diseño, construcción y modelo dinámico de un...

MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A3b. Mecanismos y Robótica: Seguimiento de trayectorias de robots móviles.

“Diseño, construcción y modelo dinámico de un robot móvil de tracción diferencial aplicado al seguimiento de trayectorias”

Daniel Eduardo Hernández Sáncheza*, José Ramón Eguibar Cuencab, Carmen Cortés Sánchezb,

José Fernando Reyes Cortésa

aFacultad de Ciencias de la Electrónica, Maestría en Ciencias de la Electrónica Opción en Automatización, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.

Av. San Claudio y 18 Sur Edif. FCE6, Ciudad Universitaria, Col. Jardines de San Manuel, Puebla, Puebla, C.P. 72570, México. bInstituto de Fisiología, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Av.14 Sur 6301, Edif. IFI2, Col. Jardines de San Manuel, Puebla, Puebla, C.P.

72570, México.

*Autor de contacto. Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

Los robots móviles son capaces de realizar movimientos en espacios de trabajo ilimitados en comparación a los robots

manipuladores y uno de sus principales objetivos es efectuar de forma autónoma movimientos planificados con gran

exactitud, para esto se requiere diseñar estructuras de control que mejoren la respuesta del robot. Por lo tanto, en este trabajo

se presenta el diseño y análisis matemático de una estructura de control acotada, que en conjunto con el estudio de la

cinemática y la dinámica de un robot móvil de configuración diferencial permite simular y analizar el comportamiento que

el robot móvil presenta al efectuar una trayectoria deseada, los resultados obtenidos se comparan con la respuesta adquirida

al simular la dinámica asociada a un controlador PD bajo la misma trayectoria.

Palabras Clave: Robot móvil de tracción diferencial, cinemática, dinámica, estructura de control, control de trayectoria.

A B S T R A C T

The mobile robots are able to perform movements in unlimited workspaces compared to manipulator robots and one of their

main objectives is to carry out autonomously planned movements with great accuracy, for this, it is necessary to design

control structures that improve the robot's response. Therefore, in this work we present the mathematical design and analysis,

of a bounded control structure, which together with the study of the kinematics and dynamics of a mobile robot of differential

configuration allows us to simulate and analyze the behavior that the mobile robot presents, when it performs a desired

trajectory. The results obtained are compared with the response acquired by simulating the dynamics associated with the PD

controller, under the same trajectory.

Keywords: differential drive mobile robot, kinematic, dynamic, control structure, trajectory tracking.

1. Introducción

El desarrollo de robots móviles responde a la necesidad de

extender el campo de la aplicación de la robótica, su

importancia radica principalmente en que poseen un espacio

de trabajo ilimitado, a diferencia de los robots

manipuladores fijos los cuales están restringidos a cumplir

tareas dentro de un espacio de trabajo determinado por sus

dimensiones físicas. Por lo tanto, con la finalidad de

aumentar la movilidad del robot y de esta manera su

capacidad de trabajo, se hace uso de un sistema locomotor

ISSN 2448-5551 MT 1 Derechos Reservados © 2017, SOMIM

mailto:[email protected]


para que el robot pueda desplazarse libremente en su espacio

de trabajo [1].

A diferencia de los robots fijos, los robots móviles

cambian con cada movimiento la posición y orientación de

su eje de coordenadas base. Por consiguiente, deben

reconocer constantemente el ambiente donde se mueven

para poder adaptarse adecuadamente. Para que un sistema

robótico móvil pueda ser exitoso necesita contar con una

buena etapa de sensado y tener cierto grado de autonomía

[2].

Los robots móviles deben ser capaces de ejecutar de

forma autónoma movimientos previamente planificados

para lo cual se requiere formular leyes de control que

permitan estabilizar el vehículo sobre un punto de trabajo,

anulando el efecto de las perturbaciones y manteniendo

acotadas las señales de control [3].

Por tal motivo, se diseña una estructura de control que

presenta un mejor desempeño y robustez comparado con el

de un controlador PD. Para evaluar el desempeño del

controlador previamente mencionado, se elige un robot

móvil de tracción diferencial ya que este es capaz de

moverse en línea recta, girar sobre sí mismo y trazar curvas

[1], su construcción es relativamente fácil y se logra una

mejor movilidad en terrenos suficientemente duros y libres

de obstáculos, permitiendo conseguir velocidades

relativamente altas [3], lo que resulta adecuado para este

tipo de análisis. Con base en esta configuración, se

desarrolla la cinemática que describe la posición y

orientación del robot móvil y posteriormente se realiza la

dinámica debido a que esta debe ser incluida en la estructura

matemática de los algoritmos de control [1]. Finalmente, se

presentan los resultados que se obtienen al realizar la

simulación de la dinámica en conjunto con la propuesta de

controlador y al controlador PD, lo que permite efectuar una

comparación de la respuesta que presenta cada uno de los

algoritmos.

2. Cinemática y dinámica

El modelado cinemático es el estudio de movimiento de

sistemas mecánicos sin considerar las fuerzas que afectan

dicho movimiento. Para el robot móvil de direccionamiento

diferencial, el propósito principal del modelado cinemático

es representar la velocidad del robot en función a las

velocidades de las ruedas conjuntamente a los parámetros

geométricos del robot [4].

Un robot móvil con ruedas es un dispositivo que debe

moverse sobre una superficie mediante la acción de ruedas

montadas en él, se asumen las siguientes hipótesis:

El robot móvil se mueve sobre una superficie plana

horizontal, es decir la energía potencial es constante.

Los ejes de referencia son perpendiculares al suelo.

No existen elementos flexibles en la estructura del

robot, incluyendo las ruedas.

El contacto entre cada rueda y el suelo se reduce a un

solo punto.

No existe deslizamiento.

De acuerdo con las hipótesis anteriores, se aborda el caso

bidimensional debido a que el robot solo se mueve en un

plano [1].

En base a la Fig. 1, el análisis se inicia fijando un sistema

de referencia 00 0 0, ,Σ X Y Z de un forma conveniente.

Subsecuentemente, se coloca un sistema de referencia

1 1 1 1, ,Σ X Y Z , el cual nos permite hallar los componentes de

traslación y la orientación del robot móvil respecto al

sistema de referencias0Σ .

Considerando un robot móvil de direccionamiento

diferencial no holonómico que se mueve en un plano

horizontal, se puede describir su cinemática con las ec. (1).

0 0cos , sin , ,x v y v (1)

donde 0 0,T

p x y es la posición del robot, es la orientación

del robot, v y son las entradas de control de velocidad

lineal y angular del robot, respectivamente [5], las cuales

son expresadas en las ecs. (2) y (3).

Figura 1 - Sistemas de coordenadas 00 0 0, ,Σ X Y Z , 1 1 1 1, ,Σ X Y Z y

2 2 2 2, ,Σ X Y Z permiten describir el desplazamiento y la orientación del

robot móvil. 2L es la distancia de separación entre las dos ruedas de

tracción, 2R es el diámetro de las ruedas, 1L es la distancia del centro

de masa al eje de rotación de las ruedas y es el ángulo que describe

la orientación del móvil.

R ,2 2

R L R Lv vv

(2)

R ,2 2

R L R Lv v

(3)

dondeR y

L son velocidades angulares y R es el radio de las

ruedas. También es posible definir los componentes del



centro de masa de como se observa en la ec. (4).

2 0 1 2 0 1cos( ), cos( ).x x L y y L (4)

Para llevar a cabo el modelo dinámico por el método de

Newton-Euler es necesario emplear un diagrama de cuerpo

libre del sistema (ver Fig. 2) que permita analizar las fuerzas

que actúan sobre el vehículo [4].

Asumiendo que el robot es un cuerpo rígido, usamos

coordenadas polares para representar la posición del centro

de masa del móvil con respecto a 0Σ , la cual es definida

como 0 cos( )x r y

0 sin( )iy ir de acuerdo a la Fig. 2,

por lo tanto:

ˆ (cos( ) sin( )) .ir r i re (5)

Diferenciando la ec. (5) con respecto al tiempo

obtenemos la velocidad y la aceleración del robot móvil, las

cuales podemos observar en las ecs. (6) y (7).

Figura 2 - Diagrama de cuerpo libre del robot móvil de

direccionamiento diferencial. uR

F yuR

F son las fuerzas longitudinales,

wRF y

wRF son las fuerzas laterales del robot, uv y

wv son las

velocidades, u

a yw

a son las aceleraciones del centro de masa del robot,

respectivamente.

( 2)ˆ .i i i ir re ir e re r e (6)

2

2 ( 2)

ˆ 2

( ) (2 ) .

i i i i

i i

r re ir e ir e r e

r r e r r e

(7)

Con la ec. (6) se definen las velocidades y con la ec. (7)

se definen las aceleraciones que se observan en el diagrama

de cuerpo libre de la Fig. 2, dichas expresiones se muestran

a continuación.

,u uv r v r (8)

,w wv r v r r (9)

2 ,u u u wa r r a v v (10)

2 .w w w ua r r a v v (11)

Si expresamos la segunda ley de movimiento de Newton

para el sistema de referencia 1Σ , es posible encontrar la

relación entre torques, fuerzas y aceleraciones [4].

Considerando M como la masa total (llantas, cuerpo y

actuadores) y 2MdcI I como la inercia con respecto al

centro de masa del robot móvil aplicando el teorema de ejes

paralelos [6], se define la dinámica con las ecs. (12)-(14).

( ,)uL uR uF F Ma (12)

( ,)wL wR wF F Ma (13)

( .) ( )uL uR wL wRI F F L F F d (14)

Las ecs. (12)-(14) representan los movimientos de

translación y rotación que son obtenidas de las ecuaciones

de torque neto [6].

Sustituyendo las ecs. (10) y (11) en las ecs. (12) y (13),

respectivamente, obtenemos las ecs. (15)-(17).

(,

)uL uR

u w

F Fv v

M

(15)

(,

)wL wR

w uM

F Fv v

(16)

1

2 2( ) ( ).uL uR wL wR

c c

LLF F F F

I Md I Md

(17)

Las restricciones no holonómicas introducidas a un nivel

cinemático están son representadas por la ec. (18) [7].

cos( )0

sin( ) 0 .

0 1

c

c

xv

yw

(18)

Estas restricciones no holonómicas definen la velocidad

del centro de masa del robot (2Σ ) forzándola a cero y

usando la matriz de transformación ( )R :

2

2

cos( ) sin( )cos( ) sin( ).

sin( ) cos( )sin( ) cos( )

u u w

w u w

v v vx

v v vy

(19)

Igualando la ec. (4) con la ec. (19) se demuestra que el

robot móvil sólo se desplaza con movimientos curvos (hacia

adelante y hacia atrás) pero no lateralmente, lo cual se

observa en las ecs. (20)-(21).



0 1

0 1

cos( ) cos( ) sin( ).

cos( ) sin( ) cos( )

u w

u w

x L v v

y L v v

(20)

Se aplican las propiedades de matrices de rotación y las

reglas de rotación para determinar la orientación del sistema

de referencia1Σ con respecto a

2Σ [8], con lo que se obtiene

1 1 wy v L y, al igualarla con cero se demuestra que el

punto0 0( , )x y con respecto a

0Σ es:

1 .wv L (21)

Al sustituir la ec. (21) en las ecs. (15) y (16) e

incorpóralas en la ec. (17) obtenemos las ecs. (22) y (23).

2

1

),

( uL uR

u

F Fv L

M

(22)

2

1 1( ).) (c u L R

LI ML ML v

R (23)

Las ecs. (22) y (23) se expresan en forma matricial como se

observa en la ec. (24).

1

2

1 1

0 0 1 11.

0 0c

Lu u

R

M v v

L

ML

I ML RML L

(24)

3. Estructura de control.

El objetivo de control de posición se refiere a encontrar un

ley de control que nos proporcione los pares aplicados o

torques a cada una de las articulaciones del robot, tal que la

posición actual del robot (t)q y su velocidad articular de

movimiento (t)q tiendan asintóticamente hacia la posición

deseada d

q y velocidad cero, respectivamente; sin importar

las condiciones iniciales. En otras palabras, como el tiempo

t evoluciona al infinitot se debe satisfacer la

convergencia de [9]:

(t)lim .

(t) 0

d

t

q q

q

(25)

3.1. Propuesta de estructura de control

Para comenzar dicho análisis, se considera la siguiente

estructura de control:

2 2

2 2

cosh(q )sinh(q ) cosh(q )sinh(q )

1 cosh (q ) 1 cosh (q )0 0,

cosh(q )sinh(q ) cosh(q )sinh(q )0 0

1 cosh (q ) 1 cosh (q )

x x

y y

x x x x

x xp vL

p vy y y yR

y y

k k

k k

(26)

donde la ganancia proporcional 2 2 x

pk y la ganancia

derivativa 2 2 x

vk son matrices diagonales y 2 x1q es

el error de posición ( ).dq q

Del mismo modo, se considera la estructura general de la

dinámica del robot móvil dada por la ec. (27).

( ) ( ), .M q q C q q q (27)

Donde:

2 2( ) xM q es la matriz de masas e inercias.

2 1xq es el vector de aceleraciones.

2 2, ( ) xC q q es la matriz de Coriolis.

2 1xq es el vector de velocidades.

Se genera un punto de equilibrio estable en el sentido de

Lyapunov, la estabilidad del punto de equilibrio se

demuestra con el teorema de LaSalle [10] al igualar la forma

general de la ec. (26) con la ec. (27).

2 2

cosh(q)sinh(q) cosh(q)sinh(q)( ) ( )

1 c,

osh (q) 1 cosh (q).p vM q q C q q q k k

(28)

Es posible expresar la ec. (28) en variables de estado para

definir la ecuación de lazo cerrado como se observa en la ec.

(29).

1

2 2

.cosh(q)sinh(q) cosh(q)sinh(q)(q) ( )

1 cosh (q) 1,

cosh (q)p vk k

qqd

Mqdt C q q

(29)

Para demostrar que el punto de equilibrio de la ecuación

de lazo cerrado es estable, consideramos la siguiente función

candidata de Lyapunov:

2 21 1, 1 co( ) ( ) [ln( ( ))]sh 1 cosh[ln( ( ))],

2 2

T T

pV q q q M q q q k q (30)

donde ,( )V q q es definida positiva ya que el primer término

es positivo debido a que en la energía cinética la matriz

( )M q es definida positiva [1] y el segundo término es la

energía potencial artificial con pk es definida positiva por

diseño y recordando que p

2 2( ), xM q k y 2 1, .xq q

Al aplicar la derivada temporal a la ec. (30) se obtiene la

ec. (31).

2

sinh( )cosh( )( ) ( )

(

1, (q)q .

2 1 cos )h

pT Tq q k q

V q q q M q q q Mq

(31)

De la ec. (29) retomamos la aceleración ( )q , la cual es

sustituida en la ec. (31), obteniendo la ec. (32).

2 2

2

sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( )( )

( ) (,

1 cosh 1 cosh

1C( ,

)

sinh( )cosh) ( ) .

2 1 cosh

( )

( )

T

p p

T T T

v

q q q qV q q q k k q

q q

q qq q q q M q q q k

q

(32)

En la ec. (32) el primer término se cancela con el

segundo, el tercero se cancela con el cuarto al aplicar la

propiedad de antisimetría [1], resultando la ec. (33).



2

sinh( )cosh( )( , 0.

1)

)c (osh

T

v

q qV q q q k

q

(33)

Por lo que queda demostrada la estabilidad global del

punto de equilibrio en la ecuación de lazo cerrado.

3.2. Estructura de control PD

El control proporcional derivativo está dado por la siguiente

ecuación:

0 0,

0 0

x x

y y

p vx xL

p vy yR

k kq q

k kq q

(34)

El análisis sobre la existencia, unicidad y estabilidad del

punto de equilibrio de este algoritmo de control está

ampliamente documentado [1, 10].

Después de comprobar la estabilidad de ambos

controladores se puede simular una trayectoria simple para

poder comparar el desempeño de cada uno.

4. Simulaciones.

En las Figs. 3-6 que se presentan a continuación, se observan

los diagramas a bloques de la dinámica del robot móvil, el

algoritmo de control propuesto, y la ecuación en lazo

cerrado con ambos controladores.

Figura 3 – Dinámica del robot móvil implementada en Simulink.

Figura 4 – Propuesta de estructura de control implementada en

Simulink.

Figura 5 – Ecuación en lazo cerrado (estructura de control propuesta

y dinámica en conjunto) implementado en Simulink.

Figura 6 - Ecuación en lazo cerrado (estructura de control PD y

dinámica en conjunto) implementado en Simulink.

En las Figs. 7-9 se presentan los resultados obtenidos al

simular una trayectoria recta con inicio en (x,y) = (0,0) m. y

fin (x,y) = (0,1) m. de la dinámica con el controlador

propuesto. Se observa la posición final de centro de masa

del robot móvil, el error de la posición y el torque que

requiere cada rueda para realizar la trayectoria deseada,

respectivamente.

Figura 7 – Posición final del centro de masa al aplicar el controlador

propuesto a la dinámica del robot móvil.



Figure 8 - Error de posición del centro de masa del robot móvil

aplicando el controlador propuesto.

Figura 9 – Torque requerido por cada rueda para realizar la

trayectoria deseada al aplicar el controlador propuesto a la dinámica

del robot móvil.

En las Figs. 10-12 se presentan los resultados obtenidos

al simular la trayectoria descrita en el caso anterior con la

dinámica del robot móvil y controlador PD. Se observa la

posición final de centro de masa del robot móvil, el error de

la posición y el torque que requiere cada rueda para realizar

la trayectoria deseada, respectivamente.

Figura 10 - Posición final del centro de masa al aplicar el controlador

PD a la dinámica del robot móvil.

Figura 11– Error de posición del centro de masa del robot móvil

aplicando el controlador PD.

Figura 12 - Torque requerido por cada rueda para realizar la

trayectoria deseada al aplicar el controlador PD a la dinámica del

robot móvil.

5. Construcción del prototipo del robot móvil.

Para la construcción del prototipo se consideró el siguiente

material.

Una base circular de plástico de ∅ 25cm y de 0.3cm de

espesor como el cuerpo del robot.

Un par de llantas comerciales DU-BRO Super lite

Wheels de ∅ 7.62cm. 2 motorreductores pololu (131:1) 37Dx57Lmm con

encoder.

1 rueda de castor.

Figura 13 – Vista frontal de prototipo de robot móvil.

En la Fig. 13 se presenta el prototipo final de robot móvil

que se construyó.



6. Conclusión

Como se aprecia en los resultados de las simulaciones se

logró desarrollar una estructura de control con un mejor

desempeño que el contralor PD. Al comparar la Figs. 7 y 10

se observa una mayor exactitud del controlador desarrollado

en la ubicación final del centro de masa del robot móvil, en

las Figs. 8 y 11 se observa que el estado transitorio que

presenta el controlador PD es más corto que el que presenta

el controlador desarrollado, lo que supondría una mejor

respuesta del controlador PD, lo cual resulta erróneo puesto

que, al comparar las Figs. 9 y 12 se demuestra que el

controlador PD requiere un torque máximo de 15 N. para

realizar la trayectoria deseada (por ser un controlador no

acotado), y aunque el motor no sea capaz de proporcionar

dicha energía, con esta acción se le exige trabajar en la zona

de saturación un mayor tiempo, afectado así el tiempo de

vida del motor. Esto no sucede en el caso del controlador

que se desarrolló debido a que por diseño, se limita la

energía que el controlador puede exigirle al motor, en los

resultados se observa que el toque máximo que requiere con

el controlador diseñado es de 1.2 N, por lo tanto, se

comprueba que nuestro diseño tiene un mejor desempeño.

Como trabajo a futuro se implementará el algoritmo

diseñado en el prototipo que se construyó, lo que permitirá

comprobar los resultados obtenidos en las simulaciones y en

caso de ser requerido se realizaran las adecuaciones

pertinentes.

REFERENCIAS

[1] J. F. Reyes Cortés, Robótica: Control de Robots

Manipuladores, 1ª Ed. Alfaomega, (pp. 131-133, 251-327, 336-342, 359-546), (2011).

[2] Pérez Arreguín, Tovar Arriaga, Villaseñor Carrillo, Gorrostieta Hurtado, Pedraza Ortega, Vargas Soto, Ramos Arreguín, Sotomayor Olmedo. Robot Móvil de Tracción Diferencial con Plataforma de Control Modular para Investigación y Desarrollo Ágil de Proyectos, (pp. 78,79). Universidad Autónoma de Querétaro (2011).

[3] A. Ollero Baturone, Robótica: Manipuladores y robots móviles, 1ª Ed. Marcombo, (pp. 28-30, 258, 259), Barcelona (2001).

[4] R. Dhaouadi, A. Abu Hatab. Dynamic modelling of differential-drive mobile robots using lagrange and newton-euler methodologies: a unified framework. Adv Robot Autom. (2013).

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[6] R. Serway, J. Jewett. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 7a Ed. Thomson, (pp. 278-296). USA (2008).

[7] M. Yue, F, Tang, B. Liu, B. Yao. Trajectory-tracking control of a nonholonomic mobile robot: backstepping kinematics into dynamics with uncertain disturbances. Applied Artificial Intelligence, Taylor & Francis Group, (2012).

[8] J. F. Reyes Cortés. Matlab aplicado a robótica y Mecatrónica. 1ª Ed. Alfaomega, (pp. 148-170), (2012).

[9] F. Reyes Cortes, J. Cid Monjaraz, E Vargas Soto. Mecatrónica: Control y automatización. 1ª Ed. Alfaomega, (pp. 527), (2011).

[10] R. Kelly, V. Santibáñez. Control de movimiento de robots manipuladores, 1a Ed. Prentice Hall, (pp. 34-53, 143-147), (2003).


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