Definición formal de intervalo de confianza

Dada una muestra aleatoria simple correspondiente a una variable aleatoria dependiente de un parámetro θ, diremos que los estadísticos L1 y L2 son un intervalo de confianza para θ con nivel de confianza (1 − α) · 100 %, si se

verifica:

1.  L1 < L2  para toda muestra de tamaño n.

2.  P(L1 ≤ θ ≤  L2) = 1 − α.

Hay que destacar que en la segunda condición, en nuestro contexto, el valor del parámetro es fijo, lo que es aleatorio son los estadísticos que delimitan el

intervalo.

Un ejemplo de construcción de un intervalo de confianza

 

Planteamiento

Supongamos que tenemos una variable aleatoria que sigue una distribución Normal N(µ; σ) donde la varianza es un valor fijo conocido σ2 = σ2

0. Nuestro objetivo es, dada una muestra aleatoria simple de tamaño n de la variable obtener un intervalo de confianza con nivel de confianza del 95 % para el parámetro µ de la distribución.

Desarrollo de la construcción

Utilizaremos la propiedad de que la media muestral sigue una distribución Normal de parámetros

y, por tanto, si construimos el estadístico

su distribución es una Normal estándar N(0, 1). Es importante que sea una distribución conocida e independiente del parámetro que queremos estimar µ, puesto que esto nos permite una vez construida la expresión siguiente

determinar, de manera independiente de µ el valor  zα/2 que delimita una probabilidad del 95 % dentro del intervalo centrado en cero (-zα/2; zα/2). En este caso, para la distribución N(0, 1), el valor es aproximadamente 1,96.

Sólo nos resta despejar µ de la expresión anterior para obtener el intervalo definitivo

Intervalos de confianza para las distribuciones principales

Intervalo de confianza para la media de una distribución Normal

 

Dada una variable aleatoria con distribución Normal N(μ σ, el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro μ, basado en una muestra de tamaño n de la variable. 

Desde el punto de vista didáctico hemos de considerar dos posibilidades sobre la desviación típica de la variable: que sea conocida o que sea desconocida y tengamos que estimarla a partir de la muestra. El caso de σ conocida, ya comentado anteriormente, no pasa de ser un caso académico con poca aplicación en la práctica, sin embargo es útil desde del punto de vista didáctico.

 

Caso de varianza conocida

Dada una muestra X1, ..., Xn, el estadístico

se distribuye según una Normal estándar. Por tanto, aplicando el método del pivote podemos construir la expresión

donde zα/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una

probabilidad deα/2 de la que se deduce el intervalo de confianza

Puede repasarse la construcción más detallada.

 

Caso de varianza desconocida

Dada una muestra X1, ..., Xn, el estadístico

se distribuye según una t de Student de n − 1 grados de libertad. Por tanto, y siguiendo pasos similares a los del apartado anterior, el intervalo de confianza resultante es

donde tα/2 es el valor de una distribución t de Student con n − 1 grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad deα/2

Intervalo de confianza para una proporción 

Dada una variable aleatoria con distribución Binomial B(n, p), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro p, basada en una observación de la variable que ha dado como valor x. El mismo caso se aplica si estudiamos una Binomial B(1, p) y consideramos el número de veces que ocurre el suceso que define la variable al repetir el experimento n veces en condiciones de independencia.

Existen dos alternativas a la hora de construir un intervalo de confianza para p:

Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la distribución Normal.

Utilizar un método exacto.

 

Aproximación asintótica

Tiene la ventaja de la simplicidad en la expresión y en los cálculos, y es la más referenciada en la mayoría de textos de estadística. Se basa en la aproximación

que, trasladada a la frecuencia relativa, resulta

Tomando como estadístico pivote

 

que sigue una distribución N(0, 1), y añadiendo una corrección por continuidad al pasar de una variable discreta a una continua, se obtiene el intervalo de confianza asintótico:

donde zα/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una probabilidad deαpara un intervalo de confianza de  (1 − α) · 100 %Las condiciones generalmente aceptadas para considerar válida la aproximación asintótica anterior son:

El intervalo obtenido es un intervalo asintótico y por tanto condicionado a la validez de la aproximación utilizada. Una información más general sobre los intervalos de confianza asintóticos puede encontrase aquí.

 

Intervalo exacto

Aun cuando las condiciones anteriores no se verifiquen, es posible la construcción de un intervalo exacto, válido siempre pero algo más complicado en los cálculos. Es posible demostrar que un intervalo exacto para el parámetro p viene dado por los valores siguientes:

donde Fα/2a,b es el valor de una distribución F de Fisher-Snedecor con a y b grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad deαpara un intervalo de confianza de   (1 − α) · 100 %.

Intervalo de confianza para el parámetro de una distribución de Poisson

 

Dada una variable aleatoria con distribución de Poisson P(λ), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro λ, basado en una muestra de tamaño n de la variable. 

Del mismo modo que para una proporción, existe una solución exacta y una aproximación asintótica al intervalo de confianza para el parámetro λ.

 

Aproximación asintótica

Para valores del parámetro λ grandes, la distribución de Poisson puede aproximarse a una distribución Normal según:

Dada una muestra de n observaciones independientes, distribuidas según una Poisson de parámetro λ, Xi ~ P(λ), como la distribución de Poisson es aditiva en λ se cumple que ∑Xi ~ P(nλ). Esta última distribución, si procede, podrá aproximarse a una distribución Normal:

Por tanto, es inmediato comprobar que:

donde zα/2 es el valor de una distribución Normal standard que deja a su derecha una probabilidad de α/2.

La desigualdad es equivalente a

El valor de λ estará comprendido entre las dos raíces de la ecuación de segundo grado

Y, finalmente, se obtiene el intervalo de confianza

 

Intervalo exacto

Si no son aplicables las condiciones para utilizar la aproximación asintótica puede utilizarse la solución exacta, válida siempre. Puede demostrarse que el intervalo exacto para el parámetro λ viene dado por

donde χ2α/2 (n) es el valor de una distribución ji-cuadrado con n grados de libertad

que deja a su derecha una probabilidad de α/2