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8/17/2019 Diap 06 1 Integracion
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UTN FRD Cálculo Avanzado
Integración Numérica
• Hay infinidad de casos en los que necesitamos calcularintegrales de funciones de una variable.
• Si sólo se conoce una tabla de valores del integrandoparece natural aproximar la integral por la integral delpolinomio interpolador en el mismo intervalo.
• Cuando se tiene una expresión analítica del integrando,puede no conocerse una primitiva o ser muy difícil decalcular.
• En estos casos también puede ser útil hacer una tablaevaluando la función en ciertos puntos del intervalo deintegración y aproximar la integral de la función por laintegral del polinomio interpolador en el mismo intervalo.
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Ejemplo
dxe x
∫ −1
0
2
2
Sabiendo que las derivadas del integrando en el intervalo deintegración están acotadas según
31 ≤≤′′
(x) f y(x) f
IV
• Evaluar
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Fórmulas de Newton-Cotes cerradas• Se divide el intervalo de integración [a,b] mediante una
partición de puntos igualmente espaciados – x0, x1, …, xn (con x0 = a y xn = b)(*).
(*) Si los extremos del intervalo no son puntos de la tabla las fórmulas se llaman “abiertas”.
(#) h es la distancia entre puntos de la tabla y se llama paso de cálculo.
– (se define h = (b - a)/n entonces xk = a + kh k = 0, 1,…, n)(#)
• Se determina el polinomio interpolador de f por la tabla.• Se aproxima la integral de f por la del polinomio interpolador.
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Fórmulas de Newton-Cotes
• En la práctica sólo se usan con n no mayor a 4, pues para n mayores seobtienen fórmulas con mayores errores de representación.
• Además veremos que hay formas mejores de aumentar la precisión sinaumentar el grado de los polinomios.
( ) =+=+= ∫∫∫∫ b
a
b
a n
b
a n
b
a E(x)dx(x)dxPdx E(x)(x)P f(x)dx
⇒+ =+
= ∫∑ ∫∫∫ ∑ ==
b
a
n
j
b
a j j
b
a
b
a
n
j
j j E(x)dx(x)dxl f E(x)dxdx(x)l f 00
( ) ∫=
+=
∑∫ E H f f(x)dxn
j j j
b
a 0
( )( ) ( ) ( )
( )∫∫
+
−−−==
+
∫
b
a
)(n
n
b
a j j dx
!n
(x) f x x x x x x E y(x)dxl H
1
θ1
10 L
donde
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Fórmulas de Newton-Cotes• La fórmula se reducen a una C.L. de los valores tabulados.
• Como los puntos están igualmente espaciados, los
coeficientes de la C.L. sólo dependen de n y el tamaño delintervalo.
• Para cada n se tiene una fórmula.
– n = 1 Regla del Trapecio
– n = 2 Regla 1/3 de Simpson
– n = 3 Regla 3/8 de Simpson
– n = 4 Regla de Boole
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Regla del Trapecio
( )10
2
1
0
f f h
f(x)dx x
x+≅∫
2
1
0
0
11
1
0
h
dt thdxh
x x
(x)dxl H
x
x
b
a==
−==
∫∫∫
abh −=h
• Corresponde al caso n=1
• La tabla tiene dos puntos
• El polinomio es de primer grado
( ) 211
1
0
000
1
0
hhdt t hdxh x x(x)dxl H
x
x
b
a=−=
−−== ∫∫∫
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Ejemplo
En este caso
h = 1
a = x0 = 0
b = x1 = 1
dxe
x
∫ −1
0
2
2
( ) 803265.0102
11
0
=+≅∫ ) f() f( f(x)dx x
x
08.012
1
12
3
≅≤′′=∫
)( f h
E η
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Regla 1/3 de Simpson
( )210
43
2
0
f f f h
f(x)dx x
x++≅∫ )( f
h E IV η
90
5
−=∫
2
abh
−=
h h
con η en (a, b)
Debido a que (x-x0)(x-x1)(x-x2) es impar en el intervalo, el TM del valor medio ponderado se
aplica previa integración por partes que aumenta el orden de la derivada y el exponente de h
• Esta fórmula resultamás precisa de loesperado
• Esto es debido a lacancelación parcial delos errores en ambasmitades del intervalo
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EjemploEn este caso
h = 0.5
a = x0 = 0
b = x2 = 1
dxe
x
∫ −1
0
2
2
( ) ( ) 856086.0)1()5.0(4)0(3
5.02
0 =++≅∫ f f f dx x f x
x
001.0390
5.0
90
55
≅≤=∫
)( f h
E IV η
El error es casi 80 veces inferior a Regla del Trapecio
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Otras fórmulas de Newton-Cotes• Con n = 3 se obtiene la Regla 3/8 de Simpson
( )3210 33
8
33
0
f f f f h
f(x)dx x
x+++≅∫ )( f
h E IV η
80
3 5−=
∫
• La regla 3/8 no es más precisa que la regla 1/3 y es más complicada,
por lo cual no suele usarse.
• Con n = 4 se obtiene la Regla de Boole
( )43210 7321232745
24
0 f f f f f
h
f(x)dx
x
x ++++≅∫ )( f h
E VI
η 945
8 7
−=∫
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Fórmulas compuestas• Las fórmulas para n>7 tienen coeficientes positivos y
negativos, con grandes valores absolutos, que provocan
mayores errores propagados.• Debido a esto no conviene usar fórmulas de alto grado.
• Para obtener mayor precisión es preferible dividir el
intervalo de integración en subintervalos menores yaplicar una regla de grado bajo en cada uno.
• Así se obtienen las llamadas Fórmulas Compuestas.
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Fórmula de Trapecios compuesta
• Consiste en dividir el intervalo en n subintervalos igualesde tamaño h=(b-a)/n y aplicar en cada uno de ellos laRegla del Trapecio.
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EjemploEn este caso
h=0.25
a=x0=0
x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75
b=x4=1
dxe
x
∫ −1
0
2
2
Usando Trapecios compuesto con n=4
85245902
175050250
2
02504
4
0
.) f(
). f(). f(). f() f(
.T f(x)dx x
x=
++++=≅∫
005.012
25.0
12
22
≅≤′′−
= )( f hab
E T η
La cota de error mejoró mucho respecto a la regla del trapecio no compuesta.
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Fórmula de Simpson compuesta• El intervalo [a,b] se divide en n/2 subintervalos iguales
[x2i,x2i+2] donde xi=a+ih y h=(b-a)/n (con n par)
• Aplicamos en cada subintervalo la regla 1/3 de Simpson
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Fórmula de Simpson compuesta
• El error es O(h 4 )
( )nnnnb
a f f f f f f f f
hS f(x)dx ++++++++==
−−∫ 1243210 4224243L
)( f hab
E IV
S ξ 4
180
−−=
n
abh
−=
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EjemploEn este caso
h=0.25
a=x0=0
x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75
b=x4=1
dxe
x
∫ −1
0
2
2
Usando Simpson compuesto con n=4
( ) 855651017504502250403
2504
4
0
.) f(). f(). f(). f() f(.
S f(x)dx x
x=++++=≅∫
00007.03180
25.0
180
4
4
≅≤
−
= )( f hab
E IV S η
A pesar de usar la misma cantidad de puntos que Trapecios compuesto no
n=4, esta fórmula es mucho más precisa.