Tipos de Función

 

Recapitulemos sobre el tema Funciones:

Intuitivamente, la palabra función se refiere a una correspondencia de un conjunto con otro. Por ejemplo:

Considera un conjunto de estudiantes (X) y un conjunto de edades (Y), en que a cada estudiante le

corresponde un número que es su edad en años.

 

Estudiante (Conjunto X)

Origen

Edad (Conjunto Y)

Imagen f(x)

José 19

María 18

Manuel 21

Soledad 18

Alberto 20

 

En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipo de asociación se le

llama función.

Recordemos la definición:

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto

de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único

elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito).

De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor

de la primera corresponde un único valor de la segunda.

En el ejemplo anterior el dominio es {José, María, Manuel, Soledad, Alberto} y el recorrido es {18, 19, 20,

21}.

La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los

elementos de los dos conjuntos.

Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f asocia

con x se denota simbólicamente f(x), y se llama la imagen de x bajo la función f. En el ejemplo anterior

f(Soledad) = 18, f(Manuel) = 21. También se conoce la imagen como el valor de la función f en x.

Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla de valores (como el ejemplo

anterior), mediante unaexpresión algebraica o, como veremos luego, mediante una gráfica.

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce

como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a >

0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Ver: Función cuadrática y su representación gráfica

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

f(x) = x2 

representa una

parábola que abre

hacia arriba con

vértice en (0,0).

 

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 18_2006

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si

para todo x en el dominio, se tiene:

para los polinomios f(x) y g(x).

Ejemplos:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función

racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la

división por cero no está definida).

Función  de potencia

Una función de potencia es toda función de la forma  f(x) = xr, donde r es cualquier número real.

Las funciones f(x) = x4/3 y  h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia

Ver, además Función raíz cuadrada

Ejercicios y ejemplos con funciones en general:

Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:

a) Su cuádruplo.

     La función es: f (x) = 4x.

b) Un número 2 unidades mayor.

     La función es: f (x) = x + 2.

c) Su mitad menos 1.

     La función es: f (x) = x/2 − 1.

d) El cuadrado del número que es una unidad menor.

     La función es: f (x) = (x − 1)2

Veamos algunos otros ejemplos de funciones:

1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada

por la ley de Boyle-Mariotte:

donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas  y c es una constante de

proporcionalidad.

Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del

volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor

del volumen.

2) El área  A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:

Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.

 

3) Dada la función  f(x) = 5x2 + 2

Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de un elemento bajo la función  f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la

variable, así para  x = 2

                                            f(2) = 5(2)2  + 2

                                            f(2) = 22

por lo tanto cuando x = 2, se tiene que  f(2) = 22.

 

Un problema resuelto

El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.

a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.

b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?

c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Veamos:

a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x.

b) x = 50  entonces

 f (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25

Hay que pagar 25 dólares.

c) f (x) = 53  entonces

15 + 0,2x = 53 entonces x = 190

Se han recorrido 190 km.

Función cuadráticaFunción cuadrática

Gráfica de Función cuadrática

Definición

Tipo Curva parabólica

Dominio

Imagen

Cálculo infinitesimal

Derivada

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

 con a ≠ 0.1

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la

forma:   donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero, de otro modo resultaría una de primer grado que algunos llaman función lineal; otros,función afín.2 Este tipo de funciones tiene como característica que cuando a>0 el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, es un mínimo; y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se

abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida una una familia de funciones cúbicas.3

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser

mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la

ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la

ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación

es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función

cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de

una función cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo

de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Parábola del

puente, una

función

cuadrática.

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola

cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o

brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores

que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x  para los

cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término

constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la

fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la

parábola con el eje de las X (abscisas).

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones

cuadráticas.

Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Ver: PSU: Matemática;

Pregunta 34_2010

Pregunta 18_2006

 

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las

ordenadas lo marca el valor de c (0, c).

Veamos:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

 

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje

de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Eje de simetría o simetría

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir,

intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad

de la parábola.

Su ecuación está dada por:

Donde  x1  y  x2  son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.

De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

 

Vértice

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de

intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría  y la ordenada corresponde al valor

máximo o mínimo de la función,  según sea la orientación de la parábola (recuerde

el discriminante)

Funciones cuadráticas

 

 

 

Si hay un tema que podemos llamar "muy importante" en todos los cursos de matemática, es este.

DEFINICIÓN: Llamaremos función cuadrática a las funciones polinómicas de segundo grado, de dominio real y codominio real.

      y= f(x) = ax²+bx+c  con a  0.

Tal como lo vimos en el tema funciones y en función lineal, si no se dice lo contrario, suponemos, o convenimos, que estamos trabajando con todos los números reales.

En lenguaje matemático, nuestro dominio es el conjunto de los números reales. 

Ejemplos de funciones cuadráticas:  

A(x) = 3x²+5x-8      P(x) = -2x²-7x+1     C(x) = x²-1       D(x) =  -x²          miles de ejemplos

Gráfica:

Cada punto tiene dos componentes, (x,y).  A la x la

llamamos abscisa;  a la y la llamamos ordenada. ¿Cómo  se ubica un punto en un par de ejes perpendiculares (tambien llamados ortogonales) ?

A cada valor de los elementos del dominio, llamados x, le

corresponde un único valor en el codominio, y.  La

pareja (x,y) es el punto que colocamos en el gráfico. Los

valores de y=f(x) los obtenemos como resultado de hacer las operaciones en la función cuadrática.

Por ejemplo,si nuestra función cuadrática es A(x) = 3x²+5x-8, entonces cual es el correspondiente del -4 ?   Al  -4  le corresponde  A(-4). 

                                                           A(-4) = 3(-4)²+5(-4)    -8

                                                           A(-4) = 3(16)    -20       -8

                                                           A(-4) =   48       -20       -8  =   20

Entonces, en resumen, al -4 le corresponde el 20.  El punto es el  (-4,20).

Para hacer la gráfica, podemos empezar haciendo una tabla de valores y vamos colocando los puntos obtenidos en el gráfico. Ahora lo veremos un poco más abajo.

Este será nuestro primer método para hacer la representación gráfica. La forma obtenida se llama Parábola.

La representación gráfica de funciones polinómicas de segundo grado

son parábolas.

Es importante revisar las operaciones, las cuentas. Hay que tener cuidado con los paréntesis.

Por supuesto que sólo podemos representar en el gráfico unos pocos puntos. Aunque hagamos 975  puntos, igual serán unos pocos puntos, considerando losinfinitos puntos que tiene la parábola, función de dominio real y codominio real.

Los números reales son infinitos. Entonces siempre podemos representar sólo unos pocos puntos.

Podemos imaginarnos como quedaría la forma completa. Basta con intentar completar esos pocos puntos que hicimos, con una linea continua. Házlo en tu cuaderno.

Ahora que ya "hicimos" unas cuantas gráficas de funciones cuadráticas, podemos intentar responder algunas preguntas;

esto es, hagamos algunas actividades.   También puedes volver atras para ayudarte a responderlas. Y también puedes ir a algunos libros para ver las respuestas.    

Para empezar, ¿cómo podrías definir la Concavidad ?   Mira las gráficas siguientes.

En las funciones cuadráticas podemos distinguir entre las que tienen concavidad positiva y las que tienen concavidad negativa. En ambas encontramos un punto extremo, llamado vértice, que puede ser el máximo o el mínimo de la función. Además estas funciones pueden tener, o no, raices. Veamos los diferentes casos con ejemplos.

Actividad 1) Lo primero que se puede observar al ver las diferentes gráficas de las funciones cuadráticas es que hay dos

grandes clases, segun que su concavidad sea+ o —.

¿Esto de que depende ? Si prestas atención, podrás ver que hay una relación entre la concavidad  y el signo del coeficiente principal, a, que es el de mayor grado.  

y=f(x)= ax²+bx+c  

Buscamos entonces la relación entre la concavidad y el signo de "a". 

Actividad 2) Otro aspecto interesante de las funciones cuadráticas es que todas, repito, todas, tienen un sólo extremo. Ese extremo será un máximo si el signo de "a"

es       y es un mínimo si el signo de "a"  es  

Trata también de buscar la relación que hay entre la absisa del extremo y los valores de a, b y c.  Para hacerlo,

puedes utilizar las graficas de las parábolas que ya usamos antes. Es este un trabajo de investigación individual.

En resumen:

Signo

de a Concavidad El extremo es un ....

La abscisa del extremo es:

+ + mínimo -b/2a

— — máximo -b/2a

Un ejercicio resuelto aquí

Y ahora, para terminar, tenemos que ver como hacemos para calcular las raices de una función cuadrática. Pero, ¿que son las raices ?

Definición : Las raices son los valores de los elementos del dominio que hacen que la imagen de la función valga cero. Tratemos de explicar esto.  Sea  f(x)= x²-6x+5

Investiguemos: ¿ el número 7 será raíz?

f(7)=(7)²-6.(7)+5 , entonces f(7) = 49-42+5 , luego f(7)=12,  no es cero,   7 NO es raíz.

¿ el número 4 será raíz?

f(4)=(4)²-6.(4)+5 , entonces f(4) = 16-24+5 , luego f(4)=-3,  no es cero, 4  NO es raíz.

¿ el número 5 será raíz?

f(5)=(5)²-6.(5)+5 , entonces f(4) = 25-30+5 , luego f(5)= 0,  es cero,  5  SI es raíz.

¿Tendrá otra raíz?  ¿ investiguemos con el número 1 ?

f(1)=(1)²-6.(1)+5 , entonces f(1) = 1-6+5 , luego f(1)=0,  cero,   SI, 1 también es raíz.

Otra definición:  µ es raíz de f(x)  si y sólo si   f(µ) =

0   

Por ejemplo,  -15 es raíz de f(x) si y sólo si  f(-15) = 0   

¿Pero cómo haremos para calcular las raices de una función cuadrática cualquiera?  ¿Tendremos que ir tanteando, probando ?   La verdad, no.

Para resolver ecuaciones de segundo hay varios métodos. Uno

de ellos, un método geométrico fue inventado por Al-Kwrismi hace apenas 1200 años.

Existe otro método, una fórmula descubierta por Bháskara, hace.....10 años? ......100 años? ........1000 años ?  Si te interesa

saber quién fué Bháskara, su nacionalidad, y cómo se demuestra su fórmula, puedes ir a enlaces.

Lo que ha descubierto, o mejor dicho, inventado, Bháskara, es un método para hallar las raices de una función cuadrática, si es

que tiene raices. DISCRIMINANTE: En la fórmula de Bháskara aparece la raíz cuadrada del término b²-4.a.c  que lo usaremos mucho.   A este término se le llama discriminante, porque no ayuda a discriminar si la función cuadrática tendrá o no raices reales. Vamos ahora a ver como se hace esto.   ¿Cuándo existe una raíz cuadrada?  ¿Siempre se puede hacer esta operación? Dicho de otra forma, ¿a cuáles números se les puede calcular la raíz cuadrada?

Como en la fórmula de Bháskara aparece una raíz cuadrada, ésta se podrá hacer siempre que el número al que se la apliquemos sea positivo, o cero.

Veamos ejemplos:

Entonces, en resumen, ¿cuándo se puede hacer una raíz cuadrada?

DISCRIMINANTE:   ¿cómo se usa?  ¿para que sirve?

Definición cuadratica

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: 

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

f(x) = x 2 f(x) = -x 2

Obtención del vértice de una parábola

El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.Como toda función cuadrática pasa por el punto (0,c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función.

Intersección de la parábola con los ejes

Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c) 

Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax 2   + bx + c = 0 .

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

i. Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos.

ii. Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).

iii. Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales yla parábola no cortará al eje OX.

Resumen 

Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2. Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o

abajo. Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo. Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c) Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx +

c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

1. Definición de la funciónRaízCuadradaEs la función donde un número multiplicado por sí mismo te da el valor dado.La representación de “Raíz Cuadrada de x” es: F (x) =

2. Definición de la funciónRaízCuadrada …Su dominio son todos los números reales positivos [0, ).El número del radical nunca puede ser negativo porque no sería una función de raíz cuadrada. En el siguiente ejemplo se muestra el porque el número dentro del radical no debe ser negativo:Esto es debido a que un número negativo da por resultado un número imaginario.

3. GráficaEstaesunarepresentacióngráfica de F(x)= La tabla de valoresrepresenta los valores de la variable dependiente e independiente. Dominio: {x/x 0} (todos los númerosreales)

4. Función de la RaízCuadrada con aplicaciones en la FísicaEn muchosejercicios se terminasacando la raíz cuadradaparapoderresolverlo.Hay muchas relaciones en la física.

5. Función de la RaízCuadrada con aplicaciones en la FísicaMovimiento en aceleración constante

La a equivale a aceleraciónLa t equivale a tiempo

6. FunciónRaízCuadrada con aplicaciones de FísicaEsta fórmula es utilizada para sacar el periodo de un péndulo.La T representa el tiempo.La l representa la longituddel péndulo.La g representa la aceleración gravitacional que equivale a 32.2 pies ó 9.8(metros)

7. FunciónRaízCuadrada con aplicaciones de FísicaPeriodo de la oscilación de un resorte.La T representa el periodo del resorte.La k representa la constante del resorteLa m representa la masa colgada del resorte.

8. FunciónRaízCuadrada con aplicaciones de FísicaEsta fórmula se utiliza para sacar la tensión de las cuerdas de una guitarra.La V representa la velocidad de propagación de una onda en una cuerda.La T representa la tensión de la cuerda.La D representa la densidad lineal de la masa.

9. FunciónRaízCuadrada con aplicaciones de QuímicaEn la Química se utiliza en las relaciones cuadráticas de equilibrio químico.

10. Ventajas y Desventajas de la Función Raíz Cuadrada

11. La función raíz cuadrada en el diario vivirEsta función en el diario vivir no es común.Es utilizada en toda profesión relacionada con la ciencia ó matemáticas.

http://es.slideshare.net/zadrovet/funcin-raiz-cuadrada

Función raíz cuadrada

 

Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma:

cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el

valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada.

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos

de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría  de la media parábola es horizontal (paralelo

al eje de las abscisas).

El gráfico de la función raíz cuadrada  es:

 

A este gráfico le podemos aplicar traslaciones horizontales, hacia la derecha si hacemos x − 1, y hacia de

izquierda si hacemos x + 1.

Por ejemplo, el gráfico de   muestra que  se ha trasladado una unidad hacia la

derecha:

 

Veamos otro ejemplo: Traslado tres unidades hacia la izquierda 

 

Su grafica es:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funcion_raiz_cuadrada.html