mat200 guia ejercicios n°4 funcion cuadratica-2.doc

8/17/2019 MAT200 GUIA EJERCICIOS N°4 FUNCION CUADRATICA-2.doc

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TIPO DE ACTIVIDAD: EjerciciosTítulo Actividad: Función Cuadrática

NombreAsignatura:

Algebra Sigla MAT200

Semana Nº: 3 Actividad Nº 4 Lugar Sala de clases

APRN!"#A$S SPRA!%S:

A&rendi'a(e )Resuelve &roblemas relativos al cálculo de imágenes de la *unción cuadrática+

&ara resolver &roblemas en su conte,to laboral-

A&rendi'a(e .Resuelve &roblemas relativos al cálculo de &re/imágenes de la *unción

cuadrática+ &ara resolver &roblemas en su conte,to laboral-

A&rendi'a(e 3Resuelve &roblemas utili'ando la re&resentación grá*ica de la *unción

cuadrática+ &ara resolver &roblemas cotidianos su conte,to laboral-

FUNCIÓN CUADRÁTICA

0na *unción cuadrática es de la *orma cbxax x f y ++== 2)( donde + son coe*icientes

reales 1 - l dominio de la *unción cuadrática son todos los n2meros reales ℜ 4 1 su grá*ica

es una curva llamada 5&arábola6-

ECUACIÓN CUADRÁTICA Y SUS SOLUCIONES

Cuando 1 7 8+ la *unción cuadrática+ se trans*orma en0

2=++ cbxax

+ 9ue corres&onde a la

ecuación de segundo grado o cuadrática4- Para el cálculo de las soluciones o raíces de la ecuación

de segundo grado+ 1 x 1 2 x + se utili'a la siguiente e,&resión:

a

cabb x

⋅⋅⋅−±−

=2

42

!onde las dos soluciones están dadas+ cada una &or:

1

9ue grá*icamente+ re&resentan los &untos en donde la curva interseca al e(e ;-

A Programa de ?atemática-

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NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO

Podemos ver la naturale'a de las raíces de la ecuación con el discriminante+ cab ⋅⋅−=∆ 42 -

• Si 0=∆ + la ecuación tiene dos soluciones reales iguales+ es decir+ -

•

Si 0>∆ + las raíces de la ecuación son reales 1 distintas+ es decir+ -• Si 0


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Eje!"#o

0n &ro1ectil es lan'ado acia arriba desde el suelo- !es&uDs de transcurridos t minutos+ la altura

del &ro1ectil+ en metros+ &or sobre el suelo está dada &or la *unción: t t t h 9113)( 2

+−= -

a4 EuD altura alcan'a el &ro1ectil a los G minutosH

b4 En 9uD momento la altura del &ro1ectil es de IJ metrosH

Desrro##o:

a4 Se 9uiere obtener la altura imagen4 a los G minutos+ es decir+

Reem&la'amos t = 4 en la *órmula:

( ) 1564491413)4(

2

=⋅+⋅−=

hh

Res"$es%: Ka altura a los G minutos será de )=L metros-

b4 Se 9uiere conocer en 9uD minuto &re/imagen4 la altura es de IJ metros-

"gualamos la *unción a IJ 1 se tiene 9ue:

789113

2

=+− t t Se obtiene una ecuación cuadrática a resolver 0789113

2 =−+− t t + &ara encontrar dos soluciones

1t 1

2t -

Kas soluciones &re/imágenes4 de la ecuación se obtienen a travDs de la *órmula cuadrática:

26

6591

26

422591

)13(2

)78()13(49191 2

−

±−=

−

±−=

−⋅

−⋅−⋅−±−

=

t

t

t


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Se&arando las soluciones

Res"$es%: Se tiene+ en este caso+ 9ue ambas soluciones res&onden a la &regunta+ &ues un

valor+ (t 1 =1) corres&onde al momento cuando el &ro1ectil sube 1 el otro+ (t 2 = 6)+ cuando el

&ro1ectil va ba(ando-

I& Res$e#' #os si($ie)%es ejercicios&

)- Ka &ro&agación de cierto virus estival se modela &or la *unción 40001200

2100)( +−= t t t f +

donde )(t f indica el n2mero de contagiados 1 t índica los meses del aMo+ t varía de )

asta ).-

a4 "denti*ica variable de&endiente e inde&endiente de la *unción-

b4 ECuántos contagiados se estima 9ue abrá al *inali'ar el mes de mar'oH

c4 En 9uD mes del segundo semestre del aMo se estima 9ue abrán J88 contagiadosH

.- Ka &ro&agación de cierto virus com&utacional se modela con la *unción t t t f 8)( 2 +−= +

donde )(t f indica el n2mero de com&utadores in*ectados en miles4 1 t indica el n2mero

de días desde 9ue se &ro&agó el virus+ t varía de ) asta J-

a4 "denti*ica variable de&endiente e inde&endiente de la *unción-

b4 ECuántos com&utadores se estima 9ue abrán contagiados al 9uinto díaH

c4 ECuál es la &rimera ve' en 9ue se tendrán ). mil com&utadores in*ectadosH


4

1

26

6591

1

1

=−

+−=

t

t

6

26

6591

2

2

=

−

−−=

t

t


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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRATICA

Re#ci*) e)%re #s r+ces , #os coe-icie)%es .e # -$)ci*) c$.r/%ic

Si1

x 1 2 x son las soluciones o raíces4 de la ecuación 02

=++ cbxax + entonces siem&re se

cum&len las siguientes igualdades:

a

b x x −=+ 21

a

c x x =⋅ 21

Gr/-ic

Ka grá*ica de la *unción cuadrática cbxax x f ++= 2)( corres&onde a una Parábola- Para esbo'ar la

*unción cuadrática se necesita conocer la intersección con los e(es 1 las coordenadas del vDrtice-

I)%ersecci*) co) #os Ejes

Eje Y:

Para determinar la intersección de la &arábola con el e(e + se ace , 7 8 1 se tiene 9ue:

.1 *384 a 8 b 8 c

1 c

Þ = = × + × +

Þ =

!e esta *orma+ el tDrmino inde&endiente c4 de la *unción cuadrática es el valor donde la grá*ica

interseca al e(e - Kuego+ el &unto de intersección de la &arábola con el e(e 8+ c4-

Eje 0:

Para determinar la intersección de la curva con el e(e ;+ se calcula 1 7 8+ obteniendo la ecuación

cuadrática:

.*3,4 a, b, c 8

.a, b, c 8

Þ = + + =

Þ + + =

Al resolver la ecuación se obtienen las soluciones x 1 1 x 2 + donde:

1

Kos &untos 1 x + 84 1 2 x + 84+ corres&onden a los &untos donde la &arábola interseca al e(e ;-


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Coor.e).s .e# V1r%ice:

Kas coordenadas del vDrtice corres&onden al &unto ( , )V x y = de la &arábola+ 9ue &ertenece al e(e

de simetría+ es decir+ la recta 9ue divide simDtricamente a la &arábola en dos ramas-

Se &uede determinar con la siguiente e,&resión:

−−=

a

b f

a

bV

2;

2

!ondea

b x

2−= e

−=

a

b f y

2

Gr/-ic .e $) "r/o#


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II& A TRAV3S DE LA GRÁFICA CONSTRUYA EL 4ODELO CUADRÁTICO Y

RESPONDA&

=- !urante un e,&erimento se midió la tem&eratura de un lí9uido- Al acer el análisis resultó

9ue la variación de tem&eratura estaba dada &or una *unción cuadrática+ donde la variable

x re&resenta el tiem&o en minutos- Seg2n la siguiente grá*ica determine la *unción

cuadrática 9ue modela dica situación-


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I- Ka velocidad m>seg4 9ue &osee una &elota de tenis al ser lan'ada acia el cielo está

determinada &or medio de una *unción cuadrática- Seg2n la siguiente grá*ica determine la

*unción 9ue modela dica situación-


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J- Kos ingresos mensuales en cientos de dólares4 de un em&resario de má9uinas

electromecánicas están dados &or una *unción donde x es la cantidad de má9uinas 9ue se

*abrican en el mes- Seg2n la siguiente grá*ica determine la *unción cuadrática 9ue modela

dica situación-


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m!ui"as


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ANE0O DE E5ERCICIOS

GUIA N67CONOCIENDO LA

FUNCION CUADRÁTICA


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Co) #os si($ie)%es ejercicios .e -$)ci*) c$.r/%ic8 "o.r/s se($ir

"rc%ic).o8 "r or.r #os "re).i9jes es"er.os .e # G$+8

re#cio).os # c/#c$#o .e i!(e)8 "rei!(e) , co)s%r$cci*) .e #-$)ci*) "r%ir .e s$ (r/-ic&

III& Res$e#' #os si($ie)%es ejercicios

- Para la construcción de una escultura metálica se calcula 9ue el &orcenta(e de ierro 9ue

contenga determinará su resistencia a sismosQ si tiene mu1 &oco 9uedará blando 1 *rágil+ 1 si

tiene muco 9uedará rígido 1 9uebradi'o- 0na *unción 9ue modela esta situación es

25

2

250

1)( 2 ++−= x x x f + donde )( x f indica la intensidad del sismo 9ue &uede so&ortar

medida en grados Ricter4 1 , indica el &orcenta(e de ierro-

a4 "denti*ica la variable de&endiente e inde&endiente de la *unción-

b4 EuD intensidad so&ortará si contiene un I= de ierroH

c4 EuD &orcenta(e mínimo de ierro debe contener &ara so&ortar un sismo de J grados

RicterH

)8- l *uncionamiento de cierta má9uina me'cladora de&ende de la tem&eratura ambiente+ de

acuerdo con la *unción4

375

4

5

16

1)(

2 ++−= x x x f + donde )( x f mide el &orcenta(e de e*iciencia

1 , indica la tem&eratura+ medida en grados Celsius-

a4 "denti*ica la variable de&endiente e inde&endiente de la *unción-

b4 EuD e*iciencia tendrá a los .8OCH

c4 EuD tem&eratura má,ima &ermite una e*iciencia del J8H


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).- n el semá*oro de la es9uina de Conca 1 Toro con Trinidad+ todos los días se ubica un

malabarista- 0n día lan'ó una &elota acia arriba+ alcan'ando una altura h medida en metros+

seg2n un tiem&o , medido en segundos- Seg2n la siguiente grá*ica determine la *unción

cuadrática 9ue modela dica situación-


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LISTA DE COTE5O GU;A N67:FUNCIÓN CUADRÁTICA

A continuación se te &resenta una lista de actividades 9ue debes llevar a cabo+ &ara &oder

com&letar todos los &asos del desarrollo de un e(ercicio-

sta lista+ te &ermitirá revisar si lo 9ue estás generando como desarrollo tiene todos los &asos 9ue

serán considerados en la evaluación:

C#c$#r # i!(e) .e $) F$)ci*) C$.r/%ic:

• Clasi*ica la variable de&endiente imagen4 en la *unción cuadrática-

• Clasi*ica la variable inde&endiente &re/imagen4 en la *unción cuadrática-

• Reem&la'a los valores numDricos asignados en la *unción cuadrática-

• %btDn el valor de la imagen de la *unción &ara el valor dado-

• "nter&reta el valor de la imagen de la *unción en el conte,to del e(ercicio-

• Redacta una res&uesta verbal+ 9ue &ermita inter&retar el valor de la imagen en el conte,to de la

*unción-

C#c$#r # "rei!(e) .e $) F$)ci*) C$.r/%ic:

• Clasi*ica la variable de&endiente imagen4 en la *unción cuadrática-

• Clasi*ica la variable inde&endiente &re/imagen4 en la *unción cuadrática-

• "guala la *unción al valor asignado+ *ormando una ecuación cuadrática+ &ara calcular la &re/

imagen de esta-

• %btDn el valor de la &re/imagen de la *unción &ara el valor dado-

• Reem&la'a los coe*icientes numDricos en la e,&resión 9ue &ermite calcular los valores de las

soluciones-

• "nter&reta el valor de la &re/imagen de la *unción en el conte,to del e(ercicio-

• Redacta una res&uesta verbal+ 9ue &ermita inter&retar el valor de la &re imagen en el conte,to

de la *unción-


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Co)s%r$ir # F$)ci*) C$.r/%ic8 "r%ir .e s$ (r/-ic:

• Reconoce los &untos de intersección de la &arábola soluciones de la *unción cuadrática4 con

res&ecto al e(e ;-

• Reconoce de la grá*ica el valor de 5c6+ 9ue corres&onde a la intersección de la &arábola con el e(e

-• Reem&la'a las soluciones de la *unción cuadrática en la e,&resión 9ue &ermite calcular los

coe*icientes numDricos 9ue *altan-

• Plantea algebraicamente la *unción cuadrática+ a &artir de los valores obtenidos en la *orma

general-


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SOLUCIONES

)- a4 ariable de&endiente: n2mero de contagiados- ariable inde&endiente: meses del aMo-b4 Terminado mar'o abrán )-388 contagiados-c4 n el mes de agosto+ se tendrán J88 contagiados-

.- a4 ariable de&endiente: n2mero de com&utadores in*ectados- ariable inde&endiente:

n2mero de días en 9ue se &ro&agó el virus-

b4 Al 9uinto día abrán )=-888 com&utadores contagiados-c4 Ka &rimera ve' 9ue se tendrá a ). mil com&utadores in*ectados será el día .-

3- a4 ariable de&endiente: n2mero de ilogramos de *ruta &roducidos- ariable

inde&endiente: n2mero de árboles 9ue se &lantaron-

b4 Se estima 9ue se &roducen I8-888 ilogramos-c4 Se deben &lantar como mínimo .88 árboles-

G- a4 ariable de&endiente: grados Celsius- ariable inde&endiente: meses del aMo-

b4 Se estima 9ue en mar'o la tem&eratura mínima será de = OC-c4 Kas eladas comen'arán en abril-

=- 8=c + 21 = x + 42 = x + 86)( 2 +−=⇒ x x x f

L- 10=b + 01 = x + 102 = x + x x x f 10)( 2 +−=⇒

I- 4=c + 41 = x + 42 = x + 424

1)(

2 +−=⇒ x x x f

J- 100=b + 01 = x + 502 = x + x x x f 1002)( 2 +−=⇒

- a4 ariable de&endiente: "ntensidad del sismo- ariable inde&endiente: &orcenta(e de

ierro-b4 So&ortará una intensidad de asta += grados Ricter-c4 !ebe contener un mínimo de )J+3J a&ro,- de ierro-

)8- a4 ariable de&endiente: Porcenta(e de e*iciencia- ariable inde&endiente: tem&eratura en

grados Celsius-b4 A los .8 ºC tendrá una e*iciencia del 3+I=-c4 Permite una tem&eratura má,ima de .I+ OC a&ro,-


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