Diseño de Bloques Incompletos Balanceados (BIB)

Modelo estadístico

respuesta al iesimo tratamiento en el j –esimo bloque,

i=1,2,...k, j= 1,2,...,b Los tratamientos no ocurren en todos los bloque

Media global , : efecto del tratamiento, efecto de bloque

: error aleatorio N(0,σ2),

,

denotamos si el tratamiento i ocurre en el bloque j

, en caso contrario.

Luego , , ,

Además: , si p=i y n2pj =npj

= λ,

λ el número de veces que cada par de tratamiento ocurre en el diseño.

Tratamiento 1 en el bloque 2 y 3 Tratamiento 2 en el bloque 1 y 2 Tratamiento 3 en el bloque 1 y 3

λ = 2, veces que cada par de tratamiento

ocurre en el diseño

Luego, el modelo estadístico para el modelo BIB, expresado como un modelo lineal general es:

Y = Xβ + ε n11=0, n12=1, n13=1, n21=1, n22=1, n23=0, n31=1, n32=0, n33=1

las ecuaciones normales

En general tenemos, N=6, r=2, k=2, (

( 1)

(I) ( i=1,2,..,k ) ; k ecuaciones

(II) (j=1,2,..,b) ; b ecuaciones

k+b+1, ecuaciones con k+b+1 incógnitas, dos ecuaciones linealmente dependientes, si sumamos las k ecuaciones obtenemos (1), asimismo si sumamos las b ecuaciones.

Incluyendo las restricciones: ,

Obtenemos solución al sistema de ecuaciones.

(2) Para obtener el efecto del i-esimo tratamiento multiplicamos la i-esima ecuación de (I) por a y retiramos el efecto de los bloques, obtenemos

como , si p=i , n2pj =npj

luego si , entonces

,

luego

,

entonces , efecto del i–esimo tratamiento ajustado por los bloques.

Qi es el iesimo total de tratamiento corregido por la media de los totales de los bloques en los que se aplica el iesimo tratamiento.

Luego tenemos que la variabilidad total se puede descomponer en

SCT = SCtrat(ajustados) + SCbloque + SCerror (N-1) = (k -1) + (b-1) + ( n - k - b +1)

donde

,

Ejemplo

Un ingeniero estudia las características del rendimiento de combustible de cinco tipos de aditivos de gasolina. En la prueba de carretera el ingeniero desea usar los automóviles como bloques, sin embargo , debido a una restricción de tiempo, debe utilizar un diseño de bloques incompletos, Realiza el diseño balanceado con los cinco bloques. Analizar los datos de este experimento y sacar conclusiones . Utilice α=0.05

Auto Aditivo Total 1 2 3 4 5

1 - 17 14 13 12 56

2 14 14 - 13 10 51

3 12 - 13 12 9 46

4 13 11 11 12 - 47

5 11 12 10 - 8 41

Total 50 54 48 50 39 241

Yi. prom bloque Qi Qi*Qi

50 46.25 3.75 14.0625

54 48.75 5.25 27.5625

48 47.5 0.5 0.25

50 50.0 0.0 0.0

39 48.5 -9.5 90.25

    Total 132.125

Y.j Y2.j

56 3136

51 2601

46 2116

47 2209

41 1681

Total  11743

23.355*3

125.132*41

2

)( ===∑

=

k

QaSC

k

ii

ajustadotrat λ

y.. Y2../N Σy2ij241 2904.05 2981

F.V Gl. SC CM FTrat(ajustado) 4 35.23 8.807 9.68

Bloque 4 31.70 7.92Error 11 10.02 0.91Total 19 76.95

Existe diferencias en los aditivos. El rendimiento de combustible depende del tipo de aditivos de gasolina.

Diseño cuadrados latinos

Cuadrados latinos En un diseño de bloques completamente aleatorizados se

desea controlar una sola fuente de variación local.

Generalmente es necesario controlar más de una fuente de variación.

Un diseño de Cuadrados Latinos es muy similar a un diseño de bloques completamente aleatorizados, pero con una fuente de variación adicional.

El adjetivo “latino” proviene de las letras usadas para los niveles del factor a estudiar.

Diseño de bloques aleatorizados, se considera un factor principal y una variable de bloque con el objeto de eliminar su influencia en la variable respuesta y así reducir el error experimental.

Diseños de cuadrado latinos utilizan dos bloques para reducir el error experimental. (existen dos fuentes de variabilidad.Al considerar simultáneamente dos variables de bloque, se tiene que forman bloques con cada combinación de niveles de los bloques y después aplicar todos los tratamientos en los bloques.

Supongamos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto de distintos tipos de semilla en el rendimiento del trigo y se considera que en dicho rendimiento también influyen los tipos de abonos e insecticidas empleados.Para realizar dicho estudio, es posible utilizar un diseño cuadrado latino donde el factor principal es el tipo de semilla y las variables de bloque los tipos de abono e insecticida.

Bloque B

b1 b2 b3 b4

Bloque C

c1 c2 c3 c4

combinación de los bloques

b1c1 b1c2 b1c3 b1c4

b2c1 b2c2 b2c3 b2c4

b3c1 b3c2 b3c3 b3c4

b4c1 b4c2 b4c3 b4c4

En dichos diseños el número de niveles del factor principal tiene que coincidir con el número de niveles de las dos variables de bloque y además suponer que no existe interacción entre ninguna pareja de factores.

Supongamos que el número de niveles del factor es K. El diseño en cuadrado latino utiliza K2 bloques, cada uno de estos bloques corresponde a una de las posibles combinaciones de niveles de las fuentes de variabilidad. En cada bloque se aplicaun solo tratamiento de manera que cada tratamiento debe aparecer con cada uno de los niveles de los dos factores de control.Si consideramos una tabla de doble entrada donde las filas y las columnas representan cada uno de los bloque y las celdillas los niveles del factor principal o tratamientos, el requerimiento anterior supone que cada tratamiento debe aparecer unavez y sólo una en cada fila y en cada columna.

B A D CC D A BA B C DD C B A

C D B AB A C DD C A BA B D C

ijlljiijly εγβτµ ++++=dondeyijl: representa la observación correspondiente al i-ésimo tratamiento , j-ésima columna del bloque B y l-ésima fila del bloque C.

µ es la media global.

τi es el efecto producido por el i-ésimo nivel del factor. Dichos efectos están sujetos a la restriccióni=1,2,..,kJ=1,2,…,kl=1,2,…,k

Βj: es el efecto producido por el j-ésimo nivel del bloque B Dichos sujetos estánsujetos a la restricción jγl : es el efecto producido por el l-ésimo bloque C. Dichos efectos están sujetos ala restricción.ε ijl son v.a. iid. con distribución N(0, σ2)

H0τ : τi = 0, i H∀ 1τ : τi = 0, i ∀

H0β : βj = 0, j H∀ 1β : βj = 0, j∀

H0γ : γl = 0, l H∀ 1γ : γl = 0, l∀

Ejemplo: cuadrados latinosSupongamos que un experimentador está estudiando el efecto de cinco fórmulas diferentes de la mezcla de dinamita sobre la fuerza explosiva observada. Cada fórmula se prepara usando un lote de materia prima, lo suficientemente grande para que sólo se hagan cinco mezclas. Mas aún, las mezclas las preparan cinco operarios, pudiendo existir una diferencia sustancial en la habilidad y experiencia entre ellos. El diseño apropiado para este problema consiste en probar cada fórmula exactamente una vez, utilizando cada lote de materia prima, y en que cada fórmula sea preparada exactamente una vez por cada uno de los cinco operarios.

Factores: Materiales y los Operarios, con cinco niveles y las cinco fórmulas representan las letras latinas A, B, C, D y E.

Entonces i= 5, j = 5 y l = 5

Ejemplo: cuadrados latinos

Diseño greco latino

Cuadrados greco-latinos Se puede considerar una extensión del diseño de

cuadrados latinos que permite estudiar un factor y 3 variables bloque con sólo k2 observaciones (siempre que el factor y las variables bloque tengan todos k niveles).

Se considera un cuadrado latino de dimensión (k × k) y se superpone sobre él otro cuadrado con los tratamientos denotados por letras griegas.

Se dice que son ortogonales cuando cada letra griega aparece combinada con una letra latina una y sólo una vez en cada fila y columna.

Cuadrados greco-latinos

Cuadrado latino 1 Cuadrado latino 2

Modelo

Se obtiene una tabla ANOVA semejante al modelo de cuadrados latinos, considerando también el término δh.Grados de libertad de tratamiento , bloque 1, bloque2, bloque3 son (k-1)Los grados de libertad de la SCE son igual a (k− 1)(k − 3).Los grados de libertad del total son k2 -1 El contraste de la F es el mismo que en el caso de los cuadrados latinos.

ijlhhljiijlhy εδγβτµ +++++=Modelo estadístico

i=1,2,…,kj=1,2,…,kl=1,2,…,kh=1,2,…,k

Deducir los estimadores, suma de cuadrados, pruebas de hipótesis, estadísticas de prueba, esperanza de cuadrados medios en el diseño greco latino