DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y MATEMTICAS

ASIGNATURA ESTADSTICA II SEMESTRE 2015 I

EJERCICIOS PROPUESTOS ESTIMACIN POR INTERVALOS

Texto Probabilidad y Estadstica Aplicaciones y Mtodos George C. Canavos

Pginas 294 302Ejercicio 8.21 Un fabricante de fibras sintticas desea estimar la tensin de ruptura media deuna fibra. Disea un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura, en libras, de16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. Las tensiones son 20.8, 20.6, 21.0, 20.9,19.9, 20.2, 19.8, 19.6, 20.9, 21.1, 20.4, 20.6, 19.7, 19.6, 20.3 y 20.7. Supngase que la tensin de ruptura de una fibra se encuentra modelada por una distribucin normal con desviacin estndar de 0.45 libras. Construir un intervalo de confianza estimado del 98% para el valor real de la tensin de ruptura promedio de la fibra.

Ejercicio 8.24 Una tienda de donas se interesa en estimar su volumen de ventas diarias. Supngase que el valor de la desviacin estndar es de $50. Si el volumen de ventas se encuentra aproximado por una distribucin normal, cul debe ser el tamao de la muestra para que con una probabilidad de 0.95 la media muestral se encuentre a no ms de $20 del verdadero volumen de ventas promedio?

Ejercicio 8.26 Se piensa que la diferencia entre el sueldo ms bajo y el ms alto que se paga por hora a los mecnicos de automviles es de $9. Si se supone que estos sueldos se encuentran, en forma aproximada, distribuidos segn un modelo normal, cul debe ser el tamao de la muestra para que con una probabilidad de 0.99 la media muestral se encuentre a no ms de un dlar del verdadero salario por hora promedio? Contstese la misma pregunta sin suponer una distribucin normal.

10

Ejercicio 8.27 La cmara de Comercio de una ciudad se encuentra interesada en estimar la cantidad promedio de dinero que gasta la gente que asiste a convenciones, calculando comidas, alojamiento y entretenimiento por da. De las distintas convenciones que se llevan

a cabo en la ciudad, se seleccionaron 60 personas y se les pregunt la cantidad que gastaban por da. Se obtuvo la siguiente informacin en dlares: 150, 175, 163, 148, 142, 189, 135,174, 168, 152, 158, 184, 134, 146, 155, 163. Si se supone que la cantidad de dinero gastada en un da es una variable aleatoria distribuida normal, obtener los intervalos de confianza estimados del 90, 95 y 98% para la cantidad promedio real.

Ejercicio 8.30 Una muestra aleatoria de los salarios por hora para nueve mecnicos de automviles proporcion los siguientes datos (en dlares): 10.5, 11, 9.5, 12, 10, 11.5, 13, 9,8.5. Bajo la suposicin de que el muestreo se llev a cabo sobre una poblacin distribuida normal, construir los intervalos de confianza estimados del 90, 95 y 99% para los salarios por hora promedio para todos los mecnicos. Interpretar los resultados.

Ejercicio 8.31 Dos universidades financiadas por el gobierno tienen mtodos distintos para inscribir a sus alumnos a principios de cada semestre. Las dos desean comparar el tiempo promedio que les toma a los estudiantes completar el trmite de inscripcin. En cada universidad se anotaron los tiempos de inscripcin para 100 alumnos seleccionados al azar. Las medias y las desviaciones estndares muestrales son las siguientes:x1 50.2s1 4.8

x2 52.9s2 5.4Si se supone que el muestreo se llev a cabo sobre dos poblaciones distribuidas normales e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 90, 95 y 99% para la diferencia entre las medias del tiempo de inscripcin para las dos universidades. Con base en esta evidencia, se estara inclinando a concluir que existe una diferencia real entre los tiempos medios para cada universidad?

Ejercicio 8.32 Cierto metal se produce, por lo comn, mediante un proceso estndar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se aade una aleacin a la produccin del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos procesos. Para cada metal se seleccionan 12 especmenes y cada uno de stos se somete a una tensin hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los especmenes en kilogramos por centmetro cuadrado:

Proceso

428 419 458 439 441 456 463 429 438 445 441 463estndar

Proceso nuevo

462 448 435 465 429 472 453 459 427 468 452 447

Si se supone que el muestreo se llev a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes con varianzas iguales, obtener los intervalos de confianza estimados del 90,95 y 99% para S N . Con base en los resultados, se estara inclinado a concluir que existeuna diferencia real entre S

y N ?

Ejercicio 8.33 En dos ciudades se llev a cabo una encuesta sobre el costo de la vida para obtener el gasto promedio en alimentacin en familias constituidas por cuatro personas. De

cada ciudad se seleccion aleatoriamente una muestra de 20 familias y se observaron sus gastos semanales en alimentacin. Las medias y las desviaciones estndares muestrales fueron las siguientes:x1 135s1 15

x2 122s2 10Si se supone que se muestrearon dos poblaciones independientes con distribucin normal cada una, y varianzas iguales, obtener los intervalos de confianza estimados del 95 y 99%Para 1 2 . Se estara inclinado a concluir que existe una diferencia real entre 1

TextoEstadstica para los Negocios y la EconomaPaul Newbold

Pginas 250 252Ejercicio 1. En la secretara de tercer ciclo de cierta universidad se ha comprobado que lanota media de licenciatura de los candidatos para la admisin a un mster en Administracin de Empresas sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 0,45. Se toma una muestra aleatoria de 25 solicitudes correspondientes al presenta ao y se obtiene una media muestral de las calificaciones medias igual a 2,1.a) Calcular un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.b) A partir de los resultados muestrales, un estadstico calcula para la media poblacional un intervalo de confianza que va de 2,81 a 2,99. Calcular el contenido probabilstico asociado a dicho intervalo.

Ejercicio 2. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fbrica sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 0,12 kilos. En el da de hoy se extrae una muestra aleatoria de sesenta ladrillos cuyo peso medio es de 4,07 kilos.a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.b) Sin realizar los clculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional tendra mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a).c) Se decide que maana se tomar una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar los clculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos maana tendra mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a).d) Se sabe que la desviacin tpica poblacional para la produccin de hoy es de 0,15 kilos. Sin realizar los clculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy tendra mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a).

Ejercicio 4. Un directivo de cierta empresa ha comprobado que los resultados obtenidos en los tests de aptitud por los solicitantes de un determinado puesto de trabajo sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 32,4 puntos. La media de las calificaciones de una muestra aleatoria de nueve tests es de 187,9 puntos.a) Calcular un intervalo de confianza del 80% para la calificacin media poblacional del grupo de solicitantes actual.b) A partir de estos resultados muestrales, un estadstico calcula para la media poblacional un intervalo de confianza que va desde 165,8 a 210,0 puntos. Calcular el contenido probabilstico de dicho intervalo.

Ejercicio 8. Un mtodo diseado para medir la eficacia de los textos escritos es empleado para medir la compresin de las noticias financieras. El procedimiento consiste en un test al que es sometida una muestra aleatoria de 352 contables; una nota de 57 sobre 100 supone un adecuado entendimiento. La calificacin media y la desviacin tpica de la muestra fueron de 60,41% y 11,28%, respectivamente. Calcular un intervalo de confianza del 90% para la calificacin media poblacional y comentar el resultado obtenido.

Ejercicio 12. Una clnica oferta un programa de adelgazamiento. Una muestra aleatoria de10 de sus antiguos pacientes recogi las siguientes prdidas de peso en kilos al completar el programa:

PARSIN CON CALEFACCIN CALEFACCINSIN CONPAR CALEFACCIN CALEFACCIN

SOLAR SOLAR SOLAR SOLAR

14854526386380

24233867426395

35155028473411

44253769454415

565360510496441

18,225,96,311,815,4

20,316,819,512,317,2

Supngase que la distribucin de la poblacin es normal.a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.b) Sin realizar los clculos, determinar si un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional tendra una longitud mayor, menor o igual a la obtenida en el apartado (a).

Ejercicio 14. Una poblacin sigue una distribucin normal con media y varianza desconocidas. A partir de lo expuesto, es posible, dada una muestra aleatoria, calcular intervalos de confianza para la media poblacional. Sin embargo, esto no es posible cuando se dispone de una muestra de una nica observacin. Por qu?

Pginas 270 272Ejercicio 34. Se extrajo una muestra aleatoria de diez pares de casas idnticas en una gran ciudad y se instal un sistema de calefaccin solar en un elemento de cada par. Los totales de las facturas del gas en unidades monetarias correspondientes a los tres meses de invierno se detallan en la tabla. Asumiendo distribuciones poblacionales normales, hallar un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las medias poblacionales.

Ejercicio 35. Una muestra aleatoria de seis representantes que asistieron a un curso sobre tcnicas de venta se someti a estudio durante los tres meses anteriores y los tres meses posteriores a dicho curso. La tabla siguiente muestra los importes de las ventas, en miles de pesetas, generadas por cada uno de los seis agentes en los dos perodos. Suponiendo que la distribucin poblacional es normal, calcular un intervalo de confianza del 80% para la diferencia entre las medias poblacionales.

A EL

Ejercicio 38. Se someti a estudio una poblacin de licenciados en empresariales que haban terminado recientemente la carrera y que disfrutaban de un empleo de jornada completa. Para una muestra aleatoria de 138 licenciados procedentes de familias con un nivel socio- econmico alto, el salario medio total era de 36.558 dlares y la desviacin tpica de 11.624 dlares. Para una muestra aleatoria independiente de 266 licenciados procedentes de familias con un nivel socio-econmico bajo, el salario medio y la desviacin tpica muestral eran de 37.499 y 16.521 dlares, respectivamente. Calcular un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las dos medias poblacionales.

Ejercicio 56. A una muestra aleatoria de 595 empaquetadores profesionales se les pidi que valorasen en una escala de 1 (completamente amoral) a 7 (completamente aceptable) la prctica de empaquetar marcas genricas (ejemplo marca Pryca) de manera que se asemejen a marcas conocidas. La respuesta media y la desviacin tpica muestrales resultaron ser 3,38 y 1,8, respectivamente.a) Calcular un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional.b) Sin realizar los clculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional tendra mayor, menor o igual amplitud que la del intervalo obtenido en (a).Ejercicio 68. Se extrajo una muestra aleatoria de 12 directivos intermedio que asistieron a un curso de verano en tcnicas modernas de direccin. La puntuacin que obtuvieron en las evaluaciones realizadas por sus inmediatos superiores el ao anterior y el posterior a la realizacin del curso, se recogen en la tabla adjunta. Especificando las hiptesis necesarias, calcular un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las puntuaciones medias y poblacionales obtenidas antes y despus de la asistencia al curso.

ANTES695482676073

DESPUS735083785674

ANTES757864727063

DESPUS748769727775

TextoEstadstica Matemtica Con AplicacionesJohn E. Freund & Irwin Miller

Pginas 369 372Ejercicio 11.11 Una funcionaria de distrito intenta usar la media de una muestra aleatoria de150 alumnos de sexto ao de un distrito escolar muy grande para estimar la media de la puntuacin que todos los alumnos de sexto ao en el distrito obtendran si tomaran cierta prueba de rendimiento aritmtico. Si, basada en la experiencia, la funcionaria sabe que 9.4 para tales datos, qu se puede afirmar con probabilidad de 0.95 acerca del error mximo?

Ejercicio 11.12 Con respecto al ejercicio 11.11, suponga que la funcionaria de distrito toma su muestra y obtiene x 61.8 . Use toda la informacin dada para construir un intervalo de confianza del 99% para la media de la puntuacin de todos los alumnos de sexto ao en el distrito.

Ejercicio 11.15 Un estudio del crecimiento anual de ciertos cactus mostr que 64 de ellos, seleccionados aleatoriamente en una regin desrtica, crecieron en promedio 52.80 mm con una desviacin estndar de 4.5 mm. Construya un intervalo de confianza del 99% para el verdadero promedio de crecimiento anual de la clase dada de cactus.

Ejercicio 11.25 Un estudio de dos clases de equipo de fotocopiado muestra que 61 averas del equipo de la primera clase se llevaron en promedio 80.7 minutos en ser reparadas con una desviacin estndar de 19.4 minutos, mientras que 61 averas del equipo de la segunda clase se llevaron en promedio 88.1 minutos en ser reparadas con una desviacin estndar de 18.8 minutos. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre los verdaderos promedios del tiempo que toma reparar las averas de las dos clases de equipo de fotocopiado.

Ejercicio 11.26 Doce rboles adultos de ctricos de cierta variedad, escogidos aleatoriamente, tienen una media de la altura de 13.8 pies con una desviacin estndar de 1.2 pies, y 15 rboles adultos de ctricos de otra variedad, escogidos aleatoriamente, tienen una media de la altura de 12.9 pies con una desviacin estndar de 1.5 pies. Suponga que las muestras aleatorias se seleccionaron de poblaciones normales con varianzas iguales, construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre el verdadero promedio de las alturas de las dos clases de rboles de ctricos.

TextoProbabilidad y Estadstica para Ingeniera y CienciasWalpole * Myers * Myers

Pginas 282-285Ejercicio 9.1. Un investigador de la UCLA afirma que la esperanza de vida de los ratones sepuede extender hasta un 25% cuando se reduce aproximadamente 40% de las caloras de su dieta desde el momento en que son destetados. La dieta restringida se enriquece hasta niveles normales con vitaminas y protenas. Si se supone que a partir de estudios previos se sabe que 5.8 meses, Cuntos ratones se deberan incluir en la muestra para tener un 99% de confianza en que la vida media esperada de la muestra estar dentro de 2 meses a partir de la media de la poblacin para todos los ratones sujetos a la dieta reducida?

Ejercicio 9.2. Una empresa de material elctrico fabrica bombillas que tienen una duracin distribuida de forma normal, con una desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 bombillas tiene una duracin promedio de 780 horas, calcule un intervalo de confianza del96% para la media de la poblacin de todas las bombillas producidas por esta empresa.

Ejercicio 9.4. Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios tienen un x 174.5 centmetros y un 6.9 centmetros . a) Construya un intervalo de confianza del 98% para la estatura media de todos los estudiantes universitarios.b) Qu podemos afirmar con una confianza del 98% acerca del posible tamao de nuestro error, si estimamos que la estatura media de todos los estudiantes universitarios es de174.5 centmetros?

Ejercicio 9.5. Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automviles del estado de Virginia revela que stos conducen su automvil, en promedio, 23,500 kilmetros por ao, con una desviacin estndar de 3900 kilmetros. Suponga que la distribucin de las mediciones es normal.a. Construya un intervalo de confianza del 99% para el nmero promedio de kilmetros que un propietario de un automvil conduce anualmente en Virginia.b. Qu podemos afirmar con un 99% de confianza acerca del posible tamao del error, si estimamos que los propietarios de automviles de Virginia conducen un promedio de 23,500 kilmetros por ao?

Ejercicio 9.6. Qu tan grande debe ser la muestra en el ejercicio 9.2 si deseamos tener un96% de confianza en que nuestra media muestral estar dentro de 10 horas a partir de la media verdadera?

Ejercicio 9.8. Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma perforar tres hoyos en cierta placa metlica. De qu tamao debe ser una muestra para tener un 95% de confianza en que esta media muestral estar dentro de 15 segundos de la media verdadera? Suponga que por estudios previos se sabe que 40 segundos.

Ejercicio 9.11. Una mquina produce piezas metlicas de forma cilndrica. Se toma una muestra de las piezas y los dimetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centmetros. Calcule un intervalo de confianza del 99% para la media del dimetro de las piezas que se manufacturan con esta mquina. Suponga una distribucin normal.

Pginas 294 296 Ejercicio 9.35. Una muestra aleatoria de tamao n1 25 , tomada de una poblacin normal con una desviacin estndar 1 5 , tiene una media x1 80 . Una segunda muestra aleatoria de tamao n2 36 , que se toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2 3 , tiene una media1 2 . x2 75 . Calcule un intervalo de confianza del 94% para

Ejercicio 9.36. Se comparan las resistencias de dos clases de hilo. Se prueban 50 hilos de cada clase en condiciones similares. La marca A tiene una resistencia promedio a la tensin de 78.3 kilogramos con una desviacin estndar de 5.6 kilogramos; en tanto que, la marca B tiene una resistencia promedio a la tensin de 87.2 kilogramos con una desviacin estndar de 6.3 kilogramos. Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias poblacionales. Se podr afirmar que la marca B es ms resistente que la marca A ?

Ejercicio 9.37. Se realiza un estudio para determinar si cierto tratamiento tiene algn efecto sobre la cantidad de metal que se elimina en una operacin de encurtido. Una muestra aleatoria de 100 piezas se sumerge en un bao por 24 horas sin el tratamiento, lo que produce un promedio de 12.2 milmetros de metal eliminados y una desviacin estndar muestral de1.1 milmetros. Una segunda muestra de 200 piezas se somete al tratamiento, seguido de 24 horas de inmersin en el bao, lo que da como resultado una eliminacin promedio de 9.1 milmetros de metal, con una desviacin estndar muestral de 0.9 milmetros. Calcule un intervalo de confianza del 98% para la diferencia entre las medias de las poblaciones. El tratamiento parece reducir la cantidad media del metal eliminado?

Ejercicio 9.38. En un proceso qumico por lotes se comparan los efectos de dos catalizadores sobre la potencia de la reaccin del proceso. Se prepara una muestra de 12 lotes utilizando el catalizador 1 y una muestra de 10 lotes utilizando el catalizador 2. Los 12 lotes para los que se utiliz el catalizador 1 en la reaccin dieron un rendimiento promedio de 85 con una desviacin estndar muestral de 4; en tanto que para la segunda muestra, la de 10 lotes, el promedio fue de 81, con una desviacin estndar muestral de 5. Calcule un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las medias de la poblacin, suponiendo que las poblaciones se distribuyen de forma normal y que tienen varianzas iguales.

Ejercicio 9.39. Los estudiantes pueden elegir entre un curso de fsica de tres horas por semana sin laboratorio y un curso de 4 horas por semana con laboratorio. El examen final escrito es el mismo para ambos cursos. Si 12 estudiantes del curso con laboratorio obtienen una calificacin promedio de 84, con una desviacin estndar de 4, y 18 estudiantes del grupo sin laboratorio obtienen una calificacin promedio de 77, con una desviacin estndar de 6, calcule un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las medias poblacionales. Asuma que las poblaciones son normales con varianza iguales. Se podr recomendar a los estudiantes que tomen el curso con laboratorio.

Ejercicio 9.40. En un estudio que se lleva a cabo en Virginia Tech sobre el desarrollo de micorriza, una relacin simbitica entre las races de un rbol y un hongo, en la cual se transfieren minerales del hongo a los rboles y azcares de los rboles a los hongos, se cultivaron en un invernadero 20 robles rojos que fueron expuestos al hongo Pisolithus tinctorus. Todos los rboles se plantaron en el mismo tipo de suelo y recibieron la misma cantidad de luz solar y agua. La mitad no recibi nitrgeno en el momento de plantarlos y sirvi cmo control, y la otra mitad recibi 368 ppm de nitrgeno en forma de, NaNO3. Despus de 140 das se registraron los siguientes pesos de los tallos, en gramos:

SIN NITRGENO CON NITRGENO0.320.26

0.530.43

0.280.47

0.370.49

0.470.52

0.430.75

0.360.79

0.420.86

0.380.62

0.430.46

Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre los pesos medios de los tallos que no recibieron nitrgeno y los que recibieron 368 ppm de nitrgeno. Suponga que las poblaciones tienen una distribucin normal y que tienen varianzas iguales.

Ejercicio 9.41. Los siguientes datos representan el tiempo, en das, que pacientes tratados al azar con uno de dos medicamentos para curar infecciones graves de la vejiga tardaron en recuperarse: MEDICAMENTO MEDICAMENTO 2 n1 14n2 16

x1 17x1 19

2s1 1.5s2 1.82

Calcule un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en los tiempos medios de recuperacin para los dos medicamentos. Suponga poblaciones normales que tienen varianzas iguales.

Ejercicio 9.45. El gobierno otorg fondos para los departamentos de agricultura de 9 universidades para probar las capacidades de cosecha de dos nuevas variedades de trigo. Cada variedad se siembra en parcelas con la misma rea en cada universidad, y las cosechas, en kilogramos por parcela, estn en la siguiente tabla:

Variedad Universidad 1 2 3 4 4 5 7 8 9 1 38 23 35 41 44 29 37 31 38 2 45 25 31 38 50 33 36 40 43

Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las cosechas de las dos variedades. Asuma normalidad y explique por qu es necesario suponer observaciones pareadas. Se podr afirmar que hay una variedad que tiene ms capacidad que la otra?

Ejercicio 9.47. La revista Fortune (marzo de 1997) public la rentabilidad total de los inversionistas durante los 10 aos anteriores a 1996 y tambin la de 431 empresas en ese mismo ao. A continuacin se lista la rentabilidad total para 10 de las empresas. Calcule un intervalo de confianza del 95% para el cambio promedio en el porcentaje de rentabilidad de los inversionistas.

EMPRESARentabilidad total para los inversionitas

1986-961996

Coca-Cola29.8%43.3%

Mirage Resorts27.9%25.4%

Merk22.1%24.0%

Microsoft44.5%88.3%

Johnson & Johnson22.2%18.1%

Intel43.8%131.2%

Pfizer21.7%34.0%

Procter & Gamble21.9%32.1%

Berkshire Hathaway28.3%6.2%

S&P 50011.8%20.3%