NOMBRE: ANDREA TROYA

LOJA – ECUADOR2012

LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA

ECUACION TANGENTE

CONCEPTO DE DERIVADA

DERIVADAS

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LA RECTA TANGENTE DE UNA CURVA

m=

Recordemos que la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(esta dada por:

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LA RECTA TANGENTE DE UNA CURVA

m=

Recordemos que la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(esta dada por:

Este valor de m es constante, no depende de los puntos P y Q que

se tomen en la recta.

Veamos como se puede determinar la tangente a la curva y= f(x) en el punto (:

Si sustituimos la recta por una curva, el anterior cociente variara al cambiar los puntos P y Q de ella.

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LA RECTA TANGENTE DE UNA CURVA

Sea P(x,y) un punto de la curva, el cual puede cambiar de posición y consideremos la recta P que es secante a la curva, cuya pendiente vale :

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LA RECTA TANGENTE DE UNA CURVA

Si variamos el punto P de manera que tienda al punto fijo hasta llegar hacer la tangente de la curva . El valor de x se acerca mas a : x→ y se hace cada vez más pequeño, es decir, x= + y →0

f(x)

f()

0

P()

𝑥0 x x

P(x, f(x))

Sea P(x,y) un punto de la curva, el cual puede cambiar de posición y consideremos la recta P que es secante a la curva, cuya pendiente vale :

∆y

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LA RECTA TANGENTE DE UNA CURVA

Si variamos el punto P de manera que tienda al punto fijo hasta llegar hacer la tangente de la curva . El valor de x se acerca mas a : x→ y se hace cada vez más pequeño, es decir, x= + y →0

f(x)

f()

0

P()

𝑥0 x x

P(x, f(x))

Sea P(x,y) un punto de la curva, el cual puede cambiar de posición y consideremos la recta P que es secante a la curva, cuya pendiente vale :

Por tanto la pendiente de f(x) en x = es:

∆y

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EJEMPLO DE RECTA TANGENTE DE UNA CURVA

Hallar la pendiente m de la curva y=:

SOLUCIÓN

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EJEMPLO DE RECTA TANGENTE DE UNA CURVA

Hallar la pendiente m de la curva y=:

= = = 2x

SOLUCIÓN

Utilizamos la definición de limite para calcular la pendiente

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EJEMPLO DE RECTA TANGENTE DE UNA CURVA

Hallar la pendiente m de la curva y=:

= = = 2x

SOLUCIÓN

Utilizamos la definición de limite para calcular la pendiente 2x es la

pendiente de la curva y=+1 para

cualquier x.

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EJEMPLO DE RECTA TANGENTE DE UNA CURVA

Hallar la pendiente m de la curva y=:

= = = 2x

SOLUCIÓN

Utilizamos la definición de limite para calcular la pendiente 2x es la

pendiente de la curva y=+1 para

cualquier x.

Luego: En el punto x=3, m=2(3)=6

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ECUACION DE LA TANGENTE

La tangente a la curva y=f(x) en el punto (es la recta que pasa por dicho punto y tiene por pendiente m. de la tangente es: y-f( = m(x-)

y

0

normal

Y=f(x

)

tangente

x

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ECUACION DE LA TANGENTE

La tangente a la curva y=f(x) en el punto (es la recta que pasa por dicho punto y tiene por pendiente m. de la tangente es: y-f( = m(x-)

La recta perpendicular a la tangente, que pasa por (, f()), se llama recta normal. y

0

normal

Y=f(x

)

tangente

x

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ECUACION DE LA TANGENTE

La tangente a la curva y=f(x) en el punto (es la recta que pasa por dicho punto y tiene por pendiente m. de la tangente es: y-f( = m(x-)

La recta perpendicular a la tangente, que pasa por (, f()), se llama recta normal.

Cuando dos rectas, L ,y , son perpendiculares y m es la pendiente de entonces la pendiente de es -

y

0

normal

Y=f(x

)

tangente

x

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ECUACION DE LA TANGENTE

La tangente a la curva y=f(x) en el punto (es la recta que pasa por dicho punto y tiene por pendiente m. de la tangente es: y-f( = m(x-)

La recta perpendicular a la tangente, que pasa por (, f()), se llama recta normal.

Cuando dos rectas, L ,y , son perpendiculares y m es la pendiente de entonces la pendiente de es -

Por tanto, la ecuación de la recta normal ( esta dad por: y=f()= - (x-)

y

0

normal

Y=f(x

)

tangente

x

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EJEMPLO DE ECUACION TANGENTE

Encuentra la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la grafica de f(x) = en el punto (2,8):

SOLUCIÓN

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EJEMPLO DE ECUACION TANGENTE

Encuentra la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la grafica de f(x) = en el punto (2,8):

SOLUCIÓN

m=

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EJEMPLO DE ECUACION TANGENTE

Encuentra la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la grafica de f(x) = en el punto (2,8):

SOLUCIÓN

m=

Para x=2, la pendiente es 3(2)= 3(4) = 12Remplazamos en la ecuación la recta con m=12

Y-8= m(x-2) y-8=12x-24Y-8= 12(x-2)

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CONCEPTO DE DERIVADALa derivada de y =f(x) en es el valor de f’ definiendo mediante el

limite:

En definición de derivada se supone que el limite existe y es finito. Para representar la derivada suelen utilizarse las siguientes notaciones:

f’(

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CONCEPTO DE DERIVADALa derivada de y =f(x) en es el valor de f’ definiendo mediante el

limite:

En definición de derivada se supone que el limite existe y es finito. Para representar la derivada suelen utilizarse las siguientes notaciones:

f’(

f’(

Se puede leer: “f primera de “ , “ derivada de f en ” , o, "derivada de f respecto de x ´para x=.

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CONCEPTO DE DERIVADALa derivada de y =f(x) en es el valor de f’ definiendo mediante el

limite:

En definición de derivada se supone que el limite existe y es finito. Para representar la derivada suelen utilizarse las siguientes notaciones:

f’(

f’(

Se puede leer: “f primera de “ , “ derivada de f en ” , o, "derivada de f respecto de x ´para x=.

Para desarrollar con claridad el proceso que conduce a la derivada f´(), pueden utilizarse los siguientes pasos:

F(+∆x)

f ( 𝒙𝟎  +∆ x )−f ( 𝒙𝟎) 

∆ 𝑥

𝒍𝒊𝒎∆ 𝒙→𝟎

f (𝒙𝟎  +∆ x )−f (𝒙𝟎 ) 

∆𝑥

f)

Calculamos

Simplificamos

Hallamos

Calculamos

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EJEMPLO DE CONCEPTO DE DERIVADA

Calcular de derivada de la función y= 2 en el punto de x=-1

SOLUCIÓN

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EJEMPLO DE CONCEPTO DE DERIVADA

Calcular de derivada de la función y= 2 en el punto de x=-1

1. f(

2. f(

SOLUCIÓN

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EJEMPLO DE CONCEPTO DE DERIVADA

Calcular de derivada de la función y= 2 en el punto de x=-1

1. f(

2. f(

SOLUCIÓN

f’(-1)=-4Luego

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