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INTERVALO DE CONFIANZA

¿Dónde esta el Parámetro?

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Concepto

• El parámetro poblacional es frecuentemente un valor desconocido que solo puede ser estimado usando los dotas obtenidos de una Muestra.

• De ahí que resulta necesario determinar con cierto grado de certeza cual puede ser el verdadero parámetro.

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Estimación de ParámetrosEstimación de Parámetros

Parámetros poblacionales y Estadísticos MuestralesParámetros poblacionales y Estadísticos Muestrales

UMSNH - UMSNH - FIEFIE

DatosDatos(Población de Interés)(Población de Interés)

MuestrasMuestras

-4 -2 0 2 40

20

40

60

80

100

120

140

160Histograma de la Poblacion

Clases

Fre

cuencia

-4 -2 0 2 40

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4

6

8

10

12

14

16

Histograma de la Muestra

Clases

Fre

cuen

cia

ParámetrosParámetros::

Media (Media ())

Varianza(Varianza(22))

Desv. Est. (Desv. Est. ())

Etc.Etc.

EstadísticosEstadísticos::

Promedio ( )Promedio ( )

Varianza muestral(Varianza muestral(SS22))

Desv. Est. muestral(Desv. Est. muestral(SS))

Etc.Etc.

InferenciasInferencias

Muestreo

XX

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PARAMETRO

ESTIMADOR

INTERVALO

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Intervalos de Confianza

Muestreo aleatorio

MUESTRA

(x1, x2,…..,xn)

ESTIMADORES

(Estadísticos)

ESTIMACIONES

(Valores concretos)

Inferencias

PARÁMETROSPOBLACIÓNDescripción

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Definición• Se llama intervalo de confianza en estadística a

un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa por 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.

• Wikipedia ???

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Intervalo de confianza

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Resumen

• En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

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Que lo hace variar

• El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.

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La distribución

• Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar,

• Es habitual que el parámetro se distribuya normalmente

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Intervalo de confianza para la media de una población

• De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:[2]

• Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,[3] la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: . Esto se representa

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Distribución del parametro

• Esto se representa como sigue

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Distribución

• De forma estandarizada

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Nivel de Confianza

• La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

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Usando Z

• Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple :

P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95

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• Luego, si una variable X tiene distribución

N(μ, ), entonces el 95% de las veces se cumple:

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Despejando en la ecuación se tiene:

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Usando estimadores

• Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media poblacional , la varianza poblacional es desconocida, por lo que el intervalo para construido al final de II es muy poco práctico.

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Ejemplo:

• Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 perros de una escala de precisión al capturar un objeto (mayor puntaje significa mayor precisión).

2 5 6 8 8 9 9 10 11

11 11 13 13 14 14 14 14 14

14 15 15 16 16 16 16 16 16

16 16 17 17 17 18 18 18 19

19 19 19 19 19 19 19 20 20

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Construcción

• Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional, asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza poblacional desconocida. Como es desconocido, lo estimamos por s =18,7. Luego, un intervalo de confianza aproximado es:

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Conclusión

• Luego, el intervalo de confianza para es (13,2 , 15,8). Es decir, el puntaje promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.

• Por lo tanto con un 95 % de confianza diremos que cualquier perro tendrá una precisión entre 13,2 y 15,8

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Uso de Intervalos de Confianza para verificar Hipótesis.

• Los intervalos de confianza permiten verificar hipótesis planteadas respecto a parámetros poblacionales.

• Por ejemplo, supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de peso de nacimiento de cierta población de primates es igual a la media nacional de 3250 gramos.

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DATOS

• Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo:

• = 2930s= 450n= 30

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• Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, se obtiene:

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1. Intervalos de Confianza

Ejercicios

Ej 1. Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de una fibra. Diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura, en libras, de 16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. Las tensiones son: 20,8 ; 20,6 ; 21,0 ; 20,9 ; 19,9 ; 20,2 ; 19,8 ; 19,6 ; 20,9 ; 21,1 ; 20,4 ; 20,6 ; 19,7 ; 19,6 ; 20,3 y 20,7.

Supóngase que la tensión de ruptura de una fibra se encuentra modelada por una distribución normal con desviación estándar de 0,45 libras. Construir un intervalo de confianza estimado del 99% para el valor real de la tensión de ruptura promedio de la fibra.

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1. Intervalos de Confianza

Ej 2. La Cámara de Comercio de Buenos Aires se encuentra interesada en estimar la cantidad promedio de dinero que gasta la gente que asiste a convenciones calculando comidas, alojamiento y entretenimiento por día. De las distintas convenciones que se llevan a cabo en la ciudad, se seleccionaron 16 personas y se les preguntó la cantidad que gastaban por día. Se obtuvo la siguiente información en ARS: 150, 175, 163, 148, 142, 189, 135, 174, 168, 152, 158, 184, 134, 146, 155, 163. Si se supone que la cantidad de dinero gastada en un día es una variable aleatoria distribuida normalmente, obtener los intervalos de confianza estimados del 90%, 95% y 99% para la cantidad promedio real.

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1. Intervalos de Confianza

Ej 3. Dos universidades financiadas por el gobierno tienen métodos distintos para inscribir a sus alumnos a principios de cada semestre. Las dos desean comparar el tiempo promedio que les toma a los estudiantes completar el trámite de inscripción. En cada universidad se anotaron los tiempos de inscripción para 100 alumnos seleccionados al azar. Las medias y las desviaciones estándares muestrales son las siguientes: Media Universidad x = 50,2 Desvío Universidad x (Sx): 4,8 Media Universidad y = 52,9 Desvío Universidad y (Sy): 5,4 Si se supone que el muestreo se llevo a cabo sobre dos poblaciones distribuidas normalmente e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 90%, 95% y 99% para la diferencia de las medias del tiempo de inscripción para las dos Universidades.

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1. Intervalos de Confianza

Ej 4. En dos ciudades se llevó a cabo una encuesta sobre el costo de vida para obtener el gasto promedio en alimentación en familias constituidas por cuatro personas. De cada ciudad se seleccionó aleatoriamente una muestra de 20 familias y se observaron sus gastos semanales de alimentación. Las medias y las desviaciones estándares muestrales fueron las siguientes:

Media muestral ciudad x: 135 Desvío muestral ciudad x (Sx): 15 Media muestral ciudad y: 122Desvío muestral ciudad y (Sy): 10Si se supone que se muestrearon dos poblaciones independientes condistribución normal cada una y varianzas iguales, obtener los intervalosde confianza estimados del 95% y 99% para la diferencia de medias poblacionales.

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1. Intervalos de Confianza

Ej 5. Mediante el uso de los datos del ejercicio 2 obtener un intervalo de confianza estimado del 95% para la varianza poblacional.