R E V I S T AD E L A

L A C A D E M I A DE CIENCIASEXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

DE

M A D R I D

T O M O XL IV

C U A D E R N O TERCERO

M A D R I D

DOMICILIO DE LA ACADEMIAVALVERDE, 22.—TELEFONO 21-25-29

1 9 5 °

Artículo 39 de los Estatutos de la Academia:

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Los fundamentos de una teoría general de seriesdivergentes ^

por

Ricardo San Juan Llosa

RESEÑA HISTÓRICA

Leyendo las Memorias originales de Abel y Cauchy, desde losprimeros escritos de Abel en que inicia su desconfianza en el empleode las series divergentes, hasta la célebre comunicación de Cauchya la Academia de Ciencias de París, donde dio la noción actual deconvergencia y declaró inservibles las series que no son convergen-tes, -y más aún en los trabajos posteriores de éste, se observa cla-ramente-la honda preocupación que producía en estos hombres ge-niales una decisión que privaba al Análisis matemático de los máspotentes métodos de investigación empleados sistemáticamente porlos matemáticos y astrónomos durante tres siglos con tan eficacesresultados (1). Sus discípulos y continuadores aceptaron la ampu-tación como si el criterio de sus' maestros anulase su espíritu crítico,y las series divergentes quedaron expulsadas del Análisis matemá-

(*) Este trabajo, que comprende el contenido de los cursos de 1947-1952 enla cátedra de la fundación Conde de Cartagena de la Real Academia de Cienciasde Madrid, alcanzó el premio nacional «Francisco Franco» de 1949 del ConsejoSuperior de Investigaciones Científicas.

(1) Las series divergentes, escribía Abel, son, en general, cosas fatales, y esvergonzoso que haya quien, se atreva a fundar sobre ellas demostración ningu-na....; la parte más esencial de las Matemáticas está sin base. Es cierto que lamayor parte de los resultados son exactos, pero esto es una cosa verdaderamenteextraña. Yo me ocupo en averiguar la razón... problema- muy interesante. Sumuerte prematura le impidió lograr su propósito (XXXXI-b-110). (Véase'la biblio-

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tico. Pronto, sin embargo, Pqincaré y Stieltjes, y más posteriormen-te Borei, con la penetración del matemàtico naturalista, que se en-frenta sin prejuicios con la esencia del problema, y observándolecomo un fenòmeno de la Naturaleza, elige o crea (como en los casosde Newton y Einstein). la técnica adecuada a su resolución, en con-traposición con el de tipo tècnico, que ceñido dócilmente a los algo-ritmos preestablecidos sólo saca las conclusiones alcanzables conéstos; pronto sintieron la necesidad de rehabilitar las series diver-gentes, y profundizando en la causa de su eficaz aplicación, crearonteorías que hoy permiten manejarlas mediante* leyes formales decálculo con el mismo valor apodiéjico. que las demostradas riguro-samente para las convergentes.

La convergencia asintótica de Poincaré, que probablemente tienesu origen en la profunda Memoria de Cauchy, sobre la serie deStirling, elegantemente analizada por Borei en su clásica mono-grafía ((VII-b, 19-23), y la semiconvergencia de Stieltjes, que,como'también señala Borei en esta monografía, arranca de un'cu-rioso ejemplo de Laguerre i(VII-b; 54-56), fueron creadas "simultá-neamente. Pero como ya advirtió Poincaré en su Memoria originalde Acta mathematica (XXXIV-b ; 302), aquella noción deja- sin re-solver el problema-fundamental de la unicidad de la suma; mien-tras que ésta sólo se aplica a algunas series.

grafía recopilada, al final : el número romano indica el autor, la letra el libro omemoria-de éste, y los últimos números designan las páginas.)

He aquí un pasaje de Cauchy: Me he visto obligado a admitir proposicionesque parecerán algo duras; por ejemplo, que una serie divergente carece de suma.Posteriormente intenta en varias ocasiones legitimar. el empleo de las series di-vergentes, y sin lograr una teoría general consigue, sin embargo, demostrar ri-gurosamente para algunas, como la' de Stirling, su eficacia para el cálculo aproxi-mado de la función que le da origen.

Antes que ambos había sospechado D'Alambert la ilicitud del empleo de lasseries divergentes. Todos los razonamientos fundados sobre series que no sonconvergentes me parecen muy sospechosos, aunque los resultados estén .de acuer-do con las verdades conocidas (Opuse. Mathe. 5, 1708, pág. 183). Pero todos re-conocen unánimes que los resultados alcanzados son verdaderos, como repetida-mente ha ocurido ; por ejemplo, con el cálculo operacional de Heaviside, las rna-.trices de Heissember, los operadores de Schrödinger, el símbolo de Dirac, etc.,que han sido utilizados sistemáticamente con eficaces resultados antes de demos-trar rigurosamente la legitimidad de su empleo, revelando así una intuición de suscreadores que suple con ventaja el retraso de los fundamentos, y que es la cua-lidad más. admirable de los físicos-.

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Cuando la se'rie; tiene círculo de convergencia, es" la noción cen-tral de la Teoría de funciones : la prolongación analitica, la que pro-porciona la solución, según señaló nuestro maestro Rey Pastor ensu comunicación al Congreso de Bolonia (XXXVI-c-335-347), expli-cando con su claridad habitual, mediante una profunda rectificación dela noción de serie, las paradojas de Borei, Knopp, Prïnsghem, etc., queinvalidaban aparentemente la clásica definición euleriana (XXX VI-d-9): «summa cujusque serici ei est valor expresionis illius fuitas excujus evolutione illa series ontur».

Pero si la serie tiene radio nulo, no es posible a .priori deducirde ella ninguna indicación sobre el valor que debe .asignársele encada punto, como observó Borei al principio del capítulo III de suMémoire sur les series divergentes (VI-c-7, 9-81), ¡donde señala la im-portancia y la dificultad del problema. La observación de numerososhechos analíticos naturales, dice posteriormente Le Roy en la página 312 -de su Memoria Sur les series .divergentes ((XXI), enseñaque una función determinada con exclusión de todas las demás, debeconsiderarse como definida por la serie.

El ejemplo más importante de tales hechos, a pesar de su" sen--ro

cillez, es que si el desarrollo.de radio nulo ¿?a„z" satisface" for-n=0

malmente una ecuación diferencial, también la verifica la suma asig-nada a la serie, si ésta cumple las leyes formales del cálculo arit-mético y -diferencial-cuando la ecuación es algebraica, y la conser-vación del paso al límite, si el primer miembro es analítico trascen-dente. Aquí precisamente radicaba la eficacia de su empleo por losfisico-matèmáticos anteriores a Cauchy. Otros ejemplos podrían ci-tarse ; pueden verse magistralmente expuestos en la Memoria deLe Roy; quizá merezcan destacarse entre éstos la sumación de la.serie clásica de Stirling con dos algoritmos distintos, que conducena una misma función aproximada asintóticamente por la serie, y. máscurioso todavía es que la sumación de las series de Cauchy, que apa-recen en la teoría de la difracción de la luz, conduzca precisamentea las integrales de Fresneî, que son el único valor adecuado -de aqué-llas para la interpretación del fenómeno físico.

Mas, ¿cómo obtener sistemáticamente tal función? La sumaciónde series divergentes con algoritmos diversos ha dado lugar a unaliteratura tan copiosa recopilada en 1925 por Smeil, y posteriormen-te enriquecida con exposiciones sistemáticas de. Borei l(VII-c),

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Knopp (XIX), Rey Pastor (XXX-VI-d) y el completísimo tratado pos-tumo 'de Hardy (XVI-b), que si se trata de organizar .un cuerpo de doc-trina que merezca ser definitivamente incorporado al Análisis matemá-tico, habrá que sistematizar previamente los innumerables métodosconocidos, pero no sólo algorítmicamente, agrupándolos como casosparticulares de amplias matrices, según hicieron Toeplitz, Perron y•Schur (XLL 13-119), <XXXII),> :(XXXIX-79-lll), o como aplicaciónde las integrales singulares de Lebesgue (XX-25-117), -(XV-b ; 18),que permiten también englobar aquéllas si se toman en el ampliosentido d.e Stieìtjes (XXIV), .sino en torno de una noción intrínsecade, suma de una serie definida como concepto inherente a ésta conindependencia del artificio algorítmico empleado para obtenerla.

Los primeros ensayos de identificación entre las sumas obtenidascon diferentes algoritmos para ascender por abstracción a la nocióngeneral buscada, son indudablemente los de Le Roy en su citadaMemoria, donde, como toda la exposición, están desarrolladas sobresustanciosos ejemplos con oportunas indicaciones sobre sus posiblesgeneralizaciones ; en particular, la identidad del ogaritmo de Boreicon el de Stieltjes >(XXI ; 428), que posteriormente Borei es-tableció en el caso general (Xll-b ; 14"4), y más tarde S. Berstein(II-b) generalizó para un algoritmo de Le Roy que compren-de al de Borei. Esta identidad la extendimos en nuestra tesisdoctoral (XXXVIII-f) para todos los algoritmos conocidos con elde Stieltjes convenientemente ampliado, alcanzando asi mediante éste,una noción de suma que resolvía el problema de unicidad para todaslas series manejadas hasta el día, y a la cual llamábamos semianalì-tica por su analogía con la prolongación analítica ordinaria, que semanifestaba desde la identidad de integrandos entre las integralesde Cauchy y Stieltjes que las definen, hasta sus desarrollos en seriespolimonios, fracciones simples, facultades, etc.

Pronto reconocimos, sin embargo, que una sistematización de lateoría de series divergentes no podía concebirse sin englobar la no-ción general de Poincaré, que no exige, como la de Stieltjes, coe-ficientes especiales de la serie. Para unificar ambas tendencias,-dePoincaré y de los algoritmos de sumación, .introdujimos en nuestraMemoria sumación de series y aproximación asintótica óptima, pre-sentada en 1935 a la R. Academia de Ciencias de Madrid (XXXVIII-c),la noción de aproximación asintótica óptima, que permite aprovecharlos profundos trabajos de Carleman para la resolución del problema

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de unicidad de la suma .en la teoería de Poincaré, conocido hoy conel justo nombre de problema de Watson, porque fue Watson quienseñaló primero en su trascendental Memoria A theory of asymtotieseries (XLIII-a), que la 'definición de Poincaré podía ser modificadaexigiendo una mayor aproximación de la función a las secciones dela serie para que aquélla quedase unívocamente.determinada por loscoeficientes del desarrollo, y demostró que esto acontece si las co-tas w„ de. dicha aproximación asintótica en un semicírculo no supe-raban a 1(1 -— ¿) n. Inmediatamente F. Nevanlinna, en su tesis docto-

ral generaliza la conclusión de Watson, 'prescindiendo del e ¡(XXVIII),y 'Carleman, varios años más tarde, planteó y resolvió el pro-blema general de obtener las condiciones necesarias y suficientesque deben cumplir las rutas «zn para que sea única la función holo-

Oo

moría/(0) aproximada asintóticamente para la serie /, a„s" con di-»=o

chas cotas m^ en un-círculo s —1¡ < 1 I(IX ; 41), ampliando Os-trowski la solución para recintos cualesquiera simple o múltiple-mente connexos y de una o más hojas- Ahora bien, como señalábamosen dicha Memoria (XXXI ; 181), y luego logramos demostrar ri-gurosamente, en nuestra comunicación al Congreso Internacio-nal de Matemáticos de Oslo (XXXVIII-g ; &4), más extensamen-te desarrollada en Acia mathematica en 1492 (XXXVIII-h,524)",; la condición de Carleman resuelve un problema de. los queBorei ha llamado de interpolación en sentido amplio (VII-c-82-88)(VI-b 36), donde .la función no queda determinada por la serie so-lamente, sino por ésta más la sucesión de cotas, y solamente cuándoexiste una función de aproximación asintótica óptima, esto es, cu-yas cotas sean ordenadamente menores que las homologas de cual-quier otra, ésta es vínica; y es la.función que con exclusión de todas¡as demás debe considerarse como definida por la serie en el recinto,puesto que tiene además las propiedades formales de derivación, in-tegración, distributiva y sustitución qué demuestran rigurosamentelos hechos analíticos naturales señalados por Le Roy, o sea la va-lidez para ella de un cálculo formal efectuado sobre los coeficientes,Y que fueron la base del eficaz empleo de las series devergentespor los matemáticos de la antigüedad.

Pero no es todavía un concepto intrínseco inherente a la seriey no puede, por tanto, adoptarse su valor j(s) en cada punto como

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suma de la serie numèrica ^ a„ z", porque depende del recinto.« = o

La demostración de esto ha exigido generalizar para toda función00

4»(¿) con momentos de Stieltjes convergentes, / t*d§ (t) < oo , el mé-o

i _todo de descomposición de e~ ' que publicamos en Acta mathema-tica (XXXVIII-h•; 250), del cual 'hemos deducido de paso como apli-cación inmediata una amplia generalización del teorema de Man-delbrojt sobre desoomp.osición de toda función derivable indefinida-mente en suma de dos fuertemente cuasi analíticas (XXIII-b ; 16). Ladescomposición se aplica a la sucesión de numeradores de una seriede fracciones simples ton derivadas nulas en el origen, la cual seobtiene a su vez resolviendo un sistema de infinitas ecuaciones linea-les por el método de los residuos empleados por La Vallée-Pousin(X ; 165-169), y convenientemente modificado aquí para demostrarque la solución tiene decrecimiento exponencial, y, por consiguiente,momentos convergentes. Las dos series obtenidas dan, mediante latransformación de Laplace, los contraejemplos.

Estos plantean en la teoría de series divergentes un dilema aná-logo a la disyuntiva que presentó a la teoría de funciones la para-doja de la cuerda vibrante : o se prescindía del paso al límite en ladefinición de las funciones, o se ampliaba la noción de función ; yla elección no fue dudosa (1). Existiendo aproximaciones óptimas deuna misma serie que no quedan determinadas por esta solamente,sino por ella más el recinto de definición, no hay .otra alternativa :o se prescinden de aproximaciones óptimas tan naturales como lasde Stieltjes, Watson y otras, o se amplía la noción de suma de unaserie potencial en un recinto, admitiendo que ésta no es una fun-ción determinada para la serie exclusivamente, y compuesta con los

OO

valores /(2) de las series numéricas ^ a„ z" para las distintas pun-«=o

tas del recinto, sino un concepto global de la serie y de todo el re-cinto, que permite ciertamente asignarle un valor en cada punto, perodependiente éste, sin embargo, del recinto total.

(1) Las restricciones impuestas en el concepto de función por los postuladosintuicionistas reducen éste a una clase de las funciones continuas, quedando lasrestantes como pertencientes a teorías apoyadas en otros postulados.

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Esto no-impide, naturalmente, que hayamos elegido entre lasaproximaciones óptimas de la serie una, que llamamos su prolonga-ción radial, la cual queda determinada exigiendo que no solo sea'aproximación óptima en un recinto prefijado R, que contenga elsegmento Os, sino en cualquier otro interior del mismo tipo dondeexista una aproximación óptima con cotas que verifiquen la condi-ción de unicidad. Y los contraejempl'os indicados nos han servidoprecisamente para demostrar que las condiciones impuestas en. taldefinición son independientes ; y además, como conseecuencia, que

oo

si se toma como suma de la serie 'numérica />, a» el valor para. t<—o

" = 1 de su prolongación radial, ésta es la más amplia definición desuma a que puede aspirarse, esto .es, que el conjunto de series nu-méricas sumables así obtenido contiene seguramente al que pudo re-sultar con cualquier otra definición tal, que la existencia de suma

CO" ,

de la serie numérica ^ a„ entrañe que la serie potencial generatrizx = 0

^ a„ z" admita una aproximación asintónica f(s) en un recinto del« = o ' ' . - . ' . 'tipo prefijado, la cual, aparte de tener límite radial para s-'-^l, seala más estrecha aproximación asintótica^óptica-holomorfa en un re-cinto de dicho tipo; es decir, que no sólo sea aproximación óptimaen aquél, sino también en cualquier otro interior de la familia dondehaya una aproximación óptima holomorfa que cumpla en éste la con-dición de unicidad, la cual exigiría mayor restricción en el decreci-miento de las cotas que en el otro.

Se consigue; que ,1a derivación término a 'término sea legítimap'ara la prolongación regular, es decir, con.cotas monótonas crecien-tes. Quedan así restablecidas simultáneamente mediante oportunasmodificaciones de la definición de Poincaré las dos propiedades deunicidad y derivación que se pierden en la aproximación asintóticageneral y que quizá fueron la causa de que la amplia noción de Poin-caré no susplantase, al ser establecida entonces, a la más restringi-da de Cauchy, a pesar de sus indudables ventajas para las aplicacio-nes analíticas y numéricas de las series.

Entre las demás leyes formales que se verifican sin excepción,

• f l 1nguran los cambios de variables' z = ^ — £ 0 ,£ = —, z = kt, y

^ = Q" con m natural para las series potenciales ^ an z"; y las distri-

— 23° ~

ca CO

butivas k x, an = x, k an y modificación -del término inicialtt = 0 «=0

CO OO

2j an — #0 4" ¿_¡an para las numéricas. Las propiedades aditivas«=o . . »=oy la regla del producto se verifica'n con restricciones sobre las cotasde las prolongaciones radiales; y lo mismo la división, o-más ge-neral la sustitución de una serie potencial en otra con radio de con-vergencia superior al módulo de su primer término .-Es la contribu-ción inevitable de toda generalización: la pérdida de algunas pro-piedades, que no importará demasiado si las conservadas son sufi-cientes para las aplicaciones, Entre los ejemplos de éstas hemosadoptado dos series que publicó Hardy en The Messenguer of Ma-thematics (X'VI-a) como casos curiosos de duplicidad 'de suma con unsolo algoritmo y que reproduce en su magistral obra Divergent Se-ries ,'(XXVI-b; 28) como ilustración del método.de Borei. Creemosque un solo ejemplo ajeno en espera de explicación enseña más so-bre la eficacia de una teoría que todos los bien intencionadamente pre-parados por el autor.

En particular, la inclusión de la segunda serie de Hardy, nosexigió, en efecto, demostrar un teorema nuevo sobre funciones en-teras -de. orden infinito, y como el método era general, le aplica-mos sistemáticamente, resultando una organización de la teoría delas funciones enteras de crecimiento regular 1(1), desde distinto puntode vista que Blümenthal en su monografía Principes de la Theoriedes fonctions entières d'ordre^-infini (V), donde nd aborda el pro-blema 'de la relación entre el crecimiento del módulo máximo so-bre una circunferencia y el crecimiento de los coeficientes (2).

Resumida así rápidamente la historia del problema, prescindimosintencionadamente de reseñar explícitamente los resultados alcanza-dos en cada capítulo, porque la imprecisión inevitable del lenguajecercenado por la imperiosa brevedad, impide toda transcripción fiel

(1) La aplicación del método a las series con radio de convergencia finito hasido hecha recientemente por nuestro discípulo el R. P. marianista D. JacintoMartínez en su tesis doctoral (XXV). En la extensión para el orden precitadotrabaja actualmente el Sr. Gil Azpeitia.

(2) La bibliografía completa hasta 1925 puede verse en el completísimo ar-tículo de Valiron del Memorial des Sciences matematique (XLIII-d) y en los tra-bajos posteriores (XLIII-b-c-f-g-b).

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de los conceptos. Las mismas nociones de aproximación asintóticaóptima y prolongación radial que ha sido inevitable bosquejar paraindicar la solución a que ha llegado el autor, distan mucho,.natural-mente, de los desarrollados, detalladamente, en el transcurso de laMemoria.

. Las aplicaciones a las ecuaciones diferenciales que estamos estu-diando serán publicadas en otra Memoria.

(Continuará.)

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(*) Extraeremos las memorias citadas en cada parte publicada de la lista generalque se dará al final y en la- que se han numerado los autores y sus trabajos.

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