derivadas de funciones logaritmicas
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En esta guía veremos Ejercicios resueltos que implican funciones Logarítmicas.TRANSCRIPT
Cálculo Diferencial
Derivada de funciones Logarítmicas G.III
En esta guía veremos Ejercicios resueltos que implican funciones Logarítmicas.
Innovación y Futuro Jair Ospino Ardila
http://innovacionyfuturo.wordpress.com [email protected]
Resolver 𝑓 𝑥 = ln 1+𝑥
1−𝑥
Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos.
Dónde: ln 𝑗
𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚
Si reemplazamos seria:
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 Derivamos
Como derivada de ln𝑢 =𝑢′
𝑢
𝑓 ′ 𝑥 =1
1 + 𝑥−
(−1)
1 − 𝑥
𝑓 ′ 𝑥 =1
1 + 𝑥+
1
1 − 𝑥
𝑓 ′ 𝑥 =1 − 𝑥 + 1 + 𝑥
(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)
Simplificamos y efectuamos multiplicación en el denominador
𝑓 ′ 𝑥 =1 + 1
1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2
𝑓 ′ 𝑥 =2
1 − 𝑥2
Todas unidas
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥
1 − 𝑥
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥
Solución𝑓 ′ 𝑥
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Resolver 𝑓 𝑥 = ln 1+𝑥2
1−𝑥2
Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos.
Dónde: ln 𝑗
𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚
Si reemplazamos seria:
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥2 − ln 1 − 𝑥2 Derivamos
Como derivada de ln𝑢 =𝑢′
𝑢
𝑓 ′ 𝑥 =2𝑥
1 + 𝑥2−
(−2𝑥)
1 − 𝑥2
𝑓 ′ 𝑥 =2𝑥
1 + 𝑥2+
2𝑥
1 − 𝑥2
𝑓 ′ 𝑥 =2𝑥 1 − 𝑥2 + 2𝑥(1 + 𝑥2)
(1 + 𝑥2)(1 − 𝑥2)
efectuamos multiplicaciones
𝑓 ′ 𝑥 =2𝑥 − 2𝑥3 + 2𝑥 + 2𝑥3
(1 − 𝑥2 + 𝑥2 − 𝑥4)
simplificamos
𝑓 ′ 𝑥 =4𝑥
1 − 𝑥4
Todas unidas
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥2
1 − 𝑥2
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥2 − ln 1 − 𝑥2
Solución 𝑓 ′ 𝑥
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Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar la derivada de un producto junto con la derivada de un logaritmo. Ver ( JM4 ) y ( JM6 ) de la Guía I.
𝑓 𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑢
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚′ ∗ 𝑢 + 𝑚 ∗ 𝑢′ Derivando tendríamos
𝑓′(𝑥) = 1 ln 𝑥 + 𝑥 1
𝑥
𝑓′(𝑥) = ln 𝑥 + 1
𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥
Solución 𝑓 ′ 𝑥
Todas unidas
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Resolver 𝑓 𝑥 = ln 𝑒𝑥+1
𝑒𝑥−1
Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos.
Dónde: ln 𝑗
𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚
Si reemplazamos seria:
𝑓 𝑥 = ln 𝑒𝑥 + 1 − ln 𝑒𝑥 − 1 Derivamos
Como derivada de ln𝑢 =𝑢′
𝑢
𝑓 ′ 𝑥 =𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1 −
𝑒𝑥
𝑒𝑥 − 1
𝑓 ′ 𝑥 =𝑒𝑥 𝑒𝑥 − 1 − 𝑒𝑥(𝑒𝑥 + 1)
(𝑒𝑥
+ 1)(𝑒𝑥 − 1)
𝑓 ′ 𝑥 =𝑒2𝑥 −𝑒𝑥 −𝑒2𝑥 −𝑒𝑥
𝑒2𝑥 −𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 − 1
𝑓 ′ 𝑥 =−𝑒𝑥 −𝑒𝑥
𝑒2𝑥 − 1
𝑓 ′ 𝑥 =−2𝑒𝑥
𝑒2𝑥 − 1
Todas unidas
𝑓 𝑥 = ln 𝑒𝑥 + 1
𝑒𝑥 − 1
𝑓 𝑥 = ln 𝑒𝑥 + 1 − ln 𝑒𝑥 − 1
Solución 𝑓 ′ 𝑥
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Resolver 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 1 + 𝑥2) Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. Derivamos
Como derivada de ln𝑢 =𝑢′
𝑢
𝑓 ′ 𝑥 =1 +
1
2 1 + 𝑥2
1−12 ∗ (2𝑥)
𝑥 + 1 + 𝑥2
𝑓 ′ 𝑥 =1 + 𝑥 1 + 𝑥2
−12
𝑥 + 1 + 𝑥2
𝑓 ′ 𝑥 =1 +
𝑥
1+𝑥2
𝑥 + 1 + 𝑥2
𝑓 ′ 𝑥 =
1+𝑥2+𝑥
1+𝑥2
𝑥 + 1 + 𝑥2
Transponemos términos
𝑓 ′ 𝑥 = 1 + 𝑥2 + 𝑥
1 + 𝑥2 𝑥 + 1 + 𝑥2
Reducimos términos semejantes
𝑓 ′ 𝑥 =1
1 + 𝑥2
𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝑥2
Solución 𝑓 ′ 𝑥
Todas unidas
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Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3𝑥 Para resolver este ejercicio debemos tener en cuenta que también podemos reescribir esta función.
𝑓 𝑥 = ln𝑥 3 Derivando tendríamos
𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥 3−1 ∗ 1
𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥 2 ∗ 1
𝑥
Si volvemos a reescribirla de tal forma que nos quede como la estructura principal.
𝑓 ′ 𝑥 =3𝑙𝑛2𝑥
𝑥
Solución𝑓 ′ 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3𝑥
Todas unidas
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Resolver 𝑓 𝑥 = ln 1+𝑥
1−𝑥
Para apreciarlo mejor lo podemos reescribir.
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥
1 − 𝑥
Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos.
Dónde: ln 𝑗
𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚
Si reemplazamos seria:
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 Derivamos
Como derivada de ln𝑢 =𝑢 ′
𝑢
𝑓′(𝑥) =
1
2 1 + 𝑥
1
2−1
1 + 𝑥∗ 1 −
1
2 1 − 𝑥
1
2−1
1 −𝑥∗ −1
𝑓 ′ 𝑥 =
1
2 1 + 𝑥 −
1
2
1 + 𝑥+
1
2 1 − 𝑥 −
1
2
1−𝑥
𝑓 ′ 𝑥 =
1
2 1+𝑥
1 + 𝑥 +
1
2 1−𝑥
1−𝑥
Transponemos términos
𝑓′ 𝑥 = 1
2 1 + 𝑥 1 + 𝑥 +
1
2 1 − 𝑥 1 − 𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = 1
2(1 + 𝑥)+
1
2(1 − 𝑥)
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥
1 − 𝑥
Solución 𝑓′ 𝑥
Todas Unidas
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𝑓 ′ 𝑥 = 1
2
1
1 + 𝑥+
1
1 − 𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = 1
2
1 − 𝑥 + 1 + 𝑥
1 + 𝑥 1 − 𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = 1
2
1 + 1
1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2
𝑓 ′ 𝑥 = 1
2
2
(1 − 𝑥2)
𝑓 ′ 𝑥 = 1
1 − 𝑥2