observa en la Tabla 21 que tres superfi cies objetivo genera ron el diseño óptimo para la Red V‐1 con el escenario de demanda 1. Las superfi cies fueron flecha 5%, lineal y recíproca con un valor de $1,519,301.89 dóla res .




Con el escenario 2 de demanda de la Red V‐1 la única superfi cie que generó el diseño óptimo fue la superfi cie objetivo recíproca . El cos to según el diseño es de $1,015,668.08 dólares .

Escenario 1Flecha 5% 1,519,301.89$ Flecha 10% 1,544,787.79$ Flecha 15% 1,544,787.79$ Flecha 20% 1,544,787.79$

Lineal SOP 1,519,301.89$ Elipse SOP 1,544,787.79$

Gaussiana SOP 1,554,408.43$ Recíproca SOP 1,519,301.89$

Catenaria SOP 1,585,759.44$

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En el caso de diseño de la Red V‐1 con el escenario 3, se obtuvo un valor óptimo de $2,173,514.26 dóla res con las superfi cies objetivo flecha 5% y flecha 10%.




En el análisis del escenario 4 se observa que dos superfi cies generaron el diseño óptimo. En es te caso, las superfi cies flecha 10% y gaussiana generaron el diseño más económico con un cos to de $2,776,029.69 dóla res.

De acuerdo con l os resul tados obtenidos en el análisis de la Red V‐1, se observa que a di ferencia de las dos redes analizadas previamente exis te una tendencia a que pocas superfi cies por escenario generen el diseño óptimo, dado que en las redes previas el valor





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óptimo de diseño se encontraba has ta con seis superfi cies de manera simul tánea , en la Red V‐1 solo se encuentra has ta con tres superfi cies . Tanto en esta red como en las anteriores , se observa una cla ra tendencia a que las superfi cies cuadrá ti cas de baja flecha (5% y 10%), la superfi cie lineal y la superfi cie recíproca tengan una mayor tendencia a genera r el diseño óptimo, desvi rtuando parcialmente el cri terio de Wu (flecha de 15%) para redes abiertas. Igualmente se observa que de todos los análisis realizados , solamente en la Red V‐1, escenario 4 la superfi cie gaussiana generó el diseño de mínimo costo.

6.1.4 Red Medellín Zona Occidental M-ZO

La Red Medellín Zona Occidental, es una red abierta comprendida entre el tanque de almacenamiento principal de Ayurá y el tanque de distribución Volador, en la zona occidental de la ciudad del Valle de Aburrá. La red es tá comprendida en total por 8 tanques de distribución (Rodeo Rincón, Al tavista , Belencito, América , Nutiba ra , Robledo, Palenque y Volador). Se considera ron todas las tuberías de PVC (ks=1.5x10

‐6m) y se considera ron inexis tentes las pérdidas menores en la red.

A continuación se observa un esquema de la Red Medellín‐Zona Occidental, que fue modelado con las ca racterís ti cas topológicas reales de la red:

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Figura 10. Esquema de la Red Medellín Zona-Occidental.


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6.1.4.1 Optimización de la red M-ZO con Superficie Óptima de Presiones

Para el diseño optimizado de la Red M‐ZO mediante Superfi cie Óptima de Presiones, se han utilizado las mismas superfi cies objetivo utilizadas en las redes previas. Con es ta red se pretende analiza r el método de SOP en redes abiertas reales.

A continuación se presentan los escenarios probados para la Red M‐ZO de acuerdo con el valor de identi ficación (ID) del nodo o tanque:

Tabla 25. Escenarios de demanda evaluados en la Red M-ZO.

El escenario 1 corresponde al valor aproximado de consumos reales de la red. A parti r de allí, se establecieron los demás escenarios aplicando un factor multiplicador a cada uno de los escenarios . As í se utiliza ron los factores de 0.5 (es cenario 2), 2 (escenario 3) y 3 (escenario 4).


A continuación se presentan los resultados obtenidos en el diseño optimizado de la Red M‐ZO. Para es ta red se presentan resultados únicamente de los cos tos obtenidos en el proceso de diseño.

ID Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3 Escenario 42 0 0 0 03 0 0 0 04 0 0 0 05 0 0 0 06 0 0 0 07 0 0 0 09 0.012 0.024 0.006 0.04810 0.587 1.174 0.2935 2.34811 0.226 0.452 0.113 0.90412 0.106 0.212 0.053 0.42413 0 0 0 014 0.438 0.876 0.219 1.75215 0.32 0.64 0.16 1.2816 0 0 0 017 0.083 0.166 0.0415 0.33218 0.313 0.626 0.1565 1.252

Demanda [m3/s]


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Tabla 26. Costos de la Red M-ZO según la superficie objetivo. Escenario 1.

Para es te caso, el diseño óptimo económicamente se obtiene con tres superficies objetivo (flecha 5%, flecha 10% y flecha 20%) que generan un cos to de $5,519,669.60 dóla res .




Para este caso en parti cula r, el diseño óptimo económicamente se obtiene con tres superfi cies (flecha 5%, flecha 10% y gaussiana) que generan el mismo cos to $7,763,932.46 dólares .





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Los resul tados de diseño obtenidos en el escenario 3, presentan solamente un diseño como óptimo económico. El valor de $3,739,696.40 corresponde al diseño utilizando una superfi cie lineal como objetivo.




En el escenario de demanda 4 en la Red M‐ZO se encuentra como valor de diseño óptimo $11,818,922.68. El diseño óptimo fue realizado con 4 superficies objetivo como se observa en la Tabla 29 (flecha 5%, flecha 20%, lineal y recíproca ).

En la Red Medellín‐Zona Occidental , se continúa observando la tendencia a que las superfi cies cuadrá ti cas de poca flecha (5%, 10% y lineal que corresponde a una flecha de





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0%) y recíproca generan diseños óptimos . Sin embargo, se observa en 2 oportunidades la generación del diseño óptimo con la cuadrá ti ca de 20% de flecha y una vez con la superfi cie gaussiana.

6.1.5 Red Medellín Zona Sur M-ZS

La Red Medellín Zona Sur, es una red abierta esquemática del Valle de Aburrá comprendida entre el tanque de almacenamiento principal de Ayurá y el tanque de dis tribución más alejado topológicamente Salva torio. Además , la comprenden los tanques Las Brujas , San Rafael, El Dorado, Las Flores y Sabaneta . Se considera ron todas las tuberías de PVC (ks=1.5x10

‐6m) y se considera ron inexistentes las pérdidas menores en la red.

A continuación se observa un esquema de la Red Medellín‐Zona Sur, que fue modelado con las caracterís ti cas topológicas reales de la red:

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Figura 11. Esquema de la Red Medellín Zona Sur.


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6.1.5.1 Optimización de la red M-ZS con Superficie Óptima de Presiones

Para el diseño optimizado de la Red M‐ZS mediante Superfi cie Óptima de Presiones , se han utilizado las mismas superfi cies objetivo utilizadas en las redes previas. Con es ta red se pretende continuar con el análisis de diseño de redes abiertas reales mediante SOP.

A continuación se presentan los escenarios probados para la Red M‐ZS de acuerdo al valor de identifi cación (ID) del nodo o tanque:

Tabla 30. Escenarios de demanda evaluados en la Red M-ZS.

Al igual que en la Red M‐ZO, el escenario 1 corresponde al valor aproximado de consumos reales de la red. Igualmente, se es tablecieron los demás escenarios aplicando un factor multiplicador a cada uno de los escenarios . As í se utiliza ron los factores de 0.5 (escenario 2), 2 (es cenario 3) y 3 (escenario 4) como se observa en la Tabla 30.


A continuación se presentan los resultados obtenidos en el diseño optimizado de la Red M‐ZS. Para es ta red se presentan resul tados únicamente de los costos obtenidos en el proceso de diseño.



ID Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3 Escenario 42 0 0 0 03 0 0 0 04 0 0 0 05 0 0 0 06 0 0 0 07 0.275 0.55 0.1375 1.18 0.291 0.582 0.1455 1.1649 0.032 0.064 0.016 0.12810 0.143 0.286 0.0715 0.57211 0.004 0.008 0.002 0.01612 0.099 0.198 0.0495 0.396

Demanda [m3/s]


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Tabla 31. Costos de la Red M-ZS según la superficie objetivo. Escenario 1.

En la Tabla 31 se observa que para la Red Medell ín‐Zona Sur con el escenario 1 de demanda, todas las superfi cies cuadrá ti cas analizadas, la superfi cie lineal y la superfi cie recíproca producen el diseño más económico con un costo de $1,327,983.32 dólares .




Continuando con una tendencia generalizada a lo largo de todos los análisis, la superfi cie recíproca ha generado el diseño óptimo en el escenario 2. En es tá ocasión, fue la superfi cie recíproca la único en generar un cos to mínimo de $1,919,396.84 dólares.







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El escenario 3 permitió encontra r un valor de $898,929.29 dóla res como cos to del diseño óptimo. Es te se produjo con cuatro superfi cies objetivo diferentes (flecha 5%, flecha 10%, lineal y recíproca).




Los resultados obtenidos en el escenario 4 son muy parti cula res. En todas las superficies objetivo analizadas, exceptuando la superfi cie gaussiana, se obtuvo el valor mínimo de diseño ($2,895,429.01 dóla res).

La Red M‐ZS no presenta ninguna tendencia cla ra hacia creer que alguna superfi cie objetivo genera con mayor incidencia la superfi cie objetivo con la salvedad de la superfi cie recíproca, que produjo el diseño óptimo en los cuatro escenarios evaluados. Como ya se ha hecho nota r en redes anteriores , se logra observa r que las superfi cies cuadráti cas de flecha pequeña son las frecuentemente resaltadas . Es muy cla ro que la superfi cie





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gaussiana tiene un efecto contra rio, dado que ninguna vez en los análisis de la Red M‐ZS produjo un diseño de mínimo costo, resal tándose el escenario 4 donde fue la única superfi cie que NO generó el cos to mínimo (Tabla 34).

6.2 Resumen de resultados En total fueron analizadas 5 redes abiertas, 3 redes teóri cas y dos redes esquemáticas de redes reales. Para cada red se probaron 4 escenarios di ferentes de demanda, por lo cual se obtuvo un total de 20 casos diferentes para diseñar. Para cada uno de es tos casos se realiza ron 9 diseños, uno con cada superfi cie mostrada con anterioridad (Tabla 5).

La Tabla 35 presenta en resumen, cuantas veces cada superficie produjo el mínimo cos to de diseño de su escenario. Cabe resalta r que varias superfi cies objetivo podían genera r el mínimo cos to de cada escenario.

Tabla 35. Frecuencia de obtención del diseño óptimo.

Observando la tabla anterior se observa que se pueden clasifica r las superfi cies en dos grupos según su frecuencia de generación del valor óptimo.

Las superfi cies que un mayor número de veces produjeron el diseño óptimo (de mayor a menor), oscilando entre 13 y 9 veces (de 20) son:

• Cuadrá tica con flecha de 5% • Recíproca • Lineal (cuadrá ti ca de 0%de flecha) • Cuadrá tica con flecha de 10%

Las superfi cies que un menor número de veces produjeron el diseño óptimo (de mayor a menor), oscilando entre 2 y 5 veces (de 20) son:

• Cuadrá tica con flecha de 20%

Veces de diseño óptimoFlecha 5% 13Flecha 10% 9Flecha 15% 4Flecha 20% 5

Lineal SOP 10Elipse SOP 3

Gaussiana SOP 2Recíproca SOP 11Catenaria SOP 4

Cuadrática


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• Cuadrá tica con flecha de 15% • Catenaria • Elipse • Gaussiana

Defini ti vamente, no se puede afirmar sobre una superfi cie en particula r que produzca los mejores resul tados de diseño de redes abiertas utilizando el cri terio de Superfi cie Óptima de Presiones . Además, el grupo de superfi cies que genera ron un mayor número de veces el mejor diseño (desde el punto de vista económico), lo genera ron solamente entre el 65% y el 45% de las veces , lo cual no permite una gran a fi rmación al respecto. Se observa que los mejores resul tados se obtienen con superfi cies cuadráti cas de ba ja flecha y con la superfi cie recíproca , l o cual parece ser contario, debido a la brusca ca ída de la superfi cie recíproca (Capítulo 5 Figura 4) y la suave de las cuadrá ti cas de ba ja pendiente.

El grupo de superfi cies con menor número de veces de producción del diseño óptimo genera ron resultados positi vos entre el 10% y el 25% de los escenarios diseñados . Es te porcentaje permite clasifica r es tas superficies como poco recomendables para el diseño de redes abiertas. Se resalta el hecho que en este grupo se encuentre la superfi cie cuadrá ti ca de 15% de flecha , por l o cual se desca rta la apli cabilidad del criterio de Wu en redes abiertas.


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Capítulo 7 Análisis del efecto de la demanda en el diseño de redes abiertas según Superficie Óptima de Presiones (SOP distancia-demanda)

El presente capítulo presenta un análisis de los cos tos de las redes abiertas al considera r la demanda en la generación de la Superfi cie Óptima de Presiones . Este análisis se realiza contrastando los resul tados obtenidos en el Capítulo 6 con los resultados que se obtienen en las mismas redes y escenarios considerando el a jus te por demandas sobre la superfi cie objetivo de diseño con la metodología expli cada en el Capítulo 5.5.

Por lo tanto, se mostraran los resultados de las cinco redes presentadas anteriormente, probando en cada escenario las dos metodologías de diseño por SOP. La comparación se realiza individualmente para cada superficie objetivo de manera independiente. As í, se define la apli cabilidad del método de SOP distancia‐demanda como positiva en los casos en los cuales produzca un costo de diseño menor o igual al cos to generado con el diseño por el cri terio SOP distancia. Por ende, en los casos en los cuales el método de SOP dis tancia sea de menor costo, la aplicabilidad se considera negativa .

7.1 Efecto del diseño con SOP considerando la demanda

A continuación se presentan los resul tados contrastados de todos los casos analizados utilizando los criterios de Superfi cie Óptima de Presiones y Superfi cie Óptima de Presiones ajus tada por demandas:


Se probaron l os cuatro escenarios de la Red C‐1 considerando el a jus te de la superfi cie óptima por demanda . A continuación se presentan los resultados

7.1.1.1 Resultados de todas las superficies (Escenario 1)

La Tabla 9 presenta los cos tos de diseño, con diámetros comerciales, de la Red C‐1 con el escenario de demanda 1.


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Tabla 36. Costos de la Red C-1 SOP distancia y SOP distancia-demanda. Escenario 1.

Como se observa en la Tabla 9, con siete de las nueve superfi cies objetivo, sería más económico o al menos igual utilizar el ajuste por demandas a la SOP.


Se presentan los resul tados para el escenario 2 en la siguiente tabla.


La Red C‐1 con el escenario de demanda 2, presenta solamente 4 superfi cies con las cuales el cos to de diseño con el a jus te de demandas (SOP distancia‐demanda) es inferior al cos to de diseño sin el ajuste (SOP distancia). Sin embargo, las cuatro superfi cies que resulta ron más económicas que SOP distancia , generaron el diseño de menor cos to de todo el escenario.


Se presentan a continuación los resultados del escenario 3

SOP distancia SOP distancia‐demanda AplicableFlecha 5% 316,897.90$ 316,897.90$ SIFlecha 10% 329,918.73$ 318,469.60$ SIFlecha 15% 329,570.72$ 327,786.33$ SIFlecha 20% 329,570.72$ 321,052.28$ SI

Lineal SOP 316,897.90$ 318,469.60$ NOElipse SOP 317,923.51$ 326,214.63$ NO

Gaussiana SOP 335,320.06$ 316,897.90$ SIRecíproca SOP 329,918.73$ 318,469.60$ SI

Catenaria SOP 329,570.72$ 318,469.60$ SI

Cuadrática

Escenario 1

SOP distancia SOP distancia‐demanda AplicableFlecha 5% 391,329.92$ 380,337.20$ SIFlecha 10% 392,465.50$ 394,691.68$ NOFlecha 15% 392,465.50$ 403,945.51$ NOFlecha 20% 391,329.92$ 392,465.50$ NO

Lineal SOP 391,329.92$ 394,691.68$ NOElipse SOP 391,329.92$ 380,337.20$ SI

Gaussiana SOP 399,335.81$ 380,337.20$ SIRecíproca SOP 391,329.92$ 394,691.68$ NO

Catenaria SOP 391,329.92$ 380,337.20$ SI

Cuadrática

Escenario 2


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En el análisis del escenario 3 se observa que en ocho de los nueve casos el a jus te por demanda es jus tifi cable debido a que produce un menor costo en el diseño.


La Tabla 39 presenta los resul tados del escenario 4 para la Red C‐1:


Los resultados de diseño obtenidos en el escenario 4, presentan siete de nueve superficies que jus tifi can el uso del criterio que ajusta la Superficie Óptima de Presiones por demanda.

En términos generales, se observa que en mayor número de veces, el ajuste por demandas a la superficie óptima es jus tifi cado, dado que genera cos tos menores o al menos i guales a los costos con la superfi cie óptima sin ajusta r. Lo anterior se observó en 26 de 36 superficies objetivo comparadas.


Lineal SOP 242,445.28$ 236,559.37$ SIElipse SOP 236,559.37$ 236,559.37$ SI

Gaussiana SOP 246,921.22$ 250,667.63$ NORecíproca SOP 242,445.28$ 236,559.37$ SI

Catenaria SOP 236,559.37$ 236,559.37$ SI

Cuadrática

Escenario 3



Gaussiana SOP 361,955.94$ 382,256.46$ NORecíproca SOP 380,832.91$ 354,422.21$ SI

Catenaria SOP 404,376.52$ 354,422.21$ SI

Cuadrática

Escenario 4


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Se probaron l os cuatro escenarios de la Red C‐2 considerando el a jus te de la superfi cie óptima por demanda . A continuación se presentan los resultados.


La tabla a continuación presenta los cos tos de diseño, con diámetros comerciales, de la Red C‐2 con el escenario de demanda 1.


Para es te caso en particular, el diseño óptimo económicamente se obtiene con el cri terio SOP dis tancia sin a jus te y solamente en cuatro casos se justi fi ca el a juste de demanda (superfi cie flecha 5%, flecha 10%, elipse y gaussiana).




SOP distancia SOP distancia‐demanda AplicableFlecha 5% 406,081.04$ 398,336.01$ SIFlecha 10% 398,336.01$ 398,336.01$ SIFlecha 15% 397,612.45$ 398,336.01$ NOFlecha 20% 398,336.01$ 398,336.01$ NO


Gaussiana SOP 405,976.20$ 403,414.66$ SIRecíproca SOP 396,764.31$ 398,336.01$ NO

Catenaria SOP 396,764.31$ 398,336.01$ NO

Cuadrática

Escenario 1

SOP distancia SOP distancia‐demanda AplicableFlecha 5% 481,869.96$ 481,930.09$ NOFlecha 10% 493,211.60$ 481,869.96$ SIFlecha 15% 499,097.50$ 481,869.96$ SIFlecha 20% 483,095.19$ 481,869.96$ SI


Gaussiana SOP 500,578.56$ 481,930.09$ SIRecíproca SOP 499,097.50$ 481,869.96$ SI

Catenaria SOP 500,029.35$ 481,869.96$ SI

Cuadrática

Escenario 2


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En el escenario 2, exceptuando la superficie cuadrá ti ca de 5% de flecha , todas las demás superfi cies presentan un cos to de diseño menor con el ajuste por demandas que sin él .


Se presentan a continuación los resultados del escenario 3.


Para es te caso, todas las superfi cies jus tifi can la utilización del a jus te por demanda . De hecho, todas las superficies a jus tadas genera ron el mínimo costo ($289,977.40 dóla res).


La Tabla 43 presenta los resul tados del escenario 4 para la Red C‐2:


Los resultados de diseño obtenidos en el escenario 4 presentan cuatro superfi cies objetivo generando un cos to justi fi cable para utilizar el ajuste de demanda. Sin embargo, se observa en la Tabla 43 que solo una superficie a justada logró el cos to mínimo mientras que cinco superficies sin a jus tar lo consiguieron.



Gaussiana SOP 305,636.75$ 289,977.40$ SI

Recíproca SOP 289,977.40$ 289,977.40$ SICatenaria SOP 329,243.80$ 289,977.40$ SI

Cuadrática

Escenario 3

SOP distancia SOP distancia‐demanda AplicableFlecha 5% 440,876.93$ 458,326.35$ NOFlecha 10% 440,876.93$ 458,326.35$ NOFlecha 15% 440,876.93$ 458,326.35$ NOFlecha 20% 484,369.99$ 458,326.35$ SI


Gaussiana SOP 488,083.21$ 488,083.21$ SI

Recíproca SOP 440,876.93$ 458,326.35$ NOCatenaria SOP 484,369.99$ 458,326.35$ SI

Cuadrática

Escenario 4


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En términos generales, se puede determinar que para los diferentes escenarios analizados en la Red C‐2, continúa presentándose un mayor número de ocasiones en las que se jus tifi ca utiliza r el cri terio de dis tancia‐demanda en el diseño por Superfi cie Óptima de Presiones . Sin embargo, no se observa una tendencia respecto al tipo de superfi cie en el cual se jus tifi ca , dado que varía de escenario en escenario.

7.1.3 Red Teórica V-1


El análisis del escenario 1 de la Red V‐1 se presenta a continuación.

Tabla 44. Costos de la Red V-1 SOP distancia y SOP distancia-demanda. Escenario 1.

Para es te caso, todas las superfi cies jus tifi can la utilización del a jus te por demanda . De hecho, todas las superficies a jus tadas genera ron el mínimo costo ($1,481,515.63 dóla res).




SOP distancia SOP distancia‐demanda AplicableFlecha 5% 1,519,301.89$ 1,481,515.63$ SIFlecha 10% 1,544,787.79$ 1,481,515.63$ SIFlecha 15% 1,544,787.79$ 1,481,515.63$ SIFlecha 20% 1,544,787.79$ 1,481,515.63$ SI

Lineal SOP 1,519,301.89$ 1,481,515.63$ SIElipse SOP 1,544,787.79$ 1,481,515.63$ SI

Gaussiana SOP 1,554,408.43$ 1,496,938.99$ SIRecíproca SOP 1,519,301.89$ 1,481,515.63$ SI

Catenaria SOP 1,585,759.44$ 1,481,515.63$ SI

Escenario 1

Cuadrática



Gaussiana SOP 1,045,400.13$ 1,015,668.08$ SI

Recíproca SOP 1,015,668.08$ 1,010,032.34$ SICatenaria SOP 1,084,533.82$ 1,010,032.34$ SI

Escenario 2

Cuadrática


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Con el escenario 2 de demanda de la Red V‐1, al igual que con el escenario 1, todas las superfi cies jus tifi can la utilización del a jus te por demanda. El cos to según el diseño es de $1,010,032.34 dóla res .




En el caso de diseño de la Red V‐1 con el escenario 3, se obtuvo un resul tado atípico para le red. Solamente tres superficies presentan la jus tifi cación de ajus ta r la sueprfi cie por demandas .


La Tabla 47 presenta los resul tados del escenario 4 para la Red V‐1:


En el análisis del escenario 4 se observa que en las nueve superfi cies el costo óptimo de de $2,776,029.69 dóla res se obtiene con el ajuste por demanda a la superfi cie .

SOP distancia SOP distancia‐demanda AplicableFlecha 5% 2,173,514.26$ 2,216,266.01$ NOFlecha 10% 2,173,514.26$ 2,216,266.01$ NOFlecha 15% 2,190,579.25$ 2,216,266.01$ NOFlecha 20% 2,190,579.25$ 2,216,266.01$ NO

Lineal SOP 2,216,266.01$ 2,216,266.01$ SIElipse SOP 2,183,777.75$ 2,216,266.01$ NO

Gaussiana SOP 2,290,844.88$ 2,275,340.26$ SIRecíproca SOP 2,190,579.25$ 2,216,266.01$ NO

Catenaria SOP 2,246,171.74$ 2,216,266.01$ SI

Escenario 3

Cuadrática




Catenaria SOP 2,884,506.68$ 2,776,029.69$ SI

Escenario 4

Cuadrática


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De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis de la Red V‐1, se observa una enorme tendencia a afianza r la aplicabilidad del ajuste por demandas a las superficies objetivos. En tres de los cuatro escenarios, la jus tificación del ajuste se presentó para la totalidad de las superfi cies. Para el escenario 3 sin embargo, no se entiende porque solamente cuatro a jus tes se jus tifi caron, sabiendo que el factor multiplicador de dicho escenario es 2 mientras que el factor multipli cador de los otras escenarios son 0.5, 1 y 3 respectivamente y producen resul tados favorables al ajuste de dis tancia‐demanda.

7.1.4 Red Medellín Zona Occidental M-ZO


La tabla a continuación presenta los cos tos de diseño, con diámetros comerciales, de la Red M‐ZO con el escenario de demanda 1.

Tabla 48. Costos de la Red M-ZO SOP distancia y SOP distancia-demanda. Escenario 1.

Para es te primer escenario analizado sobre una red real , el resultado es poco favorable para el a jus te. Solamente en dos superfi cies el cos to del diseño con el a jus te de la superfi cie objetivo es jus ti ficada . Además, los costos de diseño con ajusten son considerablemente superiores al óptimo del escenario ($5,519,669.60 dólares ).




Lineal SOP 5,551,589.11$ 5,616,757.12$ NOElipse SOP 5,951,904.92$ 5,630,343.89$ SI

Gaussiana SOP 5,551,589.11$ 6,024,371.70$ NORecíproca SOP 5,551,589.11$ 5,616,757.12$ NO

Catenaria SOP 5,951,904.92$ 5,630,343.89$ SI

Cuadrática

Escenario 1


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Los resultados de diseño obtenidos en el escenario 4 presentan cinco superfi cies objetivo generando un cos to justi fi cable para utilizar el ajuste de demanda. Sin embargo, se observa que ninguna superficie ajus tada logró el costo mínimo mientras que tres superfi cies sin ajus ta r lo consiguieron.




Los resultados de diseño obtenidos en el escenario 3, continúan con la tendencia de la red observada en l os escenarios anteriores . Solamente con dos superficies la apli cabilidad del ajus te es favorable . Además ajus tando las superficies no se obtiene el diseño óptimo.


La Tabla 29 presenta los resul tados del escenario 4 para la Red M‐ZO:

SOP distancia SOP distancia‐demanda AplicableFlecha 5% 7,763,932.46$ 8,006,476.16$ NOFlecha 10% 7,763,932.46$ 8,304,057.66$ NOFlecha 15% 7,837,592.46$ 8,006,476.16$ NOFlecha 20% 8,634,316.68$ 8,006,476.16$ SI


Gaussiana SOP 7,763,932.46$ 8,704,381.58$ NORecíproca SOP 8,803,200.38$ 8,006,476.16$ SI

Catenaria SOP 8,634,316.68$ 8,006,476.16$ SI

Cuadrática

Escenario 2

SOP distancia SOP distancia‐demanda AplicableFlecha 5% 3,755,885.22$ 3,771,812.36$ NOFlecha 10% 3,755,885.22$ 3,771,812.36$ NOFlecha 15% 3,755,885.22$ 3,755,885.22$ SIFlecha 20% 3,755,885.22$ 3,771,812.36$ NO


Gaussiana SOP 3,739,606.40$ 4,354,013.73$ NORecíproca SOP 3,739,606.40$ 3,771,812.36$ NO

Catenaria SOP 3,755,885.22$ 3,771,812.36$ NO

Cuadrática

Escenario 3


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En el escenario de demanda 4 en la Red M‐ZO se encuentra como valor de diseño óptimo $11,818,922.68. Realizando el ajuste, es te valor solo se obtiene con dos superfi cies . De las nueve superfi cies, en cinco de ellas el cos to del diseño con ajus te es jus tificable partiendo del hecho que el costo es menor o igual.

En la Red Medell ín‐Zona Occidental , se observan resultados contra rios a los observados con las redes teóri cas . Mientras que en las redes C‐1, C‐2 y V‐1 se presentaban escenarios completos con apli cabilidad del a jus te, la Red M‐ZO presenta una tendencia contra ria: solamente en 14 de los 36 casos se podría pensar como apli cable el a jus te por demandas a la Superfi cie Óptima de Presiones .

7.1.5 Red Medellín Zona Sur M-ZS


La tabla a continuación presenta los cos tos de diseño, con diámetros comerciales, de la Red M‐ZS con el escenario de demanda 1.

Tabla 52. Costos de la Red M-ZS SOP distancia y SOP distancia-demanda. Escenario 1.




Catenaria SOP 12,076,372.36$ 12,062,979.75$ SI

Cuadrática

Escenario 4



Gaussiana SOP 1,407,354.04$ 1,385,476.43$ SIRecíproca SOP 1,327,983.32$ 1,389,368.05$ NOCatenaria SOP 1,365,658.98$ 1,344,251.12$ SI

Cuadrática

Escenario 1


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En el primer escenario analizado en la Red M‐ZS, se observa un resultado simila r al observado en todos los escenarios de la Red M‐ZO: los costos de diseño con a jus te son notablemente superiores a los cos tos sin a juste.




Continuando con una tendencia generalizada a lo largo de todos los análisis de las redes reales, el ajuste mues tra ser poco efectivo para genera r cos tos menores que los obtenidos con la SOP sin a jus te.




El escenario 3 permitió encontra r un valor de $898,929.29 dóla res como cos to del diseño óptimo. Es te se produjo con cuatro superfi cies objetivo di ferentes en el análisis de SOP dis tancia (sin a jus te) y se produjo con seis superficies di ferentes en el análisis de SOP



Gaussiana SOP 2,079,085.86$ 2,079,085.86$ SIRecíproca SOP 1,919,396.84$ 2,079,085.86$ NO

Catenaria SOP 2,044,394.54$ 1,934,943.08$ SI

Cuadrática

Escenario 2



Gaussiana SOP 923,595.86$ 985,368.13$ NORecíproca SOP 898,929.26$ 931,910.52$ NO

Catenaria SOP 944,138.08$ 898,929.26$ SI

Cuadrática

Escenario 3


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dis tancia‐demanda (ajus tado). Además, siete de las nueve superficies presentan un menor cos to con el ajuste que sin él , contradiciendo los resul tados obtenidos con anterioridad en las redes reales.


La Tabla 34 presenta los resul tados del escenario 4 para la Red M‐ZS:


Los resultados obtenidos en el escenario 4 son muy parti cula res . De todas las superficies objetivo analizadas , cinco presentan resul tados posi ti vos por el ajus te de demanda . Sin embargo, como se observa en la Tabla 34 el diseño sin a juste presenta el diseño óptimo en ocho de las nueve superfi cies mientras con ajuste solamente en cuatro.

La Red M‐ZS no presenta una tendencia absoluta que indique una validación sobre la apli cabilidad del ajus te de la SOP por demanda . Los dos primeros escenarios parecen presentar una tendencia de invalidación al ajuste por demandas (al igual que toda la Red M‐ZS) pero el panorama cambia en los dos úl timos escenarios donde la aplicabilidad no es absoluta pero es más favorable.

7.2 Resumen de resultados

En términos generales, no se puede determinar de forma cla ra cuan conveniente es la utilización del ajus te por demanda al cri terio de diseño de la Superficie Óptimo de Presiones .

Las redes teóri cas analizadas presenta ron una mayor tendencia a favorecer el uso del ajus te de demanda. En total , de 108 superfi cies probadas en las redes teóri cas (C‐1, C‐2 y V‐1) en 81 superfi cies se presentó un cos to menor o al menos igual con el ajuste por demanda, lo cual corresponde al 75% de los casos . Sin embargo, en las redes reales, el porcentaje decrece considerablemente: de 72 superfi cies probadas, solamente 33




Catenaria SOP 2,895,429.01$ 2,895,429.01$ SI

Cuadrática

Escenario 4


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oportunidades son favorables al a jus te. Dicha fracción corresponde al 45.8% de los casos, cifra que induce la idea de la poca apli cabilidad del ajus te por demanda al cri terio de la Superfi cie Óptima de Presiones con la metodología expues ta en el Capítulo 5.5.


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Capítulo 8 Conclusiones y Recomendaciones

El módulo de diseño de REDES según el criterio de Superficie Óptima de Presiones es cómodo al usuario y tiene la flexibilidad de permiti r la fácil incorporación de sub‐módulos como el utilizado en el presente proyecto con la utilidad de realizar un a jus te de acuerdo con las demandas sobre la superfi cie objetivo generada con el módulo general .

Según los análisis realizados acerca del diseño de redes abiertas con Superfi cie Óptima de Presiones se puede presenta r una cla ra conclusión: el criterio de diseño de Wu para tuberías en serie no es aplicable a redes abiertas .

Se encontró en el presente proyecto que el diseño de redes abiertas con Superfi cie Óptima de Presiones no presenta una cla ra tendencia a genera r un diseño óptimo con un tipo en parti cula r de superfi cie objetivo. Las superficies objetivo que según resul tados tienen una mayor tendencia a produci r costos menores son superfi cies de pendientes suaves y regulares . Este es el caso de la superfi cie lineal y las superfi cies cuadráti cas de flecha de 5% y 10%. Sin embargo, otra superfi cie que presenta bajos cos tos de diseño en redes abiertas es la superfi cie recíproca, la cual tiene una fuerte pendiente en el ini cio del tramo y pos teriormente es bastante plana .

Dentro de las superfi cies que no genera ron diseños óptimos con frecuencia (entre ellas la superfi cie producto de la adaptación del cri terio de Wu –cuadráti ca de 15% de flecha‐) se resalta la superficie gaussiana con su ba ja tendencia a produci r cos tos ba jos . Una razón de es to puede ser el hecho que la superfi cie gaussiana (Figura 1) presenta doble curva tura siendo esto, aparentemente, poco favorable para el diseño de redes abiertas .

En es tudios posteriores, se podría realiza r un análisis detallado de las superfi cies en busca de determinar la razón de la generación de cos tos menores por parte de las superficies cuadrá ti cas de baja flecha con respecto a las de al ta flecha .

Respecto al diseño de redes abiertas con SOP considerando el ajuste por demandas , no se puede afi rmar de manera clara, si es un cri terio que justi fica su utilización. Mientras que el diseño de las redes teóri cas analizadas fue favorecido con la utilización del a jus te, las redes reales (Medell ín‐Zona Occidental y Medellín‐Zona Oriental) no presentaron una reducción signi ficati va en su cos to en general.

Se propone como trabajo futuro en es te campo, un estudio detallado para determinar el sentido físico e hidráulico que induce al a jus te por demandas produci r diseños de mayor o menor cos to con respecto al diseño SOP sin ajus te.


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Capítulo 9 Bibliografía

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