diagonalizacion y cuadratica

8/4/2019 DIAGONALIZACION Y CUADRATICA

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6.5 Diagonalizacin de matrices simtricas, diagonalizacin ortogonalUna matriz A de n X n es diagonalizable si y solo si tienen n vectores caractersticoslinealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonalD semejante aA est dada por:

Donde 1,2,,n son los valores caractersticos de A. Si Ces una matriz cuyas columnas

son vectores caractersticos linealmente independientes deA, entonces:

D = C-1AC

Nota: Los valores y vectores caractersticos tambien se denominan valores y vectores propios o eigenvalores y eigenvectores; la palabra

eigen es la palabra alemana para propio.

Diagonalizacin de una matriz de 2 x 2

Sea A = . Para encontrar los valores y vectores caractersticos, se utilizaron los

siguientes pasos:

1) P () = det (A- I)2) Encontrar las raices de3) (a- I)v = 0 correspondiente a cada valor caracteristico y asi encontrar los vectores

caracteristicos

Se sabe que los vectores caractersticos linealmente independientes son los siguientes: v1 =

y v2 = . Despus haciendo C =

se encontr que:

C-1AC=

=

=

=

que es la matriz cuyas componentes en la diagonal son los valores caractersticos deA.

Nota: el objetivo del presente tema es mostrar la diagonalizacin de una matriz, por lo tanto la obtencion de C-1se considera que

ya se sabe como se llego a ese resultado.


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En lo que respecta a las matrices simetricas y diagonalizacion ortogonal se denota que

tienen varias propiedades importantes: cualquier matriz simetrica real tiene n vectores

caractersticos reales linealmente independientes y, por lo tanto, con los pasos

anterioremente descritos, es diagonalizable.

Por ortogonal se entiende ortogonal con respecto al producto euclidiano interior sobre Rn.

Definicin: Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonalmente diagonalizable si existe

una matriz ortogonal P tal que P-1 AP (=Pt AP) sea diagonal; se dice que la matriz P

diagonaliza ortogonalmente a A. Se debe considerar dos interrogantes. Primero Cules

matrices son ortogonalmente diagonalizables?; y, segundo, Cmo se encuentra una matriz

P para llevar a cabo la diagonalizacin ortogonal de una matriz ortogonalmente

diagonalizabe? El siguiente teorema se refiere a la primera interrogante.

Si A es una matriz de n x n, entonces las proposiciones que siguen son equivalentes:

a) A es ortogonalmente diagonalizable.b) A tiene un conjunto ortonormal de n eigenvectores.

Una matriz con la propiedad de: A = At

se conoce como simtrica.

Ademas:

Si A es una matriz de n x n, entonces las proposiciones siguientes son equivalentes:

1) A es ortogonalmente diagonalizable2) A es simetrica

Por ultimo si A es una matriz simetrica, entonces los vectores caractersticos de los

espacios caracteristicos diferentes son ortogonales.

Con este ultimo teorema se obtiene el procedimiento que se describe en seguida para

diagonalizar ortogonalmente una matriz simetrica:

Paso 1: Hallase una base para cada espacio caracteristico de A.

Paso 2: Apliquese el proceso de Gram-Schmidt a cada una de las bases a fin de obtener una

base ortonormal para cada espacio caracteristico.

Paso 3: Armese la matriz Q cuyas columnas sean los vectores base construidos en el paso 2,

esta matriz diagonaliza ortogonalmente a A.

Diagonalizacion de una matriz simetrica de 2 x 2 usando una matriz ortogonal.

Sea A =


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Entonces la ecuacin caracterstica de A es det (A- I) = =

2-4-1=0

que tiene dos raices = (4/2 = (42/2= 2

Para1 = 2-se obtiene (A- I)v =

Un vector caracterstico:

Y |v1| es

Por lo tanto:

Despus, para 2 = 2+ se calcula:

Se observa que v1.v2 = 0 (lo que debe ser cierto segn el paso 2). Entonces |v2| es igual a:

de manera que u2 es igual a:


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Entonces Q es igual a:

Y


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6.6 Formas cuadraticas

PAGINA HOWARD ANTO PAG 336

Ecuacin cuadrtica y forma cuadrtica

i) Una ecuacin cuadrtica en dos variables sin termino lineales es una ecuacinde la forma: ax

2+ bxy + cy

2= d

donde |a| + |b| + |c| es distinto a 0. Esto es, al menos uno de los nmeros a, b y c

es diferente de cero.

ii) Una forma cuadrtica en dos variables es una expresin de la forma:F(x, y) = ax

2+ bxy + cy

2

donde |a| + |b| + |c| es distinto a 0.

Es evidente que las ecuaciones y las formas cuadrticas tienen una fuerte relacin. Secomenzar el anlisis de las formas cuadrticas con un ejemplo sencillo.

Considere la forma cuadrtica siguiente:

F(x, y) = x2-4xy+3y

2. Sean: v = y A =

Entonces:

= (x2 2xy) + (-2xy + 3y2) = x2 4xy + 3y2 = F (x+y)

De esta manera se ha representando la forma cuadrtica F(x, y) mediante la matriz

simtrica A en el sentido de que:

F(x, y) = Av.v

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