Diseño Estadístico yHerramientas para

la CalidadExpositor:

Dr. Juan José Flores Romerojuanf@umich.mx

http://lsc.fie.umich.mx/~juan

M. en Calidad Total y Competitividad

5. Probabilidad

Probabilidad - Definiciones

Experimento: Es el proceso por medio del cual una observación o medición es registrada.Espacio Muestral (S): conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Espacio Muestral

El proceso de lanzar una moneda legal al aire, éste puede escribirse como:

S = {a, s} Donde:

a = Águila s = Sello

Al tirar un dado legal. Es de interés el número que aparezca en la cara superior.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Espacio MuestralEn un proceso de fabricación se seleccionan al azar 3 piezas, cada pieza se inspecciona y se clasifica en defectuosa y no defectuosa, el espacio muestral respectivo está dado por:S = {DDD, DND, NDD, NNN, NDN, DDN, NND, DNN}

Otra posibilidad de representar la misma información es:S = {0, 1, 2, 3}

Donde: 0 = Ninguna pieza defectuosa 1 = Una pieza defectuosa 2 = Dos piezas defectuosas 3 = Tres piezas defectuosas

EventosUn evento es un subconjunto del espacio muestral; o bien como una colección específica de puntos muestrales.

Evento Simple: Es un conjunto que contiene solamente un elemento del espacio muestral (punto muestral).

Evento Compuesto: Puede expresarse como la unión de eventos simples.

EventosA = {a} , a ∈ S - evento elemental o simple.φ y S son eventos.φ - evento imposible.S - evento cierto o seguro.

Eventos compuestos:A∪B es el evento que sucede si A ó B suceden.A∩B es el evento que sucede si y solo si A y B suceden simultáneamente.Ac (Complemento de A). Ocurre si y solo si A no ocurre.Eventos mutuamente excluyentes - A∩B = φ.

Intersección

{ }Bxy,A,xxBA ∈∈=Ι∩

Intersección

A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 4, 6, 8} A ∩ B = {2, 4}

Eventos Mutuamente Excluyentes

P = {a, e, i, o, u}Q = {r, s, t}P ∩ Q = φ

(No tienen elementos en común)φ = Conjunto vacío.

Eventos Mutuamente Excluyentes

P = {2, 4, 6} e I = {1, 3, 5}P ∩ I = φ

UniónA U B = {x | x∈A o x ∈B}

Ejemplo:A={2, 4, 6}; B={4, 5, 6}

A U B = {2, 4, 5, 6}

Ejemplo:M = {X ⎜ 3 < X < 9 }; N = { Y ⎜ 5 < Y < 12 } M U N = { Z ⎜ 3 < Z < 12 }

Diferencia

A – B = Conjunto de elementos en A, pero no en BA – B = {x | x ∈A y x ∈B}

Ejemplo:A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 5}A – B = {1, 2, 4}

Complemento

EL complemento de un evento A con respecto a (S), es el conjunto de todos los elementos de (S) que no están en A.

C(A) = Ac = S-A = B

Enumeración y Conteo

Principio multiplicativo de conteo: Si una operación se puede efectuar en n1 formas; si para cada una de ellas se puede efectuar una segunda operación de n2 formas; si para cada una de las dos primeras se puede efectuar una tercera operación de n3formas y así sucesivamente, entonces la secuencia de (k) operaciones puede realizarse en (n1 * n2 * n3 * … * nk) formas.

Conteo

se tiran dos dados legales a la vez.n1 = 6, n2 = 6|S| = n1 * n2 = 36 puntos

S =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66

Diagramas de Arbol

Ejemplo: En el restaurante "La Amiba Dorada" del Tec de Zamora se ofrece un menú de tres componentes.

a) Sopa (S) o Bebida (D) como aperitivo.b) Filete (R), Pavo (T) o Pescado (F) de plato

principal.c) Dulce (P) o Helado (I), como postre.

Diagramas de Arbol

S = {SRP, SRI, STP, STI, SFP, SFI, DRP, DRI, DTP, DTI, DFP, DFI}

n1 = 2, n2 = 3 , n3 = 2

|S| = 2*3*2 = 12

Diagramas de ArbolEn una caja registradora se encuentran solamente tres monedas: una de un Peso (P), una de cinco pesos (C), una de diez pesos (D); se sacan dos de las monedas, primero una y después otra.Existen tres formas de seleccionar la primera moneda y dos formas de seleccionar la segunda

S = [ PC, PD, CP, CD, DP, DC ]|S| = 3*2 = 6

Diagramas de ArbolPC

PD

CP

CD

DP

DCC

P

D

P

D

C

P

C

D

DIAGRAMA DE ARBOL DEL PROBLEMA DE LA CAJA REGISTRADORA.

PermutacionesSi deseamos formar “palabras” de cierta longitud, de un alfabeto dado, formamos permutaciones.La idea clave es que en las palabras importa el orden.Contar y enumerar las permutaciones posibles del conjunto de letras {a, b, c}.Permutaciones = {abc, cba, bac, acb, bca, cab}

PermutacionesAl formar palabras de tamaño 3, sin repetición, del conjunto {a, b, c}, tenemos 3 maneras de elegir la primera letra, 2 para la segunda y 1 para la tercera.Para formar palabras de longitud n, de un conjunto de n letras, sin repetición, podemos elegir la primera letra de n formas, la segunda de n-1, la tercera de n-2, …, la n-ésima de 1 forma|P| = 3*2*1 = 6 = 3!

Factorial

Factorial de n = n! = 1 * 2 * 3 * … * (n-1) * n0! = 1

Permutaciones

permutaciones de (r) objetos escogidos entre un conjunto de (n) objetos distintos

nPr = P(n,r) = n (n - 1)(n - 2)......(n - r + 1)

r)!(nn!

r)!(nr)!)(nr)...(n)(nn(n

n−

=−

−+−−−=

121Pr

Permutaciones - Ejemplo

Ejemplo: De un conjunto de 20 billetes de lotería se sacan dos para el primero y segundo premio, encontrar el número de elementos que integra S.

n = 20 y r = 2

380!18!20

)!220(!20P220 ==−

=

Permutaciones - Ejemplo

Ejemplo: Un mueble consta de 5 componentes diferentes que pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuántas formas puede ser ensamblado el mueble?.n = 5, r = 5

120!51!5

)!55(!5P55 ===−

=

Permutaciones de Clases

permutaciones distintas de n objetos en los cuales n1 son de una clase, n2 de una segunda clase y nk de una k-ésima clase, de tal forma que n1+ n2+...+ nk = n.

!!...n!n!nnn!P

k321

=

Permutaciones de Clases

Un constructor de un fraccionamiento residencial tiene 5 estilos de casas y quiere construir en 10 lotes adyacentes. ¿De cuántas formas puede hacerlo si decide hacer 2 casas de cada estilo?

10P2,2,2,2,2 = 10! / (2!*2!*2!*2!*2!) = 113,400

Combinaciones

Combinaciones de (r) objetos de (n) objetos diferentes. La omisión de orden distingue las combinaciones de las permutaciones.

( )r)!r!(n

n!C nrrn −==

Combinaciones - Ejemplo

las combinaciones de clase 2 que se pueden formar con las 5 primeras letras del alfabeto son:

10C

1012120

)]1)(2(3)[1(2)1)(2)(3)(4(5

!3!2!5C

25

25

=

====

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dececddbbdbcaeadacab

Combinaciones - Ejemplo

Una tabla de (12" x 3/4" x 8') de Pino, puede ser comprada de cualquiera de 5 proveedores. ¿De cuántas formas se pueden escoger tres de los cinco proveedores ?.

formas.10C

1012

120!2!3

)1)(2)(3)(4(5)!35(!3

!5C

35

35

=

===−

=

Combinaciones - EjemploUna comisión formada por tres Contadores Públicos y cuatro profesores (De la FCCA-UMSNH) será nombrada en la SHCP, ¿Cuántos comités diferentes pueden formarse si hay 5 Contadores Públicos y 7 profesores como candidatos?.De los cinco C.P., pueden elegirse tres en cualquiera de las (5C3) maneras y de los siete profesores pueden elegirse cuatro entre cualquiera de las ( 7C4 ) maneras.

Formas diferentes350!3!4

!7x!2!3

!5C*C 4735 ==

Combinaciones - Ejemplo

En un grupo de 5 hombres y 4 mujeres, ¿ de cuántas formas es posible seleccionar 3 hombres y a 2 mujeres?.

5C3 * 4C2 = 602

3*4*2

4*5=

Ejercicios

En un cafetería desean servir dos vegetales blancos, uno verde y dos amarillos. ¿Cuántos platos diferentes pueden preparar?

5P2,2,1 = 5!/(2! 2! 1!) = 30

Ejercicios

Una aerolínea desea anunciar 6 vuelos en anuncios de una página. El administrador decide anunciar un vuelo diferente cada domingo, por 6 semanas. a) ¿Cuántas secuencias diferentes se pueden armar? b) ¿Cuántas secuencias publicitarias se pueden armar si a última hora deciden sólo publicar 4 domingos?

Ejercicios

Una compañía tiene 5 puestos diferentes y 15 solicitantes. Si todos los solicitantes son igualmente capaces para ejercer cualquiera de los puestos, ¿Cuántas asignaciones diferentes se pueden hacer?

Probabilidad - Def. Clásica

Si un evento puede ocurrir de N maneras igualmente probables y excluyentes, y si m de esas maneras tienen la característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es

P(E) = m/N

Probabilidad - EjemploUn fabricante de computadoras personales sabe que está por recibir pedidos de los clientes C1 y C2, dichos pedidos pueden ser de 1 a 5 unidades.El espacio muestral correspondiente estará dado por el conjunto de eventos de S, mostrado como:

En donde (i,j) denotan el evento simple:{ C1 demanda (i) computadoras y

C2 demanda (j) computadoras}

α = {i=j}.β = {6≤ i+j≤ 10}γ = {i+j ≤ 3}

Calcular la probabilidad de los eventos (α, β, γ).

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

55 54 53 52 5145 44 43 42 4135 34 33 32 3125 24 23 22 21

15 14 13 12 11

S

Ejemplo

255)( ==

NNP αα

2515)( =βP

253)( =γP

EjemploDe 6700 deportistas que se inscribieron en un curso de formación de instructores en el país en 1999, 1500 no terminaron, 2000 obtuvieron un puntaje inferior al requerido para acreditar el curso y el resto lo acreditó.La CONADE selecciona al azar un deportista participante en el curso. Con base en la información anterior, se desea conocer cuál es la probabilidad de que dicho deportista:a). No termine el curso.b). Acredite el curso.

Ejemplo

a). Sea el evento: A = no termine el curso|A| = 1500; n = 6700P(A) = |A|/n = 1500/6700 = 0.224

b). Sea el evento: B = acredite el curso|B| = 6700-1500-2000 = 3200P(B) = 3200/6700 = 0.478

Ejemplo

Se saca una carta de una baraja; encuentre la probabilidad de que ésta sea corazón.

S = 52 piezasA = Corazones = 13P(A) = 13/52P(A) = 0.25

Definición Frecuencista

Von Mises (1957). Si el evento A ocurre X veces en nexperimentos, entonces la probabilidad P(A)se define como el límite de frecuencia relativa.

)(bien o )( APnX

nXLimAP

n⎯→⎯=

∞⎯→⎯

Axiomas de Probabilidad

Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1Axioma 2: P(S) = 1Axioma 3: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes en S, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Teoremas de Probabilidad

Teorema 1.Si A1, A2,...,An son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral S, entonces.

)(...)()(),...,( 2121 nn APAPAPAAAP +++=∪∪∪

EjemploEn el Laboratorio de computación de la FCCA-UMSNH se encuentran 15 computadoras, de las cuales 5 están descompuestas. Si una persona toma al azar 3 de ellas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una de las tres computadoras de este laboratorio estédescompuesta?.

Solución: La condición de que por lo menos una de las 3 computadoras esté descompuesta (evento A), se cumplirá si ocurre cualquiera de los siguientes 3 eventos mutuamente excluyentes.

1D = {solo una descompuesta}2D = {solo dos descompuestas}3D = {tres descompuestas}

A = {1D ∪ 2D ∪ 3D}

P(A) = P(1D)+P(2D)+P(3D)

Ejemplo

P(1D): se calcula tomando en cuenta que de 5 computadoras descompuestas, se selecciona 1y de 10 no descompuestas se seleccionan 2., entonces:

C(5, 1) = 5! / (1! 4!) = 5C(10,2) = 10 ! / (2! 8!) = 45

|1D| = 45(5) = 225

|S| = C(15, 3) = 15 ! / 3!(12!) = 455

P(1D)= 225/445 = 0.495

EjemploC(5, 2) = 5! / (2! 3!) = 10C(10,1) = 10 ! / (1! 9!) = 10

|2D| = 10(10) = 100

P(2D)=100/445=0.224

C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = 10C(10,0) = 10 ! / (10! 0!) = 1

|3D| = 10(1) = 10

P(3D)=10/445=0.022

P(A) = 0.495 + 0.227 + 0.022 = 0.737

EjemploEn el área de pruebas físico-mecánicas del laboratorio de la FITECMA se han realizado diversa pruebas destructivas a la especie de pinusmartinezi larsen, a través de las cuales se pretende darle una aplicación industrial más adecuada.

La probabilidad de que la citada especie califique como muy mala, pobre, razonable, buena, muy buena o excelente para la construcción (como elemento estructural) es de {0.05, 0.15, 0.04, 0.06, 0.41, 0.29} respectivamente.

¿ Cuales son las probabilidades de que la especie califique como?

a). muy mala ó pobre ó razonable ó buena.b). Buena ó muy buena ó excelente.

Ejemplo

Solución: las probabilidades se excluyen mutuamente

a). P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4)

= 0.05 + 0.15 + 0.04 +0.06 = 0.3

b)- P(A4 ∪ A5 ∪ A6 ) = 0.06 + 0.41 + 0.29 = 0.76

Teoremas de ProbabilidadTeorema 2.Si A es un evento en un espacio muestral finito S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de todos los resultados individuales incluidos en A.A = E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ ,....., ∪ EnDonde Ei son mutuamente excluyentes

P(A) = P(E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ ,....., ∪ En) = P(E1) + P(E2) + ...+ P(En)

EjemploConsidérese el experimento de extraer al azar una carta de una baraja de 52 cartas. Encontrar la probabilidad de que la carta extraída sea rey o reyna.

Solución:E1 = la carta es un rey.E2 = la carta es una reyna.

|E1| = 4 ; |E2| = 4 ; |S| = 52

P(E1 ∪ E2) = P(E1)+P(E2) = |E1|/|S| + |E2|/|S| = 4/52 + 4/52 = 2/13

Teoremas de ProbabilidadTeorema 3 (Regla Aditiva)Si A y B son dos eventos cualesquiera, los cuales no son mutuamente excluyentes:

P(A ∪ B) = P(A ó B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

EjemploEn una planta industrial trabajan 150 empleados, los cuales están clasificados de la siguiente forma:90 Tienen experiencia en la elaboración del producto A.50 Tienen experiencia en la elaboración del producto B.30 Tienen experiencia en la elaboración de ambos productos.

¿Cuál es la probabilidad de que un empleado pueda elaborar uno, otro ó ambos productos?

Solución:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)= 90/150 + 50/150 – 30/150 = 0.733

EjemploLa probabilidad de que un estudiante apruebe Contabilidad I es de 2/3, la probabilidad de que apruebe Procesamiento de Datos es de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe las dos simultáneamente es de 4/5. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambas?.

Solución.

A = Contabilidad (2/3)B = Aprobar Procesamiento de Datos (4/9)C = (A ∩ B) = Aprobar las dos (4/5)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)= (2/3) + (4/9) - (4/5).= 0.31

Teoremas de ProbabilidadTEOREMA 4.

Si A y A' son eventos complementarios

P(A') = 1 - P(A)

A ∪ A' = SP(S) = 1.0

P(S) = P(A ∪ A')

P(A) + P(A') = 1.0

P(A') = 1.0 - P(A)

EjemploUna moneda se tira al aire 6 veces consecutivas. Determinar cual es la probabilidad de que salga al menos un águila.

Solución.

S = 26 = 64

E = Que ocurra al menos un águila.E'= Que no ocurra ningún águila

P(E’) = 1/64

P(E) = 1.0 - P(E')

P(E) = 1.0 - (1/64) = 63/64 = 0.984.

Ejemplouna compañía distribuidora de equipos electromecánicos ha registrado el número de aparatos de tipo W que solicitan sus clientes semanalmente. Un resumen de dichos datos se muestra en la siguiente tabla:

Se desea encontrar cuál es la probabilidad de que en la próxima semana se soliciten:

a). Más de un aparato.b). A lo más 3 aparatos.c). Entre 2 y 4, ó más de dos aparatos.

No de Aparatos Frecuencia (veces)

0 2

1 5

2 9

3 4

4 1

5 1

Total 22

EjemploSolución:

a) A = solicitan más de un aparatoCi = solicitan i aparatos

A = C2 ∪ C3 ∪ C4 ∪C5

P(A) = 1- P(A´)A´ = C0 ∪ C1P(A´) = P(C0 ∪ C1) = P(C0) + P(C1) = {2/22 + 5/22 } = 7/22

P(A) = 1 – 7/22 = 15/22

Ejemplob). B = solicitan a lo más tres aparatos

= C0 ∪ C1 ∪ C2 ∪ C3

P(B) = P(C0 ) + P(C1) + P(C2) + P(C3)P(B) = 2/22 + 5/22 + 9/22 + 4/22 = 20/22

c). C = solicitan entre 2 y 4 aparatosD = solicitan más de 2 aparatos

C = C2 ∪ C3 ∪ C4D = C3 ∪ C4 ∪ C5

P(C) = 14/22P(D) = 6/22P(C ∩ D) = 5/22

P(C ∪ D) = P(C) + P(D) – P(C ∩ D) = 14/22 + 6/22 – 5/22 = 15/22

Esperanza MatemáticaEl valor esperado de algún fenómeno aleatorio discreto se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los valores posibles. Para obtener esta medida de resumen se calcula la media aritmética de todos los valores posibles en la distribución de probabilidad ponderados por las respectivas probabilidades. Por lo tanto E(X) o μ, es el valor esperado de la variable aleatoria X, se puede expresar como:

∑=

==n

iii XPXXE

1)()(μ

EjemploSupóngase el experimento del lanzamiento de un dado legal y se desea conocer el valor esperado de cada tiroSe Tiene que:

RESULTADO PROB. DE OCURRENCIA

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

∑=

==n

iii XPXXE

1)()(μ

E(X) =μ = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) + 5(1/6) + 6(1/6) = 3.5

Ejemplo¿Cuánto dinero se estaría dispuesto a apostar a fin de tener la oportunidad de tirar un dado legal si se fuera a cobrar, en, pesos, el importe de la cara del dado?.

Como el valor esperado de un tiro del dado legal es de 3.5, la recompensa, a largo plazo, es de $3.5 por tirada.

Si se quiere que el juego sea legal (justo), ni el jugador ni eloponente (la casa) debe tener ventaja.

Entonces hay que estar dispuestos a pagar $ 3.50 por tiro para jugar.

Si la casa quiere cobrar $4.00 por tiro, hay que esperar pérdida en promedio de $0.50 por tiro … absténgase de jugar.

Probabilidad CondicionalProbabilidad de un evento B si se sabe que ha ocurrido un evento A, P(B/A).Probabilidad Condicional de B dado A

En este caso A sirve como un espacio muestralnuevo (reducido)La probabilidad es la fracción de P(A) que corresponde a A ∩ B

]A) [P(P(A)

B)P(AA)P(B 0/ ≠=Ι∩

Probabilidad Condicional

De igual manera:

]B) [P(P(B)

B)P(AP(A/B) 0≠=Ι∩

Eventos Independientes

A y B son independientes si y solo si:P(A/B) = P(A) o bien P(B/A) = P(B)

Si dos eventos no están relacionados entre sí, la probabilidad de que ocurra un evento no depende de la ocurrencia del otro.

Tipos de Eventos

EjemploUn estudiante, en la realización de sus prácticas de cómputo considera, antes de realizarlas, que la probabilidad de que ponga su mayor esfuerzo es de 0.9.

El instructor ha estimado que si pone su mayor esfuerzo tiene una probabilidad de 0.8 de que realice adecuadamente la práctica y si no pone su mayor esfuerzo será de 0.3.

Cuál es la probabilidad de que el estudiante:

a) Ponga su mayor esfuerzo y obtenga buenos resultados.b) No ponga su mayor esfuerzo y obtenga buenos resultados.

Solución:W = Que ponga su mayor esfuerzo.Z = Que obtenga buenos resultados.W' = Que no ponga su mayor esfuerzo.Z' = Que no obtenga buenos resultados.

Ejemplo

a)= 0.8(0.9) = 0.72

b)= 0.3(0.1) = 0.03

P(W Z) = P(Z / W)P(W)∩

P(W' Z) = P(Z / W')P(W')∩

Partición

Los sucesos representan una partición del espacio muestral S si se dan las condiciones siguientes:

A A A A1 2 3 n, , ,...,

ji ; AA ji ≠∀=φΙ

A Sii 1

n

==Υ

i ; 0)P(Ai ∀>

∩n

i=1

∩

Teorema de BayesSean un conjunto de sucesos del evento A que forman una partición del espacio muestral S.

Donde P(Ai) ≠0y B cualquier eventotal que P(B) ≠0

A A A A1 2 3 n, , ,...,

)A(B...)A(B)A(BB)A...AA(ABSB

n

n

ΙΥΥΙΥΙΥΥΥΙΙ

21

321

==∩ ∩∩ ∩ ∩

∪ ∪ ∪∪ ∪ ∪

Teorema de Bayes)AP(B...)AP(B)AP(BP(B) nΙΙΙ +++= 21∩ ∩ ∩

P(A)B)P(A P(B/A) ;

P(B)B)P(AP(A/B) ΙΙ

== ∩∩

))P(AA)+...+P(B/)P(AP(B/A /B)P(B)P(A.../B)P(B)P(A/B)P(B)P(AP(B)

nn

n

11

21

=+++=

∑n

j=jj ))P(AP(B/AP(B)=

1

,...,n,;i))P(AP(B/A

))P(AP(B/A/B)=P(A n

jjj

iii 21

1

=∑=

EjemploSuponga que al centro de la Ciudad de Morelia se puede llegar por cuatro caminos distintosSi se tuvieronproblemas detráfico, ¿Cuál esla probabilidad dehaber usado elcamino i?

CAMINO % TRAFICO

EN FORMA FLUIDA

CON PROBLE

MAS1 25 0.5 0.5

2 40 0.2 0.8

3 20 0.4 0.6

4 15 0.3 0.7Eventos.A1 = Llega por el camino 1.A2 = Llega por el camino 2.A3 = Llega por el camino 3.A4 = Llega por el camino 4.B = Llega con problemas de tráfico.

Ejemplo

P(B) = 0.25(0.5) + 0.4(0.8) + 0.2(0.6) + 0.15(0.7) =0.67P(A1/B) = 0.25(0.5)/ 0.67 = 0.1865P(A2/B) = 0.4(0.8)/0.67 = 0.477P(A3/B) = 0.20(0.6)/0.67 = 0.179P(A4/B) = 0.15(0.7)/0.67 = 0.156

)(),,,(),,,/()/,,,( 43214321

4321 BPAAAAPAAAABPBAAAAP =

P(B)))P(AP(B/A/B)=P(A 11

1

EjemploEn la fábrica de plásticos PASTIX, se producen bolsas de polietileno con 3 máquinas (A, B, C); de la producción de un turno de la planta, se extrae al azar una bolsa que no es defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por A, B, o C?

MAQ. % PROD. % DEF.

A 52 2

B 33 1.5

C 15 1.8

EjemploA = Bolsa producida por la maquina A.B = Bolsa producida por la maquina B.C = Bolsa producida por la maquina C.D = Probabilidad de que no este defectuosa la bolsa.

P(B/D) = 0.3310P(C/D) = 0.150

P(D)P(A,B,C)P(D/A,B,C)P(A,B,C/D)=

P(A / D) =+ +

=052 0 98

0 52 0 98 0 33 0 985 015 0 9820 51896

. ( . ). ( . ) . ( . ) . ( . )

.