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Diseño de experiencias.- El diseño de un experimento de simulación por computadora es esencialmente un plan para obtener una cantidad de información por el precio más barato. El uso efectivo de los recursos experimentales se ve profundamente afectado por la elección del diseño debido a que:1.- El diseño del experimento determina en gran medida la forma del análisis estadístico que puede usarse adecuadamente para analizar los resultados.2.- Él éxito del experimento para contestar las preguntas del experimentador sin un gasto excesivo de tiempo y recursos depende en gran parte de la elección correcta del diseño.

El propósito principal de la realización de estudios de simulación es aprender lo más que se pueda acerca del comportamiento del sistema al menor costo posible. A fin de lograrlo, debemos planear y diseñar cuidadosamente no solo el modelo sino también como se usará.

El propósito de usar estos diseños es doble: 1.- Resultan económicos en términos de la reducción del número de pruebas experimentales requeridas. 2.- Proporcionan una estructura para el proceso de aprendizaje del investigador.

En la mayoría de los estudios complejos de simulación, el número de combinaciones posibles de factores y de niveles de los factores de interés es casi infinito; por tanto se lleva a cabo un gran número de cambios de diseño para permanecer dentro de las restricciones del recurso.

Se pueden requerir varios tipos diferentes de análisis:

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a) Comparación de medias y varianzas de las alternativas.b) Determinación de la importancia o efecto de las diferentes variables y sus limitaciones.c) La búsqueda de los valores óptimos de un conjunto de variables

Para seleccionar un diseño experimental adecuado, necesitamos seguir un proceso de 3 pasos:a) Determinar los criterios del diseño experimentalb) Sintetizar el modelo experimentalc) Comparar el modelo con diseños experimentales y seleccionar el diseño óptimo

El diseño de un experimento de simulación debería abordarse de manera sistemática, al igual que cualquier otro problema de diseño. Por tanto, tratamos la síntesis del diseño experimental en tres pasos, adoptando en gran medida el método propuesto por Bartee.

a) Diseño del modelo estructural TEÓRICO b) Diseño del modelo funcional VALORES ALCANZABLES c) Diseño del modelo experimental ECONOMÍAEntre los criterios que deben considerarse están los siguientes:

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1.- El número de factores que deben variarse.2.- El número de niveles (valores) que deben usarse para cada factor.a) Son cualitativos o cuantitativos?b) Los niveles van a ser fijos o aleatorios?c) Deben medirse los efectos no lineales?d) Los factores tendrán el mismo número de niveles?3.- El número de medidas de la variable de respuesta que deben tomarsea) Deben medirse las interacciones entre los factores?b) Existen las limitaciones de recursos?c) Que precisión se requiere?

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El modelo estructural.- En el enfoque que se siguió en el comentario anterior los dos primeros criterios son vitales para determinar el modelo estructural. El modelo estructural es una función de:a) El número de factoresb) el número de niveles de cada factor

Esto debería determinarse con base en los objetivos del experimento, la mensurabilidad de los factores, el interés en los efectos no lineales, etc. Estos no debieran ser impuestos por la precariedad de los recursos. Dichas limitaciones son la preocupación del modelo funcional. El modelo estructural debería desarrollarse con base en lo que debería hacerse; el modelo funcional, con base en lo que puede hacerse.

Por tanto, el modelo estructural de un experimento es:Ns = (q1)(q2)(q3)…..(qk) donde Ns= Número de elementos en el experimento k= Número de factores en el experimento qi= Número de niveles del factor i

Son necesarias varias consideraciones para determinar el número y la identidad de los factores que se usarán. La regla empírica expone que en la mayoría de los sistemas el 20% de los factores se encargará del 80% del comportamiento, mientras que el otro 80% de los factores aportaría el 20% del comportamiento. El problema es decidir cual es la minoría significativa.

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El siguiente paso en el diseño del modelo estructural es decir los niveles en los cuales debe establecerse cada factor seleccionado. El número de niveles de cada factor debería mantenerse obviamente en el número mínimo que logrará las metas del experimento. Cada nivel adicional aumenta el costo y debe evaluarse cuidadosamente.

Cuando un factor es cuantitativo, debemos considerar el intervalo de interés y si estamos interesados en los efectos no lineales. Si el analista se interesa exclusivamente en efectos lineales, entonces los dos niveles de la variable cuantitativa que se encuentran en los extremos del intervalo de interés resultan suficientes. Por otra parte si el analista presiente o se interesa en los efectos cuadráticos, debe usar 3 niveles.

Como se comprende, debe obtenerse una considerable ventaja analítica en un experimento si es posible poner todos los factores en el mismo número de niveles. Ns = q^kEl modelo funcional.- Determina cuantos valores de las variables de entrada en el modelo estructural contendrán realmente una medición de respuesta, es decir, cuantas muestras de datos (sin repetición) obtenemos en realidad.

La expresión del número total de corridas de computadora que se requieren para un experimento simétrico repetido es:N = pq^k donde k=número de factores, q=número niveles de factor, p=número de repeticiones, N=número total de corridas.

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Supongamos que debido a las restricciones en los costos o en el tiempo de cómputo, el diseñador se da cuenta de que es necesario reducir el número total de casos a correr. Entonces, es deseable analizar el diseño estructural inicial para determinar si los factores, niveles o repeticiones son características dominantes en la reducción. Una manera de hacerlo es encontrar la variable( factores, niveles o repeticiones) que proporciona el mayor ahorro en términos del número total de muestras requeridas por cambio de unidad. Logramos esto mediante la diferenciación parcial de la ecuación anterior con respecto a p, k y q, y después mediante las consideraciones de las relaciones de las ecuaciones resultantes.

De la derivada parcial de N con respecto a k y q, obtenemos:dN/dk p.q^k.ln q q.ln q p= repeticiones---------=----------------=------------ q= nivelesdN/dq p.k.q^(k-1) k k= factores

Si en este caso la parte superior es mayor que la inferior, entonces un cambio de cantidad en el número de factores es dominante sobre el cambio de niveles. Lo contrario ocurre si es menor.

Si ahora consideramos la relación obtenida a partir de las derivadas de N con respecto a p y q, obtenemos:

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dN/dp q^k q ---------=----------------=------------ dN/dq p.k.q^(k-1) k.p

Por tanto si la parte superior es mayor que la inferior el número de repeticiones es dominante sobre el número de niveles.

Por último, si tomamos dN/dp q^k 1 ---------=----------------=------------ dN/dk p.k.q^(k-1) p.ln q

Por tanto, si la parte superior es mayor que la inferior el número de repeticiones es dominante sobre el número de factores.

Con base a las ecuaciones finales anteriores, las condiciones para detrminar que costo es dominante pueden establecerse así:1.- Si k.p > q y k > q.ln q los niveles son dominantes2.- Si p.ln q >1 y k< q.ln q los factores son dominantes3.- Si k.p < q y p. ln q < 1 las repeticiones son dominantes

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Análisis de la varianza.- Para poder analizar profundamente un modelo debemos conocer como influyen individual o en forma combinada las variables de entrada en cada una de las variables de salida. Para eso debemos poder medir la varianza de las segundas ante la acción de las primeras.

Recordemos que la varianza de un conjunto de datos se calcula como la desviación cuadrática media de los distintos valores en torno de la media general. Así, si a un valor individual se lo indica con X, a su promedio general con P y al número de valores con N, la varianza será:V = S^2 =1/N. Sumatoria(X-P)^2

Cuando se tienen pocos valores de la población para no subestimar el valor se toma N-1 como divisor quedandoV = S^2 = 1/(N-1). Sumatoria(X-P)^2

Reduciremos la varianza a sus componentes. Tomaremos una muestra de 20 elementos obtenidos en grupos de 5. Esto se explica como los resultados de output de valores aleatorios de una variable de input en 5 posiciones distintas. Se verán las variaciones dentro de la población pero las variaciones que nos interesan son las que se producen entre grupos ya que son las que van a detectar el resultado de los input en los output.

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Tomemos el siguiente ejemplo:MUESTRA 1 MUESTRA 2 MUESTRA 3 MUESTRA 4

2 3 6 53 4 8 51 3 7 53 5 4 31 0 10 2

TOTALES Y MEDIAS10 2 15 3 35 7 20 4

NUMERO TOTAL DE ELEMENTOS=N=20TOTAL GENERAL= T=80PROMEDIO GENERAL= T/N=4

El próximo cuadro mostrará los cuadrados de las desviaciones de los 20 valores a partir de su promedio general 4. Los grados de libertad considerados son 20-1=19. De esta manera se considera toda la muestra y por ello estamos midiendo la variación dentro de toda la muestra.

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MUESTRA 1 MUESTRA 2 MUESTRA 3 MUESTRA 44 1 4 11 0 16 19 1 9 11 1 0 19 16 36 424 19 65 8 TOTALESSUMA TOTAL DE LOS CUADRADOS=24+19+65+8=116Esto es la suma de las desviaciones cuadráticas a partir del promedio generalTOTAL=ENTRE + DENTROIMPORTANTE.- Tratemos ahora de dividir la suma total de cuadrados y el total de grados de libertad en las componentes que llamaríamos “ENTRE MUESTRAS” y “DENTRO DE LAS MUESTRAS”. Para obtener el efecto “INTERMUESTRAL” es necesario eliminar el de dentro de las muestras. Esto puede hacerse reemplazando cada valor dentro de una muestra dada por el promedio respectivo de su serie.

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MUESTRA 1 MUESTRA 2 MUESTRA 3 MUESTRA 4 2 3 7 4 2 3 7 4 2 3 7 4 2 3 7 4Por supuesto el total general sigue siendo T=80Para hallar la suma de los cuadrados intermuestrales, proceda exactamente del mismo modo que cuando calculamos la suma total de los cuadrados. El siguiente cuadro muestra los cuadrados de las desviaciones del último cuadro respecto de su promedio general que como se sabe es 4.

MUESTRA 1 MUESTRA 2 MUESTRA 3 MUESTRA 4 4 1 9 0 4 1 9 0 4 1 9 0 4 1 9 0 4 1 9 0 20 5 45 0 TOTALES

Suma de los cuadrados intermuestrales =20+5+45=70Para obtener los grados de libertad pertinentes, tomamos uno menos que el número de promedios muestrales del caso.

Grados de libertad intermuestrales=4-1=3

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Estudiaremos ahora la variación dentro de las muestras. Para ello es necesario eliminar el efecto de los promedios intermuestrales. Nos interesa solo ahora la variabilidad dentro de las muestras individuales. Restamos entonces de cada valor del cuadro original la media muestral correspondiente.MUESTRA 1 MUESTRA 2 MUESTRA 3 MUESTRA 4 0 0 1 1 1 1 1 1 -1 0 0 1 1 2 -3 -1 -1 -3 3 -2 0 0 0 0

El promedio general de los valores es, en este nuevo cuadro, igual a cero y por ello la suma de los cuadrados, para la fuente de variación dentro de las muestras, se obtiene considerando las desviaciones a partir de este promedio igual a cero, todo lo que debemos hacer entonces, es tomar es tomar los cuadrados de los valores tal cual aparecen. El resultado será:

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MUESTRA 1 MUESTRA 2 MUESTRA 3 MUESTRA 4 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 4 9 1 1 9 9 4 4 14 20 8 TOTALESSuma de los cuadrados dentro de la muestras= 4+14+20+8=46

Para obtener los grados de libertad dentro de las muestras, razonamos así: cada muestra tiene 5 elementos, el número de grados de libertad de cada muestra es 4, pero como hay 4 muestras el número total de grados de libertad es 4*4=16. Juntemos estos resultados en un cuadro de análisis de la varianza.Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad VarianzaEntre muestras 70 3 23.3Dentro de muestras 46 16 2.9Total 116 19

Este procedimiento ha dividido la suma total de cuadrados y el total de grados de libertad en dos componentes independientes que corresponden a las variaciones “entre” y “dentro “ de muestras.

Haremos ahora el mismo cálculo anterior pero de una manera más simple y que da el mismo resultado

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MUESTRA 1 MUESTRA 2 MUESTRA 3 MUESTRA 42 3 6 53 4 8 51 3 7 53 5 4 31 0 10 2

TOTALES 10 15 35 20

TOTAL GENERAL T=80 NUMERO DE ELEMENTOS=N=20Calculamos a continuación el FACTOR DE CORRECCIONFACTOR DE CORRECCION=T^2/N=(80*80)/20=320Este factor de corrección entrará en el cálculo de todas las sumas de cuadrados futuras, que se harán directamente. El próximo paso establecerá un cuadro con los cuadrados de los valores originales:

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MUESTRA 1 MUESTRA 2 MUESTRA 3 MUESTRA 44 9 36 259 16 64 251 9 49 259 25 16 91 0 100 424 59 265 88 TOTALES

Suma total de los cuadrados=(24+59+265+88)-320=116Suma cuadrados intermuestral=(1/5)*(10^2+15^2+35^2+20^2)-320=70Suma de cuadrados dentro muestra=116-70=46Grados de libertadN° total elementos=20 Grados de libertad=19N° total de muestras=4 Grados de libertad=3Dentro de muestras Grados de libertad=19-3=16116/19=46/16+70/3

TOTAL DENTRO MUESTRAS

ENTRE MUESTRAS

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Trataremos una aplicación sobre un modelo que tiene 4 variables de entrada. Estudiaremos su efecto sobre una variable de salida.

T1 T2 T3 H1 H2 H3 H1 H2 H3 H1 H2 H3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1t2t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3h1 20 15 20 16 13 14 15 11 12 9 10 8 6 6 6 6 6 5 17 30 10 6 13 14 6 3 3h2 10 7 5 3 -1 0 3 1 2 -1 -1 -1 -4 -6 -4 -6-6-4 1 4 -2 1 4 -1-5 -6-6h3 3 0 3 1 1 5 -3 -2 -3-7 -8 6 -10-10-10-9-7-9 -5 -3 -4-4 -3 -4 -6 -5-2

Se aclara que esta tabla está formada por 243 valores ya que cada casilla es la suma de 3 valores y posterior restado o sumado de algún valor para trabajar con valores más pequeños. De ahí que aparezcan algunos valores negativos.

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CUADRO C1 (Suma respecto de h) T1 T2 T3 H1 H2 H3 H1 H2 H3 H1 H2 H3 t1 33 20 15 1 -8 -9 13 3 -5 t2 22 13 10 1 -10 -7 14 14 -8 t3 28 19 11 13 -8 -8 4 9 -5

CUADRO C2 (Suma respecto de T) H1 H2 H3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 h1 46 38 38 28 32 34 27 20 20 h2 10 10 2 0 -3 -5 -8 -11 -8 h3 -9 -11 5 -13 -12 -9 -18 -14 -14

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CUADRO C3 (Suma respecto de t) T1 T2 T3 H1 H2 H3 H1 H2 H3 H1 H2 H3 h1 55 43 38 27 18 17 40 33 12 h2 22 2 6 -3 -14 -16 3 4 -17 h3 6 7 -8 -9 -30 -25 -12 -11 -13

CUADRO C4 (Suma respecto de H) T1 T2 T3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 h1 51 39 46 21 22 19 29 29 27 h2 16 7 7 -11 -13 9 -3 2 -9 h3 1 -1 5 -26 -25 -13 -15 -11 -10

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Cuadro D1 (Tabla C2 sumado respecto de h) H1 H2 H3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 47 37 45 15 17 20 1 -5 -2

Cuadro D2 (Tabla C1 sumado respecto de t ) T1 T2 T3 H1 H2 H3 H1 H2 H3 H1 H2 H3 83 52 36 15 -26 -24 31 26 -18

Cuadro D3 (Tabla C1 sumado respecto de H) T1 T2 T3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 68 45 58 -16 -16 -3 11 20 8

Cuadro D4 (Tabla C4 sumado respecto de t) T1 T2 T3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 136 30 5 62 -33 -64 85 -10 -36

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Cuadro D5 (Tabla C2 sumado respecto de t) H1 H2 H3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 122 22 -15 94 -8 -34 67 -27 -46

Cuadro D6 (Tabla C2 sumado respecto de H) t1 t2 t3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 101 2 -40 90 -4 -37 92 -11 -18

Cuadro E1 (A partir de cuadros D1, D3 o D6) t1 t2 t3 63 49 63

Cuadro E2 (A partir de cuadros D4, D5 o D6) h1 h2 h3 283 -13 -95

Cuadro E3 ( A partir de cuadros D2, D3 o D4) T1 T2 T3 171 -35 39

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Cuadro E4 ( A partir de cuadros D1, D2 o D5) H1 H2 H3 129 52 -6

Calculo el factor de corrección C=T^2/N= 175^2/243=126

Suma de los cuadrados y grados de libertad del efecto H(1/81)[129^2+52^2+(-6)^2]-126=113 2 grados de libertadSuma de los cuadrados y grados de libertad del efecto T(1/81)[171^2+(-35)^2+39^2]-126=268 2 grados de libertadSuma de los cuadrados y grados de libertad del efecto h(1/81)[283^2+(-13)^2+(-95)^2]-126=976 2 G.L.Suma de los cuadrados y grados de libertad del efecto t(1/81)[63^2+49^2+63^2]-126=1 2 G.L.

Con una operación parecida se pueden sacar los efectos de los elementos tomados de a 2, de a 3, etc.

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Ecuaciones diferenciales parciales.- Sus campos de aplicación están adquiriendo cada vez mayor importancia y con la llegada de las computadoras ha sido posible atacar problemas que eran materialmente imposibles de resolver antes.

Trataremos ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, lineales, con dos variables independientes. Estas se pueden escribir en la forma:A.xx+B.xy+Cyy+D.x+Ey+F=G AEn que A,B,C,D,E,F,G son funciones de x e y (variables independientes). La variable dependiente es y los subíndices denotan derivación parcial; por ejemplo: 2 xy= d u/dx.dy

Recordamos que una ecuación diferencial ordinaria tiene toda una familia de soluciones, de las cuales se selecciona una solución particular a partir de la condición inicial. De manera similar, en este caso se debe suministrar alguna información adicional junto con la ecuación A para poder seleccionar una solución específica. Como en este caso estamos tratando con dos variables independientes, las condiciones adicionales tendrán que ser suministradas a lo largo de alguna curva en el plano x-y, La información puede referirse a y/o sus derivadas. En algunos casos la curva a lo largo de la cual se suministra la información es una curva cerrada y en otros casos no lo es; esto depende del tipo de ecuación.

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<0 Ecuación Elíptica Si B^2-4AC =0 Ecuación Parabólica >0 Ecuación Hiperbólica Ecuaciones de diferencias.- Debemos sustituir a la derivada por una diferencia. En las ecuaciones de 2 variables las diferencias deben presentarse para ambas. Consideremos diferencias en la dirección X.

La serie de Taylor para (X,Yo) con respecto al punto (Xo,Yo) se puede escribir.

(X,Yo) = (Xo,Yo)+(X-Xo) (Xo,Yo)+(X-Xo)^2/2. xx(,Yo)Haciendo X=Xo+h (Xo+h,Yo) – (Xo,Yo) x(Xo,Yo)= hEl error por truncamiento es h^2/2. xx(,Yo) Xo<=<=Xo+hEl resultado se llama una diferencia hacia delante. Podemos obtener una diferencia hacia atrás haciendo X=Xo-h (Xo,Yo) – (Xo-h,Yo) x(Xo,Yo)= A h

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Para lograr una aproximación por diferencias para xx usaremos diferencias hacia adelante y hacia atrás. La técnica consiste en escribir una ecuación de diferencias para xx en función de x, y luego sustituir aproximaciones adecuadas en función de diferencias para x. x(Xo+h,Yo) – x(Xo,Yo) xx(Xo,Yo)= C h

Sustituímos ahora x como expresión de diferencia hacia delante, el resultado estaría afectado en la dirección hacia delante, por lo tanto usamos diferencias hacia atrás. La diferencia hacia atrás para x(Xo,Yo) es A y la diferencia hacia atrás para x(Xo+h,Yo) es (Xo+h,Yo) – (Xo,Yo) x(Xo,Yo)= B hSustituyendo A y B en C queda: (Xo+h,Yo) –2. (Xo,Yo)+ (Xo-h,Yo) xx(Xo,Yo)= h

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Undesarrollo enteramente análogo nos lleva a una ecuación de diferencias para yy, en que tomamos como k el tamaño del intervalo en la dirección Y (Xo,Yo+k) –2. (Xo,Yo)+ (Xo,Yo-k) yy(Xo,Yo)= k^2Desarrollemos la ecuación de Laplacexx+yy=0Se escribe en la siguiente forma (Xo+h,Yo) –2. (Xo,Yo)+ (Xo-h,Yo)+(Xo,Yo+k) –2. (Xo,Yo)+ (Xo,Yo-k) xx(Xo,Yo)= h^2 k^2

Esta ecuación de diferencias se puede atacar por los métodos que veremos a continuación.ECUACIONES ELIPTICAS.- d^2f/dx^2+d^2f/dy^2=0 Ecuación de LaplaceLa frontera C está formada por rectas paralelas a los ejes X e Y. Tomamos un rectángulo de ancho A y alto B. Dividimos A en n intervalos y B en m

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G

A

B

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(Xo+h,Yo) –2. (Xo,Yo)+ (Xo-h,Yo)+(Xo,Yo+k) –2. (Xo,Yo)+ (Xo,Yo-k) xx(Xo,Yo)=0 h^2 k^2

Multiplicando todo por k^2 y llamando lamda a k/h si K=h lamda=1. Al despejar (Xo,Yo) queda (Xo,Yo)=1/4((Xo+h,Yo)+ (Xo-h,Yo)+ (Xo,Yo+k) + (Xo,Yo-k) )