derivadas de funciones multivariables

UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 7 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA

NACIONAL

FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Apuntes de

clases Prof. Ing.

Miguel Ángel Ramadán

Tema Derivadas de Funciones multivariables [email protected]

Por favor, s i se encuentra algún error (símbolos, letras, números, etc.) av isar mediante e-mail a la dirección del encabezado. Gracias .-

Derivadas parciales

Supongamos una función );( yxfz , continua en todo su dominio (f igura

113) y consideremos un punto );();( baPyxP 00 a part ir del cual, mediante un

incremento inf initesimal x , se llega a un punto );( oyxQ , obteniéndose un

incremento de la función z, debido a la variable x, cuya expresión es:

),(),()()( oooooiPQx yxfyxxfffzzz

leído sobre la curva de intersección con el [y=cte=yo] .

Sabemos, por Anam 1, que la derivada de una función se def ine como el

límite del cociente incremental entre el incremento de la función y el incremento

de la variable, cuando éste t iende a anularse: v

fLím

dv

df

0v

Por lo tanto, tomando el límite del cociente incremental formado entre el

incremento debido a x y el incremento de x, tendremos:

x

z

x

yxfyxxfLím

x

zLím oooo

0x

x

0x

),(),(

que es, por definición de der ivada, la derivada de la función con respecto a una

de sus variables independientes, la x.

mailto:[email protected]


Observemos:

1.- al pasar del punto P al punto Q, sólo varió la variable x, manteniéndose

constante la variable y, ya que el trayecto seguido fue a lo largo de un seg mento

de recta en la dirección de las x, no teniendo componente alguna en dirección

de las y.

2.- ello s ignif ica que, si bien la función es dependiente de dos variables, ella

cambió por efecto de los cambios de una de dichas variables, la x. Por ello se

dice que el cambio de la función es parcial , pues se debe a una, y sólo una, de

sus variables, y por el lo, la der ivada obtenida es llamada der ivada parcial .

3.- la notación de la derivada parcial ut i l iza una d griega, , en vez de la

d lat ina, para denotar que el cambio, o variación de la función se produce por

efecto de un cambio en una de sus variables, no actuando las restantes.

4.- también se dice que esta derivada es una derivada de la función en la

dirección de las x, ya que todo sucede para cambios de esta variable,

únicamente.

Por ello, la derivada parcial también es l lamada derivada direccional.

Y ahora podemos generalizar que toda der ivada es una derivada

direccional, si le asignamos a la variable cont ra la cual se der iva, algún

signif icado geométrico o posicional.

Del mismo modo, si ahora consideramos la f igura 11 4, vemos que si

seguimos a part ir del punto P, una dirección en el sentido creciente de las y,

hasta llegar al punto R, manteniendo invariab le la posición x en 0x , leemos en

las intersecciones de los ejes paralelos a z (que pasan por los puntos P y R)

con la curva intersección entre la superf icie de la función y el [x=cte=xo] , sendos

valores de la función ( )(Pz y )(Rz ) que definen el incremento parcial de la función


con respecto a la variable y: ),();()()( oooooiPRy yxfyyxfffzzz

Con este incremento parcial conformamos el cociente incremental: y

zy

al que, al tomarle el límite, nos define la der ivada de la función con respecto a

su variable y, es decir, la derivada direccional en la dirección y, de la función:

y

z

y

yxfyyxfLím

y

zLím oooo

0y

y

0y

),();(

Interpretación geométrica

Consideremos nuevamente la f igura 114, y tomemos en la f igura 115

la v ista correspondiente al plano intersección [x=cte=xo] , solamente.

Vemos que )(tgy

zy

, al considerar el tr iángulo rectángulo formado por la

cuerda entre los puntos de )(Pz y )(Rz , y los catetos yz y y .

Junto con el hecho de que al tender y a cero, el punto de )(Rz se acerca

más y más al punto de )(Pz , se deduce que la cuerda, o secante, t iende a la

tangente en el punto de )(Pz , con lo que el ángulo t iende más y más al valor

º180 , por lo que: )()º())(( Tg180TgTgLímy

zLím

y

z

0y

y

0y

lo que signif ica que el valor de la der ivada en el punto P es igual al valor

tr igonométrico de la tangente de un ángulo (en este caso, ); o lo que es lo

mismo, se interpreta que el valor de la derivada en el punto P es igual al valor

de la pendiente de la recta tangente a la curva intersección correspondiente al

punto P del dominio. (Nótese que no se dice que la der ivada es igual a la

tangente).

De un modo simi lar, se puede concluir que: )())(( TgTgLímx

zLím

x

z

0x

x

0x


util izándose los ángulos y , en virtud de ser tomados como los ángulos

directores con respecto a los ejes coordenados, en las definiciones de la

Geometría Analít ica.

Estas derivadas obtenidas hasta aquí son de primer orden, o derivadas

primeras, teniendo una función mult ivariable tantas derivadas primeras como

variables independientes posea; así, para );;( zyxfw , se tendrá:

)(0

Tgx

wLím

x

w x

x

, )(

0Tg

y

wLím

y

w y

y

, )(

0Tg

z

wLím

z

w z

z

Dado que la derivada representa numéricamente el valor de la pendiente

de una recta que es tangente a la curva involucrada en el punto referenciado por

el dominio de la función, inferimos que las pendientes pueden ser crecientes,

decrecientes o nulas, y por ello, las derivadas pueden ser un número real

posit ivo, negativo, o nulo.

Cálculo de la der ivada parcial

Para calcular la derivada parcial, como cualquier derivada, hay tres

procedimientos:

1.- por definic ión: se determinan los incrementos de las variables independiente

y dependiente; se establece el cociente incremental entre ambos incrementos;

se toma el límite del cociente incremental; se opera algebraicamente hasta

llegar a la mínima expresión. El límite se toma para la variable independiente

que opera como tal mientras las otras variables se consideran como constantes,

es decir, se opera como si se tratase de una función monovariable;

2.- por derivación directa: como en Anam 1, apl icando las propiedades allí

v istas, que se aplican idénticamente a las derivadas parciales. También aquí se

prepara la expresión a derivar teniendo en cuenta cuál variable operará como

independiente, y cuál como constante;

3.- mediante tablas de derivadas: para agi lizar la obtención de las expresiones

de las derivadas se recurre a tablas en las que las deri vadas de funciones más

frecuentes se encuentran ya determinadas en un principio (generalmente

simból ico) de mínima expresión. Las tablas más apropiadas son las llamadas de

variable universal (variable U), debiéndose adaptar la expresión en variable

universal a la variable con la que se quiera operar. Las der ivadas tabuladas son,

en general, expresiones de apl icación directa, aunque también es frecuente la

necesidad de combinar las indicaciones de la tabla a f in de obtener la der ivada

f inal de algunas expres iones un tanto más compuestas. En suma, hay que


codif icar y decodif icar, mediante el uso de la tabla de der ivadas en variable

universal.

Valuación de una derivada: en las aplicaciones prácticas es frecuente tener

que calcular el valor de la derivada para determinadas condiciones del

problema, o del fenómeno; en estos casos hay que tener en cuenta:

a.- el número representativo de la der ivada es un número real posit ivo, o

negativo, o nulo;

b.- dicho número se obtiene reemplazando en la estructura algebra ica de la

derivada (ley, en su mínima expresión) los valores de la condición del

fenómeno, establecidos en el enunciado del mismo, y que, por convención

matemática, es una n-upla ordenada (par, terna, etc.);

c.- dado que la función a der ivar puede representar algún t ipo de magnitud

física (velocidad, t iempo, temperatura, etc.) el número real obtenido en la

valuación puede ser un número abstracto (sin dimensión), o un número concreto

(con dimensión), por lo que hay que tener en cuenta al expresar el resulta do

f inal de la der ivación el t ipo de dimensión que tal número representa;

d.- todo número emergente del cálculo (por derivación u otros algoritmos) está

sujeto a la convención del redondeo a dos cifras signif icativas después de la

coma, por exceso si la tercer c ifra es igual o superior a 5, o por defecto s i es

inferior a 5 (salvo indicación específ ica en otro sentido; los inf initésimos, tales

como, por ejemplo, los incrementos anteriormente vistos, se redondean con el

mismo criterio con cinco cifras signif icativas después de la coma).

Los procedimientos indicados son objeto de estudio de las clases

prácticas.

* * * * * * *

UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA

NACIONAL


ANÁLISIS MATEMÁTICO I I Ejemplario Prof . Ing .

Mig ue l A nge l Ram ad á n

Derivadas Parciales

132.- Hallar la der ivada de 223 yxy3x2z con respecto a y, aplicando la

definic ión de der ivada.

Planteo, desarrollo y resultado:

Como );( yxfz , entonces la der ivada sol icitada es una derivada parcial:

y

yxy3x2yyyyx3x2Lím

y

zLím

y

z 223223

0y

y

0y

)()().(

y

yxy3x2yyyyy2yx3x2Lím

2232223

0y

)()...(


y

yxy3yyyyy2yx3Lím

22222

0y

)()...(

y

yxy3yyyx3yyx6yx3Lím

22222

0y

)(.....

y

yyyyx3yyx6Lím

222

0y

)(....

220y

22

0y yy

1

yyy

1yx3yx6Lím

y

y

y

yyyx3yx6Lím

.).(...

)(...

222

22

0y yyyy

yyyyyyx3yx6Lím

.).(

).(....

222

222

0y yyyy

yyy2yyyyyx3yx6Lím

.).(

)..(....

222

3222

0y yyyy

yyy2yyyyyx3yx6Lím

.).(

.......

222

32

0y yyyy

yyy2yx3yx6Lím

.).(

.....

222

3

222

2

0y yyyy

y

yyyy

yy2yx3yx6Lím

.).(.).(

.....

)(...)(.)(

...332220y y

2xy3

y

2yx6

yyy

y

yyy

2yx3yx6Lím

Que es la expresión de la derivada, obtenida por apl icación de la

definic ión de der ivada.

* * * * * * *

133.- Derivar directamente, aplicando propiedades, la función del ejercicio

anterior, también con respecto a y.


La función t iene un desarrollo con tres términos. La derivada del primer

término es nula, por cuanto el término es constante con respecto a y; la

derivada del segundo término es xy6 ; y la derivada del tercer término es 3y2 .

Por lo tanto: )()(.. 3

33y2xy3

y

2xy3

y

2yx60

y

z

(Más rápido que apl icando la definición, ¿no? La conclusión inmediata es que

conocer muchas propiedades de la derivación, permite una determinación

directa de la función derivada, sin tener que pasar por el desarrol lo


relat ivamente extenso de la aplicación de la definición; salvo que así se lo

solicite.)

* * * * * * *

134.- Resolver la misma derivada del ejercic io anterior, ut i l izando tablas de

derivadas.


Como se di jo en clases, el uso de las tablas de der ivadas facil i ta y acelera

la determinación de las der ivadas que se necesiten. Como todas las cosas, hay

que aprender, y practicar, el uso de estas tablas. Las tablas que preferiremos

serán las de variable universal u .

En general, el trabajo con tablas se necesita cuando la der ivación directa

o por propiedades resulta difícil , por cualquier circunstancia. El uso de la tabla

implica una especie de codif icación/decodif icación de los element os de la

función.

En este ejercic io, dada la simplicidad e inmediatez de su derivación

directa, se dif iculta apreciar la ventaja de una buena tabla de derivadas.

Por ejemplo, analizando los componentes de la función, y al mismo t iempo

el contenido de la tabla, se ve que el primer miembro, con respecto a la variable

y es una constante; y la derivada de una constante, en la tabla, es cero, por lo

que convirt iendo en una constante a dicho término: 3x2C , vemos que en la

tabla: 0du

dCx2C 3 )'(' .

El segundo término puede codif icarse así, observando la tabla:

)(...).( ufCuCyCyx3xy3 2222

cuya derivada, según la tabla, es:

1y2CuuaCdu

uduaC

du

udC

du

udC

du

ufdCufC

du

uCduC 1a

1aa222 ...'...

)(...

)(.

)(.

))((.)('.

).(]'.[

o sea: xy6 ; y en cuanto al tercer término: a2 uy por lo que:

31aa2 y2uauy .)'()( '

En consecuencia:

)()(.. 3

33y2xy3

y

2xy3

y

2yx60

y

z

* * * * * * *

135.- Hallar las derivadas parciales de yxyxfz .);( , aplicando la definición de

derivadas.



yyLímx

xyLím

x

xyxyxyLím

x

xyyxxLím

x

zLím

x

z

0x0x0x0x

x

0x

)()()()

).(()(

xxLímy

yxLím

x

xyyxxyLím

x

xyyyxLím

y

zLím

y

z

0y0y0y0y

y

0y

)()()()

).(()(

* * * * * * *

136.- Hallar las derivadas parciales de yxyxfz .);( , aplicando la derivación

directa.


Analizando la estructura funcional vemos que, en un caso una variable

actúa como tal mientras la otra es tomada como constante, y en el otro caso se

intercambian dichos roles, por lo tanto: yx

z

y x

y

z

* * * * * * *

137.- Hallar las derivadas parciales de yxyxfz .);( , aplicando la tabla de

derivadas, en variable universal.


:x

z

pensamos a la función como: uCCxz ..

y, según la tabla, es: '.' uCz donde: 1du

duu '

por lo que: yC1Cx

zz

.' luego: y

x

z

:y

z

pensamos a la función como: uCyCz ..

y, según la tabla, es: '.' uCz donde: 1du

duu '

por lo que: xC1Cy

zz

.' luego: x

y

z

* * * * * * *

138.- Hallar las derivadas parciales de 32 yx3yxfz .);( , aplicando la tabla de

derivadas, en variable universal.


:x

z

Pensamos a la función como: a223 uCxCxy3z ..)(

y, según la tabla, es: 3311a xy6x2y3u2C1u2CuuaCz .....'...'

entonces: 3xy6x

z


:y

z

Pensamos a la función como: a332 uCyCyx3z ..)(

y, según la tabla, es: 2222221a yx9y3x3u3C1u3CuuaCz .....'...'

entonces: 22 yx9y

z

* * * * * * *

139.- Hallar las derivadas parciales de 32 yx3yxfz .);( , aplicando la definición

de derivadas.


¿Se puede derivar?: sí; no; ¿por qué?.

)

)(()

.)(()(

x

yx3yxxx2x3Lím

x

yx3yxx3Lím

x

zLím

x

z 32322

0x

3232

0x

x

0x

333

0x

233

0x

3223332

0xxy6xy3xy6Lím

x

xy3xxy6Lím

x

yx3xy3xxy6yx3Lím

)()()(

y

)

)(()

).(()(

y

yx3yyy3yy3yx3Lím

y

yx3yyx3Lím

y

zLím

y

z 3232232

0y

3232

0y

y

0y

)()(

y

yx3yyx9yyx9Lím

y

yx3yx3yyx9yyx9yx3Lím

322222

0y

3232222232

0y

2222222

0yyx9yx3yyx9yx9Lím

)(

* * * * * * *

140.- Hallar las derivadas parciales de 32 yx3yxfz .);( , aplicando la derivación

directa.


1.- considerando a y como constante, se t iene: 33 xy6x2y3x

z

2.- considerando a x como constante, se t iene: 2222 yx9y3x3y

z

* * * * * * *

141.- Valuar las der ivadas parciales de yxyxfz .);( , para las condiciones:

a.- C(1;2); b.- C(1;-2); c.- C(-1;2); d.- C(-1;-2).

Resultados:

a.- 2yx

zC

C

)( 1x

y

zC

C

)( b.- 2y

x

zC

C

)( 1y

y

zC

C

)(


c.- 2yx

zC

C

)( 1x

y

zC

C

)( d.- 2y

x

zC

C

)( 1x

y

zC

C

)(

* * * * * * *

142.- Escriba las conclusiones a que arriba luego de anal izar los resultados

obtenidos en el ejercicio anterior.

* * * * * * *

143.- Valuar las derivadas parciales del ejercic io 138 para las condiciones:

a.- C(-3;4); b.- C(2;1).

* * * * * * *

144.- Valorar las derivadas parciales del ejercic io 132 para las condiciones:

a.- C(-3;4); b.- C(2;1).

* * * * * * *

En los 3 ejercicios siguientes, derivar directamente, apl icando las

propiedades de la der ivación y valorar para la condición C(2;1):

145.- 7xyyx3x2z 1223


¿Se puede derivar?: valuemos la función en la condición dada:

23

2332322

2

2

3

1223

yx

yxxyyxx3y27

x

1

y

1yx3

x

27xyyx3x2z

expresión que, si bien incompleta, ya nos permite apreciar una discontinuidad

en (0;0), pero que será continua en C(2;1).

Lo confirmamos valorando en C(2;1):

721123227xyyx3x2z 1223C

1223C ...)()(

4

21

4

2

4

24

4

1

2

16

4

17

2

1112

4

17

2

11232 22 . número real

Y sacando el límite:

)]([)()(

);();();();(7xyyx3x2LímLím7xyyx3x2LímzLím 1223

2x1y

1223

12yx12yx

L4

2172123272yy232Lím 12221222

1y

.].[

Y como Lz C )( la función es continua y der ivable para la condición C, y el

incremento de la función es expresable por medio de un diferencial valorado

para esta condición, por lo que es diferenciable.

Entonces, las derivadas son:

2424 xxy6x60x1xy32x32x

z

)(.).( ( ley)


luego: 8

101

8

2963

4

112

8

3

4

11223212626

x

z 324

C

....

y 32 y2x3y

z

por lo que: 102121223y2x3

y

z 32C

32

C

..)(

* * * * * * *

146.- 3 22yxz

.


Ley:

x

xy

x

yx

x

yx

x

yx

x

yx

x

z 3

2

3

43

4

3

2

3

1

423 423 22][].[]).[().().(

3 543

1

543

5

3

41

3

2

3

4

xy3

2xy

3

2xy

3

2x

3

2y

][)( luego:

Valor:

3 3

53

5

3 53 54

C 3

2

2

1

2

12

3

221

3

2

x

z)(

2101083232

2 3 13 32335

3

,)(..

y

y

yx

y

yx

y

yx

y

yx

y

yx

y

z 3

4

3

23

4

3

2

3

1

423 423 22][].[]).[().().(

3 1723 723

1

723

7

3

21

3

4

3

2

yx3

4yx

3

4yx

3

4yx

3

4y

3

4x

)(][)(

por lo que:

8303

44

3

44

3

44

3

412

3

4

y

z3

3

23 1

3

3

3 133 13 172

C

,)()(

* * * * * * *

147.- 32yxLnz

.


La función está definida en la condición dada, por lo tanto:

Ley: 1

63

46

63

63

6332

x3yx

x3y

yx

x

yx

x

yxLn

x

yxLn

x

z

.

).(

.

).(

)).(().(

luego:

Valor: 512

323

x

z 1

C

,.


y 1

63

73

63

63

6332

y6yx

y6x

yx

y

yx

y

yxLn

y

yxLn

y

z

.

).(

.

).(

)).(().(

por lo que: 616y

z 1

C

.

* * * * * * *

148.- Derivar 32yxLnz

. mediante tabla de derivadas de variable u.


El uso de la tabla de der ivadas supone que ya se posee cierta experiencia

en der ivación directa de las estructuras más elementales. Y una nueva

derivación util izando tablas enr iquece tal exper iencia, y así sucesivamente, de

modo que a medida que este c iclo se repite, el uso de la tabla se transforma

también en una especie de derivación directa asist ida, en una especie de

procedimiento híbrido entre la indicación de la tabla y el conocimiento previo de

ciertas derivadas directas .

En este ejercic io podríamos hacer 6332 .. yxyxu con lo que tendríamos

que )(.32 uLnyxLnz

.

Buscando en la tabla, suponiendo que para nosotros no es directa la

derivada del logar itmo neperiano, encontramos que u

uuLn

')(

' , y recordando que

la función es de dos variables, adaptamos la indicación de la tabla para esas

dos variables: u

uuLn x

x

''

)( y u

uuLn

yy

''

)( .

Encontremos las der ivadas, primero para x y después para y:

64284242'

32' ..3...3.)..(3.

yxyyxyyxyxu

xx con lo que:

1

3

4

63

64''

.3.3

.

..3)(

x

x

x

yx

yx

u

uuLn

x

z xx

y 738442'

32' ..62...32.)..(3.

yxxyyxxyyxyxu

yy con lo que:

1

6

7

63

73''

.3.3

.

..6)(

y

y

y

yx

yx

u

uuLn

y

z yy

* * * * * * *


En los 5 ejercic ios siguientes, derivar y valorar para C(2;1), ut i l izando el

procedimiento que considere conveniente. Expl ique si se obtiene siempre

funciones definidas: 149.- 3 22

1

yx

xz

150.- yxz 151.- yxz 3.

152.- )(. xLnxz y 153.- 32.yxLnLnz

* * * * * * *

154.- Hallar el valor de

yx

y-xSenz si P(2;1)en '.'. yx zyzx

* * * * * * *

155.- Determinar la ley de variación de volumen que exper imenta el recinto del

ejercic io 114 y comparar los valores con los incrementos obtenidos

oportunamente.


);;( cbafcbaV habrá, entonces, tres variaciones parciales de volumen,

una por cada ar ista: cm

cm 75,85,3.5,2

3

cb

a

V

y el incremento de volumen debido a la arista a, es:

3cm 875,05,3.5,2.1,0.. cbaVa

Los cm

cm 75,8

3

representan una razón de cambio del volumen por cada cm de

cambio de la arista, mientras que 3cm 875,0 representa la variación del volumen al

variar 0,1 cm la arista a.

Proseguir con los otros valores restantes.

* * * * * * *

156.- Hallar el valor del área 2

)(.. SenabA de un recorte tr iangular, y luego su

ley de variación con respecto a, respectivamente: su base; su altura; el ángulo

, si a=20 cm, b=30 cm, =30º.


Primero buscamos una disposición triangular que

sea compatible con la fórmula de área suministrada;

podría ser la indicada en la f igura 116; entonces:

Valor del área: 22 cm 150cm2

)º30(.20.30

2

)(..

SenSenabA


Ley de variación con respecto a la base:

cm

cm 5

cm

cm

2

)º30(.20

2

)(. 22

SenSena

b

A

Ley de variación con respecto a la altura:

cm

cm 5,7

cm

cm

2

)º30(.30

2

)(. 22

SenSenb

a

A

Ley de variación con respecto al ángulo:

)(º

cm 81,259

)(º

cm

2

)º30(.20.30

2

)(.. 22

CosCosabA

* * * * * * *

157.- Determinar los valores del área, de su incremento y de su ley de

variación, en el problema anterior, si el ángulo aumenta un cuarto de radián.


Los 30º inic iales equivalen a rad 6

º30

, por lo que si aumenta un cuarto

de radián, el nuevo ángulo es: 44,32ºrad )4

1

6(

por lo que el área

nueva t iene un valor: 2cm 61,2092

)4

1

6(.20.30

2

)(..

SenSenab

A

El incremento del área, en función del ángulo, es:

)]()([2

.

2

)(..

2

)(..

SenSen

abSenabSenabA

2cm 61,59)]6

()4

1

6([

2

20.30

SenSen

La ley de variación es: )(º

cm 62,214

2

)4

1

6(.20.30

2

)(.. 2

CosCosabA

* * * * * * *

158.- En un trozo triangular de corcho, de lados b=10 cm, c=15 cm y con un

ángulo = 1 radián, determinar: a) el valor de a; b) la rapidez de cambio de a

con respecto a b solamente; c) la velocidad de variación de a con respecto a

solamente; d) la rapidez de variación de con respecto a b solamente.

* * * * * * *

159.- Hallar la ley de variación y valorarla en C(2;1), si:

22

22

22

22

22

22

yx

yxTanLnz c)

yx

yxCosLnz b)

yx

yxSenLnz a)


22

221-

22

221-

22

221- Tan z f) Cos z e) Sen z d)

yx

yx

yx

yx

yx

yx

* * * * * * *

Hallar, método directo, las der ivadas parciales de las siguientes funciones:

160.- xyz 3

Resultados:

1..3)3(

xx

yxx

y

x

z )(..3

)3(yLny

y

y

y

z xx

* * * * * * *

161.- 22 43 uyxw

Resultados:

xx

w2

3

y

w u

u

w8

* * * * * * *

162.- 2

.3 2 xyexz

Resultados:

)2.(33.6 222 222

xyxeeyxexx

z xyxyxy

22 32 623 xyxy yexxyexy

z

* * * * * * *

163.- )()( 1 ytgyarctgz

Resultados:

2222

)(

)(1

1

yx

y

x

y

x

yx

z

222

1

)(1

1

yx

x

x

x

yy

z

164.- dycx

byaxz

Resultados:

22 )()(

)()(

dycx

bcady

dycx

byaxcdycxa

x

z

y

z completar

* * * * * * *

165.- zyxexzyzxyw 2

Respuestas:

zyxezyx

w

22 zyxezxy

w

2

z

w completar

* * * * * * *


166.- )()( 2xCosvuw

Respuestas:

)().(2 2xSenvuxx

w

y

w

z

w completar

* * * * * * *

167.- )(. yxCosez yx

Respuestas:

x

z

y

z completar

* * * * * * *

168.- 232 )2( yxeyxarctgz 169.- )().3( zLnxyw

170.- )().3( zLogxyw 171.- )(. 32

x

ySenxu

172.- )()(y

xSenxyLogz 173.- )()(

y

xSenxyLnz

174.- )3(. 2

2yxCosz

xy

zw 175.-

2yxz

176.- xyexyLnz )( 177.- xyexyLogz )(

* * * * * * *

178.- Valorar la función )]2([ yxSenez x y todas sus derivadas parciales en el

punto )1;2(P .

Planteo, desarrollo y respuesta:

)4(.)]22([)]]2([[][ 22 SeneSeneyxSenez Px

P

Pongamos atención a que, en este caso, las coordenadas del punto se

dimensionan en radianes (y no en grados) para util izarlas en el argumento de la

tr igonométrica.

Por lo tanto, al usar la calculadora, debemos configurar el v isor en

radianes, antes de efectuar los cálculos.

De este modo: 10,010242208,0][ Pz

Las derivadas parciales son:

)]2()2([)]2(.[)]2(.[ yxSenyxCoseyxCoseyxSenex

z xxx

luego:

)]22()22([)]]2()2([[][ 2 SenCoseyxSenyxCosex

zP

xP

014,0013961035,0)]4()4([2 SenCose


Verif ique lo anterior y determine lo concerniente a la der ivada restante.

* * * * * * *

179.- Calcular las derivadas parciales de la función, en el punto (0;0) , definida

por:

(0;0)y)(x; para 0

(0;0)y)(x; todopara );( 22 yx

xy

yxfz


Por la definición de la función vemos que en el or igen su valor es cero,

pero el denominador nos dice que en el origen la función debiera ser

discontinua.

Veamos qué pasa si calculamos una de las derivadas parciales y la

evaluamos en el origen:

222

22

222

32

222

232

222

22

)(

)(

)()(

2

)(

2).(

yx

xyy

yx

yyx

yx

yxyyx

yx

xxyyxy

x

z

0

0

)00(

)00(0][

222

22

P

x

z

es decir que nos encontramos con una indeterminación, que no podemos salvar;

por ello, será más conveniente calcular la derivada aplicando la definic ión de

derivada en el origen: ][]

);()(

)(

[0

22

0 x

ffLím

x

yxfyxx

yxx

Límx

z oi

xx

que evaluamos en el origen, sabiendo por definic ión que 0);( Po yxff :

0]0[]0

[]

0

[]

00)0(

00

[])(

[030

2

0

2

0

22

0

xxxxP

o

xP

Límx

Límx

xLímx

xLím

x

fyxx

xyxy

Límx

z

Calcule Ud. el valor de la otra derivada.

* * * * * * *

180.- Verif icar que la función definida por 5642 2123);( xyxyxyxfz

satisface a la expresión: zy

zy

x

zx

6


554 2726 yxxyx

z

y 432 1012 xyyx

y

z

y entonces:

)363(2]2726[ 554554 yxxyxyxxyxx

zx

y también:

)56(2)1012( 4432 yxxyxyyxyy

zy

y sumando:

54256424554 10122726)56(2)363(2 xyyxxyxyxyxxyyxxyx

y

zy

x

zx


zxyxyxxyxyx 6)2123(6127218 56425642

* * * * * * *

181.- Hallar la pendiente de la función 8

25

2

1);( 22 yxyxfz en el punto

)1;2

1(P y en las direcciones de x y de y.

Pista

Las pendientes vienen dadas por las derivadas parciales valoradas en el

punto, siendo cada der ivada parcial, una derivada direccional, una en la

dirección de las x y la otra en la dirección de las y.

* * * * * * *

182.- Lo mismo que el ejercicio anterior, para la función 6

);(2xy

yxfz .

* * * * * * *

183.- Hallar la tasa de cambio del volumen, respecto de la altura, de un

cil indro circular recto, donde la altura es de 20 cm y el radio permanece

constante en 4 cm.

* * * * * * *

184.- Siendo )].2([ 2 zxySenzw hallar las leyes de todas las derivadas parciales

posibles.

* * * * * * *

Diferencial de una función mult ivariable

Para llegar a una definic ión del diferencial de una función mult ivariable

necesitamos recurrir a una adaptación del Teorema del Valor Medio visto en

Anam1.

Teorema del valor medio

Supongamos que una función );( yxfz grafica una superf icie como lo

indica la f igura 117.

En la f igura 118 tenemos su dominio de

existencia, en el que suponemos un entorno

reducido del punto );( yxP , punto en el que

suponemos la cont inuidad y la valuación

concreta de la función y sus derivadas, y se

ha dibujado, conveniente y exageradamente

ampliada, a una porción del entorno del punto


P a los efectos de rotular con comodidad los puntos de interés.

Las posic iones intermedias entre los puntos, tanto en el sentido de las x

como en el sentido de las y, se establecen mediante 10 1 y 10 2 .

En estas condiciones, el incremento total de la función, entre el punto P y

el punto R (por ejemplo), es:

),();(inicialdaincrementa)()( yxfyyxxfffffzzz oiPR

A los efectos de hacer aparecer el teorema de Lagrange en esta expresión,

le sumamos y le restamos (para no alterarla), o el valor de la función en el punto

S, o el valor de la función en el punto Q; adoptemos este últ imo, por gus to:

);();(),();( yxxfyxxfyxfyyxxfz

Asociemos el primer y cuarto términos, por un lado, y el tercer y segundo

términos, por el otro:

)],();([)];();([ yxfyxxfyxxfyyxxfz

El primer término del segundo miembro es una diferencia de dos

valores Inf initesimalmente próximos ( y ) de una misma función, por lo que

puede expresarse, según Lagrange, como el producto de la derivada de la

función, valorada en un punto intermedio ( y ), por el incremento de la variable

“que se está moviendo”: yy

yyxxfyxxfyyxxf

).;()];();([ 2

Del mismo modo, la segunda asociación del segundo miembro, se expresa

como: xx

yxxfyxfyxxf

);.()];();([ 1

En consecuencia, podemos reescribir el incremento total de la función

incorporando “estos Lagranges”:


xx

yxxfy

y

yyxxfyxfyyxxfz

);.().;(),();( 12

que es el teorema del valor medio, adaptado a las funciones mult ivariables, que

nos permite pasar de las estructuras algebraicas para la determinación del

incremento, a estructuras del cálculo analít ico, concretamente, a la apl icación

de las derivadas.

Incorporando la otra notación de un punto intermedio, abreviamos así la

expresión del teorema: xx

yxfy

y

yxxfyxfyyxxfz

);();(),();(

Diferencial total

A part ir de la últ ima expresión del teorema del valor medio, le aplicamos la

propiedad conmutativa al tercer miembro a f in de ordenarla al estilo de un par

ordenado: yy

yxxfx

x

yxfyxfyyxxfz

);();(),();(

Dado que suponemos conocida la función en el punto );( yxP , es lógico que

busquemos una expresión del incremento total de la función en relación a las

derivadas parciales de la función, valoradas en dicho punto; para ello, tomamos

límite de las derivadas parciales:

x

z

x

Pf

x

yxf

x

yxfLím

P

yx

)(

00

)();();( y

y

Pf

y

yxf

y

yxxfLím

yx

)();();(

00

Esto nos permite establecer que los valores de las derivadas en los puntos

intermedios pueden expresarse en función de los valores de las derivadas del

punto de acumulación, );( yxP en este caso, más un inf initésimo )( de

aproximación:

1

);();(

x

yxf

x

yxf y 2

);();(

y

yxf

y

yxxf

donde el doble signo ( ) contempla la posibi l idad de que el punto R se

encuentre a uno u otro lado del punto P (o v iceversa).

El valor es el valor inf initesimal que separa el valor de la derivada en el

punto intermedio respecto al valor del punto de referencia ( P), y es un

inf initésimo de orden superior con respecto al incremento de la variable.

Introduciendo las últ imas expresiones en la del incremento total,

tendremos:

yy

yxfx

x

yxfy

y

yxxfx

x

yxfz

]

);([]

);([

);();(21

de donde:


yxyy

yxfx

x

yxfyy

y

yxfxx

x

yxfz

2121

);();();();(

donde los dos últ imos términos del tercer miembro, al ser producto de dos

inf initésimos constituyen inf initésimos de orden superior; del mismo modo su

suma:

IOSyy

yxfx

x

yxfyxy

y

yxfx

x

yxfz

);();()(

);();(21

donde IOS es la suma algebraica de todos los inf initésimos de orden superior de

la expresión.

Comparando los miembros extremos de la últ ima expresión obtenida, se ve

la correspondencia directa entre el incremento total de la función y los

incrementos de las variables que lo genera n.

Recordando que por Leibnitz es dxx (para la función monovariable

)(xfy , pero ydy ) y homologando para las funciones mult ivariables: dxx ,

dyy , dzz reescribimos: IOSdyy

yxfdx

x

yxfz

);();(

La suma de los dos primeros términos del segundo miembro (lineales), que

constituye la parte principal del incremento, define al diferencial exacto, dz , de

la función mult ivariable de dos variables independientes:

dyy

yxfdx

x

yxfdz

);();(

De este modo, el incremento total de la función es:

IOSdzIOSdyy

yxfdx

x

yxfz

);();(

expresión en la que se ve claramente que la diferencia entre el incremento total

de la función y el diferencial total de la misma está dada por la presencia de

inf initésimos de orden superior: IOSdzz

Volv iendo a las expresiones a , s i se toma el límite de la expresión ,

se t iene: );(

][);(

][);(

]);(

[

00

1

00

1

00

00

1

00 x

yxfLímLím

x

yxfLím

x

yxfLím

x

yxfLím

yx

yx

yx

yx

yx

que, por , se deduce que: 0][ 1

00

yxLím y entre y , y por la misma

razón: 0][ 2

00

yxLím , o bien: 0,...,...),( 21 cuando 0,...,...),( yx

Para el caso de funciones de más variables independientes, simplemente

se homologan las expresiones vistas:


si );;( zyxfw , entonces:

zyxdzz

zyxfdy

y

zyxfdx

x

zyxfw

321

);;();;();;(

dzz

zyxfdy

y

zyxfdx

x

zyxfdw

);;();;();;(

Aplicación del diferencial al cálculo de aproximaciones y de errores

Aproximaciones

En todo proceso industrial de fabricación y/o de medición existen, o

errores o aproximaciones, o ambos.

Ello se debe a un conjunto de causas, entre las que sólo mencionaremos

la imperfección de los materiales, la aproximación de los instrumentos (o

calidad, en ciertos t ipos), la tolerancia de fabricación, errores humanos

(paralaje, por ejemplo), la concurrencia de algunos o de todos los mencionados;

esto sin agotar las causalidades.

Como vemos en la asignatura Física, existen un conjunto de definic iones

de errores normatizados, como el error relat ivo, el aproximado, etc.

Se ha convenido util izar el algoritmo de los diferenciales para la

determinación de las aproximaciones y de los errores.

Ello se basa en el hecho real de que, tomando como ejemplo la tolerancia

de fabricación, todos sabemos que los materiales y los disposit ivos son

fabricados con una cierta tolerancia en sus números (pesos, dimensiones,

respuestas, etc.).

De este modo, si se t iene un cierto algoritmo o función que representa

cierta magnitud a obtener del producto, tal algor itmo representa de algún modo

la perfección esperada del producto.

Supongamos que se espera un comportamiento del producto representado

por );( yxfz , pero, por algunas de las razones mencionadas, se obtiene una

desviación:

IOSdzIOSdyy

yxfdx

x

yxfz

);();( esperadoValor -obtenidoValor .

Es decir que podemos decir que la desviación es medida por el incremento

de la función. Recordemos que el incremento puede ser negativo, posit ivo, o

nulo.

Una tolerancia de fabr icación aceptable, o tope, en general, ronda un valor

%10 de desviación.


Dado que es posible comprobar estadíst icamente que los IOS caen por

debajo de tal tolerancia, se los desprecia al determinarse el incremento (o

desviación, o cambio, etc.) y se acepta, como medida de la diferencia: dzz

esto es, se desprecian los valores de los inf initésimos de orden superior, frente

a los números de la realidad; por lo que todo incremento será ponderado por

medio del diferencial de la magnitud, y el lo será con aproximación mejor que la

tolerancia de fabricación, dado que la tolerancia implica un número por arr iba de

los IOS .

En el caso de los instrumentos de medición, éstos se fabrican con un

número que determina el error de medición que ya trae de fábr ica el

instrumento, comparado con un instrumento patrón; tal número es llamado

calidad del instrumento.

Se t ienen instrumentos del 10% de cal idad, que signif ica que “nos

mienten” un 10% sobre la magnitud medida, en más, o en menos; son baratos y

de “batal la”.

Una calidad del 7% es un instrumento con un poco más de precisión, más

caro, aunque muy accesible todavía.

Uno del 3% de cal idad ya es un instrumento más caro, más preciso, para

trabajos de mayor atención.

Una calidad del 0,5% es una calidad para instrumentos de laboratorios, y

allí son uti l izados prácticamente como instrumentos patrón, y obviamente son de

mucho mayor precio, comparativamente.

En general, todas estas calidades, al inf luenciar en la magnitud a medir

con un número mayor a los IOS , permiten despreciarlos, u t i l izándose también

dzz para determinar las diferencias de mediciones (Valor medido -Valor

calculado).

Por lo tanto, sabiendo que IOSdzyxfyyxxfz ),();(

donde z representa la diferencia entre el valor incre mentado de la cantidad por

efecto, parcial o total, de pequeños cambios ( x y/o y ) en las variables, se

t iene que el valor de la función, o magnitud, incrementada, es:

IOSdzyxfzyxfyyxxf ),(),();(

donde, si los valores x y y son muy pequeños, los IOS lo serán más aún y

serán apreciablemente menores (en el peor caso, simi lares) a las tolerancias de

fabricación o al efecto de las calidades de los instrumento s, por lo que se los

podrá despreciar, y entonces:


yy

yxfx

x

yxfyxfdzyxfyyxxf

);();(),(),();(

que es la expresión con la que calcularemos las aproximaciones, como veremos

en las clases prácticas.

Errores

En la asignatura Física vemos que hay un grupo de errores que se

propagan tanto en la fabr icación como en la medición de materiales, productos,

etc., debido a las tolerancias, a las calidades, a los errores humanos, etc.

A estos errores podemos aplicar les el algoritmo del diferencial exacto de

una función, a f in de ponderarlos. Pero ello se hace en base a convenios

oportunamente establecidos a part ir de la consideración:

dyy

yxfdx

x

yxfdzyxfyyxxff

);();(),();(

donde f representa el cambio de la magnitud física en función de la

propagación de los efectos de, bien las apreciaciones de los instrumentos, bien

de los errores humanos, bien de las cal idades de los instrumentos de medición,

etc., a lo largo de las estructuras funcionales de la magnitud; es decir, en

función de todo aquello que represente un pequeño c ambio, posit ivo o negativo,

en las variables independientes ( x y/o y , por ejemplo) de la magnitud física.

En Anam2 nos referiremos a algunos de los errores que vemos en Física,

tales como los siguientes errores típicos, aceptándose que si la magnitud física

está representada por );( yxfz , el error en su valor, debido a la existencia de

aproximaciones, o cal idades, x y/o y , será ponderado mediante la expresión

dzz o directamente por dyy

yxfdx

x

yxfdz

);();(.

Y si la magnitud está representada por );;( zyxfw , el error se pondera por

alguna expresión que contenga dzz

fdy

y

fdx

x

zyxfdw

);;(; y así

sucesivamente.

Error aproximado:

Es el error determinado directamente por el diferencial exacto de la

función, donde el error se denota por dz y se determina por el algor itmo

dyy

yxfdx

x

yxfdz

);();(, donde las derivadas (que pueden ser posit ivas,

negativas, o nulas) se valoran para la condición del problema y los valores dx y

dy (que pueden ser posit ivos, negativos, o nulos (situación ideal: no existe en la


realidad)) representan el efecto de las calidades de los instrumento s de

medición, por ejemplo.

Error máximo:

Como en el caso del error aproximado algunos elementos propagan en uno

u otro sentido, y otros (probablemente) en otro sentido, es posible que el

algor itmo del error sufra compensaciones por la suma algebraica que tal hecho

implica y el error resultante puede ser posit ivo (o por exceso), o negativo (o por

defecto).

El error máximo toma en cuenta que la propagación del error ocurre en un

solo sentido, y como su denominación lo sugiere, es el máximo valor esperado,

o máximo valor posible de propagación, y se denota en nuestro curso por

dz ,

siendo su algoritmo de ponderación: dyy

yxfdx

x

yxfdz

);();(

donde todos los elementos que lo integran son tomados en su valor posit ivo,

independientemente de su signo circunstancial del problema; y siempre se t iene

la suma aritmética de los términos.

Error porcentual:

Como ya sabemos por Física, se refiere a la proporcionalidad relat iva que

existe entre el error ponderado y el valor esperado de la magnit ud para la

condición del problema, tomada en un porcentual. De otro modo, signif ica una

regla de tres simple ya que si al medir, el error es la totalidad de la magnitud,

ello representa un 100% de error, mientras que si el error es el valor del

algor itmo util izado, representa una cantidad porcentual menor.

Tomemos los dos casos de errores, aproximado y absoluto, v istos; el

error porcentual será, para cada uno de ellos, con su notación correspondiente:

100z

dzdzp : error porcentual del error aproximado,

100

z

dz

dz

p : error porcentual del error máximo.

Otros errores, como el relat ivo, por ejemplo, serán vistos en Física,

prestando atención a las diferencias, o similitudes, de las notaciones.

Con estos t ipos de errores veremos la aplicación del diferencial al cálculo

de errores y de aproximaciones, en las clases prácticas.

Función diferenciable


Cuando el incremento de una función puede expresarse como sumatoria de

términos lineales con respecto a x , y , . . . , etc., más inf initésimos de orden

superior respecto a tales incrementos de las variables (o mejor, en relación a

22 yxs , para el caso de dos variables independientes, f igura 118), como

ocurre en , se dice que la función );( yxfz es diferenciable.

El diferencial de la función, dyy

fdx

x

fdf

, t iene signif icado si la función

es diferenciable en un punto bajo estudio; caso contrario, no.

En Anális is Matemático I v imos que la der ivabilidad de la función

monovariable en un punto implica continuidad de la función en dicho punto.

Pero en funciones mult ivariables la continuidad de la función en un punto

exige que la función sea diferenciable en dicho punto, además de exist ir las

derivadas pr imeras en tal punto.

Una función mult ivariable es diferenciable si en el entorno de cierto punto

);( 00 yxP la función, y todas sus derivadas, son continuas; es decir que en dicho

punto debe satisfacerse:

a) );()];([ 00 yxfyxfz PP ;

b) LzLimzLim

yx

yyxx

)()(

00

0

0

;

c) Lyxf );( 00

Y lo mismo debe suceder para cada derivada de la función.

La condición c) impl ica que si en el entorno del punto P

consideramos un punto );();( 00 yyxxQyxQ , del entorno de );( 00 yxP , puede

deducirse que:

);()];([)]([)];([

00

00

oooo

yx

yx

yyxx

yxfLyyxxfLimQfLimyxfLim

o

o

y como sabemos que: );()];([

00

oooo

yx

yxfyxfLim

diremos que:

);();(()];([ 0000

00

00

00

yxfyyxxfLimLyyxxfLim

yx

yx

0)];();([()];([);(( 0000

00

00

00

00

00

yxfyyxxfLimyxfLimyyxxfLim

yx

yx

yx

y entonces:

0)()(

);();( 21

00

00

0000

00

yxyy

Pfx

x

PfLimzLimyxfyyxxfLim

yx

yx

yx


Por lo tanto, s i en el punto P la función es diferenciable, es IOSdzz , y

el límite de este incremento es nulo, y existen las derivadas primeras en dicho

punto.

Y si el límite del incremento es nulo, ello signif ica que el l ímite de la

función es el valor de la función en el punto, y en consecuencia la func ión es

continua en dicho punto.

En cambio, s i existen las der ivadas primeras en el punto, pero la función

no es diferenciable, es decir:

0)()(

21

00

00

yxyy

Pfx

x

PfLimzLim

yx

yx

,

o, lo que es lo mismo, no se satisface la condición c), la función no es continua

en P, y se dice que en P la función presenta discontinuidad.

En consecuencia, la derivabi lidad de la función en P no implica

continuidad.

Si una función es continua en cada punto de un dominio, es continua en

todo el dominio, o bien, si las derivadas parciales de la función son continuas en

el dominio, la función es diferenciable.

Por otra parte, si div idimos por 22 yxs a la expresión del

incremento de la función, se t iene:

s

IOS

s

df

s

y

s

x

s

y

y

yxf

s

x

x

yxf

s

z21

);();(

por lo tanto: s

IOS

s

df

s

z

luego:

s

IOS

s

dfz

por lo que:

0s

IOSLím

s

dfzLím

00yx00yx

);();();();(][ o sea que, cuando: 0

s

dfzLím

00yx

][

);();(

representa otro modo de definir la diferenciabi lidad de una función en un punto.

Si la función es diferenciable en un punto de su dominio, es continua y

derivable en dicho punto; y lo propio sucede con sus derivadas parciales de

primer orden; en cambio, si una función es continua en un punto, o bien, existen

sus derivadas parciales en ese punto, no se puede asegurar que la función sea

diferenciable.

Ejemplo: la función:

y)(x; cualquier para 1

0y para o 0 xpara);(

yxyxfz

Analicemos rápidamente las condiciones de continuidad en el or igen

(P(0;0)):

a) 000);( PPP yxyxfz

UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n

b) el límite doble 1);(

00

00

yxLimyxfLim

yx

yx

pues t iende a P por cualquier x e y,

pero los límites reiterados:

0)(000

1

yLimyxLimLimLyxy

y 0)(000

2

xLimyxLimLimL

xyx

Por lo tanto: 21 LLL y entonces la función no t iene límite.

Lo mismo ocurre s i hacemos x=0, con lo que la función no t iene límite a lo

largo del eje y. Y lo propio con el eje x si se toma y=0.

c) como consecuencia de lo anterior, no es posible cumplir con la condición de

que el valor de la función en el punto debe ser igual al límite de la función para

cuando la función t iende a dicho punto, por cuanto no s e dispone de un valor de

límite para contrastarlo con el valor de la función:

es ?);(¿ o ?);(¿ 21 LLyxfLyxf PP

lo que impl ica, al no cumplirse la condición, de que la función no t iene

continuidad en el origen (al igual que en cada eje).

Veamos sus derivadas parciales en el origen:

P0xP0xP

x

0xP x

yxyxxLim

x

yxfyxxfLim

x

zLim

x

f );();(

11Limx

xLim

P0xP0x

)( y del mismo modo: 1.....

Py

f

Y por otra parte, al no exist ir el límite, no se puede plantear el límite del

incremento, ni establecer la diferenciabi l idad:

)(¿?);(¿?);()];([ zLímyxfyxfyxfLím

En consecuencia, en P(0;0) la función no es continua (al igual que a lo

largo de los ejes) pero sí t iene derivadas parciales. Por ello es que la mera

derivabil idad en el punto, no implica continuidad.

Esta función es una función derivable en el origen pero no es

diferenciable, y por lo tanto no es continua ni en el origen ni a lo largo de los

ejes.

En consecuencia:

una función );( yxfz es diferenciable en un punto );( yxP si las derivadas

primeras Px

yxf

);( y

Py

yxf

);(existen y conforman una expresión como la , y

0,...,...),( 21 cuando 0,...,...),( yx , y es diferenciable si lo es en cada punto

de su dominio.


Esto signif ica que no es suficiente que la función sea derivable en un

punto para ser continua; para ello debe ser diferenciable, es decir, satisfacer la

.

En general, las funciones en el campo de la ingeniería y de la técnica son

continuas, o diferenciables, lo cual constituye una razón para decir que a part ir

de aquí s iempre supondremos que las funciones con las que t rabajamos en los

restantes temas del programa son continuas,

* * * * * * *


NACIONAL




Diferencial. Aplicaciones: Diferenciabilidad, Errores, Aproximaciones 185.- Al medirse un lado de un terreno triangular se anota 1850 m con un error

de 1 m. Los ángulos adyacentes, con un error de 30 minutos, midieron 45 y 75

grados. Hal lar el máximo error, y el error porcentual, al calcular la distancia

desde el lado hasta el vért ice formado por los otros dos.


Primero damos nombre a lados y ángulos, así como a la distancia buscada, a

part ir de un dibujo a mano alzada del tr iángulo.

La distancia buscada es: )(. Senbd

y )(

)(..

Sen

Senab por el teorema del seno.

Entonces:

);;(

º

)().(..

)(

)().(..

f

180Sen

SenSena

Sen

SenSenad

y su valor, en función de las mediciones de las magnitudes interviniente s, es:

m 05145960Sen

75Sen45Sen1850d ,

)º(

)º().º(..

Para determinar el valor del máximo error cometido, al calcular la distancia

d, mediante el uso de valores resultantes de una medición con errores, debido a

la calidad de los instrumentos, planteamos el diferencial de la dist ancia, en su

valor absoluto:

da60Sen

75Sen45Senddd

dd

dda

a

ddd

)º(

)º().º(

d60Sen

60Cos75Sen45Sen185060Sen45Cos75Sen18502 )(

)().().(.)º().º().º(.


d60Sen

60Cos75Sen45Sen185060Sen75Cos45Sen18502 )(

)().().(.)º().º().º(.

36060Sen

60Cos75Sen45Sen185060Sen45Cos75Sen1850

60Sen

75Sen45Sen2

)(

)().().(.)º().º().º(.

)º(

)º().º(

m633136060Sen

60Cos75Sen45Sen185060Sen75Cos45Sen18502

,)(

)().().(.)º().º().º(.

entonces:

%,,

dd

p 172051459

3163100

d

dd

* * * * * * *

186.- Hal lar el error aproximado de la aceleración )(. Senga de un cuerpo

que baja por un plano inclinado de rozamiento nulo, s i g aumenta 3 cm por seg2

y rad ,70 con un error de 1º.

Planteo, desarrollo, respuesta

El error aproximado se determina por:

da

dgg

ada

donde: )(Seng

a

;

23

seg

cmdg ; )(

Cosg

a

; rad ,017450d

Finalmente:

025561501745070Cosseg

cm981

seg

cm370Sen017450Cosg

seg

cm3Senda

222,,),(),(,)()(

Entonces: 2

03,15seg

cmda

* * * * * * *

187.- Hal lar el valor aproximado del área de un rectá ngulo de dimensiones

35,02 por 24,97 metros, ut i l izando el concepto de diferencial total.

Planteo, Desarrollo, Respuesta

El rectángulo t iene un área yxA . donde, si se toma el verdadero valor

de las dimensiones dadas por el enunciado, se t iene: 2m ,,., 4587497240235A

que es el valor real del área del rectángulo.

Si se quiere hal lar este valor por medio del concepto de diferencial total se

plantea:

sabemos que IOSdzffz oi y que: dzffz oi de donde:

dzff oi por lo que, haciendo: ao Af valor del área, y tomando

dimensiones redondeadas de los lados, tal como: m35xa y m25ya ;


y haciendo Afi al valor aproximado del área, se t iene entonces como

expresión equivalente: aa dAAA donde el valor redondeado del área

es 2m 8752535yxA aaa .

Y el diferencial, es: yxxydyy

Adx

x

AdA aa

aaa

siendo, los incrementos: m ,, 020350235xxx a

y m ,, 030259724yyy a (donde se nota la elección

arbitraria de valores del entorno de las dimensiones dadas)

Entonces, el diferencial, es: 5500303502025yxxydA aaa ,,.,.

por lo que: 2m ,, 45874550875dAAA aa

que es el valor del área, aproximando por el diferencial y dimensiones

redondeadas (o aproximadas).

Nota: este problema es equivalente al problema cuyo enunciado dice: Hal lar el

área de un rectángulo mediante la fórmula yxA . donde se midieron m 35x

con un error m ,020x e m 25y con un error 030y , .

Cuya solución se plantea a part i r de:

cálculo del error aproximado: 5500303502025yxxydyy

Adx

x

AdA ,,.,.

cálculo del área aproximada: 2m ,, 45874550875dAAA oi

* * * * * * *

188.- Hal lar el error máximo de cálculo de la diagonal

del paralelepípedo de dimensiones: ancho=9m,

largo=7m y alto=4m, medidas con un instrumento de

0,02 m de error.


Llamando D a la diagonal, x al ancho, y al largo, y

z al alto, tenemos:

);;(22222

2222 zyxfzyxzyxzdD

cuyo máximo error de cálculo, será:

m 03310,0

146

4,0

479

)479(02,002,0

222222

^

zyx

zyxdz

z

Ddy

y

Ddx

x

DdDdD

* * * * * * *


189.- Hallar el error máximo de cálculo de la superf ic ie total, con tapa, del

paralelepípedo de dimensiones: ancho=9m, largo=7m y alto=4m, medidas con un

instrumento de 0,02 m de error.

Planteo, Desarrollo y Respuesta

Si l lamamos S a la superf icie total, x al ancho, y al largo, y z al alto,

(f igura del ejercicio anterior ) tenemos: );;( zyxfxy2yz2xz2s

con lo que el máximo error de cálculo de la superf ic ie total será:

dz

z

Sdy

y

Sdx

x

SdS

).(,)().().( 322622020dzyx2dyzx2dxzy2

luego: 2m 6,1dS

* * * * * * *

190.- Hallar el valor del mayor error posible al calcular el volu men de un

cil indro circular recto, cuyas mediciones de altura, a=8 cm, y de diámetro, d=12,

se hicieron con un error constante de 0,2 cm.


El volumen del cil indro circular recto es el producto del área del círculo de

la base por la altura. El área del círculo podemos calcular la por medio del

diámetro, o por medio del radio.

Por el diámetro: ad

V

2

2

Entonces, el mayor error al calcular el volumen con esta fórmula,

ut i l izando las mediciones, será:

2,04

2,0222

1

22

22dda

dad

ddd

adaa

Vdd

d

VdV

3cm 77876,528,16)2

128(

2

2,012)

2(

2

2,0

da

d

Por el radio: arV 2 donde: 2

dr

Pero, recordemos que el enunciado indica que se midió el diámetro (no el

radio) y con un error de 0,2 cm.

Por ello, no deberíamos util izar la fórmula del radio, pues no se trata de

una magnitud medida sino calculada; y esto nos lleva a la fórmula de cálculo por

medio del diámetro.


No obstante, aprovechando que el mismo enunciado indica que el er ror

cometido al medir las longitudes es constante, podríamos considerar al radio

como si hubiera sido medido en r=6 cm, con un error de 0,1 cm (y no 0,2 cm).

Con estas consideraciones:

2,01,022 22 rradardrradaa

Vdr

r

VdV

3cm 77876,528,16)2,061,082(6)2,01,02( rar

* * * * * * *

191.- ¿Cuál es el incremento aproximado del volumen del cil indro anterior?


Como vimos en clases (teóricas/prácticas) es: daa

Vdd

d

VdVV

(Notemos que en este caso no se util izan los valores absolutos de los factores,

como en el caso del error máximo. Tampoco se trata, conceptualmente, de un

error aproximado, sino que es directamente el diferencial de una función).

Entonces:

32

cm 77876,528,162,04

2,02

dda

dVV

* * * * * * *

192.- En un triángulo se midieron: el lado a=150 cm, con un error de 0,5 cm; el

lado b=200 cm, con un error de 0,6 cm; el ángulo comprendido entre a y b,

C=60º, con un error de 2º. ¿Cuál es el error aproximado al calcular el área?.


Primero damos nombre a lados y ángulos, así como a

la distancia buscada, a part ir de un dibujo a mano alzada

del tr iángulo.

El área es: );;(2

)(

2

baf

abSenadA por lo que el

error aproximado al calcular el área con las mediciones efectuadas, es:

dabCos

dbaSen

dabSen

dA

dbb

Ada

a

AdA

2

)(

2

)(

2

)(

donde rad º690 d

2222 07,344cm902

)º60(200150cm 6,0

2

)º60(150cm 5,0

2

)º60(200 cm

CosSenSendA

Y ahora: ¿Cuál es el error aproximado al calcular el perímetro en el

tr iángulo?.



);;()(222 bafabCosbabacbaP

db

abCosba

aCosbda

abCosba

bCosad

Pdb

b

Pda

a

PdP

)(2

)(1

)(2

)(1

2222

03051,518466,163868,09028,180

)º60(2001506,0

28,180

)º60(1502001

5,0)º60(2001502200150

)º60(2001501

)(2

)(

2222

cmSen

cmCos

cmCos

Cosd

abCosba

abSen

cm 85385,6d P

* * * * * * *

193.- Hallar el valor de los inf initésimos de orden superior de la expresión

2

2

xy

5xyxyxfz

);( en el punto );();( 25PyxP y sabiendo que 01,0 yx .


dzzz IOS IOSdz

El incremento es:

01539,0

2.5

52.55

01,2.01,5

501,2.01,501,55

.

5.

2

2

2

2

2

2

2

2

xy

xyx

yyxx

yyxxxxz

y el diferencial es:

0155,04

72,001,0

y

z

x

zdxdy

y

zdx

x

zdz

por lo que los incrementos de orden superior, son de valor:

00011,00155,001539,0IOS

* * * * * * *

194.- Si: 22 yx102z

a.- hallar el diferencial total de la función en )3;4(P , si 2,01,0 yx .


2206108dy6dx8dy32dx42dyy2dxx2dyy

zdx

x

zdz P

P

,.,...

b.- hallar el incremento total de la función:



)()()()()( 22222222 yyy2yxxx2x102yx102yyxx102z

),.,.()()()( 2031042yxyyxx2yyy2xxx2yx102 222222

05205022010 22 ,,),,(

c.- hallar los inf initésimos de orden superior:


)()()(IOS dyydxx2yxyyxx2dzz 22

05020102052yx 2222 ,),,(,)(

* * * * * * *

Comparar el incremento y el diferencial:

195.- 0,15yx ; C(2;3) ; .yxz 32

196.- 0,3yx ; C(2;1) ;xy y)Ln(xz 2

197.- 0,07yx ; C(1;2) ; .

.2.xz

2

23

2

yx

3yx

Hallar las estructuras funcionales (leyes) de los diferenciales:

198.- 3223 yx3yx2z ... 199.- 3.x)arctg(2.y/3z .

200.- 22 y3x22

x3z

).().(.

.

201.-

2y3x2e3z ...

202.- Valorar el diferencial del 198 para la condición C(2;1).

203.- Valorar el diferencial del 201 para 0,01yx .

204.- Valorar el diferencial del 199 para C(1;2) y ^ 0,01yx .

Hallar el diferencial:

205.- )..( 32 zyxLogw 206.- )..( 32 zyxLnw

207.- 3 23 zyx

zyxLnw

)( 208.-

3 23 zyx

zyxLogw

)(

209.- Hallar el valor exacto y el valor aproximado del

volumen de plástico necesar io para fabricar un vaso

cilíndrico recto de espesor e=2 mm, con un diámetro interior d=120 mm y una

altura inter ior a=250 mm. (Adaptado del texto de Piskunov, pág. 302; ed. 1994)


Cálculo exacto:


El volumen (V) de plástico necesario para la construcción del vaso, es la

diferencia de volumen entre la pared externa del vaso y el volumen de la pared

interna: )]..().().[(]..[)].()([ areaerareaerV 2222

que, en números, será:

3mm ,)].().()[()].().().[( 72215789250602250260areaerV 2222

Cálculo aproximado:

Si l lamamos oV al volumen interior del vaso, y iV al volumen encerrado por

la parte exter ior del mismo, el volumen V del total de plástico necesario, es,

como dij imos, la diferencia entre esos dos volúmenes; pero el volumen de la

pared externa resulta de incrementos pequeños de la pared interna del vaso, por

lo que dicha diferencia puede tomarse como un incremento de volumen, es

decir:

oooi dVIOSdVvVVV como );(.. arfarV 2o el diferencial, es:

)...(.)(......a

Vr

V oo 2602a260arra2rarrar2ar

dV 2o

3mm ,..).(.)..(.).(. 032111155601206050012060250212060a2120

En consecuencia, el volumen de plástico necesar io, es: 3mm ,03211115V

Comparación entre los valores exacto y aproximado encontrados:

Si div idimos el volumen aproximado por el volumen exacto, y mult ipl icamos

por 100, encontramos: %,,

.,8397

72215789

10003211115 que indica que el volumen

aproximado es casi el 98% del exacto, lo que confirma la v iabi l idad del

procedimiento, sobretodo si se relaciona esta situación con las calidades de los

instrumentos de medición, las tolerancias de fabricación, etc.

* * * * * * *

210.- Un triángulo rectángulo es medido con un instrumento que introduce un

error de 0,1 cm en cada medición, obteniéndose una base b=6 m y una altura

a=8 m. Hallar:

a) el valor de la hipotenusa calculada con estas mediciones;

b) el error aproximado al calcu lar la hipotenusa;

c) el valor del área, calculada mediante el semiproducto de la base por la altura,

medidas con el instrumento indicado;

d) el error aproximado en el cálculo del área;

e) el área, por la fórmula de Herón;

f) el error aproximado al calcula r el área por Herón;


g) ¿Son dist intos los errores calculados para el área?. ¿Por qué?;

h) los ángulos interiores restantes, en radianes;

i) el error aproximado en el cálculo de cada ángulo;

j) el error máximo en el cálculo de cada ángulo;

k) los errores porcentuales al calcular la hipotenusa, el área y los ángulos.

* * * * * * *

211.- En un circuito eléctrico se calcula la intensidad de corriente (I) mediante:

RIE . , donde E es una fuerza electromotriz de 110 volt ios, medidos con un

error de 50 milivolt ios y R es la resistencia del c ircuito, cuya medición da un

valor de 22 Ω , medidos con un instrumento de 3% de cal idad. Hallar los errores:

aproximado, máximo y porcentual, al calcular la intensidad de corriente con

estos valores medidos.

* * * * * * *

212.- Hallar el valor de la función 32 yx2z para 00191x , e 9970y , en forma

directa, aproximada y porcentual comparativa.


Valor directo:

99198959290619970001912yx2z 3232 ,,,.,. por convención de redondeo.

Valor aproximado:

Justif iquemos el procedimiento: sabemos que dzzzz if

y de aquí: dzzz if que, en realidad, signif ica: dzyxzyyxxz );();(

hagamos: 997000191yyxx ,;,; lo que podría lograrse con

desplazamientos inf initesimales a part ir de un par ordenado “cómodo”:

si tomamos 1x entonces 00190100191x ,, y si tomamos 1y

entonces 003019970y ,, ; entonces: dz11z997000191z );(),;,(

que desarrollamos así:

y

y

zx

x

z11zdz11z997000191z 1111 );();( ][][);();(),;,(

0030yx600190xy411z0030

y

z00190

x

z11z 11

2211

31111 ,)(,)();(),(][,][);( );();();();(

90101040200306001904yx2 1132 ,,,.,.)( );(

Porcentual: %,,

.,5095

991

100901

* * * * * * *


213.- Aproximar, mediante diferenciales la variación de longitud que

experimenta la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden x=6 cm, y=8 cm,

cuando el pr imero se alarga 0,25 cm y el segundo se acorta 0,125 cm.

* * * * * * *

214.- a) Hallar el incremento total de: 4zyx 222 si -0,11yx para

C(1;0,5) ; b) hallar el diferencial total; c) comparar las leyes del incremento y del

diferencial; d) comparar los valores del diferencial y del incremento; e) hallar la

ley y el valor de los IOS.


a) Explicitando z, se t iene: 4 22 yxz

Por definic ión, el incremento de una función es la función incrementada menos

la función original:

2222 y-x-4- )()(4);();( yyxxyxfyyxxfz

Entonces:

08977,008977227,00,5-1-4- )11,05,0()11,01(4 2222 z

b), c), d), e): determínelos Ud., por favor.

* * * * * * *

215.- (Del texto Cálc. Sup. de M.R. Spiegel, ed. 1993, pág. 130): Si

23 y3xyxz , 5x , 5y , 20x , , 10y , , calcular: a) z ; b) dz ; c) expl icar la

comparación de los valores hallados; d) s i 2x y 1y hal lar z ; e) hal lar dz ;

f) comparar los valores hallados en d) y en e).

Respuestas

a) 65811z , ; b) 312dz , ; c) ¿?; d) 66z ; e) 123dz ;

f) ¿?.

Verif icar que las respuestas observen el convenio de redondeo, caso

contrario, adaptar las al mismo.

* * * * * * *

216.- (Del texto Cálc. Sup. de M.R. Spiegel, ed. 1993, pág. 130): Calcular el

valor aproximado, mediante diferenciales, de .,.,5 32 12283A

Respuesta 012A ,

* * * * * * *

217.- Los catetos de un triángulo rectángulo se midieron con un instrumento

que dio un error de 0,1 m en cada lado, dando m 3a y m 4b . Con estas

medidas se calculó el tercer lado y el área. Hallar: a) el valor de la hipotenusa;


b) el error aproximado en el cálculo de la hipoten usa; c) el error máximo en el

cálculo de la hipotenusa; d) el error porcentual del error máximo en el cálculo de

la hipotenusa; e) el error porcentual del error aproximado en el cálculo de la

hipotenusa; f) el valor del área; g) el máximo error en el cálcu lo del área; h) el

error porcentual del error máximo en el cálculo del área.

Algunas Respuestas

a) m 5h ; b) ¿?; c) m ,140dh

; d) %,82

dh

p

; e) ¿?; f) 2m 6A ; g) 2m ,350dA

; h)

%,85

dA

p

; [Verif icar que las respuestas observan el convenio de redondeo,

caso contrario, adaptarlas al mismo].

* * * * * * *

218.- La potencia P disipada por una resistencia R en un circuito eléctrico, se

calcula mediante la expresión: R

EP

2

siendo E la tensión eléctrica en los

bornes de la resistencia, y R la resistencia que dis ipa potencia. Antes de

calcular, se mide la tensión eléctrica con un voltímetro de 3% de calidad,

obteniéndose: V 220E . La resistencia se mide con un óhmetro de 2% de

calidad, obteniéndose: 63R .

Calcular, mediante estas mediciones: a) el valor de la potencia disipada; b) el

error aproximado en el cálculo de la potencia; c) el error porcentual del error

aproximado de potencia; d) el máximo error de potencia; e) el error porcentual

del máximo error de potencia.

Algunas Respuestas

a) w,2768P ; b) w,730230dP ; c) ¿?; d) ¿?; e) ¿?.

[Verif icar que las respuestas observan el convenio de red ondeo, caso contrar io,

adaptarlas al mismo].

* * * * * * *

219.- La altura de un cono es cm 30h y el radio de su base es cm 10r .

¿Cómo variará su volumen (3

hrV

3.. ) si su altura aumenta 3 mm y su radio

disminuye 1 mm?.

Respuesta

3cm ,4231dV [Verif icar que la respuesta observe el convenio de redondeo,

caso contrario, adaptarla al mismo].

* * * * * * *


220.- El peso específ ico de un cuerpo se obtiene mediante la expresión: w

Pz ,

siendo P el peso del cuerpo, y w el peso de un volumen igual de agua. Se

conoce que existe un error de 0,1 unidades en P, y de 0,05 unidades en w, y

que unidades 8P y que unidad 1w . Se quiere saber cómo afecta al valor del

peso específ ico calculado, cuando: a) ambos errores de medición son posit ivos;

b) el error de w es negativo. También se desea saber: c) el mayor error

porcentual; d) la comparación con el error máximo de cálculo de z.

Algunas Respuestas

a) unidades ,30dz ; b) unidades ,50dz ; c) %,256dzp

; d) ¿?.

* * * * * * *

221.- Al medir dos lados de un triángulo oblicuángulo se obtuvo 63 y 78 m,

respectivamente. Al medir el ángulo comprendido entre esos lados, se obtuvo

60º. Los errores de medición, fueron: m ,10dL , en la longitud de cada lado; y

º1d , en la medición del ángulo. Hal lar el máximo error cometido al calcular el

valor del tercer lado.

Respuesta 1,11 m

[Verif icar que la respuesta observe el convenio de redondeo, caso contrar io,

adaptarla al mismo].

* * * * * * *

222.- Para calcular la capacidad de un tanque de combustible con forma de

paralelepípedo, se toman las medidas de sus lados: m 1x , m 3y , y m 2z .

Sabiendo que en cada medida hay un error de 5 cm, a) ¿cuál es la cantidad de

litros que constituyen el máximo error de cálculo de la capacidad?; b) ¿cuál es

el máximo error de cálculo de la superf icie total del tanque; c) ¿cuál es el

máximo error de cálculo de la diagonal del tanque?.

Algunas Respuestas

a) 550 litros; b) ¿?; c) ¿?.

* * * * * * *

223.- Si 22 yx9z , a) hal lar el diferencial de z; b) verif icar que el valor

aproximado, mediante el diferencial, de 22 189519z ,,. , es: 999z , .

* * * * * * *


224.- Como otra aplicación del diferencial, determinar la continuidad y la

diferenciabil idad de la función, en el origen:

(0;0)y)(x; para 0

(0;0)y)(x; para .

22 yx

yx

z


Continuidad en el origen:

Para que la función sea continua en el origen, debe: a) tener un valor real

en el mismo; b) este valor debe coincidir con el límite de la función. Veamos:

a) Por definic ión de la función, en el origen va le: 000fyxfz );();(

b) Y si tomamos límite:

)

][

()().

()(

1y

x

xLím

y

yx

xLím

yx

yxLímzLím

20y0x

2

22

0y0x22

0y0x

0y0x

0Acotada)Acotada()

][

(

0xLím

1y

x

1xLím

0y0x2

0y0x

c) Luego: 0)0;0()( 0

00

fzzLím

yx

lo que indica que la función es continua

en el origen, y en todo el plano [xy].

Diferenciabilidad:

Sabemos que la función es diferenciable en un punto, si:

0yx

dzzLím

22

0y0x

)(

Calculemos el incremento en el punto del origen:

2200

yx

yxyxf0y0x0f00fyyxxfz

.);();();();(][ );(

Ahora, hallemos el diferencial, en el origen:

yy

zx

x

zdz 000000

);();();( ][][][ donde, las der ivadas las encontraremos

aplicando la definic ión, para evitar la indeterminación del cálculo directo:

]

.

[]);();(

[]);();(

[][ );();(x

0x

0x

Límx

00z0x0zLím

x

yxzyxxzLím

x

z 22

0x0x00

0x00

00Límx

0Lím

x

x

0

Lím0x0x

2

0x

][][][ y también:


]

.

[]);();(

[]);();(

[][ );();(y

y0

y0

Límy

00zx00zLím

y

yxzyyxzLím

y

z22

0y0y00

0y00

00Límy

0Lím

y

y

0

Lím0y0y

2

0y

][][][

con lo que el diferencial es: 0y0x0dz 00 );(][

y ahora aplicamos la condición de diferenciabi lidad:

).

()

.

()

.

()(22

0y0x22

22

0y0x22

22

0y0x22

0y0x yx

yxLím

yx

yx

yx

Límyx

0yx

yx

Límyx

dzzLím

y tomemos límite radial, haciendo:

)())(

.()

.

..()

.(

20x22

2

0x2220x22

0y0x m1

mLím

m1x

xmLím

xmx

xmxLím

yx

yxLím

adoindetermin

2m1

m

por lo que concluimos que la función no es diferenciable en el origen, es decir,

no puede ser expresada por: yxyy

zx

x

zz 21000000

);();();( ][][][

* * * * * * *

225.- Determinar la continuidad y la diferenciabil idad de la función:

(0;0)y)(x; para 0

(0;0)y)(x; para .

22 yx

yx

z , en el origen.


Continuidad en el origen:

Ya se vio en un ejercic io anterior que las derivadas parciales de esta

función son nulas en el origen.

Y para que la función sea cont inua en el or igen, debe: a) tener un valor

real en el mismo; b) este valor debe coincidir con el límite de la función.

Por definic ión de la función, en el origen v ale: 000fyxfz );();(

Y su límite: Indeterm.)().

..()

.()(

220x2220x22

0y0x

0y0x m1

m

m1

mLím

xmx

xmxLím

yx

yxLímzLím


por lo que no existe el límite de la función en el origen, y por lo tanto tampoco

se cumple que el límite de la función en el or igen debe ser igual al valor de la

función en el or igen: 0z(0;0)Indeterm.)(

zLím

0y0x

y, en consecuencia, la función no es continua en el origen.

Diferenciabilidad:

Sabemos que la función es diferenciable en un punto, si:

0yx

dzzLím

22

0y0x

)(

Pero como no es continua en el origen, no es diferenciable, puesto que el

límite en el origen es indeterminado.

Por curiosidad, veamos el comportamiento de la condición de

diferenciabil idad, en este caso:

calculemos el incremento en el punto del origen:

0y0x0f00fyyxxfz 00 );();();(][ );(

);(.

)()(

)).((]

)()(

)).(([ );( yxf

yx

yx

y0x0

y0x0

yyxx

yyxx22220022

El diferencial, en el origen, es: 0y0x0yy

zx

x

zdz 000000

);();();( ][][][

y ahora aplicamos la condición de diferenciabi lidad:

)][

.()

.

()

.

()(322

0y0x22

22

0y0x22

22

0y0x22

0y0x yx

yxLím

yx

yx

yx

Límyx

0yx

yx

Límyx

dzzLím

que por límite radial:

]

)([]

)(

.[]

.

..[)

.(

320x323

2

0x32220x22

0y0x m1x

mLím

m1x

xmLím

xmx

xmxLím

yx

yxLím

adoindetermin

(¿qué pasará con los límites sucesivos?) por lo que concluimos que la función

no es diferenciable en el or igen. Si bien existen las derivadas parciales en el

origen (son ambas iguales a cero), y sin embargo es discontinua en el origen y

por lo tanto no es diferenciable.

* * * * * * *

226.- Determinar la continuidad y la diferenciabi lidad de: 22 yxz , en el

origen.



Continuidad: Un anál isis simple de la estructura de la función permite

determinar que es continua para todo punto del [xy].

Diferenciabilidad: Como una condición necesar ia de diferenciabilidad

es que existan las derivadas parciales en el punto, hallemos la con respecto a x,

mediante la definic ión, para evitar alguna indeterminación “f ict ic ia”:

]

)([]

);();([]

);();([][ );();(

x

0x0Lím

x

00z0x0zLím

x

yxzyxxzLím

x

z22

0x0x00

0x00

einexistent][][

x

xLím

x

xLím

0x

2

0x puesto que por derechas vale +1 y por

izquierdas vale -1. Con la otra derivada ocurre algo simi lar. Por lo tanto no

tendremos diferencial. En consecuencia, la función es diferenciable en todo el

plano del dominio de la función, a excepción del origen de coordenadas.

* * * * * * *

227.- Determinar la continuidad y la diferenciabil idad de: )( 2y2xez .


Para todo punto del dominio la función existe. Por lo tanto es continua

siempre. Lo mismo le pasa a sus derivadas parciales:

)(..2y2xex2

x

z

y )(..

2y2xey2y

z

; existen y son continuas.

Entonces existe el diferencial, en todo punto:

yey2xex2yy

zx

x

zdz

2y2x2y2x

)()( ....

Por lo que la función es diferenciable en todo el [xy].

* * * * * * *

228.- Mediante el diferencial estimar el valor de: 222 051981012 ,,, .


Mirando los valores pertenecientes a la expresión, tomemos una condición

inf initesimalmente cercana a los mismos, tal como );;( 122C , y homologuemos la

expresión a una función );;( zyxfzyxw 222 . De esta manera podemos

pensar en incrementos de las variables, tales como: 0102012x ,, ,

0202981y ,, , y 0501051x ,, .

Entonces, IOSdzw o sea que:

IOSdwzyxwzzyyxxw );;();;( de donde:

IOSdwzyxwzzyyxxw );;();;( y considerando despreciables a los

IOS: dwzyxwzzyyxxw );;();;(


y tomando al primer miembro como representante de la expresión dada, y a

39122zyxw 222222 , tendremos: dw3051981012 222 ,,,

donde: zz

wy

y

wx

x

wdw

siendo las derivadas:

3

2

122

2

zyx

x

zyx2

x2

x

w

222

C

222

C

222C

3

2

9

2

zyx

y

y

w

C

222C

y

3

1

9

1

zyx

z

z

w

C

222C

entonces: 0100503

1020

3

2010

3

2z

3

1y

3

2x

3

2dw ,,),(,

y de aquí: 0130103dw3051981012 222 ,,,,, que es el valor buscado.

El verdadero valor, con los datos propios de la expresión, es:

0130104816893051981012 222 ,,,,, por convención de redondeo.

* * * * * * *

Derivación de funciones compuestas

Supongamos que un cierto fenómeno físico (un proceso industrial, po r

ejemplo) es descr ipto por una relación funcional tal como );( yxfz en

donde, a su vez, existen las relaciones funcionales: )(rgx e )(rhy .

Entonces, podemos decir que: )())();(();( rFrhrgfyxfz

lo que impl ica que z es f inalmente una función de r, y la variación de z con

respecto a r es la derivada, total, o única, dr

dz.

Por lo tanto, si varía r, variarán x e y, y en consecuencia se

producirá una variación de z.

Esto signif ica que z depende de r, a través de x y de y; situación que se

define como función de función, o función compuesta, y v imos en Anam1 los

pormenores de una tal función en el caso de funciones monovariables.

Y vimos que si )(xfy y )(rgx entonces )())(( rFrgfy

siendo fogrgfrF ))(()( : función compuesta, en la que la imagen de )(rgx es

el dominio de )(xfy .

También vimos que la derivación de esta función compuesta se hace

mediante alguno de los procedimientos:

a) se sustituye la función g en la estructura de la función f, y se deriva

normalmente con respecto a la variable r;


b) la regla de la cadena.

En ambos casos se obtiene una derivada ú nica, o total, dr

dy.

La situación en las mult ivariables, como en el caso de nuestra z, función

de dos variables independientes, es básicamente similar, pero con

part icularidades.

También aquí, para derivar, podemos sustituir variables p or funciones, y

en consecuencia, las cosas ocurren así: en nuestra función );( yxfz , todo

cambio en r provocará un cambio en z, a través de sendos cambios en x y en y,

siendo la der ivada de z con respecto a la variable r la herramienta que pondera

este cambio.

Si se sustituyen las funciones )(rg y )(rh en );( yxf , se obtiene una nueva

estructura funcional: )())();(();( rFrhrgfyxfz donde )(rF es la mínima

expresión de la estructura resultante, la cual se der iva con respecto a r,

obteniéndose la expresión de la ley (dr

rdF )() que refleja la variación de z en

respuesta a la variación de r.

Este procedimiento, de primero sustituir y después der ivar, como di j imos,

se vio en Anális is 1. Otra opción que vimos fue aplicar la regla de la cadena.

Regla de la cadena para funciones mult ivariables

La regla de la cadena en funciones mult ivariables es el objeto de estudio

del Análisis 2, por lo que tomando la expresi ón :

la variable r es l lamada variable independiente, o f inal;

la variable z es variable dependiente, o función;

las variables x e y son variables intermedias; y no son independientes,

sino que se relacionan a través de una única variable (en la si tuación que

estamos viendo), r.

la función z es función mult ivariable, de x y de y.

las funciones x e y son funciones monovariables, de r.

la derivada así obtenida es total , no parcial.

Es condición de existencia de la derivada obtenida que las derivadas de

);( yxfz , y de )(rgx y de )(rhy , sean continuas en sus respectivos

puntos de determinación; o sea, que tales funciones sean diferenciables:

es decir, que si );( yxfz es diferenciable en );( 00 yxP (por ejemplo), y las

funciones )(rgx e )(rhy son derivables en )( 0rQ (por ejemplo),


entonces la función compuesta )())();(();( rFrhrgfyxfz es diferenciable

en 0r .

Si la variable r experimenta un incremento r ello implicará incrementos

en x y en y, tales como: )()( rgrrgx y )()( rhrrhy

Estos incrementos provocarán un incremento total de la función z:

yxyy

zx

x

yxzyxfyyxxfz

P

oooooo

21

);();();(

Si con este incremento total de la función, y el incremento de la variable r,

establecemos un cociente incremental, y tomamos el límite de dicho cociente

incremental para 0r , tendremos, por definición, la derivada total de la

función z con respecto a la variable r:

dr

dz

r

yxyy

zx

x

z

Límr

yxfyyxxfLím

r

zLím PP

r

oooo

rr

21

000

);();(

Es preciso insist ir en que se trata, en este caso, de una der ivada total y no

de una derivada parcial (r

z

dr

dz

).

Aplicando propiedad distributiva:

r

y

r

x

r

y

y

z

r

x

x

zLím

r

y

r

x

r

yy

z

r

xx

z

Límdr

dz

rr21

0

21

0

y como el límite de la suma es igual a la suma de los límites:

r

yLím

r

xLím

r

y

y

zLím

r

x

x

zLím

rrrr2

01

000

y como el límite de un producto es el producto de los límites de los factores:

r

yLímLím

r

xLímLím

r

yLím

y

zLím

r

xLím

x

zLím

rrrrryx

rrProo

02

001

00);(

000

y como las derivadas parciales de la expresión son valores ya def inidos para el

punto bajo análisis, sus valores representan constantes para el límite indicado,

y como el límite de una constante es la constante:

r

yLímLím

r

xLímLím

r

yLím

y

z

r

xLím

x

z

rrrrrr 02

001

000

y como estos límites definen der ivadas totales:

dr

dyLím

dr

dxLím

dr

dy

y

z

dr

dx

x

z

rr2

01

0


y como vimos en la clase correspondiente, el límite de los inf initésimos es 0:

dr

dy

dr

dx

dr

dy

y

z

dr

dx

x

z00

Entonces, f inalmente, obtenemos:

dr

dy

y

z

dr

dx

x

z

dr

dz

expresión que nos da la der ivada de la función z con respecto a la variable r, y

cuyo formato estructural se conoce como regla de la cadena.

El algor itmo obtenido puede enunciarse así (para esta situación):

la derivada total de la función mult ivariable z, con respecto a la var iable

f inal r, es el producto de la derivada parcial de la fun ción, con respecto a su

primera variable intermedia, por la derivada total de la primera variable

intermedia con respecto a la variable f inal r, más el producto de la der ivada

parcial de la función con respecto a su segunda intermedia, por la derivada tota l

de esta intermedia con respecto a la f inal r.

Finalmente, si se necesita valuar la der ivada así obtenida para una

condición C del problema, nótese que, tras las sustituciones correspondientes

en las derivadas del segundo miembro, la derivada obtenida queda en función

de la variable f inal r, por lo que la condición C es de estructura C(r).

Si ahora consideramos que );( yxfz y );( srgx e );( srhy ,

entonces: );());();;(();( srFsrhsrgfyxfz

lo que implica que z resulta de una composición de funciones, teniéndose que

las variables x e y se comportan como intermedias, y las variables r y s se

comportan como variables f inales, siendo z, entonces, una función mult ivariable

de las variables r y s.

De este modo, las derivadas de z con respecto a cualquiera de las

variables r y s serán der ivadas parciales, y no totales: s

z

r

z

; .

También x e y son funciones mult ivariables de las variables r y s, por lo

que sus derivadas con respecto a estas variables también serán parciales y no

totales.

En consecuencia, si las funciones );( yxfz , );( srgx e );( srhy ,

son diferenciables en sus respectivos dominios, podemos obtener las der ivadas

de la función compuesta aplicando la regla de la cadena:

r

y

y

z

r

x

x

z

dr

z

y

s

y

y

z

s

x

x

z

ds

z


Prestemos atención a que en estos algoritmos obtenidos todas las

derivadas son parciales; no existe ninguna derivada total.

En el caso de una función );( yxfz en la que se sabe que );( sxgx e

);( sxhy , entonces, la composición de funciones es:

);());();;(();( sxFsxhsxgfyxfz

Aplicando la regla de la cadena, podemos obtener el algoritmo de las dos

derivadas parciales posibles de la función z, siempre que sea posible de

diferenciar:

x

y

y

z

x

z

x

y

y

z

x

x

x

z

x

z

y

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

En la expresión de la izquierda observamos que la der ivada de la función z

con respecto a la variable x aparece tanto en el primer miembro como en el

segundo.

Razonando, deducimos que la derivada que aparece en el segundo

miembro expresa el efecto que un incremento de x provoca sobre z, tomando a

la variable s como invariante en ese momento; o sea, s no experimenta

incremento alguno y por lo tanto no actúa sobre z (“s se comporta como una

constante”). Mientras que la misma expresión vista en el pr imer miembro nos

indica que la derivación toma en cuenta el efecto que todas las variables , al

incrementarse, provocan sobre la función z.

Otra posibil idad:

),;( zyxfw y );;( ysrgx , );( srhy y );;( ysrjz

entonces: );;());;();;();;;(();;( ysrFysrjsrhysrgfzyxfw

obteniéndose, por la regla de la cadena:

r

z

z

w

r

y

y

w

r

x

x

w

r

w

;

s

z

z

w

s

y

y

w

s

x

x

w

s

w

y

z

z

w

y

w

y

x

x

w

y

z

z

w

y

y

y

w

y

x

x

w

y

w

* * * * * * *

Observación: Después de analizar el Ejemplario siguiente, obsérvese que, en

todos los casos, en la mínima expresión f inal, las derivadas obtenidas están en

función sólo de las variables f inales , no habiendo variables intermedias , salvo

en el caso de aquel las variables intermedias que cumplen un doble rol: son

intermedias pero también f inales.


En el proceso de der ivación de funciones compuestas, se deriva primero

por la regla de la cadena y luego se sustituye por las funciones de las variables

intermedias, l legándose siempre a la mínima expresión.

* * * * * * *


NACIONAL




229.- a) Derivar ).(

..

yxLn

yx2z para )( t2Cosx e )( t2Seny ; b) Valorar para º15t ;

c) Valorar para rad ,250t .

Planteo:

)())();(();( tFtftffyxfz 21 donde yx, son variables intermedias y t es la

variable f inal. Como la relación funcional entre z y t es del t ipo monovariable,

frente a un cambio de t se producirá un cambio de z , cambio que será

representado por la derivada total dt

dz y que podrá estructurarse funcionalmente

por la regla de la cadena: dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Para encontrar las expresiones de cada una de las derivadas indicadas, en

su mínima expresión, recurrimos al

Cálculo auxiliar:

).(

).(..

).(

..).(..

).(

....).(..

yxLn

1yxLny2

yxLn

yx2yxLny2

yxLn

yx

yyx2yxLny2

x

z222

).()..(

).()..(()..(.

t2Sent2CosLn

1t2Sentt2CosLnt2Sen22

).(. t2Sen2dt

dx ;

).(

).(..

).(

.).(..

).(

....).(..

yxLn

1yxLnx2

yxLn

x2yxLnx2

yxLn

yx

xyx2yxLnx2

y

z222

).()..(

).()..()..(.

t2Sent2CosLn

1t2Sent2CosLnt2Cos22

; ).(. t2Cos2

t

y

Desarrollo y respuesta a)

)).(.().()..(

).()..(()..(.t2Sen2

t2Sent2CosLn

1t2Sentt2CosLnt2Sen2

dt

dz2

).(.).()..(

).()..()..(.t2Cos2

t2Sent2CosLn

1t2Sent2CosLnt2Cos22


).()..(

).()..()..(.

).()..(

).()..()..(.

t2Sent2CosLn

1t2Sent2CosLnt2Cos4

t2Sent2CosLn

1t2Sent2CosLnt2Sen42

2

2

2

).().().()..(

).()..(.t2Sent2Cos

t2Sent2CosLn

1t2Sent2CosLn4 22

2

Desarrollo y respuesta b)

24530Sen30Cos30Sen30CosLn

130Sen30CosLn4

dt

dz 22

2t

,)º()º()º().º(

)º().º(.

Desarrollo y respuesta c)

38550Sen50Cos50Sen50CosLn

150Sen50CosLn4

dt

dz 22

2t

,),(),(),().,(

),().,(.

* * * * * * *

230.- Si ).();( vuSenuvufz 2 donde );(x.eu xy yxg y y)h(x;Log(xy)v

hallar: a) la expresión de la variación de z con respecto de y;

b) el valor de esta der ivada para la condición C(2;1) .

Planteo, Desarrollo, Respuesta:

a)

Simbol izando la composición de las funciones, tenemos:

);());();;(();( yxFyxhyxgfvufz lo que implica que las incógnitas podrían ser :

x

z

y

y

z

, donde x e y son las variables f inales, y u y v las variables intermedias.

Aplicamos la regla de la cadena para la derivada buscada:

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

Por cálculos auxi liares encontramos cada derivada, en su mínima

expresión:

)).(..()..(..).(. .. yxLogexCosyxLogex2vuCosvu2u

z yxyx

; yx2 ex

y

u ..

)).(.(.).(. .. yxLogexCosexvuCosuv

z yxyx

;

y

eLog

y

v )(

con las que componemos la expresión de la derivada buscada:

yx2yxyx exyxLogexCosyxLogex2y

v

v

z

y

u

u

z

y

z ... .))].(..()..(..[

xyxLogexCosyxLogex2exy

eLogyxLogexCosex yxyxyxyxyx ))].(..()..(..{[.

)()).(.(. .....


})(

)).(.( .

y

eLogyxLogexCos yx

})(

)).(.()).(..()..(...{. ....

y

eLogyxLogexCosyxLogexCosyxLogxex2ex yxyxyx2yx

)})(

).(.()).(..(..{. ...

y

eLogyxLogxyxLogexCosex2ex yxyx2yx

)})().(()).(..(..{. ... y

1

xyxyx2yx eLogyxLogyxLogexCosex2ex

]})().[()).(..(..{. ... y

1

xyxyx2yx eyxLogyxLogexCosex2ex

b)

Valuamos la derivada obtenida en la condición del problema.

C

y

1

xyxyx2yxC eyxLogyxLogexCosex2ex

y

z]}])().[()).(..(..{.[][ ...

]}).[()).(..(..{. ... 1

1

21212212 e12Log12Loge2Cose22e2

]})[())(..(.{.]})[())(..(.{. e2Log2Loge2Cose2e2e2Log2Loge2Cose2e2 2223222232

30858e4Log4LogeCose8e2e4Log2Loge2Cose8e2 222222 ,]}[))(.(.{.]}[))(..(.{.

* * * * * * *

231.- Una f igura tr iangular se transforma de modo que el ángulo A aumenta, a

velocidad constante, de 0º a 90º en 10 segundos. El lado c disminuye 1 cm por

segundo. El lado b aumenta 1 cm por segundo. Si en un instante, A=60º, c=16

cm, y b=10 cm, ¿qué velocidad de variación t iene el área del tr iángulo?.


No se t ienen datos suficientes como para saber qué t ipo de tr iángulo es,

por lo que se disponen los datos según la convención clásica.

Las disposic iones podrían ser:

A f in de util izar los

datos del problema, las dos últ imas disposiciones son las más adecuadas.

Elegimos (arbitrar iamente) la segunda.

Del anál isis de la consigna del problema surge que los lados t ienen una

velocidad de variación, o sea, son funciones del t iempo. En consecuencia, el

área S del tr iángulo, al ser función de los lados y ser éstos funciones del


t iempo, también será función del t iempo y tendrá una velocidad de variación.

Por ello, estamos en presencia de una función compuesta:

)())();();(();;(2

)();(

2321 tFtftftffAcbf

ASencbhbf

hbS

Con lo que la solución del problema será hallar:

dt

dA

A

S

dt

dc

c

S

dt

db

b

S

dt

dS

Donde: seg

rad

20

º9

seg010

º0º90 ; 1 ; 1

segdt

dA

seg

cm

dt

dc

seg

cm

dt

db

Y además: 2

)(.. ;

2

)(. ;

2

)(. ACoscb

A

SASenb

c

SASenc

b

S

Por lo que: seg

cmACoscbASenbASenc

dt

dS 2

202

)(..1

2

)(.1

2

)(.

Y entonces: 88126,8202

)º60(.16.101

2

)º60(.101

2

)º60(.16 2

seg

cmCosSenSen

dt

dS

Finalmente: seg

cm

dt

dS 2

88,8

* * * * * * *

232.- Si )(y

xSenz donde tex y 2ty hallar

dt

dz.

Respuesta

)()."(

2

t

3

t

t

eCos

t

et

dt

dz

* * * * * * *

233.- Valorar las derivadas posibles de:

1y

-1x

eu si )(

2

2x

22

yxv

yvuLnz


De acuerdo a los datos se trata de una función compuesta, por lo que:

);());();;(();( 21 yxFyxfyxffvufz las derivadas posibles son: y

z

x

z

; .

Para encontrarlas, se aplica la regla de la cadena:

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

Donde: 1 ; 2 ; 2 ; 1

; ; 2

22

y

vy

y

ux

x

v

vuv

ze

x

u

vu

u

u

z x


Luego:

yxye

xeye

vu

xeux

vue

vu

u

x

z

x

xxxx

222

2

222

).(.2.2..22

12

y:

yxye

yye

vu

yu

vuy

vu

u

y

z

x

x

222

2

222

14141

12

2

Entonces:

2e

e1

2e

1

e

e12

21e

1

1e

11

e

12

111e

1e1e2

yxye

xeye2

x

z2221

11

C222x

x2x

C

.])..[(])..[(

260e3e21

ee12

e2ee21

ee12

ee2e1

ee2e12

2e

e1

2e1e

2

2

2

22

2

222

22

2

2

2,

.

).(

.

).(

])[(

]).([

)(

)(

Y:

2e

e1

1e

e14

21e

1

11e

14

111e

111e4

yxye

1yye4

y

z222221

21

C222x

2x

C

671

1e2e3

ee54

e2ee21

ee54

e2e1e

eee1422222

2

,)(

][

])([

* * * * * * *

234.- a) Hallar la der ivada de u con respecto a r si 32.3 zyxu y 32 rxy

y 23 rxz ; b) Valorar la para la condición C(1;2).


a) Se trata de una derivada de función compuesta, por lo que se apl ica la

regla de la cadena:

2232 )(2.3)2(331 rxrrrzrr

z

z

u

dr

y

y

u

r

z

z

u

dr

y

y

u

dr

dx

x

u

r

u

(obteniendo las derivadas, las sustituciones y las mínimas expresiones, desde el

cálculo auxiliar).

b) 291)(2.3 223

C

C

rxrrr

u

* * * * * * *

235.- Si 222 yx10z y sabiendo que x e y son funciones del t iempo t,

hallar la ley de variación temporal de la función.



ttt dt

dytf

dt

dxtf

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dztFtftffyxfz

)(2)(2 )())();(();( 2121

236.- Si ,4

22

2

yx

xyz

hallar las funciones

s

z

r

z

si 4sy 3s2rx .


Se trata de una función compuesta, por lo tanto: r

y

y

z

r

x

x

z

r

z

donde: 222

2223

222

222

222

222

16)32(

))32(16(4

)4()32(

))32()4(()4(4)(4

ssr

srss

ssr

srss

yx

xyy

x

z

;

; 0r

y

r

y ; 2

r

x

d

d

222

3

222

3

222

3

]16)32[(

)32(32

])4()32[(

4)32(8

)(

8

ssr

srs

ssr

ssr

yx

yx

y

z

Entonces : 222

222

222

3

222

2223

]16)32[(

))32(16(1280

]16)32[(

)32(32 2

]16)32[(

))32(16(4

ssr

srss

ssr

srs

ssr

srss

r

z

y

4

]16)32[(

)32(323

]16)32[(

))32(16(44

y

z 3

x

z

s

y

y

z

s

x

x

z222

3

222

2223

ssr

srs

ssr

srss

s

z

222

3223

222

332223

])4()32[(

)32(2])32(16[34

])4()32[(

)32(42])32(16[43

ssr

srsrsss

ssr

srssrss

237.- Dar los valores de s

z

r

z

, de la función anterior, para la condición

C(2;3).


29,097969

28800

]316)3322[(

))3322(316(3128

]16)32[(

))32(16(128222

222

222

222

CC ssr

srss

r

z

222

3223

222

3223

]316)3322[(

)3322(2])3322(316[3334

]16)32[(

)32(2])32(16[34

CC ssr

srsrsss

s

z

17,897969

800448

Cs

z

* * * * * * *

238.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección del plano y=2 con

49222 zyx . Hallar con qué rapidez se mueve el punto cuando x=6 y aumenta

4 unidades por segundo.


La velocidad del punto viene expresada por:


222

222

xv v

dt

dz

dt

dy

dt

dxvvvvvv zyzyx

por lo que es necesario conocer cada una de las

derivadas indicadas para determinar la velocidad.

Por el enunciado del problema se conoce que:

seg4

u

dt

dx el lo s ignif ica que x es función de t y,

además, debe serlo y a través de dt

dy; como

)(tf2y se t iene: 0dt

)2(

d

dt

dy

Para encontrar dt

dz, planteamos como si fuese una función compuesta:

);()x(49)x(49049x 22222222 yxfyzyzzy

dt

dzbuscar )())(f);(f(fy)f(x;z )(fy ^ )(f xsi 2121 tFtttt

a f in de obtener la velocidad del punto.

Por lo tanto, derivando como compuesta, tomamos a x y a y como

variables intermedias, y a t como variable f inal, derivando con la regla de la

cadena:

dt

dx

x

z0

y

z

dt

dx

x

z

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

En consecuencia: seg

842649

6

seg4

49 2222

uu

yx

x

dt

dx

x

z

dt

dz

Finalmente: seg

94,85.45.165.1680804v222 u

que es la velocidad del punto.

* * * * * * *

239.- Si 10

xzev

y3 ).( donde )(ySenx y )(. yCos3z hallar

dy

dv.

Respuesta

)(. yCosedy

dv y3

* * * * * * *

240.- Si ).( zyew x3 donde )(. xSenuy y )(. uSenxz hallar x

w

y

x

w

.

Respuesta


)]).(()()(..(.[ 1x3uSenxCosxSenu3ex

w x3

; ))(.)(.( uCosxxSene

u

w x3

* * * * * * *

241.- Sobre un monitor, una f igura tr iangular se transforma de modo que el

ángulo A aumenta, a velocidad constante, de 0º a 90º en 10 segundos. El lado

AC disminuye 1 cm por segundo. El lado AB aumenta 1 cm por segundo. Si en el

momento en que se fotografía la f igura, A=60º, AC=16 cm y AB=10 cm, ¿cómo

varían: a) el lado BC; b) el área del tr iángulo?. (Referencia: ejercicio 230).

* * * * * * *

242.- Si 2z

y2x3w

donde ).( uxLny 2 y u23z hallar

x

w

y

x

w

.

Respuesta

)( u23x

4x3

x

w

; ]

).([

u

2

u23

uxLnx6

u23

1

u

w 42

* * * * * * *

243.- Si xyez donde 22 vux y )(v

uarctgy hallar

u

z

y

v

z

.

Respuesta

].

)(.

.[).(

22

22

22

12v2u

v

u1tg

vu

vuv

vu

v

utgu

eu

z

; ].

)(.

.[).(

22

22

22

12v2u

v

u1tg

vu

vuu

vu

v

utgv

ev

z

* * * * * * *

244.- Hal lar la ley de variación del volumen de un cono circular cuyo radio

aumenta 5 cm por segundo, a part ir de r = 50 cm, mientras su altura disminuye

10 cm por segundo, a part ir de a =100 cm.


El volumen del cono se calcula mediante la expresión: );(..

raf3

arv

2

Según la consigna, seg

cm10

dt

da lo que implica que: )(tga ; y también

seg

cm5

dt

dr lo que signif ica que: )(thr .

En consecuencia: )())();(();( tFthtgfrafv

por lo que la ley de variación buscada es:

seg

cm9426179

seg

cm5

3

ar2

segcm

cmcm10

3

r

dt

dr

r

v

dt

da

a

v

dt

dv 3332

,

..

.

.)(

.


245.- 0. tpara y valorar Sen(t);y cos(t); xpara

22 yx

xy2z

Respuesta

2tSentCos2dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dzt

44

tt

)]()(.([

* * * * * * *

246.- Si 33 yxyxT donde )(. Cosx y )(. Seny hallar

T y

T.

Respuesta

)]([)(

Sen23CosT

; ])())()(()().([ 1Sen2CosSenCosSen3

T 22

* * * * * * *

247.- Si )(.x

ySenzw donde: s2r3x 2 , 3s2r4y y 22 s3r2z , hallar

s

w

.

Respuesta

s2r3

s2r4Sens3

s2r3

s2r4Cos

s2r3

r2s3ss3r222

s

w2

3

2

3

2

2322

..)).((

[

* * * * * * *

248.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección del plano y=2 con

49222 zyx . Hallar la velocidad con que se mueve z, cuando x=6 y aumenta 4

unidades por segundo.

Respuesta

segundo

unidades 8

dt

dz o sea que la velocidad de z es 8 unidades por segundo, y

avanza en sentido contrar io al del crecimiento del eje z.

* * * * * * *

249.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección de la superf icie

0zyyxx 222 . y el plano 02yx . Cuando 3x y aumenta 2 unidades por

segundo, hal lar: a) la velocidad de y; b) la velocidad de z; la velocidad del

punto.

Respuesta

seg

un 2

dt

dyvy ;

seg

un 3,43

7

24

dt

dzvz ;

seg

un . 45,47248v 22

* * * * * * *

250.- Si 22 yyxz donde )(tSenx y tey hallar dt

dz y calcular la para 0t .


Respuesta

tt2t ee2tSentCosetSen2dt

dz)..)(()(.).(. ; 2

dt

dz

t

* * * * * * *

251.- Si 2222 yxyxLnz )( donde )(. vCosex u y )(. vSeney u hallar u

z

, y

valorarla para );( 23C

Respuesta

ue2u

z

; 1022

u

z

C

,

* * * * * * *

252.- Si 2222 yxyxLogz )( donde )(. vCosex u y )(. vSeney u hallar u

z

, y

valorarla para );( 23C .

253.- Si vuz donde )(xSenu y )(xCosv hallar la der ivada de la

función y valorar la para ),( 32C .

Respuesta

)((.)]([)]().[( )()( xSenLnxSenxSenxCosdx

dz 1xCos1xCos2 ; 990dx

dz,

* * * * * * *

254.- Si )( vuvz u donde: Sen(2.x)u y 2.Cos(x) v hallar los valores

de sus derivadas para )(1C .

* * * * * * *

255.- Si 2z

y2x3w

donde: ).( uxLny 2 y u23z , hal lar las der ivadas de

la función.

Pistas

Hay que hal lar las mínimas expresiones de:

dx

dz

z

w

x

y

y

w

dx

dx

x

w

x

w

y

du

dz

z

w

u

y

y

w

du

dx

x

w

u

w

* * * * * * *

256.- Si )().()().( 1xLny2y2Ln1xz , donde srx e y s-rey hal lar las

mínimas expresiones de sus der ivadas.

* * * * * * *

Derivación de funciones implícitas

Vimos en Anam1 que si )(xfy define una relación funcional de la variable


dependiente y con respecto a la variable independiente x, exist iendo en un

entorno de un cierto punto )( 0xP , al igual que todas sus derivadas, puede

escribirse: 0)( xfy ; y reduciendo a su mínima expresión el primer miembro,

se obtiene: 0))(();( xfyyxr , siendo )(xfy una función implícita, de

estructura f , conocida o no, y contenida en la función );( yxr .

Supongamos ahora tres cosas:

a) que )(xfy describe cierto fenómeno físico, o problema;

b) que no se conoce su estructura funciona l f ;

c) que se necesita saber su der ivada con respecto a x, o sea, su ley de

variación con respecto a x (dx

dy).

En consecuencia, 0);( yxr es una función portadora de una relación

funcional implícita, de estructura )(xfy que es continua, al igual que todas

sus derivadas, en el entorno del punto )( 0xP .

En símbolos: )(0);( xfyyxr .

La función )(xfy puede, o no, ser explic itable a part ir de la función

portadora de la función implícita ( 0);( yxr ) por procedimientos algebraicos.

Si es expl icitable, se lo hace y luego se deriva, obteniéndose la der ivada

buscada.

Si no es expl icitable, podemos aplicar la regla de la cadena para funciones

compuestas a la estructura de la función 0);( yxr , en donde las variables x e y

serán tomadas como variables intermedias, y x también será variable f inal.

Veamos por qué:

si pensamos en la derivada de la función implícita, ello signif ica que t i ene

que haber habido un incremento de una variable independiente (en este caso, la

x), o sea: x ; este incremento genera un incremento de la función: y ; entre

el incremento de la función y el incremento de la va riable que lo or iginó,

conformamos un cociente incremental; si tomamos el límite de este cociente

incremental para el incremento de la variable que t iende a cero, tenemos la

derivada que estamos buscando:

'0

ydx

dy

x

yLímx

Pero tenemos el problema que la función no está explic itada, sino que es

implícita en 0);( yxr . Por ello, ahora deducimos que si existe x éste origina

y , y ambos originan r , lo que signif ica que podemos decir que estamos frente


a una función compuesta, un poco especial (segundo miembro nulo):

0))(;();( xfxryxr

y el incremento de la función portadora, debido al incremento de la variable x,

es: );();( yxryyxxrffr oi

Como, según , x es el único causante de r , deducimos que:

0dx

0d

dx

xfxdr

dx

yxdr

)())(;();( y entonces: 0

x

rLím

dx

dr

0x

de donde: 0r

por lo tanto: 0yxryyxxrffr oi );();(

Si expresamos ahora el incremento en función del diferencial exacto y los

IOS, se t iene: 0);();( 21

yxy

y

rx

x

ryxryyxxrr

Pxo

y s i div idimos (y distribuimos) por el incremento de la variable independiente, y

conformamos el cociente incremental, y tomamos límite del mismo, es:

)0(0

2100

xPxxx

Límx

y

x

x

x

y

y

r

x

x

x

rLím

x

rLím

o

y podemos expresar: 0010

dx

dy

dx

dy

y

r

dx

dx

x

r

dx

dr

Pxo

es decir: 0

dx

dy

y

r

dx

dx

x

r

dx

dr

Pxo

de donde: 0

dx

dy

y

r

dx

dx

x

r

Pxo

y observando el primer miembro de la últ ima expresión, se ve que es el

desarrollo de la aplicación de la regla de la cadena, donde los primeros factores

de cada término son las derivadas de la función portadora con respecto a las

variables intermedias de la función compuesta, valoradas en el punto de

existencia de la función ( )( 0xP ); y los segundos factores son las derivadas de

las variables intermedias con respecto a la variable f inal; y por la condición de

función implícita, el segundo miembro es nulo.

Como toda der ivada de una variable con respecto a ella misma es la

unidad, se t iene, como mínima expresión, y dando por sobreentendida la

valoración de las derivadas de los primeros factores: 0

dx

dy

y

r

x

r

expresión en la que se conocen todos los valores, a excepción de la derivada

buscada, la que se puede explic itar:

y

rx

r

dx

dy

yx

yx

);(

);(

expresión que permite obtener la derivada de la función implícita por apl icación


de la regla de la cadena a la función portadora de la misma.

Si bien aquí se observa que es senci llo el despejar para ob tener la

derivada buscada, si anal izamos con detenimiento la expresión , vemos que

constituye una ecuación con una incógnita (s istema nxn=1x1), por lo que t iene

solución (es compatible) y podemos solucionar la mediante el método de los

determinantes, que establece que toda incógnita es la relación entre el

determinante sustituto para la incógnita y el determinante pr incipal del sistema:

sII .

Por lo tanto, el denominador de la , puede considerarse como un

determinante de una f i la y una columna (determinante monoelemento) cuyo

resultado es el monoelemento con su signo; del mismo modo, el numerador

de la expresión es otro determinante monoelemento, por lo que:

x

r

x

r yxyx

);();( ^

y

r

y

r yxyx

);();(.

El determinante principal es una combinación, o arreglo, de los

coeficientes que afectan a las incógnitas del s istema, distribuidos en f i las y

columnas, convenientemente ordenados.

El determinante sustituto es el mismo pr incipal en el que se ha sustituido

la columna de los coefic ientes de la incógnita buscada por la columna de los

coeficientes independientes (no afectan a ninguna incógnita) cambiados de

signo.

De acuerdo a esto, en el sistema dado por la incógnita buscada es dx

dy,

su coeficiente es y

r yx

);(, y el término o coeficiente independiente es

x

r yx

);(.

En consecuencia, aplicando el álgebra de los determinantes al s istema 1x1

de la , tenemos que la incógnita buscada es:

y

rx

r

y

r

x

r

dx

dy

yx

yx

yx

yx

yx

);(

);(

);(

);(

que es la , ahora obtenida por determinantes.

Este hecho de apl icar el álgebra de los determinantes para obtener las

derivadas implícitas a part ir de un sistema de ecuaciones que las contienen, nos

permite establecer un método general para la obtención de las deriv adas de las

funciones implícitas.


Método general de derivación de funciones implícitas

Consiste en la aplicación conjunta de la regla de la cadena para derivación

de funciones compuestas y el álgebra de los determinantes.

Supongamos que cierto fenómeno fís ico es descripto por medio de dos

ecuaciones que conforman un sistema descriptor del fenómeno:

)5(0);;;(

)4(0);;;(

2

1

yxvur

yxvur

en donde u y v son funciones implícitas de estructuras g y h desconocidas:

);(

);(

yxhv

yxgu

En este proceso, o fenómeno, por algun a razón, podrían variar x o y, o

ambas, y el problema radica en cómo valorar los cambios en u, o en v, o en

ambas, cuando ello suceda.

La ponderación de tales cambios (o ley de variación de la función) se

obtendrá por la derivación de u, o de v, o de ambas, en relación a las variables

x e y.

De este modo, x e y están actuando como variables independientes en el

proceso, e independientes entre sí; mientras que u y v actúan como variables

dependientes, o funciones (implícitas en r1 y en r2); y r1 y r2 actúan como

funciones portadoras de funciones implícitas.

De acuerdo a esto, las leyes de variación posibles, o incógnitas a

determinar, son: x

u yx

);(

x

v yx

);(

y

u yx

);(

y

v yx

);(

las que algunas, o todas, pudieran ser las incógnitas buscadas en determinado

proceso.

Generalmente, suele ser de necesidad el encontrar sólo una de ellas; el

“peor caso” será la necesidad de determinar a todas las incógnitas indicadas.

Para obtener las estructuras de las derivadas buscadas, apl icamos la regla

de la cadena y el álgebra de determinantes.

Búsqueda de x

u yx

);(: aplicamos la regla de la cadena a la expresión :

01111

dx

dy

y

r

dx

dx

x

r

x

v

v

r

x

u

u

r

Expresión en la que se observa el doble rol de x; es intermedia e independiente,

a la vez.

Minimizando:

001111

y

r

x

r

x

v

v

r

x

u

u

r 0111

x

r

x

v

v

r

x

u

u

r


En la expresión obtenida por la regla de la cadena en observamos que

aparece la incógnita buscada (x

u

) pero también aparece una incógnita no

buscada (x

v

).

Signif ica que se t iene un sistema de una ecuación con dos incógnitas

(1x2). No t iene solución.

Se necesita armar otra ecuación con las mismas dos incógnitas, para tener

un sistema compatible (2x2); para el lo util izamos la y le aplicamos la regla de

la cadena:

002222

y

r

x

r

x

v

v

r

x

u

u

r 0222

x

r

x

v

v

r

x

u

u

r

Con la y la , armamos el sistema:

0

0

222

111

x

r

x

v

v

r

x

u

u

r

x

r

x

v

v

r

x

u

u

r

Mirando con detenimiento el sistema así formado, observamos:

a.- los primeros términos de sendas ecuaciones contienen la pr imera incógnita;

b.- los segundos términos contienen la segunda incógnita;

c.- los terceros términos contienen los coeficientes independientes;

d.- los segundos miembros son ambos nulos;

e.- cada incógnita está afectado por un coeficiente determinado.

Estamos en condiciones de armar el determinante pr incipal del sistema y,

a part ir de él, los correspondientes sustitutos, obteniéndose:

v

r

u

r

v

r

u

rv

r

x

r

v

r

x

r

v

r

u

r

v

r

u

rv

r

x

r

v

r

x

r

v

r

u

r

v

r

u

r

v

r

x

r

v

r

x

r

v

r

u

r

v

r

u

r

v

r

x

r

v

r

x

r

ux

x

u yx

1221

2112

1221

1221

1221

1221

22

11

22

11

);(

Expresión en la que, luego de susti tuir por las derivadas indicadas, y de l levar a

la mínima expresión, habremos obtenido la derivada buscada.

Los determinantes pr incipal y sustituto suelen llamarse

determinantes Jacobianos (el Jacobiano principal, y el Jacobiano sustituto) con

los símbolos:

v

r

u

r

v

r

u

r

uv

rrJ

22

11

21 y

v

r

x

r

v

r

x

r

xv

rrJux

22

11

21


Del mismo sistema, y en caso de ser necesario, podemos obtener:

v

r

u

r

v

r

u

rx

r

u

r

x

r

u

r

v

r

u

r

v

r

u

rx

r

u

r

x

r

u

r

v

r

u

r

v

r

u

r

u

r

x

r

x

r

u

r

v

r

u

r

v

r

u

r

x

r

u

r

x

r

u

r

vx

x

v yx

1221

2112

1221

1221

1221

2121

22

11

22

11

);(

Y mediante los Jacobianos:

v

r

u

r

v

r

u

rx

r

u

r

x

r

u

r

uv

rrJ

ux

rrJ

ux

x

v yx

1221

2112

21

21

);(

Para hallar las otras dos derivadas , en caso de que sea necesario, aplicamos

la regla de la cadena a las expresiones y del sistema, derivando con

respecto a la segunda variable f inal y, obteniéndose:

0

0

222

111

y

r

y

v

v

r

y

u

u

r

y

r

y

v

v

r

y

u

u

r

de donde:

v

r

u

r

v

r

u

r

v

r

y

r

y

r

v

r

uv

rrJ

yv

rrJ

uy

y

u

1221

2121

21

21

y

v

r

u

r

v

r

u

r

y

r

u

r

u

r

y

r

uv

rrJ

uy

rrJ

vy

y

v

1221

2121

21

21

El uso de la denominación Jacobianos es opcional, dado que el álgebra de

los determinantes resuelve a través de los determinantes principal y sustituto.

En general, si consideramos un sistema de n portadoras de implíc itas,

descriptoras de un mismo fenómeno:

);.....;(

..................................

);.....;(

);.....;(

:implícitas 0);.....;;;;.....;;(

funciones de ........................................................

sistema el 0);.....;;;;.....;;(

definen que 0);.....;;;;.....;;(

21

2122

2111

2121

21212

21211

nnn

n

n

nnn

nn

nn

xxxfy

xxxfy

xxxfy

yyyxxxr

yyyxxxr

yyyxxxr

aplicando la regla de la cadena y el álgebra de los determinantes, obtenemos

las expresiones de las derivadas implícitas buscadas ( incógnitas); por ejemplo,

si buscamos obtener 3

2

x

y

, planteamos el sistema de las der ivadas para con 3x :


0

............................................................................................................

............................................................................................................

0

0

33

1

133

2

23

1

1

3

2

3

1

1

2

3

2

3

2

2

2

3

1

1

2

3

1

3

1

1

1

3

1

3

2

2

1

3

1

1

1

dx

y

y

r

dx

y

y

r

dx

x

x

r

dx

x

x

r

x

x

x

r

dx

y

y

r

dx

y

y

r

dx

x

x

r

dx

x

x

r

x

x

x

r

dx

y

y

r

dx

y

y

r

dx

x

x

r

dx

x

x

r

x

x

x

r

n

n

nnn

n

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

De este nuevo sistema, planteamos la estructura de la incógnita buscada a

través del álgebra de los determinantes:

n

n

n

n

yy

rrrJ

yxy

rrrJ

xy

x

y

..........

.....

..........

.....

1

21

31

21

32

3

2

donde:

n

nn

n

n

n

n

y

rn

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

yy

rrrJ

.....

...............................

.....

.....

..........

.....

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

21

y

n

nn

n

n

n

n

y

rn

x

r

y

r

y

r

x

r

y

r

y

r

x

r

y

r

yxy

rrrJxy

.....

...............................

.....

.....

..........

.....

31

2

3

2

1

2

1

3

1

1

1

31

2132

El método general de derivaciones implícitas consiste, entonces, en

considerar que un problema, o fenómeno, es descripto por un sistema nxn, de n

ecuaciones y n incógnitas (1x1, 2x2, 3x3, etc.), por lo que se resuelve éste

últ imo mediante el álgebra de los determinantes.

Como ejemplo de otra aplicación conjunta de la regla de la cadena y del

álgebra de los determinantes para obtener derivadas de las funciones implícitas,

y como aplicación, a su vez, del modo general presentado, supongamos que un

cierto fenómeno es descripto por la estructura funcional: 0);;( zyxr donde

se sabe que está definida implíc itamente la relación funcional: );( yxfz y se

desea saber el modo en que variará z con respecto a x, y con respecto a y, sin

conocerse la estructura f.


Por la regla de la cadena, establecemos que:

0000

x

z

z

r

x

r

x

z

z

r

y

r

x

r

x

z

z

r

dx

dy

y

r

dx

dx

x

r

y por el álgebra de los determinantes:

z

rx

r

z

r

x

r

z

rJ

x

rJ

zx

x

z

Y para la otra incógnita:

00

y

z

z

r

y

r

y

z

z

r

dy

dy

y

r

dy

dx

x

r : regla de la cadena;

y por el álgebra de los determinantes:

z

r

y

r

z

r

y

r

zy

y

z

Con lo que se obtuvieron las dos incógnitas buscadas.

En el proceso de derivación de funciones implícitas, se deriva

primero por la regla de la cadena; luego se aplica el álgebra de determinantes ; y

se reduce a la mínima expresión.

En caso de pedir lo el problema, se valúan las expresiones de las

derivadas obtenidas, para determinada condición impuesta por el enunciado, o

consigna.

En este caso, deberá tenerse en cuenta que la mínima expresión de una

función derivada como implíc ita contiene variables f inales e intermedias ;

situación que se analizará en los prácticos.

Recordemos que en el caso de las der ivadas de funciones compuestas no

aparecen las variables intermedias.

* * * * * * *


NACIONAL




En todos los e jercicios se apl icará el método general ( regla de la

cadena/determinantes) exclusivamente, salvo especi fi cación par ticular .

257.- Si 2zxSenyzx 22 ).(.. en donde );( yxfz , a) hallar la der ivada de z con

respecto a y; b) valorar la der ivada para );;(2

3

4

3

3

4P .


a.- Con v istas a apl icar el método general de derivación de funciones

implícitas, que ut il iza la regla de la cadena para la derivación de funciones


compuestas, en combinación con el álgebra de los determinantes (o d e los

sistemas), hacemos 02zxSenyz2 )(x:w 2 como función portadora de la

función implícita );( yxfz , y deducimos que: 0yxWyxfyxww );());(;;(z)y;(x;:w

por lo que, apl icando la regla de la cadena para funciones compuestas en el

primer miembro, y derivando el segundo miembro con respecto a la misma

variable f inal, se t iene: 0dy

0d

y

z

dy

dy

dy

dx

)(

z

w

y

w

x

w o sea: 0

y

z

z

w

y

w

que es un sistema de una ecuación con una incógnita ( 1x1) desde el que

encontramos la derivada buscada (incógni ta del sistema), mediante la relación:

)(

).(

)(

).(

xzyCosxz2x

zxSen

xzxyCoszx2

zxSen

z

w

y

w

z

w

y

w

z

w

y

w

zy

y

z2

b.-

1802Cos316

2Sen3

2

3

3

4Cos

4

3

2

3

3

42

3

42

3

3

4Sen

xzyCosxz2x

zxSen

y

z

PP

,)(

)(

)(

)(

)(

).(

* * * * * * *

258.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección del plano ][ 2y con la

superf icie 49zyx 222 . Cuando 6x y aumenta 4 unidades por segundo,

hallar: a) la velocidad de la coordenada z; b) la velocidad del punto.


a) Intersectando los planos, resulta: 49z2x 222 o sea: 49z4x 22 ,

es decir que: 45zx 22 expresión en la que )(tgx y )(thz , según lo que

indica el enunciado del problema.

Llamando r a la función y der ivándola por medio de la regla de la cadena

como una compuesta que contiene implícitas:

0dt

45d

dt

dz

z

r

dt

dx

x

r

)( y como, según el enunciado, x varía a una velocidad

de 4 unidades por segundo, se t iene que: seg

u 4

dt

dx

por lo que: 0dt

dz

z

r4

x

r

de donde:

z

r

x

r4

dt

dz s

y por lo tanto: seg

un8

3

24

645

24

x45

64

z

x4

z2

x24

dt

dz

22


b) La velocidad del punto está compuesta por dos velocidades; la

correspondiente a la dirección x, y la correspondiente a la dirección z:

j8i4jt

zi

t

xjvivvvv zxzx

lo que permite:

seg

u ,

seg

un vv 948548084

t

z

t

x 2222

* * * * * * *

259.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección del plano 02yx

con el plano 0yxzyx 222 . . Cuando 3x y aumenta 2 unidades por segundo,

hallar la velocidad con que se mueve e l punto.


Como el movimiento del punto t iene componentes en las tres direcciones,

su velocidad deberá ser:

222

dt

dz

dt

dy

dt

dxv

Y como seg

cm

dt

dx2 , para conocer las otras dos se plantea el sistema:

g : 02y-x

h : 0. 222 zyyxx donde: t(t)z s(t);y );( trx

Por lo que, planteando como derivación de funciones implícitas:

0dt

dzz2

dt

dyy2x20

dt

dz

z

h

dt

dy

y

h

dt

dx

x

h

)()(y)2x(

que es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se t iene un sistema 1x2 que,

para resolverlo, se apela a la otra componente del sistema descriptor del

fenómeno (g), se la deriva como implícita, y con ello se conformará un sistema

2x2:

002 0021 0

dt

dz

dt

dy

dt

dz

dt

dy

dt

dz

z

g

dt

dy

y

g

dt

dx

x

g

Entonces:

0dt

dz0

dt

dy2

0dt

dzz2

dt

dyy2x2

)(y)2x(

sistema desde el que conformaremos los determinantes, princip al y sustituto:

z2z210y2x1

y2x

))..(().(

0

2z-

)())).(.(()).((2 -

y).2(2x- yx6y2x4y4x22yx212y2x

1

y2xzt


entonces: z

yx3

z2

yx6

dt

dz zt )()(

Pero, por datos del problema: 2xy y reemplazando:

4x6x3

1x6

z

1x6

z

2xx3

dt

dz

2

)()())(( que, para 3x :

7

24

43633

136

dt

dz

2

..

)( o sea que:

seg

un

dt

dz

7

24

Y con ello, la velocidad del punto es:

44467,47

2422

2

22

v o sea:

seg

unv 45,4

* * * * * * *

260.- a) Hallar la der ivada de z con respecto a y si )(xyzSenzyx .

b) Valorarla para la condición );2

1C(1; 2 .


Del enunciado se deduce que );( yxfz , de la que se pide la y

z

.

a) Llamaremos r: 0)( xyzSenzyx

entonces: 0

y

z

z

r

dy

dy

y

r

dy

dx

x

r de donde: 0

y

z

z

r

y

r por lo que:

1xyzCosyx

xyzCoszx1

1xyzCosyx

1xyzCoszx

z

r

y

r

z

r

y

r

y

z zy

)(..

)(..

)(..

)(..

b) 11,02)1(

)1(.42

1)1(2

1

)1(.21

1)22

11(

2

11

)22

11(.2.11

1)(..

)(..1

Cos

Cos

Cos

Cos

Cos

Cos

xyzCosyx

xyzCoszx

y

z

CC

* * * * * * *

261.- a) Hallar la der ivada de y con respecto a x del sistema:

01

022

xyz

zyyx.

b) Valorarla para la condición );C(1;2 3 .


a) Llamando

01:

0:

2

221

xyzr

zyyxr desarrollamos por regla de la cadena:

(1) 0 0 111111

dx

dz

z

r

dx

dy

y

r

x

r

dx

dz

z

r

dx

dy

y

r

dx

dx

x

r


que es un sistema de una ecuación con dos incógnitas: una buscada y la otra

innecesaria; para resolverlo necesitamos armar otra expresión con las mismas

dos incógnitas y conformar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas;

entonces: (2) 0 0 222222

dx

dz

z

r

dx

dy

y

r

x

r

dx

dz

z

r

dx

dy

y

r

dx

dx

x

r

Entre (1) y (2) tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

que nos permit irá obtener la incógnita buscada, entonces:

yzxx

x2yzy

z

r

y

r

z

r

y

r

z

r

y

r

z

r

y

r

z

r

y

r

z

r

y

r

z

r

y

r

z

r

y

r

dx

dy2

2

1221

1221

22

11

22

11

yx

:

b) 1417

8

7

42

321

2322

yzxx

x2yzy

dx

dy

C

2

2

C

,.

.

)..(

)(

)(

* * * * * * *

262.- Para que la función yx3xy2F 22 permanezca constante si x aumenta 2

cm por segundo cuando pasa por el valor cm 3x , ¿a qué velocidad varía y,

cuando pasa por cm 1y ?.


Si F es constante, entonces:

dt

dyx3xy42xy6y2

dt

dy

y

F

dt

dx

x

F0

dt

dF 22

)()(

de donde: seg

cm312

15

32

33134

136122

x3xy4

xy6y22

dt

dy2

2

2

2

yt,

)()(

* * * * * * *

263.- Hallar Cdt

dz

si )();( 22 yxCosyxyxfz ① para

(3)

(2) )(

22

2

txSeny

tyLnx

siendo la condición: );C(3;2 1 .


De ②: )(2 yLntx ④ Con ④ en ③: )())(( 1

2 tfytyLntSeny

De ②: 2x-t2 ey )( xtyLn ⑤ Con ⑤ en ③: )()(e 2

22x-t 2

tfxtxSen

Por lo tanto: )())();(();( 21 tFtftffyxfz y la derivada a encontrar es

la de una función compuesta, mientras que el sistema ②③ es un sistema de

funciones implícitas, que puede disponerse como:

(s) 0

(r) 0)(

22

2

txSeny

tyLnx


Aplicando la regla de la cadena a la función principal:

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Donde: ).().(2..).().(2 222 yxSenyxyxCosyxyxSenyxyxCosxyx

z

).().(2..).().(2 222 yxSenyxyxCosyxyxSenxyyxCosyxy

z

Entonces: dt

dxyxSenyxyxCosyx

dt

dz).().(2.. 2

dt

dyyxSenyxyxCosyx ).().(2..2

Luego: ][).().(2 22

dt

dyyx

dt

dxyxyxSenyxyxCos

dt

dz

Del sistema rs:

0t

s

dt

dy

y

s

dt

dx

x

s

0t

r

dt

dy

y

r

dt

dx

x

r

0dt

dt

t

s

dt

dy

y

s

dt

dx

x

s

0dt

dt

t

r

dt

dy

y

r

dt

dx

x

r

⑥

Por lo que las incógnitas del sistema son:

y

r

x

s

y

st

r

x

s

t

s

y

s

x

s

y

r

t

s-

x

s

t

r-

y

r

x

s

y

s

y

r

t

s

y

s

y

s

x

s

y

r

y

s

t

s-

y

r

x

rx

r

x

r

x

r

dt

dy

x

r

t

r

x

r

t

r

dt

dx ytxt

Las derivadas intervinientes son:

1 ;1

;.2 ;.2 );( );(...2 322

t

r

yy

rx

x

rt

t

sxSen

y

sxCosyx

x

s

Entonces: )]()(.[

)(.2

)]()(.[...2

2)(..223

2

222

23

xSenxCost

xCosy

dt

dy

xCosxSentyx

xSenty

dt

dx

Y la estructura, o ley, de la función buscada es, en su mínima expresión:

)()(..2

)(.2..22)(...).().(2.223

2223

xCosxSent

xCosyxxSentyyxSenyxyxCosy

dt

dz

Y su valor para la condición propuesta, );;();xC(t; 123Cy , es:

)2()2(.3.2

)2(.12.2.22)2(.3.1.)1.2(12)1.2(2.2223

2223

CosSen

CosSenSenCos

dt

dz

C

)4()4(.27

)4(2.82)4(.27.)2()2(

)4()4(.27.2

)4(.12.4.22)4(.27.)2(2)2(2

CosSen

CosSenSenCos

CosSen

CosSenSenCos


90,13

Cdt

dz

* * * * * * *

264.- Si Cos(x)y.ez para 22 ty2x y ty3x2 , hal lar la variación de z

con respecto a la variable t.

* * * * * * *

265.- Hallar todas las derivadas posibles de la función implícita );( yxfz en el

sistema

1)(.2.3

)(.

zLnzyx

zyCosxez, valorándolas en el punto:

a) Q(e;;2), ¿tiene sentido?, ¿por qué?;

b) P(0;-1;1), ¿tiene sentido?, ¿por qué?.

* * * * * * *

266.- Hallar todas las derivadas posibles de la función implícita contenida en

03y2x

e

.

Respuesta: 2y3

x2

dx

dy

* * * * * * *

267.- Hallar las der ivadas de )(xgy y )(xhz a part ir de:

)(2.3.2

0).(

xLnyzxe

x

yxLn

* * * * * * *

268.- Hallar las der ivadas de );( yxgu y );( yxhv a part ir de:

)(2.22.)(

zLogxuv

zyxuLnv

* * * * * * *

269.- zzyxyx ...2.210 contiene a );( yxfz ; hallar sus derivadas.

* * * * * * *

270.- La ecuación de estado de un gas perfecto es: P.Vm.C.T donde:

m es la cantidad de gas (moles); C es una constante; T es la temperatura; P es

la presión; V es el volumen.

En cierto instante, 118 moles de gas t ienen un volumen de 0,5 m3 bajo una

presión de 80000 Kg por m2.

Si 84780C , , hallar la velocidad del cambio de la temperatura si el volumen

aumenta 0,001 m3 por segundo y la presión disminuye a razón de 100 Kg por m

por segundo.



De la ecuación del gas despejamos la temperatura: );( VPfm.C

P.VT

para un valor dado de m .

Si tanto la presión, como el volumen son funciones del t iempo, ya que,

según el enunciado: seg

m ,

3

0010dt

dV y

seg

Kg.m 100

dt

dP entonces:

)())();(();( tFthtgfVPfm.C

P.VT luego: r : ))();(()();()( 0thtgftFVPftF

o sea que 0Cm

VPTr

.

. y entonces: 0

dt

0d

dt

dV

V

r

dt

dP

P

r

dt

dT

T

r

)(

de donde: 00010Cm

P100

Cm

V

dt

dT1 ,

.)(

. y despejando:

2998788084780118

50100800000010V100P0010

Cm

10010

Cm

P100

Cm

V

dt

dT,

,.

,..,],[

.,

.)(

.

Finalmente: seg

)grados(º ,30

dt

dT

*******

La resolución como función compuesta es más direct a: a part ir de la

expresión )())();(();( tFthtgfVPfm.C

P.VT donde t es variable f inal, y P y V

son variables intermedias, aplicamos la regla de la cadena:

84780118

10050001080000

Cm

100V0010P0010

Cm

P100

Cm

V

dt

dV

V

T

dt

dP

P

T

dt

dT

,.

.,,.

.

.,.,

.)(

.

y entonces: seg

)grados(º ,30

dt

dT

* * * * * * *

271.- Hallar las der ivadas de )(xgy y )(xhz a part ir de:

0)2.2.2(5

022.22.3

yxCos

zyx

* * * * * * *

272.- Hallar las der ivadas: x

w ;

x

v ;

y

u a part ir de:

0e3vxLog

0vLnu3y2x

w

yu2

2

1

..

2

.).(

)(..

uLog(y)3.x

* * * * * * *

273.- A part ir de:

12)3()2(32

05.23yLnxLogvu

yxvu hallar todas las der ivadas


posibles de las funciones implícitas );( yxfu y );( yxfv , valorándolas para la

condición );;;( 1122C .

* * * * * * *

274.- A part ir de: 023.yLn(x) ; 0)(. zLnxy hallar todas las der ivadas posibles

de la función implícita )(xfy y )(xgz , valorándola para la condición );;( 101C .

* * * * * * *

275.- Hallar todas las derivadas posibles de la función implícita contenida en la

expresión 1)(.)(. xSeny

eySenxe , valorándolas para la condición ));(( 01SenC 1 .

* * * * * * *

276.- Hallar todas las derivadas posibles desde: ;0)(. zLny x ;0.3)( 2 yxLn

);(xfy );(xfz ).4;3;2(P


Armamos el sistema:

0.3)(:

0)(.:

2

2

1

yxLnr

zLnyr x

Desde el que, para obtener

las derivadas solic itadas, der ivamos aplicando la regla de la cadena:

0111

dx

dz

z

r

dx

dy

y

r

dx

dx

x

r luego: 0111

dx

dz

z

r

dx

dy

y

r

x

r

Como se t iene un sistema de una ecuación con dos incógnitas, armamos

una ecuación complementaria con la otra función:

0222

dx

dz

z

r

dx

dy

y

r

dx

dx

x

r

con lo que: 0222

dx

dz

z

r

dx

dy

y

r

x

r

Resolviendo por determinantes el nuevo sistema así formado :

-0,02836

1-

..

..P

yx6

1

dx

dy

yx6

1

y

r

z

rx

r

z

r

0y

r

z

r

y

r

0x

r

z

r

x

r

z

r

y

r

z

r

y

r

z

r

x

r

z

r

x

r

dx

dy

P21

21

2

11

2

11

22

11

22

11

y también la derivada:


y6z

y

x

1zLnyzzLnyLnyy6

y

r

z

r

y

r

x

r

x

r

y

r

z

r

y

r

z

r

y

r

x

r

y

r

x

r

y

r

dx

dzx

1x

21

2121

22

11

22

11

).(..)().(...

046dx

dz

yx6

zyLnzyx6zLnz

P

2

, ..

))(....).((.

Las que toman un valor real al valuarse sus respecti vas expresiones por

las coordenadas del punto P.

Como siempre, al tratarse de números f initos, medibles, se redondean a

dos cifras signif icativas después de la coma por arriba o por debajo de 5.

* * * * * * *

277.- Un cierto fenómeno físico está descri pto por el sistema

0yvu

0x2vu 2

.

donde se sabe que se encuentran implícitas );( yxfu y );( yxgv . Se necesita

encontrar las leyes de variación de y

u

y

x

v

.

Respuesta

2v2u

v2

y

u

2v2u

v2

x

v

* * * * * * *

278.- Dada la curva )(xfy definida implícitamente por 0xy2yxz , hal lar

la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto );( 11P .

Respuesta: x2y

* * * * * * *

Derivada direccional

Vimos que las derivadas parciales de una función );( yxfz , continua, al

igual que todas sus der ivadas, en el entorno de un punto );();( 00 baPyxP de su

dominio (f igura 113), se interpretan como el valor de la pendiente de una recta

tangente a la superf ic ie de la función sobre un punto ubicado en la curva de

intersección de la superf icie que grafica la función con un plano para y

constante, o para x constante, según se trate de:


x

z

o de

y

z

, respectivamente.

Vimos también que la función toma un valor 000 );( zyxfz para un punto

);( 00 yxP de su dominio. Ello define un punto );;( 000 zyxT , situado sobre la

intersección dicha, en el que se produce la tangencia mencionada.

Cuando x pasa de un valor 0x a otro valor x , mayor o menor que 0x ,

decimos que se produjo un incremento x sobre la recta paralela al eje de

abscisas que pasa por );( 00 yxP . O sea que los desplazamientos de estos valores

de x ocurren en la “dirección x”.

Lo propio ocurre cuando se trata de un incremento y , pero en una

“dirección y”, f igura 114.

Conforme ocurren estos desplazamientos, en una o en otra dirección, las

rectas tangentes t ienen proyecciones sobre el xy , pasantes por );( 00 yxP , y

paralelas o al eje x o al eje y.

En consecuencia, tanto la recta tangente en );;( 000 zyxT , como su

proyección en el xy , están contenidas en una “dirección x” o en una “dirección

y”.

Por ello, podemos decir que la derivada parcial x

z

es una derivada en la

dirección del eje x (en el sentido que corresponda al incremento involucrado), y

que la der ivada parcial y

z

es una derivada en la dirección del eje y (con el

sentido (ley de crecimiento) que le corresponda al incremento de la variable y).

En suma, tales der ivadas parciales son derivadas siguiendo una dirección,

o derivadas direccionales, en la dirección de los ejes coordenados.


Si ahora pensamos en un punto );( yxU , en el entorno de );( 00 yxP , en el

dominio de la función, f igura 119, podemos decir que entre uno y otro punto

existe un desplazamiento, representado por un incremento s , y v isto sobre el

segmento de la recta s, la que representa una cierta dirección que vincula a

ambos puntos.

El incremento s se v incula con los incrementos x y y a través de la

relación pitagór ica: 22 yxs

El incremento s origina, al pasarse de un punto al otro, incrementos x y

y , los que, a su vez, originan un incremento z en la función, cuya estructura

será:

yxyy

zx

x

zyxfyyxxfffffz

PP

i

210originaldaincrementa );();(

Y como s originó el incremento z , establecemos el cociente incremental

s

z

y determinamos el límite de dicho cociente para cuando 0s ( U t iende

a P), obteniéndose: ds

dz

s

yxyy

zx

x

z

Lims

zLim PP

ss

21

00

Que es una der ivada total, no parcial, que llamaremos, por definición, la

derivada de la función en la dirección s; es decir que tenemos definida una

derivada direccional de la función z, en la dirección s:

s

y

s

x

s

y

y

z

s

x

x

zLim

ds

dz

PPs

210

)()()()( 21

0 SenCosSen

y

zCos

x

zLim

PPs

)()()()( 21

0 SenCosLimSen

y

zCos

x

z

sPP

2

01

0)()()()(

ssPP

LimSenLimCosSeny

zCos

x

z

0)()(

Sen

y

zCos

x

z

PP

puesto que, como sabemos: 0

000

yxs

LimLim

Analizando el plano del dominio observamos que )()( CosSen


y que )()( CosSen por lo que podemos establecer que:

PPP

Cosy

zCos

x

zCos

y

zSen

x

zSen

y

zCos

x

z

ds

dz

)()()()()()(

El últ imo miembro nos dice que la derivada direccional puede indicarse por

medio de los cosenos directores de la recta dirección s.

Sin embargo, para simplif icar el número de datos, es común util izar la

expresión del segundo miembro, en función del ángulo director con referencia al

eje de abscisas (eje x, en este caso).

Dado que los valores de las derivadas parciales de la expresión son

números reales, y los valores de los cosenos directores están comprendidos en

un intervalo 1;1 , también reales, la derivada direccional es un escalar, esto es,

un número real, f inito, medible.

Ahora, si x

z

ds

dz

rad

2º90rad0º0

y si y

z

ds

dz

rad0º0rad

2º90

Lo que implica que las der ivadas parciales en la dir ección x y en la

dirección y, son casos part iculares de la derivada direccional de la función.

En el caso de una función de tres variables independientes, tal como

);;( zyxfw , si consideramos una dirección s en su dominio, f igura 120, se

tendrá que: 222 zyxs y si 0s

0

0

0

z

y

x

por lo que la estructura de la der ivada direccional de la función w en la

dirección s será:

s

z

s

y

s

x

s

z

z

w

s

y

y

w

s

x

x

wLim

ds

dw

s321

0

o sea que: )()()( Cosz

wCos

y

wCos

x

w

ds

dw

Y si z

w

ds

dw

rad0º0rad

2º90rad

2º90

o x

w

ds

dw

rad

2º90rad

2º90rad0º0

o y

w

ds

dw

rad

2º90rad0º0rad

2º90

Interpretación geométrica de la derivada direccional

Puesto que la secante RT, el incremento s y el incremento z conforman

un triángulo rectángulo, al pasar del punto R al punto T en la superf ic ie de la


función (de U a P, en el dominio de la función), se t iene un ángulo 0 en el

interior de dicho triángulo, f igura 119.

La tangente del ángulo 0 es: s

zTng

)( 0

La recta tangente a la superf ic ie en T, forma un ángulo posit ivo entre

ella y la recta dirección s.

Cuando 0s entonces º18010 por lo tanto, al tomar

límite del cociente incremental (para definir la derivada direccional ) se t iene:

)()º180()()]([ 1000

TngTngTngTngLims

zLim

ds

dz

ss

lo que implica que el valor de la derivada dir eccional en el punto es el valor de

la tangente tr igonométrica del ángulo posit ivo formado entre la recta tangente en

P y la recta dirección s.

El valor, posit ivo o negativo, de la tangente está relacionado con el hecho

de que la función sea creciente, o decreciente, en el punto de tangencia.

Así, si la situación es la indicada por la f igura 121, entonces:

)()( 000

TngTngLims

zLim

ds

dz

ss

* * * * * * *

Gradiente

A part ir de la función );( yxfz supongamos un vector: ix

zv

P

1

posicionado en );( 00 yxP ; supongamos otro vector: jy

zv

P

2 también

posicionado en P, f igura 122.

Si hacemos la suma vectorial de estos vectores, tenemos:


jy

zi

x

zv

PP

El vector obtenido, y graficado a part ir del punto P en el plano del dominio

de la función, es definido como el vector gradiente de la función y se lo denota

por: jy

zi

x

zz

PP

Grad(z)

Como todo vector, t iene, f igura 123:

punto de apl icación (P);

dirección (dada por el segmento de recta que lo contie ne (g)); o bien,

orientación (ángulo , con referencia al eje de abscisas);

sentido (indicado por la f lecha en el extremo opuesto al punto de

aplicación); o bien, af ijo (A);

valor absoluto, intensidad, o módulo.

El módulo, o valor absoluto del gradiente, y su orientación, se obtienen

mediante las expresiones:

22

PP y

z

x

zz

Px

z

y

z

arcTng

Derivada direccional y gradiente

Si por el punto P consideramos una dirección s en la que existe la

derivada direccional de la función, su orientación, con respecto al eje de

abscisas, está dada por el ángulo , o sea, por el coseno director )(Cos .

Al igual que las direcciones (o ejes) x, y, z t ienen sus versores i, j, k , la

dirección s t iene su versor 0s , que, como todo vector unitar io, t iene un módulo,

valor absoluto, o intensidad, de valor: 10 s

Graficando este versor sobre la dirección s (f igura 124), a part i r del punto

P, vemos que la orientación posiciona sendos catetos de un triángulo

rectángulo, de modo que, por Pitágoras: 1)()(2

0

22 sCosSen


por lo que, sumando vectorialmente ambos catetos, obtenemos el versor

dirección: 0)()( sjSeniCos

Si ahora se mult iplica escalarmente (producto punto) el vector gradiente

por el versor dirección, aplicados en el punto P, se obtiene:

ds

dzSen

y

zCos

x

zjSeniCosj

y

zi

x

zsz

PP

P

P

)()()()(0

Este producto punto entre el gradiente y el versor dirección, que nos d a la

derivada direccional de la función en el punto P, también puede desarrollarse

así:

)()(1)(

2222

00 Cosy

z

x

zCos

y

z

x

zCosszsz

ds

dz

PPPP

Siendo el ángulo comprendido entre los dos vectores del producto

(f igura 125), y sabiendo que el coseno de este ángulo puede tomar valores del

intervalo 1;1 , para cualquier valor intermedio el coseno actúa como un factor

atenuador del valor absoluto del gradiente.

Pero si el coseno toma el valor 1, entonces

ds

dzz

ds

dz, que es el valor

máximo que puede tomar la derivada direccional, y por el lo decimos que el valor

de la máxima derivada direccional es el valor del módulo del gradiente; hecho

que sucede cuando 0 , por lo que ambos vectores del producto son

colineales “sumativos” (van en el mismo sentido).

Pero si el coseno toma el valor -1, entonces:

ds

dzz

ds

dz que es

denominada derivada direccional mínima, y signif ica, para radº180 , que los

dos vectores del producto son colineales “sustractiv os” (van en sentido

opuesto).

Cuando la derivada direccional es la máxima, signif ica que la función, en

el punto P, t iene máxima pendiente, o también máxima ley de variación, o


también máxima velocidad de variación, y la dirección en la que la der ivada es

máxima (o la pendiente es máxima) es la dirección coincidente con la dirección

del gradiente en el punto P.

Por el contrario, la mínima derivada direccional, o bien la mínima

velocidad de variación de la función, se relaciona con el sentido o puesto al de la

máxima der ivada direccional, si bien su valor absoluto es el mismo.

Por otra parte, si el valor de la función es un valor constante k, o sea:

kyxfz );( , se t iene la curva de nivel correspondiente a ese valor k. Esta curva

de nivel es una curva que se desarrolla en el [xy], f igura 126.

Ello indica que en la expresión kyxf );( está implícita la función )(xry

por lo que podemos establecer que: kxrxfyxf ))(;();( con lo que podemos

derivar a la expresión con las propiedades de la der ivación de funciones

implícitas, tomando a x como variable f inal:

0)(

dx

dy

y

f

x

f

dx

kd

dx

dy

y

f

dx

dx

x

f y entonces: t

P

P

p

y

fx

f

dx

dy

que es la pendiente de la recta tangente a la curva de nivel en el p unto P (p en

la f igura 126).

Si consideramos la pendiente del gradiente, en el mismo punto, tenemos:

g

P

P p

x

z

y

z

)Tng(


De modo que, mult iplicando: 1)Tng(

PP

gtPP

x

z

y

z

y

fx

f

ppdx

dy

Donde tp y gp representan a las respectivas pendientes de la derivada y

del gradiente, tomadas en el punto P, y como su producto resulta -1 ello indica

que ambas pendientes son ortogonales entre sí, es decir, perpendiculares ( g de

la f igura).

El gradiente de la función, resulta así, perpendicular a la curva de nivel de

cota k y en el punto P del dominio de la función. O sea que el ángulo entre

ambas pendientes es rad/º 290 .

Como consecuencia de esto, la derivada direccional de la función en el

punto P, según la dirección de la tangente a la curva de nivel (o sea, la

dirección perpendicular al gradiente) es:

0)º90()(

CoszCosz

ds

dz

P

Dado que la más importante propiedad del gradiente es la de que indica el

sentido de máxima variación de una función, es util izado para indica r

direcciones (o sentidos) de máxima variación de velocidades, temperaturas,

energías, alturas, etc.

* * * * * * *

Como un ejemplo de uso del gradiente en la v ida cot idiana, veamos el s iguiente documento real izado por : “Club de Planeadores Los Caranchos***Aeródromo: Ruta Provincial C-45. Alta Gracia. Departamento Santa María. Provincia de Córdoba. República Argentina***Teoría de Vuelo para Pilotos de Planeador***Stafford Allen

Capítulo IX

LOS PELIGROS OCULTOS Si manejamos un triciclo de reparto no tenemos el menor interés en chocar contra un ómnibus que viene

en sentido contrario. El peligro y, en consecuencia, los resultados de esta acción son obvios. Pero la verdadera amenaza es el ómnibus o el auto que no vemos. El aire, como hemos dicho antes, es invisible y, por lo tanto, el peligro que encierra tiene que ser presentido antes que visto. Sin embargo, el buen piloto de planeador ve el aire y su comportamiento, ya que se ha estado entrenando todo el tiempo sobre lo que está haciendo este elemento. Con el objeto de ayudar al alumno a adquirir este instinto incluimos este capítulo sobre algunas de las

trampas que pueden encontrarse.

GRADIENTE DEL VIENTO

Cuando sopla viento, la capa inferior de aire es frenada por la fricción con el suelo. El aire que se encuentra a 3 centímetros sobre el suelo puede hallarse casi estacionario; a 1,50 metros puede que se perciba una ligera brisa; y a 150 metros tal vez sea un fuerte viento. Este efecto del incremento de la velocidad del viento con la altura es muy pronunciado cerca del suelo y se conoce como gradiente del viento. Siempre se encuentra presente en algún grado y es afectado por muchas cosas, de las cuales la más importante probablemente es el tipo de suelo sobre el cual se desarrolla el viento. Las zonas boscosas harán que el aire se desplace más lentamente que en el caso de superficies planas y libres. Asimismo, el efecto del gradiente del viento es mayor con vientos fuertes que con brisas ligeras.

Tomemos un caso extremo para ver cómo esto afecta al planeador. Imaginemos un viento que sopla a 50 kilómetros por hora a 90 metros de altura y a cero kilómetros a 85 metros. Si un planeador vuela de frente al viento a 60 kilómetros por hora y a una altura de 100 metros, su velocidad real sobre el suelo será de 10 ki lómetros por hora. Cuando el planeador desciende a través del aire y llega a los 85 metros se encuentra con que el viento


disminuye repentinamente hasta que cesa por completo hasta quedar en calma completa, con lo que la velocidad de la máquina respecto al aire será de 10 kilómetros por hora. En consecuencia, el planeador entra en pérdida y lo hace en forma muy repentina y aguda. Este ejemplo extremo resulta, por supuesto, imposible en la práctica, pero sí es muy posible que la velocidad del viento sufra una modificación de 25 kilómetros o más entre los 100 y los 5 metros sobre el suelo. En este caso, mientras el planeador se aproxima con viento de frente para aterrizar y desciende desde los 100 metros, habrá una insidiosa tendencia del viento a disminuir que puede -si el piloto es suficientemente estúpido- llevar al planeador peligrosamente cerca de la pérdida a medida que se aproxima al suelo. Las medidas que deben tomarse son obvias. Haga la aproximación con suficiente velocidad y prevenga la disminución repentina del viento poniendo la proa hacia abajo tanto como sea necesario. El gradiente del viento es a menudo muy marcado cuando se aterriza en la cima de una colina. Hay un punto que necesita ser mencionado. Si usted trata de hacer un viraje muy escarpado en un gradiente de viento muy fuerte, las velocidades reales de las alas superior e inferior pueden ser muy distintas y esta diferencia es más marcada cuanto mayor es la envergadura del velero. Cuando nos hallamos con viento de cola el ala situada a un nivel inferior encontrará mayor velocidad del aire y el planeador necesitará cierta cantidad de alerón para obligarlo a hacer el viraje. A medida que completa el viraje hasta hallarse frente al viento mientras desciende, la punta del ala superior es la que enfrenta una mayor velocidad del viento y el planeador puede muy bien mostrar una violenta tendencia a girar en exceso sobre su eje longitudinal o sea a escarpar. La moraleja es clara: no haga virajes escarpados cerca del suelo. ……..”

* * * * * * *


NACIONAL




279.- Hallar la der ivada direccional de la función

(0;0)y)(x; para 0

(0;0)y)(x; para 22

2

yx

yx

z

en el punto );( 00P , y en la dirección dada por el vector:

a) );( 11jis ; b) );( 01ij0iv ; c) );( 10ji0r .


Si la función es diferenciable en );( 00P , se calcula la derivada direccional

por la expresión: oszds

dz

En caso contrar io, hay que apl icar la definición de derivada direccional.

Veamos si es diferenciable en );( 00P : primero debemos ver si es

continua en );( 00P , para lo cual:

1.- por definición, la función es z=0 en dicho punto;

2.- el límite de la función es:

)

)(

()()()()(2

0y0x

2

22

0y0x22

2

0y0x22

2

0y0x

0y0x

x

y1

1yLím

x

yx

1yLím

yx

xyLím

yx

yxLímzLímL

0Acotada)Acotada(

0yLím

0y0x

3.- como 0zL 00P );( la función es continua en );( 00P .

Ahora veamos si es diferenciable en );( 00P : dyy

zdx

x

zdz


donde, por der ivación directa:

adaindetermin)(

)..

0

0

yx

yx2

x

z

P

222

3

P

y adaindetermin)(

).(

0

0

yx

yxx

y

z

P

222

222

P

ante la imposibil idad de la derivación directa, apelamos a la definic ión para

obtener las der ivadas:

x

00xzLím

x

00z0x0zLím

x

yxzyxxzLím

x

zLím

dx

dz

0x0xP

0xP

x

0xP

);();();(]

);();([)(

0x

0Lím

x

x

0

Límx

0x

0x

Límx

yx

yx

Límx

0xzLím

30x

2

0x

22

2

0x

0x22

2

0x0x

.][);(

);(

y la otra derivada:

y

0y0zLím

y

00zy00zLím

y

yxzyyxzLím

y

zLím

dy

dz

0y0yP

0yP

y

0yP

);();();(]

);();([)(

0y

0Lím

y

y

0

Límy

y0

y0

Límy

yx

yx

Límy

y0zLím

30y

2

0y

22

0y

y022

2

0y0y

.][

);();(

con lo que el diferencial de la función, en caso de ser diferenciable, sería:

0dy0dx0dyy

zdx

x

zdz PP

..][)(

Ahora encontremos el incremento de la función:

22

2

P

22

2

PPyx

yx0

yyxx

yyxx00zyyxxzz

.

)()(

).()();(];([)(

Con todos estos elementos podemos determinar la diferenciabi lidad de la

función mediante el cálculo del l ímite:

0

0

yxyx

yxLím

yx

0yx

yx

Límyx

dzzLím

2222

2

0y0x22

22

2

0y0x22

PP

0y0x

).(

.

.

))()(

(

para intentar levantar esta indeterminación, aplicamos límites por haz de rectas,

haciendo: xmy . con lo que:

222222

2

0x22

PP

0y0x xmxxmx

xmxLím

yx

dzzLím

.)..(

..)

)()((

adoindetermin)(.)..(

.

32222

3

0x m1

m

m1xm1x

xmLím

por lo que concluimos que la función no es diferenciable en el punto );( 00P , y por

lo tanto, la derivada direccional no se puede calcular por la expresión


oszds

dz y, en consecuencia, será necesario aplicar la definic ión de derivada

direccional, como sigue: 220s0s0s yx

PzQzLím

s

PzQzLím

s

zLím

ds

dz

)()()()(

donde, haciendo: tPQsyx 22 y sabiendo que: s

sso

entonces el segmento dir igido, o vector, que une los puntos P y Q, será:

ostPQ y el punto Q, a part ir del punto P, será: ostPQ

y en consecuencia, la der ivada será:

t

PzstPzLím

t

PzstPzLím

yx

PzQzLím

ds

dz o

0t

o

PQ220s

)().()().()()(

a.- Adaptando el planteo para el caso de );( 00P y );( 11Q , hacemos (f iguras 127):

la dirección es: );( 11jis con lo que 211s 22

y el versor dirección es: );(2

1

2

1

2

jiso

y entonces: );();();();(2

t

2

t

2

t0

2

t0

2

1

2

1t00stPQ o

con lo que la definic ión de der ivada direccional será:

t

0yx

yx

Límt

00z2

t

2

tz

Límt

PzstPzLím

ds

dz 2

t

2

t22

2

0t0t

o

0t

);(]

.[

);();()().(

22

1

t22

tLím

t

t

22

t

Límt

2

t

2

t

2

t

2

t

Límt

2

t

2

t2

t

2

t

Límt

yx

yx

Lím3

3

0t

2

3

0t

22

2

0t

22

2

0t

2

t

2

t22

2

0t

.

)()(

.)(

].

[);(

que es el valor buscado de la derivada direccional en la dirección hacia Q.

b.- si );( 01ij0iv entonces es );( 01Q (f igura 128), o sea, en el sentido

creciente de las x, por lo que la derivada direccional es la der ivada parcial en el

sentido de las x (más arriba calculada por definición); de cualquier manera, el


versor dirección es: );( 01i1

i

1

ivo con lo que la der ivada

direccional, apl icando la definic ión, es:

t

yx

yx

Límt

0yx

yx

Límt

00z0tzLím

t

PzvtPzLím

dv

dz0t22

2

0t

0t22

2

0t0t

o

0t

);();( ].

[].

[);();()().(

P0t30t

22

2

0t x

z00Lím

t

0Lím

t

0t

0t

Lím

)(

.

c.- Para el caso de la dirección );( 10ji0r el versor dirección es

);( 10j1

j

1

ji0ro

y el punto Q es );( 10Q , por lo que la dirección es en el

sentido de las y crecientes (f igura 129), por lo que la derivada direccional en

esta dirección es la derivada parcial de la función en la dirección de las y

(PP y

z

dr

dz

).

No obstante, organicemos el cálculo de la der ivada direccional mediante

su definic ión, para este caso:

t

yx

yx

Límt

0yx

yx

Límt

00zt0zLím

t

PzrtPzLím

dr

dzt022

2

0t

t022

2

0t0t

o

0t

);();( ].

[].

[);();()().(

P0t30t

22

2

0t y

z00Lím

t

0Lím

t

t0

t0

Lím

)(

.

* * * * * * *

280.- Hallar:

a) el ángulo de orientación de la máxima derivada direccional de la función

z=xySen(3xy) en P(1;);

b) el valor de ésta, en el punto P;

c) el valor de la der ivada d ireccional en la dirección s=2.i+3.j;

d) la expresión funcional de las curvas de nivel de la función;

e) la expresión funcional de la pendiente de las curvas de nivel;

f) la expresión funcional de la pendiente del gradiente;

g) una conclusión al comparar ambas pendientes obtenidas;

h) el valor de la derivada direccional en el punto P, a través del gradiente;

i) el ángulo entre el gradiente en el punto P y la dirección s.



a.- La orientación ( ) de la máxima derivada direccional coincide con la

orientación del gradiente de la función.

Grafiquemos la situación en la f igura 130 y determinemos el gradiente en P :

ixyCosxyxySenyj

y

zi

x

zz P

P

P )]3(3)3(.[ 2

j3i3jxy3yCosx3xy3xSen 2P

2 )]()([

o sea que las componentes del gradiente son ambas

negativas y la orientación de éste resulta mayor de

180º, es decir: º180

donde: º,)( 66173

3arctg

x

z

y

z

arctg2

P

con lo que º,66197 .

b.- El valor de la máxima derivada direccional resulta de:

073133y

z

x

zz

ds

dz

ds

dz 22222

PP

MAXP

,][

c.- La dirección s implica una orientación )()2

3arctg(

2

3tg 1 por lo que la

derivada direccional en la dirección s es:

27242

3tgSen3

2

3tgCos3Sens

y

zCos

x

z

ds

dz 112PP ,))((.))((.)]()([][

d.- Si )(. xy3Senxykz , la expresión funcional de las curvas de nivel de la

función z es: );(:)(. yxr0kxy3Senxy que es una expresión portadora de

la función implícita )(xfy , y que, como se observa, no se puede explicitar.

e.- Para conocer la expresión funcional de las pendientes de las curvas de nivel,

derivamos a la portadora de implícita anter ior: 0dx

dy

y

r

dx

dx

x

r

o sea:

0dx

dy

y

r

x

r

de donde: cn2

2

px

y

xy3yCosx3xy3xSen

xy3Cosxy3xy3ySen

y

rx

r

dx

dy

)()(

)]()([

f .- De la expresión funcional del gradiente se obtiene que la pendiente del

mismo es:

g2

2

py

x

xy3Cosxy3xy3ySen

xy3yCosx3xy3xSentg

)()(

)]()()(


g.- Comparando la pendiente del gradiente con la pendiente de la curva de nivel

vemos que son recíprocas entre sí, lo que nos sugiere que si las mult iplicamos

obtenemos: 1x

y

y

xpp cng

)( lo que implica que el gradiente es

un vector perpendicular a la curva de nivel, en el punto del dominio que se

considere.

h.-

s

sj3i3sj3i3sj

y

zi

x

zsz

ds

dz 2o

2oPoP

P

____

)..()..(][)(

272413

96

32

j3i2j3i3

2

22

2 ,)..(

i.- Sabiendo que: )()()(__

CoszCos1zCosszszds

dzoo

se obtiene:

P

z

ds

dz

Cos

)( y º,,]

,

,[ 37141rad472

0731

2724Cos

z

ds

dz

arcCos 1

P

* * * * * * *

281.- Hallar:


w=x2+2.y2+z3 en P(3;2;1); b) el valor de ésta, en el punto P; c) el valor de

la derivada direccional en la dirección s=3.i+2.j+k; d) la expresión funcional

de la superf icie de nivel de la función; e) el ángulo entre el gradiente en el

punto P y la dirección s; f) el ángulo entre el vector gradiente y el plano del

dominio.


a.- Como la máxima derivada direccional en P viene dada por el módulo del

gradiente, su dirección será la de éste, según vimos en el teórico, y entonces se

pueden obtener las orientaciones del vector gradiente con cada uno de los ejes

coordenados, a través de los cosenos directores (f iguras 131):

109

6

96436

6)2()(

222

PPP

P

P z

w

y

w

x

w

x

w

x

w

Cos

de donde:

rad ,º, 9609254109

6Cos 1


y del mismo modo, analizando las proyecciones ortogonales del vector gradiente

sobre las paralelas a los ejes coordenados, se t iene:

109

8

109

y

w

Cos

)( de donde: rad ,º, 7009839109

8Cos 1

109

3

109

z

w

Cos

)( de donde: rad 1,2873,3º

Con lo que la dirección buscada viene dada por los ángulos obtenidos.

Pero como dij imos, la dirección de la máxima pendiente será la del

gradiente, o sea que si calculamos el gradiente en el punto dado, el vector que

se obtiene t iene la dirección buscada:

skjikzjyixk

z

wj

y

wi

x

ww PP 386].3..4..2[][)( 2

En consecuencia, podemos dar la respuesta requerida o dando este vector

dirección, o dando los valores de los cosenos directores de la dirección de

máxima pendiente, o sea del vector gradiente.

b.- 4410109z3y4x2z

w

y

w

x

ww

ds

dw

P

2222

P

222

P

,

^

c.-

2220

123

.2.3 kjik

z

wj

y

wi

x

w

s

sk

z

wj

y

wi

x

wsw

ds

dw

PPP

89914

37

14

31618

14

kj2i3k3j8i6

14

kj2i3kz3jy4ix2 2 ,

.....

.......

d.- kz2.yxw 322 entonces 0kz2.yx 322 de donde: 3 2y2z 2x-k

que es la superf icie de nivel para cuando la función w pasa por el valor k en el

hiperespacio.


i . - )(_

Coszszds

dzo luego: º,,]

,[ 6918rad330

109

899Cos

z

ds

dz

Cos 1

P

1

f .-109

10

w

y

w

x

w

Cos

P

22

)( entonces: º,,][ 7016rad290109

10Cos 1

* * * * * * *

282.- Si xyyxLnz )( 2 hallar:

a) la derivada direccional en el punto P(-1;1) en una dirección a elegir;

b) el gradiente de la función en P; c) la dirección u or ientación de la

derivada direccional; d) la máxima derivada direccional en P; e) la

orientación de la máxima der ivada direccional; f) el gráfico del gradiente.


a)

PP

Seny

zCos

x

z

ds

dzSen

y

zCos

x

z

ds

dz)()( )()(

ejemplo.por ,60º eligiendo )()()(

2Senyx

y

1CosyLny

x

2

P

1x

P

x

b) ijijy

zi

x

zz

P

202

c) La dirección de la derivada direccional en el punto P, es la elegida: =60º.

Aunque también podemos indicarla por s=a.i+b.j donde, si tomamos, por

ejemplo, a=2, entonces b=a.tang(60º)=2.tang(60º)=3,464.

Entonces, la dirección podría estar dada por: s=2.i+3,464.j .

d) 20222

22

y

z

x

zz

ds

dz

P

P

e) rad º1802-

0arctg

x

z

y

z

arctg

P

(por ser una fracción negativa: “y en el límite…”).

f)

* * * * * * *


283.- Hallar:


yx

x2yxfz

.);( en A(-3;-2);

b) el valor de ésta, en el punto A;

c) el valor de la der ivada direccional en la dirección s=2.i+3.j;

d) el valor de la derivada direccional en el punto P, a través del gradiente;

e) la dirección de máxima pendiente de la función;

f) la dirección de pendiente nula, en A, de la función.


a.- Como zds

dz

el ángulo de or ientación de la máxima der ivada direccional de

la función es el ángulo del gradiente, por lo tanto:

2

3Tg

y

xTg

y2

x2Tg

yx

y2

yx

x2

Tg

x

z

y

z

Tg 1

A

1

A

1

A2

21

A

1

)(

)(

rad 5,3rad ,,, ºº 98280693033156

b.- 217521

94

1

44

yx

x2

yx

y2z

ds

dz2

A2

2

A2A

A

,..

)()(

c.- 7722

3tgSen6

2

3tgCos4Sens

y

zCos

x

z

ds

dz 11AA ,))((.))((.)]()([][

d.-

22ooPoP

P 32

j3i2j6i4sj6i4sj

y

zi

x

zsz

ds

dz)..()..(][)(

___

77213

10

13

188,

e.- La dirección (S) de máxima pendiente de la función dada, será la dirección

del gradiente de la función, ya que la máxima der ivada direccional se obtiene

cuando su valor coincide con el valor absoluto del gradiente; es decir:

jijyx

xi

yx

yj

y

zi

x

zzS

AAA

64

22

22

f .- Pendiente nula se corresponde con derivada direccional nula en el punto A ;

por ello: AA

Seny

zCos

x

z0

ds

dz

)()(


luego: )()( Seny

zCos

x

z

con lo que:

Ay

zx

z

Tg

)( de donde:

Ay

zx

z

Tg

1

que es la orientación, medida en grados sexagesimales, o en radianes, de la

dirección en que la derivada es nula.

6

23

)3.(22y 4

23

)2.(22

2222

AAAA yx

x

y

z

yx

y

x

z

entonces: º11 33,69rad 588,03

2

6

4

TgTg

Por otra parte, si la dirección viene indicada por el vector S=a.i+b. j:

a

b

3

2 111 TgTg

y

zx

z

Tg

A

de donde: a

b

3

2 por lo que:

2.j3.iS

2b

3a

* * * * * * *

284.- Hallar la derivada direccional de la función )(.. yCosey4xz x22 en el

punto P(0;0) y con or ientación de la dirección dada por =-30º.

Respuesta 870ds

dz

P

,

* * * * * * *

285.- Hallar la der ivada direccional de 532 yzxw en el punto P(1;2:-1) y

en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.


PPP x

w

y

w

x

wCosCos

x

wCos

y

wCos

x

w

dS

dw

)()()()(

)(362)()1(32312)(332)( CosCosCosyzxCosdS

dwP

P

Para encontrar el ángulo, y su coseno, recurrimos a la geometría analít ica:

si a, b y c, son los números directores de un vector con los respectivos ejes x, y,

z, entonces sabemos que los cosenos directores de e se vector son:

)( ^ )( ^ )(222222222 cba

cCos

cba

bCos

cba

aCos

Y como los ángulos deben ser iguales, por la consigna del problema:


)( )( )(222222222 cba

cCos

cba

bCos

cba

aCos

Condición que se deberá cumplir, necesariamente, para: a=b=c

con lo que: 3

1

3

1

3

)( )( )(

2

22222222

a

aa

a

aaa

a

cba

aCosCosCos

Por lo que los ángulos iguales son: rad 9553,0º7356,54)3

1arcos(

Y la derivada buscada es: 58,057735,03

1)(

Cos

dS

dw

P

De forma parecida, se podría plantear a través del gradiente:

s

skji

s

skyjzix

s

sk

x

wj

y

wi

x

wsw

dS

dwP

PP

3623320

entonces:

222222362362

bbb

kjibkji

cba

kcjbiakji

dS

dw

P

lo que permite:

58,03

1

3

362

3362

3

3622

kjikji

b

kjibkji

dS

dw

P

* * * * * * *

286.- Si z = 102 -x2-y2, hal lar la derivada direccional de z, en el punto P(4;3),

en la dirección

PQ , para )2,3;1,4(Q .


Una forma: ;; j6i8jy2ix2jy

zi

x

zzsz

ds

dzP0

050

j20i10

2010

j20i10

323414

j323i414

yyxx

jyyixx

s

ss

22222PQ

2PQ

PQPQ0

,

,,

,,

,,

,,

,,

luego:

948050

2

050

2180

050

j20i10j6i8sz

ds

dz0 ,

,,

,,

,

,,

Otra forma:

)()()()()()( Sen6Cos8Seny2Cosx2Seny

zCos

x

z

ds

dzP

05,0

2,0)(;

05,0

1,0)(

2222

PQPQ

PQ

PQPQ

PQ

yyxx

yySen

yyxx

xxCos


O bien:

arcTg(2)Sen)Sen()2Cos(arcTg)Cos(2arcTg1,0

2,0arcTgarcTg

PQ

PQ

xx

yy

luego: 94828Sen6Cos8ds

dz,arcTg(2)Sen6-)Cos(arcTg)()(

* * * * * * *

287.- Hallar la dirección de máxima der ivada di reccional de la función anterior,

en P.


Como la máxima derivada direccional ocurre cuando la dirección a

considerar es la del gradiente, la orientación de la máxima derivada direccional

es la or ientación del gradiente; luego, cualquier vector dirección s que se

considere, arbitrariamente, con esa misma orientación º87,216 , será un vector

representativo de la dirección de máxima variación de la derivada direccional en

el punto P; por lo tanto:

º,,

,arcTgº

,

,arcTgarcTg 87216

80

60180

80

60

y

z

y

z

P

Si, por ejemplo, tomamos el vector jis 6,008 , que es precisamente el

gradiente de la función (f igura 132), y lo posic ionamos en el punto P, tendremos

la dirección pedida.

También podríamos elegir, arbitrar iamente,

jbijbias 2 donde b debe satisfacer la relación:

jisb 5,125,1rad785,3Tg2º87,216Tg2 .

Generalmente, con obtener el ángulo de orientación

es suficiente.

* * * * * * *

288.- Si ,4

22

2

yx

xyz

hallar su máxima derivada direccional en P(0,75;0,5).


22

PPP y

z

x

zz

s

z

donde: 222

222 )(4

yx

xyy

x

z

(que podremos comprobar con cálculos auxiliares);

y también:


222

3

222

222

222

322

222

222

)(

8

)(

)(8

)(

8)(8

)(

24)(8

yx

yx

yx

yyxxy

yx

xyyxxy

yx

yxyyxxy

y

z

422

2322222

222

32

222

222

]8[)(48)(4

P

PP

PPyx

yxxyy

yx

yx

yx

xyy

s

z

60,2

5,075,0

]5,075,08[)75,05,0(5,04422

232222

* * * * * * *

289.- Graficar el gradiente de la función anterior, en P.


jijy

zi

x

zz

P

P 56,247,0

* * * * * * *

290.- Si P(1;1;0) 23 zxyxw

a.- Hallar el gradiente de la función en P.


kjikjxyiyxkz

wj

y

wi

x

ww P

P

P

222)3( 22

b.- Graficar el gradiente.

Respuesta

c.- Hallar la derivada direccional en P, en la dirección de kjiv 632 .


;)(; kj2i2kjxy2iyx3kz

wj

y

wi

x

wwvw

v

wP

22

P

PP0P

7

k6j3i2

49

k6j3i2

632

k6j3i2

v

vv

2220


Entonces: 57,07

4

7

664

7

63222

kjikji

v

w

P

d.- Hallar la máxima derivada direccional en P.


3122222

222

P

P

P

z

w

y

w

x

ww

v

w

e.- Hallar la mínima derivada direccional en P.


3122222

222

P

P

P

z

w

y

w

x

ww

v

w

f .- Hallar la dirección de máxima derivada direccional.


Si a la dirección buscada la l lamamos

s , es un vector coincidente con el

vector gradiente; por lo tanto, la dirección y el sentido del vector gradiente es la

dirección de la máxima derivada direccional: kjiws P

22 .

Llamando 0s al versor dirección y sabiendo que la dirección de máxima

derivada direccional coincide con el vector gradiente, su valor debe coincidir con

el versor gradiente:

kjikjikjikji

w

w

s

sws

3

1

3

2

3

2

3

22

9

22

)1()2(2

22

22200

o sea que: kCosjCosiCoskjis )()()(3

1

3

2

3

20 (cosenos directores)

o bien, los ángulos directores:

º47,109)3

1(Cos ; º81,131)

3

2( ; rad 84,0º19,48)

3

2( 1-1

CosarcCos

g.- Hallar la dirección de mínima derivada direccional.


Es la misma dirección, con sentido opuesto, del vector gr adiente:

kjiws P

22

Con cosenos directores: 3

1)( ;

3

2)( ;

3

2)( CosCosCos

* * * * * * *



22 y2xLogz . en el punto

P(-2;1), según la dirección que une a P con Q(-6;-2).

Respuesta 610ds

dz

P

,

* * * * * * *


22 y2xLnz . en el punto

P(-2;1), según la dirección que une a P con Q(-6;-2).

Respuesta 41ds

dz

P

,

* * * * * * *

293.- Hal lar la dirección, en el punto R(0;1), en que presenta pendiente nula la

función 22 yxLny3xz )(. .

Respuesta º,821

294.- Hallar la dirección, en el punto R(0;-1), en que presenta pendiente nula

la función 22 yxLny3xz )(. .

Respuesta º,4363

* * * * * * *

295.- Hal lar la derivada de la función 25 y5xz . , en el punto P(1;2), según la

dirección del vector s=4.i+3.j .

Respuesta 8ds

dz

P

* * * * * * *

296.- Hallar la dirección, en el punto P(1;2), en que presenta pendiente nula la

función 24 y3xz . .

Respuesta rad3204318 ,º,

* * * * * * *

297.- Calcular la derivada direccional de z=3.arctg(2x/y) , según la dirección

=2./3 y en el punto P(1;1).

Respuesta 641ds

dz

P

,

* * * * * * *

298.- Hallar sobre el punto A(2;-1), la der ivada de 3

1

2 xy2yxz .. según la

dirección que une A con B(1;3).


Respuesta 372ds

dz

P

,

* * * * * * *

299.- Hallar:

a) el gradiente de z=-x2+y2;

b) su valor para el punto P(2;1);

c) su magnitud;

d) su orientación;

e) su gráfica.

Respuestas

a.- jy2ix2jy

zi

x

zz ..

b.- j2i4jy2ix2z PP )..(

c.- 4742024z 22

P,)()(

d.- rad68243153rad46057262

1tg

4

2arctg

x

z

y

z

arctg 1P ,º,,º,)()()(

e.-

* * * * * * *

En los siguientes ejercicios realizar lo indicado en el anterior:

300.- z=-x2+y2; Q(-1;5). 301.- z=-x2+y2; R(-3;-7).

302.- ex. ( - y)+Log(y); B(0;1). 303.- ex. ( - y )+Ln(y); B(0;1).

304.- z=Sen(3.x.y).x.y; C(1;/3). 305.- z=Ln((x2+2)/y2); E(4;-2).

306.- z=Log((x2+2)/y2); E(4;-2).

* * * * * * *

En los siguientes ejercicios:

a) hallar el gradiente de las funciones dadas;

b) Valorar lo para el punto indicado;

c) Hallar su magnitud;

d) Graficarlo:

307.- u=Ln(x.y)+x.ez; Q(2;2;2). 308.- u=x

2.y+y

2.z+z

2.x; R(1;0;2).

* * * * * * *

309.- Si xyyxLnz )( 2 hallar:


a) la dirección de máxima pendiente en el punto Q(1;-1);

b) el ángulo entre esta dirección y la dirección de máxima pendiente del

ejercic io 281.


a.- rad º)(

)(

arctg

x

z

y

z

arctg 000tg

yLnyx

2

yxy

1

1

Q

x

1x

Q

2

de acuerdo a este resultado podemos elegir l ibremente un vector dirección dado

por, por ejemplo: i3j0i3djics2 . .

b.- como la orientación obtenida en el ejercicio 281 fue: º180 también

podemos elegir l ibremente un vector dirección acorde, tal como:

i4j0i4bjias1 . con lo que el ángulo que forman entre sí estas dos

direcciones, o vectores, se obtiene planteando: )(Cosssss 2121

de donde:

112

12

34

i3i4

ss

ssCos

2221

21

.)(

...)(

y entonces: º)( 1801arcCos .

Vemos en la f igura la interpretación

gráfica, trasladando uno de los vectores hacia

el punto de aplicación del otro .

* * * * * * *

310.- Hallar las direcciones de máxima pendiente de )/arctg( xyz , en R(2;1) y

en P(1;2), y determinar el ángulo entre ellas, interpretando gráficamente.

* * * * * * *

311.- Hal lar los gradientes de la función )/arctg( xyz , en R(2;1) y en P(1;2), y

determinar el ángulo entre ellos, interpretando gráficamente.

* * * * * * *

312.- a.- Hallar la derivada direccional de 22 yxz en P(1;1) y según la

dirección º45 , aplicando: 1) cosenos directores; 2) propiedad del gradiente.

b.- Hallar la máxima derivada direccional.

c.- Dar la orientación de la máxima derivada.

d.- Expresar la dirección de la máxima der ivada.

* * * * * * *

313.- Hallar la dirección de máxima pendiente de ).3()..2( yCosxSenz , en P(2;1) y


en Q( )4/;4/ .

* * * * * * *

314.- Hallar:

a) la der ivada direccional de w=Ln(x.y)+x.ez en P(1;2;-1) y según la dirección

del vector v=[2;-1;3];

b) la máxima derivada direccional en P;

c) hallar la derivada direccional y la máxima derivada direccional para logar itmo

decimal en lugar de natural.

* * * * * * *

315.- Hallar la derivada direccional de w=2.x.y-z3 en P(2;-1;1) y según la

dirección de máxima pendiente de la función.

316.- Hallar la der ivada direccional de la función 22 xy3xz en el punto );( 21P

en la dirección que apunta hacia el or igen.


Podemos encontrarla por la propiedad del gradiente:

s

sj

y

zi

x

zsz

ds

dzo

)( Las derivadas son: 2y3x2

x

z

y xy6

y

z

.

Encontremos la dirección s, que part iendo de P apunta hacia el origen, es

decir: j2ij2i1s

por lo tanto: 521s 22

y en consecuencia:

99165

38

5

2414

5

j2ijxy6iy3x2

ds

dzP

2

P

,])[(

* * * * * * *

317.- Hallar la derivada direccional de la función 22 yxz en el punto );( 11P

en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º con el sentido posit ivo de

las x.


s

sj

y

zi

x

zsz

ds

dzo

)( ; 2x2

x

zP

P

)( ;

2y2y

zP

P

)( ;

j870i501

j870i50

87050

j870i50

s

j60Seni60Cos

s

ss

22o .,.,

.,.,

,,

.,.,).º().º(


7427411j870i50j2i2ds

dz,,),,()(

* * * * * * *

318.- Hal lar la derivada direccional de la función zyxw .. en el punto );;( 101P y

en el sentido del vector kjis .


Planteamos: PoP

szds

dz][

y hallamos el gradiente en el punto:

jk0j1i0kyxjzxizykz

wj

y

wi

x

wz PPP

...)......(][)(

Hallamos el versor dirección: 3

kji

111

kji

s

ss

222o

Con lo que la derivada es: 3

1

3

kjijsz

ds

dzPo

P

][

* * * * * * *

Plano tangente

Las derivadas parciales de una función z=f(x;y), continua en el entorno de

un punto 00 ; yxP , y valuadas en dicho punto, t ienen un valor coincidente con el

valor tr igonométrico de las tangentes de los ángulos α y β :

)Tg();( 00

x

yxz y )Tg(

);( 00

y

yxz

Las rectas que representan estas derivadas son tangentes a la superf icie

de la función en el punto 000 ;; zyxT , f igura 133.

Sabemos, por Geometría, que dos rectas pueden c onformar un plano que

las contiene.


Por lo tanto, las dos rectas tangentes en el punto T, aquí consideradas,

están contenidas en un plano que es tangente a la superf icie de la función en T.

También sabemos que por un punto pasan inf initas rectas, por lo qu e

deducimos que por el punto T pueden pasar inf initas rectas tangentes, todas

ellas contenidas en el mismo plano de las rectas consideradas.

Cada una de estas inf initas rectas puede ser representativa de una

derivada direccional en una determinada direcci ón, y representa el valor de una

tangente de un cierto ángulo correspondiente a esa dirección.

Entonces, por el punto T de la superf icie de la función (“chapa alabeada”,

en general) pasa “el plano de las tangentes”, o plano tangente tP ([ tP ]), cuya

estructura funcional, según vimos en Geometría Analít ica, es:

tP : 0)()()( 000 zzcyybxxa

donde a, b y c, son los números directores del plano.

Si de esta expresión expl icitamos 0zz , se t iene:

)()()()( 00000 yyBxxAyyc

bxx

c

azz

que, además de ser otra forma de escr ibir la estructura del plano tangente, el

primer miembro es también el incremento IOSdzz de la función, al pasar de

un valor )();( 00 Pzyxz a un valor )();();( 00 Qzyxzyyxxz .

En consecuencia, establecemos que:

zyxyy

zx

x

zyyBxxAzz

PP

21000 )()(

donde: 00 yyyxxx , siendo ));;(();( 00 yxPEyxQ .

Y en el caso de que 0xx , y tome su valor )( 0xx , se t iene que:

yyy

z

x

zyyBAzzz

PP

2100 00)(0

o sea: yyy

zyBzzz

P

20 desde donde organizamos el

cociente incremental: y

y

y

y

y

z

y

yB

y

zz

y

z

P

2

0

y tomando límite:

Pyy

Pyyyyyyyy y

z

y

zB

y

zz

y

z

B LimLimLimLimLim 2

0

00000

ya que: 0Lim 20

yy

.

Ahora, si 0yy , y toma su valor )( 0yy , se t iene que:


00)(0)( 21000

x

y

zxx

x

zBxxAzzz

y entonces:

)(Lim

)(

)(Lim

)(

)(Lim

)(Lim

)(Lim

01

0

0

0

0

0

0

0 00000 xx

x

xx

xx

x

z

xx

xxA

xx

zz

xx

z

xxxxxxxxxx

Px

zA

De esta forma, la expresión funcional del plano tangente tP , en función de

las derivadas de la función, valoradas en el punto P de su dominio, es:

:tP )()( 000 yyy

zxx

x

zzz

PP

Expresión que, al estilo de la geometría analít ica, podemos indicarla así:

:tP 0)()( 000

zzyy

y

zxx

x

z

PP

donde: bc

b

y

za

c

a

x

zc

PP

; ;1 son los números directores del tP .

Ahora, si consideramos que la función F(x;y;z)=0 es portadora de la

función implícita z=f(x;y), aplicando derivación de funciones implícitas, se

obtiene:

P

P

P

P

z

F

y

F

y

z

z

Fx

F

x

z

lo que permite reescribir el plano tangente, del siguiente modo:

)()()()( 00000 yy

z

F

y

F

xx

z

F

x

F

yy

z

F

y

F

xx

z

Fx

F

zz

P

P

P

P

PP

y también: )()( 000 yyy

Fxx

x

Fzz

z

F

PPP

y f inalmente: :tP 0)()( 000

zz

z

Fyy

y

Fxx

x

F

PPP

siendo: PPP z

F

y

F

x

F

; ; , los números directores del plano tangente.

Interpretación geométrica del diferencial de una función de dos variables

independientes

Sabemos que: IOSdzIOSdzyxyy

zx

x

zz

PP

21


Vemos, en la representación gráfica de la f igura 133, que )()( PzQzz

y que tPQzQzIOS )()( mientras que )()( PzQzdz

tP

El diferencial total de la función

zPzQzyyy

zxx

x

zy

y

zx

x

zdy

y

zdx

x

zdz

tP

PPPPPP

)()()()( 00

puede ser considerado como la ecuación incremental del plano tangente.

De este modo: )()()()()()( PzQzQzQzPzQzIOSdzztt PP

En consecuencia, cuando tomamos )()( PzQzdzztP signif ica que se

toma como incremento total de la función al incremento refer ido al punto del

plano tangente por el cual pasa el eje que contiene al punto del dominio en el

cual la función se ha incrementado (Q, en este caso).

Esto equivale a sustituir (en Q) a la superf icie que grafica la función, por

su plano tangente a dicha superf icie (en P).

Signif ica, geométricamente, que las ordenadas de la superf icie y del plano

tangente, en el punto del dominio para función incrementada, dif ieren en un

inf initésimo de orden superior ( dzzIOS ) en relación a 22 yx , donde

es la hipotenusa del tr iángulo rectángulo conformado por yx , y el

segmento de recta PQ , en la f igura 133.

Recta Normal

La recta perpendicular al plano tangente (y a la superf icie de la función)

en el punto 000 ;; zyxT , en la f igura 133, se l lama recta normal, y se la denota

por n , o por n , y su estructura funcional, conocida como expresión canónica (o

universal, o simétrica) según la Geometría Analít ica, es:

n = n : c

zz

b

yy

a

xx 000

que, mult iplicando por –c: c

zzc

b

yyc

a

xxc 000

por lo que: 1

000000

zz

B

yy

A

xx

c

c

zz

c

b

yy

c

a

xx

y entonces: n : 1

000

zz

y

f

yy

x

f

xx

PP

Ahora, si de la expresión relacionamos el pr imero y el tercer miembro:


000

000

1 z

x

f

xxz

x

f

xxzz

zz

x

f

xx

PPP

se obtiene un plano tangente a la función, en 000 ;; zyxT , y en la dirección de las

y, f igura 134.

y si también relacionamos el segundo y el tercer miembro:

000

000

1 z

y

f

yyz

y

f

yyzz

zz

y

f

yy

PPP

con lo que obtenemos un plano tangente a la función, en 000 ;; zyxT , y en la

dirección de las x, obteniéndose, por intersección de ambos planos, la recta

normal n :

1 n 000

00

00

zz

y

f

yy

x

f

xxz

y

f

yyzz

x

f

xxz

PPPP

La intersección de los planos (en este caso la normal n) t iene una

expresión vectorial, dada por el producto vectorial entre las normales a ambos

planos, con un sentido, u orientación, obtenido mediante la aplicación de la

regla de la mano derecha para el producto vectorial, f ig. 134.

Por ello, si l lamamos kajaian 3211 a la normal al plano en

la dirección de las x, y kbjbibn 3212 a la normal al plano en

la dirección de las y, y kAjAiAn 321 a la recta intersección,

que para nuestro caso representa la normal al plano tangente en el punto T, el

producto vectorial es:


kAjAiA

bbb

aaa

kji

nnn 321

321

32121

Por otra parte, en función de la derivación implícita, a part ir de la

expresión del plano tangente vista más arriba, la recta normal t iene por

estructura:

n = n : 1

000

zz

z

F

y

F

yy

z

Fx

F

xx

PP

desde donde: 1

000

zz

y

F

yy

z

F

x

F

xx

z

F

P

P

P

P

y f inalmente: n = n :

PPP z

F

zz

y

F

yy

x

F

xx

000

Relación del plano tangente y de la recta normal con el gradiente

Sabemos que el gradiente de una función es un vector perpendicular a la

recta tangente en un cierto punto P de una curva de nivel de la función , como

vimos en la página 154.

Ahora bien, si hacemos que kzyxfzyxF );();;( (tres dimensiones),

en donde );( yxfz está como implícita y en forma de mónica negativa, F, que

conocemos como función portadora de la función );( yxfz , grafica una

superf icie de nivel con parámetro k.

Si k=0, la superf icie de nivel que se obtiene es la gráfica de );( yxfz (tres

dimensiones; que es la graficada en las f iguras 133 y 135, por ejemplo).

Si suponemos un punto );(;; 0000 zPTzyxT sobre esta superf icie de

nivel, el plano tangente en T t iene por estructura:

0)()( : 000

zz

z

Fyy

y

Fxx

x

FP

TTTt

Un punto cualquiera sobre el [P t ] , por ejemplo el );;(R zyx , genera con T un

segmento de recta representado por el vector :

kzzjyyixx )()()(TR 000 .

El gradiente de la función portadora de implícita F, en T, es:


kz

Fj

y

Fi

x

FF

TTTT

y en consecuencia:

T

T

T kzzjyyixxkz

Fj

y

Fi

x

FF ])()()[(TR 000

T

zzz

Fyy

y

Fxx

x

F

)()()( 000

Lo que signif ica que el producto punto entre el gradiente de la función

portadora F y un vector representativo del plano tangente es, precisamente, el

plano tangente.

Si, por hipótesis, estos dos vectores son perpendiculares entre sí, el

ángulo entre el los, que l lamaremos ω , es de 90º, y entonces se debe cumplir

que: 0)º90(TR)(TRTR CosFCosFFTTTTT

Y como consecuencia importante de que el producto punto sea nulo, es

que el vector gradiente de la función portadora de la función implícita que

grafica la superf ic ie es perpendicular al plano tangente, y a su vez, es paralelo a

la normal a la superf icie de nivel, en el punto T.

En definit iva, el vector gradiente representa a la normal n , es decir:

T

TT kz

Fj

y

Fi

x

FFn

que constituye otra expresión funcional de la recta normal al plano tangente,

además de las v istas más arr iba.

* * * * * * *


NACIONAL




319.- Hallar la ecuación del plano tangente y la de la nor mal a la superf icie

22 yxz en el punto P(1;2) .


Plano Tangente Pt:

Como vimos en clase, la expresión funcional del plano tangente a una

superf icie en un punto T(1;2;5)z(1;2))T(1;2;z(P))T(P; es:

tP : 0)()(0)()()( 000000

zzyy

y

zxx

x

zzzcyybxxa

PP

Siendo: 541)(y)(xz 2y 1x 2

o

2

oooo


determinamos: 42.2)2( 21.2)2(

P

P

P

P

yy

zx

x

z

con lo que la ecuación del plano, es: 05)2(4)1(2 zyx

que, l levada a su mínima expresión, es:

542 :Pt 0542 058422 zyxzyxzyx

Recta normal n :

Canónica (universal; simétrica):

n : 1

5

4

2

2

1

1 000

zyxzz

y

f

yy

x

f

xx

PP

Vectorial (por intersección de planos):

Desde la expresión canónica armamos

la intersección de planos entre el primer y

tercer miembro (plano “en la dirección de las

y”) y entre el 2º y tercer miembro (plano en

“la dirección de x”):

1

5z

4

2y

1

5z

2

1x :n

5)-(z2)-(y-5)-2(z1)-(x- 4

20-4z2y-10-2z1x-

22 4zy 112z-x

Las normales a estos planos son (f igura 136):

40n ]224[ 1 kjizy kjizx 20n ]112[ 2

con lo cual, apl icando la regla de la mano derecha, en T:

kjikji 42)10()40()02(

2 0 1

4 1 0

k j i

nnn 21

que es la expresión vectorial de la normal al plano tangente en el punto T.

Vectorial (por gradiente):

Hagamos z implícita, de modo que la variable z permanezca mónica negativa:

0);;( 22 zyxzyxF

n4222

kjikjyixk

z

Fj

y

Fi

x

FF TT

TTTT

En conclusión: 542 :Pt zyx kji 42n

* * * * * * *


320.- Hallar la ecuación del plano tangente y la de la normal a la superf icie

22

1

yxLnz

en el punto P(1;1) .


Plano tangente:

0)()( 000 :

zzyy

y

zxx

x

zP

PP

t

entonces: 2

1

1x

z

22

22

22

22

P

P

P yx

x

yx

yx

yx

x

02

2)1(

2

1)1(

2

1 :P

2

1

1y

zt22

22

22

22

Lnzyx

yx

y

yx

yx

yx

y

P

P

P

Y en su mínima expresión:

)2(22)2()1(2)2

1(2)

4

2(2)

2

2(2)

2

2(22 :P 2

t LnLnLnLnLnLnLnzyx

o sea: )2(22 :Pt Lnzyx

Recta normal canónica: 2

2

2

1

1

1

1 :n

Lnz

yx

Recta normal vectorial, por gradiente: )2

2;1;1())();;(( LnTPzyxPT

Para z implícita, con z mónica negativa: 01

);;(22

zyx

LnzyxF

Entonces: )( 22

1

2

1

kjinkjik

z

Fj

y

Fi

x

FF

TTT

T

Recta normal vectorial, por intersección de planos:

2-

2

2z2y2-

2

2z2x

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1 LnLn

Lnzy

Lnzx

luego: kji 02n1 y kji 20n2


Entonces: kiikji 2422

1 0 2

1 2 0

k j i

nnn 21

Es evidente que la util ización del formato función implícita y gradiente,

facil itan la obtención del plano tangente y la recta normal.

* * * * * * *


01222 222 yxz en el punto T(1;-1;4) , f igura 137.


Para z implícita:

Siempre que sea posible, l levamos z a mónica negativa, o, al menos,

negativa: 01222 222 yxz y hacemos: 01222);;( 222 yxzzyxF

Para z implícita, la expresión del plano tangente es:

0)()( 000

zz

z

Fyy

y

Fxx

x

F

TTT

Donde: 8z2z

F4y4

y

F4x4

x

FT

TT

T

TT

; ;

Y entonces: 0328z-4-4y-4-4x 048)1(4)1(4 zyx

Con lo que: -62z-y- x:Pt 08z-4y-4x 24

Recta normal: k2jik8j4i4kz

Fj

y

Fi

x

F

TTT

F n

En consecuencia, una vez conformada la estructura del plano tangente,

por z implícita, relevamos desde allí la estructura vectorial de la recta normal.

Para z explícita: en este caso, la expresión del plano tangente es:


0)()( 000

zzyy

y

zxx

x

z

PP

para P(1;-1) siendo T(1;-1;4)=T(P;4)

Explicitamos z desde la expresión del enunciado:

2

1y

2

1)

1222

2( donde 1222

22

22

P

P

Px

z

yx

y

y

zyxz

Entonces: -62z-y- x 04)1(2

1)1(

2

1 :Pt 0 zyx

De donde, relevamos la normal vectorial: kji 2 n

O bien, expresamos la simétrica: 2

4

1

1

1

1 :n

zyx

desde la cual, a su vez, podemos encontrar el sistema que define la recta

intersección, y de al lí , la recta normal:

kjikjikjiyz

kjixz2422

1 2 0

1 0 2

k j i

nn n 20n 62

02n 6221

2

1

* * * * * * *


10

4 22 yxz

en el punto T(2;-2;2) .


Para z implícita: zyx

F

10

4 22

entonces: 11 ; 5

8

5

2 ;

5

2

5

T

TTTTT z

Fy

y

Fx

x

F

y:

0105z-16-8y-4-2x 025

16

5

8

5

4

5

2 02)2(

5

8)2(

5

2 :Pt zyxzyx

Mínima expresión: 015z-8y-2x :Pt

-268z-5y

142z5x

5

2

8

2

2

2-x 5k -8j-2i n

zy

* * * * * * *

323.- Hallar la recta normal, vectorial y simétrica, a la superf icie xyz=12 en el

punto T(2;-2;3).


Haciendo: 012);;( xyzzyxF la recta normal simétrica es:


2

3

3

2

3

2-x

4

3

6

2

6

2-x

322-x

322-x

zyzy

xy

z

xz

y

yz

z

F

z

y

F

y

x

FTTT

TTT

2k-3j3i- n

* * * * * * *

324.- Hallar las expresiones del plano tangente y de la recta normal de

)( yxxySenz en el punto )0;2

;2

( T .


Hacemos zyxxySenF )( entonces:

)()()( )( )( :Pt

2xyxxyCosyxySen00z

z

F

2y

y

F

2x

x

FT

TTT

)2

-)](xCos()Sen(2

[ )()()(

40z

2yyxxyCosyxxSen

2

T

0z44

z4

222

)2

-(y)2

-(x- 0)2

-)](yCos()Sen(2

[

Pt : 4

y x 04

y4

x4

- 2

322

zz

Recta normal vectorial : kj2

4in

Universal:

412

12 :n

2zyx

* * * * * * *

325.- Hallar las expresiones del plano tangente y de la recta normal de x

yz

en el punto )2;1(P , f igura 138.


Hacemos 0xz-yz)y;F(x; 0 zx

yF ; 2z

Px

y )2;2;1())(;(T TPzP

02zz

F2y

y

F1x

x

F

TTT

)( )( :Pt

02zx2y11xz TTT )()()()(

Pt : 2y x2 022-y2x2- zz (f igura 139)

Recta normal vectorial: kj -i2n Canónica: 1

2

1

2

2

1 :n

zyx

En la f igura 140 observamos la intersección de la función con el plan o

tangente, y la ubicación de la normal.

* * * * * * *


326.- Hallar las expresiones del plano tangente y de la recta normal a la

superf icie 22 yxz en el punto P(1;-2;5)))z(P;P(P oo . (Comparar con el ejercicio

318).


Hacemos 022 zyxF ; 05)2( )1( :Pt

z

z

Fy

y

Fx

x

F

PPP

0)5()2(4)1(2 0)5()1()2(2)1(2 zyxzyyxx PPP

5z-4y-2x :Pt

kj 4-i2n ; simétrica: 1

5

4

2

2

1 :n

zyx

* * * * * * *


superf icie 08916

222

zyx

en el punto P(4;3;4) .


Hacemos 08916

);;(222

zyx

zyxF 04)3( )4( :Pt

z

z

Fy

y

Fx

x

F

PPP

0)4()3(3

2)4(

2

1 0)4()

4()3()

9

2()4()

8( zyxz

zy

yx

xPPP

126z-4y-3x :Pt

Para no olv idarnos la relación entre la recta normal y el plano tangente,

recordemos que la recta normal es un vector paralelo a l vector gradiente de la

función, en el punto, y si bien podemos relevar directamente desde la estructura

del plano tangente la estructura de la recta normal, determinamos el gradiente

de F y asignamos su estructura a n:


kjikjikz

Fj

y

Fi

x

FF

PPP

6433

2

2

1 n

Y la canónica, será: 6

4

4

3

3

4 :n

zyx

* * * * * * *

328.- Si z-2xzx3xy-yz)y;r(x; 2 es la superf icie de nivel de kyxfz );( , para

0k , determinar la expresión funcional del plano tangente a dicha superf icie en

el punto )1;0;1( P , conjuntamente con la expresión universal de la recta

tangente.


Si 0);( kyxfz , hacemos:

z-2xzx3xy-yz)y;r(x;);;(0);();;( 2 zyxFzyxfzyxF

01)0( )1( :Pt

z

z

Fy

y

Fx

x

F

PPP

01-2z-3y x:Pt 02231 0)1(2)0(3)1( zyxzyx

2

1

31

1 :n :será universal la 23 n

zyxkjiF

* * * * * * *


superf icie 22222 yxyyxz en el punto P(1;2;3) .


Hacemos 0222);;( 22 zyxyyxzyxF

03)2( )1( :Pt

z

z

Fy

y

Fx

x

F

PPP

0)3()1()2()222()1()22( zyxyxyx PPP

0)3()2(4)1(2- zyx

3z-4y2x- :Pt o también: 3-4y2xz :Pt

Recta normal vectorial: kjikz

Fj

y

Fi

x

FF

PPPP

42 n P

Recta normal simétrica: 1

4

4

3

2

4 :nP

zyx

* * * * * * *

330.- Hal lar las expresiones de los planos paralelos al plano 064 zyx y que

sean tangentes a la superf icie 2132 222 zyx .



Podemos pensar así:

1.- el plano tangente a la superf icie en algún punto t iene una recta normal en

dicho punto;

2.- si el plano tangente es paralelo a otro dado, la normal a éste es paralela a la

normal del plano tangente;

3.- si las normales son paralelas, sus componentes son proporcionales;

4.- por medio de la constante de proporcionalidad podemos hallar el punt o de

tangencia;

5.- en el punto de tangencia podemos determinar las componentes del plano

tangente.

Para encontrar la ley del plano tangente, hacemos:

2132);;( 222 zyxzyxF

desde donde encontramos la recta normal al plano tangente:

zkyjxikz

Fj

y

Fi

x

FF 642 n

por lo que la ley del plano tangente es:

0)(6)(4)(2)()( )(

oooooo zzzyyyxxxzz

z

Fyy

y

Fxx

x

F

Encontramos la recta normal al plano referente:

kjikz

Fj

y

Fi

x

FFr 64 nr

Por ser paralelas las normales, sus componentes son proporcionales:

6p6z 4p4y p2x )64(642 n kjipzkyjxinp r

de donde: pz py 2

p

x

y reemplazando estos valores en la ecuación de la superf icie:

084248 021624

2132 2222

222 pppppp

zyx

de donde: 218

84.9.42424-p

2

raíces que podemos llamar: 2r 2q

Con estos dos valores de raíces, o de p, sustituimos en las proporciones

halladas y determinamos dos puntos de tangencia:

)2;2;1(T -2pz -2py -12

2-

21

px

)2;2;1(T 2pz 2py 12

2

22

px

Con las coordenadas de estos puntos de tangencia, escribimos las


expresiones de los planos tangentes a la superf icie dada:

0)2.(12)2.(8)1.(2 :P 0)2.(12)2.(8)1.(2- :P t2t1 zyxzyx

y en su mínima expresión:

216z4y x:P 2164 :P t2t1 zyx

que son los planos tangentes a la superf icie dada, en los puntos de tangencia

indicados, y que son, ambos, paralelos al plano de referencia.

* * * * * * *

331.- a.- Hallar la ecuación del p lano tangente a la superf icie 2. xyexz en el

punto )2;1;2(T ;

b.- Obtener una aproximación del valor de la función en el punto )02;1;9,1(Q ,

ut i l izando el plano tangente.


a.- Si hacemos: 0.);;( 2 zexzyxF xy

la expresión funcional del plano tangente en el punto T, es:

0)2()1( )2(

z

z

Fy

y

Fx

x

F

Las derivadas, en el punto )1;2(P , son:

3.2.1.2.. 0021.221.222

eeeeeyxex

FP

xyxy

P

4.2. 21.2222

eexy

FP

xy

P

y 1

Pz

F

con lo que el plano tangente en T, es:

0)2()1(4)2(3 zyx

b.- A part ir de la expresión obtenida para el plano tangente, explicitamos z,

que representa la expresión funcional de la superf ic ie:

2)1(4)2(3 zyx de donde: )1(4)2(32z yx

expresión a part ir de la cual podemos aproximar el valor de la función en el

punto Q, perteneciente al entorno del punto P:

78,1)102,1.(4)29,1.(32)]1(4)2(32[(z)Q Qyx

valor que comprobamos calculando el valor de la función para el punto Q, en

forma directa: 79,1785777485,1.9,1).()( 202,1.9,12 eexz Qxy

Q

* * * * * * *


332.- a.- Representar gráficamente la curva de nivel de 2y

x2yxfz );( que

pasa por );( 22P ;

b.- Hallar la ecuación del plano tangente a la superf icie de la función en );;( 122T ;

c.- Justif ique si la función es más sensible a los cambios en x o en y.


a.- En el punto );( 22P es 2x y 2y , por lo tanto, reemplazando en la ley de

la función se t iene que: 14

4

2

22

y

x2z

22

. por lo que la curva de nivel

es: 2

yx

2

que grafica una parábola de eje y (f igura).

b.- Se hace: 0zy

x2zyxF

2);;( y se obtienen:

2

1

y

2

x

F

P2

P

1

y

x22

y

F

P3

P

.

11z

FP

P

con lo que el plano tangente en );;( 122T , es:

01z1y2x )()()(2

1

o sea: y2

x1y1

2

x1y2x1z )()(

2

1 y entonces: 1y

2

xz

c.- La función es más sensible a los cambios en y, dado que la derivada parcial

respecto a y es mayor que la respecto a x.

* * * * * * *

Derivadas sucesivas (o de orden superior)

Si );( yxfz es continua y diferenciable en un entorno del punto );( 00 yxP

de su dominio, sus der ivadas pr imeras, que son nuevas funciones en las mismas

variables que la función de part ida , también deben ser continuas. Estas nuevas

funciones pueden ser nuevamente der ivadas, y si éstas son continuas, pueden

derivarse nuevamente, y así sucesivamente.

Si, por ejemplo 23..3);( yxyxfz podremos conformar la gri l la , en la

página siguiente, de las derivadas sucesivas, o consecutivas, considerando a n

como el orden de derivación.

Analizando la gri l la, vemos que cada nueva función, resultante de una

derivación, entrega dos nuevas derivadas (una por cada una de sus variables).


Por otra parte, se observa que para cada orden de derivación se obtienen

2, 4, 8, 16, …, vn derivadas.

Esto permite obtener una fórmula simple que da el número de derivadas

esperables, o a obtener, en función del orden n de der ivación y del número v de

variables independientes que tenga la función a derivar: nn

v vD

n=1 n=2 n=3 n=4

);(..9

)..3();(

1

22

23

yxfyx

x

yx

x

yxf

x

z

);(

..18)..9(

);(

3

222

2

2

2

2

1

yxf

yxx

yx

x

z

x

f

x

yxf

7

2

3

3

.18 fyx

f

154

4

0 fx

f

yyx

f.36

3

4

yxyx

f.36

2

4

xyx

f.36

22

4

yxyx

f.36

2

4

xyxyx

f.36

4

xxyx

f.36

2

4

03

4

yx

f

yxy

f.36

3

4

xyxy

f.36

2

4

xxyxy

f.36

4

02

4

yxy

f

xxy

f.24

22

4

02

4

yxy

f

82

3

..36 fyxyx

f

);(..18

)..9(

4

2

222

1

yxfyx

y

yx

yx

z

y

f

9

3

..36 fyxxyx

f

10

2

2

3

.18 fxyx

f

);(..6

)..3(

2

3

23

yxfyx

y

yx

y

z

);(..18

)..6(

5

2

32

2

yxfyx

x

yx

xy

z

x

f

112

3

..36 fyxxy

f

12

23

.18 fxyxy

f

);(.6

)..6(

6

3

3

2

2

2

yxfx

y

yx

y

z

y

f

13

2

2

3

.18 fxxy

f

143

3

0 fy

f


03

4

xy

f

04

4

y

f

Así, para n=4, en una función de 2 variables, tendremos: 16244

2 D

derivadas; y si la función fuese de 3 variables y el orden deseado fuese 3:

273D 333 derivadas.

Si, por ejemplo, se quiere obtener, para la misma función dada, la derivada

de orden 5 siguiente: yxy

f

22

5

hay que determinar las siguientes derivadas:

0;.36;.18;.6;..622

5

22

42

2

33

2

23

yxy

fx

xy

fx

xy

fx

y

fyx

y

f

Y si se quiere obtener xyx

w

2

4

a part ir de 3223);;( yxyxzyxfw ,

hacemos: 4;.4;..4;..2.32

4

2

3222

xyx

wx

yx

wxy

yx

wxyx

x

w

Siguiendo con el anál isis de la gril la, observamos que yx

z

2

, 2

3

yx

w

,

3

3

x

f

,

etc., es la notación minimizada de derivada sucesiva.

Por otra parte, también observamos que

yx

yx

z..18 2

2

xy

z

2

, lo que

expresa que estas derivadas cruzadas (o mixtas, en relación a las variables

independientes de la func ión) de segundo orden son iguales, tanto en la

secuencia “pr imero x y después y”, como en la secuencia “primero y y después

x”, pero para una misma frecuencia (o cantidad de veces) de util ización de cada

variable en cada derivada mixta.

Igualmente:

yx

yx

f..36

2

3

xyx

f3

2

3

xy

f

permite ver que las derivadas

mixtas, en cualquier secuencia, pero con una frecuencia 2 para la variable x y

una frecuencia 1 para la variable y, son iguales.

Del mismo modo, en:

2

2

3

.18 xyx

f

yxy

f3

xy

f

2

3

pero para una

frecuencia 2 en y y una frecuencia 1 en x.

Similarmente en:

y

yx

f.36

3

4

xyx

f2

4

2

4

xyx

f3

4

xy

f


y también en:

xy

f3

4

3

4

yx

f

2

4

yxy

f

yxy

f

2

4

y lo propio en:

x

yx

f.36

22

4

yxyx

f4

xyx

f2

4

yxy

f2

4

xyxy

f4

22

4

xy

f

Esta es una importante observación, porque permite v isualizar que un

grupo de derivadas cruzadas, bajo c iertas condiciones de frecuencia, son

iguales; y que otro grupo, bajo otras condiciones de frecuencia, son iguales

entre ellas, mas no con los restantes grupos.

El teorema de Schwarz demuestra que der ivadas mixtas de segundo orden

son iguales, generalizando la propiedad para órdenes mayores de derivación.

Por otra parte, insist imos en que para la existencia de las derivadas

sucesivas, las funciones de part ida, u or iginal, y las funciones derivadas, mixtas

o directas, deben ser continuas en el entorno de un cierto punto del dominio de

existencia de la función de part ida; es decir, diferenciables.

Teorema de Schwarz

El teorema demuestra que der ivadas sucesivas de orden n de una función,

tomadas en una cierta secuencia de variables, son iguales a der ivadas

sucesivas del mismo orden de tal función, tomadas en secuencias cruzadas (o

mixtas), de sus variables, con misma frecuencia de derivación de cada variable.

Así, por ejemplo, si 32 yx2yxfz ..);( es una función definida, continua,

al igual que sus derivadas, en un entorno del punto );( yxP y en );( yxP , se

verif ica que, por ejemplo:

222

yx12xy

z

yx

z..

..

y también que: 2

2

3

2

33

y12yx

z

xy

z

xyx

z.

Observándose que las derivadas de segundo orden son iguales aunque la

secuencia de derivación es cruzada.

Se nota también que se derivó, en cada caso, tomando a una variable una

sola vez (frecuencia 1).

En las der ivadas de tercer orden, también iguales para las dist intas

secuencias de derivación, se tomaron a las variables un mismo número de veces

(frecuencia de derivación de cada variable: x dos veces; y una vez) cualquiera

fuera la secuencia de derivación.

Este hecho es justif icado por el teorema de Schwarz, part iendo de los

incrementos posibles de la función:

);();( yxfyyxxfz );();( yxfyxxfzx );();( yxfyyxfz y

con los que se conforma la función auxi liar de Schwa rz:


);();();();();();( yxfyyxfyxfyxxfyxfyyxxfzzzS yx

);();();();();();( yxfyyxfyxfyxxfyxfyyxxf

);();();();( yxfyyxfyxxfyyxxf

que, a los efectos de poder aplicar el teorema de Lagrange (objetivo estratégico

de Schwarz), se reordena y se agrupa así:

);();();();();( yxfyyxfyxxfyyxxfyxS

en donde Schwarz llama )(xG al segundo término: )();();( xGyxfyyxf

y como consecuencia: );();()( yxxfyyxxfxxG

(Obsérvese la manera conceptual de Schwarz de ir preparando las estructuras a

f in de poder insertar conceptos existentes, como el teore ma de Lagrange).

De esta forma, la función auxiliar S se estructura como:

)()();( xGxxGyxS

que, por Lagrange:

)];();([)];();([)()()();( '''' yxfyyxfxyxfyyxfxxGxxGxxGyxS xxxx

para xxxx .

Pero la diferencia de funciones del últ imo miembro es una diferencia de

dos valores inf initesimalmente próximos de una misma función, donde un punto

está en el entorno del otro y según un desplazamiento en y; por lo tanto es

aplicable Lagrange nuevamente, obteniéndose:

xy

yxfyxyxfyxyxfyxyxS xyxy

);();()];([);(

2'''' para yyyy

Disponiendo ahora la función auxiliar, del modo siguiente (nuevamente es

ilustrativa la manera en que Schwarz util iza los conceptos conocidos para lograr

su objetivo de demostración):

);();();();();( yxfyxxfyyxfyyxxfyxS

y l lamando: );();()( yxfyxxfyH será );();()( yyxfyyxxfyyH

y entonces:

)];([)];();([)()()();( ''''' yxfxyyxfyxxfyyHyyHyyHyxS yxyyy

es decir que: yx

yxfxyyxfxyyxfxyyxS yxyx

);();()];([);(

2''''

De las dos expresiones de );( yxS obtenidas, “si los primeros miembros son

iguales, entonces los segundos también lo son”, y escribimos:

xy

yxfxy

yx

yxfyxyxS

22

);();();( por lo que:

xy

yxf

yx

yxf 22

);();(


Tomando ahora límites de ambos miembros:

xy

yxfLím

yx

yxfLím

yxyx

);();( 2

0;0;

2

0;0;

se t iene que: xy

yxf

yx

yxf 22

);();( expresión que nos dice que las

derivadas cruzadas son iguales, y que es lo que Schwa rz quiere demostrar.

Como consecuencia, o corolar io:

.);();();(

etcxyx

yxf

xy

yxf

yx

yxfpnpnm

m

nmn

m

nnm

m

Expresión de la que se deduce que el número de veces en que se der iva

con respecto a cada variable ( frecuencia de derivación de cada variable) es la

misma siempre, cualquiera sea la secuencia de derivación.

Así dist inguimos: orden de derivación, secuencia de derivación, frecuencia

de derivación.

Por ejemplo:

2

5

2

55

23

5

32

5

22

5

22

5 );();();();();();();(

xyxy

yxf

yxyx

yxf

xyxyx

yxf

yx

yxf

xy

yxf

xyx

yxf

xyx

yxf

Diferencial sucesivo (o de orden superior)

Oportunamente vimos que: si );( yxfz su incremento total podía

estructurarse como: IOSdzyxfyyxxfz );();(

donde: dyy

zdx

x

zdz

fue definido como el diferencial de la función.

Es obvio que el diferencial de la función es, en general, una nueva función

en las mismas variables que t iene la función or iginal.

Si ahora se vuelve a diferenciar esta función obtenida, es decir el

diferencial, se obtiene el diferencial del diferencial, o sea el diferencial segundo

de la función, siendo entonces el pr imer diferencial, el diferencial de primer

orden de la función, y se observa el siguiente desarrollo diferenciador:

dydx

x

z

ydxdx

x

z

xdy

y

zddx

x

zddy

y

zdx

x

zddzd )(

2

2

2222

2

2

dyy

zdxdy

xy

zdydx

yx

zdx

x

zdydy

y

z

ydxdy

y

z

x

zddyy

zdydx

yx

z2dx

x

z 22

2

222

2

2


El segundo término del sexto miembro implica una aplicación del teorema

de Schwarz.

Un nuevo paso de diferenciación permite obtener el diferencial de tercer

orden de la función, tras sendas aplicaciones de Schwarz:

dydx

yx

z3dx

x

zdy

y

zdydx

yx

z2dx

x

zdzddzd 2

2

33

3

32

2

222

2

223 )(

3

3

32

2

3

dyy

zdydx

yx

z3

y así sucesivamente para n=4; 5; 6;…

A medida que se aplica sucesivamente la diferenciación para

dist intos n, y comparando las estructuras que se obtienen, se inf iere que el

proceso de diferenciación sucesiva t iene una cierta simi litud con el desarrollo de

la potencia enésima de un binomio; por lo que, tomando n=2, por ejemplo, se ve

que:

n

dyy

zdx

x

zdy

y

zdydx

yx

zdx

x

zzd

2

2

2

222

2

22 2

Por lo tanto, se puede simbolizar el proceso de diferenciación sucesiva,

para orden n de diferenciación, mediante la siguiente estructura:

n

n dyy

zdx

x

zzd

Expresión que llamaremos algoritmo diferenciador sucesivo, el que se

interpretará del siguiente modo:

1.- cuando n se apl ica al símbolo del binomio (el signo +) nos indica el número

de términos que tendrá el desarrollo en su mínima expresión; esto es: tres

términos para n=2, 4 términos para n=3; n+1 términos para n=n;

2.- cuando n se apl ica a la derivación de la función, indica el orden de

derivación sucesiva de tal función;

3.- y cuando n se aplica al diferencial de la variable, indica la potencia a que es

elevado el diferencial de la variable (tanto de variable única, como el de

combinación de variables).

También puede observarse, en los desarrollos de 2º y 3e r orden anteriores,

a modo de ejemplo, que la nomenclatura del desarrollo del diferencial “ordena”

en forma alfabética, y decreciente para una y creciente para la otra, la

secuencia de derivación y/o de diferenciación de las variables.

A los f ines prácticos de su apl icación es úti l combinarlo con el l lamado

triángulo de Tartaglia (que se adjunta más adelante), cuya distr ibución adaptada

al algoritmo diferenciador, será:


n n

dyy

zdx

x

z

0 1

1 1 1

2 1 2 1

.. ……….

Para el n correspondiente, los números de la segunda columna son los

coeficientes de cada der ivada en cada término del desarrollo del diferencial.

Siempre los coeficientes de las derivadas de los extremos del desarrollo

serán 1, mientras que los coeficientes de las der ivadas más internas del

desarrollo están en consonancia con el número de derivadas cruzadas iguales

que la función t iene para ese orden, y frecuencia, de der ivación.

Cabe acotar que en cada línea, en la segunda columna, la cantidad de

coeficientes que aparecen indican la cantidad de términos que el desarrollo del

diferencial t iene.

Además, para n=0 se t iene en el tr iángulo un solo 1; esto indica que hay

un solo término en el diferencial, que es precisamente la función, ya que al ser

n=0 ello indica que la función no será diferenciada, y en este caso, se t iene:

);(

0

0 yxfzdyy

zdx

x

zzd

* * * * * * *

El Triángulo de Tartaglia por Paulino Valderas

Extraído de: http://es.geocities.com/matesbueno/articulos/el_triangulo_de_tartaglia.htm En Matemáticas hay infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen especial mención. El Triángulo de

Tartaglia no es un triángulo en el sentido geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de una manera muy sencilla.

n=0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 … .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

... Como se puede observar, en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, y las demás

filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo encima.

El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos construir todas las filas que

queramos. En el ejemplo de arriba hemos desarrollado once filas. Por convenio, a la primera fila, que solo contiene el 1, le llamaremos fila 0, a la segunda fila, fila 1, a la tercera, fila 2, para que así coincida el nombre de la fila con el número que viene detrás del primer 1 y antes del último 1, etc.

mailto:[email protected]


El Triángulo está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.

Si queremos desarrollar las potencias de una suma, tenemos: (a + b)

2 = a

2 + 2ab + b

2

(a + b)3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3

(a + b)4 = a

4 + 4a

3b + 6a

2b

2 + 4ab

3 + b

4

etc... Como se puede comprobar si nos fijamos en los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b,

son los mismos números que los de la fila correspondiente del Triángulo. Así por ejemplo: (a + b)

4 = a

4 + 4a

3b + 6a

2b

2 + 4ab

3 + b

4 = 1a

4 + 4a

3b + 6a

2b

2 + 4ab

3 + 1b

4

Es fácil también darse cuenta de que a aparece elevado a la potencia máxima y luego en cada sumando va disminuyendo la potencia (en el último ejemplo, a

4, a

3, a

2, etc.), mientras que b no aparece en el primer término,

sí en el segundo, y luego va aumentando su potencia hasta acabar solo en el último término. Cada número que aparece en el Triángulo se puede calcular independientemente del resto. Si queremos

averiguar un número de la fila 20, por ejemplo, no es necesario calcular todas las filas anteriores. Cada número en realidad es un número combinatorio; para obtenerlos hay una fórmula un poco rara, donde aparecen dos números uno encima de otro entre paréntesis y luego aparecen números con signos de admiración, los factoriales. La fórmula en concreto es:

Veamos un ejemplo de cálculo para entender la fórmula:

Hemos calculado el número combinatorio 8 sobre 5 y nos ha dado 56. Si nos fijamos en el Triángulo de

Tartaglia de arriba del todo veremos que en la fila 8, en el quinto lugar si no contamos el primer 1, tenemos 56. Cada número del Triángulo es el resultado de calcular el número combinatorio que corresponde a su fila y

al lugar que ocupa dentro de ella. El Triángulo se puede expresar también así:

...

Si por ejemplo queremos calcular el término de la cúspide, cero sobre cero, podemos aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que el factorial de cero es por definición igual a uno, 0! = 1.

De forma análoga se pueden ir calculando todos los restantes números combinatorios y se puede comprobar que

van coincidiendo con los términos del Triángulo. Con todo lo que hemos explicado no será muy difícil comprender la fórmula general para el cálculo del desarrollo

de un binomio, llamada el Binomio de Newton:

Para terminar, queremos recordar al matemático italiano, del que procede el nombre, Niccolò Fontana, apodado

Tartaglia porque era tartamudo. Vivió entre los años 1500 y 1557, nació en Brescia, Italia y enseñó en varias universidades hasta establecerse en Florencia en 1542. Resolvió la ecuación de tercer grado y escribió tratados

sobre artillería.

* * * * * * *

http://es.geocities.com/matesbueno/glosario.htm#combinaciones



http://es.geocities.com/matesbueno/glosario.htm#factorial

http://es.geocities.com/matesbueno/glosario.htm#binomionewton



NACIONAL




333.- Valorar las derivadas de n=3, para C(2;1) de: x

y

y

xz


El número de der ivadas de tercer orden de una función de 2 variables es:

8233

2 nVD y por Tartaglia:

1 3 3 1 :3n

1 2 1 :2n

1 1 :1n

1 :0n

Entonces, para n=3 se deben tener, según el Tartaglia: una derivada de

tercer orden con respecto a una variable; tres derivadas cruzadas iguales (por

Schwarz), con dist inta secuencia; otras tres der ivadas cruzadas iguales, con

dist inta secuencia, y con dist inta frecuencia de variables con respecto a las

otras tres; y una de tercer orden con respecto a la otra variable; o sea:

3

3

2

33

2

3

2

33

2

3

3

3

; ; ;y

z

xy

z

yxy

z

yx

z

xy

z

xyx

z

yx

z

x

z

375,08

366 ;

2 ;

1

43

3

43

3

32

2

2

CCx

y

x

z

x

y

x

z

x

y

x

z

x

y

yx

z

2504

1

x

2

yx

z

x

2

yx

z

C3

C

2

3

32

3

,

2y

2

yx

z

y

2

yx

z

x

1

y

1

yx

z

C3

C

2

3

32

3

22

2

12y

x6

y

z

y

x6

y

z

y

x2

y

z

x

1

y

x

y

z

C4

C

3

3

43

3

32

2

2

* * * * * * *

334.- Hallar: ''''

yyxx zz si )( 22 yxLnz


22

22

22

222

22

22''

22

' .2.2.4.2.2.2..2.2 ^

.2

yx

xy

yx

xyx

yx

xxyxz

yx

xz xxx

22

22

22

222

22

22''

22

' .2.2.4.2.2.2..2.2 ^

.2

yx

yx

yx

yyx

yx

yyyxz

yx

yz yyy

Entonces:

00.2.2.2.2.2.2.2.2

2222

2222

22

22

22

22''''

yxyx

yxxy

yx

yx

yx

xyzz yyxx

* * * * * * *


335.- Si 22

24

yx

xyz

hallar la

P

xyx

z3

para )5,0;75,0(P .


222

222

222

224

222

22422

222

2222

)(

)(4

)(

44

)(

844

)(

24)(4

x

z

yx

xyy

yx

yxy

yx

yxyyx

yx

xxyyxy

422

222222222222

)(

2)(2)())(2)(2(4

yx

z

yx

yyxxyyyxyyxyy

422

22223222322

yx

yxxyy4yxy2xyy24

)(

))(())()((

322

22222222

322

22322322

yx

xyy2yxyxyy24

yx

xyy4yxy2xyy24

)(

)]())([(

)(

)())()((

322

224224422

322

2242222

)(

]2222[24

)(

]22))(2[(24

yx

yxyyxxyyxy

yx

yxyyxxyy

322

222

322

422

)(

]3[8

)(

]3[24

yx

xyyx

yx

xyxy

622

2222223222223

)(

2)(3)3())](2()3(2[8

xyx

z

yx

xyxxyxyxxxxyxy

422

22322322

422

22322222

)(

)3(6)](2)3(2[8

)(

)3(6))](2()3(2[8

yx

xyxyxxxyxy

yx

xyxyxxxxyxy

422

2232222

422

22322222

)(

)3(6))](23(2[8

)(

)3(6))](3(2[8

yx

xyxyxxyxy

yx

xyxyxxxyxy

422

2222222

422

2232222

)(

)3(3))](23[(28

)(

)3(6))](23(2[8

yx

xyxyxxyxy

yx

xyxyxxyxy

422

4224

422

422224422

)(

3816

)(

39223328

yx

yyxxxy

yx

xyxyxxyyxxy

55,8

)5,075,0(

5,035,075,0875,05,075,016

)(

3816

xyx

z

422

4224

422

42243

CCyx

yyxxxy*

* * * * * *

336.- Hallar las der ivadas de 2º orden de 1

x

ytgz )]([ .

Respuesta: 2222

2

yx

xy2

x

z

)(

;

22

2222

yx

xy

xy

z

yx

z

;

2222

2

yx

xy2

y

z

)(

* * * * * *

337.- Hallar las der ivadas de 2º orden de )(. yLnez x2 .


Respuesta: )(.'' yLne4z x2xx '''' . yx

x2xy z

y

1e2z ).(''

2

x2yy

y

1ez

* * * * * *

338.- Hallar las der ivadas de 2º orden de xyeyxCosz )( .

Respuesta: xxx yez '' x

xy eySenz )('' )('' yxCoszyy

* * * * * *

339.- Hallar las der ivadas cruzadas de 2º orden de 1y

exyz

2

y

.

Respuesta: ''''yxxy z1z

* * * * * *

340.- Hallar '''xyzw y '''

zyxw si yx

ew

z

.

Respuesta: 3

z

xyzyx

e2w

)(

'''

3

z

zyxyx

e2w

)(

'''

* * * * * *

341.- Hallar '''xxxw , '''

yyyw , '''zzzw , '''

xyzw si z2 yexw .

Respuesta: 0wxxx ''' 0wyyy

''' z2zzz yexw ''' z

xyz xe2w '''

* * * * * *

342.- Hallar las der ivadas segundas de )( yx eeLnz .

Respuesta: yx

yx

2

2

ee

e

x

z

xy

z

ee

e

yx

z 2

2yx

yx2

)(

2yx

yx

2

2

ee

e

y

z

)(

* * * * * *

343.- Hallar las der ivadas segundas de )( 22 xyCosxyzu .

Respuesta: )( 24

2

2

xyCosyx

u

)]()([ 222

2

2

xySenxyCosxy2x2y

u

)( 24

2

2

xyCosyx

u

)]()([ 222

2

2

xyCosxy2xySenx2y

u

4

2

2

xyz6z

u

)]()([ 22222

xySenxyCosxyy2zyx

u

32

yz2zx

u

3

2

xz2zy

u

)]()([ 22222

xySenxyCosxyy2zxy

u

32

yz2xz

u

3

2

xz2yz

u

* * * * * *

344.- Hallar las der ivadas segundas de 42 yxz .


Respuesta: 342

4

2

2

yx

y

x

z

)(

342

42

2

2

yx

x3yy2

y

z

)(

)(

342

32

yx

xy2

yx

z

)(

* * * * * *

Valorar las der ivadas sucesivas de orden n=3, para C(2;1):

345.- 2.23.2.3 yxyyxz

Respuesta: 0x

zC3

3

][ ; 10

yx

zC2

3

][ ; 8

yx

zC2

3

][ ; 6

y

zC3

3

][

* * * * * *

346.- )(.)(. xCosyyCosxz

Respuesta: 910x

zC3

3

,][

420

yx

zC2

3

,][

540

yx

zC2

3

,][

681

y

zC3

3

,][

* * * * * *

347.- )22( yxLnz

Respuesta: 041x

zC3

3

,][

960

yx

zC2

3

,][

041

yx

zC2

3

,][

111

y

zC3

3

,][

* * * * * *

348.- yx

yz

Respuesta: 6

x

zC3

3

][ 8

yx

zC2

3

][ 10

yx

zC2

3

][ 12

y

zC3

3

][

* * * * * *

349.- Valorar C3

3

x

z][

de ).( yxSenz 2 para la condición C(2;1).

Respuesta: 60x

zC3

3

][

* * * * * *

350.- Probar que la función 22 yxLnz verif ica la ecuación diferencial

de Laplace: 0x

z

x

z2

2

2

2

* * * * * *

351.- Verif icar que 222 zyx

1u

satisface la ecuación diferencial

0z

u

y

u

x

u2

2

2

2

2

2

.

* * * * * *


352.- Verif icar que las der ivadas para n=2 de yxyxz 2 .. son iguales.

* * * * * *

353.- Verif icar que las der ivadas para n=2 de )()(.. 2Sen2Senr2z son iguales.

* * * * * *

354.- Si se puede, hallar el diferencial de orden 2 de la función:

)(.)(.. yLn10xLn4yyxxz 22 para: a) P(0;0) , b) );(Q 10 .


Verif icamos si la función está definida o no en los puntos i ndicados:

en P(0;0) la función toma el valor

indet)indet.(10)indet.(4)0(.10)0(.400.00 22 LnLnz

por lo que no es posible diferenciar la función en este punto.

En P(0;1) la función toma el valor:

indet0)indet.(41)1(.10)0(.411.00 22 LnLnz

por lo que tampoco es posible diferenciar la función en este punto.

En consecuencia, en ninguno de los dos puntos indicados la función

existe y por lo tanto no es diferenciable.

* * * * * * *

355.- Hallar el diferencial de orden 2 de la función 24 yxz .

Planteo:

El diferencial se encontrará mediante la apl icación del algoritmo

diferenciador sucesivo: nn dxx

zdx

x

zzd )(

en conjunto con el tr iángulo de

Tartaglia y el teorema de Schwarz .

En consecuencia, se deberán hallar todas las der ivadas segundas de la

función: 2

2

222

2

222 dy

y

zdydx

yx

z2dx

x

zdx

x

zdx

x

zzd

)(

Desarrollo:

Las derivadas segundas son: 22

2

2

yx12x

z

4

2

2

x2y

z

xy

zyx8

yx

z 23

2

Respuesta:

2432222432222 dyx2dydxyx16dxyx12dyx2dydxyx82dxyx12zd

* * * * * * *

356.- Valorar el diferencial del ejercic io anterior para C(2;1).



22C

243222C

2 dy162dydx1816dx1412dyx2dydxyx16dxyx12zd .....)()(

Luego: 22C

2 dy32dydx128dx48zd )(

357.- Valorar el diferencial anterior para dx=-dy=-0,15.


31503215015012815048zd 2C

2 ),(),.,(),()(

* * * * * * *

358.- Hallar el diferencial de orden 3 de la función del ejercicio 354.


Por concurrencia del algoritmo diferenciador sucesivo, el tr iángulo de

Tartaglia, y el teorema de Schwarz:

3

3

32

2

32

2

33

3

333 dy

y

zdydx

yx

z3dydx

yx

z3dx

x

zdx

x

zdx

x

zzd

)(

donde: 0y

zx8

yx

zyx24

yx

zxy24

x

z3

33

2

32

2

32

3

3

; ; ;

Por lo tanto: 32322323 dy0dxdyx83dydxyx243dxxy24zd ..

o sea: 2322323 dxdyx24dydxyx72dxxy24zd

* * * * * * *

359.- Valorar el diferencial anterior para C(2;1) y dx=-dy=-0,15.

* * * * * *

360.- Hallar el diferencial n=2 de )(xySenz .

Respuesta: 22222 dyxySenxdydxxyxySenxyCos2dxxySenyzd )())()(()(

* * * * * *

361.- Verif icar que 0160zd3 , corresponde a )( yxLnz , para x=1, y=0,

dx=dy=0,1.

* * * * * *

362.- Hallar el diferencial segundo de )()( yLn10xLn4yxyxz 22 para C(0;0).

Respuesta:

adoindeterminzd2 porque la función no es diferenciable en el punto dado; o sea,

las derivadas parciales de primer orden no son continuas en dicho punto.

* * * * * *

363.- Hallar el diferencial segundo de la función anter ior en C(1;1).

Respuesta:

En este punto la función es diferenciable, por lo tanto:


22C

2

2

2

2C2 dy12dydx2dx6dy

y

102dydx2dx

x

42zd .)])()[()(

* * * * * * *

364.- Verif icar que 0zd0

2

3 );(

)( si )()( yCosxSenz .

* * * * * *

365.- Verif icar que )....,.()();(

22

2

12

2 dy4dydx4dx250ezd si xyez .

* * * * * * *

Los Cuestionar ios, como el s iguiente, deberían ser resueltos a medida que se va progresando en el análisis de los temas. Las preguntas que contienen pueden ser uti l izadas en el Examen Final.


NACIONAL


ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Cuestionario Prof . Ing .


1.- En la definición de derivada, ¿por qué es necesario que el incremento de la

variable t ienda a anularse?

2.- ¿Por qué la derivada parcial no es una tangente?

3.- En un entorno reducido, la distancia de algún punto del entorno al punto

entorno es nula: ¿por qué es verdadera/falsa esta afirmación?

4.- ¿Qué es diferenciabilidad de una función mult ivariable?

5.- ¿Sobre qué plano se grafican las curvas de nivel?

6.- ¿Cuáles son los pasos para graficar una función mult ivariable?

7.- ¿Cuál es el dominio de una función ksrfz );( ?

8.- ¿Qué t ipo de entorno valida la definición de límite?. Explique.

9.- Indique la interpretación geométrica de la derivada parcial con respecto a la

variable y.

10.- Explique si es continua la raíz cúbica de la suma de los cubos de x y de y.

11.- ¿Por qué es, o no, diferenciable en el origen la función 42 yxz ?

12.- ¿Qué establece el teorema del valor medio?

13.- Una función que t iene límite en un punto de su dominio, ¿es o no continua

en ese punto?

14.- ¿Qué establece el corolar io del Teorema de Schwarz?

15.- Una función );( yxfz ¿puede tener derivada total?

17.- ¿Cuál es el dominio de una derivada 2

2

3

3xyx

z

?

18.- Explique el tr iángulo de Tartaglia.

19.- Cite los métodos posibles para el cálculo de derivadas.


20.- Expl ique si la derivabil idad de una función mult ivariable en un punto

implica, o no, continuidad de la función en ese punto.

21.- ¿Qué indica la derivada parcial de una función mult ivariable para cierto

punto de su dominio?

22.- ¿Qué indica el diferencial de una función mult ivariable para cierto punto

de su dominio?

23.- ¿Para qué sirve el diferencial de una función mult ivariable?

24.- Enuncie la regla de la cadena para la der ivación de una función

compuesta.

25.- Explique si siempre una derivada compuesta de una función mult ivariable

es una derivada total.

26.- ¿Cuándo una función mult ivariable es portadora de una función implícita?

27.- Cite los cuatro pasos de obtención de la derivada de una función implícita .

28.- ¿Por qué las derivadas parciales de una función mult ivariable en un cierto

punto de su dominio están relacionadas con el plano tangente a la superf ic ie

que grafica la función, en relación a dicho punto?

29.- El vector gradiente de la función mult ivariable se grafica perpendicular a

la superf ic ie de nivel de la función, y por lo tanto, representa a la normal al

plano tangente, y a la superf icie de la función: ¿es verdadero/falso?, explique.

30.- La derivada direccional indica la dirección en que la función cambia

velozmente sus valores: ¿es verdadero/falso?, explique.

31.- ¿Cuáles son los componentes de un gradiente de una función?

32.- ¿Cómo y para qué se relacionan el gradiente de una función y la derivada

direccional?

33.- ¿En qué dirección y orientación la función );( yxfz t iene una ley de

variación nula en un cierto punto P de su dominio?¿y las del gradiente?

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ÍNDICE

Pág. Contenido

Parte 1

1 Conceptos Básicos.

Parte 2

73 Derivadas parciales.

75 Interpretación geométrica de la derivada parcial.

76 Cálculo de la der ivada parcial .

77 Ejemplario.

90 Teorema del valor medio.

92 Diferencial total.

93 Aplicación del diferencial al cálculo de aproximaciones y errores.

97 Función diferenciable.

100 Ejemplario.


116 Derivación de funciones compuestas.

117 Regla de la cadena.

121 Ejemplario.

130 Derivación de funciones implícitas.

134 Método general de derivación de funciones implícitas.

138 Ejemplario.

147 Derivada direccional.

150 Interpretación geométrica de la derivada direccional.

151 Gradiente.

152 Derivada direccional y gradiente.

156 Ejemplario.

174 Plano tangente.

176 Interpretación geométrica del diferencial.

177 Recta normal.

180 Relación (del plano y la recta) con el gradiente.

181 Ejemplario.

191 Derivadas sucesivas.

193 Teorema de Schwarz.

195 Diferenciales sucesivos.

197 Triángulo de Tartaglia.

199 Ejemplario.

205 Cuestionario.

206 Índice.

Parte 3

208 Extremos.

* * * * * * *

Recreo: Qu ino, en: Gente en su sit io .


Agenda:

Por favor, coloque aquí las respuestas a la consigna formulada en la página 9

del Apunte de Clases 1.

derivadas de funciones multivariables

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