4 funcion cuadratica arreglado y modifivado con tutor

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4. FUNCION DE SEGUNDO GRADO

4.1 FUNCIÓN POLINOMIAL – DEFINICIÓN

Sea “n” un entero ≥ 0. La función

f(x) = 0122

1

1... a xa xa xa xa

n

n

n

n+++++

−

−

se llama polinomio de grado n . Los números 1a se llaman coeficientes, n

a ≠ 0 coeficiente dominantey 0a termino constante del polinomio.

Para polinomios de bajo orden concretaremos la notación de los coeficientes así:

Grado 0 : f(x) = a función constante

Grado 1 : f(x) = ax+b función lineal

Grado 2 : f(x) = ax2

+ bx + c función cuadráticaGrado 3 : f(x) = a 3

x +b 2 x +cx+d función cúbica

4.2 FUNCIÓN POLINOMIAL DE SEGUNDO GRADO – FORMA GENERAL

Una función definida por una expresión polinomial de grado 2 se llama función cuadrática en x.

La forma más general de una función cuadrática es:

La función cuadrática mas simple es f (x) = ax2. La grafica de ella servirá como base para trazar la

gráfica de cualquier función cuadrática como f(x) = ax2 + bx + c.

4.3 ESTUDIO DE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO

Obtención de parábolas por traslación

Se puede usar la grafica de f (x) = ax2 como guía para trazar las graficas de otras función cuadráticas.

Traslación vertical

Para representar funciones de la forma f (x) = ax2 +k basta desplazar verticalmente el vértice de la parábola k unidades hacia arriba si k es positivo o hacia abajo si k es negativo.

f(x) = ax2 + bx + c

En la cual “x” es la variable independiente, “y” es la variabledependiente; a,b y c representan constantes y a≠0.



Traslación horizontal

Para representar funciones de la forma y = a(x-h) 2 basta desplazar horizontalmente el vértice de la parábola, h unidades hacia la izquierda si h es positivo o hacia la derecha si h es negativo.

Traslación vertical y horizontal

La grafica de y = a(x-h) 2 +k es congruente de f (x) = ax2, pero esta desplazada h unidadeshorizontalmente y k unidades verticalmente.

El eje de simetría es x=h, el vértice (h,k) es el punto mas alto si a<0 y el punto mas bajo si a>0.

4.4 LA FUNCIÓN y = f (x) = ax2

Sea la función y = f (x) = ax2



• Si a>0, la parábola esta abierta hacia arriba

• Si a<0, la parábola esta abierta hacia abajo

• Si |a|>1, la parábola es mas estrecha que la y = f (x) = x2

• Si |a|<1, la parábola es mas ancha que la y = f (x) = x2 La función es continua

• La función es simétrica respecto al eje “y”, ya que f(x)=f(-x)

• Si a>0, la función tiene un mínimo en el origen, que es el vértice

• Si a<0, la función tiene un máximo en el origen, que es el vértice.

• El eje “y” es el eje de la parábola.

• Si a>0, la función es decreciente para x<0 y creciente para x>0.

• Si a<0, la función es creciente para x<0 y decreciente para x>0.

4.5 LA FUNCIÓN f(x) = ax2 + bx + c. (a≠0)

Transformamos la ecuación f(x) = ax2 + bx + c en la ecuación y = a(x-h) 2 +k



y = a (x2 + xa

b) + c. Sacamos a factor común de los términos con x

y = a (x2 + xa

b+

2

2

4a

b) + c –

a

b

4

2

Sumamos y restamosa

b

4

2

y = a(x +a

b

2) 2 + (c –

a

b

4

2

) Expresamos el cuadrado del binomio

y = (x +a

b

2) 2 +

a

acb

4

42+−

Ya esta en la forma y = a(x-h) 2 +k

Luego el eje de simetría es x = y el vértice está en el punto de abscisa

x = (-a

b

2, -

a

acb

4

42+

). Sea la función f(x) = ax2 + bx + c

• Si a>0, la parábola esta abierta hacia arriba y su concavidad es positiva

• Si a<0, la parábola esta abierta hacia abajo y su concavidad es negativa.

• El eje de la parábola es la recta x =

• El vértice esta en el punto de abscisa x = (-a

b

2, -

a

acb

4

42+

).

• Los puntos de corte con el eje “x” se obtienen resolviendo la ecuación

ax2 + bx + c = 0. Puede haber dos puntos de corte, uno o ninguno, según la

parábola sea secante al eje “x”, tangente a el o no lo corte.

• El punto de corte con el eje “y” se obtiene haciendo x = 0 por tanto, el punto de corte esc(0,c)



4.6 CARACTERÍSTICAS Y ELEMENTOS: VÉRTICE; CONCAVIDAD; AMPLITUD;SIMETRÍA, EJE DE SIMETRÍA

1.Características

Para comprender el comportamiento de la función cuadrática es necesario analizar cada una desus características o elementos importantes tales como: coeficientes de los términos cuadráticos,lineal e independiente, así como los cortes con los ejes, vértice y puntos máximos y mínimos.

1. Análisis del parámetro "a" de la función cuadrática f (x) = ax2+bx+c.

Al término cuadrático (ax2) se le asocia un coeficiente "a" donde este cuando es mayor queuno (a > 1), podemos observar que a medida que este crece el comportamiento de la funciónes comprimirse positivamente hacia el eje de las ordenadas "y".

f(x) = ax 2 si a>1

Si ahora al término cuadrático se le asocia un coeficiente "a" donde este es mayor que cero pero menor que uno (0 < a < 1), podemos observar que a medida que este se hace más pequeño el comportamiento de la función se expande hacia el eje de las abscisas "x".

f (x) = ax 2

si 0 < a < 1



Si al término cuadrático se le asocia un coeficiente "a" donde este es menor que cero (a < 0), podemos observar que a medida que este se hace más pequeño el comportamiento de la

función se comprime negativamente hacia el eje de las ordenadas negativo "- y". f(x) = ax 2 si a < 0

Hasta ahora hemos observado como es el comportamiento de la función cuadrática con untérmino cuadrático, pero que ocurre si además posee un término lineal, ahora su forma será :

f(x) = ax 2 + bx , si el coeficiente del término cuadrático a > 0 la parábola es cóncava haciaarriba y posee un mínimo, pero si a < 0, entonces la parábola es cóncava hacia abajo y posee

un máximo, pero observemos como se comporta la función al agregar el término lineal.2. Análisis del parámetro "b" de la función cuadrática

f (x) = ax2+bx+c.

Cuando b > 0



Cuando b < 0

De las gráficas se observa que cuando b > 0, el desplazamiento de las parábolas es a laizquierda, y cuando el valor de b < 0 el desplazamiento es a la derecha, en ambas situacionesa medida que el valor absoluto de "b" aumenta la ordenada del vértice de la parábola se hacemás negativa. En los dos casos las parábolas coinciden en el origen.

3. Análisis del parámetro "c" de la función cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c.

Ahora se analizara el comportamiento de la función cuadrática cuando el términoindependiente se ve modificado, manteniendo constantes los valores de "a" y "b"

http://www.monografias.com/trabajos11/estadi/estadi.shtml#METODOS

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


http://www.monografias.com/trabajos11/estadi/estadi.shtml#METODOS





En la gráfica se observa que el desplazamiento de las parábolas es vertical, es decir laordenada del vértice se hace más positiva si C > 0 y es más negativa si C < 0; conservandolas características del efecto que proporciona el término cuadrático y el término lineal.

4. Los cortes con ejes cartesianos

Existe un único punto de corte con el eje "y", que es el (0, c)

Los cortes con el eje "x" se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0, pudiendoocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno, depende del discriminante (b2 -4ac).

Intersección con el eje "y": Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x=0, el puntode corte de la parábola con el eje "y" tendrá de coordenadas (0, c).

Intersección con el eje "x": Como todos los puntos del eje "x" tienen la ordenada y= 0, paraver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

5. Discriminante de una función cuadrática.

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tressituaciones distintas:

Si D > 0, donde D = b2 - 4ac, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas yla parábola cortará al eje "x" en dos puntos.

Si D = 0, donde D = b2 - 4ac, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábolacortará al eje "x" en un punto (que será el vértice).

Si D < 0, donde D = b2 - 4ac, la ecuación no tiene soluciones reales y no corta al eje x, Por lo que la parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo, pero sobre el eje "x" o por abajodel eje "x", según sea el caso.

6. Ceros de la función cuadrática, vértice, máximos y mínimos

http://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtml



También llamados "raíces", representa los valores de " x" cuya imagen tiene valor cero, ( x,0). Al ser cuadrática sólo se obtiene, como máximo dos valores, denominados x1 y x2.

Para calcular los ceros de la función cuadrática se aplica la fórmula general ya conocida.

Como una de las características de la parábola es que esta es simétricacon respecto al eje focal.

Cuando la parábola abre hacia arriba, al vértice se le considera el punto mínimo, perocuando abre hacia abajo, es el punto máximo.

7. Gráfica de una función cuadrática: creciente y decreciente.

Para graficar una función cuadrática se debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" yel vértice.

Parábola f ( x ) = x 2 + 5 x + 6

La ordenada al origen es 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, 6) pertenece a la función.

Los puntos de corte con el eje ox son: (-3,0) ; (-2,0)Hallamos el vértice de la parábola:

( x2 + 5 x + 25/4 ) + 6 = y

(x+5/2)^2 +6 – 25/4 = y

(x+5/2)^2 -1/4 = y

V (-5/2, -1/4)

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

La gráfica decrece desde y la gráfica crece desde x = -2.5 hasta +

http://www.monografias.com/trabajos7/imco/imco.shtml

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SIMETRIA Y EJE DE SIMETRIA

Cuando una función “f” tiene la propiedad de f(-x) = f(x), para todos los valores de su dominio , sugráfica es simétrica respecto al eje y, y se llama función par.

4.7 DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES CUADRÁTICASEl dominio de la función cuadrática es el conjunto de todos los números reales. El rango depende de lasconstantes a,b y c. Por ejemplo:

Para la función y = f (x) = ax2 , el rango está formado por todas las y≥0, y el dominio serian todos losreales.

4.8 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS. APLICACIONES

• Si a>0, la grafica es una parábola que se abre hacia arriba y “f” tiene un valor mínimo f(h) =k

• Si a<0, la grafica es una parábola que se abre hacia abajo y “f” tiene un valor máximo f(h)= k.

Aplicaciones* Suponga que se dispone de 60 metros de cerca para cercar un huerto rectangular, uno de cuyos ladosserá la pared de una casa. ¿Con que dimensiones del huerto tendrá este su área máxima?

Solución:

Sea x el ancho del huerto, entonces (60-2x) representa la longitud, y el área A está expresada por:

A(x) = x(60-2x)

A(x) = 60x – 2 x

Para maximizar a A, la pasamos a la forma a(x-h) + k entonces:

A(x) = -2(x – 30x)

= -2(x – 30x + 225)+450

= -2(x-15) + 450

y = f(x) = a(x-h) 2 + k ; a≠0



Por lo tanto el área máxima de 450 metros cuadrados se obtiene cuando las dimensiones son x = 15 m y60-2x = 30m.

* La suma de dos números es 24. Determinar los dos números de tal manera que su producto seamáximo.

Solución:

Sea x uno de los números, como la suma es 24, el otro número es 24-x. Sea p el producto de estosnúmeros.

P = x(24-x)

= -x + 24x

= - (x – 24x + 144)+144

= - (x-12) + 144

El producto tiene un valor máximo igual a 144 cuando x = 12. Por consiguiente los números son 12 y12.

* El departamento de ventas de la empresa TENRAQ ha determinado que, en promedio, se venden 600raquetas de tenis mensualmente a un precio unitario de $100. También han determinado que por cadareducción de $5 en el precio, se venden 50 raquetas más al mes. ¿Con qué precio se obtiene el ingresomensual máximo?.

Solución:

Sea x el número de reducciones de 5$ en el precio de la raqueta. Entonces, 5x es la reducción total, y:

100-5x = precio unitario reducido

También, 50x es el aumento mensual de ventas y:600+50x = número de raquetas vendidas al mes.

El ingreso mensual, R, será el precio unitario multiplicado por el número de unidades vendidas.Entonces:

R = (precio unitario)(unidades vendidas)

R(x) = (100-5x)(600-50x)

R(x) = 60000+2000x-250x

R(x) = -250(x – 8x)+60000

R(x) = -250(x -8x +16)+60000+4000R(x) = -250(x-4) + 64000

Ya que a = -250<0, el ingreso mensual máximo de $64000 se obtiene cuando x = 4. El precio unitariodebería ser 100-5(4); o sea 80$.

* Cada punto Q entre los extremos del segmento OT determina un rectángulo PQRS. Si



x = OP; escriba el área de ese rectángulo como A(x), una función de x. Determine las coordenadas deQ que producen el rectángulo como área máxima.

Solución:

Los triángulos OPQ y OST son semejantes, por lo tanto:

PQ/x = ST/OS = 10/4 o bien PQ/x = 5/2 y PQ = 5x/2

Entonces, el área de PQRS está expresada por:

A(x) = (PQ)(PS)

A(x) = 5x/2(4-x)

Ahora pasamos A(x) a su forma estándar

A(x) = -5/2(x – 4x)

A(x) = -5/2(x – 4x + 4)+10

A(x) = -5/2(x-2) + 10

La grafica de esta función es una parábola que se abre hacia abajo, y que tienen el máximo de 10 para x= 2. Como PQ = 5x/2, el rectángulo de área máxima se tiene cuando x = 2 y y = 5/2(2) = 5.

Esto es, las coordenadas de Q serán (2,5) en ese punto.

4.9 LA PARÁBOLA CUYA ECUACION ES x = a 2 y + by + c

CARACTERISTICAS Y ELEMENTOS

La gráfica de cualquier ecuación cuadrática de la forma x = a 2 y + by + c es una parábola horizontal

que se abre hacia la derecha cuando a>0, o hacia la izquierda cuando a<0.



Estas parábolas se pueden trazar con procedimientos semejantes a los que usamos con las parábolasverticales.

Las ecuaciones x = 2 y y x = (y+2) 2 – 4 no definen funciones de x. Sin embargo, se dice que

cualquier ecuación con dos variables definen una relación. Así todas las funciones son relaciones, perohay muchas relaciones que no son funciones.

Ejemplo:

La parábola x = 2 y + 3 se puede obtener desplazando la parábola horizontal básica 3 unidades hacia la

derecha. El eje de simetría es el eje “x”.

Se indica que la parábola x = a 2 y + by + c no puede ser la gráfica de una función de y.

Una línea vertical pasa por x>0, interseca la gráfica más de una vez, produciendo más de una ordenada.Esta no es una gráfica de una función de x. Ya en este tipo de graficas hablamos de parábolas.



Una parábola se define como el conjunto de todos los puntos P en el plano que están a la mismadistancia de un punto fijo F y de una línea fija D. El punto F se llama foco de la parábola y la línea D essu directriz . Una parábola es, entonces, el conjunto de puntos para los cuales:

d(F,P) = d(P.D)

La figura anterior muestra una parábola. La línea que pasa por el foco y es perpendicular a la directrizD se llama eje de simetría de la parábola. El punto de intersección de la parábola con su eje de simetríase llama vértice V.

El vértice esta a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz.

4.10 ECUACIONES CUADRATICAS ASOCIADAS A UNA FUNCIÓN

ESTUDIAMOS LA FUNCIÓN y = x2 -6x + 8

La parábola esta abierta hacia arriba, ya que a>0.

Vértice y eje de simetría:

Si hacemos x = 0 y sustituimos en la ecuación, obtenemos y = 8.

Buscamos otro valor de x que tenga ordenada 8.

8 = x2 -6x + 8

0 = x2 -6x

0 = x(x-6); x=0 , x=6

Como las parábolas son funciones simétricas respecto a su eje, éste se encontrará en el punto medio delintervalo [0,6], es decir, la ecuación del eje es x=3.



Por tanto, la abscisa del vértice es x=3, y sustituyendo en la ecuación de la parábola obtenemos suordenada:

y = 3^2 – (6)(3)+8 = -1, luego el vértice es V(3,-1).

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje x. Resolvemos la ecuación de segundo grado: x2

-6x + 8 = 0Las soluciones son x = 2 y x = 4. Los puntos de corte serán (2,0)y(4,0)

Con el eje Y. Hacemos x=0. el punto de corte es C(0,8).

BIBLIOGRAFIA

Monografías.com

Algebra -cuarta edición; autor Max Sobel Norbert Lerner



Matemáticas, 4 secundaria, opción b , autor José R. Vizmanos

Sigma matemáticas, secundaria opción a; autor José R. Vizmanos

http://books.google.com.bo/books?id=VfKMGiAftL4C&pg=PA164&lpg=PA164&dq=que+funcion+es+la+parabola%2Bcircunferencia%2Bhiperbola%2Belipse&source=bl&ots=dmpMOxy3VN&sig=_mop7QCmxWabpSIo8Jg8h3A28lY&hl=es&ei=bomhStLKHqif8QaHo6zpDw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9#v=onepage&q=&f=false

4 funcion cuadratica arreglado y modifivado con tutor

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