11 intervalo de confianza
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INTERVALO DE CONFIANZA
En estadística, se llama a un par o varios pares de
números entre los cuales se estima que estará
cierto valor desconocido con una determinada
probabilidad de acierto. Formalmente, estos
números determinan un intervalo, que se calcula
a partir de datos de una muestra, y el valor
desconocido es un parámetro poblacional.
En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un
intervalo de confianza es un rango de valores (calculado
en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero
valor del parámetro, con una probabilidad determinada.
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro
se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel
de confianza, y se denota 1 - . La probabilidad de
equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza
.
Una forma de estimar un parámetro poblacional consiste
en estimar con algún grado de confianza, un intervalo
que incluya un límite inferior y un límite superior dentro
de los cuales esperamos que se encuentre el verdadero
valor del parámetro. Con esto, estamos admitiendo que
existe una probabilidad “ "de que esto no ocurra y por
consiguiente una probabilidad “1 - “ de que ello si
ocurra. Es decir, “ ”es la probabilidad de fallar en la
estimación y “1- “ es la confiabilidad que merece la
estimación.
Los niveles de confianza “1- ” más
utilizados en su orden son: 0.95, 0.99
y 0.90, cuyos valores de “Z” según la
tabla de distribución normal son: 1.96,
2.58 y 1.64 respectivamente. El
estudiante debe verificar dichos
valores en la tabla de distribución
normal.
Si una población no está normalmente
distribuida o no se sabe nada de ella, según
el teorema central del límite, las medias
maestrales se distribuirán aproximadamente
de acuerdo a una distribución normal,
siempre y cuando el tamaño de la muestra
sea mayor que 30 (n>30).
La fórmula para calcular un intervalo de confianza para la media poblacional utilizando la distribución normal será la siguiente:
DONDE:
Representa la media aritmética de la muestra
Es la desviación estándar poblacional
Total de elementos de la muestra
Es el valor de Z para cada nivel de confianza ( tabla de distribución
normal)
VEAMOS UN EJEMPLO SENCILLO:
Se recibe un cargamento muy grande de 2 500 bultos de
plátanos provenientes de una importación y se desea
estimar el peso promedio () de dichos bultos, para lo
cual se toma una muestra aleatoria de 100 bultos que
arrojan un peso promedio de x= 21.6 kilos. Se sabe por
experiencias anteriores, que la desviación estándar de
dichos cargamentos es de = 5.1 kilos. Se quiere conocer
el intervalo de confianza con nivel de confianza en la
estimación del 95%.
Al aplicar la formula tendremos:
IDENTIFICAMOS LOS VALORES:
= 21.6
= 5.1
= 100
= 1.96 valor que le corresponde al nivel de confianza del 95%
REALIZAMOS LA SUSTITUCIÓN CORRESPONDIENTE:
( 21.6 – (1.96) ( 5.1 ) < < 21.6 + (1.96) (5.1 ) )
100
100
( 21.6 - (1.96) ( 5.1 ) < < ( 21.6 + (1.96) (5.1 ) ) 10 10
( 21.6 – (1.96) ( 0.51 ) < < 21.6 + (1.96) (0.51 ) ) ( 21.6 – 0.9996 < < 21.6 + 0.9996 ) ( 20.6 < < 22.6 ) U= ( 20.6, 22.6)
La expresión anterior, significa que el 95% de las
medias muestrales de tamaño 100 del cargamento
estarán dentro del anterior intervalo, mientras que
el 5% de dichas medias muestrales estarán por
fuera de dicho intervalo. En consecuencia, podemos
interpretar la referida expresión, diciendo que con
el 95% de confianza la media del peso de todo el
cargamento fluctúa entre 20.6 y 22.6 kilos.
Analizado lo anterior pasemos a practicar lo aprendido:
Lee con atención cada una de las
siguientes situaciones, identifica los
datos necesarios y realiza las
operaciones necesarias para calcular el
intervalo de confianza en cada caso.
:
Calcula el intervalo de confianza al 99% de nivel de confianza de la media de los alumnos de esa escuela.
Se desea estimar la media del tiempo empleado
por un nadador en una prueba olímpica, para lo
cual se cronometran 10 pruebas, obteniéndose
una media de 41.5 segundos. Sabiendo por
otras pruebas que la desviación típica de la
variable para este nadador es de 0.3 segundos,
obtener un intervalo de confianza con un 95%
de confianza.
Un entrenador de fútbol está interesado en
estimar, con un 99% de confianza, la fuerza
máxima de los músculos cuádriceps de los
futbolistas. Admitiendo que dicha fuerza sigue una
distribución normal, selecciona al azar una muestra
de 25 futbolistas, para la que obtuvo una media de
85 N y una varianza de 144. Determinar un
intervalo de confianza para la media los músculos.
El músculo cuádriceps femoral es el músculo más potente y voluminoso de todo el cuerpo humano. Es el que soporta nuestro peso y nos permite andar, caminar, sentarnos y correr. Se denomina cuádriceps debido a que tiene cuatro cabezas musculares. Se encuentra en la cara anterior del fémur.
MUCHAS GRACIAS
POR SU ATENCIÓN