de la ml academia de ciencias - rac.es · cuaderno segundo m a ij k i Ü' domicilio uk la...

R E V I S T AD E L A

Ml A C A D E M I A D E C I E N C I A SEXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

D E

M A D R I D

T O M O X X X V 1 1

C U A D E R N O SEGUNDO

M A IJ K I Ü'

DOMICILIO UK LA A C A D E M I A : VALVEKDK, 24

T K I , K F O N O 1 2 5 2 9

' 9 4 3

Artículo 39 de los Estatutos de la Academia:

«La Academia no se hace solidaria de las opinio-

nes cuestionables, en materia científica, de sus indi-

viduos. Cada autor es responsable de las proposicio-

nes y asertos que contengan los escritos del mismo

que la Academia publique. »

C. B K R M F J O , I M P K E S O R . - J . G A R C Í A M O H A T O , t i 8. T E L K F. 3 i i 9 Q .-M A D K I ü

Conferencias sobre la teoría de la prolongación analítica

de las series de Dirichlet(<)

por

S i x t o R í o s

I N T R Ü D U C G I Ü N

No es nuestro propósito hacer en estas conferencias un desarrollo complet«)de la teoria de la prolongación analitica de las funciones definidas por series de•Uirjchler, sino simplemente exponer un resumen de los principale-i resultados (i)qw nos permitan llegar a plantear algunos problemas actuales de la teoría.

1.a CONFERENCIA

PROPIEDADES GENERALES DE LAS SERIES. DE DIRICHLET

Las series de potencias constituyen, sin duda, el algoritmo más natural y sen-c ' '" para el estudio de la? funciones analíticas; pero este instrumento presentaClertos inconvenientes importantes. Por ejemplo : a) sabemos que para definir

na función analítica en todo su dominio de existencia es preciso, en general, unannidafT de series de potencias ; ¿>) existen funciones no analíticas représentâmes

P r series de potencias ; c) ciertas funciones no se pueden estudiar de modo ade-

t ' ] Aplicadas en el Seminario de la Cátedra de Matemática de la «Fundación Conde de Car-nil" de 'a Heal Academia de Ciencias, de Madrid.- ' ) Posteriores en su mayoría a la publicación de la obra fundamental de nuestro querido

ro y Bernstein, Leçnns sur lex hrosrrés recents de la théorie des séries de Dirichlet, Colee-Cl6n Borei, Paris, I933.

— 124 —

cuado con'tales serie», por ser éstas de convergencia lenta, etc. listas razones lianllevado a plantear el problema general de la representación analítica de íunciuieáde variable compleja y al estudio, de otros algoritmos distintos de las series depotencias.

Si uno se propone generalizar las series de Taylor

•ç2«„i" ,H --- O

parece natural sustituir los exponentes enteros por una sucesión monótona in f i -

nitamente creciente de números reales A.t < A.2 < ... < A.n < ... , A„ —» o: , locual se suele denotar abreviadamente, según Ostrowski, en la forma A„ \ '-^ .

Por tener la función z>-» un punto crítico logarítmico en el origen s =ose hace el cambio de variable z = c~f y la serie adopta la forma

c/:

y\a„e-'>-„* N

que es la que ordinariamente se llama serie de Diri-chlci.Una nueva generalización nos llevaría a reemplazar la variable discreta ta

por una variable continua / y considerar la integrai

/"(-v)= e-'*a(t)<lt

que suele llamarse intcy-ral de L^placct aunque fue ya manejada por Euler y Ali^No ha sido el mero deseo de generalizar las series de Taylor lo que ha Ue"

vado al estudio de las series de Dirichlet e integrales de Laplace, sino la ntcc?'-dad de resolver algunos problemas famosos e importantes de la Matemática.

Así el problema de la distribución de los números primos en la serie natu-ral, problema central, alrededor del cual se organiza toda una difícil rama de -a

Matemática: la teoría analítica de números ha sido el origen de la teoría de seri&5

de Dirichlet. Se trata de estudiar las propiedades de la función ir.(-f), i'úm-'r

de números primos no mayores-que x. La observación de una gráfica de di<>función sugiere experimentalmente las dos propiedades siguientes :

- í-f)T. (.r) —»• x , — —>• o si x —> v*.

.\-

Del primer teorema, probado por Euclides, dio Euler, en 1737, una nueva

125 —

mostración, que permite además ver que la serie S es divergente La idea deA

Euler es utilizar la génial identidad

ï //-•<=. 11 n — />-*p [4]/

en que los números primos figuran en el segundo miembro, pero no en el prime-ro. Euler 110 considera esta identidad más que para s = i, Chebyshev para va-lores reales de s y es Riemann quien primero estudia la función

[5l

en el campo complejo (2) y en él rhtede decirse que comienza el desarrollo de lateoria de las llamadas .series de Diriehlet:

v ': [6]w

que proseguido por grandes matemáticos : Hadamard, Vallée-Poussin, Hardy,Kiesz, Bohr, V. Bernstein, etc., ha sido fuente de progresos que han repercutido 'en la teoría general de. funciones analíticas y en la teoría de funciones enteras.

La dificultad del estudio de las series del tipo

2 —= ÍX¿--'10«" [6];/•'

a sugerido a algunos matemáticos la consideración de las series generales deüirichlel ;

Za„e~Kf [7]

Ve comprenden como caso particular las [6] para An — log n y las de Taylor [l]Par.a An — ,¡ j7sta jc]ea heurística ha sido fecunda, permitiendo pasar de algunosresultados de las series [i | a las [7] y. como caso particular, obtener propieda-(es para las series [6] del tipo de la función de Riemann.

3- También la integral de Laplace ha surgido de problemas importantes dea matemática y no por simple deseo de generalizar.

2) En ellas hay todavía (después de casi un siglo de investigaciones) cuestiones sin resolver

"P'etamente, como la famosa de la distribución de los ceros no triviales de la función C (í), ínti-m ' tmente iigada a, estudio de |a func¡on T (v).

— 126 —

Designando abreviadamente dicha operación funcional

00

f(s)^í e~"V(t)dt

en la forma :

f(s) = L[F(f>] [.]

se demuestra que verifica bajo ciertas condiciones la relación

L[F ' ( f ) ] = . v L [ F ( / i ] — F (o)

es decir, la transformación de Laplace traduce la operación de derivación en eldominio de las funciones F (í) en la multiplicación por la variable independien-te en el dominio de las funciones / (s).

Para comprender la importancia de este hecho hasta decir que mediante di-cha integral podrán transformarse ecuaciones diferenciales ordinarias en ecua-ciones algebraicas; ecuaciones en derivadas parciales (con dos variables indepen-dientes) en ecuaciones diferenciales ordinarias, etc. Puede consttiuir la base de unafundamentación rigurosa de los métodos de cálculo simbólico de Keavisicle yotros. Con esto y sus aplicaciones al cálculo de probabilidades, estadística, ecua-ciones integrales, etc., algunas de las cuales pueden ser estudiadas en la gran obrade Doetsch, Theorie und Anwendung der Laplace Trartsfo-nnation (Berlín. IÇ371

436 págs.), basta para comprender la importancia de su estudio.4. Actualmente se distinguen tres direcciones en el desarrollo de la teoria

de seri.es de Dirichlet. La primera, de q"úe ya hemos hablado, prosigue el estudiode aquellas propiedades que tienen aplicación a la teoría de números. La segun-da, surgida de los trabajos de Bohr para resolver el problema de la caracteriza-ción de las funciones représentâmes por tales series, está en estrecha relacióncon la teoría de funciones reales y constituye la llamada teoría de funciones cuasi-periódicas, poco estudiada en el campo complejo. La tercera rama, que constituyeel objeto de estas conferencias, se sitúa francamente en el punto de vista de 1a

teoría de. funciones de variable compleja, para estudiar las propiedades (prolon-gación analítica,, singularidades, etc.) de las funciones definidas por series de D1'richlet. La utilidad de esta tercera rama es indudable desde el momento que p°ese "fenómeno de flujo y reflujo, tan corriente en la Matemática, multitud de p'°piedades han encontrado aplicaciones importantes en ,1a teoría analítica de numros y en la teoría general de funciones analíticas.

5. Propiedades generales.—Vamos a comenzar exponiendo algunas propi£

dades generales de las series de Dirichlet, que son fundamentales en todo lo qu"

— 127 —

sigue. La exposición de tales propiedades gana en sencillez y generalidad, recu-rriendo a la representación de la serie de Dirichlet

¿" a" e~'~" *

por una integral de Laplace-Stieltjes (29).

V«(I) .[2]

en que « (A) es de variación acotada en todo intervalo finito o < A < /¡ < oo .De las .propiedades q-ue demostremos, en general, para estas integrales se de-

ducen resultados particulares para otros algoritmos que comprenden como casoparticular (integrales determinantes, series de Dirichlet, de Bohr, de Taylor, etc.).

Para probar que las integrales [2] comprenden como caso particular los algo-ritmos indicados, utilizaremos un resultado de Fréchet, relativo ,a la descompo-sición de la integral de Lebesgue-Stieltjes. Según él, toda integral del tipo ante-i'ior, donde « (A.) es de variación acotada, puede descomponerse en la forma :

x Y-

•f (s) = / e- '•s a (Â.) d\ + Z an e~ l" s + /<• -* ' d H O.)

o o

siendo a (A) una función sumable, los An son puntos de discontinuidad de « (A),de modo que an = a (An -f o) — a (An —.o) ; y u (A) es una función continua devariación limitada, cuya derivada es cero, salvo en un conjunto de medida nula.

El primer sumando es una integral determinante, el segundo es una serie delr (3i b), pues los puntos de discontinuidad Xn forman un conjunto numerable ;

y se reduce a una série de Dirichlet cuando el conjunto numerable es una suce-s'on monòtona infinitamente creciente. Cando existe el tercer sumando la inte-gral (LS) define una función de distinta naturaleza que las que se pueden defi-nir utilizando. los otros algoritmos antes citados, ya que no es posible reducir laintegral :

O/ e-*sdu(K

Cn°s algoritmos. Tal caso se presenta si u (A) es una función continua de va-

— 128 —

nación limitada que sea constante en los intervalos complementarios de un con-junto perfecto no denso de medida nula.

Veamos cuál es el tipo de función a (A) que corresponde a cada uno de losalgoritmos particulares citados:

Para las series generales de Dirichlet :

_2^ a»e X«J

donde aa es una sucesión de números complejos cualesquiera y An una sucesiónmonótona de números reales infinitamente creciente, la función a (X) es:

a,M= ^ a»/„<x

y análogamente para las series más generales de Bohr (3).Si los números An son en! eros, se tienen las series de Taylor.Las integrales de Laplace

/<f(k}e-^s d'k

(estudiadas principalmente por Pincherle) se reducen al tipo (LS) mediante la in-troducción de la función:

X

a(X) = / (p(X)¿X

O

En las integrales:

00

/(j) = f(p(f )*-XMyro

llamadas por Rey Pastor integrales (D) se supone y> (f) integrable en el interval

(3) Estas series, más generales que las de Dirichlet, han sido introducidas por Bohr en el e5'tudio de las funciones cuasi periódicas (3, b); y aunque Bohr propone que se llamen también sefe

de Dirichlet, creemos preferible, para evitar confusiones, la designación indicada.

— 12C) —

(o. M), función continua monòtona e infinitamente creciente. Sé puede definirla función

/

= |«pí/).P </> = I <p (f) f1 '

con lo que la integral anterior queda reducida a la integral en el sentido deStieltjes :

IX

/(j) = í i-XW'rfß' iY)

pero por ser X (í) continua y monótona admite función inversa í — t (X) y laintegral anterior se reduce a la siguiente:

f'/(¿)— I f-l*i/v OJ

que es'el tipo (LS).Vemos así que existe una sencilla gradación entre los diversos tipos de algo-

ritmos en relación con sus correspondientes determinantes « (X).Funciones de apariencia tan diferente como

ç 00 = 2 —

OC

r (j)OC

/^- ' ,T- Trf.r•/

se c°niprenden así bajo un algoritmo único, lo cual hace ver la importancia dea "itegral de Stieltjes para la unificación de la teoría de funciones de variable

^pkja. La función £ (s) se pone en la forma

C(j)= i e~" d a (ft

DK L* "BAL AC»DVMIA DK CIBSOIAS.—1945.

— 13° —

tornando « (í) = n para log n < í ^ log (« -f- i) ; y, mediante el cambio de va-

riable .r = e ', se tiene la segunda en la forma

.'(O-/

+ XJ

e-e-> e-stdt

que inmediatamente se descompone en suma de dos integrales de Laplace-Stieltjes,Teorema I.—Convergència uniforme.—Si la integral

'f (s) = l e- >• *;d a (X) í = a -|- z1

'converge para s = s„ conte-nido en el semiplano R (s) > R (s,,), es decir, paro'valores de s tales que s — s«'] < (<r —• o-) H , a > a0 siendo H > o 3' s = o- + i i-

Sea c un número arbitrariamente pequeño. Es posible determinar un númeroT suficientemente grande para que

SX, (^ -fn) e -^ d a (L) <; á para "/. > /^

Sea j = Jo + A, siendo o- > cr0 .Se tiene:

luego :

'-2 *2

/ e-\(*«+ A) ,/„ (X) = / ^,-x* rfSXl (>., sn) =

X, X 2 .

>-2

= í-X,* S)a (X, , J0) - |*SX, (X , ¿0) rfí-*>-

f-vu+*) rfaa) ' < S^-M*" v + -i:-.- .- -°-! e [^-(3-0..-.. _ t' i9-3-'"!Q — 30

— i3! —

y si í está en el ángulo que indica el enunciado del teorema, será :

>..,

I e-\("o+»cla(t.} <£ + H íí-<3-'«>'-' <^H -r D

con lo cual queda probado el teorema.

Observación.—La misma demostración conduce a probar la convergencia uni-forme en el recinto

\¿ — s0 | < (o - o,,i H í'"'3 3o>

que es más amplio que el ángulo, pero esto carece de interés para el desarrolloulterior.

Cornicino i°—Si la inlegnal \ i ] converge en el pinito s0 , converge en todos tal que a > <r 0 .

c-n efecto, evidentemente es .siempre posible encontrar un ángulo de vérticeJo en las condiciones del. teorema anterior que contenga en su interior tal punto.

Desde luego, para los puntos del eje- real /• = o, puede verificarse que la inte-gral converja en todos, que no converja en ninguno o que haya puntos de con-vergencia y. de divergencia. En este tercer caso, los puntos .del eje real quedan'-la^íicados en dos conjuntos tales que todo punto es de divergencia o de conver-gência y que todo punto de divergencia está a la izquierda de todo punto do con-Vf-'"?encia; existe, pues, un punto de abscisa <r = C tal que en el semuplaríb0 > C la integral diverge y en los-puntos a = C la integral puede converger odiverger. Esta recta ,se llama recta de convergencia de la integral. El semiplaroa ~> C, semipta'no do cvnverg^encia, y el número C, abscisa de convergencia-

Coi'oktrio 2."—'En todo recinto finito de D interior a! scmi-pla-no de conver-ffencia, Ja integrai converge itnifoririflittente.

Si es S la distancia del recinto D a" la recta de. convergencia CT = C y ¡i elMáximo valor absoluto de las ordenadas de puntos del recinto, resulta que estác°ntenido en el ángulo, interior al semiplano de convergencia, cuyo vértice es el

Punto de abscisa C + — del eje <i y las pendientes de los lados son ± — — .2 ' ^/s

Corolario 3.°—/_a. integral representa una función f (s) liotoiiwrfa en el i'nte-Wl" del semi-piano de convergencia y cu esta región es:

«

-/'«P/M I , • / • , A N'—!-•= \ e- s >- // ti a (Ì.)

d x*

— 132 —

Comencemos probando que la función

í»

f ' f ( * ) = l r-'*,/«().)o

es una función entera y su derivada es

?/'p(j) = — / X ¿ > - W a ( Á )

o

Cualesquiera que sean los números complejos s y h se tiene :

M (Ã) =— j^i-^r/?.^p

-/4- l é ? - - ' * X í / a ( A ) =

/• r ¿»-A».— ! T5=5/'"T í— + T"(X)

Ahora bien, se tiene:

«?-*X— I i 1 / [ A "A. / / 2X 2

• -A. = ! A X * .- — + —r2 ! 3 ! 4 !

<

-'-'// | \" i + - + L_L.....+ . . . } =2 !

h I /¿ ¡¿• I* U < | // | ^--Vl*^

Se puede determinar para cada E > o un 8, tal que:

, - k \

<C s para | // | <C S y o < X <

Como consecuencia resulta :

I M (>>} \ <_ ̂ ! R (i) ' e I ^ « (>0 < /' i R W I . s . Var [a (X i]"

o

luego M (h) -> o cuando X -» t».

!33 —

El mismo razonamiento aplicado a f$(s) conduce a probar que ésta es unafunción entera y que

'?

/p'(j)= / e->lWda(\)

y, en general :

/(* (s) = \ (— i)* t-v.x*,/a(X:

El corolario 2° prueba que /g (s) converge uniformemente hacia / (s) en cadarecinto completamente interior al semiplano de convergencia de la integral, dedonde resulta, teniendo en cuenta un teorema de Vallée-Poussin (4) que f (s) esholomorfa en dicho semiplano y lo mismo

Vj

/(* (s) = (— n* / .?->-' \k d a (X)

6.—Abscisa de convergvttcia¡—Vamos a demostrar el siguiente7 corana.—-Si h abscisa de convergencia de la integral

00

— / e-1*/•(j)= I í -X. r foÇ*. ) [ i ]

« positiva, iñ-ene dada par la fórmula

lim >8 Ia 1X> !.=('. [2|X-» « /.

w Vallée-Poussin (30). El teorema, que es una generalización del clásico de Weierstrass, se"ncia usí; Supongamo.s que las funciones /g (í) sean holomorfas de .? en un recinto D pura todos

valores del parámetro real p del intervalo o < p < x (o para un conjunto parcial de éste) yPongamos que cuando fi -*• oo las /g (s) convergen uniformemente en e! interior de D hacia

unción /(j). Se verifica que: i.°, /(s) es holomorfa en D; 2.", la derivada /í* (f) convergeu n i t«memente hacia/<*)(f) en el interior de D.

— '34 —

Antepondremos los siguientes lemas:

I.—Si existe un número real O tal que

\ 6.

Mediante una integración por partes se obtiene ;

A;2 />j

le- '*••< d\ (A) = ¿— • • . * a u,) — ¿>-JXi « ().,) -f- / a(\)/if" \ • - •• " " -

'-i

'-2

i/-- *••' í/ a (/O < i" (3 - '')b — £'- (3 - 6) >.. 4-

>M

a — 6- f - [¿.-("-TI/., ._ ¿.-("-p V

I J I l '

Si o- > 3 los tres sumandos se pueden hacer arbitrariamente pequeños, to-mando A! , A2 suficientemente grandes.

II.—Si la integral [ i ] converge para s = tr0 > o, existe mía constante Kto/ </w^

| « (X) | < K e^à'l , o < X < oo

Se tiene :

X X X

« (A.) = \-d « (X) — í í3«/- í-o.X r/ « (A.) = I ¿".X í/ A (>.)

siendo

X

A (>:)== / f-3«> í/a (A.)

— 135 —

Integrando por partes se tiene :

/.

a (A) = A (X) i>V. —. / A (Xi <ie°°^

o

De la convergencia de la integrai para i = <TO se deduce que existe una cons-

tante K tal que |A (A), < — • (o < A < oc); luego:

K K• ¡ cr (X) ! < ea°i> -) (í'3^ — 1 )< K í''» A

2 2

c. q. d.

Demostraremos ahora el teorema. Comencemos probando que la integral [ i ]converge para a > C.

De la relación :

i i i ü - - l o ß i . a W I =,cA-* oc /l

se c'educe que dado c arbitrariamente pequeño se verifica:

I «(Xi ! < ec

Uego en virtud del lema J la integra] converge en todo punto s = a .+ i r tal que" -•* C -f £. ksi es CTO cualquier número mayor cjue C, se puede elegir E de m'odo

e °o > C -f c, luego la serie converge en -í — CTO + l T-Recíprocamente, probemos que si la intégral converge en í = CTO + ito sien-

0 ffo > o , es tr„ ^ C. Del segundo lema resulta:

I a ('/,) | < K c'«'-

luego

log | a ' ( X ) log K f ,<C — h °o iz>

A X

fuera «TO < e, tendríamos :

F- 10g I " M ' f ' - » ̂ nl ini 7 = C = o,, -|- o , 5 > o.A.

— 136 —

es decir:

log I a (>0 l í'-- r-' > 'o -M

X 2

para infinitos valores de t, arbitrariamente grandes. Pero tomando A suficiente-mente grande llega a ser

log K í

X. ' 4

•y la relación [2] se reduce a

log- ¡ « (>0 1 ^ , 5<~.ai) T

A. 4

que es incompatible con la [3].Resulta, pues, que o-0 ^ C.El teorema anterior- permite la determinación de la abscisa siempre que ^ea

finita, pues si fuera negativa por un cambio de variable se reduce este caso aianterior y se aplica la fórmula que hemos expuesto.

•j-, 'Convergencia absoluta.—Teorema.—S¡ la integral

cu

/(.y) = I f-Wa (X)

converge absolutamente para s0 = <TO + i TO converge uniformemente para a ^ "«'

Dado e > o arbitrariamente pequeño .se verifica, por hipótesis : que existe unúmero T tal que:

/r-i

X,

"-'3»>. d-u u) , /.2 > /M > T

siendo

« CM = Var [« i>.)] 'o

Se tiene, para a ^ o-0 :

— I J 7 -

'•2 '-2 ^2! r r /*I e-^ (¿a(k) A, con la pro-piedad de que la integrai [i] converge absolutamente en dicho semiplano y noconverge absolutamente en el semiplano o- < A.

, Por razonamiento completamente análogo al del § 6 se llega a dar para ladeterminación de] número A, llamado abscisa de convergencia absoluta de la in-tegral el siguiente

Teorema.—'La abscisa de convergencia absoluta- de la integral [ i ] , si es posi-tiva, es

A= limX-> «3

log u (X)

siendo

u (W = Var [a (X)j

8. Convergencia uni-forme.—Del primer teorema del § 7 resulta qué la in-tegral converge uniformemente en cada semiplano R (f) > a siendo a > A. Si"o coinciden C y A, puede ocurrir que la integral converja uniformemente ensemiplanos R (s) > a, siendo a < A ; en tal caso, el extremo inferior U de los"úmeros a que poseen esta propiedad se llama abscisa de convergencia unifor-me de la integral.

'Bohr (3, c) ha obtenido para las series una fórmula que determina la abscisa

U, que es análoga a la [2], § 6, sustituyendo la "SP í> (7v por el

ext— en <í < «3

y «y e"\

tn «I caso particular de que lös exponentes Xn de una serie de Dirichlet

AJÍ = £</„<-•'...'

- 138 -

verifiquen la condición

n— log w r ,hm —5^- = o [i]

a —t- » - A»

las abscisas de convergència ordinària, absoluta y uniforme vienen dadas por hsiguiente fórmula sencilla de Valirón (27)

C = A = U = T í m - k g ' * - '

Si el límite [i] no es cero, si no que es

log wlim = D.

este número da un límite superior para la diferencia A — C (i, pág. 4).9. Unicidad de la función determinante.—Vamos a ver que una función ge

neratriz / (s) no puede tener dos f unciones determinantes «i (í), «2 (O tales quesu diferencia «i (í) — «2 (í) no sea nula en un conjunto de medida positiva. Siexistieran dos funciones «! (í), «2 (O con la misma generatriz / (s) tendríamos

co

o=JV... d Q (t) , «fr (') = «! C)-«i C)

Està integrai debe converger para algún valor j = s0, luego por el teorema II, § "

| (t) | < K e°«'

luego

lim ^"0(/) = o , a>o 0'—»oc

y si suponemos «! (o) = «2 (o) = o, resulta:

C/C 00

/ <?-"" rfO (/) ==' lim (c-J' $ (/)) -f j- / e~sl <D (/) u?/= o , o > o0

— 139 —

Aplicando ahora un teorema de Lerch (5) resulta que $ (í) es cero, exceptoa lo sumo en un conjunto de puntos de medida nula. Luego «i (í) y <*2 (í) difierena lo más en un conjunto de medida nula.

io. Orden de í (s) sobre rectos verticales—H. Bohr en su tesis ha intro-ducido sistemáticamente la noción de orden de una función g (s) holomorfa enun semiplano a > er0 : se llama arden de g (s) sobre una recta de abscisa ide este semiplano, el número

,,ía)= Tim '°g I *<' + "> I| - | -» » lOg ¡"T l

Se demuestra (29, a) que para la función / (s) definida por una integral deLapiace-Stieltjes, convergente en el punto j = j0, se verifica

./ '(a-f- /t) = o( | 11)

siendo

a > C + £ , î>o

Para las series de Dirichlet se demuestra que el orden de una serie conver-gane es siempre positivo o nulo; pero al pasar al campo más amplio de las in-tegrales de Lapiace-Stieltjes esta propiedad no se conserva, como lo prueba elej«nplo sencillo de la función

K

r/->-*> dt

U. Problemas fundamentales de la teoría.—Las dos cuestiones fundamenta-ls de la teoría son el problema de la representation y el problema de la prolon-Otoon anajática. El primero se refiere a la caracterización de la clase de las fun-dones analíticas que son representables por una integral de Lapiace-Stieltjes

i/j

/ í - ^ r f a ( X ) [i]

o

c°nvergente en un semiplano.

5) El teorema se enuncia: Si la función determinante f ( s ) se anula en una sucesión infinitaPuntos equidistantes que están en una paralela al eje real s = s0 -j- » a (a < o) la correspon-

e generatriz es nula salvo en un conjunto de medida nula (i 7).

Esta cuestión no está resuelta cíe un modo perfecto ni siquiera para las seriesde Dirichlet (6).

El segundo problema se presenta al querer obtener valores de la función f (s)fuera del semiplano de convergencia de la integral, y es el objeto principal de estasconferencias, según ya indicamos anteriormente.

Algunas cuestiones a estudiar

I.—El llamado problema de la representación se plantea de la siguiente forma:Dada una función / (s) holomorfa en el semiplano R (s) > o, cuáles son las con-diciones necesarias y suficientes para que / (.?) se pueda representar en la forma:

fis) = { e~'i Va(/J•<«-/

Se puede concretar ai'm más la cuestión imponiendo que el semiplano R (/) > °>sea de. convergencia ordinaria, sea de convergencia absoluta o sea de conver-gencia uniforme.

La cuestión análoga en las series de Taylor es inmediata. En las series deDirichlet, el problema de la representación ha sido el que ha llevado á Bohr a lacreación de las funciones cuasiperiódicas (3, b) que le han permitido caracterizarlas funciones analíticas representadles por series del tipo

H^í—>-«•'

(los An forman un conjunto numerable, no necesariamente en sucesión monótona.de números reales) uniformemente convergentes en una banda a < R (/) <Pero los problemas análogos para series de Dirichlet en que los exponentes >°r'men una .sucesión monótona y para integrales de Laplace-Stieltjes no esta i£

suelto de una mariera adecuada en la literatura, es decir, mediante propiedades in'

trínsecas de la función f (s).Será provechoso consultar las Memorias de Widder (29, c) y Hïlle (14).II.—La integral

e-ï.W'd<i(t)

(6) Widder (29, a), Bohr (3, h), etc.

— 141 —

en que A (f) es una función monótona infinitamente creciente y a (í) una funciónde variación acotada en cada intervalo fiito o ^. t ^ [i <. oo , es una generaliza-ción de la integral de Laplace-Stieltjes. Se puede ver fácilmente que mediante unaintegración por partes el estudio de una intgral de Laplace-Stieltjes se puede re-ducir, en su semiplano de.convergencia, a una integral en el sentido de Riemann,lo cual no es aplicable a las integrales cuyo estudio proponemos, y de aquí suinterés.

III,—Una nueva generalización será considerar la integral en el sentido deStieltjes

ti

-/ep (s) = í K (^, /) ti O (/)

que representa.una transformación lineal distributiva y se trata de deducir pro-piedades de if (s) mediante 'hipótesis lo más generales posible sobre K (s, f).

IV.—Pára las series de facultades, series de -Newton, de Hermite, etc., sedemuestran propiedades análogas a las de los § 5, 6, 7, relativas al semiplano deconvergencia ordinaria, ' absoluta, etc. Cabe pensar en construir una teoría abs-tracta que comprenda estos diversos algoritmos.

V,—La posición relativa de las rectas de convergencia ordinaria y absoluta,indicada en el § 8 para las series de Dirichlet, no ha sido estudiada para la inte-gral de Laplace-Stieltjes. Lo mismo ocurre con multitud de propiedades relati-vas al orden sobre rectas verticales (§ io).

— 142 —

CONFERENCIA 2.a

HIPERCONVERGENCIA DE LA INTEGRALDE LAPLACE-STIELTJES

i. En esta conferencia vamos a estudiar con algún detalle el método de pro-longación analítica por hiperconvergencia en la integral de Laplace-Stieltjes.

Supongamos que f (t, z) define una función analítica de s en un dominio Dpara cada valor del parámetro /, comprendido en el intervalo o ^ í '< oo, y quese verifica

Hm f (t, e) =f(z]t —> 00

uniformemente en un dominio DI (contenido en D). Si t, en vez de los valoresdel intervalo o ^. t <i oo, toma sólo los de un conjunto parcial ordenado ¡í*|(por ejemplo: una .sucesión de intervalos, un conjunto denso'de puntos, etc.), Pue~de existir

lim /(/*,*)=/(*)

uniformemente en un dominio D2 que se extiende más allá de DÌ .Si así ocurre, se dice que la nueva familia de funciones es hiperconvergente

respecto de la 'primera, y la determinación de una familia hiperçonvergente res-pecto de otra, constituye, cuando es posible, el método más sencillo de prolonga-ción analítica.

El ejemplo de Porter-Ostrowski es el siguiente : sea la serie de potencias quese obtiene desarrollando los polinomios de la serie:

so

2>«(*)=^̂ f¿ (I .-*)]*"Pn

donde pn es el mayor coeficiente del, desarrollo binómico del paréntesis. En cacta

polinomio Pn (2) los coefiicientes de las potencias son números menores o igua

les a i. La serie de potencias tiene, pues, como círculo de convergencia el de cen

tro el origen y radio uno. Luego también converge en él la serie de polinomios i1! •pero si en ésta cambiamos z por i-z, no se altera, luego converge •unifórmeme'1

en todo dominio interior al círculo. Tenemos, pues, una serie de potencias en qllv

por la sola agrupación de sus términos se obtiene una serie de polinomios c°

— 143 —

un campo de convergencia uniforme mayor. En este ejemplo se advierte la exis-tencia de lagunas entre el término final de un polinomio y el inicial del. siguien-te, y en esto radica lo esencial del fenómeno de la hiperconvergencia en las .seriesde potencias, como ha- demostrado Ostrowski con los siguientes teoremas :

Teorema directo.—Supongamos que la serie de potencias

oc

¿ «v ¿' av — o mk < v < nk ( ¿ = 1 , 2 , . . . )y 3= i

«*> i + . e > i

mk

de radio de convergencia i, tiene una infinidad de lagunas (conjuntos de térmi-.nos de coeficientes nulos) de longitud relativa interiormente acotada. ' Entonces,la sucesión que se obtiene, limitando la serie al comienzo de cada laguna, conver-ge uniformemente en un entorno de todo punto regular de la circunferencia deconvergencia de la serie.

Teorema recíproco.—Si una sucesión Sm/t (z) de la serie de potencias

OO

/(*)== 2" ««s-«= 1

de radio de convergencia i, es uniformemente convergente en el entorno de unpunto de la circunferencia unidad, es

J(e)=g(¿) + h(s)

donde g (z) es una serie de radio i con lagunas que verifican la propiedad delteorema directo, y h (s) es una serie de radio mayor que uno.

El teorema recíproco de Ostrowski no es cierto ya en las series de Dirichlet,como prueba un ejemplo clásico de Bohr (3, a). Sea la serie

f(s)=Za„e-l»s l ' I

«ft que

X 2 > _ _ , = 2¿ , \,k = 2k + e-*k , a„ = (— O ' + ' -

Es inmediato ver, mediante la fórmula de Caben, que la abscisa de convergenciaesta serie es cero, ya que las sumas parciales para í — o son i, o. i, o ...Agrupando cada término de lugar impar con el siguiente se obtiene la serie:

./(.0«¿ (,->-.*-.*_,-*.**),= J£(, _-,--*<-'*),-'"" f2!

— 144 —

Si Ri(.y) > o, esta serie representa evidentemente f(s), y vamos a probar quef(s) es holomorfa en el semiplano R(j) > —• i y que la série [2] es absoluta yuniformemente convergente en el semplano R(i) > — ï.

Supongamos j interior a un dominio D contenido en el semiplano R(.v) > iy en el círculo Jl¡ <'M. Se tiene:

\\—e-se~ìk - * *

siempre que se tome k .suficientemente grande para que M>~2*O de donde2 .

resulta que la serie [2] converge uniforrnemente en dicho dominio, es decir, labanda o < R(J) < i es un dominio de hiperconvergencia de la serie [2],

Este ejemplo pone de manifiesto una doble diferencia del'fenómeno de làhiperconvergencia entre las series de Taylor y las de Dirichlet, ya que en las seriesde Taylor un dominio de hiperconvergencia no puede nunca contener en su in-terior el círculo de convergencia. Además, la sucesión parcial considerada en laserie no verifica la condición del teorema de Ostrowski; luego en las series deDirichlet pueden presentarse tipo.s de hiperconvergencia no lagunar.

Los ejemplos que se exponen en el párrafo siguiente ponen de manifiesto lacomplicación que puede alcanzar el fenómeno de la hiperconvergencia en lasintegrales.

2. Acotación de las integrales y los restos.—A fin de dar una serie de teo-remas que perimiten, en cierto modo, caracterizar las integrales hiperconvergentesvamos a exponer- algunas acotaciones- auxiliares.

Supondremos que la abscisa de convergencia de la integral

o<

/«-/ e-^ da(\)

es cero, pues a este caso se pasa por un sencillo cambio de variable (como se havisto anteriormente), siempre que dicha abscisa sea, finita.

Mediante una integración por partes se obtiene :.

X* í*

T(.y,X*)= I e-ì*da(ì,)=e-V*a(l) + / a(k)de~^ ( i )

( i ) Siempre se puede suponer i (o) = o, por lo que prescindimos de este término en 1° "isigue.

— 145 —

Por ser.cero la abscisa de convergencia, se verifica en virtud de la fòrmula[ 3 J , § 6 , Coni. I:

l «W j <^

pani X suficientemente grande cualquiera que sea s ^> o, y .siendo H una cons-tante conveniente que no depende de A. Teniendo esto en cuenta, de la igualdadanterior se deduce :

I (s , X*) I = ; <?-X*-< « ('/C) -f- -r j a (X) e~lsd\L <.

K*cHX*) ! e-\'° + \ s \ l \ o(X) | e~~>-*d\ < H ¿>-X'(0 - s)-f

O

X*

-f i s | H.[r-Ua-»<i\

.<•

acotación que es vàlida para A.*, suficientemente grande cualquiera que sea í

teniendo H y z la significación antes indicada. Ahora bien, si suponemos quefs un punto de un dominio finito D con lo cual ¡isty < Hi, y además para lospuntos de dicho dominio es R(s) = 8 < o, se verificará :

/.•

(a) | I ( J , / . * ) < H r r > > < - 3 - i ' * ) -f H. [en~9 + -'>(í'í\ =L/J-3-Í-S) -f Ht L^-a + ' ) ( / U :

H tfX*(-8 + s)f, 4 ' ' II ^ -3 +e J

^°r tanto, dado un dominio D con las condiciones indicadas [¿\ para X* sufi-C1entemente grande, se tiene la acotación

-~ log | 1 U , X * I |< — a - l - 3 [2]/.

que se .verifica uniformemente en D (S depende de e, u y Ht y tiende uniforme-mente a cero en D cuando A* -> ob).

' ̂ Más aún, basta para que la acotación sea válida que pani los puntos del dominio se verifi-que-a + s>0.

"A- »K IM RIJA;, A o < 0 ' M M I>K ClESCIAS. —1943. "">

— I46 -

Si suponefhos que D, además de las condiciones anteriores, cumple la de serinterior al dominio de holomorfía de f(s), se tendrá el resto (designando conAl = Max \f(sj\ :

| R (í , X*) = j f ( s ) - I (5 , X*) | < | /(í) | + | 1 (s , >*) | <

< M + K/'*(-3 + 8)

-¿-log R(J,X*) <-a + a [3]

Vamos ahora a obtener una acotación de los restos para el caso en que D seainterior al semipieno de convergencia de la integral.

Se tiene, en efecto, mediante una .sencilla integración por partes;

co

x) = É>-x'*«a*) + I «o.)00

/•R(s,~/*)= ï e-l.* d a (\) = e-V *«()*) -\- I a('t.)de-t-s

/.'* X*

y si tomamos valores absolutos, teniendo en cuenta la íórmula que da la abscisade convergencia, y suponemos que í es punto de un dominio f ini to D (con 1«cual es l -s1 < HI) y además para los puntos de dicho dominio suponemos qu;

es R(-f) = a > o, se verificará, lo mismo que antes :

•x

I R (* ,>*) I ^HÍf -^o-^+H, f*-K< 3 -» r f ) i j =

x*

==H.-^3-ofI+-l · i-?-lI s — a J

acotación que se -verifica uniformemente en el dominio Di. Por tanto, dado un

dominio D con las condiciones antedichas, es posible determinar un valor A *al

que para 1* > A. valga la acotación :

-'-log | K(s,\*) K-3.+ 8

De las acotaciones [3] y [4] resulta que para todo dominio finito D co>mp'e'lamente interior al campo de regularidad de f(s) vale la acotación

i . . . , T Í ]X*

log | R (s , X*) I < — o + -S

— 147 —

desde un valor de X* suficientemente grande. Basta, en eíecto, dividir el domi-nio en una parte completamente interior al semiplano R(s) > o, en que se apli-ca [4] y Ia complementaria en que, en virtud de la nota al pie de la página ante-rior, es aplicable [3].

Daremos ahora, utilizando estas acotaciones, una condición necesaria y su-ficiente de hiperconvergencia en un. punto de la recta de convergencia, de lacual resultan algunos teoremas que comprenden como caso muy particular algu-nos resultados de Ostrowski, Bouriön, etc.

i. Criterio de hiperconvergencia en un punía—Si al recorrer A el conjunto

ordenado ) X* | parcial del (o. co), converge uniformemente \(s, ).*) en un. en-torno D de un punto regular de la recta de convergencia de la integral [ i j , esdçcir, \(s, ),*), es Viip-erconvergente respecto de la integral, se verifica uniforme-mente en dicho entorno-. |R(j, X*)j -> o,-cuando ~k*—> co. Utilizando las acota-ciones anteriores, vamos a ver de qué modo tiende a cero ¡:Rj(í, A*)¡ . De la aco-tación (4, § 2) resulta que en el arco tttpn (interior al semiplano nip n (interioral semiplano R (s) > r¡ > o) que limita el entorno, se verifica :

j R(.?, >,*) j•<,-**N-«

Y como ¡R(s, X*)!i -» o- en D, es evidentemente acotada sobre el arco complemen-

tario m q n y, por tanto, se puede aplicar un lema de Nevanlinna-Ostrowski relati-vo al crecimiento comparado de vina sucesión de funciones en dos regiones desu dominio de convergencia. De él resulta que D se verifica:

log i R (j ;>.*) -| < - T X* (-rt — S)-+ ( « - ï) log K!

de donde resulta, para A* sufkitntemeste grande •.

| K(¿,-») ! <<•-*'** (a>oì

Peonías, esta condición es evidentemente suficiente.Resulta, pues, que una ¿ondición necesaria y suficiente pam que la familia

*-(s, A*) sea kiperconvPrffente en un entorno de un punto rfffular sihiado en larecta de convergencia de la intégral que exista un número x > o, de modo queen dicho entorno se verifique que pa-fa A* suficientemente grande :

\ U (*,/.*) l <*-*>.*

4- Condiciones suficientes de hiperconvergencia.—El método de la minima

— 148 -

mayorante armònica (3) nos permite en este párrafo obtener varias condicionessuíicientes de hiperocnvergencia para las integrales (LS), de algunas de las cua-les resultan como caso particular teoremas conocidos para las series de poten-cias, demostradas por diversos métodos por Ostrowski, Szegö, Lö§ch, Botirien,etcétera.

I,-—Sea la integral

c/D

/(j) = / í - X ' d a ( X )

de abscisa de convergertela, cero y tai qtte\

d i (X) = o para lz ,•_, <. \ <C /^ ;

siendo :

X2 ,->>,,,•_, (l +Ô) 6>o

Entonces ta sucesión l{.y, X2i*i) oonvcrge uniformemente en un cierto entorno àtiodo plinto reblar d'e la fundón f(s) situado sobre la rectq de cün^encjcnaa (4)'

Sea f(s) regular en un cierto entorno circular D de un punto P de la rectade convergencia. Sobre la parte C' de la circunferencia de D interior al semi-piano R(Y) > o de la acotación (4, § 2) resulta :

^-log | R (*,!,,•-,) K-0 + *''21

y en la parte complomentaria C" vale la acotación (3, § 2) :

-r-^—log|TUf,>., f-- ) | < — a + 3 ,A.J i _ ,

' log | R ( . v , X 2 , . _ , ) l < T-V +ï>^ ; i + O

(O Es tina Keneralix.iicirtn fundamental del principio de módulo máximo que utiliza como co

de la función, m ve/, de u n a cmi^tai i to , ima función armónica conveniente . Parece haber siHartón^ qu i en h i in ' roduoulo este fecundo método en el estudio de las funciones analíticas de

variables co n p l e j a ^ . Posier ormeiUe ha si o utilizado en muy diversos pioblemas por Carie'11

Nevanl n n > , ' 's row-ki , K^esx , Bo ir ion, etc.14) Ci'inn i 'oii 'prol ación de esli teorema \eape el ejeii'plo c) del í; f,.

— i4y

— 3La función armonica ¡f (a, T) que toma sobre C' el valor — a y sobre C" el

i -|~ Ôesmenar que —a en el interior de D, luego es negativa en P, y por la continui-

entorno suficientemente pequeño de P, será p, e-, menor que —-2 E, ydad, en uncomo

«i

log I Rti.ìi,,--,)

no puede tener otra» singularidades que las correspondientes a los ceros deR(f , X , , - _ _ , ) y 8 es arbitrariamente pequeño, tomando í suficientemente granderesulta :

.:- log j R (J, X,,-_,) |< — s

cou lo cual queda demostrada la hiperconvergencia en un entomo de P (§ 3,Coni. II).

Demostrado el teorema anterior, ocurre pensar si en el caso en que existenlagunas de dicho tipo se obtendrá, por simple descomposición de la integral enla forma indicada, convergencia, uniforme en todo el campo de definición de lafunción. Fácil es convencerse de que no siempre ocurre esto sumando a una in-tegral de la ï orma

30

I C-WafiO

que posea dicha propiedad la

Q

/e-\s d e-''-'

Para la cual el punto í = — fe es singular y está situado en la recta de conver-gencia. Resulta, pues, que eligiendo fe de modo que el semiplano de convergencia

e esta integral y el dominio de convergencia uniforme de la sucesión parcialelegida en la primera sean rampantes, se obtiene una integral en que los domi-

°s de hiperconvergencia y holomoríía no coinciden.Sin embargo, vamos ahora a dar un teorema en que se puede asegurar que

tediante el proceso de hiperconvergencia se obtiene todo el campo de regulari-dad de la función.

- 15° -

II.—Sea Ja integral

<x

= j /-<-' <la(

un

/(í) = j e-i' da(k]

tal que

</a(X) = o X ï f ·_ I<X<X,, · ; -.-^-=1 + 0;-»:«^•2 i — I

La jwfcsió« l(s, X2i+1) converge uniformemente en lodo recinto afotado comple-tamente interior al dominio de existencia de la función, que es siwAptem·ente co-nexo (5).

Sea un dominio simplemente conexo finito D, contenido en el dominio deexistencia y limitado por una curva de Jordán F sin puntos dobles y que con-tiene puntos de los dos semiplanos R(f) > o, R?(s) < o (si no se le suma urdominio conveniente conexo con él para que así ocurra).

Como en la demostración anterior se puede aplicar a la parte F' de la fronterá interior al semiplano R(J) > o,.la acotación [4], § 2):

--^-logl R (j ,> , ,_ , ) <-o + 8^3.'

y si suponemos qtie para los puntos de F' es — a < — a, resulta:

-1- log | R (s, x, ,-_,)!.< -̂ nr +âA.J,- I -j- 0,-

y en la parte complementaria F" la acotación ([3], § 2):

~ log | R (j, X,,-_ ,) l< -~r + §Xa ,• I + »i

y si suponemos que para los puntos de F" es — a < A, se obtiene :

log j R ( s , X.^.íK-—^— 4- ï-. - — c î | " v i ' - z i ~ ~ i / | ^- , -A., , i 4- í/

(5) Se comprueba este teorema en el ejemplo d) del § 5.

— '5l —

Aplicando el teorema de las dos constantes de Nevanlinna-Ostrowski re-

sulta :

log l R (s , X,,._ ,) |< xJ « <- a -j- í) -Hl - «) (-f+tf, + 5)j

y como 5 tiende uniformemente a cefo con , desde un valor / en addanteK2 i

será:

log | K ( j , ^ . - - > ) i <- s ' ^ f

con lo que queda demostrado (§ 6, cap. 1) la primera parte del teorema.Que el dominio de existencia f (s) es simplemente conexo resulta inmediata-

mente del teorema de Weierstrass y de haber demostrado que la sucesión deíunciones enteras /(j). converge uniformemente hacia /(s) en todo su campo de

existencia.El teorema anterior plantea el problema de ver hasta qué punto es posible

dar arbitrariamente un dominio simplemente conexo en el plano s. de modo quese pueda determinar una función « (X) de variación limitada en todo el inter-

valo (o, a) de modo que la integral

/ *-X'do(X)

Posea una sucesión parcial que converja uniformemente en todo recinto finitocompletamente interior a dicho dominio, que ha de .ser el campo total de existen-rii A~ JV _ \cía de f ( s ) .

III.—Si % A*) es hiperfom'oyente en un entorno de un putti o regula* de larecta de convergencia de la integral, I(¿, X*) es hiper.cowergente en un entorno su^fluentemente pequeño de todo punto regular de dicha recta; es decir, la hipercon-

vergenda en las integrales na es una propiedad loc<4.Consideremos un dominio finito contenido en el dominio de regularidade fr)

y que contenga un entorno del punto P, en que se va a demostrar la hiperconver-genica y tenga un arco F interior al entorno del punto o en que supone la hiper-convergencia. Sobre este arco F' se tiene la acotación ([4], § 2):

log | R (s , X*) K — « < oX*

y en el resto de la frontera de D :

— log J li (j-, À.*) I < — s -f 5

La función armònica en ü, que toma los valores — « sobre el arco F' y — asobre el resto de la frontera es menor que —• en todo punto interior, huyu cnegativa en P y en un entorno suyo interior a D ; es decir, en dicho entorno stverifica :

~- log | R (s , t*)

con lo que queda demostrada la hiperconvergencia en P.Este teorema se comprueba en los ejemplos del § 5, así como en los teore-

mas anteriores.Si a una integral que posea una sucesión híperconvergente que verifique las

condiciones del teorema I, le sumamos otra de menor abscisa de convergencia, laintegral obtenida posee también una sucesión híperconvergente. Ocurre pensarsi así se obtendrán todas las integrales con dicha propiedad de 'hiperconvergen-cia. En las series de Taylor así ocurre, en efecto, según ha demostrado Ostrcnvs-ki (18, b), pero ya en las series de Dirichlet la propiedad no es cierta, según haprobado Bohr en un ejemplo (expuesto en el § i, Coni. II).

Plantease entonces el importante problema de caracterizar clases de funciónés a (A) con las cuales sólo es posible integrales (LS) con hiperconvergencialagunar. De este problema damos una solución en la última Conferencia.

En los ejemplos a) y b) del § 5 se comprueba la existencia de integrales (L-5'que poseen' sucesiones hiperconvergentes sin que aparezcan lagunas de longiW'relativa inferiormente acotada en la determinante a. (X).

A continuación damos un teorema en que se define una clase de integra'les (LS) con esta propiedad.

IV.—Sea una integral (LS) :

v;

/(•')= í'-x • r f a ( W

que tiene una sucesión ipwrcial I(s, X*) que converge n ni f (nomment e en w'1

foimo de un .punto de la recta de convergencia, y, además, es tal que:

a) lliñ ̂ - = i ; f>) lim --?"-'- = o

— '53 -

Dictia sii-csión I (s, A.J) tiene (a misma propiedad en fado otto punto de toirr f a de convergencia y, por tanto, todos las puntos de esta recto swn regulares,

Probar la hiperconvergencia de la .sucesión l(s, A,¡), equivale a hacerlo parala série :

S P (s , X,). = S [I (s , X,-) — I (x, X,- ~.,)]

Para todo recinto finito del semiplano R(j) ^ o valen las acotaciones (2, § 2), ypor ser

I P (í., X,) j < 2 Max [j 1 (s , X,) j , | l .(í , K, _ . , ) J

y de la condición a) del teorema resulta:

~ log I F (s , X,-) |< — a -f i's"

Del mismo modo, en todo recinto finito del «emipláno R(-f) > o vale (3, § 2)

—- log i P (s , X,-) |< — a -f í* /̂

Teniendo en cuenta lo establecido en el § 3 y mediante el mismo razonamientoanterior, se deduce que en el entorno dei origen se verifica:

— log | P (s , X,) ! < - a < o^i

lomando la misma configuración geométrica que en el teorema I de estePárrafo, y con idéntico razonamiento, se deduce que en un entorno de cualquierotro punto de la recta de convergencia (ahora no hace falta suponer que sea re-gular) se verifica :

.--'-loK ! P( - r ,X , - ) K-s<o/

Queda, pues, todo reducido a probar la convergencia de una serie numérica:

y,-3x-

— 154 —

lo cual es inmediato, pues si suponemos E variable, ésta es una serie de Dirichlel.cuya abscisa de convergencia en virtud de la condición b) es cero.

5. CcMSfrnccion de ejemplos.—a) Comenzamos por construir un ejemplode una integral (LS) en que una. sucesión transfinita (6) de integrales parcialesconverge en dominio que se extiende más allá del 'semiplano de convergencia dedicha integral. Un tal tipo de sucesión hiperconvergente no es posible en las áf-ries de Dirichlet.

Consideremos la suecesión transfinita de puntos :

'10 ) ''1 ' ^2 1 ' • ' ) " • » • • • • • ) %) ! '-" 4- ' ) ' ' ' ' >" '" + " ' • ' '

siendo :

2 II I . 2 II — I -\- f ' ' - "^m (D \- u = '-/í ~T~ m 1 ^i n — ! = i '~j n = '.

2 n 2 n -{- e~'"

y definamos la función A = « (A.) de modo que esté representada gràficamente enlos intervalos abiertos (A.,,, ,„ 4.2 „ _ , , ~km «, 4.3 «) para ni =)= n, por un segmentoparalelo a la recta A = X É

>-(« + ") y en los intervalos cerrados

('*•/« O)-J-a » l ^•wO)4"2" l" ')

por un segmento paralelo al eje X, y con discontinuidades de saltos

g— (m 4- x) g— (m 4- «)

en los puntos X„, ,„ _¡_ 2 ,„._ , , X,„ ̂ 4- 2 « respectivamente ; y para w = ;/ tomamos

todo igual, .salvo la recta A = "A. e ~~ ("• + *) que es ahora A ='L y los saltos en lo5

puntos X.,, (u_i_, m _ , , A.,««)-f, m que serán + : y —'!. respetcivãmente. Además, setoma a (o) — o (7).

Se comprueba fácilmente que la función a (X) así definida es de variación lim1'tada en cada intervalo finito (o, a) y además es acotada para todo valor de ^y para X -* <x>.

La integral:

™/f(s)= <?-W <*(>,)

ífi1) Las definiciones y primeras propiedades (teoremas de Bolzano, Cauchy. etc.) de las SU'-siunes ordinarias, han sido generalizadas a las sucesiones transfinitas por P. Dienes (7).

(7) Se puede obtener inmediatamente una expresión analítica de la función a (k), pero no tie1

interés para nuestro objeto.

- ISS —

asi definida tiene abscisa de convergencia cero ; pues por no ser convergente (8)para ¿ — o, será C J> o, y se aplica la fórmula [i] del § 6 (Conf. I), y se ob-tiene :

c-iüS JS!LUWi<.^!Œo7, -+ oc /- A.

luego es C = o.Vamos a probar .que la sucesión transfinita de integrales parciales

Am (<J -f- a «

fr -X'r fa( i l ) [2]

o

<J sea la serie transfinita

^« m + » "i-

%i'[/'-'"HN« 1» -4- 2 * -

es hiperconvergente, es decir, converge uniformemente en dominios que se extien-den más allá del'semiplano de convergencia de la integral [i].

Poniendo para abreviar:

A.« (II +

1«.(-0= I e-'*-'

A.»l (II + 2 «

-'í' í/a ("M

Aw (IJ H~ 3 " ~~ L

esulta inmediatamente de la definición de a (X) para m 4= 11 :

/ , * » -1 \I«.(J-) = í-<"' + ")/'V"1"" a" ' +

,>M '" + * " -, L + ̂ ^±^~\I e-\*e~ (« + ») í /x_ í-(« + «)f ^ . - - f . - 2 " / _/+

Xm«i_|.2 ^ _ ,

/ , 3 « — 1 \ / »*(!»+'— C m i I * I

= ( i -f j)<- - ( « + • « > í v .2» ; j e-\s ji

' Esto resulta ÍTiinediatamente teniendo en cuenta que cc(l) tiene en los puntos

•*-(w(l>-f-:,''~1 i \„U>-(-,„S a l l ^ ^ v a l o r ^ l y „ ,

- 156 -

y para m — n, análogamente :

2 m U ni -f- ..— i m \_ / ._ ^m •_ \

],„„(,•) = (! +s)e r r "" ' l *>->.',//.

La cuestión es, pues, probar que la serie doble

yìm.(s)

que es equivalente a la serie transfinita [i] converge uniformemente en recintosque se extienden fuera del semiplano R(j) > o. El valor absoluto de un términode esta série es :

/ 3 » _ , \

,-('"- -77-)'

_ ( , _ . , (,„ i ±l=i)<.--(« + « ) < . v *" '

= A,,,,, < ( ï + I s I ) ^-(«4-«) r-- \ ' i 1/ 2 /; (2 M -f- í" 3")

4«»

donde hemos supuesto que s es punto de un recinto finito D completamente inte-rior al semiplano R(j) < — i ; es decir, R(j) ^ — i + ?,,}" la acotación es válidadesde un cierto valor de n en adelante.

Análogamente, para los términos de la diagonal de la serie doble se obtiene:.

( i -) (m l im~'\ e--m

• I L ,„ (s) ! = «,„ < d +•*) í " V ' '" ^ - 4 --,-

Resulta que :

ZA^^c+^jUr0-*-1^1^-/^, -(.-«\1-nf , « n L \ m ' J

I + ^ 'STi - » " — ( ' a) '" „ ' • l= i —'(-.('-*>'¿-¡e ' 4 w2

Mediante el criterio de Cauchy resulta ahora inmediatamente la converge1101

de la serie / , A,,,« así como la de la serie simple ï «„,; luego la sucesión tra'1

m n

finita [2] converge uniformemente en todo dominio f ini to completamente interi1'

— 157 —

al semiplano R (í) > — i, es decir, es hiperconvergente respecto de la integral [i j.b) Tomemos como función A = a (X) la definida en los intervalos (n, n -f- e-1*)

por un segmento .paralelo a la recta A = X y en los intervalos (n -f- e-nt n -f- i)

por un segmento de recta paralelo a la recta A = o, y tal que en los puntos n ten-ga una discontinuidad de salto -j- l y en los n -f- ^" de salto — i. Es decir, ana-líticamente :

para« — i

M < X <C ;/ -f- <— " a (X) =-= ̂ 1 e~ * — A/ -j- X -f- iI

»

« ~j- f ~ " < X <C w -f I a (X) = V" ¿>~- *

c) Tomemos como función a (A) la definida en los intervalos:

(f-{-e-'" , í"-'") .... «à)= ^y í--'*i

(f- + - , í -+ . -f , - * < ? + ' > ) . . . . ¿c/,) = y t r -^_ í - - l · - ._ |_x+ rt

d) Definamos la función a (X) del siguiente modo:para

H

ï1" + e- ''" < X < 2*"+ ' .... a (X) = ̂ í-j2*1

>' para

2«" + I <X< 2'"-1'1 -Kí-»'"1"1 .... a(X) = ¿*-'* - 2*"+I -f X-f i

v-on e] inisino procedimiento que anteriormente, se llega a probar que mediante ladescomposición de la integral se obtienen en estos tres casos xma sèrie hipercon-vergente en el semiplano R(J> > — I.

6- Algiínas cuestiones paira estuami-.—I. Como el recíproco del teorema destr°wski en las series de Taylor (§ i, Coni. II) no es vàlido en las series de Di-

ricWet ni en las integrales de Laplaçe-Stielt jes, se plantea, la cuestión de caracteri-^f clases de series e integrales en que valga dicho recíproco. Una solución de estaBestión se ha dado en nuestra tesis (27, e) y en nuestra Memoria (27, h); perolueda planteada la -determinación de la clase más amplia con tal propiedad.

U.—La cuestión precedente es caso particular de la caracterización dentro

- J58 -

de una clase de integrales de Laplace-Stieltjes de aquellas que poseen suce-siones hiperconvergentes (9) Se comprende que la solución de esta cuestión panclases cada vez más amplias debe conducir a la solución del problema general de kcaracterización de las integrales de Laplace-Stieltjes que admiten el fenómeno dela hiperconvergencia.

III.—El teorema II del § 4 plantea la cuestión de ver hasta qué punto es posi-ble dar arbitrariamente un dominio simplemente conexo D del plano s, de modoque se pueda determinar una función determinante « (A.) tal que la integral.

/<r-W<x(X)

posea una sucesión parcial hiperconvergente en el dominio D. Tal cuestión se en-cuentra resuelta en nuestra tesis (25, e) mediante la construcción de una serie deDirichlet de exponentes racionales que posee tal propiedad; pero en nuestro mé-todo puede ocurrir que la serie tenga abscisa de convergencia infinita. Tendría,.pues, un gran interés dar una solución en que la serie tuvkva siempre abscisa deconvergencia finita.

IV.—Una cuestión en cierto modo recíproca de la anterior consiste en la ca-racterización del dominio de convergencia uniforme de una sucesión parcial de unaintegral de Laplace-Stieltjes que posea la propiedad de hiperconvergencia. Algu-nos resultados a e.ste respecto se encuentran en mi tesis (25, e).

((>} Una solución de esta cuestión para una extensa clase de series dé Dirichlet se encue"en nuestra Memoria (25, h).

— 159 —

CONFERENCIA 3.a

SINGULARIDADES E HIPERCONVERGENCIA DE LAS SERIESDE DIRICHLET

i—Sabemos que en las series de Taylor / (.£?) — S ansn dada la sucesión'de coefi-

cientes es posible, al menos teóricamente, determinar la función f(s¿) en todo do-

minio de existencia.Ha sido Hadamard el primero que ha encontrado relaciones efectivas entre

propiedades sencillas de las sucesiones an la posición de las singularidades de f(z}.

En las series de. Dirichlet

/(.^«ila^-V

análogamente, dada la sucesión \ ltl ' y la \an \ queda determinada la función /(s) ;pero el problema de Hadamard es más complicado, puesto que ya no basta consi-derar propiedades de la sucesión { a,, \, sino que deben tenerse en cuenta también

las propiedades de |/v, [ .Asi habrá que considerar dos tipos de propiedades de los puntos singulares.

Aquellas en que influye solamente la j an \ y aquellas en que interviene la |/.„ \.Las propiedades del primer tipo, que pueden considerarse como propiedades ge-

nerales de las series de Dirichlet, son pocas.El deseo de generalizar otras propiedades de las series de potencias ha con-

ducido a limitar las clases de sucesiones \\„\. y dentro de ellas se han obtenido

algunos teoremas de gran interés.Dejando para la ^Conferencia 4." aquellas propiedades que dependen sólo de

) M, Darnos a ocuparnos aquí de las propiedades en que interviene la sucesión deexponentes U, |, más sin pretender hacer una exposición completa, sino másWen complementaria del profundo y bello libro de V. Bernstein, citado, que estáconsagrado a este tema y cuya lectura es altamente recomendable.

2. Se sabe que las series de potencias poseen al menos un punto singular so-bre la circunferencia de convergencia. Al tratar de trasladar el razonamiento paraprobar que en la recta de convergencia de una serie-de Dirichlet hay, al menos,UI» punto singular, se ve que falla, porque el conjunto de los puntos de la recta deconvergencia no es acotado y no se puede aplicar al teorema de Borei.

Un ejemplo clásico de Landau:

S ±11^ = (,_*-') 5 W

— i6o —

prueba le existencia de series de Dirichlet que carecen de puntos singulares sobivla recta de convergencia.

Más instructivo a este respecto es el ejemplo de Bohr, expuesto en el § i,Coni. II. Vimos que si en la .série de Dirichlet

/(.v) = £ «„ *-*.' [ i j

•*.,*_, = 2¿ , / 1 2 A =2¿+*- '* , a„ = (—•!)"+ '

cuya abscisa de convergencia es cero, se agrupan los términos formando la serie:

00

f ( s ) = ï (e-^t-t' - *-*>*•) = y (i - -= 2(1-*-"-*)'-*=t

se prueba que ésta converge uniformemente en el interior del semiplano R(-s) > — 'Resulta así que f(s) carece de puntos singulares sobre la recta de convergenciaR(.r) = o, y en lo que se refiere a la hiperconvergencia aparecen dos diferenciascon las series de Taylor, ya que en éstas el campo de convergncia no puede sercompletamente interior al de. hiperconvergencia y, además, en virtud del teoremarecíproco de Ostrowski (§ i, Coni. II) existen esencialmente lagunas de longitudrelativa, inferiormente acotada, lo-que no sucede en la serie hiperconvergente con-siderada por Bohr.

3. Abscisas de holomorfía e hiperconvergencia—Esto ha sugerido a V. Berns-tein (i) la introducción de las abscisas de holomorfía e hiperconvergencia.

Se llama abscisa de holomorfía de la serie

f ( s ) == £ a. e-ln' l'I

al extremo inferior H de los números h, tales que la prolongación analítica oe

f(s) es holomorfa en el semiplano R(¿) > o. Evidentemente, la función f(s) es no-lomorfa en el semiplano de holomorfía R(j) > H y posee puntos singulares ̂todo semiplano R(J) > H — E. siendo e > o.

Llamaremos abscisa de hiperconvergencia el número O extremo inferior ae

los números a, tales que la serie posee una sucesión de sumas parciales

/«*(j)=Za-í"x"í

(i) Loe. cit.

— i6i —

que converge uniformemente en cada dominio finito interior al semiplanoR(s) > <r. Si se consideran solamente sucesiones tales que

w ¿ 4 _ , — mk >.Wi+ilini — o ; Huí .- — o

*-*» '""* + I '-'"* +i

el número S, análogamente definido, se llama abscisa de hiperfonveiyencia es-trecha.

Se presenta ahora la importante cuestión de dar fórmulas, análogas a las obte-

nida, en la Con f I, que permitan, dadas las sucesiones \ ).„ i y } a» ! determinar losnúmeros S, O y H para la correspondiente serie de Dirichlet. Tal cuestión la re-solvemos en -la conferencia siguiente para la abscisa de holomorf ía. Para la abscisade hiperconvergencia no se conoce una fórmula análoga, en el caso de series ge-nerales de Dichlet..

4. Series de densidad maxima finita,-—V. Bernstein ha considerado una cla-se especial de series de Dirchlet, para las cuales ha demostrado teoremas muy pre-cisos.

Se dice que la sucesión 1 >.„ ( es medióle y de densidad D, si es

La sucesión \\,,\ se dice de dcnsidml máxima finita D si se puede construiruna sucesión medible y de densidad D, de la cual \ )„„ \ sea una.sucesión parcial,sm que sea posible considerar a ) X,, ( como sucesión parcial de ninguna sucesión«edible de densidad menor que D.

Si. \ >^H \ no puede considerarse como sucesión .parcial de ninguna sucesióninedible, cualquiera que sea su densidad, se dice que la sucesión ea de densidadmá.rinw infinita.

Se demuestra que la densidad máxima de una sucesión j 'i-„ | viene expresa-da por la fórmula

u (r\ — « (r a)1)== l im lim --•-•. ~^~

r ( i — ala —* x>

en 'l136 í!(r) «presenta el número de exponentes comprendidos entre o y r.La densidad máxima de sucesión nos da un límite superior para el número do

exponentes } 1H \ que se encuentran en intervalos de longitud creciente.Las sucesiones:

;) /s,* — 2 i- , >-2*+, = 2 k -}- e~ ' *r) '/.„»4 k = i/z -f k (T"' (L' — o . i 2 / / ; / / = i . 2

DK LÀ Rail. AotUKMI» OK ClESCIiS. —1943.

- IÓ2 —

son las tres medibles y de densidad i ; pero en la. primera los puntos están equi-distantes, en la segunda existen pares de puntos'.muy próximos y, en la terce-ra, los j X,, ( forman grupos que contienen un número arbitrariamente grandede puntos próximos. Para caracterizar la ¡manera de agruparse estos puntos,V. Bernstein ha introducido la noción de. índice de condeivsacíón-

La definición aritmética directa de este número es algo dificultosa; pero en elcaso de sucesiones medibles, el índice de condensación 8 es igual

í = "lim y log j .-~n->M l^n ^ I'V

siendo

Ci«) ( zì \i - --)

Kl

5. Series de densidad máxima finita.—El estudio de la hiperconvergencia ysingularidades de las series de Dirichlet de' densidad máxima finita puede ha-cerse mediante un método ya utilizado muy fecundamente (Le Roy, Lindelof,Carlson) en las series de Taylor. En las series de potencias consiste en admitirque los coeficientes pueden ser interpolados por una función y (z) holoniorfa enun cierto campo que comprende el semieje real positivo y en expresar las sumasparciales de la serie mediante la integral curvilínea:

J L _ f .-.Ki J

<p'(0) (— z)" d zsen.-K z ,„

Para adaptar este método a las series de Dirichlet se sustituye el sen trs por

la función

C(*) = l l ( i -5-)\ I*H I

El producto infinito que figura en el segundo miembro converge absolutame0'n

»ara cada z, si la razón'^n

Si se considera la integral

wte para cada z, si la razón - es acotada para « -> co.

'^M

i r <p(c) e-szdz]"l== "2T; J ~"""c~(z)

i63 -

tomada sobre una línea cerrada que contenga en su interior los puntos Xi, X2, ...,X«. Se ve fácilmente que Im representa la suma de los m primeros términos dela serie

/w-s4-wc (w

y se comprende que la integran In, permita estudiar la función f (s).Pero hemos dicho que la sonvergencia del produrto infinito C(") su;:ene que !a

nrazón es acotada.

'<<•*De aquí la idea de limitar el estudio a aquellas .sucesiones ] A,, í tales que

11lini -— — I) < oo que hemos hallado niedíblcs.

A primera vista ésta es una condición muy restrictiva, pero una observaciónaguda de Pólya pone de manifiesto que Va restricción es menos importante. Siadmitimos que puede haber coeficientes nulos, podremos estudiar series cuyos ex-

ponentes no verifican la condición lim = D, pero pueden considerarse cornu"'•»

sucesiones parciales de otras que la verifiquen, es decir, de densidad má.riina finita.

He aqui el teorema fundamental de V. Bernstein :fíacia. unta señe de Dirichlet

f ( s i = ̂ aHe •>-.' I2]

cuya abscisa de cmwergenda es finita y cuyos cx>¡>onfntes fonmn un» sttc-esiónmediile de densidad D una cmidición necesaria y suficiente para que la suma deto scric sea holo-nfrrfa en el sdgmVnto jtt < 1 del eje wiffgiiitiri-o, es que e.vista unafundón y(z), de wia variable compleja ?., hofantprfa c'n un steftor jarg •/.( ^ a y tal

Vic'- i) Qiiftlquiera que sea e > o, para r bastante (¡rande es:

.,, [('D - / , sen ü'l f e ] ' , , .I •*(>-£">) \<ei ' (\*t

n:2l -para ?a¡ja ^or entcro y ^Q ^(,

. f (X„) = a„ C' (X.)

Entonces la suym f (s) es isomorfa también en el triáwjulo de basc \ y cuyosa«0í, a ¡a izquierda del eje imaginario fortm con la base el atrffiiîo a.

— lf'4 —

Como consecuencia de este teorema fundamental, demuestra V. Bernsteinlos siguientes teoremas, que resuelven de una manera bastante satisfactoria lascuestiones relativas a los puntos singulares e hiperconvergencia de las series deDirichlet de densidad máxima finita :

a) iSi la sucesión } -\n \ de ía serie tiene una densidad wa.ramla finita D, yla fitina í(s) de esin señe no e¡s nina función e-tut'era de s cada soffute-nto de la raíade holommjla -R(s) = H, de longitud > 2 TT D contiene un punto singular def (s ) al menos.

b) La distancia máxima entre las rectas de cowergend-a y kol&nwfía es, ilo sumo, al índice de condensación.

c) Si para una serie de Dirichlet, cuva sucesión de e.vfwwntes tienen unodensidad nmxima finita, las rectas de conv er cf enfia- y holKntíorfía n-o se confini-den, la banda vertical, comprendida entre ellas, es una sona- de hip-cyconvergcmade ¡a serie, esto cst se fi·itède determinar una cierta sucesión de suwus parciales deía serie que converge wiifonneitfentp en dicha, banda.

d) Toda serie, cuya sucesión de e.i'ip·o·nentes posea una- dettsidad maximafinita, puede1 considerarse construida por un procedimiento que generaliza el uti-lizado por Boiir en su ejemplo, esto es, la\ serie está formada par grttpus de tér-minos cuyos coeficientes tienen una s^mia que difier\e muy poco de. cefr'ff.

e) El teorema, directo Ae Ostroivski (§ i, Conferencia II) vale \pwa el tipode series que á&n&ideWnws, sustituyendo la recta de com'er^ßiKia. por {a de ho-¡amorfía.

Los teoremas precedentes justifican el haber incluido en esta conferenciabajo un mismo epígrafe el estudio de la hiperconvergencia y singularidades delas series de Dirichlet, ya que el teorema c) de Bernstein prueba la importanciacapital que el fenómeno de la hiperconvergencia tiene en las series de Dirichl«1

de densidad máxima finita.6. Series de densidad máxima infinita.—El teorema de V. Bernstein que

demuestra que en las series de Dirichlet :

^axe— '-«•<

cuya sucesión de exponentes ; \n tiene densidad máxima finita, las abscisasholomorfía e hiperconvergencia son iguales, ha sido generalizado por el proP13

V. Bernstein a algunas clases Az series de Dirichlet, cuyes exponentes to'*sucesiones de densidad máxima infinita (2) y ha planteado la cuestión de sasi en el caso general la abscisa de hiperconvergencia (estrecha o no) debe sercesariamente igual a la abscisa de holomorfía, o puede suceder que aquejasuperior a ésta; y en es:e caso, :i al menos una cierta parte de la banda co

(2) L'bro citado, pág. 176.

- i65 -

prendida entre las rectas de convergencia, y holomorfia (cuando dicha banda noes nula) es seguramente un dominio de hiperconvergencia de la serie, o puedesucder que ninguna parte de dicha banda sea un dominio de hiperconvergenciade la serie (3).

Nosotros hemos resuelto este problema (27, i) de V. Bernstein, demostrandoque en las series de fìirichle'

V¡ a„ É—>-«'"

cuya yuwsión êe exiftonenies \ A„ j tiene deiidéfid máxima- infinita fa abscisa dehipertìonvcì'ffencia (csh'ccíia o no) \fntede sfer mayor 0 imitai qtte la de h&loìnorfia.

Demostraremos que hay -tres tipos distintos de series de Dirichiet, cuyas su-cesiones de exponentes poseen dentidad máxima infinita: o) No .hay hipercon-vergencia en ninguna porción del semipiano de holomorfia; fr) hay hiperconver-gencia en todo el semiplano de holomorfia, y c) hiperconvergencia en una bandaparcial 'del semiplano de holomoríía.

El caso b) es el único que se presenta en las senes de sucesión de exponentesde densidad máxima finita estudiadas por Bernstein.

Vamos a demostrar que para la serie

/(¿)==T'(_i)"+I '- ' log" [i]

cuyos exponentes A„ = log n forman una- sucesión de densidad máxima infinita,se verifica :

— *3 = H < B = S = C = o

Como para JT = o, la serie \ 11 se reduce a la

v:V,

q«e no es -convergente, podemos afirmar que C ̂ O. Y la clásica fórmula deCahen (4) nos da

! w '

l o g i c i — »""' i

C < lim -^- - = o— ,„-., x log in

lu«go (¿~ç>

(y Ksta cuestión se encuentra así planteada en el libro de V. Bernstein citado, págs. 193-194.

W Véase, rv e., el libro de Bernstein ci lado, pig. $•

i66 —

La abscisa de holomorf ía es H — —• oo porque f (s), es una función entera (5).Para demostrar que • S = O = o bastará probar que cualquier sucesión par-

cial de la serie numérica

oo

¿V !)" + •,/« (6)H = I

obtenida haciendo en [i] s — a es divergente cualquiera que sea el número areal y positivo.

Mis aún, basta considerar los valores de a tales que O < a < i, puesto que enel razonamiento precedente no intervienen más que los valores de a próximosa cero.

En efecto, para las sumas de orden par se tiene, si suponemos O < « < i :

m '" r / i \ai.v.,,,=.— y f(2 «)« — ( 2 n— i)°i = — y (2 «n i — ( i =—, J —, L \ 2 * / J

= - T(2//)a

-—'« — \

a a (a — i ) t a (a — i ) (a — 2)

2;/ 2 ! (2 «)* ' 3 ! (2 w);j8 -•]<

C_ »',/)« — =*- B 2«-' V '

luego

2 « ^ w1 - ««= i

lim sìm = — oo.

Para las sumas impares análogamente resulta :

lim ,íaw+1 = + coni —> OO

(5) La demostración se funda en Ía relación

/(í)=.(i-a»-')C(*)

(Hardy-Kies/, The general '/'heart of Dirichlct series, pág. io). Más stncillo es observar quesum« de la serie

¿«=o

(— i)" e~as

es la función :—-— holomoria en el origen y aplicar un teorema de Hardy, que «s caso P

tioular del teorema II du este párrafo. Así se prueba también inmediatamente que la función -.\ss regular en todo el plano, salvo un polo simple en el punto s— i.

(6) Que esta serie no es convergente es evidente, pero no basta para nuestro objeto.

- i67 -

Resulta, pues, que una sucesión parcial de s.n tiene límite -(- oo si consta sólode sumas pares ; límite — oo si sólo tiene sumas impares y carece de límite en elcaso general.

De aquí resulta que la serie [i] no puede tener ninguna sucesión parcial con-vergente en los puntos considerados, luego S — O — o.

Como vimos que H — —• oo, C = o resulta que la serie [ i ], es una seriede densidad máxima infinita que pertenece a la clase o), es decir, tal que no pre-senta hiperconvergencia en ninguna porción del semiplano de holomorfía.

Por camino análogo se demuestra que para la .serie

&<t(s) = Zi(— i r+•'->"'«— i

cuya sucesión de exponentes es :

/ .„„_ ,= log H , )..„ — l o g v |- {e"1 — e-"-'1}

se verifica:

_ac = H = O = S<C = o

Finalmente, la serie

oc

KV)=.2 ".<•-"'"* w«= I

cuyus exponentes son

X , . _ , = log« , Xa_. = log»í-f í~- — e '

i' tas coeficientes

(— i)"+'a a „ _ , = i -h - , « 2 »= i

f/

P^tttiece al tipo c), ya que es:

— ac = H < S = O = — i <C = o

lizam'ara el estudio de la hiperconvergencia y singularidades de estas séries uti-I0s el método siguiente :

— i68 —

La función denida por la integral

Fu)= i e~'(~- /)'-* d t

en que el contorno de integración C, parte del punto del oc y recorre el eje realpositivo, da una vuelta en sentido positivo alrededor del origen ,y vuelve al in-finito por el eje real positivo, es una función entera de s, porque esta integrales uniformemente convergente en cada dominio finito (/). Para la función multi-forme

(— ty-' — íX ' - ' i i -K í -» )

se toma la determinación de log (— í) que es real para í real y negativo).Si hacemos l — é>- x, resulta

;,..- j e-¿*(— j-y—',/.1-

pero como el integran es regular, salvo en el punto .v = o, se puede poner C envez de C', en virtud del teorema de Cauchy, y se obtiene

i t>~¿*(— .r}'-' dx

c

I e~* (— .t-y-' d x

ò

y por una sencilla combinación lineal resulta inmediatamente :

t H* (.r•)(—xy~' í/.r

^(.0=—-

/,-<(-„

representación que es válida para todo valor finito de .s. Ivsto nos permite [27> >el paso de propiedades de las series en que los exponentes son X„ a series cuyos e*

(7) E. C, Ticthmarsh-The theory of functions. Oxford, 1932, pág. 149.

— 169 —

ponentes son e'/.», con lo cual llegamos a demostrar los siguientes teoremas quedeterminan las abscisas de convergencia y holomoríía de algunas clases de seriesde densidad máxima infinita.

l.—Sea&z

¥ (-v) — ̂ a« í""7-"1 [5]

mía serie- d-e densidad iná.ri-nta infinita tal que la sucesión } e^* { sea m-edible yile densidad à v tal que

- Jogj^^t -*• M ^»

£j condi-ción suficiente patto- que la serie [5] admita iena, sucesión fardai hi-$ eremi/vergente en todo el plano que exista ivna fiiwcion $(s) holomorfa en unsector :

itl arg s \ < a < —

2

y ¡al que verifique quœ en este sector para s\ = r suficienternente grande y porPequeño que sea e > o, la fundición

i, — r\(l — ^</)sen I 8 l — î\ ,\·^(reí")\<e L J , !>T.d

V que aâenna-s para todo valor de n sea:

^(/») = «M("(^) , siendo C^^U^--—^

II.—Con las mi-sìttas hipótesis del teorema I, una condkión sufiàente fttragite fa serie: [5] tenga ima abscisa de holonwrfîa H ~— e«, es que exista mafunción ^(z) kolo-nwfa. en un sector:

l arg .; I <_ a < —2

V verifique en él por pequeño que sea cl numera e > o y para r suficientemente(fonde la condición-.

*(.— r](J — ~ J] sen I fi l — =1 ...^ . ,

'rfV) \<e [ , l'/>-¿>o]

— ivo —

y que para iodo valar Je n se verifique:

$ (/») = a„ C' (¿-)

siendo :

00 / "ï

C(s) = II I--7J-» = .1 \ í A·"

5. Se observa que los teoremas precedentes han permitido obtener las abs-cisas de hiperconvergencia y holomorfía de la serie

00

^ (i,,e— >-»s

mediante propiedades relativas a la serie:

NT1 -/ ( I )

2j an e '•»

en que { XJ,1' = e^" } suponiendo que la sucesión j 't^ } sea inedible o, más ge-

neral, de densidad máxima finita, pero si j /J„ } no es de densidad máxima finitay si lo es la sucesión

U->-¿"¡una aplicación reiterada de los teoremas precedentes permite pasar de las propie-dades de la serie :

x I :'^.'· — 1('!>,-

/L "« e k" '

a las abscisas de la hiperconvergencia y holomorfía de la serie:

ce

>>.<-*"•« —I

y, en general, de la

N? -•,'*>« x:1> a„ e- '*» ' a la > «„ e—^»'*_« = i

— 'T 1 —

Los teoremas análogos que generalizan los I y II se enuncian fácilmente.Se plantea entonces la cuestión de ver si mediante este proceso aplicado un

número finito k de veces se podrá obtener de tal sucesión ; \n \ de densidad má-

xima infinita una sucesión\ A,/*.'¡de densidad máxima finita. La contestación a esta

cuestión es- negativa (27, f)./ . Algunas cuestiones a estudiar.—I.—Acabamos de ver al final del § ante-

rior que nuestro método no abarca todas las series de densidad máxima infinita,quedando, pues, abierta la cuestión del estudio general del problema de la hiper-convergericia en dichas series. Tal estudio debería preceder al del problema ge-ntral de la caracterización de las integrales de Laplace Stieltjes hiperconvergen-

tes. (Véase § 6, Coni. II).II.—Sería interesante ligar los resultados aquí expuestos a las series de Di-

nchlet de densidad máxima finita y de densidad máxima infinita con el siguien-te teorema de Bohv (3, a) demostrado por métodos muy diferentes de los de

Bernstein y míos :Sea la serie

X

/»=2Xf~x*

cayos exponentes verifican la condición

¡niíJ^-=L< + «/,.

mientras que sus coeficientes a„ son ¡aies que

nsJ^--L< + «ï*.

S^nos que f(s) es holomorfa y de orden fMto k en «» cierto „ñufla**%) > „, entonces se v*ific* g»e la abscisa de hiptrconvergenaa es.

o + *L

i + *

III.-E1 teorema e) de V. Bernstein (§ S) Pintea la ™M ̂ .^** - teorema análogo al recíproco de Ostrowski para las senes de I*nch et d^nsidad máxima finita en las condiciones que se expresan en d.cho

"* e) (§ 5).

- 172 —

CONFERENCIA 4.a

SOBRE LAS SINGULARIDADES DE LA INTEGRAL DE LAPLACE

i. Hemos estudiado en la conferencia precedente las propiedades de pun-tos singulares de las series de Dirichlet que dependen de la naturaleza, de la su-cesión de ^Á) onentes \ A,, j . Ahora vamos _ ocuparnos de propiedades en que noinfluye la sucesión ¡A.,, ¡. Tales propiedades que pueden considerarse como de lisseries generales de Dirichlet, se extienden sin' gran dificultad a las integrales deLaplace-Stieltjes, y de ellas vamos a ocuparnos en esta conferencia. Al ñnal da-mos un. teorema que permite extender a las integrales resultados del primer tip",lo que tiene bastante interés, ya que to'dos los teoremas conocidos que se refierena la recta de convergencia como cortadura esencial, son de dicho primer tipo.Siguiendo una nomenclatura clásica (que,algunos han invertido), a la función f(¡\definida por la integral

«

/'i.v) = j f-'».•• ¿itiI'M

la llamaremos generatriz, y a la función a(\) determinante.'¿. Condición necesaria y suficiente de regularidad en un [»into de la rcc^

de convergencia:—Si la intégral

j*>f (s

M

s\ = I e~'>-s ci a ("/.) .

cmwerge para /?(s) > o, es necesario y suficiente farà que el punto s = o sfa >e'guttert que sea:

Hm Klí)".í„= I '-'•'/A (X)

I \ H I

- 173

donde es

0 < !>- < IS, < i i o < ^ < /„'

<•« 5»? jn es un número real postivo arbitrOrwinente pequeño.La idea sencilla para llegar a este criterio de regularidad es la misma del cri-

terio clásico de Hadamard para las series de Taylor. El desarrollo en serie de po-tencias de la íunción f(s) en el punto s= i es :

00

± (7 , \« r-^~~L~ /u , , ) ; /(« ( i ) = (_ !,- X- «->• ¿ a (A)

«='o » ' J

y la condición necesaria y suficiente para que el punto 5 = 0 sea regular, es queel radio de convergencia de este desarrollo sea mayor que i ; es decir, según elcriterio de Caitchy-Hadamard :

f' • ao " ~~

-^— ¡ \" e-~í<ta(k)\<n\ J ;

l'ara obtener el criterio en la íorma del enunciado basta descomponer la

00 f i 00

fx"í -X¿a(X)= f+ f4- f =A„ + R» + SM

o a f n

y utilizando unas acotaciones de Ostrowski (22, f) se prueba íácilmente que

_- i / | A „ + B „ llim I/ <. i ,

» -*• ço J/ « !

"e lo cual resulta el criterio del enunciado.

3. La abscisa de holomorfía.—Llamaremos abscisa de holoworfía (i) de laintegral

00

/(5)= jV*'rf«(X)

(') Esta definición habido introducida par=) las series generales de Dirichlet porW. Bernstein^1! a).

— 174 —

o de la función /(¿) definida por ella, el extremo inferior H de los números /itales que f (s) es holomorfa en el semiplano R(j) > h.

Résulta, pues, que f (s) es holomorfa en el semiplano R(-r) > H, que se llamasemiplano de holomorfia, y posee necesariamente puntos singulares en todo semi-piano RO) > H — E (e > O).

La determinación de dicha abscisa tiene gran interés en la teoría de la pro-longación analítica.

Vamos a deducir una fórmula que determina la abscisa de holomorfia siempreque la abscisa de convergencia sea finita (2).

Si la abscisa de convergencia de la integral

f(s)= e-PdAdì)(,)« JV^S,

es finita e igual a C=|=o, hagamos el cambio de variable: S = -f -j- C, con lo quela intégral se transforma en la:

ex

/f - ^ ( M - O r f A ( n )

cuya abscisa de convergencia es cero, la cual, si ponemos

X/•e-t'dA(p.) = <i(\)

o

adopta la forma :

00

f(s)= (Vx*da(X)

o

cuya abscisa de convergencia es cero. Basta, pues, considerar este caso.

(ï) En el caso de qu* la abscisa de convergencia sea — M , ésta ts también la abscisa d« ll0'lomorf ia; pero si la abscisa de convergencia es 4- «o , la fórmula expuesta no es vàlida. Que Pue

ter finita en este caso la abscisa de holomorfia, se comprueba en la serie siguiente:

S(— i )"«-"'*->>«'tiendo:

X2n — 2« , X 2 „ + 1 = 2 t f - j ~ i

Se ve así que la abscisa de convergencia es -f- M , y '« serie obtenida agrupando los términosíndices 2 n, ï n -J- i, define una función holomorfa en semiplano R (s) > o.

— «75 —

Si í orinamos el desarrollo en serie de Taylor de .f (-s) en cada punto y = k -f- ¿T(fe > o), el radio de convergencia será una f vinci ón r — r (y) ~ r(k, T), y la abs-cisa de holomorf ía serà :

H = k — hm inf r (k , -} — /fe — p (/fe)— 00 <T<00

En efecto, desde luego f(s) es holomorfa en todos los círculos de centrosfe -f *T y radio

p — lim inf r (k , T)— « <~ < «

y, por tanto, en el semiplano R(s) > fc-p.Además, dado E > o arbitrariamente pequeño, existen círculos de centro

l< -\- ir y radios p < p-(- F, luego en el semiplano R(s) > H — e existen puntossingulares de f (s) (los situados sobre las circunferencias de centros k -f- ir yradios p).

Queda, pues, reducido ei problema a la determinación de esta {unción r(k, T).L·l desarrollo de f (s) en .sèrie de Taylor en el punto y es :

» /. r\„

/M-Z'-^-T^Wrt==0 ^ •

donde es :

/<• (7)=(_. i)» r x- c >.•( c/«(x)D

y según el criterio de Cauchy-Hadamard resulta :

r (* , - e )= - -1 /""" "*Hm If ~~ I x·í ' -^rfo W

Teniendo en cuenta una transformación de Ostrowski (22, f), a la expresiónai">terìor se le da la siguiente forma práctica:

k,-(*,t).= -—__-

lim y \ M, , !

— 176

donde es

Í <'-*•">•

H -^keVri\ke\"„= M J ¿->.<* + '•-> ¿ a (X).

~k d - IV)

siendo

o<!A<l*'x < i ! °<1J-<1)-"»

donde /M es un nùmero arbitrariamente pequeño.4. Funciones determinantes monótonas.—El criterio del § 2 tiene, un gran

interés teòrico en sí, pero además la idea fundamental de dicho criterio permitedemostrar algunos teoremas precisos, como vamos a ver a continuación. El si-guiente teorema de Hamburger (13) es una generalización de resultados análo-gos demostrados, por Vivanti para las series de Taylor por Landau y Bohr paralas series de Dirichlet.

Teorema—Si A(ty es real y monòtona asciente y la abscisa de convergenciade la integrai

C*

•W-//(5)= ¿>-WA(X)

es C = o, el punto s —o es singular.

Si el punto j — o fuera regular el desarrollo de Taylor :

/w=t -^/'"(o - S ̂ —^ <- •)" f» -> " * wM = 0 " • H f O M • J

debe converger para algún valor a < o.

Pero se tiene:

oc

/(a)_ jriir^ll f(-~x)",-x¿A(X) =n=t=o % • J

o

00 OOr * (a __ t)« r= Í-X i , (— W"^A(X)= ^ - a > ^ A ( X )

J » = 0 » • J

- »77 -

va que la inversion de los signos de sumación e integración es lícita, porque laserie

V (° - O" . - v,-fc 2^—,'--<_,).ft — Q fí •

es uniformemente convergente encada intervalo fijiito o <! í < 0 < oo y la serie

2-Í1V-- IW.-WAW« == o " • ,/

es uniformemente convergente en o < O < oo, pues, por ser monótona A(X), tie-ne como mayorante la serie :

*, (i —o)- r'„-íí-J "

00

¿-^^- I X-P-^a(X).

Resultaria, pues, que la integral

K

r-^3¿a(X)/•

seria convergente para valores o- < o, lo que es contrario a la hipótesis C — o ; lue-go el punto s =: o es singular.

El caso de ser a(X) monótona decreciente, se reduce al anterior cambiando els'gno de «(X).

5- Fundones determinantes periódicas.—r<wem«.—St fa gpiwratris </<(X) de¡o integral

OD

,=JV.F(j)= í-X'//<j.(X)

^««e d período a, es decir, es <¡/(X + a) = f (X), /o fundón P(s) w e/ cocienteí'wa función entera por i-z~as, esto es F(s) tiene, a lo sumo, cmno singulairi

^s los potos s = ± -^^ (k = o, i, 2, ...)a

• DB L\ RBAL ACADEMIA DB CIBMCIAS.—1945. 12

- i?» -

Por ser \[¡(\) de variación acotada, debe ser acotada en cada -intervalo finitoy por ser periódica, debe existir un número M. tal que para todo valor de X sea:

| v^ I <M

Esto prueba en virtud.del lema I (§ 6, Coni. I), que la integral convergepara o- > o.

Si hacemos el cambio de variable X'= X- f - a , resulta:

's) = I e- '>•'! e" * d $ (X' — a) = f- > í e ~ >-'•' d •!> (V — a) =

5 «

X)

= e** I e-'^'díf^')

i.

de donde:

CK «

f (s) e-<"= i e X *,/ ^ (>,) — I í- X » ¿/ (J, (1)

K ' O

luego, como la función

a

K(*)= ^-».'rf^X)o

es entera, resulta :

f (j) *-«'=/(*) — K (j)

es decir:

E (.v)

como se quería demostrar.Este teorema viene a ser una generalización parcial de un notabilísimo teo-

rema de Szegö para series de Taylor. Sea una serie £ c„ x" cuyos coeficientesólo pueden tomar uno de los valores diferentes del conjunto f ini to

¿, , ti,, . . . , dk

— 179 —

P (s)Esta série representa una función de ¡a forma si los coeficientes for-

I — z"man una sucesión periódica. En los demás casos la serie es no prolonga-ble (3, a).

6. Fun-clones determinantes holomorfas.—Ya hemos aludido en el § 5 (con-ferencia III) a una serie de resultados de Leau, Faber, Le Roy, Lindeloí, etc., re-lativos a las series de potencias S#(»)£", que deducen propiedades de los puntossingulares de éstas, de ciertas hipótesis de holomorfía y acotación de la funciói.g(z). Por ejemplo, el teorema de Leau afirma que si g(z) está definida en todos

los puntos £ = — (>i — i. 2. ...) y es holotnorfa en un entorno del origen la función/;

/ > \F(.r) = Ï£- U ,rv

\ v /

tiene como único punto singular el ^ = i. Este teorema ha sido1 objeto de unaimportante generalización por Ostrowski (22, g}. Sean A(X), B(í), funciones de"ixtrìación acotdéa en cada intervalo pancia} de (a, co), (b, <x),'rtesfyetiviMim0nte, y•fa la integrfil

e '>*</ :\ (I.)

coni-ergente para R(s) > a, a > — oo ; sea además g(z) para o < z < — con-

tìnuay

M

g(s)= I z'. d B (í) (b > o)?;

«^Dovente para |zi¡ < ß, (ß > o).kn. estas àmdicìchies, la integrai

¥(j)= | ,i; |lj f '-^^ACM

7>

e* wvuergvnte potrà R(s) > a y es prolongable a k las-go de cada camino que noc°rte a si tnifmb, a lo largo del cual sea f (s) prolongable.

— iSo —

Pero si g(z) es uniforme y regular en un witomw del oriycn, es pis) pr-obn-gaì'ìe c lo ¡argo de todo camino finito (aunque se corte a sì inisnïo).

(.'(.ino caso especial de este teorema pxieden considerarse algunos resultados de"Widder (31), y el siguiente teorema de Ostrowski que generaliza un importan-te teorema de Cramer (7).

Si G(z) es una función írctnMmde-nte etitcra qnc pam un k ^ o v cada núme-ro E > o verifica la acotación

I C'(z] \ < - f ( * + s ) l * l

en el rcrinio \¿, ^ RE, 'y la integral

K

f ( s ) = I r-WA(A.)

tiene >tita absfida de co-iwergfticfa finita a, la integral

oc

GÍ).}e-i*dA(l}

tieti-e utia- al*$ci-$a de convergencia, ^ a ~{- k v es prolancßible- a lo lanto d,e (^caniitu) L completamente a distancia- finita, y tai qu-e f (s) sea- regular en todos lospuntos ctiya distancia a L sea ̂ k.

7. Composición de singularidades—En forma sugestiva (aunque poco pr£'cisa), el teorema de Hadamard, relativo a la composición de singularidades deseries potenciales, se enuncia asi: ¡os tínicos puntos singulares posibles de lo í"'1'don represen fada por la seríe\

^<j„ b „e-""

ífon los flutifvs qiif se pueden poner e-n Ja fc»*i»a a -\- ß, m que a es un pu-nt° sin'gufar citaiqw^-m de

I.aHe-*'

V ß n n ptrnto singutar cualquiera de

I.b„e-"'

Este teorema no .se puede generalizar sin restricciones a las series de Dit"10"

— i8i —

como prueba el ejemplo siguiente; Tomemos XM = log i; y a.» = l\ = (-— i)*, conlo que ambas series son.

.. (— D"

y la compuesta es S — que, si el teorema fuera cierto, debería ser una funciónas

entera, ya que aquéllas lo son.En el campo de las series de Dirichlet, las extensiones posibles de este teore-

ma han sido estudiadas profundamente por M. Mandelbrojt (21).Independientemente, Widder (31) ha generalizado también el teorema de

Hadamard a las integrales de Laplace-Stieltjes, n'o detallando aquí los resulta-dos que pueden estudiarse en las memorias originales antes citadas.

8. ¡ntcgnics que tienen la, recta de fiPHWPffWifia corneo ca-rítíd-uní eswicial—lin las teorías de series potenciales y de series de Dirichlet se dan varios teore-mas, en qve de ciertas hipótesis se deduce que la circunferencia y la recta de-con-vergencia, respectivamente son cortadura esencial. Tal caso tiene un interés es-pecial, porque entonces deja de plantearse el problema de la prolongación ana-lítica.

Con el fin de caracterizar clases integrales de Laplace-Stieltjes con dicha propiedad, demostramos a continuación un teorema que permite asegurar que unaCodificación pequeña de infinitos intervalos de la función determinante de unaintegral de Laplace-Stieltjes

X

r/(*)=• <r-Wa(>.)

n° altera el conjunto singular de la función /0).Si se toma <omo función «(X) una función escalonada, la integral se reduce a

utia serie de Dinchlet, y el teorema permite entonces deducir de cada clase deseries de DiricmV. ana clase de integrales con el mi sino-con j unto singular. Lo?Bremas que se refi< ren a la influencia de los coeficientes sobre las singularidades°e «na serie de Diiichtet.se generalizan mucho más fácilmente a las integralescil)e las propiedades en que influye la sucesión de exponentes j A„ (. For ello tie-ne 'iteres este teor -ma, ya que permite generalizar resultados de este segun-^ tipo,

'••—S(ia ìa integri] de abscisa de convergencia nula-:

f(

00

. v ) = í í - W a ( K ) \i]

— l82 —

y confici efdfvsos la s «f esió n monótona infinita creciente } /in} i al que

— log ;/hm —-— = o

» —*• 00 |t

Tienen el mismo c'ßtujunto singular g«e f (s) facto-s te funciones

^x

if(s) = l e~ï>'iiï(L)

en que A(X) = a(X) — /3(X) verifica las siguientes condiciones:

a) í/ A (X) — o para )i, „ _ , < X < ;t.2,

b) lim log A (X) <C -\- °° siendo ;¡,2 „ <^ "/-. <C ¡«-3 « -f j|i2

ic) Hm log l A (¡j.., „ ) — A (m,,+ t)

»-» |Xj„

d) um log (¡A, „ f , — Us » ) = — =«->« m„

En virtud de la. hipótesis a) se verifica :

= 00

/W

00 !'-J " -t- l

-<f(s)=*fe - '"ti A (X) = ̂ [ í c~ '• 'd A ('A = Z *« (J)

" " - !^»

y el teorema quedará demostrado si probamos que esta serie es absolutamente

convergerle en todo recinto finito del plano j.Mediante una integración por partes, se optkne :

',J-2" + l

; ó, (.f) I = \ t lsd.\ (L) < \ c- ^»-M* A (|jL„,-.f. ,) - e~^"s A ( f x , H ) +

U.J,,

\i-. „ +1!'-L " -t- l

-f- í í A (X) e-'^ti'L < 1 A ()...,„ 4 ,) (e ' ^"^ s — e~ ^'] s) \ ~\-\ J

l'-S » + 1

_|_ j f ~^»- T [A( t ) . 2 „ + 1) — A u x 2 „ ) ) l + , J I A (X) í- ).-'í/X;

Hj«

= ! />- <» I 4- 1 í- ^) l -r I r, (.f) |

- i83 -

Para el primer sumando se verifica :

|A ( J) =| Al ,x 2 H + 1 H* *--""*-' -

= A (¡>.2,.^'j\lí

y si suponemos JJ| <. R :

l*2« + ,

f- '• •' t/ /. i

/,„(,) K A (,x2„ + I) • R ' ^" + 'R(!>-2^.-¡^

de donde, teniendo e, cuen-t la condición & y las fc) y O resulta la convelenda absoluta de. la serie W) (3) en todo círculo ft < R, cualquiera qu -a R.

Para el .segundo .sumando resulta inmediatamente la misma «^™^niendo en cuenta la ,ondicióo c), y para el tercer sumando vale la «guíente

acotación :

14« +1i - , - / • / ' ^ I c I /.1-"A'a ( ' ) , „ + i — !'••'") Máx I A W'".W 1 = í í-*'A W//. <-. I -r I ' ^ - ' - + - V t w î^<^ f f + 1

y si suponemos ¡sr < R:

r „(s) I < U f l X 2 " + l R ( | J · 2 « + ' —I1»yij,; < X < 14 n-t-1

an-^ donde, teniendo en ctltnta las condiciones b') y d) «sulta, lo mismo que a-'«, la convergencia absolute de la serie Sr»(J) en todo círculo á < R, cualquie-ra que sea R , -

Como indicamo, al principio, el teorema anterior se aplica a genera izar^ a««tas clases de integrales propiedades de las series de DmcMet en que influye^ «»cesión \ Xn \ de exponentes, pues entonces resulta que una ̂ A^ ^«a de ,a función escalonada *(A) = Sft, en sendos entornos de los puntos de

/,»0^ntinuidad no altera la distribución de los puntos singulares de la fu^10^

Asi, como generalización del conocido teorema de Fabry-Landau (4), resul-la el si?»;'guíente:

'3' Basta aplicar una fórmula de Valiron.4' F- Carlson und E. Landau.

— 184 —

H.—-Sed wtu serie de DvriMet Sane—X«* de abscisa de • cowveryeiKia milaqite verifica las condiciones

lim ~' = o ; HtrT (),„ _X„ _ , ) = £ • > o» —>• K> / « » 00

Tietoien la recta de convergência como cariadura espiteìdt todas ías integrales:

x=/,,,CO

'.j/1.v i = j e >•' í¿ a. (t.)

taies que

« w — 2 a« = A wx«.< >.

rarifica fas etniciidmues a), b), e) d) del teWewxu I, siendo

Ih « < ^ < !% « -r ,

Puede parecer que- las condiciones œ)> &), c), d~) son impuestas por el me-todo seguido para la demostración, pero no son 'necesarias para la validez delteorema.

Sin embargo, se demuestra fácilmente que si se prescinde de condiciones deitipo a), b), e), es decir, si nos limitamos a suponer la existencia de lagunas (in-tervalos en que í/«(A) = o) en la función «(A), sin hipótesis sobre el comporta-miento de a(\) en los 'intervalos no lagunares, no ,se pueden dar teoremas qtie

aseguren que la recta de convergencia sea cortadura esencial.Observemos, finalmente, que en el caso de partir en el teorema de la f"n

ción escalonada

a ÍX) = 2 a,K*<X

es decir, de una serie de Dirichlet

Z*.*-1"se puede prescindir de la condición

T— log ;/hm _..__ = o

« -* « ¡A,

- '»S -

Basta tener en cuenta (5) que para cada serie de Dirichlet

*£<>„£ 'L"s

de abscisa de convergencia nula se puede determinar una sucesión j X„ (, de modoque ia serie

v ò „a „e-l» *

es absolutamente convergente en todo recinto finito del plano, y entonces aco-tar lus .sumandos

mediante los valores absolutos de los.temimos de esta serie, para lo cual bastamodificar ligeramente las -condiciones b), c), d),

9. Intlegriafas sin punios singulares ¿obre • la recta de convergencia.—G. Doetsch, en su obra "Theorie und'Anwendung der Laplacesche Integral", se-ñala (6) que no ha pido dado en la literatura matemàtica un ejemplo de-integral deLaplace que defina una función analítica que no tenga ningún punto singularsobre la recta de convergencia de la integral.

Ejemplos de series de Dirichlet, con dicha .propiedad, son conocidos, y va-mos a demostrar cómo utilizando el teorema expuesto en el. § anterior, resultanclases de tales integrales (no reducibles a series, de Dirichlet) que poseen la pro-piedad citada.

i)e un teorema de V. Hern-stein (7) se deduce el siguiente, que resuelvefede luego la cuestión.

II.-—Sea una serie de Dirichlet

ínS

™W sriicfsioii de c.vponcntes frasee densidad máxima, f mita c indice de concfen-Mcióii 8 > o, y cuyas abscisas de cwnvrffcncia v holomorfìa no coinciden. Todastas ¿iifrr/rafí-j;

r?p(.f)= e-i* (/*(/*)

'5) Caben,(h) pág: 46 y apêndice.(V V.Henis te in ,

— Í86 —

talcs que

a ('•} — 2 "» ~ A C'-)A,,<>.

verifican las condiciones «), £>), c), <í) de tcorc·ma I, siendo

|'-2 n <. >-,, < !'-3 ,, + .

ticii^n' abscisas de convergència y holowíorfifí d fsísmics.Inspirado en este teorema damos a continuación vin ejemplo efectivo de inte-

gral de Laplace-Stielt jes, cuya sucesión de integrales parciales no .se reduce a lade sumas parciales de una serie de Dirichlet, y tal que la función analítica querepresenta no posee ningún punto singular 'sobre la recta de convergencia.

Definamos «(A) del siguiente modo :

para ;/ + e~ " -^ \ <C n -j~ i ' , « Q-) ~ o

para ;/ < / .< / / -j- e~" , a (X) = i -)-'/. — //

La integral

00

f ( s ) = I f- '--V/ail)

tiene abscisa de convergencia cero, lo cual puede vèrse directamente, o bien apli-cando una fórmula clásica de Pincherle. Como la función «(X) no es escalonadalas integrales parciales de esta integral no coinciden con las sumas parciales oeuna serie de Dirichlet. Se tiene:

" -t- '•

/Vw«{>.)= y[c-"-e-(-> + '-v)*]li + -}.1 -~, \ -x I

o

Si ])robamos que la serie

X"1 r — v » / _ . v , n / . !

> \ e — e - ^ - ' ' •"'

converge uniformemente en todo dominio finito interior al semiplano R(s) > . •'

- IS- -

quedará demostrado que la función qite ella define, es la misma f (s) que define

la integral {2], carece de puntos singulares sobre la recta R(j) = o.

Se tiene, cualquiera que sea s (8):

,-*•_,-(v + .-'J'S

,- v .< . . ,-te l ( <

e-~

Si ahora suponemos, que i\ < R tomando v suficientemente grande para

que sea

queda ;

,e~'

- v , , v + . - v ) , . _ i , + . 1 ; < i , - v , i . , - . 2 ( . + K )

es decir, los términos son desde uno en adelante, »tenores en valor absoluto a

los términos de la serie de Dirichlet :

^2(\ + \<}e~'' e~'''

cuyo campo de convergencia es el semiplano .R(*) > - i - Heñios, puespvoba-do que en todo recinto finito infer ior al semiplano R<*) > - i - ^ ser. (3) con

vcree uniformemente. .Como complemento señalamos a cominuación mi ejemplo efectivo de una m-

tegral que „o se reduce a una serie de Dirichlet. en que la recta de convergencia

e> cortadura esencial.

(8) Utilizamos aquí la siguiente acotació

| e- — f~ I < I e=

Resulta del siguiente modo:

1 c- -.fz'\~\ ¡f \ . \ e--'' — i |.<

on, válida pura todos los valeres de 5, ¿:

\*-*' !

3 — Z . }* — '•

. !=-= ' - ' + -'—TÍ—-*- TT + ...] <

<; <=' I - U - =' i [( * -

2 '._ + .... = | í= ' | . |*-«'l • « '

— i88 -

Definamos «(A) del siguiente modo: .para valores de A tales que

2" -f" f ~ '" í? ï> < 2" ~ ' i a W = °

para valores A tales que :

i" < '/. < 2" + *-2" ,- « (X) = A + X — 2"

Del mismo modo que en el § i se prueba que la integral:

c/:r

j (s).= í ¿-"W «(A)

tiene abscisa de convergencia igual a cero y todos los puntos de la recta de convergencia R(s) = o son puntos singulares de la función f(s).

io. AlguoifKs cuestiones a estudiar.—Ya en el estudio de las singularidadesde las series de Taylor, se observa la falta de una teoría de líneas generales biendefinidas, sino que más bien estamos en presencia de un-conjunto de resultadosdiversos demostrados por los caminos más variados.

Sólo un .número ¡nuy corto de tales resultados ha sido generalizado a las se-ries de Dirichlet y a las integrales de Laplace-Stkltjes-, existiendo aquí un cam-po extenso para intentar dar resultados análogos a otros conocidos en las senespotenciales, o resolver por nuevos caminos 'problemas análogos a los allí plan'teados.

Hemos destacado el interés de los teoremas relativos a la recta de convergen-cia como cortadura esencial, que sólo de una manera indirecta hemos generali-zado. Además- de la bibliografía particular citada en el curso de esta conferen-cia, se consultarán con provecho las merorias de Hille (15. a, b).

— 189 —

CONFERENCIA 5.a

PROLONGACIÓN ANALITICA POR REORDEN ACIÓN

i. Vamos a ver cómo la reórdenación puede ser un método de prolongación ana-lítica de series funcionales que poseen un campo de convergencia absoluta, dando unejemplo de serie de Dirichlet, en que mediante la simple alteración del orden desus términos se logra una prolongación analítica de la función definida por lamisma.

Sea la función analítica f(s) definida por la serie

¿iW) I']

que suponemos tiene un cierto dominio de convergencia uniforme D (en el cuallas funciones <pn(¿) son analíticas) y además suponemos que tiene un dominio deconvergencia absoluta Di, que será una parte de D. Consideremos la serie:

S<PÍ(^ [2]

cuyos términos son los mismos de la serie [i], pero en distinto orden. En el-do-minio de convergencia absoluta DI, la serie [2] converge uniformemente hacia'a misma función f(s). Por el principio de prolongación analítica, la serie [2]representará la misma función f(s) en todo su dominio de convergencia unifor-me D2, el cual puede tener-una región externa a D. En este caso la serie [2]«ectúa la. prolongación analítica de la función /(¿) a dicha región.

2- Esta posibilidad la demostraremos a continuación de un modo efectivomediante un ejemplo de una serie de Dirichlet:

j*J/(.c)=y«,,f-^ [3]

^Ue -define la función f(s] en el semiplano R(¿) > log 2 y de la cual, por reordena-C1°", obtenemos una nueva serie

2>,,^>-< [4]

— 190 —

que representa la misma función en semiplano R(j) > O, es decir, que efectúala prolongación analítica de f(s) en la banda

o < R (s) < log 2 .

Consideremos la siguiente serie:

f-.< -j_ f-" — g-1 — e~" -j- e'-''2* 4- e~2S -+- e~ 2S + ?~™s —-e~*s —

L2!—-Y- 3•< — e-** — e~-s -f. -\- e~"* -\- e~"s -\- + e~"* —

¡ 2 " -

— £-""4-

La sucesión de sumas parciales de esta série es :

e-- , 2 f--< ,e'\ o . . . . . . , *•-"•>•, 2 í-"v

(2" — n í>-"- f, , o , . . . .

y se ve inmediatamente que converge uniformemente hacia cero en tocio domi-nio finito interior al semiplano R(-s) > log. 2, pero no en el exterior.

Alterando el orden de los términos resulta la serie :

e~s — c~s + e~s — e~s 4- e~ïs — L'~*' + e~"¿< — e''s 4~ f ~~ 2 í ~ ^~ z í ^"

-f í—2 J- — e~ *s + . . . . . -)-*>-«* — £-"•'• -f- -f- í>- » •' — í- - " * 4-

cuya sucesión de sumas parciales es :

e~~s, o , e~s, o , , e~ " •", o , f~ " - ' , o , o ,

que converge uniformemente hacia cero en todo dominio finito completam"1

interior al semiplano R(.Í) > o, pero no en el exterior.Abreviadamente, clesignarcnu. s. la primera serie per

«> f iV*„r~>.< ^

- ig t —

y la segunda, obtenida alterando el orden de términoSj por

00

2«-'^'-" [»I

Ninguna de estas es una serie de Dirichlet, pues los. exponentes están repeti-dos y no forman una sucesión monótopa creciente.

Consideremos los números sn definidos -del siguiente modo:

-2»-M _ u

La serie :

Z^-^ [9]« ^=1

es absolutamente convergente en todo el plano, pues:

2 s„ f~^"' I < 2 I 2^(2'" + '4'11 2"'+1 ̂ '

)'a que los exponentes Xn son :

/*2"' + l — n = /*.,>«+t o ^3 == t*¡"' + ~ — J :== '"

La serie :

y^e-^ + ̂ ' [io]

en una serie de Dirichlet, ya que sus exponentes forman una sucesión monótonacreciente, pues sj xn = X,, + , ; como es E,, < es + i se verifica

>•«-(-e« <K,.M + s» + 1

• c°nio E B < i, resulta también

X. + e,,<X. + 1 +->.,

— 192 —

Ahora bien, la diferencia:

¿ a„ e- '"'- + s-> ' - J; *„ ,->.„< = ¿ «„.[í <>- + ~) ' - ,-X, '] ["

es una serie absoluta y uniformemente convergente en todo recinto finito deiplano, que define, por tanto, una función entera de s.

Se tiene, en efecto (i):

f an [e-u**+*¿ - — e~*"'\ ! = <•->-' j . . î»s — i <

y, tomando n suficientemente grande para que ,supuesto ::s\ < R, sea:

í3" '' ' <i 2

resulta :

a, [e-n-' + ̂ '—e-i*"'] \<2\ e-'1"' \ . s„ . R

y, como según hemos demostrado, la serie [9] es absoluta y uniformemente con-vergente en todo recinto finito del plano s, resulta que la .serie [ i ] converge tam-bién absoluta y uniformemente en cada recinto finito s < R.

Resulta, por tanto, que la serie de Diriçhlet [io] tiene como .semiplano ('e

convergencia el mismo R(í) > log 2 de la serie [7].Consideremos, la serie:

^a^g-^' + ̂ ' t12!

en que los coeficientes a'„ y los exponentes X'n son los mismos de la serie [io|en distinto orden ; es decir, que la serie

^^y^-'v-f*,'

• ' rif(que no es una serie de Dirichlet) se ha obtenido mediante una reordenacion u

la seriev a e~ ̂ » + ;") •'UH "

(\\ Se aplica aquí la siguiente acotación, válida cualquiera que sea el número con'P •(Véase nota al pie (S^ Conf..]\'):

! C---1 \< \z\ c ] z l

- H>3 —

Lo mismo que antes resulta :

yv^..-,—_ £ ,,,—•' = 2>„,^ ^:+-v_,-x.-]

y comú la serie (g\ es absolutamente convergente en todo el plano lo es la

C£N\,r->,/<

y podemos afirmar que el semiplano de convergencia de la série [12] es e'.mismo-R(j) > o cíe la série [6].

Pero como la sèrie [ib] es absoluta y uniformemente convergente en el se-miplano R(s) > log 2, resulta que la sucesión de sumas parciales de esta sérieY de cualquier otra obtenida de ella alterando el orden de sus términos, conver-sen uníí.ormefnente hacia la misma función en dicho semiplano y. por el prin-cipio de prolongación analítica-, la suma que nos da la serie en la banda° < R(í) < log 2 es la prolongación analítica de la función f(s) definida mediante'a serielle Dirichlet i io] convergente en el semiplano. R uf) > log 2.

Hemos visto cómo de la serié de Dirichlet

^a,,e -0·»"+5*)·>

se obtiene, alterando el orden de sus términos, otra serie

V>« efectúa la prolongación analítica.

3- Series de Dirichlet de¿f»'de>Maas.—^\ fin de poder precisar en cada casoalcance de este método de prolongación analítica, vamos a estudiar las pro-

piedades de convergencia de las serie» que se obtienen de una serie de Dirichletiterando el orden de sus términos.

Tales series las llamaremos series de Dirichlet desordenadas, y son del tipo

y*.«-*.'V "> I . S - R K A I , A o » D Í M l A UE ClBSCUS.—H)4J.

194

en que los A.n son número reales que tienen como límite -(- co, pero que, en ge-neral, no forman una sucesión monòtona (2)..

Supondremos además que la serie

V <—-X„

es uniformemente convergente en todo recinto finito interior al semiplancR(X> > o.

Tal co'ndición se verifica, desde luego, en el caso de las series de Divichletordenadas. Se tiene, en efecto :

W ?£' /»

21 ,-U'--i _ f-w-'o) — y i i*- - .g \ I>•» 4-1

f " (•>• : s») ff u

 _ ,.->-«•+1 R < • < -•<»>]

de donde resulta inmediatamente la convergència uniforme de la sèrie [-1 en

todo recinto interior al semiplano R(S) > R(í0). ya <iue para los puntos de di-cho recinto es | J — s0 '| < k, R(s — .?•„) > o. luego

2 <;_>.„(,f-Jo)_ X„ + ,(-•-.-v<-7/ I'

,->-+I"]_>-o

En las demostraciones de las propiedades de las series desordenadas (lue

(2) Algunas propiedades que se exponen a continuación son aplicables a tipos nias ^eneï;' <-5

Je «ncesiones de exponentes. Podría hacerse un estudio más general de las series de Dn''c"' • i i '

desordenadas, clasificando las sucesiones de exponentes j >.„ j en tres tipos; A\ la sucesión -, '•>> >•es tul que lini"/ . . , = oo ; R) la sucesión j }.„ ¡ es acotada; C) la sucesión ] }., \ tiene como f11

l í m i t e el i n f i n i t o y otros. Aquí nos hemos limitado a considerar las sucesiones de t ipo A) c

vistas a las aplicaciones que nos i i i tc re- in : el estudio del t ipo B) es senc i l lo ; en cambio, el es tui -ilei t ipo C) presenta serias d i f i c u l t a d e s .y ú n i c a m e n t e a lgunas propiedades re la t ivas a la congencia absoluta han sido estudiadas por Hohr (3, h).

'9õ —

no exponemos (3) interviene de modo esencial la condición ( 2 j , , y la importanciade esta condición se confirma en un ejemplo que damos más adelante.

I.—Si la serie de Dirkìifct desordenada

£ «„e-'*«' l ' I

conwnjc en cl punto s„, convcitye en todo piati o s tal que R(*j > R(&a) y ade.más la Mnwngc'iiicia es uniforme cn cada, f.ad n to finito coiniptffctiiiifntc interioral semipleno "72(s) > R(sa).

En virtud del teorema anterior, la clasificación de los puntos reales en puntoade convergencia y divergencia determina una cortadura y define un número reala, con lo que queda demostrado el siguiente teorema:

II.—S'í ima. serie d'f Diricìitct desordenada tiene juntos de c-oinwyeiifia \divdrgatcin, existe un punto real a tal que la s w t f converge en el senni planeß(s) > o ' v dnvrye en cl semi-piano Rl(.s) < a.

Cuir.c consecuencia c'.e 1 y II y de un teorema clásico de \Veierstrass. resulta-III.—L'na serie d'c Dirichlet desarbolada rv\pr(\*ciita en su slemipimio de con

l'fn/citcm una función analitica, itfffittctr \ la scríc puede s¡er demuda thnn'ii-o ïtermino en diclw dominio

-s:f M ( s ) = (—i)·']?allÜe-ï·»i

n -- • l

Como indicamos anteriormente, la condición [2]. que juega un papel eseiv-«al en nuestras demostraciones, no es superflua, ya que si se prescinde de elk'alian los teoremas anteriores. Consideremos, en efecto, la serie de Diricluetdesordenada :

X1 (— iY'*1 r !> -... —, - / . „> [3]^i~~!\ n

siendo

't.., „ = log los (2 ") ) ''-i " +1 = 2 " + ï

Jes(le luego lim A,, —.oc . pero la condición \2\ no se verifica. La serie convergee' punto S m o. ya que se reduce a'la

X

n -~ I ;/

."> l i ieje verse en nues t ra Memor ia (27, l i ) .

— iy ( ) —

pero no converge en el semiplano R(/) > o. Basta para'llegar a esta conclusiónobservar que la serie desordenada [3] se puede obtener restando término a tér-mino .de la serie de Dirichlet ordenada

00y i ,-(,„+„,

la .serie de Dirichlet ordenada:

X

Z, 2 n

y que el semiplano de convergencia de la primera es el R(/) > 0 (4), y de la se-gunda es el R(f) > i ; luego la série [3] converge en el punto j*:= o, y no con-verge en la banda o < R(-f) < ï.

La propiedad de existencia de un semiplano de convergencia absoluta val«para tipos de series mucho más generales que el considerado, pues es una con-secuencia de la acotación.

! "„ /•-->-.«•< | < | ,/„ i - >-«•'„ si K \s] > R l-O

que, como se ve, se verifica cualquiera que sea la sucesión de exponentes.Podemos, pues, enunciar:-IV.—Si una serie d-e Dirichlet d coordenada, coiiwxrge abMiit'(t¡nc.nt-e par s = SL

convefffc abdotutomenie.para todo punto Sj, tal que ^?(si) > K(s0}.V.—Si Mía sfffie de Diríciilet de ordenada ti&n-e puntos en qii-e caiiisergc abso-

lutmtwtttf y otros en que no convergí abwlutanwntie, ç.vis t e un nunwro ß *ö/

que la, scric c-Qirvéyye absolu twmc-ní e en cl sffmipkiito R (s) > ß \ no converge ^'solutameiitc en el seniiplcnio R (s) < ß.

Para obtener una formula que de la-abscisa de convergencia agregamos a 'a

hipótesis [2]'la siguiente:

(4l^•»•n

VI.—Si la abscisa de convergencia de una serie desordenada e.s « > o se v 'rifica:

i "log;^>_ a,,

'j.< lim - - - ' . ' -t- -t- oo 'T

(4) Esto î'tsulta i iuncLl ia tnmei i t e aplicando la clásica fórmula de Calien,

- 197 -

Para fa abscisQ de cower gitela absolut ha de una- strìe de Dirichlet desorde-nada es

$< fim.log 2>«

La demostración es análoga a la anterior.En el caso particular de ser

• — ' log /t r .lim —~— = o i i

se puede dar una fórmula más precisa para la abscisa de convergencia. En estetaso, sin utilizar las condiciones [2] y [4], vamos "& probar que las abscisas dtcuimvryyncia ordinaria y alìsfoìnta de mm sene de Dirichlet dfsofd-enada cuyos ex-poni'nt'fs z'crifiMn la condición [()] viene cPada for ¡a ^ór-mula :

ß = «=TnTi l°-8j.?"-l [ia]

Desiiti hii't/p, en las scries potenciales no es Cosible obtener prolmit/ación ana-"<¡ca por r c ordenación, ya que el recinto de prolongación analítica sería un círcu-lo concéntrico con el de convergencia, y esto es imposible, -por existir un puntoAngular sobre la circunferencia de convergencia. Únicamente se puede obtenerconvergencia en algunos de divergencia de la cirícunferencia de convergencia.Pero esto tiene escaso interés (5).

Observemos que para que la serie desordenada obtenida a partir de una se-ne de Dirichlet ordenada sea convergente en un punto, el término general debetender a cero; es decir, la prolongación analítica por reordenación de una serie

e oirichlet con semiplano de convergencia absoluta se podrá obtener, a lo sumoen todo el semiplano en que el término general de la serie tienda a cero, campoV1« es, a lo sumo, el semiplano de convergencia absoluta R (s) > ß más la tenda

ß — / < K ( i ) < ß

W Obseivemos, de paso, que hay aquí una cierta analogia con el método de sumaoión de10i el cual puede ser un método de prolongación analítica de series de Dirichlet y, en cambio,s series potenciales sólo permite obtener convergencia en algunos puntos de la circunferencia

ae «nvergencia.

— 198 —

siendo

— log ILl = hm —^—

Esto es, una consecuencia de la propiedad siguiente:Vili. Si cl térniuw n-mno de la serie

V.Ur->-

tiende a cero en un punto s<> cuando n -> oo la scric es absolulmiicmìe couvaycnte en el semi-piano

H (s) > K (i„) + /

siendo

— lOg 11l == ¡un —i-2—

Supónganlos que dado un número e '> o arbitrariamente pequeño desde unw ¿or de » en addante :

| a,, e— i-» '« | < s.

Dado 3 > o arbitrariauunte pequeño, se verifica desde un cierto valor n e"addante :

log ;/</.„(/-f —2

lue ir o8*-

a„ e~ > . » ( -<«4 - /+ò ) | < E £.-/.„'(/ + 0) <; ./+ò 1/4. À , '

". T M /JL.A

Resulta, pue.s, qne jj e/ srmiphmo. de ('cuiwi-c/cncia absoluto de là seres cl R (s) > /j ci campo de prolongación analítica por reardcnación es

snmo¡ cl seinipfoiro R (s) > /3 — 1.

a /"

— I9Q —

Obtenemos así la. propiedad de -que el campo de prolongación analítica porreordenación en las series en que es l — o (entre las que están las series de Tay-lor) es nulo.

Un sencillo ejemplo hace ver que no siempre es posible obtener por reorde-nación prolongación analítica en toda la banda ß — ? < R (s) < ß. La serie

X CCx1 ' x^> > ,, — .(/«<~-¿~zt

n ~ l " n — l

tiene como semiplano de convergencia absoluta ei R (s) > l y la banda en que

el término general • -» o es la definida por la relación o< R (s) < i. Siniis

embargo, ninguna reordenación puede dar una serie que converja hacia la misnia función en un semiplano más amplio que el R (-ï) > i, ya que, según es sa-bido, ç] punto í = i es singular para la función

•v"-! l

Z (-0 = ¿ —í=i «'

kn el ejemplo expuesto en §2, se puede comprobar la aplicación de las propiedades anteriores, viéndose que se logra en él la prolongación analítica por re-ordenación en toda la banda en que el término general de la serie dada tiendea cero.

Cuando la serie de Dirichlet dada no tiene semiplano de convergencia abso-luta. no es posible asegurar que la nueva serie converja hacia la misma funciónanalítica. Un caso en que puede afirmarse la convergencia hacia la misma fun-c'ou es aquel en que existe en la nueva serie una sucesión parcial que coincidaco" una sucesión parcial de la primera,

8 4- Mediante la consideración de series de polinomios, sin campo de con-vCrgencia absoluta, se puede.ver fácilmente cómo la alteración del orden de lostei¡niños da lugar a distintas funciones límites. Un ejemplo es el siguiente-.

Consideremos el conjunto numerable de todos los polinomios de coeficientesfirmales complejos :

\\ (r) , P, (s) , , P„ (*) ,

-' suPongamos que sea:

Max | \\ (s) \ = M„, - ! < »

Formemos ia sucesión creciente de números /in del siguiente modo :

¡i., = li (M, -f i nó i . ¡i, = Max [¡i.; 4-1 ,1- : (M, 4- 1 1 j

;).„ = Max [\>:„ _ , 4- i , K \M„ + lì]

Pongamos ahora

P,,'Í5)0,,U'1 = ' -

;/ ¡x„

con lo cual resulta:

Max ¡ (),,(2) \ = ~^-< —I 3 I < « ~ n V-n ~~" fi

Formemos ahora la serie:

IÜLu. o - Ui w -t- Qi i-) - Ui p) + •••••• + y. (-) — yi (-; +

L21^4- ya < • • ' > — Q-i (-) + Q, (>i — oa («) 4- . T . . , + o, (z) — o., (^) 4-

L'J^+ o„ (s) - o„ (Ä) + Q„ (Ä) — o„ (s) 4 - . . . / . + y.» («) - y» (s) +

Desde luego, la serie converge uniformemente en todo recinto muto dei P'a-

no, pues sus sumas parciales son :

Q, , o , O , ,o , O;, ,o ,0 , ; , o ,

y, p. e,, en el círculo &\ < n se tiene:

i y» (-) i ^ — . Q--, o-» i < —— -;/ w + i

(6) Con esta notación indicamos parte entera de M.

— 201 —

Veamos cómo reordenando la .serie anterior se puede obtener una nueva se-rie unifórmente convergente hacia cualquier función holomorfa f(z) prefijadaen el interior de su recinto de holomorfía D.

En virtud del teorema de Runge-Hilbert se puede formar una sucesión depolinomios p- (s~) que converge uniformemente, en el interior de D1 (que supo-nemos contenido en el círculo \g < k ) hacia f (2), es decir, que sea

!/(*)—pvWK-^ir

Inmediatamente es posible determinar una sucesión P«, (z) parcial de la Pn (3)con la misma propiedad anterior. Basta para ello observar que si los coeficientes(racionales) de P„v (s) difieren en valor absoluto <ie los de /v (#)• en menos de ese verifica :

| P B v ^) -p>) l<£[ ' 4 -M 4- + I ¿ I M ]

luego tomando

iS<~(m~+^)k'"zV + r

resulta que en el círculo \g\ < k se verifica :

P-vW-P^WK-ïHFr M

es decir, podemos determinar los polinomios P»v (z) de modo que sea

| /(*) - P,,v (z) \ < -±

Consideremos ahora la serie:

Q., (z) - Q., (r) + + QK1 (z) - Q., (2) +

+ Q-, W — Q«, (*) + + Q«a (*) - Q», («) +

-f Q„»W-Q-,(*)+ +Q.*W-Q-*(«) +

Por estar contenido el recinto finito D en el círculo- \z <'k se verifica, suponiendo nv > k:

Max | Q (¿) < l

l * l ' < * v w..

luego, como las sumas parciales son Qn , o , Qa , o , ... Qn , o , ... resulta quela serie converge uniformemente en, el interior de D y la misma .propiedad tienela serie fqrmada con los términos de la [i] que no figuran en la [3], la cualdesignaremos abreviadamente por serie [4].

Se tiene;.

P„» P (¿)-f(¿)+J(s) ?(*)-/(*) ,Q« (*) = •

«v V-n^ «v I^v «v H.%

+ irV-/w = A">)"+Tïr-/(*)«., |)-»v «v |i«v

Con esto la serie [3] se descompone en dos series, que designaremos abrevia-

damente :

%- A„v (g) [5l

S —— /(*) ==/(2) S —i- W«v l\ »v ll«v

La [5] és absoluta y uniformemente convergente a D, pues se tiene, en vir-tud de [ 2 ] :

u {¿.. - . l ?«»-/(*) l < »1 ^ W l ~ «v ¡S < ^ »w M„v

y el número de términos iguales a A.,̂ (2) es «. ^„ .La serie [6] no -es absolutamente convergente, pues el número de término

iguales a

f M/ (£)«v li,, J •

f ' M

es ;̂ |i„v .

Podemos, en virtud del teorema de Riemann, reordenar la serie de terrino0"

reales il de modo que su suma sea i. Entonces la serie [6] en esta or

»,. Is-:

— 203 —

nación convergerá uniformemente hacia f(s) en el interior de D y la [5], comoera absolutamente convergente, en esta nueva ordenación seguirá convergiendounifórmente hacia cero. Luego la .serié [3] con dicha reordenación convergeráuniformemente hacia f(z) en el interior de D. Sumándola término a término consu complementaria, la [4] resulta una serie que es una reordenación de la [i]y que converge uniformemente en el interior de D hacia la función .f(g).

§ 5. Con objeto de resolver para una clase de series de Dirichlet el proble-ma de la caracterización de las sucesiones hipercónvergentes, señalado en la 'Con-ferencia II, vamos a exponer algunas propiedades de las que llamamos series depotencias deáard&iiadas, que son del tipo

w

2__ an z^n

en que los números X^ son enteros positivos tales que

lim XÄ = oo« —*• 00

pero que, en general, no formarán sucesión monótona y pueden existir númerosrepetidos

Mediante la transformación de z = e~* las propiedaes de estas series se re-ducen inmediatamente a las propiedades de las -series de Dirichlet desordena-os, y aunque al estudiar éstas no supusimos que los exponente se repetían, estacondición no implica restricción ninguna y las demostraciones son válidas.

La condición análoga a la [2] del § 3 es ahora la siguiente: convergencia uni-forme de la .serie

00•^TTy^ \ ,?u — ¿^«+11

etl el círculo \s\ <'i."or razones de brevedad no enunciamos para estas series potenciales desor-

d«nadas los teoremas análogos a los I a VIII del § 3.En lo que sigue nos limitamos a considerar las series que llamamos de tipo

VA)> cuyas sucesiones de exponentes son monótonos no crecientes, p. e., i, 2, 2.' 3. 4» 4, 4, 5, ... Para tales series no coinciden necesariamente los círculos denvergencia e hiperconvergencia, lo que constituye una diferencia esencial con

as series de Taylor y una analogía con las series de Dirichlet. Ejemplo de estoes la siguiente serie :

4-0 -j- 2 Z -f- Z* - 4 ̂ 4- 4 £T2 -f -\- Z" — 2" Z" 4- 2" Z" + ...

— 2O4 —

cuyo radio de convergencia es 1/2 y agrupando términos en la forma:

i -j- (z — 2 z + 2 4 -j- (s-2 — 4 22 -f 4 s2) + . . .

. . . + (2" — .2" A« + 2" 2") + ... .

se ve que el radio de hiperconvergencia es i.El problema de la caracterización de las series .con .sucesiones hiperconver-

gentes, resuelto por Ostrowski [22], para las series de Taylor, se resuelve enlas series de potencias desordenadas del tipo (A) mediante el siguiente teorema:

I. a) Si en una serie de potencias desordenadas í (z) del tipo '(A) de radio deconvergencia i, los círculos de wiliverffencia'y holoworfw. no se confunden., la co-rona comprendida entre ellos es un dominio de hipeYcfmvergewci®.

b) Si una sucesión parcial es hipefconuercpente en el entorno de un pun-to regular de la circunferencia de holoworfía, es í (z) = g (z) -\- h (z)', donde h (z)tiene radio de holomrfút mayor y g (z) tiene lag-anas dé longitud relativa inferior-mente acotada.

Pasamos ahora a la aplicación del teorema anterior, al estudio de la hipev-convergencia de una clase de series de Dirichlet.

Consideramos sucesiones de exponentes

i X«, k \ (« = ! i 2 ad. inf. , ¿ = i , 2 , ,k («))

tales que:

Hm f-log. | T + ß„ — \H,k |1= — oo [3]«->oo L« J

rr~ loS (« - *) r,*lhm r =o 13 l(» ,*) -> «l f-H,k

en que y y ß son dos números positivos.Desde luego, existen sucesiones de densidad máxima infinita dentro de I*

clase considerada, com se prueba en la sucesión :

i ti +¿- ' ,2 ,2- j - ,? - 3 , , « , » + *—,«-}-r:" (" °,

« + <r-"1,«-t-^")«4- i ,

En esta sucesión es

(»,¿) = »-j-<r»("-*)

— 2o5 —

y es inmediato v-er también que no todas • las sucesiones de densidad máximafinita pertenecen a la clase aquí considerada.

El problema de la caracterización de las series hiperconvergentes dentro deesta clase lo resuelve completamente el siguiente teorema :

II. a) Si paru una- señe de Dirichlet

¿ ane-^">*s

(», k> — i

de abscisa de convergencia nula, cuya sucesión de exponentes verifica la condi-ción [3] los rectas de hip er convergencia y holomorfía no se confunden, la bandavertical comprendida entre ellas es un dominio de hiperconveïlgencia.

b) La serie de polinomios exponenciales obtenida agrupando las conjuntos detérminos cuyos exponentes pertenecen al entorno de cada número y + ßn> conver-ge uniformemente en cada dominio ticotadp interior al semiplano de holrhnorfia.

c) Si una sucesión parcial es hipefconvergpnte en el entorno de un punto> déla recta de holomorfía es f (z) = g (z) + h (z), donde h (z.) tíene abscisa de hófo-morfía menor y g (z) lagunas de longitud relatiï>a inf enfurtiente acptaäa.

Las demostraciones pueden verse en nuestra Memoria. (27,h).6. Alagunáis cuestiones a estudiar.—I. El teorema final del '§ 5 pone de ma-

nifiesto una diferencia esencial con los resultados de Bernstein relativos á las se-ries de densidad máxima finita (Conferencia IV), ya que, aunque las partesa) y b) han sido demostradas para éstas, nú' se sabe si es cierta, en general, laparte c) para dichas series de densidad máxima finita.

II- Se puede definir la abscisa de reordenación análogamente a como ha«do definida la abscisa general de hiperconvergencia (Conferencia IV), y enton-is se presenta la cuestión importante de dar una fórmula que determine estaabscisa.

III. Determinar clases de series de Dirichlet, en que, mediante la reordena-cion, se obtenga la prolongación analítica en todo el semiplano. de holomorfía (casoParticular de la cuestión anterior).

IV. Estudiar las series de Dirichlet desordenadas en el caso en que la suce-Slon i }- \ tenga como puntos de acumulación el infinito y otros.

"• El campo de prolongación analítica por reordenación de una serie deInchlet, ¿será siempre un semiplano?

VI- El ejemplo del § 4 sugiere la cuestión de determinar qué series funcio-s tienen la misma propiedad de la serie particular allí considerada.•Was general, dada una serie funcional sin campo de convergencia absoluta,

eterrn¡nar qué funciones se pueden obtener como suma en las distintas reorde-aciones posibles. Análoga cuestión puede plantearse en el campo real.

206

B I B L I O G R A F I A

(1) BERNSTEIN : (a) Progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet (Pa-ris, 1933)-

(2) BIEKERBACH : Lehrbuch der Funktionentheorie (t. II).(3) BOHR: (a) Einige Bemerkungen über das Konwèrgenzproblcme Dirich-

letscher Reihen (Rendiconti di Pal,, t. 37) ; (b) Fastperiodische Funktio-nen (Berlín, 1932); (c) Darstellung der gleichm\ässigen komtergensabs-cisse ... (Archiv der Math, und Phys., t. 21, 1913).

(4) BOREL: (a) Leçons sur la théorie des fonctions (Paris, 1928).(5) BOURION: (a) Sur une classe des séries de Taylor (Comp. rend., t. I95>

p. 938) ; (b) L'ultraconvergence dans certames séries de fonctions ana-lytiques (Id., t. 195, p. .1216); (c) Recherches sur l'itltraconver(fence(Annales del'Ec. N. Sup., 1933).

(6) CAHEN: (a) Sur la fonction^(s) de Riemann (Ann. Ec. Normale, 1894);(b) Sur les séries de Dirichlet (C. R., t. 160).

(7) CRAMER: Un théorème sur les séries de Dirichlet (Ark. ior. Mat., t. 13).(8) DIENES: Sur les suites transfinies de nombres réels (C. R., t. 176, p. 67).(9) DOETSCH : Theorie und Anwendung der Laplacesche Tratnsforniaiïion (Ber-

lín, 1937).(10) FABER (Math. Ann., t. 63, p. 549).(11) FRÉCHET: (a) Sur les fonctionnelles linéaires (Comp. Rend, du Congrès

des Sociétés Savantes, 1913, p. 45); (b) Les fonctions prolongedles(C. R., t. 165, p. 669).

(12) HADAMARD ET MANDELBROJT: La serie de Taylor et son pfolonff&ment tf»*-îytique (París, 1926).

(13) HAMBURGER: Bemerkungen su einer Fragestellung ... (Math. Zeit., t. 7)-(14) HILBERT: Ueber die Entwitkelung einer analytischen Funktion ... (?a"

ris, 1926),(15) HILLE: (a) On Laplace Integral. 8.* Skandi Kongress, 1934; (b) Essa*

d'une bibliographie sur la représentation analytique ... (Acta Math. I929)'(16) HOBSON: Theory of Functions (3 ed., Cambridge, 1927).(17) JTJLTA: Principes géométriques d'Analyse, II (París, 1932).(18) LERCH: Acta Mathematica, vol. 27, 1903.(19) LEAU; Recherche des singularités ... (Jour de Mathem, t. 5),(20) MONTEL: (a) Leçons sur les séries de polynômes (Paris, 1910); (b) pamm^

normales (Paris, 1927).(21) MANDEI>BROJT : Contribution a la théorie du prolongement analytique des

séries de Dirichlet (Acta Math., t. 55).(22) OSTROWSKI: (a) Ueber eine Eigenschaft gewisser P&tenzreihen ..• (^lt;Z'

der Preuss. Akad., 1921; (b) Ueber Potensreihen die uberowverff6^1

Abschnittfolgen ... (Id., 1923, p. 185); (c) Uebër vollständige 6^1'f!gleichmassiger Konvergens ... (Hamb. M. Abh., t. 1922, p. 327); WDarstellung analytischer Funktionen dur*ch Potensreihen (Jahr. .D- »*•'V.\ 33, p. 286) ; (e) Zur Theorie der Ueberkonvergenœ (Math. Ann., i°3>P- T5); (i) Ueber das Hadamardsche Sirtffulantätskriteriuw (Sitz. Mat .Ges,, 1928); (g) Über einen Sais von Leau (Math. Ann., t. 108).

(23) PINCHERLE ; Sur les fonctions determinantes (Ann. EC. N. Su-p., t, 22).

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(24¡) PÓLYA: (a) Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenz-reihen, I (Math. Zeits., t. 29); (b) Idem, II (Annals oi Math., vol. 34);(c) Ueber die Potenzreihen deren konvergenskreis natürliche Grenze ist(Acta Math., t. 41).

(25) PORTER: On the polynomial Convergents of a power series (Annals oí Math.,t. 8, p. 189).

(26) XEY PASTOR: Series e integrales (D) (Curso dictado en la Universidad deMadrid (1932-33).

(27) Ríos: (a) Sopra l'ullraconvergenza delle serie dì Dirichlet (Atti della R. Acc.d. Lincei, 1934, p. 168; (b) Estado actual de la teoría de la hiperconver-gencia (Las Ciencias, 1934) ; (c) Series de polinomios exponenciales (Bol.Sein. Mat., 1935); (d) La hiperconvergenda en las. integrales de Laplace-Stielt jes (Id.) ; (e) Problemas de hiperconvergencia (tesis) (REVISTA DELA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS, 1936) ; (f) Sobre el problema de lahipe?convergencia, de las series de Dirichlet de densidad trtáxima infinita(REV. DE LA R.. ACADEMIA DE CIENCIAS, 1940) ; (g) Prolungamento ana-litico per cambiamento del ordine ... (Atti Accad; Italia, 1941)'; (h) Sobrela reordenwción de series funcionales (Abhand. Hamburgo, 1943) ; (i) So-bre las singularidades de la integral de Laplace (Portugaliae Mathema-tica, 1942).

(28) STEINHAUS: U eher die Poiensreihen ... (Math. Zeits., t. 27).(29) VALIRON (Bull. Soc. Math. France, t. 52).(30) VALLÉE-POUSSIN : Sur les appÜcations de la notion de convergence uniforme

(Ann. Soc. Seient. Bruxelles, t. i?,.p. 324).(30 WIDDER: (a) A generalization of Dirichlet's Series (Trans. Am. Math. Soc.,

vol. 31) ; (b) The singularities of a function defined by a Dirichlet series(Am. Jour oí. Math, vol. 49); (c) T. A. M. S. (vol. 36 y vol. 39).

(32) WIENER (Pr.oc. of the Lond, Math. Soc., t. 27, p. 483).

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