DETERMINANTES

ESQUEMA DE CONTENIDOS

INTRODUCCIÓN

El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de

matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de

ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Cramer), discutir la existencia de solución de sistemas de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teorema de

Rouché Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores (lo cual, entre ot ras

cosas, nos permitirá identificar posibles bases de un espacio vectorial). Además, la interpretación geométrica de los determinantes nos permite calcular, de forma sencilla, áreas y volúmenes de

determinadas figuras geométricas, realizar productos vectoriales, y hallar las ecuaciones de un plano

en el espacio.

Los campos de aplicación de la teoría de los determinantes y, en general, de la teoría de matrices son

muy amplios, y abarcan desde las más clásicas aplicaciones en las áreas de física, economía, e

ingeniería hasta aplicaciones más recientes como la generación de gráficos por ordenador, la teoría de la información [W1], y la criptografía.

OBJETIVOS

• Aprender a calcular determinantes de todos los órdenes.

• Conocer las propiedades de los determinantes.

• Comprobar cuáles son las aplicaciones de los determinantes.

Determinantes

Definición Propiedades

Cálculo

Aplicaciones

Independencia Lineal de Vectores

Cálculo de Á reas y Volúmenes

Regla de Cramer

Cálculo Matriz Inversa

Por la definición Por fórmulas

Con Mathcad

• Introducirse en el uso del Mathcad para trabajar con determinantes.

Definición de determinante

Dados los números 1,2,3,....n existen n! formas distintas de ordenarlos. Cada una de dichas ordenaciones se llama permutación. El conjunto de todas las permutaciones se representa por

Pn y la permutación (1, 2, 3, ..., n) se llama permutación principal.

Por ejemplo, el conjunto {(1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1)} contiene las 6 permutaciones diferentes de la terna (1 2 3).

Diremos que dos elementos de una permutación forman una sucesión si están colocados en el

mismo orden que en la permutación principal. En caso contrario, diremos que forman una inversión.

Por ejemplo: (2 3 1 4 5 6) tiene dos inversiones (nº de pasos a realizar para obtener la permutación

principal).

Llamaremos signatura de una permutación al valor (-1)λ donde λ es el número de inversiones de dicha permutación.

Se define el determinante de una matriz cuadrada A, denotado por A o por det(A), como:

Cálculo de determinantes

Determinantes de orden 2 (asociados a matrices 2x2)

Determinantes de orden superior a 3 (asociados a matrices nxn con n>3)

En el caso de determinantes de orden superior a 3 (es decir, asociados a matrices de tamaño nxn

con n > 3), la expresión resultante tiende a complicarse, por lo que recurriremos al método de desarrollo por adjuntos para su cálculo.

Primero de todo, fijémonos en la disposición de signos siguientes (similar a las casillas blancas y negras

en un tablero de ajedrez):

Para calcular el determinante de una matriz 4x4 (o superior) se debe hacer:

1. Elegir aquella fila o columna que tenga el mayor número de ceros (si ninguna línea tiene ceros,

se coge una línea cualquiera).

2. Cada uno de los elementos de la línea dará lugar a un sumando, el cual se obtendrá como se

explica en el paso siguiente.

3. Para cada elemento de la línea seleccionada, éste se multiplica por su correspondiente

determinante adjunto (aquel determinante resultante de eliminar la fila y la columna a las que

pertenece el elemento seleccionado). A dicho adjunto le precederá el signo que corresponda a la posición ocupada por el elemento seleccionado (según la tabla de signos arriba indicada).

Ejemplo matriz 5x5:

Propiedades de los determinantes [W3]

Para el cálculo de algunos determinantes, puede ser muy útil recurrir a algunas de las siguientes

propiedades:

DETERMINATE DE UNA MATRIZ 2x2, 3X3 y nxn

EJERCICIO I

Hallar el determinante de las siguientes matrices:

1) 12

31

A

2) 35

13

A

3) 46

23B

4) qp

nmC

CÁLCULODE DETERMINANTES

Método de Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemát ic o francés que

establec ió una regla para c alc ular determinantes de orden 3.

Los términos c on signo + están formados por los elementos de la

diagonal princ ipa l y los de las diagonales paralela s c on su

c orrespond iente vért ic e opuesto.

Los términos c on signo − están formados por los elementos de la

diagonal secundaria y los de las diagonales paralela s c on su

c orrespond iente vért ic e opuesto.

Ejemplo

Calcula, aplicando la regla de Sarrus, el valor de los siguientes determinantes:

a)

;

b)

;

c)

DETERMINANTE DE CUALQUIER ORDEN

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante

Está formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.

Seguiremos los siguientes pasos:

1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la

columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos yoperaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna

línea paralela ).

2. Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno

de sus elementos.

3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

= 2(-58)

MATRIZ INVERSA

Matriz adjunta método de transformaciones de gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de

forma que este sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos

los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

2

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

EJERCICIOS

Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices.

1)

43

12 2)

97

32 3)

511

832

521

4)

471

642

853

5)

356

344

122