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DETERMINANTES

CONTENIDO

2.1 Definiciones. Propiedades2.2 Ejercicios2.3 Métodos para el desarrollo de un determinante2.4 Ejercicios2.5 Producto de determinantes. Determinante de Vandermonde2.6 Ejercicios

2.1 DETERMINANTES. PROPIEDADES

Es evidente que una regla que asocie a cada matriz un número concreto definirá una función de valores numéricos de las matrices. Una de las funciones con valores numéricos más importante enttre las que se definen para laas matrices cuadradas es la función determinante. Esta función ha sido objeto de un estudio exhaustivo durante más de 200 años. El hecho más asombroso de la historia de los determinantes es que el concepto de determinante se haya adelantado más o menos 100 años al concepto de matriz. En realidad, hasta principios de este siglo, ambos conceptos se confundían.

Si designamos los n primeros elementos del conjunto de los números naturales, existe una permutación ordinaria de dichos elementos que se denomina permutación fundamental o principal, la cual corresponde a la sucesión ordenada y creciente de los números naturales; entonces, la permutación fundamental viene dada por 1 2 3 ... n. Se dice que dos elementos de cualquiera de las n! Permutaciones posibles forman inversión cuando se suceden en un orden distinto al que presentan en la permutación fundamental; así, por ejemplo, en la permutación 2 3 1 4, los pares de elementos {2, 1} y {3, 1} forman inversiones. Si todos los pares de elementos forman inversión, es decir, si todos los elementos están colocados en orden contrario al natural, se trata de ua permutación inversa, como 4 3 2 1. La clase de una permutación viene dada por la paridad del número total de inversiones que existan entre cada dos elementos de la permutación; así, una permutación es de clase par o de clase impar, según sea par o impar dicho número de inversiones. Al cambiar entre sí de lugar la posición de dos elementos de una permutación se ha originado una transposición.

TEOREMA 2.1.1Si en una permutación arbitraria se efectúa una transposición, la permutación cambia de clase.

DEMOSTRACION En efecto, si se verifica la transposición entre dos elementos consecutivos se origina un aumento o una disminución en el número total de inversiones de la permutación, según que dicho par de elementos estuvieran o no en el orden natural previamente establecido; por otra parte, no existen más variaciones en el número total de inversiones, ya que tanto los elementos anteriores como los posteriores a los que se transponen siguen teniendo respecto a los elementos del par transpuesto la misma posición relativa que

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tenían antes de la transposición. Si entre los elementos que se transponen existen otros k elementos intercalados, para intercambiarlos de lugar basta hacer avanzar k + 1 lugares al elemento más retrazado, lo que equivale a efectuar k + 1 transposiciones y, a continuación, debe hacerse retroceder k lugares el elemento más avanzado, lo que representa otras k nuevas transposiciones, con lo que el número total de transposiciones efectuadas asciende a k + 1 + k = 2k + 1, que es un número impar, siendo, por tanto, impar el número de cambios de la permutación original; la permutación debe cambiar de clase.

Finalmente, se puede probar fácilmente que es posible obtener las n! Permutaciones del conjunto {1, 2, ..., n} a partir de la permutación principal y cambiando, para formar una nueva permutación, dos elementos de la anterior, así: 1 2 3, 1 3 2, 3 1 2, 3 2 1, 2 3 1, 2 1 3, son las 3! = 6 permutaciones de {1, 2, 3}; por tanto, como se cambia de clase al conseguir una nueva permutación, entre las n! permutaciones posibles existen ½ n! de clase par y otras de clase impar.

DEFINICIÓN 2.1.1Formados todos los productos posibles de n elementos elegidos entre los n2 de la matriz dada, de modo que en cada producto haya un factor de cada fila y uno de cada columna, y anteponiendo a cada producto el signo + o el -, según que las permutaciones que indican las filas y las columnas sean de la misma o distinta clase, el polinomio que tiene como términos todos los productos así formados con sus signos correspondientes, se llama determinante de la matriz dada. Es decir, para el conjunto de las matrices cuadradas de orden n se puede establecer una aplicación inyectiva de forma que a cada matriz A corresponda una función escalar de sus elementos y se representa escribiendo ésta entre barras:

Det(A) = A.

DEFINICIÓN 2.1.2Se dice que dos determinantes son iguales, si al ser evaluados ambos dan el mismo número.

La definición aceptada permite dasarrollar cualquier determinante, pero en la práctica no debe utilizarse directamente para los de orden superior a tres.

DEFINICIÓN 2.1.3El valor del determinante de una matriz

A =

de 2 x 2 se define mediante la expresiónDet(A) = a(1, 1)a(2, 2) – a(1, 2)a(2, 1).

Un determinante de segundo orden es un número que se calcula a partir de los cuatro elementos de una ordenación cuadrangular.

EJEMPLO 2.1.1Evaluar el determinante de la siguiente matriz

A =

SOLUCION

INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL JOE GARCIA ARCOS

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DETERMINANTES

Evaluamos el determinante de la matriz A utilizando la correspondiente definiciónDet(A) = (a2 + ab + b2)(a - b) - (a2 - ab + b2)(a + b) = a3 - a2b + a2b - ab2 + ab2 - b3 - a3 - a2b + a2b + ab2 - ab2 - b3

= - 2b3.

EJEMPLO 2.1.2Demostrar que, siendo a, b, c y d reales, las raíces de la ecuación

= 0.

Serán reales.SOLUCION

= (a - x)(b - x) - (c + id)(c - id) = 0

ab - ax - bx + x2 - c2 + icd - icd + i2d2 = 0ab - ax - bx + x2 - c2 - d2 = 0 x2 - (a + b)x + (ab - c2 - d2) = 0

x1,2 = = .

Como (a - b)2 + 4(c2 + d2) 0, entonces las raíces son reales.

DEFINICIÓN 2.1.4El valor del determinante de una matriz

A =

de 3 x 3, se define de la siguiente maneraDet(A) = a(1, 1)a(2, 2)a(3, 3) + a(1, 2)a(2, 3)a(3, 1) + a(1, 3)a(2, 1)a(3, 2) –

- a(1, 3)a(2, 2)a(3, 1) – a(1, 1)a(2, 3)a(3, 2) – a(1, 2)a(2, 1)a(3, 3)Un determinante de tercer orden es un número que se calcula a partir de los elementos de una

ordenación cuadrangular de 3 x 3. Obsérvese que el primer término está compuesto por los elementos de la diagonal principal; y cada paralela a ella, con el elemento del vértice opuesto, compone otro término con signo +. Análogamente se deducen los otros tres que llevan signo -, partiendo de la diagonal secundaria. Esta regla muy útil se llama regla de Sarrus.

EJEMPLO 2.1.3Evaluar el siguiente determinante:

A = .

SOLUCIONHaciendo uso de la definicion correspondientes evaluamos el determinante la matriz A: Det(A) = (a + x)(b + x)(c + x) + x3 + x3 - x2(b + x) - x2(a + x) - x2(c + x)

= cx2 + c(a + b)x + abc + x3 + (a + b)x2 + abx + 2x3 - x2(b + x + a + x + c + x)= cx2 + acx + bcx + abc + x3 + ax2 + bx2 + abx + 2x3 - bx2 - x3 - ax2 - x3 - cx2 - x3

= (ac + bc + ab)x + abc.


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DETERMINANTES

A continuación enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades mas importantes de los determinantes.

TEOREMA 2.1.2El valor de un determinante no varía si se sustituye cada elemento por su conjugado, es decir, si se cambian las filas por columnas, y éstas por aquéllas, sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una.

DEMOSTRACIONEn efecto; todo término del primer determinante está formado por n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, luego pertenece también al segundo determinante. Las dos permutaciones que indican filas (columnas) en el segundo determinante, son las mismas que indican las columnas (filas) en el primero, luego el signo de dicho término en ambos determinantes es + o -, según que ambas permutaciones sean de la misma o distinta clase.

Al multiplicar cada elemento de la i-ésima fila o de la j-ésima columna por un número r, Det(A) queda multiplicado por r. Consecuentemente, si cada elemento de una matriz A de orden n x n se multiplica por un número k, entonces Det(A) queda multiplicado por rn.

TEOREMA 2.1.3Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un mismo número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

DEMOSTRACIONSupongamos que b(j) = ra(j), mientras que b(k) = a(k) para k j. Entonces, en particular, b(1, j) = ra(1, j). Si k j, B(1, k) se obtiene a partir de A(1, k) multiplicando una columna por r y como B(1, k) y A(1, k) son matrices (n – 1) x (n – 1), tenemos que

Det(B(1, k)) = r Det(A(1, k)).Por otra parte, B(1, j) = A(1, j) y b(1, k) = a(1, k) si k j. Por tanto, para todo k,

b(1, k)Det(B(1, k)) = r a(1, k)Det(A(1, k)).Por tanto,

Det(B) = = = r Det(A).

EJEMPLO 2.1.4Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad:

= mnp .

SOLUCIONExtraemos m de la primera fila de la matriz, n de la segunda fila y p de la tercera fila. Es decir

= m = mn = mnp .


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DETERMINANTES

En el teorema siguiente podemos ver que un intercambio de dos filas o dos columnas es una matriz de orden n x n cambia el signo del determinante.

TEOREMA 2.1.4Si B se obtiene a partir de A intercambiando dos filas (o dos columnas) adyacentes sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una, entonces el valor absoluto del determinante no varía, pero cambia su signo.

DEMOSTRACIONSupongamos que A y B son iguales, excepto que a(j) = b(j+1) y a(j+1) = b(j). Si k j y k j+1, tenemos que b(1, k) = a(1, k) y Det(B(1, k)) = -Det(A(1, k)) por la hipótesis de inducción, de modo que

(-1)k+1b(1, k)Det(B(1, k)) = -(-1)k+1a(1, k)Det(A(1, k))Por otra parte, b(1, j) = a(1, j+1), B(1, j) = A(1, j+1), de modo que

(-1)j+1b(1, j)Det(B(1, j)) = (-1)j+1a(1, j+1)Det(A(1, j+1)) = -(-1)j+2a(1, j+1)Det(A(1, j+1)).De la misma manera,

(-1)j+2b(1, j+1)Det(B(1, j+1)) = -(-1)j+1a(1, j)Det(A(1, j)).Por tanto, cada término de la expresión para Det(B) es igual al negativo de un término en la expresión para Det(A). Por tanto, Det(B) = -Det(A).

EJEMPLO 2.1.5Sin desarrollar los determinantes, demostrar la siguiente identidad:

= .

SOLUCIONMultiplicando la primera, segunda y tercera filas por a, b y c, respectivamente, obtenemos

= =

luego, intercambiando las columnas 1 y 3, obtenemos la identidad

= - = = .

TEOREMA 2.1.5Si en una matriz cuadrada todos los elementos de una fila (o columna) son cero, el valor de su determinante es cero.

DEMOSTRACIONCada uno de los productos en que se desarrolla el determinante contiene un elemento de esa fila, así que cada producto es nulo en la hipótesis hecha. De aquí que su suma es cero; es decir Det(A) = 0.

TEOREMA 2.1.6Si en una matriz cuadrada, los elementos correspondientes de dos filas (o dos columnas) son idénticos, entonces el valor de su determinante es cero.

DEMOSTRACIONINTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL JOE GARCIA ARCOS

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DETERMINANTES

Suponga que a(i, k) = a(j, k) para todo k o que a(i, k) = a(i, j) para todo i; si intercambiamos las dos filas o las dos columnas iguales, la matriz A no ha cambiado. Pero el signo del determinante cambia:

Det(A) = - Det(A) o Det(A) + Det(A) = 0.El único número real para el cual se satisface esta ecuación es Det(A) = 0.

EJEMPLO 2.1.6Evaluar el determinante de la siguiente matriz:

A =

SOLUCIONSumando la columna 3 a la columna 1, obtenemos:

= .

Sumando la columna 2 a la columna 1, obtenemos:

= = 2 .

Como el determinante resultante tiene dos columnas iguales, entonces el determinante es igual a cero.

TEOREMA 2.1.7Un determinante es nulo si los elementos de una fila (o columna) son proporcionales a los términos de una paralela a ella.

DEMOSTRACIONSi los términos de una fila son iguales a los correspondientes de otra, multiplicados por r, separando este número como factor del determinante, queda otro con dos filas idénticas, y, por tanto, es nulo.

TEOREMA 2.1.8Sean A, B y C matrices iguales, excepto para la columna j, y supongase quela columna j de C es la suma de las columnas de j de A y B. Entonces

Det(C) = Det(A) + Det(B).

DEMOSTRACIONTenemos que

c(1, j) = a(1, j) + b(1, j) y C(1, j) = A(1, j) + B(1, j).Para k j,

c(1, k) = a(1, k) = b(1, k) y C(1, k) = A(1, k) = B(1, k),excepto para una columna que es la suma de las columnas correspondientes de A(1, k) y B(1, k). Por tanto, si k j, Det(C(1, k)) = Det(A(1, k)) + Det(B(1, k)) por hipótesis de inducción. Si k = j tenemos

c(1, k)Det(C(1, k)) = c(1, k)Det(A(1, k)) + c(1, k)Det(B(1, k)) = a(1, k)Det(A(1, k)) + b(1, k)Det(B(1, k))

mientras quec(1, j)Det(C(1, j)) = a(1, j)Det(C(1, j)) + b(1, j)Det(C(1, j))

= a(1, j)Det(A(1, j)) + b(1, j)Det(B(1, j))


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Por tanto

Det(C) =

= +

= Det(A) + Det(B).

EJEMPLO 2.1.7Sin desarrollar los determinantes, demostrar la siguiente identidad

= .

SOLUCIONRestando la fila 1 de la fila 2 y la fila 1 de la fila 3, obtenemos:

=

extraemos (b – a) de la segunda fila y (c – a) de la tercera fila

(b - a)(c - a)

descomponemos el determinante en suma de determinantes con respecto a la tercera columna

podemos observar en la expresión que esta entre llaves, que el segundo determinante es cero por tener dos filas iguales, lo cual permite llegar a demostrar la identidad.

(b - a)(c - a) .

El teorema siguiente nos da una manera eficiente para calcular el determinante de una matriz grande.

TEOREMA 2.1.9Si C y A son matrices n x n y C se obtiene de A sumando un múltiplo numérico de una columna a otra, entonces Det(C) = Det(A).

DEMOSTRACIONSupongamos que la matriz C es igual a la matriz A, excepto que c(j) = a(j) + ra(i). Sea la matriz obtenida de A remplazando a(j) por ra(i). Por el teorema anterior, Det(C) = Det(A) + Det(B). El Det(B) es r veces el determinante de una matriz con dos columnas iguales. Por tanto, Det(B) = 0 y Det(C) = Det(A).

EJEMPLO 2.1.8Verifique la siguiente identidad


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=

SOLUCIONMultiplicamos las columnas 1, 2 y 3 por abc

De la fila 1 extraemos a, de la 2 extraemos b y de la 3 extraemos c

De las columnas 2 y 3 extraemos bc

A la columna 1 le sumamos la columna 2 multiplicada por a + b + c

A la columna 1 le restamos la columna 3

De la columna 1 extraemos ab + bc + ca

.

2.2 EJERCICIOS

2.2.1 Demostrar que si A es una matriz hermítica, entonces Det(A) es real.

2.2.2 Sea A una matriz de n x n y sea k un número cualquiera. Forme B a partir de A multiplicando todos los elementos de A por k. Esto es, B = kA. Demuestre que

Det(B) = knDet(A).

2.2.3 Si A y B son matrices triangulares superiores de n x n tales queDet(aA + bB) = aDet(A) + bDet(B)

para todo a, b en K, demuestre que Det(A) = Det(B) = 0.

2.2.4 Dada la matriz

A =


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Encuentre de ser posible una matriz B tal que Det(A) = Det(AB).

2.2.5 Dada la matriz

A =

Encuentre de ser posible una matriz B tal que Det(A + B) = Det(A) + Det(B).

2.2.6 Calcule los siguientes determinantes:

a.- ; b.- .

2.2.7 Sin desarrollar los determinantes, demostrar la siguiente identidad:

a.- ; b.- ;

c.- ; d.- ;

e.- ; f.- ;

g.- ; h.- ;

i.- ; j.- ;

k.- ; l.- ;

m.- ;

n.- ;

o.- .


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2.3 METODOS PARA EL DESARROLLO DE UN DETERMINANTE

Nos interesa generalizar la noción de determinante a ordenaciones de n x n. En los casos de arreglos de 2 x 2 y 3 x 3 se observa que un determinante es una suma de términos cada uno de los cuales contiene uno y sólo un elemento de cada fila y de cada columna de la ordenación rectangular. Además, el número de elementos de cada término es el mismo que el de fila de la ordenación, es decir, que no hay elementos repetidos. Notamos también una alternación en los signos de los términos.

No es fácil evaluar numéricamente un determinante cuando n es grande. La labor de encontrar todas las permutaciones y asignar los signos correspondientes es realmente difícil. Entonces, desarrollaremos métodos para evaluar determinantes, que tiene una enorme importancia teórica, y simplifica el procedimiento.

DEFINICIÓN 2.3.1El cofactor Det(A(i, j)) del elemento a(i, j) de cualquier matriz cuadrada A es (-1) i + j veces el determinante de la submatriz de A obtenida al omitir la fila i y la columna j.

DEFINICIÓN 2.3.2Si en una matriz cuadrada de orden n x n se suprimen la fila que ocupa el lugar i y la columna j, se obtiene una matriz cuadrada de orden n – 1 x n – 1, cuyo determinante se llama menor complementario del elemento a(i, j) común a la fila y columna suprimidas. Lo designaremos Det(A(i, j)). Si en el desarrollo de un determinante sacamos factor común a(i, j) en todos los términos en que figura, aparece multiplicado por un polinomio que se llama adjunto de a(i, j).

Nos será de mucha utilidad darles nombres a los determinantes de orden n – 1 x n – 1, que aparecen en la evaluación de Det(A), paso a paso, por medio del desarrollo por cofactores; los llamaremos los menores complementarios de la matriz A.

DEFINICIÓN 2.3.3El adjunto de un elemento a(i, j) es igual a su menor complementario, con signo + o -, según que i + j sea par o impar. Por esta razón, el adjunto de a suele llamarse también complemento algebraico, lo designaremos por Det(A(i, j)).

I. DESARROLLO POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA

Si en la definición del determinante de 3 x 3 se saca factor común a los elementos de la primera fila, se tieneDet(A) = a(1, 1)(a(2, 2)a(3, 3) – a(2, 3)a(3, 2)) + a(1, 2)(a(2, 3)a(3, 1) – a(2, 1)a(3, 3)) +

+ a(1, 3)(a(2, 1)a(3, 2) – a(2, 2)a(3, 1))

= a(1, 1)(-1)1 + 1 + a(1, 2)(-1)1 + 2 +

+ a(1, 1)(-1)1 + 3


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= a(1, 1)Det(A(1, 1)) + a(1, 2)Det(A(1, 2)) + a(1, 3)Det(A(1, 3))en donde cada Det(A(1, i)) es el determinante que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna i, afectado de un signo + o – según que 1 + i sea un número par o impar.

Se puede comprobar, para todos los casos posibles, que el determinante de 3 x 3 es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna de la matriz del determinante por sus adjuntos respectivos. Este resultado se puede generalizar al caso de un determinante cualquiera de n x n, sacando también factor común a los elementos de una fila o columna y comprobando que cada uno de ellos multiplica a su correspondiente adjunto, con lo que se consigue el desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna.

TEOREMA 2.3.1El símbolo Det(A) se llama determinante de la matriz A de n x n y significa la suma de los productos de los elementos de cualquier fila o columna y sus respectivos cofactores; es decir

Det(A) = a(i, 1)Det(A(i, 1)) + a(i, 2)Det(A(i, 2)) + … + a(i, n)Det(A(i, n))o bien

Det(A) = a(1, j)Det(A(1, j)) + a(2, j)Det(A(2, j)) + … + a(n, j)Det(A(n, j)).

DEMOSTRACIONLa demostración se lleva a cabo por inducción. La proposición es verdadera para un determinante de 2 x 2. Suponiendo que es verdadera para un determinante de n – 1 x n – 1, probaremos que es verdadera para un determinante de n x n. Desarróllese Det(A) por la i-ésima fila. Un término típico es este desarrollo es

a(i, k)Det(A(i, k)) = (-1)i + ka(i, k)Det(M(i, k)).El menor Det(M(i, k)) de a(i, k) en Det(A) es un determinante de n – 1 x n – 1. Por la hipótesis de inducción, puede desarrollarse por cualquier fila. Desarróllese por la fila correspondiente a la j-ésima fila de Det(A). Esta fila contiene los elementos a(j, r) (r k). Es la (n – 1)-ésima fila de Det(B(i, k)), porque Det(B(i, k)) no contiene elementos de la i-ésima fila de Det(A) y i < j. Tiene que distinguirse entre dos casos:Caso I. Si r < k, entonces el elemento a(j, r) pertenece a la r-ésima columna de Det(A(i, k)). De aquí que el término que contiene a(j, r) en este desarrollo es

a(j, r)(cofactor de a(j, r) en Det(B(i, k)) = (-1)(j - 1) + ra(j, r)Det(B(i, k, j, r))donde Det(B(i, k, j, r)) es el menor de a(j, r) en Det(B(i, k)). Como este menor se obtiene de Det(B(i, k)) eliminando la fila y columna de a(j, r), se obtiene en Det(A) eliminando el i-ésima y el j-ésima filas y la k-ésima y r-ésima columnas de Det(A). introdúzcanse los desarrollo de los Det(B(i, k)) en el de Det(A). Entonces se deduce que los términos de la representación resultante de Det(A) son de la forma

(-1)i + k + j + r - 1a(i, k)a(j, r)Det(B(i, k, j, r)) r < k.Caso II. Si r > k, la única diferencia es que entonces a(j, r) pertenece a la (r – 1)-ésima columna de Det(B(i, k)), porque Det(B(i, k)) no contiene elementos de la k-ésima columna de Det(A) y k < r. Esto produce un signo menos adicional y, por tanto, se obtiene

-(-1)i + k +j + r – 1a(i, k)a(j, r)Det(B(i, k, j, r)) r > k.De forma análoga se demuestra el desarrollo referente a las columnas.


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En esta forma, Det(A) se define en términos de n determinantes de n – 1 x n – 1, cada uno de los cuales, a su vez, se define en términos de n – 1 determinantes de n – 2 x n – 2, y así sucesivamente; finalmente se llega a determinantes de 2 x 2, en los que los cofactores de los elementos son elementos sencillos de Det(A). Además, de la definición se concluye que puede desarrollarse Det(A) por cualquier fila o columna. El método expuesto para el desarrollo de un determinante complica extraordinariamente el proceso de cálculo a medida que aumenta el orden del determinante.


A = .

SOLUCIONPara desarrollar este determinante, elegimos la primera fila, es decir:

Det(A) = 2(-1)1+ 1 + (-5)(-1)1+ 2 + (-1)1+ 3 +

+ 2(-1)1+ 4

= 2(28 + 42 – 36 + 48 – 49 - 18) + 5(-12 – 28 + 20 – 32 + 21 + 10) + (54 + 196 – 120 + 144 – 126 – 70) + 2(27 + 56 + 30 – 36 – 36 – 35) = - 9.

TEOREMA 2.3.2El valor de un determinante es igual a la suma de los elementos de una fila (columna) cualquiera multiplicados por sus adjuntos correspondientes.

DEMOSTRACIONFijémonos, por ejemplo, en la fila que ocupa el lugar i. En cada termino de A hay un elemento de eta fila, y sólo uno; luego podemos clasificar los n! Términos del siguiente modo: todos los que contienen a(i, 1) forman el producto a(i, 1)Det(A(i, 1)); los que contienen a(i, 2) forman a(i, 2)Det(A(i, 2)), ..., los que contienen a(i, n) componen a(i, n)Det(A(i, n)), luego:

Det(A) = a(i, 1)Det(A(i, 1)) + a(i, 2)Det(A(i, 2) + … + a(i, n)Det(A(i, n)) = .

TEOREMA 2.3.3La suma de los elementos de una fila (o columna), multiplicados por los adjuntos de los elementos de una paralela a ella, es cero.

DEMOSTRACIONEn efecto, la suma

a(k, 1)Det(A(i, 1)) + a(k, 2)Det(A(i, 2) + … + a(k, n)Det(A(i, n))en el desarrollo del determinante obtenido poniendo en Det(A), en vez de la fila a(k, 1) a(k, 2) … a(k, n), la fila a(i, 1) a(i, 2) … a(i, n); este determinante tiene, pues, esta fila idéntica a la que ocupa el lugar k, luego es nulo.


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La aplicación de este teorema, para el desarrollo de Det(A), se simplifica observando que siendo (-1)i + j el signo que lleva el menor complementario de a(i, j) y siendo i constante o j si se desarrolla por los elementos de una columna y tomando j los valores 1, 2, ..., n, este signo es alternativamente + y -.

TEOREMA 2.3.4Sea A (a(i, j)) una matriz cuadrada de n x n. Entonces

Det(AT) = Det(A).

DEMOSTRACIONPara la demostración de este teorema, utilizaremos el principio de inducción matemática en n. El teorema resulta evidente en el caso de n = 1. Supongamos que sea válido para todas las matrices cuadradas de m x m, con m < n. Puesto que el elemento a(i, j) de AT es a(j, i), tenemos que

Det(AT) =

Observemos que AT(i, j) = (A(i, j))T, y que, en consecuencia resultaDet(AT(i, j)) = Det(A(j, i))T = Det(A(j, i))

Puesto que A(i, j) es una matriz cuadrada de n – 1 x n – 1. Tenemos que cada i = 1, 2, ..., n, que

Det(AT) =

y, al sumar ambos miembros de esta última igualdad para i = 1, 2, ..., n, obtendremos

= = .

Si intercambiamos el orden de sumación de i y j en el miembro a la derecha de la última fórmula, veremos que

nDet(AT) = .

Por otra parte,

.

Es el desarrollo de Det(A) por la fila j-ésima, y, en consecuencia

= nDet(A).

Es así como nDet(AT) = nDet(A) y, por lo tanto, Det(AT) = Det(A).

EJEMPLO 2.3.2Si A es antisimétrica, ¿qué puede decirse acerca de Det(A)?SOLUCIONSe sabe que una matriz es antisimétrica si AT = - A, por lo que

Det(AT) = Det(-A) = (-1)nDet(A).Por otra parte, Det(AT) = Det(A), así que Det(A) = (-1)nDet(A). Si n es par, no se puede afirmar nada. Sin embargo, si n es impar se tiene Det(A) = - Det(A) y, por lo tanto, Det(A) = 0.


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EJEMPLO 2.3.3Dada la expresión

= .

calcular A, B y C.SOLUCIONEligiendo la primera columna, desarrollamos el determinante

= (-a)(-1)2+1 + (-b)(-1)3+1 +

+ (-c)(-1)4+1 =

a(- bef + cdf + af2) - b(- be2 + cde + aef) + c(adf - bed + cd2) = af(- be + cd + af) - be(- be + cd + af) + cd(af - be + cd) = (af - be + cd)2 = af - be + cd =

= f A = f2 ; = e B = e2; = - d C = d2.

II. DESARROLLO GAUSSIANO

TEOREMA 2.3.5El determinante de una matriz de la forma triangular o diagonal, es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

DEMOSTRACIONSea A una matriz triangular superior. En virtud de que los elementos a(2, 1), a(3, 1), ..., a(n, 1) de la primera columna de A son 0, la definición del determinante de A origina

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)).La submatriz A(1, 1) de A es también una matriz triangular superior, pero de n – 1 x n – 1. Por consiguiente, merced al principio de inducción

Det(A(1, 1)) = a(2, 2)a(3, 3) ... a(n, n)el producto de sus elementos. Por lo tanto,

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)) = a(1, 1)a(2, 2) ... a(n, n)el producto de los elementos diagonales de A.Sea A una matriz triangular inferior. En virtud de que los elementos a(1, 2), a(1, 3), ..., a(1, n) de la primera fila de A son 0, la definición del determinante de A origina

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)).La submatriz A(1, 1) de A es también una matriz triangular inferior, pero de n – 1 x n – 1. Por consiguiente por inducción, es igual al producto de los elementos diagonales

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)) = a(1, 1)a(2, 2) ... a(n, n). Para el caso de la matriz diagonal, la demostración es análoga.

EJEMPLO 2.3.4


51

DETERMINANTES

Evaluar el determinante de la siguiente matriz

A = .

SOLUCIONMediante operaciones elementales entre filas, llevaremos la matriz a la forma triangular, de manera que podamos aplicar directamente la propiedad correspondiente:

Det(A) = (6/4) (2)(-1)(1)(3) = - 9.

Los efectos que tienen las operaciones de filas o columnas en el valor del determinante pueden resumirse de la siguiente manera:- El intercambio de dos filas o columnas de una matriz cambia el signo del determinante.- La multiplicación de una fila o columna de una matriz por un escalar tiene el efecto de multiplicar el

valor del determinante por ese escalar.- La suma de un múltiplo de una fila o columna a otra no cambia el valor del determinante.

III. DESARROLLO CON RESPECTO A UNA FILA Y UNA COLUMNA

Supongamos que se trata de la primera fila y de la primera columna, pues a este caso se reduce cualquier otro, por transposiciones convenientes. Dado el determinante

Det(A) =

todos los términos en que entra a(1, 1) están comprendidos en la expresión a(1, 1)Det(A(1, 1)); cada uno de los demás contiene uno de los elementos a(1, 2), a(1, 3), ..., a(1, k), ..., a(1, n) restantes de la primera fila, y uno de los a(2, 1), a(3, 1), ..., a(r, 1), ..., a(n, 1) de la primera columna. Hallemos todos los términos que contengan el producto a(1, k)a(r, 1). Todos los términos de Det(A) que contienen a(1, k) forman la expresión (-1)1 + ka(1, k)Det(A(1, k)); desarrollemos ahora el menor Det(A(1, k)) por los elementos de su


52

DETERMINANTES

primera columna a(2, 1) ... a(r, 1) ... a(n, 1); como el menor complementario de a(r, 1) resulta de suprimir en Det(A) la primera fila, la primera columna, la fila r y la columna k, este menor es también el complementario de a(r, k) en el determinante Det(A(1, 1)); y designándolo por Det(B(r, k)), todos los términos del desarrollo de Det(A(r, k)) que contienen el elemento a(r, 1) componen la expresión (-1)ra(r, 1)Det(B(r, k)).

En resumen, todos los términos de Det(A) que contienen los elementos a(1, k)a(r, 1), forman la expresión (-1)k + r + 1a(1, k)a(r, 1)Det(B(r, k)) y observando que en el determinante Det(A(1, 1)) el adjunto de Det(A(r, k)) es Det(C(r, k)) = (-1)(r - 1) + (k - 1)Det(B(r, k)), la expresión (-1)k+r+1a(1, k)a(r, 1)Det(B(r, k)) adopta la forma sencilla -a(1, k)a(r, 1)Det(C(r, k)). Por consiguiente

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)) - ,donde r = 2, 3, ..., n y k = 2, 3, ..., n.

Con este análisis, podemos asegurar lo siguiente: El desarrollo de un determinante por los elementos de la primera fila y la primera columna, es igual a su elemento común a(1, 1) por su menor complementario Det(A(1, 1)), menos todos los productos positivos de cada elemento a(1, k), restante de la primera fila, por cada elemento a(1, 1) restante de la primera columna, por el adjunto Det(A(1, 1)) del elemento a(1, k) en que se cruzan la columna y la fila encabezadas por ambos elementos. Si la fila y la columna elegidas son las determinadas por el elemento a(i, j), llevando éste al primer lugar, el determinante obtenido sería (-1)i + jDet(A), luego el desarrollo por la fila i y columna j está dado por la misma regla anterior, cambiando el signo al resultado si es i + j impar.


A = .

SOLUCIONPara desarrollar este determinante, elegimos la primera fila y la primera columna, es decir:

Det(A) = (-1)1+1 2 + (-1)2+2+1 15 + (-1)2+3+1 (-3) +

+ (-1)2+4+1 (-6) + (-1)3+2+1 (- 25) + (-1)3+3+1 5 +

+ (-1)3+4+1 10 + (-1)4+2+1 (- 20) + (-1)4+ 3+1 4 +

+ (-1)4+4+1 8 = - 9.

IV. DESARROLLO POR MENORES COMPLEMENTARIOS

Un nuevo método para el desarrollo de un determinante de n x n es el conocido con el nombre de desarrollo por menores complementarios; dicho método exige elegir k filas o columnas de la matriz y formar determinantes de orden k con todas las posibles matrices cuadradas de orden k que sean submatrices de la de orden k x n que se ha seleccionado; a cada uno de estos determinantes de orden k le corresponde un menor complementario o determinante de la matriz de orden n – k x n – k, cuyos


53

DETERMINANTES

elementos no pertenecen a las filas y columnas de la primera matriz cuadrada de orden k, aunque sí a todas las demás filas y columnas de la matriz total de orden n.

DEFINICIÓN 2.3.4Si en una matriz de orden n se suprimen varias filas, e igual número de columnas, se obtiene otra matriz de orden inferior, llamada menor de la primera. Para determinar una menor basta dar los números i1, i2, ..., ik que designan las filas que contiene, y los j1, j2, ..., jk

que expresan sus columnas. Si en la matriz primera se suprimen las filas de lugares i1, i2, ..., ik y las columnas que ocupan los lugares j1, j2, ..., jk, se obtiene otra menor, llamada complementaria de la anterior. La suma de los órdenes de dos matrices complementarias es evidentemente n.

DEFINICIÓN 2.3.5Se dice que un menor Det(B) es de clase par o impar si la suma de los números de orden de sus filas y columnas:

= i1 + i2 + ... + ik + j1 + j2 + ... + jk

es par o impar.

Para hallar la clase de su complemento Det(C) formaremos la suma análoga

pero ik+1, ..., in designan las filas excluídas por Det(B), es decir, aquellos de los números 1, 2, 3, ..., n, que son distintos de i1, i2, ..., ik; por tanto

y, análogamente

de donde

luego tiene la misma paridad que , es decir: dos menores complementarios son de la misma clase.

Por otra parte, el menor complementario recibe el nombre de adjunto si va afectado de un signo + o -, según que la suma de los lugares que ocupan cada una de sus filas y cada una de sus columnas en la matriz de orden n sea un número par o impar.

DEFINICIÓN 2.3.6Se llama adjunto o complemento algebraico de un menor Det(B) al menor complementario de Det(B), con el signo + o -, según que sea de clase par o impar. En particular, si el menor dado se reduce a un solo elemento, tendremos el adjunto definido en el desarrollo de un determinante en suma de varios. Un menor de orden k se llama principal, cuando está formado por las k primeras filas y las k primeras columnas. Su adjunto coincide con su menor complementario, puesto que es de clase par igual a 2(1 + 2 + ... + k).

TEOREMA 2.3.6


54

DETERMINANTES

El producto de un menor por su adjunto forma parte del determinante total.

DEMOSTRACIONSupongamos primero que un menor Det(B) esté formado por las k primeras filas y las k primeras columnas

entonces es Det(B) de clase par y su adjunto es el menor complementario Det(C).Multiplicando ambos determinantes menores, un término cualquiera del producto será

(-1)a(1, j1)a(2, j2) ... a(k, jk)(-1)a(k+1, jk+1) ... a(n, jn) (1)llamando al número de inversiones de la permutación j1 j2 ... jk, que indica columnas elegidas en el término de Det(B), y al número de inversiones que ofrecen los índices de las columnas en Det(C), y como éstos aumentados en k son precisamente jk+1, jk+2, ..., jn, es también el número de inversiones de esta permutación; por tanto, el número de inversiones de la permutación j1 j2 ... jk jk+1 ... jn es + , puesto que j1, j2, ..., jk son todos menor o igual a k, y, por tanto, no forman inversiones con los jk+1, jk+2, ..., jn, los cuales son mayores o iguales a k.Conteniendo, el producto (1) un elemento de cada fila de Det(A), y uno de cada columna, y siendo además su signo (-1)+ el que le corresponde en el desarrollo de Det(A), dicho producto es un término de este desarrollo.Sin el menor Det(B) no es principal, sino que está formado por las filas r1, r2, ..., rk, y columnas t1, t2, ..., tk, se puede convertirlo en principal, por cambios sucesivos de filas y columnas. Basta permutar la fila r1 con todas sus anteriores que son r1 – 1, hasta ocupar el primer lugar; la fila r2 con las r2 – 2 que le preceden, hasta llegar al segundo lugar; ...; la fila rk con las rk – k que hay desde ella a la fila k. Haciendo lo mismo con las columnas hemos llevado el menor Det(B) al primer lugar, reduciendo este caso al anterior.En el desarrollo del nuevo determinante Det(D), el adjunto del menor principal Det(B) es el menor Det(C), el cual no ha sufrido variación, luego Det(D) = Det(B)Det(C) + ... y como de Det(D) se deduce el Det(A), mediante un número de transposiciones

(t1 – 1) + (t2 – 2) + ... + (tk – k) + (r1 – 1) + (r2 – 2) + ... + (rk – k) = sera

Det(A) = =

y siendo el adjunto de Det(B), queda demostrado el teorema.

A continuación consideramos otra técnica, más general, para desarrollar determinantes conocidas como el método de desarrollo de Laplace, que contempla como caso especial el desarrollo por cofactores. En vez de desarrollar por una sola fila o columna, desarrollamos por varias filas o columnas.

El determinante Det(A) se escribe como una suma de términos, cada uno de los cuales es el producto de dos determinantes.

TEOREMA 2.3.7 LAPLACE


55

DETERMINANTES

Todo determinante es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando todos los menores de orden k que se pueden formar con k filas paralelas, por sus adjuntos respectivos .

Todos los términos de estos productos pertenecen al desarrollo de Det(A), en virtud del teorema anterior; todos son distintos, pues contienen elementos distintos; falta ver que en Det(A) no hay más términos que éstos.

Un término cualquiera de Det(A) puede descomponerse en dos productos, agrupando en uno de los elementos que pertenecen a las k filas elegidas, y en otro los restantes. El primer producto es un término de uno de los menores formados con aquellas k filas, y el segundo producto es un término del complementario, luego ha sido ya obtenido en el producto de estos dos menores.

El teorema anterior reduce el desarrollo de un determinante al de otros de orden inferior. Para hacer el desarrollo por los menores de k filas, convendrá elegir aquéllas en que aparezca el mayor número posible de columnas formadas por elementos nulos; pues todo menor en que figure una de estas columnas, es nulo.


A = .

SOLUCIONPara desarrollar este determinante, elegimos las dos primeras columnas, es decir:

Det(A) = (-1)2+2 + (-1)3+2 + (-1)4+2

+ (-1)2+2 + (-1)3+2 + (-1)2+2

= (-1)(-3) - 7(-6) + 8(-15) + (-8)(0) - (-10)(3) + 6(6) = - 9.

V. REGLA DE CHIO

La regla de Sarrus es una regla práctica para desarrollar, únicamente determinantes de tercer orden. Sin embargo, sólo disponemos de la propia definición de determinantes para calcular el valor de los determinantes de órdenes superiores a tres. A continuación explicamos la regla conocida con el nombre de Chio, la cual se basa, fundamentalmente, en todas las propiedades que tienen los determinantes. Esta regla consiste en conseguir que una de las filas del determinante esté formada por elementos todos ellos nulos, excepto uno, que vale la unidad y se le llama elemento base. De esta forma, al desarrollar dicho determinante por los adjuntos de los elementos de esta fila, se anulan todos los sumandos, a excepción del que corresponde al elemento base, que coincide con su adjunto. De esta manera, el determinante primitivo coincide con el adjunto del elemento base, reduciendo el determinante al cálculo de otro cuyo orden es inferior en una unidad.INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL JOE GARCIA ARCOS

56

DETERMINANTES

Para conseguir que los elementos de una fila sean todos nulos, excepto uno, que valga la unidad, se siguen los siguientes pasos:a.- Se mira si algún elemento del determinante vale la unidad. En caso afirmativo se elige una de las dos filas o columnas, que contiene a dicho elemento. En caso negativo, nos fijamos en una fila que contenga el mayor número posible de elementos nulos. Los elementos de esta fila se dividen por uno de ellos; de esta forma se consigue que dicha fila posea un elemento que valga la unidad. Después de efectuada esta operación, el determinante ha quedado dividido por este número, y este resultado, por tanto, tenemos que tenerlo en cuenta al final del proceso que vamos a seguir. También se puede conseguir un elemento, del determinante, que valga uno, restando a una fila otra paralela a ella, siempre que existan dos elementos que ocupen el mismo lugar en ambas filas y que difieran en una unidad.b.- Una vez elegido el elemento base, supongamos que éste sea el elemento a(1, 1), los demás elementos de la primera fila o primera columna deben ser nulos. Para ello, a la segunda, tercera, ..., n-ésima columna se le resta la primera columna multiplicada sucesivamente por a(1, 2), a(1, 3), ..., a(i, n), con lo que el determinante no varía. Exactamente se procedería para conseguir que sean nulos los elementos de la primera columna, pero ahora, tendríamos que cambiar la palabra columna por la de fila y los elementos seran a(2, 1), a(3, 1), ..., a(n, 1). Desarrollamos el determinante que nos resulta, por los adjuntos de los elementos de la primera fila, con lo que se obtiene:

Det(A) = 1.Det(A(1, 1)) + 0.Det(A(1, 2)) + ... + 0.Det(A(1, n)) = Det(A(1, 1))Como el valor del determinante de A, el adjunto del elemento base, es decir, hemos reducido el problema a calcular el valor de un determinante de orden inferior en una unidad, el cual se obtiene suprimiendo la fila y la columna a la que pertenece el elemento base, anteponiendo los signos más o menos, según que la suma de los índices relativos a dicho elemento sea par o impar.

EJEMPLO 2.3.7Calcular el valor del determinante

.

SOLUCIONComo elemento base se elige el a(3, 1) ya que la columna que contiene a ese elemento es la línea con mayor número de ceros. Restando a la primera fila y a la segunda, la tercera multiplicada por 5 y 4 respectivamente, obtenemos

.

Seguimos el proceso anterior explicado para calcular el valor de este determinante de tercer orden, en lugar de aplicar la regla de Sarrus.

= 18

Se ha elegido la primera columna por ser la única que contiene un elemento que vale uno. Sumamos a la primera fila la segunda multiplicada por dos y a la tercera se le resta la segunda multiplicada por dos. A continuación pasamos al determinante de segundo orden suprimiendo la primera columna y la segunda fila, pero anteponemos el signo menos, ya que la suma de los índices del elemento base suman 2 + 1 = 3 que es impar.


57

DETERMINANTES

2.4 EJERCICIOS

2.4.1 Verificar la siguiente identidad:

2.4.2 Evaluar los siguientes determinantes, utilizando los métodos estudiados en esta sección:

a.- ; b.- ; c.- ; d.-

;

e.- ; f.- ; g.- ;

h.- ; i.- .

2.5 PRODUCTO DE DETERMINANTES. DETERMINANTES DE VANDERMONDE

Una primera aplicación del teorema de Laplace permite transformar un determinante de orden k < n en otro equivalente de orden n prolongando su diagonal principal con elementos unitarios y haciendo nulos los elementos que faltan para completar la matriz de orden n. Pero la aplicación más importante se debe a que permite demostrar que el determinante correspondiente a un producto de dos matrices del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrices factores.


58

DETERMINANTES

DEFINICIÓN 2.5.1El producto de dos determinantes de orden n está dado por la expresión

designando por c(i, j) el producto de la fila i del primero por la fila j del segundoc(i, j) = a(1, 1)b(j, 1) + a(i, 2)b(j, 2) + . . . + a(i, n)b(j, n).

Ahora demostraremos el importante teorema de que el determinante del producto de dos matrices cuadradas de n x n es igual al producto de los determinantes de las matrices. Como un teorema sobre determinantes esto significa que el producto de dos determinantes de n x n puede escribirse como un determinante de n x n cuyos elementos se obtienen en la misma forma que los elementos de una matriz producto.

TEOREMA 2.5.1Sean A y B, matrices cuadradas de orden n. Entonces

Det(AB) = Det(A)Det(B).

DEMOSTRACIONEn efecto

Det(A)Det(B) =

=

cualesquiera que sean los números d; pues desarrollando este determinante por los menores de las n primeras filas, como todos los menores, excepto el primero, tienen alguna columna de ceros, y, por tanto, son nulos, resulta el producto Det(A)Det(B). Para poder reducir el orden de este determinante, podemos suponer que los dos determinantes dados sean del mismo orden n, si es n > m, pues en caso contrario se puede transformar el de menor orden m en otro de orden n, prolongando su diagonal principal con n – m elementos 1, y completando con ceros las nuevas filas y columnas. Además, como podemos disponer de los números indeterminados d, tomemos todos ellos iguales a 0, excepto los de la diagonal d(1, 1), d(2, 2), ..., d(n, n), que tomaremos iguales a –1. Finalmente, podemos cambiar las filas por columnas, en el determinante menor Det(B). Resulta así:


59

DETERMINANTES

=

=

Si, mediante adiciones convencionales de filas o columnas, logramos reducir a 0 los elementos a(i, j), en vez del cuadro de ceros aparecerá otro de nuevos elementos c(i, j), y el nuevo determinante de orden 2n será igual al determinante de orden n formado por estas c(i, j), multiplicado por su complemento algebraico; mas, reduciéndose el menor complementario a su diagonal principal, su valor es (-1)n; tendremos, pues, el producto en forma de determinante de orden n. Esto se logra de la siguiente manera: sumemos a la primera fila las filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas respectivamente por a(1, 1), a(1, 2), a(1, n), y obtenemos como primera la siguiente:

0, 0, ..., 0, a(1, 1)b(1, 1) + ... + a(1, n)b(1, n), ..., a(1, 1)b(n, 1) + ... + a(1, n)b(n, n).Para simplificar, llamaremos producto de la fila i de Det(A) por la fila j de Det(B), y lo designaremos por c(i, j), a la suma de los productos de los términos que ocupan iguales lugares en ambas. Es decir:

c(i, j) = a(i, 1)b(j, 1) + a(i, 2)b(j, 2) + ... + a(i, n)b(j, n).Con esta notación, la fila obtenida es la siguiente:

0, 0, ..., 0, c(1, 1), c(1, 2), ..., c(1, n).Análogamente, sumando a la segunda fila las filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas por a(2, 1), a(2, 2), ..., a(2, n), respectivamente, resulta como nueva fila

0, 0, ..., 0, c(2, 1), c(2, 2), ..., c(2, n).Finalmente; sumando a la fila n-ésima las mismas filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas por a(n, 1), a(n, 2), ..., a(n, n), respectivamente, resulta

0, 0, ..., 0, c(n, 1), c(n, 2), ..., c(n, n).El determinante producto se ha transformado en el siguiente:

= (-1)k

siendok = (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n) + 1 + 2 + ... + n = n(2n + 1),


60

DETERMINANTES

y como el valor del segundo menor es (-1)n, el factor que multiplica al primero es (-1)n + k = (-1)n(n + 1), número que es igual a 1, por ser n y n + 1 dos números consecutivos, y, por tanto, su producto es par.

Como el valor de un determinante no altera si se cambian entre sí las filas y las columnas, puede hacerse también el producto por columnas; la fórmula es la misma, designando c(i, j) el producto de la columna i del primero por la columna j del segundo. Finalmente, puede hacerse multiplicando las filas del primero por las columnas del segundo, o inversamente.

EJEMPLO 2.5.1Multiplicar los determinantes

.

SOLUCIONPodemos darnos cuenta que hay cuatro formas para multiplicar determinantes, y son las siguientes:1.- Filas por columnas

.

2.- Filas por filas

.

3.- Columnas por columnas

.

4.- Columnas por filas

.

EJEMPLO 2.5.2Calcular el determinante elevándolo al cuadrado

.

SOLUCION


61

DETERMINANTES

=

= (a2 + b2 + c2 + d2)4.

EJEMPLO 2.5.3Sean A y B matrices de 4 x 4 con Det(A) = 8 y Det(B) = - 1. Determine el valor de:a.- Det(AB);b.- Det(2AB).SOLUCIONa.- Det(AB) = Det(A)Det(B) = 8(-1) = - 8.b.- Det(2AB) = Det(2A)Det(B) = 24Det(A)Det(B) = (16)(8)(-1) = - 128.

EJEMPLO 2.5.4Si A2 = A, entonces A se llama idempotente. Muéstre que si A es idempotente, entonces el determinante de A vale 1 o 0.SOLUCIONComo A2 = A, Det(A2) = Det(A). Entonces

Det(A2) = Det(AA) = Det(A) Det(A)Det(A) = Det(A)[Det(A)]2 – Det(A) = 0 Det(A)[Det(A) – 1] = 0

Det(A) = 0 y Det(A) – 1 = 0, Det(A) = 1.

EJEMPLO 2.5.5¿Qué puede decirse del determinante de una matriz nilpotente?SOLUCIONEl determinante debe ser cero. Como

An = O, Det(An) = Det(O).Entonces

Det(An) = Det(AA...A) = 0 Det(A)Det(A)...Det(A) = 0[Det(A)]n = 0 Det(A) = 0.

DEFINICIÓN 2.5.2Se denomina determinante de Vandermonde o determinante de las diferencias, al formado por las potencias sucesivas de n números distintos:

A(2, 1), a(2, 2), a(2, 3), ..., a(2, n–2), a(2, n-1), a(2, n),ordenadas del siguiente modo:

V = ,

cuyo desarrollo está dado por

V = .


62

DETERMINANTES

Podemos reducir a ceros los elementos de la primera columna, excepto el primero, restando de cada fila la anterior, multiplicada por a(2, 1), y obtenemos

determinante que se reduce a uno de orden n – 1, el cual, separando los factores comunes, resulta

[a(2, 2) – a(2, 1)] ... [a(2, n) – a(2, 1)]

y observando que este determinante de orden n - 1 es de la misma forma que el anterior, se le puede aplicar la misma transformación, resultando

[a(2, 2) – a(2, 1)] ... [a(2, n-1) – a(2, 2)]

Con éste, que es de orden n – 2, se opera de igual modo, y así se sigue hasta llegar a uno de segundo orden

= a(2, n) – a(2, n-1).

Por consiguienteV = [a(2, 2) – a(2, 1)][a(2, 3) – a(2, 1)][a(2, 4) – a(2, 1)] ... [a(2, n) – a(2, n-1)] =

.

EJEMPLO 2.5.6Expresar el determinante como producto de tres factores:

.

SOLUCIONA las filas 2 y 3 le restamos la fila 1:

= =

extraemos de la fila 2 el factor (b – a) y de la tercera fila el factor (c – a):INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL JOE GARCIA ARCOS

63

DETERMINANTES

a la fila 3 le restamos la fila 2:

podemos observar que mediante este proceso, hemos transformado la matriz original a una matriz equivalente triangular superior, lo cual nos permite aplicar una de las propiedades para encontrar el valor del determinante:

V = (b - a)(c - a)(c - b).

EJEMPLO 2.5.7Expresar el determinante como producto de cuatro factores:

SOLUCIONEn este problema, aplicaremos operaciones elementales entre columnas, es decir, a las columnas 2 y 3 le restamos la columna 1:

= =

a la columna 2 le extraemos (b – a) y a la tercera columna (c – a):

a la columna 3 le restamos la columna 2:

expresamos en factores el elemento a(3, 3):

como hemos reducido la matriz original a una matriz triangular inferior, aplicamos la correspondiente propiedad, para obtener el valor del determinante:

V = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c).

EJEMPLO 2.5.8Evaluar el determinante de Vandermonde:

SOLUCION


64

DETERMINANTES

Procedemos a transformar todos los elementos de la matriz a ln 2:

=

extraemos de ln2 de la segunda columna, ln22 de la tercera columna y ln32 de la cuarta columna:

Este último determinante lo resolvemos mediante operaciones elementales, obteniendo

.

EJEMPLO 2.5.9Multiplíquense los determinantes

Det(A) = y Det(B) =

Siendo x una raíz cúbica imaginaria de la unidad.SOLUCIONMultiplicando fila por fila, tenemos:

Det(AB) =

Perob + cx + ax2 = x2(a + bx + cx2) c + ax + bx2 = x2(a + bx + cx2)b + cx2 + ax = x2(a + bx2 + cx) c + ax2 + bx = x2(a + bx2 + cx)

y, en consecuencia

Det(AB) =

Es decir:Det(AB) = Det(A)Det(B) = - (a + b + c)(a + bx + cx2)(a + bx2 + cx)Det(A).

Siendo Det(A) un determinante de Vandermonde y, en consecuencia, distinto de cero, puede suprimirse y entonces

Det(B) = - (a + b + c)(a + b + cx2)(a + bx2 + cx).

2.6 EJERCICIOS


65

DETERMINANTES

2.6.1 Para cada una de las proposiciones siguientes relativas a matrices cuadradas, dar una demostración o poner un contraejemplo:a.- Det[(A + B)2] = [Det(A + B)]2;b.- Det[(A + B)2] = Det(A2 + 2AB + B2);c.- Det[(A + B)2] = Det(A2 + B2).

2.6.2 Demostrar la siguiente identidad:

= 2a(b – a)(c – b)(d – c)

2.6.3 Demostrar la siguiente identidad:

2.6.4 Evaluar los siguientes determinantes y expresar su resultado en factores:

a.- ; b.- ; c.- ; d.- ;

e.- ; f.- ; g.- ;

h.- ; i.- ; j.- ;

k.- .

2.6.5 Evaluar los siguientes determinantes de Vandermonde:

a.- ; b.- ; c.- .

2.6.6 Evaluar los siguientes determinantes:


66

DETERMINANTES

a.- ; b.- ; c.- .


67

deter min antes

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