curso propedéutico para cálculo · pdf file · 2016-06-06las seis...

CURSO

PROPEDÉUTICO

PARA CÁLCULO

DIFERENCIAL

E INTEGRAL

2

ÍNDICE

Página

Introducción 6

I. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1. Reducción de términos semejantes 7 1.2. Evaluación de expresiones algebraicas 9 1.3. Supresión de símbolos de agrupación 10 1.4. Suma y resta de polinomios 11 1.4.1. Suma de polinomios 13 1.5. Multiplicación de polinomios. Leyes de los signos, de los coeficientes y de los exponentes

14

1.6. División de polinomios. Leyes de los signos, coeficientes y exponentes 17 1.7. División sintética 19

II. TEORÍA DE LOS EXPONENTES

Exponente cero, negativo y fraccionario 20 Leyes de los exponentes 21

III. RADICALES

3.1. Reducción de radicales 23 3.2. Simplificación de radicales 23 3.3. Introducción de factores en un radical 25 3.4. Reducción de radicales al mínimo común índice 25 3.5. Reducción de radicales semejantes 27 3.6. Suma y resta de radicales 28 3.7. Multiplicación, división y potenciación de radicales 29 3.8. Racionalización 30

IV. PRODUCTOS NOTABLES

4.1. Cuadrado de una expresión algebraica formada por dos términos 32 4.2. Producto de dos expresiones conjugadas 32 4.3. Producto de dos expresiones con un término común

de la forma a b a c 32

4.4. Cuadrado de una expresión algebraica formada por tres términos 33 4.5. Cubo de una expresión algebraica formada por dos términos 33

V. FACTORIZACIÓN

5.1. Máximo común divisor (M.C.D.) de varios términos 35 5.2. Factor común 37 5.3. Trinomio cuadrado perfecto 38

3

Página 5.4. Diferencia de cuadrados 39 5.5. Suma y diferencia de cubos 40

5.6. Trinomios cuadráticos de la forma 2x bx c , con b y c enteros distintos de cero

41

5.7. Trinomios cuadráticos de la forma 2ax bx c , ( , ,a b c son enteros

distintos de cero y 1a ) 43

VI. FRACCIONES ALGEBRAICAS

6.1. Mínimo común múltiplo (M.C.M.) de varios términos 48 6.2. Suma y resta 49 6.3. Multiplicación y división 51

VII. ECUACIONES

7.1. Ecuaciones de primer grado con una variable 55 7.2. Ecuaciones fraccionarias 58 7.3. Ecuaciones literales y despejes 61

VIII. ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS Y TRES INCÓGNITAS

8.1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 62 8.2. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas 67 8.3. Método DGO 70

IX. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

9.1. Ecuaciones incompletas de la forma 2 0ax c 72

9.2. Ecuaciones incompletas de la forma 2 0ax bx 72

9.3. Solución de ecuaciones de segundo grado por descomposición en factores

74

9.4. Solución por fórmula general 74 9.5. Ecuaciones con radicales 77

X. LA RECTA

10.1. Ángulo de inclinación de una recta 78 10.2. Pendiente de una recta 79 10.3. Paralelismo y perpendicularidad entre rectas 81 10.4. Ecuación y gráfica de una recta 82 10.4.1. Ecuación de la recta conocidos un punto cualquiera de esta y su pendiente

83

10.4.2. Ecuación de la recta conocidos dos puntos de esta 84 10.4.3. Ecuación de la recta conocidos su pendiente y ordenda al origen 85

4

Página

XI. LA PARÁBOLA

11.1. Elementos de la parábola 86 11.2. Ecuación y gráfica de la parábola 87 11.2.1. Con eje de simetría paralelo al eje “ ” 87

11.2.2. Con eje de simetría paralelo al eje “ ” 88

XII. TRIGONOMETRÍA

12.1. Fórmulas de conversión 92 12.2. Longitud de Arco 93

12.3. Las seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo

en un triángulo rectángulo 93

12.3.1. Funciones trigonométricas de ciertos ángulos que se presentan con cierta frecuencia

94

12.3.2. Teorema de Pitágoras 94 12.3.3. Identidades pitagóricas 94 12.3.3.a. Suma y diferencia de ángulos 95 12.3.3.b. Fórmulas de ángulos dobles 95 12.3.3.c. Fórmulas de ángulo mitad 95 12.3.3.d. Fórmulas de producto-suma 96 12.3.3.e. Fórmulas de suma-producto 96 12.3.3.f. Ley de senos 96 12.3.3.g. Ley de cosenos 96

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

Ejercicios 1.1. 97 Ejercicios 1.2. 98 Ejercicios 1.3. 98 Ejercicios 1.4.1. 99 Ejercicios 1.5. 99 Ejercicios 1.6. y 1.7. 100 Ejercicios 2.1. 101 Ejercicios 3.2. 103 Ejercicios 3.3. y 3.4 104 Ejercicios 3.6. y 3.7. 105 Ejercicios 3.8. 106 Ejercicios 4.1. al 4.5. 107 Ejercicios 5.1. al 5.6. 109 Ejercicios 5.7. 110 Ejercicios 5.7.1. 111 Ejercicios 5.7.2. 111 Ejercicios 6.1. al 6.3. 112 Ejercicios 7.1. 113 Ejercicios 7.2. 115 Ejercicios 7.3. 116

x

y

5

Ejercicios 8.1. 117 Ejercicios 8.2. 118 Ejercicios 8.3. 119 Ejercicios 9.1. al 9.2. 119 Ejercicios 9.3. y 9.4. 120 Ejercicios 95 121 Ejercicios 10.2. 121 Ejercicios 10.3. 122 Ejercicios 10.4.1. 123 Ejercicios 10.4.2. 124 Ejercicios 10.4.3. 125 Ejercicios 11.2.1. al 11.2.2. 127 Ejercicios 11.2.3. 130 Bibliografía 133

6

INTRODUCCIÓN

¿Qué significa un curso Propedéutico?

La Propedéutica (del griego (pro), que significa “antes” y (paideutikós)

“referido a la enseñanza” (siendo paidós: “niño”), es el conjunto de saberes y disciplinas que

hace falta conocer para preparar el estudio de una materia, ciencia o disciplina. Constituye

una etapa previa a la metodología (conocimiento de los procedimientos y técnicas necesarios

para investigar en un área científica).

Incluir un curso Propedéutico antes de cursar la materia de Cálculo Diferencial e Integral,

involucra también a los conceptos de preparación para recibir nuevos conceptos, es el

estudio básico o por adelantado que se le da al alumno para llegar a una disciplina en forma

adecuada.

Los contenidos que se abordan en este curso Propedéutico, están vinculados con los temas

estudiados en cuarto y quinto de preparatoria, con la intención de revisarlos una vez más, ya

que son conceptos importantes que todo estudiante que se inicia en el estudio del Cálculo

Diferencial e Integral, aplicará en la construcción del nuevo conocimiento.

Durante este curso Propedéutico, el estudiante se enfrentará a diversas actividades que le

permitirán enfrentar de mejor manera el cambio de nivel y de modalidad de estudio

facilitándole alcanzar el egreso de la educación media superior.

La presentación de cada tema que se expone en este Propedéutico se ha compactado de tal

manera que resulta fácil su estudio, acompañados además de una serie de ejemplos

cuidadosamente resueltos con detalle y proponiendo también ejercicios que deberá resolver

el alumno como reforzamiento de cada concepto y cuya solución se presenta al final del

material, con la recomendación únicamente de que pueda comparar sus resultados.

7

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Cuando se utiliza el lenguaje algebraico para representar operaciones entre números, se generan expresiones como las siguientes:

25 3x , a b a b , 3

2a

xx , etc.

a las cuales se les llaman EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Una expresión algebraica que consta de más de un término separados por el signo de más o menos es por ejemplo:

En la expresión algebraica 27 5 3 8x y xy y se puede decir que:

Tiene 4 términos: 27x y , 5xy , 3y y -8

Tiene 2 variables: x y y

7 es el coeficiente de 2x y , 5 es el coeficiente de xy , 3 es el coeficiente de y

8 es el término independiente.

La expresión aritmética 7 7 7 7 7 (cinco veces el 7 ), se puede reducir a la expresión 5 7 y

se puede considerar como una suma abreviada.

En la expresión algebraica 3147416547 2222 xyyxyxxyyxxyyx puede hacerse una

reducción equivalente, de la siguiente manera: Primero es necesario descubrir las características comunes que deben tener los términos

susceptibles de agruparse y reducirse a uno solo.

Observa los términos 27x y ,

25x y , 24x y ,

27x y , debes notar que difieren únicamente en el

coeficiente numérico y por esto se les llama TÉRMINOS SEMEJANTES.

8

Date cuenta que los términos 27x y y 4xy no son términos semejantes, ya que su diferencia no

solo es en el coeficiente numérico, sino también que el exponente 2 afecta a x en el primer término 27x y , y no así al segundo término 4xy , por lo tanto, se puede dar la siguiente definición:

Dos términos se llaman “TÉRMINOS SEMEJANTES” si:

Son idénticos.

O difieren únicamente en su coeficiente numérico.

Hay que recordar que ab ba (propiedad conmutativa de la multiplicación), por lo tanto, los

términos 3ab y 5ba son términos semejantes.

Ejemplos

2 37k Lp ,

2 33Lk p , 3 2Lp k ,

3 27 p Lk son términos semejantes.

22x ,

2

3

x,

22

5x también son términos semejantes.

Al reducir términos semejantes, deben suceder dos cosas:

El resultado es un término semejante a los términos que se pretende reducir.

El coeficiente del resultado se obtiene sumando o restando los coeficientes de los términos semejantes que se pretenden reducir.

Ejemplos

1) 2 4 2 4x x x 6x

2) 7 2 7 2ab ab ab 5ab

3) 2 2 2 2 2 2 25 3 2 5 3 2 5 3 2x y x y yx x y x y x y x y 24x y

4) 2 2 2 2 26 3 3 6 3 3 0r r r r r 0

5) 2 2 1 2 12 3 6 4

2 12 3 2 3 6

x x x x x x

w w w w w w

13

6

x

w

o Si una expresión algebraica NO TIENE términos semejantes, entonces la expresión queda

representada tal y como está, sin posibilidades de simplificación. Ejemplo

33 7 6 3xy x y y x

9

o Si todos los términos de una expresión algebraica son semejantes entre si, la expresión se puede reducir a un solo término.

Ejemplo

7 3 2 7ab ab ab ab ab

o Si una expresión algebraica tiene, tanto términos semejantes como otros que no lo sean,

dicha expresión se puede simplificar reduciendo cada grupo de términos semejantes entre si, a un solo término hasta que la expresión no tenga términos semejantes separados.

Ejemplo

8 3 2 4 2 8 2 3 4 2 6 7 2x y x y x x y y x y

Ejercicios 1.1. Reduce las siguientes expresiones algebraicas.

1. 5 11 9 20 1x y x y 2. 2 2 3 2 3a b b c a c b

3. 2 2 215 6 8 20 5 31a ab a ab a ab 4.

3 4 2 3 4 2 3 371 84 50 84 45 18a b a b a b a b a b a b

5. 1 2 1 23 7 3 1

25 50 5 25

m m m ma b a b 6. 1 1 3 1 3 1

2 32 3 4 6 4 2

a b a b a b

7. 2 2 23 1 1

2 2 25 10 3

m mn m mn mn m 8. 2 2 2 2 23 1 5 1 3 1 1

2 24 2 6 3 4 6 3

a ab b a ab b b ab

9. 2 2 3 2 2 371 14 65 115 6m mn m mn m m m m

10. 1 2 3 1 2 2 3 35 3 8 5 50 4 65 90 7x x x x x x x xa b c a b b c c

1.2. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS El valor numérico de una expresión algebraica, puede calcularse cuando a cada literal de la expresión se le asigna un valor específico.

Al proceso de calcular el valor numérico de una expresión se llama EVALUACIÓN, y consiste en sustituir el valor específico dado de cada literal usando paréntesis antes de efectuar las operaciones.

Ejemplos

Evaluar las expresiones siguientes, si 3a , 2b , 1c , 2d

1) 2 6a b c d

2 3 2 1 6 2 6 2 1 12 9

2) 2 4 7 3d c d

2 2 4 7 1 3 2 4 4 7 6 48

10

3) 2 3ac bd

ad

2 3 1 3 2 2 6 12 18

3 2 6 6

3

4)

2 22

2

a bd

c

2 2

2

2

3 2 9 42 4 13 4

11

9

5) 3 2 2

2

a c b

b d

2 23 3

2

3 1 2 8 2 11 1 1

2 4 4 22

3

2

Ejercicios 1.2.

Evalúa las siguientes expresiones si: 1a , 2b , 3c , 4d , 1

2m ,

2

3n ,

1

4p , 0x

1. 2 2 2b c d a m n x 2. 2 2 22 6 4mx b c d

3. 2 2

2

4 m p a b

a c

4.

2 2 2c dm

a d

5.

2

2 1 1 1 1 1 1b

a b b c n m

6. 2 22 3 4 2 4m n p c m n

1.3. SUPRESIÓN DE SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Los símbolos de agrupación más empleados, son los paréntesis , corchetes y llaves

; indican prioridad de operaciones, es decir, que indican el orden en que deben realizarse las

operaciones. Cuando se escribe una expresión dentro de un símbolo de agrupación, esta se considera

como una sola cantidad; por ejemplo, si se encierra dentro de un paréntesis al binomio 2 4x y como

2 4x y , se considera la suma de 2x y 4 y como una sola cantidad.

Cuando hay un signo de más “ ” o un signo de menos “ ” antes de un símbolo de agrupación que encierra una expresión algebraica, sucede que:

11

o Si hay un signo , los signos de los términos no se alteran al eliminar el símbolo de agrupación.

o Si hay un signo , el signo de cada uno de los términos cambia al eliminar el símbolo de

agrupación.

Eliminar o suprimir símbolos de agrupación, significa efectuar las operaciones indicadas por ellas y se empieza con el que esté situado más adentro, siguiendo el propio orden de las operaciones a efectuar.

Ejemplos Suprimir símbolos de agrupación y reducir términos semejantes.

1) 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3x x x x x x x x 5x

2) 4 2 3 5 2 1 4 2 3 5 2 2 4 2 3 5 2 2a a a a a a a a a a a a

= 4 2 2 3 5 2a a a a a

3) 3 5 2 3 5 2 3 5 2x y x y x y x y x y x y x y x y x y

=3 5 2 3 2 5x y x y x y x x x y y y 6 7x y

4) 3 1 1 3 1 1

4 2 4 4 2 42 3 2 2 3 2

a b a b a b a b a b a b

= 3 1 1 3 1 1

4 2 4 4 2 42 3 2 2 3 2

a b a b a b a b a b a b

=1 3 1 3 12 3 4 1

4 2 4 43 2 2 3 2 2 2

a a aa a a b b b b b b

83 4

3

ab

Ejercicios 1.3. Quita los símbolos de agrupación y reduce combinando términos semejantes.

1. 4 3 3 1x y x 2. 2 3x y x y x y

3. 1 2 3 3a b a 4. 8 3 3 3a a b a b

5. 3 4 3x x x 6. 5 3 2 4a b b c b a a c

7. 3 2 4 3 2xy xy x y xy x xy 8. 2 3 5 6 5a ab b a ab b a b

1.4. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

12

Hay una clase de expresiones algebraicas, llamadas POLINOMIOS que reciben especial atención en la matemática (es decir, que todo polinomio es una expresión algebraica, pero hay expresiones algebraicas que no son polinomios). Para que una expresión algebraica en una variable reciba el nombre de POLINOMIO, sus términos deben tener ciertas características, en general se pueden representar como:

01

1

1 ... axaxaxa n

n

n

n

, donde los coeficientes na , 1na ,…,

1a , 0a pueden representar cualquier

número real; los exponentes n , 1n ,…1 deben ser números enteros positivos y la variable x puede

ser cualquier número real.

Una expresión algebraica con un solo término recibe el nombre de MONOMIO si cumple con cualesquiera de las siguientes condiciones:

a) Es una constante. b) Sus variables tienen exponentes enteros positivos y la única operación entre el coeficiente

numérico y las variables es la multiplicación.

Ejemplos de términos que si son monomios:

x , 25x , 7 , 3ab ,

31

2pq r ,

2

3 ,

3 33

7x yz , etc.

Ejemplos de términos que no son monomios:

2

5

x,

2

2

2x

y, 2 x ,

2 3

4

4 p q

r

, etc.

Una expresión algebraica formada por dos términos no semejantes y ambos términos son monomios, recibe el nombre de BINOMIO.

Ejemplos de expresiones que si son binomios:

x y , 2a a ,

22 3b , 3 4abc , 12

x ,

23pq r , etc.

Ejemplos de expresiones que no son binomios:

3px

q ,

22x x , 2 1

5xx

, 2 1

2yy

, etc.

En general, cualquier expresión algebraica formada por un número finito de monomios, recibe el nombre de POLINOMIO.

13

Una expresión algebraica que tenga al menos un término que no sea monomio, NO ES POLINOMIO. Los polinomios se pueden clasificar:

a) Según el número de variables que tengan b) Según su grado:

En polinomios con una variable, su grado es el mayor exponente de la variable. En polinomios con más de una variable, su grado es el mayor de los grados de sus

monomios (se determina sumando los exponentes de sus variables). Ejemplos

1) 23 2 1x x Polinomio con una variable y de grado 2

2) 26x y y Polinomio con dos variables y de grado 3

3) 2 2 33 2 4xyz y y z Polinomio con tres variables y de grado 5

1.4.1. SUMA DE POLINOMIOS Se pueden sumar dos o más polinomios escribiendo uno a continuación de otro, respetando sus signos y reduciendo términos semejantes si los hay, o también, colocándolos uno debajo de otro agrupando en columnas los términos semejantes para efectuar su reducción. La resta de polinomios es similar a la suma, teniendo en cuenta que en el polinomio que se va a restar, cambian de signo todos sus términos. Ejemplos

1) Sumar los polinomios 2336,582 242 xxxxx

2 4 2 4 2 22 8 5 6 3 3 2 6 2 3 8 3 5 2x x x x x x x x x x 4 26 5 3x x x

O también:

2) Restar 2336 24 xxx de 582 2 xx

2 4 2 2 4 22 8 5 (6 3 3 2) 2 8 5 6 3 3 2x x x x x x x x x x 4 26 5 11 7x x x

O también:

2

4 2

4 2

2 8 5

6 3 3 2

6 5 11 7

x x

x x x

x x x

Ejercicios 1.4.1.

2

4 2

4 2

2 8 5

6 3 3 2

6 5 3

x x

x x x

x x x

14

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentra primero la suma de los polinomios y segundo, resta el segundo del primero. Primero Segundo

1. 7 7x y ; 3 9 6x y z

2. 3 6 3 4x xy yz ; 3 7 6 13x xy yz Primero Segundo

3. 2 23a ab b ;

2 25ab a b

4. 3 2 32 1 2

3 4 5m mn n ;

2 2 31 1 3

6 8 5m n mn n

5. 3 2 32 5 1

9 6 3a ax x ;

2 2 33 7 1

7 8 9a x ax x

6. 3 2 4 51 3 1

10 4 6x y xy y ;

4 3 2 52 12

5 3x y x y y

1.5. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, DE LOS COEFICIENTES Y DE LOS EXPONENTES

a) Multiplicación de números reales:

Si x y y son dos números reales cualesquiera:

x y xy ; x y xy ; x y xy ; x y xy

b) El producto 3 5x significa tres veces cinco, es decir, 3 5 5 5 5x (tres términos de 5 )

de la misma manera: 4x x x x x (cuatro veces x o cuatro términos de x )

3ab ab ab ab (tres veces ab o tres términos de ab )

En general, si “ n ” representa un número entero positivo cualquiera, se tiene que nx , significa: n -

veces x o n términos de x , o sea:

n veces

nx x x x x

c) 42 es una forma compacta de representar el producto formado por cuatro factores, todos

iguales a 2 , es decir:

4

4 2

2 2 2 2 2

factores iguales a

de la misma manera:

3

3 3 3 3 ;

52 2 2 2 2 2

5 5 5 5 5 5

15

Si “ x ” representa un número real y “ n ” es un entero positivo,

entonces:

A partir de esta definición, se puede obtener una regla para el producto de potencias de igual base a una sola potencia, por ejemplo:

Si “ x ” representa un número real cualquiera y “ n ” y “ m ” son dos enteros positivos

cualesquiera:

El producto de dos potencias de igual base es una potencia cuya base es la misma que tienen las factores y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores (esta regla se generaliza al producto de más de dos potencias).

La propiedad distributiva en los números reales establece que si , ,a b c son tres números

reales cualesquiera, entonces:

a b c ab ac

la cual se puede extender a: 1 2 3 1 2 3n na b b b b ab ab ab ab

y se aplica para multiplicar polinomios. Ejemplos Multiplicar:

1) 2 2 2 2 22 2 2a a a a a a a 4 32 2a a

16

2) 2 2 3 21 2 1 2 3 63 2 3 3 3 2 6

2 3 2 3 2 3x x x x x x x x x x x

3 232 6

2x x x

3) 4 2 6 1 4 2 6 1

12 12 12 4 4 2 6 6 13 2 3 2

x x x xx x

4 4 4 2 6 6 6 1 16 8 36 6x x x x 28 2x

4) 3 1 3 3 1 3 3x x x x x x x x x 2 2 3x x

El primer polinomio se considera como una sola cantidad y se aplica la propiedad distributiva como en los ejemplos anteriores. Se obtiene el mismo resultado si se ordenan los polinomios uno arriba del otro y se multiplica el polinomio superior por cada uno de los términos del inferior. Los términos semejantes obtenidos en el producto se acomodan en una misma columna para facilitar la suma. Ejemplo

5) 2 2 2 22 3 9 2 2 3 2 9 2 3 2 3 9 2 9x x x x x x x x x x x x x x x

3 2 22 3 6 9 18x x x x x 3 25 15 18x x x

O también: Ejercicios 1.5. Multiplica como se indica y reduce términos semejantes.

1. 2 2 426 3 3

3

m xa b ab a a b

2. 2 322 3

7xy y x y x

3. 3 3xy x y 4. 3 5 6x y x y

5. 21 1 2 4

2 3 3 5x xy x y

6. 21 1x x x

17

7. 2 24 2 5c a c ac a 8. 2 27 3 5 6x x x

9. 2 21 1 1 2 3

2 3 4 3 2x xy y x y

10. 2 23 4 2 3a a a a

11. 1 2 3x x x 12. 2 3 2 1m m m

13. 2 23 2 3 4b b b 14. 2 23 2 7 8a c a ac c

15. 2 21 2 1 3

4 3 4 2a ab b a b

1.6. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, COEFICIENTES Y EXPONENTES.

a) División de números reales.

Si x y y representan dos números reales cualesquiera y y es distinto de cero 0y , por lo tanto,

se tiene que:

x x

y y

;

x x

y y

;

x x

y y

;

x x

y y

b) La división 30

12

ab

cd

se puede efectuar como sigue:

30 2 3 5

12 2 2 3

ab ab

cd cd

5

2

ab

cd (se descompuso el 30 y el 12 en sus factores primos para simplificar a

su mínima expresión).

c) La división de

7

4

x

x se puede realizar de la siguiente manera:

7 4 3

4 4

x x x

x x 3x

Ejemplos Realizar la división de monomios.

1) 5 4

5 3 4 2

3 2

x yx y

x y

2 2x y 2)

3 2 4 3 2 4 3 1 2 2 4 32 0 1

2 3 2 3

12 2 2 3 2 2

18 2 3 3 3 3

x y z x y z x y zx y z

xy z xy z

22

3x z

Realizar la división de un polinomio entre un monomio.

1)

4 3 4 312 6 18 12 6 18

6 6 6 6

x x x x x x

x x x x

3 22 3x x

18

2) 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4

2 2 2 2 2 2 2 2

2 4 2 4

2 2 2 2

x y x y xy x y x y xy

x y x y x y x y

2

22

yx y

x

Realizar la división de dos polinomios.

1) 4

2

8 15 24

2 4

dividendox x

divisorx x

Primero se completa el dividendo:

4 3 2

2

8 0 0 15 24

2 4

x x x x

x x

Por lo tanto:

4

2

8 15 24

2 4

x x

x x

2

2

44 2 7

2 4x x

x x

2)

24 4 3

2 3

x x

x

Por lo tanto:

24 4 3

2 3

x x

x

2 1x

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Sean f x y g x dos polinomios tales que g x no es una constante. Si el polinomio f x es

de grado mayor o igual que el grado de g x , entonces existen polinomios únicos q x y r x de

modo que el grado de r x es menor que el de g x y:

19

f x r xq x

g x g x ó f x q x g x r x

Si el grado de f x es menor que el de g x , el polinomio 0q x y f x r x ; por otro lado,

el grado de q x es igual al de f x menos el de g x .

1.7. DIVISIÓN SINTÉTICA

Cuando se divide un polinomio entre otro de grado uno, de la forma ax b , se puede hacer

uso de la división corta (o sintética) que consiste en hacer más breve dicha operación. Se

ejemplificará esto con el ejemplo anterior dos

24 4 3

2 3

x x

x

Ejemplos

1) 24 4 3

2 3

dividendox x

divisorx

1º Se completa y ordena el dividendo y se factoriza el divisor como se muestra: 2º Se hace el siguiente arreglo:

Para obtener el cociente, se divide estos números entre 2 (factor de 3

2x

), resultando:

, por lo tanto:

24 4 3

2 3

x x

x

2 1x

Si el dividendo es de segundo grado y el divisor de primer grado, entonces el cociente es de

2 1 1 primer grado.

Si el residuo es cero como en este caso, se dice que el dividendo 344 2 xx es divisible entre

el divisor 32 x .

Se hace la observación importante, de que la división sintética,

20

solo puede aplicarse cuando el polinomio divisor es de primer grado.

2)

5 4 3 26 2 3 3 3

3 1

x x x x x

x

5 4 3 26 2 3 3 3

13

3

x x x x x

x

Por lo tanto:

5 4 3 26 2 3 3 3

3 1

x x x x x

x

4 2 22 1

3 1x x

x

Ejercicios 1.7. Efectúa las divisiones indicadas.

1. 32

4

ab

ab

2.

2 3

2

36

6

x y

x y

3.

2 315 9

3

a b ab

ab

4.

2 3

2

14 21

7

x x

x

5.

4 3 2 4 2 2

2 2

2m n m n m n

m n

6.

29 6 3

3

x x

7.

2 7 6

1

x x

x

8.

23 24

3

x x

x

9.

38 6

2

x x

x

10.

212 7 10

3 4

x x

x

11.

3 2

2

10 12 27

3

x x x

x x

TEORÍA DE LOS EXPONENTES

Cuando un número real 0x está elevado a un exponente n (entero positivo), esto se

escribe:

Si el exponente es igual a cero: 0 1x (todo número real elevado a la cero potencia es igual a

uno, excepto el cero), una forma de ver esto, puede ser si: 10 xxx

x nn

n

n

6 0 3 0 32 0 1 0 1

3

21

Si el exponente es un entero negativo: 1n

nx

x

Si el exponente es una fracción p

q, donde p y q son enteros y 0q :

p

pq qpqx x x

Las reglas para operar con exponentes, reciben el nombre de LEYES DE LOS EXPONENTES y algunas de estas son:

Si x y y representan números reales distintos de cero 0, 0x y y n y m enteros

positivos:

1. n m n mx x x (si son iguales las bases, se suman los exponentes)

2. m

n n mx x ; 3. n n nxy x y ; 4.

n n

n

x x

y y

; 5.

nn m

m

xx

x

Nota: Estas leyes se pueden generalizar para cuando los exponentes son números reales también. Ejemplos Realizar las operaciones indicadas, utilizando las leyes de los exponentes y expresando los resultados sin exponentes fraccionarios ni negativos.

1)

1 1 72

32 73 3 3x x x x x

7

3 x ; 2)

22 3 8 9 133 4 12 12

3 1

4 12

1aa a a

a a

12

1

a

3) 1 41 4

4 43 333p p p p

43 p ; 4)

1

31 1 1 3 33 3 3

1 1 1xy

x yxy x y

3

1

xy

5)

1122

1 1 1

2 2 2

1

2

1 1a b b

b aa a a

bb

b

a

Ejercicios 2.1. Desarrolla:

1. 2

24a 2. 4

4y 3. 3

5a 4. 3

23xy

22

5. 3

2 32x y 6. 3

3 47ab c 7. x

m na b 8. 2 3m

a b c

9.

2

2

x

y

10.

3

2

2a

b

11.

4

21

3ab

12.

5

2 41

2a b

13. 0

4 14. 0

2xy 15. 0

24m n 16.

0

31

2xy

Expresa con signo radical:

1.

3

5x 2.

3

44a 3.

1

2xy 4.

4 5

5 22a b 5.

2 4 2

7 5 73x y z 6. 5

1

5

4

2

3

zyx

Expresa con exponente fraccionario:

1. 5a 2.

3 7x 3. 542 x 4.

3 542 ab c 5. 2 3 955a x y z 6.

3n xrm a b c

Expresa con exponentes positivos y simplifica:

1.

1

4 2a b

2.

1

2 33x y

3.

1

4 2

3 4

3

8

m n

m n

4.

1

22

3 2 13

a x

a x y

5.

2 1

3 4

1

2 2

x y

x yz

6. 2

1 3

3 2 4

3a mn

a m n

Efectúa las operaciones indicadas:

1.

2 3

5 53m m

2.

1 1

3 22 2x y x y

3.

2 1 1 2

3 3 3 3a b a b

4. 3

1 242a b ab

5. 3 1 2 2a b a b 6.

1 2

2 25 32 1

3 7m b m b

7.

2 1

5 5a a

8.

3 1

4 2m m

9.

2 1

5 54 2x x

10.

7

3 4a a

11. 2 1

3 2

x y

x y

12.

32

3a b

13. 3

2 1a b 14.

2

2 5

1

5

8

4

x y

xy

15.

21

4 4x y

16.

211

322a b

17. 1 2

2 2 3 0x y x y

18.

2

2

23

7

8

3

7

yyz

x

RADICALES

La raíz n -ésima de un número real “ a ”, se expresa como:

23

Cuando el índice “ n ” es par, entonces el subradical “ a ” deber ser no negativo 0a . Si el

índice “ n ” es impar, entonces el subradical “ a ” puede ser positivo, negativo o nulo (es decir,

cualquier número real). Definición

La raíz n -ésima de un número real “ a ” es un número “ k ” cuya potencia n -ésima es “ a ”, es decir: n a k ya que

nk a

Ejemplos

1) 3 8 2 ya que 32 8 ; 2) 9 3 ya que

23 9 ; 3) 5 32 2 ya que 5

2 32

4) 4 no es un número real porque el subradical es negativo y el índice “ n ” es par.

3.1. REDUCCIÓN DE RADICALES Recordando del capítulo anterior que los radicales pueden ser sustituidos por exponentes

fraccionarios: p

pq qpqx x x

Entonces las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes y se llaman LEYES DE LOS RADICALES:

1. 1 1n ; 2. 0 0n ; 3. nn nxy x y ; 4. ; 0n

nn

x xy

y y

5. n mm nm nx x x ; 6.

n nkm mka a ; k es un entero positivo.

3.2. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Un radical n a se dice que está simplificado cuando:

◊ El subradical no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice “ n ” del

radical.

◊ El índice del radical “ n ” es el menor posible.

◊ El subradical no contiene fracciones.

◊ No hay radicales en el denominador de ninguna fracción.

24

Antes de ver algunos ejemplos, hay que recordar que para descomponer un número en sus factores primos, es conveniente aplicar algunas reglas de divisibilidad:

A. Cuando un número termina en cifra CERO o PAR, dicho número es divisible entre 2. B. Si un número termina en cifra CERO o CINCO, dicho número es divisible entre 5. C. Si la suma de sus dígitos de un número es divisible entre tres, dicho número es divisible entre

3. Ejemplos Simplificar los siguientes radicales:

1) 90

Solución El subradical se descompone en sus factores primos como sigue:

290 3 5 2 ; por lo que

290 3 5 2 y por la propiedad 3:

2) 524x

Solución

5 2 4 2 4 424 2 2 3 2 2 3 4 6x x x x x x x 22 6x x

3) 6 53 54x y

Solución

3 23 3633 56 2354 yyxyx 2 233 2x y y

4) 6 104 64x y

25

Solución

Si el índice del radical “ n ” y los exponentes de todos los factores poseen un factor

común, tanto el índice como los exponentes de los factores del subradical se dividen entre su factor común (propiedad 6)

6 10 2 3 2 3 2 5 3 3 5 2 2 44 2 264 2 2 2 2x y x y x y x y xy

22 2xy xy

Ejercicios 3.2. Expresa cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple.

1. 18 2. 3 48 3. 42 243 4. 31128

2 5.

4 53 64x y 6. 6 2 29a x

7. 2 24 25a b 8.

2 3

3 5a 9.

4 88 81x y

3.3. INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL

Para introducir una cantidad en un radical, se eleva dicha cantidad a la potencia que indica el índice del radical.

Ejemplos

1) 2 23 5 3 5 9 5a ab a ab a ab 345a b

2)

3 3 3

3 333

2 2 2x x x x x x

y y y y y y

4

34

8x

y

Ejercicios 3.3. Dando al coeficiente el exponente apropiado, inclúyelo dentro del signo radical.

1. a b 2. 22 3b a 3.

33 2

9

a x

x a 4.

aa b

a b

5.

2

42

4

xx

x

6.

2

1 12

4a

a

3.4. REDUCCIÓN DE RADICALES AL MÍNIMO COMÚN ÍNDICE

Radicales de distintos índice, pueden convertirse a radicales con el mismo índice obteniendo el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de los índices (que será el índice común) y elevando cada subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de su radical.

26

Antes de resolver algunos ejemplos, recuerda que: “El mínimo común múltiplo (M.C.M.) de dos o más números, es el menor de sus múltiplos comunes” Ejemplo Los primeros diez múltiplos de los números 12 y 18 son:

12 12,24,36,48,60,72,96,108,120,132,M

18 18,36,54,72,90,108,126,144,162,180,M

la intersección de estos dos conjuntos es: 12 18 36,72,108,M M de donde 36 es el

M.C.M. de 12 y 18 .

Una manera más sencilla de obtener el M.C.M. de dos o más números, es la siguiente:

Descomponer cada número en sus factores primos. Tomar los factores comunes repetidos y no repetidos de mayor exponente. El M.C.M. es el producto de estos factores del paso anterior.

Ejemplo

Encontrar el M.C.M. de los números 12 y 18 .

El M.C.M. de 12 y 18 es 2 22 3 4 9 36

Ejemplos Reducir al mínimo común índice:

1) 22x ,

23 4xy

Solución

El M.C.M. de 2 y 3 es 2 3 6 ; 6 426 2263

6

23 2 16)4()4(4 yxxyxyxy

6

32 2 26 622 2 2x x x

6 68x

2) 3ab , 34 a b ,

10 24a

27

Solución

El M.C.M. de 2, 4 y 10 es 22 5 20 ;

2020

23 3ab ab 10

20 3ab

20

3 34 20 4a b a b 5

320 a b ; 20

10 2 220 104 4a a 2

220 4a

Ejercicios 3.4. Reduce el mínimo común índice.

1. 42 , 3 2. 35 , 2 3. 5 23 2 , 3ab a x 4.

235 , 4x x y 5. 62 3 5 44 8 , 3a x a m

6. 5 102 34 3 , 2 , 7a b x

3.5. REDUCCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES

Dos radicales son semejantes si después de que han sido simplificados, constan del mismo subradical y el mismo índice.

Ejemplos

1) 6 2 y 3 2 son radicales semejantes.

2) 3 8 y 128 ¿son radicales semejantes?

Solución Primero se descompone en sus factores primos cada subradical.

3 2 23 8 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 6 2

7 6 6128 2 2 2 2 2 8 2

ya que 3 8 6 2 y 128 8 2 por lo tanto si son radicales semejantes.

3) 3 81 y 3 375 ¿son radicales semejantes?

28

Solución

3 3 34 3 33 381 3 3 3 3 3 33 3

3 33 33 3375 5 3 5 3 35 3 si son semejantes.

3.6. SUMA Y RESTA DE RADICALES

La suma o resta de radicales semejantes se efectúa como la de términos semejantes.

Ejemplos Efectuar las siguientes operaciones con radicales.

1) 54 24 150

Solución

3 3 2 2 2 254 24 150 3 2 2 3 5 2 3 3 3 2 2 2 3 5 2 3 3 6 2 6 5 6

54 24 150 3 2 5 6 6 6

2) 3 51

6 7x x x xx

Solución

3 5 2 4 21 1 16 7 6 7 6 7 6 7x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x

3 51

6 7 6 7 0x x x x x x x x xx

0

3) 2 24 416 81 36a a a

Solución

29

La raíz 36a se convierte al mismo índice de las otras dos:

4 22 2 2 4 4 2 24 4 44 4236 36 36 3 2 3 2 3 2a a a a a a

Por lo tanto 2 2 4 2 4 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 4 416 81 36 2 3 6 2 3 6a a a a a a a a a

4 24 24 24 2 )632(368116 aaaaa

Ejercicios 3.6. Simplifica los radicales y reduce los que sean semejantes.

1. 3 7a b a b a b 2. 3 4 5ab b a ab 3. 50 32 18

4. 1 1 3

12 18 482 3 4

5. 20 2 75 4 12 6. 2 2 2 22 9 16 4m n m n mn mn

3.7. MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIACIÓN DE RADICALES

Para multiplicar o dividir radicales, es necesario que sean del mismo índice (si son de índices diferentes, deben convertirse al mismo índice) y después aplicar las propiedades

3. nn nxy x y o la 4. ; 0n

nn

x xy

y y . Cuando un radical se eleva a un exponente, se aplican

las propiedades p

pq qpqx x x y m

n nma a

Ejemplos Efectuar las operaciones indicadas.

1) 7 2 7 2 14 ; 2) 22 2 2a ab a ab a b 2a b

3) Cuando se multiplican expresiones con radicales con más de un término, es lo mismo que con los polinomios, por ejemplo:

4) 15 15

33 5 ; 5)

3 5 3 54

22

a b a bab

a ba b 2b a

30

6) 2 2 22 225 4 2 2 44 4 4 4 16x x x x x x x x x

516x

Ejercicios 3.7. Efectúa las operaciones indicadas y expresa cada resultado en su forma más simple.

1. 5 4 8 2. 22 7 28a a 3. 2 318 2x y xy 4. 3 23 3 4a a

5. 3 33 412 9a b ab 6. 12 5x a a

a

7. 4 3 2 5 3 8. 3 2x x

9. 2 3 1a b 10. 2 3 7 5 5 3 11. 4 6 2 3a 12. 2 3

10

a

a

13.

13

23

4

xy

x

14. 2

2 x 15. 3

5 2 16. 3

b a

3.8. RACIONALIZACIÓN

Racionalizar una fracción que contiene radicales, significa remover (quitar) los radicales.

a) Cuando se tiene un radical en el denominador de una fracción, el cual se quiere remover, se

debe multiplicar el numerador y el denominador de dicha fracción por el radical del denominador elevado a un exponente tal que, cuya suma con el exponente original, sea un múltiplo entero del índice “ n ” del radical original.

Ejemplos Racionalizar el denominador de cada fracción.

1)

2

4 4 2 4 2 4 2

22 2 2 2

2 2 ; 2) x

x

x

x

x

x

xx 5

3

)(5

3

)(

)(

5

3

5

3 3 2

33

3 2

23

23

33

3)

2

2 2 1 2 1

1 1 1 1

x x

x x x x

2 1

1

x

x

31

b) Cuando el denominador de una fracción consta de dos términos que contienen radicales de segundo grado, se racionaliza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del

denominador (se hace uso del producto 2 2a b a b a b ).

Ejemplos Racionalizar el denominador de cada fracción.

1)

2

2

2 1 2 2 1 2 2 1 22 2 1 22 1 2

1 2 11 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2

2) 6 3 26 6 3 2

3 23 2 3 2 3 2

6 3 2

Ejercicios 3.8. Racionaliza el denominador.

1. 1

5 2.

1 2

2 3 3.

3

5 4.

3

2x 5.

2

2

a

ax 6.

m

a b

7. 6

2 3 8.

5 2 3

4 3

9.

2 5

2 5

10.

2

a x

a x

11.

1

1

x x

x x

Nota adicional: Cuando el denominador de una fracción consta de dos términos que contienen

radicales de tercer grado de la forma 3 3a b , se racionaliza multiplicando numerador y

denominador por 2 2

3 3 3 3a a b b

respectivamente (o sea que en estos casos se usa el

producto 2 2 3 3a b a ab b a b ).

Ejemplo Racionalizar el denominador.

1)

2 23 3 3 3

3 32 23 3 3 3

3 32 23 3 3 33 33 3 3 3

5 5 3 31 1 5 5 3 3 25 15 9

5 35 3 5 3 5 35 5 3 3

32

3 3

1

5 3

3 3 325 15 9

8

IV PRODUCTOS NOTABLES

Existen algunos productos de expresiones algebraicas que reciben especial atención debido a que en su obtención se sigue una regla fácil de memorizar, algunos de estos productos son los siguientes y reciben el nombre de productos notables.

4.1. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA POR DOS TÉRMINOS

2 2 2( ) ( )( )a b a b a b a a a b b a b b a ab ab b 2 22a ab b

Por lo tanto: 2 2 22a b a ab b y se puede memorizar diciendo que es igual “al cuadrado del

primero 2

a más el doble producto del primero por el segundo 2ab más el cuadrado del segundo

2

b .

Un desarrollo análogo al de 2

a b es el de 2

a b :

2( ) ( )( )a b a b a b a a a b b a b b 2 22a ab b

4.2. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CONJUGADAS

La expresión a b es la conjugada de a b y viceversa.

2 2a b a b a a a b b a b b a ab ab b 2 2a b

Por lo tanto: 2 2a b a b a b y se puede memorizar diciendo que es igual “a una diferencia de

cuadrados”.

Si el orden de los factores cambia, el resultado es el mismo, o sea:

2 2a b a b a b a b a b

33

4.3. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CON UN TÉRMINO

COMÚN DE LA FORMA a b a c

2a b a c a a a c b a b c a c a b a b c 2a c b a bc

Por lo tanto 2a b a c a c b a bc y se puede memorizar diciendo que es igual a “el

cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los no comunes más el producto de los no comunes.

4.4. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA POR TRES TÉRMINOS

2

a b c a b c a b c a a a b a c b a b b b c c a c b c c

2 2 2 2 2 2 2a b c a ab ac ab b bc ac bc c a b c ab ab ac ac bc bc

2

a b c 2 2 2 2 2 2a b c ab ac bc

Por lo tanto 2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc y se puede memorizar diciendo que es igual

a “el cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo más el cuadrado del tercero más el doble producto del primero por el segundo más el doble producto del primero por el tercero más el doble producto del segundo por el tercero.

4.5. CUBO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA POR DOS TÉRMINOS

3 2 2 2 2 2 2 22 2 2a b a b a b a ab b a b a a a b aba abb b a b b

3 3 2 2 2 2 32 2a b a a b a b ab ab b

3 2 2 33 3a a b ab b

Por lo tanto 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b se puede memorizar diciendo que es igual a “el cubo del

primero más tres veces el cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.

Ejemplos

34

Desarrollar los siguientes binomios o trinomios según sea el caso.

1) 2

3x 2 2

2 3 3x x 6 9x x

2)

2 2 2 2 2

2 2

3 3 3 9 62

x y x x y y x xy y

y x y y x x y yx x

2 2

2 2

96

x y

y x

3) 2 2

7 2 7 2 7 2y y y 249 4y

4) 2

23 1 3 1 3 1x x x 9 1x

5) 2

7 2 7 5 7 2 5 7 2 5w w w w 249 49 10w w

6) 2

2 2 3 2 3 2 3 2 4 2 3x y x y x y y x y y x y x y

2 2 3x y x y 2 4 2 3x xy y

7) 2 2 2 2

2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3x y z x y z x y x z y z

2

2 3x y z 2 2 24 9 4 6 12x y z xy xz yz

8) 2 2

222 2 2 22 2 2 2 2 2 2x x x x

y z y z y z y zy y y y

2

22x

y zy

2 22 4 2

2

24 4 4

x xzy z x yz

y y

9) 3 3 2 3 2

2 3 2 3

3 2

2 2 2 2 8 4 23 3 3 3

x x x x x x xx x x x x x x

y y y y y y y

3

2xx

y

3 3 33

3 2

8 12 6x x xx

y y y

10) 3 3 2 2 3

4 3 4 3 4 4x x x x 3 212 48 64x x x

Ejercicios 4.5.

35

1. x y x y 2. 2

4r s 3. 3

1x 4. 2 2 2 2x y x y 5. 2

3 3a b

6. 2 2 2 23 11 3 11a b a b 7. 2

2 3x y 8. 3 1 3 1m m 9. 2

2 24 3x y

10. 3 3ab ab 11. 5 6ab ab 12. 3

2 2a b 13. 1 5ax ax

14. 3

22 y 15. 3 4 3 4x x 16. 1 13 4m mx x 17. 2

11x y

18. 3 312 15a a 19. 3

a b

20. 2mn y mn y 21. 2

1 23a ax x

22. ab cd ab cd 23. 2

2 4mn 24. 3

1 5ax 25. 3 8x xa a

26. 2 29 12xy xy 27. a b c a b c 28.

33 3

3 2

x y

29.

22 2m n

30. 2 5 2 2

3 4 3 7

x x

31. 1 16 5x xa a 32.

32

15

a

33. x n x na b a b

34.

2 2

65 5 2

x x aa

35.

22 3

3 4

xya

36.

3

2 3

5xy z

37.

3 32 6

a a

b b

38. 1 18 9a ax x 39. )12)(12( 22 nnnn 40. 2 3 4 2 3 4x y z x y z

41. 1 2 1 2x y x y 42. 2

3x y

V. FACTORIZACIÓN La factorización se puede considerar como un procedimiento contrario al de la multiplicación, ya que mientras en ésta al conocer los factores, se obtiene el producto, en la factorización conociendo el producto se trata de obtener sus factores.

La factorización es el procedimiento que consiste en representar las expresiones matemáticas como el producto de dos o más factores. En particular, se tratará la factorización de polinomios con coeficientes enteros.

5.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) DE VARIOS TÉRMINOS

El máximo común divisor (M.C.D.) o máximo factor común (M.F.C.) de dos o más números enteros, es el producto de sus factores primos comunes de menor exponente.

36

El M.C.D. o M.F.C. de un conjunto de monomios se obtiene tomando el producto del M.F.C. de los coeficientes numéricos de los monomios y las literales comunes cada una elevada a su mínima potencia.

Ejemplos Obtener el M.C.D. o M.F.C. de:

1) 25,50,125

Solución

Por lo tanto, el M.C.D. de 25,50,125 es 25 25

2) 16, 24, 40

Solución

Por lo tanto, el M.C.D. de 16, 24, 40 es 32 8

3) 3 4 215 ,25 ,30x x x

Solución

Por lo tanto

3 3

4 2 4

2 2

15 3 5

25 5 . . .

30 2 3 5

x x

x x M C D

x x

25x

4) 9 1x y 2

3 1x

Solución

37

2

2 2

9 1 3 1. . .

3 1 3 1

x xM C D

x x

3 1x

5) 2 2x x y 2

2 2x x

Solución

. . .M C D 2x x

5.2. FACTOR COMÚN Es importante saber, que la factorización de una misma expresión matemática puede obtenerse de diferentes maneras. Ejemplos

1) 24 3 8 2 3 4 6 4 etc.

2) 2 3 3 26 2 3 3 2x y xy x y x xy etc.

3) 3 2 22 2 12 2 6 2 2 3x x x x x x x x x etc.

Tratando de evitar esto y obtener una única respuesta, es necesario llegar hasta lo que se conoce por “factorización total”, “factorización completa” o “máxima factorización”, lo cual se logra obteniendo el M.C.D. o M.F.C. de todos los términos de una expresión matemática. Ejemplos Obtener el factor común de las siguientes expresiones.

1)

2) 6 12x 3) 2 26 4 10x y xy x

Solución Solución

2

6 3 2. . . 3 2 6

12 3 2

x xM C D

2 2

2 2 2

6 3 2

4 2 . . .

10 2 5

x y x y

xy xy M C D

xy xy

2xy

6 12x 6 2x 2 26 4 10x y xy x 2 3 2 5xy x y

38

4) 2

4 3 6 3x x

Solución

2 224 3 2 3. . 2 3

6 3 3 2 3

x xM C D x

x x

2

4 3 6 3 2 3 2 3 3 2 3 2 6 3x x x x x x 2 3 2 3x x

5) 2

18 3 4 12 4 3x x x

Solución

)43(6)43(23...)43)(1(23)34(12

)43(32)43(182

222

xxDCM

xxxx

xx

2

18 3 4 12 4 3 6 3 4 3 3 4 2 6 3 4 9 12 2x x x x x x x x x

218 3 4 12 4 3x x x 6 3 4 11 12x x

5.3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.) es todo aquel que proviene del cuadrado de un binomio

cualquiera, por ejemplo como 2 2 22x y x xy y , por lo tanto,

2 22x xy y es un T.C.P.

A una expresión de la forma 2x bx c , de aquí en adelante, se llamará trinomio cuadrático

de forma BÁSICA.

Si se compara el T.C.P. 2 22x xy y con el trinomio cuadrático de forma BÁSICA

2x bx c ,

se puede establecer que 2b y y que 2c y o lo que es lo mismo:

2

by o bien que

2

2

2

by c

.

De acuerdo con el resultado anterior, para saber si un trinomio es o no cuadrado perfecto, bastará

considerarlo en forma BÁSICA y verificar si cumple o no la igualdad

2

2

bc

.

Ejemplos Determinar si son T.C.P.

1) 2 26 9x xy y

39

Solución

En este caso 6b y y 29c y , aplicando la igualdad

2

2

bc

, se tiene que

2

2 263 9

2

yy y c

2 26 9x xy y 2

3x y es un T.C.P.

2) 24 8 1x x

Solución

24 8 1x x en forma BÁSICA es 2

2 4 2 1x x de donde 4b y 1c entonces

2 24

42 2

bc

24 8 1x x no es un T.C.P.

3) 29 12 4y y

Solución

29 12 4y y en forma BÁSICA es 2

3 4 3 4y y donde 4b y 4c entonces

2 24

42 2

bc

29 12 4y y 2

3 2y es un T.C.P.

5.4. DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de binomios conjugados, es decir:

2 2a b a b a b .

Ejemplos Factorizar los siguientes binomios conjugados.

1) 2 2 249 7x x 7 7x x 2)

22 2 24 2x y x y 2 2x y x y

3) 2

4 4 2 2 2 26 6 6 1 6 1 6 1 1x x x x x

26 1 1 1x x x

4) 228 18 3 2x y ;

3

2

8 2. . . 2

18 2 3M C D

22 2 22 28 18 3 2 2 4 9 3 2 2 2 3 3 2x y x y x y

40

228 18 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2x y x y x y 2 2 9 6 2 9 6x y x y

5) 2

22 9 325 5

16 4x x

3 35 5

4 4x x

6) 3 3 22 2 23 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1x y x x y x x x y

3 23 1 1 3 3 1 3 1 3 1x y x x x y x y 3 1 3 1 3 1x x y x y

5.5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Para factorizar binomios que constituyen sumas o diferencias de cubos, se utilizan las formas siguientes:

3 3 2 2a b a b a ab b

3 3 2 2a b a b a ab b

Ejemplos Factorizar las siguientes sumas o diferencias de cubos.

1) 3 3 2 23 38 27 2 3 2 3 2 2 3 3x y x y x y x x y y

2 22 3 4 6 9x y x xy y

2) 33 3216 6x x 26 6 36x x x

3) 3 3 2 2364 8 4 2 4 2 4 2 4 2z z z z z 24 2 16 8 4z z z

4) 4 3 3 33 81 3 27 3 3x x x x x x 23 3 3 9x x x x

5) 6 2 3 3 2 2 2 2 264 ( ) (4) ( 4)(( ) 4 (4) )x x x x x 2 4 2( 4)( 4 16)x x x

41

En general, para factorizar binomios que constituyen sumas o diferencias de potencias iguales de la

forma n na b , se procede como sigue:

Si el exponente “n” es IMPAR:

1 2 3 2 4 3 1n n n n n n na b a b a a b a b a b b

Si el exponente “n” es PAR:

n na b no es factorizable por este método

1 2 3 2 4 3 1n n n n n n na b a b a a b a b a b b

ó 1 2 3 2 4 3 1n n n n na b a a b a b a b b

5.6. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2x bx c ,

CON b Y c ENTEROS DISTINTOS DE CERO

Al multiplicar dos binomios con un término común 2x m x n x m n x mn se

obtiene un trinomio cuadrático de forma BÁSICA 2x bx c , en donde b m n y el valor de

c m n , esto es: 2x m x n x m n x mn

2x b x c

Por lo tanto, los trinomios cuadráticos de la forma BÁSICA 2x bx c pueden factorizarse como el

producto de dos binomios de la forma x m x n , invirtiendo el procedimiento como sigue:

Primero, los trinomios deberán expresarse en forma BÁSICA para poder identificar los valores , ,x b c

Segundo, se buscan dos enteros m y n cuya suma m n b y cuyo producto m n c

Ejemplos Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos.

1) 2 11 24k k

Solución

42

El trinomio ya está en forma BÁSICA, en donde x k , 11b y 24c , esto indica que el término

común de los binomios factores es k y los términos no comunes m y n serán dos enteros negativos

(*) porque 11b (es negativo) y 24c (positivo), tales que su suma sea igual a 11 y que su

producto sea 24 , estos números son 8 y 3 ya que 8 3 11 y 8 3 24 por lo

tanto: 2 11 24k k 8 3k k

(*) Cuando “ c ” es positivo, “ m y n ” llevan el signo de “b ”.

Cuando “ c ” es negativo, entonces el de mayor valor absoluto lleva el signo de “b ”.

2) 29 6 24z z

Solución

1º se expresa en forma BÁSICA 2x bx c :

229 6 24 3 2 3 24z z z z

en donde 3x z , 2b y 24c , el término común de los binomios es 3z y los no comunes son

6 y 4 ya que 6 4 2 y 6 4 24 , por lo tanto:

29 6 24z z 3 6 3 4z z

3) 225 45 36y y

Solución

Su forma BÁSICA es 2

5 9 5 36y y en donde: 5x y , 9b y 36c ahora hay que

encontrar dos números cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 36 son: 12 y 3 ya que

12 3 9 y 12 3 36 , por lo tanto: 225 45 36y y 5 12 5 3y y

4) 29 69 24w w

Solución


3 23 3 24w w en donde: 3x w , 23b y 24c , ahora se debe

encontrar dos números cuya suma sea 23 y cuyo producto sea 24 , estos son: 24 y 1 ya que

24 1 23 y 24 1 24 , por lo tanto: 24)3(23)3(24699 22 wwww

29 69 24w w 3 24 3 1w w

Cuando no exista ninguna pareja de factores enteros de “ c ” cuya suma sea igual a “b ”, se asegura

que el trinomio dado no es factorizable por este método, con las condiciones establecidas.

43

5) 236 42 60M M

Solución


6 7 6 60M M en donde: 6x M , 7b y 60c , el término común de

los binomios es 6M y las parejas posibles de factores enteros de “ c ” son:

60 1 60 2 30 3 20 4 15 5 12 6 10c ya que “ c ” es

positivo y “ b ” es negativo. Como no existe ninguna pareja de factores de “ c ” cuya suma sea igual a

7b , por lo tanto este trinomio 236 42 60M M , no se puede factorizar por este método con las

condiciones establecidas. Ejercicios 5.6. Factoriza:

1. zxyx 22 2. )1()1( xbxa 3. 22 2 baba 4.

22491 ba 5. 1072 xx

6. 232 2 xx 7. 31 a 8. yyy 32 23 9.

269 xx 10. 62100 yx 11. 22 xx

12. 33 nm 13. 276 2 xx 14. )1(3)1(2 nynx 15.

23232 11055 xnmxnm

16. 6135 2 xx 17. 2092 yy 18. 13 y 19. 12125 42 yx 20. 8118 48 aa

21. 2)2( nna 22. 432 xxxx 23. 1253 a 24. 2452 cc 25. 1253 a

26. 864291 dcba 27. 1)1( aax 28. 35447 2 xx 29.

3232 2415129 abbaaba

30. )1(3)1)(( nnyx 31. 2

2

4bab

a 32.

294

1a 33. 21102 xx

34. 12815 2 aa 35. 63 278 ba 36. 4379 2 xx 37. aa 2120 2 38.

2536

62 xa

39. 336

25

25

1 24 xx 40. ))(1()1)(( mxxxmx 41. bxabaabba 2232 8563

42. 4062 nn 43. 15148 2 aa 44. 33 278 yx 45.

22 )(4 yxx

46. 16

2164

236 yyxx 47. byaybxax 48. 120 2 yy 49. 3652 xx

50. 22)( ayx

44

5.7. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2ax bx c

( , ,a b c SON ENTEROS DISTINTOS DE CERO y 1a )

Se darán algunos procedimientos para intentar la factorización de trinomios de este tipo:

Una manera, consiste en expresar el trinomio dado como el cociente de un trinomio de la

forma BÁSICA 2x bx c entre un entero como se muestra en los siguientes ejemplos.


1) 23 13 10y y

Solución

El trinomio original se multiplica y divide por 3 , que es el coeficiente del término cuadrático:

22 2 23 3 13 10 3 13 3 303 13 3 3 10

3 3 3

y y y yy y como el trinomio del numerador

2

3 13 3 30y y ya está en forma BÁSICA y en donde 3x y , 13b y 30c , se busca dos

números cuya suma sea 13 y cuyo producto 30 , por lo que 15 2 13 y 15 2 30 ,

por lo tanto

2

23 13 3 30 3 15 3 2

3 13 103 3

y y y yy y

dividiendo finalmente al factor

3 15y entre el divisor 3 , resulta que 23 13 10y y 5 3 2y y

2) 26 5 6z z

Solución

Multiplicando y dividiendo entre 6 :

226 6 5 6 6 5 6 36

6 6

z z z z factorizando el trinomio

2

6 5 6 36z z , en el cual 6x z , 5b y 36c , se buscan dos números cuya suma sea

5 y cuyo producto 36 , estos dos números son 9 y 4 ya que 9 4 5 y

9 4 36 , por lo tanto: 26 9 6 4

6 5 63 2

z zz z

2 3 3 2z z

45

Ejercicios 5.7. Factoriza:

1. 5176 2 xx 2. 5214 2 xx 3. 273 2 xx 4. 3116 2 xx 5. 15234 2 xx

6. 31710 2 xx 7. 3103 2 xx 8. 7236 2 xx 9. 8103 2 xx 10. 9192 2 xx

11. 7152 2 xx 12. 7176 2 xx 13. 7249 2 xx 14. 103936 2 xx

Otra forma de intentar la factorización de trinomios cuadráticos de la forma 2ax bx c ,

cuando 1a , consiste en:

1. Se efectúa el producto ac

2. Factorización en primos del paso 1. 3. Análisis de signos de los números que se buscan.

4. Descomposición de factores de los pasos 2. y 3. en dos números cuya suma sea “b ”.

5. Agrupación y factorización final.


1) 24 24 35x x

Solución

Paso 1. 4 35 140ac

Paso 2. 22 7 5

Paso 3. 0 , 0ac b luego ambos números son negativos.

Paso 4. 2 7 2 5 ; 14 10 24 b

Paso 5. 2 2 24 24 35 4 10 14 35 4 10 14 35 2 2 5 7 2 5x x x x x x x x x x x

24 24 35x x 2 5 2 7x x

2) 221 11 2x x

Solución

Paso 1. 21 2 42ac

Paso 2. 7 3 2 1

46

Paso 3. 0 , 0ac b por lo que uno de los números es positivo y el otro negativo.

Paso 4. 7 3 2 1 ; 14 3 11 b


221 11 2x x 7 1 3 2x x

3) 218 45 28x x

Solución

Paso 1. 18 28 504ac

Paso 2. 2 22 3 7 2

Paso 3. ac > 0 , b > 0 luego ambos números son positivos.

Paso 4. 3 7 6 4 ; 21 24 45 b


218 45 28x x 6 7 3 4x x

4) 212 19 18x x

Solución

Paso 1. 216)18)(12( ac

Paso 2. 2 23 2 2 3

Paso 3. 0 , 0ac b por lo que uno de los números es positivo y el otro negativo.

Paso 4. 2 23 3 2 2 ; 27 8 19 b


212 19 18x x 4 9 3 2x x

Repasando los signos:

Si 0ac y 0b ambos números son negativos.

Si 0ac y 0b ambos números son positivos.

Si 0ac y 0b uno es negativo y el otro es positivo.

Si 0ac y 0b uno es positivo y el otro negativo.

Ejercicios 5.7.1. Factorizar:

1. 576 2 xx 2. 576 2 xx 3. 5136 2 xx 4. 61110 2 xx 5. 456 2 xx

47

6. 310 2 xx 7. 310 2 xx 8. 8719 2 xx 9. 13376 2 xx 10. 561915 2 xx

11. 9718 2 xx 12. 212910 2 xx 13. 11011 2 xx 14. 121918 2 xx

15. 12712 2 xx

Otra manera de intentar factorizar trinomios cuadráticos de la forma cbxax 2, cuando

1a , pueden ser:

Por prueba y error

Por medio de la fórmula general a

acbbx

2

42

Ejemplo

Factorizar 10133 2 xx … (A)

Procedimiento por prueba y error: 10133 2 xx … (A)

De acuerdo con el esquema, debajo del término 23x , se colocan dos factores x3 y x

Cuyo producto es 23x y debajo del término 10 , se colocan otros dos factores cuyo producto

sea 10, multiplicando en cruz xx 15)5)(3( y xx 2)2)(( , se observa que, para obtener el

término de en medio del trinomio cuadrático (A) x13 , debe tenerse que el producto )5)(3( x

sea positivo y el producto )2)((x sea negativo, para que xxx 13215 y 10)2)(5( y

por lo tanto, 23 13 10x x (3 2)( 5)x x

Procedimiento por la fórmula general:

Factorizar 10133 2 xx … (A), en esta expresión se tiene que 13,3 ba y

10c , al sustituir estos valores en la fórmula general, se obtiene:

6

28913

6

12016913

)3(2

)10)(3(4)13(13

2

422

a

acbbx

13 17 2

; ;6 3

x

5x

Y por el teorema fundamental del algebra, en donde una ecuación entera de grado “n”

De la forma 0...2

2

1

10

n

nnn axaxaxa , con 00 a , tiene exactamente “n” raíces

nrrrr ,...,,, 321 ; puede ser expresada como: 0))...()()(( 3210 nrxrxrxrxa ; por lo tanto

La solución del ejemplo es: 2 23 13 10 3 5

3x x x x

(3 2)( 5)x x

48

Ejercicios 5.7.2. Factoriza por los dos métodos anteriores.

1. 352 2 xx 2. 2665 xx 3. rr 1772 2 4. 45915 2 xx 5.

2

3

2

1 2 xx


Indican una operación de división, por ejemplo min

numeradora

deno adorb

con 0b (ya que la

división por cero no está definida).

6.1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) DE VARIOS TÉRMINOS

Una expresión algebraica que es divisible entre otra (con residuo cero), se llama múltiplo de

ésta última, por ejemplo: 2 2a b es múltiplo de a b .

Una expresión algebraica que es múltiplo de dos o más expresiones se llama múltiplo común

de estas expresiones, por ejemplo: 2 2a b es múltiplo común de a b y a b .

Dos o más expresiones pueden tener más de un múltiplo común. Aquel múltiplo común de dos o más expresiones algebraicas que tiene el menor grado posible se llama el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de dichas expresiones, es decir, es igual “al producto de todos los factores diferentes de estas expresiones, tomando cada factor con el máximo exponente que aparezca”. Ejemplos Hallar el M.C.M. de las siguientes expresiones algebraicas.

1) 2 2x y ;

2 22x xy y ; 3 3x y

Solución

Se escribe cada expresión en forma factorizada: 2 2x y x y x y

22 22x xy y x y ; 3 3 2 2x y x y x xy y , los factores diferentes son x y ; x y

y 2 2x xy y , el mayor exponente de x y es 2 y el de los otros factores es 1 , por lo tanto el

M.C.M. 2 2 2x y x y x xy y

2) 22 3 2x x ;

22 7 3x x

Solución

49

2

2

2 3 2 2 1 2. . .

2 7 3 2 1 3

x x x xM C M

x x x x

2 1 2 3x x x

3) 29 4x ;

29 12 4x x

Solución

22 2

22

9 4 3 2 3 2 3 2. . .

9 12 4 3 2 3 2 3 2

x x x xM C M

x x x x x

2

3 2 3 2x x

6.2. SUMA Y RESTA Las fracciones se pueden sumar o restar si sus denominadores son iguales:

a b a b

m m m

; 0m

Si no tienen igual denominador, entonces pueden transformarse en otras fracciones

equivalentes obteniendo su . . .M C M de los denominadores:

a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

; 0bd

Ejemplos Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas.

1) 3 2

2 5

x x x

y y y

Solución

Primero se obtiene el M.C.M. de los denominadores: 2 . . . 2 5 10

5

y

y M C M y y

y

Ahora se escriben las fracciones equivalentes con denominador 10 y y luego se efectúan

operaciones, como sigue:

10 3 5 2 23 2 10 15 4 10 15 4 14 15

2 5 10 2 5 5 2 10 10 10 10 10

x x xx x x x x x x x y x x

y y y y y y y y y y y

10

x

y

2) 2 5 6

6 4

x x

x x

Solución

50

El M.C.M. de los denominadores es:

)()2(4

))(2)(3(62 xx

xx M.C.M.

2(3)(2) ( )x 12x

Una manera más fácil de escribir las fracciones equivalentes, es dividir el M.C.M. entre cada denominador y el resultado se debe multiplicar por su numerador correspondiente, como sigue:

2 2 5 3 6 4 10 3 18

12 12

x x x x

x x

8

12

x

x

; ya que

122

6

x

x y

123

4

x

x

3) 2 2

9 20 6 13

12 6

x x

x x x x

Solución Para obtener el M.C.M. de los denominadores, es necesario presentarlos en forma factorizada:

2

2

12 4 3. . . 4 3 2

6 2 3

x x x xM C M x x x

x x x x

2 2

2 9 20 4 6 139 20 6 13 9 20 6 13

12 6 4 3 2 3 4 3 2

x x x xx x x x

x x x x x x x x x x x

2 2 2

2 2

9 20 6 13 9 18 20 40 6 24 13 52 3 13 12

12 6 4 3 2 4 3 2

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

2 2

3 4 39 20 6 13

12 6

x xx x

x x x x

4 3x x 2x

3 4

4 2

x

x x

4) 2

4

4 2

x x

x x

Solución

2 4 2 2. . . 2 2

2 2

x x xM C M x x

x x

2 2

2

4 24 4 4 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x x xx x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

2

24

4 2

x xx x

x x

2 2x x

2

x

x

51

6.3. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

El producto de dos fracciones, es otra fracción cuyo numerador y denominador son respectivamente el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de las fracciones dadas, es decir:

a c ac

b d bd ; , 0b d

Ejemplos Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas.

1) 2 2

3

9 2

4

x y

y x

Solución

2 22 2

23 3

9 29 2

4 2

x yx y

y x x y

9

2

x

y

2)

2 2

2 2

3 6 1

2 11 5 3 10 3

x x x x

x x x x

Solución Primero se factorizan completamente, numeradores y denominadores:

2 3 3x x x x ; 26 1 3 1 2 1x x x x ; 22 11 5 2 1 5x x x x

23 10 3 3 3 1x x x x ; por lo tanto:

2 2

2 2

33 6 1

2 11 5 3 10 3

x xx x x x

x x x x

2 1x

3 1

5

x

x

2 1x

3x 3 1x

5

x

x

El cociente (o división) de dos fracciones es igual al producto del dividendo por el reciproco del divisor, esto es:

; , , 0

a

a c a d adb b c dcb d b c bc

d

52

Ejemplos Realizar las operaciones indicadas y simplifícarlas.

1) 3

4 5

8 4

9 3

x x

y y

Solución

3 3 5

4 5 4

8 4 8 3

9 3 9 4

x x x y

y y y x

22

3

x y

2) 3 2

2 2 2

4

3 3

x x

x xy x y

Solución

33 2 3 2 3

2 2 2 2 3

44 4 4

3 3 3 3 3

x y x y x x y x yx x x x x

x xy x y x x y x y x y x x y x x x y

3 2

2 2 2

4

3 3

x x

x xy x y

4

3

x y

Fracción compleja es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos y se entiende por simplificarla si se transforma a una fracción simple, reducida a sus términos más sencillos.

Ejemplos Simplificar:

1) 2

2

5 212

11 212

x x

x x

Solución Como regla práctica, a veces puede simplificarse fácilmente una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el M.C.M. de todos los denominadores que intervienen en ella (lo cual equivale a multiplicar por uno la expresión original).

53

2

222

22

2 2

5 25 2 1212 4 1 3 212 5 2

11 2 11 2 12 11 2 4 1 3 212 12

xx xx xx xx x

x x x xx

x x x x

4 1

4 1

x

x

2) 3

18

3

x

xx

Solución

2

3 3 3 3 3 3 3 33

18 18 3 18 3 18 6 33

3 3

x x x x x x x xx

x x x x x xx x x

x x

3

6

x

x

Ejercicios 6.3. Efectúa las operaciones indicadas y simplifícalas.

1. 2 3 2

4 6

x x 2.

2

2 1

5 3a ab 3.

2 2

2 2

3 4

3 5

a b a b ab

ab a b

4.

2 4

12 15 30

x y x y y x

5. 3 2 3 3a b a m

ab am a

6.

1 1

1 1a a

7.

3 6

1 2 5x x

8.

x x

x y x y

9. 2 2

4x y x y xy

x y x y x y

10.

2

2

3 2 2 5

2 4

x x x

x x

11.

2

2 3

3 4 3

5 3

a ab

ab a b

12.

2

2 3

3 1 2 3

5 3 15

x x x

x x x

13.

1 1

1 1

x x

x x

14.

2

1x

xy y y

15.

2

1 1 1

4 4 8 8 12 12a a a

16. 2

1 1x

a ax a x

17.

2 22 6

3 4

a b

b a 18.

3 2 2

3 2

2 3 5

15 7

x a x

a y xy 19.

2 2

2 2

2 2 3

2 2 3

x x x x

x x x

20.

2

2

2 2 4 5

2 50 3 3

a a a

a a

21.

2 1

1 2x x

x x

22.

2

21

ab ba

a b a

23.

2

1x x

xy x y

24.

22 3

2

3

5

a ba b

x 25.

22 36

5

a xa x 26.

3 2

2

5 5

2 6 2 6

x x x x

x x x

54

27. 2 2

2 2 4

x y x y

x y x y

28.

2

3

4 2

8 2

x x

x x

29.

2 2

x y y x

a b a b

30.

31

31

x

x

31.

21

21

xx

xx

32. 2

2

3 41

1 21

x x

x x

33.

44

12

x

xx

x

34.

1 5

13 2

1

x x

x x

35.

61

2 3

22

d

c dd

c d

VII. ECUACIONES Una igualdad es la relación o comparación que se establece entre dos expresiones algebraicas mediante el signo “” (igual a), llamándose primer miembro de la igualdad a la expresión que se escribe a la izquierda del signo , y segundo miembro a la que se escribe del lado derecho. Ejemplos

Una proposición de igualdad que contiene variables, puede ser “ecuación” o “identidad”; es

ecuación si existe cuando menos un valor de sus variables que de lugar a una igualdad falsa y es

identidad cuando la igualdad es verdadera para todos los valores posibles de sus variables.

Ejemplos

4 2 2 1x x Es ecuación, ya que sólo es verdadera para 1

2x

2 22 4 4x x x Es identidad, porque es verdadera para cualquier valor que se le asigne a la

variable x .

Resolver una ecuación, consiste en determinar los valores que pueden adquirir sus variables para que la igualdad sea verdadera. A estos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación y constituyen su conjunto solución. Algunas de las propiedades que más se aplican en la solución de ecuaciones, son: Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o resta una misma cantidad, la igualdad

subsiste.

Si a b entonces a c b c ( , ,a b c son números reales).

Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad, la

igualdad subsiste.

55

Si a b entonces ac bc y a b

c c ; 0c

7.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Una ecuación es de primer grado en una sola variable, si al tener todos los términos de la igualdad en uno de sus miembros (aplicando las propiedades anteriores), se llega a una igualdad de

la forma 0ax b (llamada forma estándar) en la cual a y b son constantes y x es la variable o

incógnita 0a .

Para resolver una ecuación, se procede a encontrar otra ecuación más simple que la original, cuyo conjunto solución sea el mismo (esto se puede lograr generalmente, aplicando las propiedades anteriores) Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones.

1) 9 2 7x x

Solución Aplicando las propiedades anteriores se obtiene otra ecuación equivalente, reuniendo en un miembro los términos que contienen la incógnita y en el otro término, los que no la contienen:

9 2 7x x

9 7 2 7 7x x x x sumando 7x en ambos miembros.

16 2x

1 116 2

16 16x

multiplicando por

1

16 ambos miembros.

2

16x , simplificando

1

8x

2) 3 2 2 2 1 12x x

Solución Primero se remueven los paréntesis efectuando los productos y simplificando.

3 2 2 2 1 12x x 4 4 4 12 4x se suma 4 en ambos miembros

6 6 2 2 12x x 4 16x

6 2 6 2 12x x 1 1

4 164 4

x

se multiplica ambos miembros por 1

4

4 4 12x 16

4x 4x

56

Cuando se transforma una igualdad en otra equivalente aplicando las propiedades, es costumbre decir que si un término es positivo, “pasa” con signo contrario al otro miembro y si está multiplicando “pasa” dividiendo (llevándose su signo) y viceversa, si esta dividiendo, “pasa” multiplicando (llevándose su signo). Esto no es otra cosa que una manera de hablar y simplificar las cosas, pero se debe estar consciente que la justificación de esta forma de hablar, es la aplicación de las propiedades y esto se usa solamente para ahorrar pasos en el desarrollo. Se mostrará esto con el ejemplo anterior 2) con esta forma de actuar.

Ejemplos Resolver la siguiente ecuación.

2) 3 2 2 2 1 12x x

Solución

3 2 2 2 1 12x x 4 12 4x

6 6 2 2 12x x se efectúa el producto 4 16x ; 16

4x

4 4 12x se simplifica 4x

3) 2 5 17

3 16 12

x x

Solución

Cuando en una ecuación aparecen términos que contienen fracciones, para facilitar la reducción de términos semejantes, se multiplica a ambos miembros de la ecuación por el M.C.M. de los denominadores de las fracciones, como se muestra:

El M.C.M. de 3,16,12 es: 4 4

2

3 3

16 2 . . . 3 2 48

12 3 2

M C M

Por lo tanto: 2 5 17

3 16 12

x x 17 68x

2 5 1748 48

3 16 12

x x

68

17x

32 15 68x x 4x

4) 3 7

14 6

x x

Solución

2

24 2. . . 2 3 12

6 3 2M C M

1491223 xx

57

3 7

12 12 14 6

x x

7x

3 3 2 7 12x x

1214293 xx

5) 3 2 1

4 3 6

x x x

Solución

2

2

4 2

3 3 . . . 2 3 12

6 3 2

M C M

3 4 2 8 2 9x x x

3 2 112 12

4 3 6

x x x

9 3x

3 3 4 2 2 1x x x 3

9x

3 9 8 4 2 2x x x 1

3x

Para “comprobar” si el resultado es correcto, bastará con sustituir dicho resultado en la ecuación original, la cual deberá satisfacerse al realizar las operaciones indicadas. Ejemplo

Comprobar que 1

3x satisface a la ecuación

3 2 1

4 3 6

x x x

Solución

1 1 13 2 1

3 3 3

4 3 6

8 7 2

3 4 3 3 3 6

1 9 6 1 1 3

3 3 3 3 3 3

4 3 6

2 7 1

3 9 9

8 7 2

3 3 3

4 3 6

2 6

3 9 ;

2 2

3 3 lo cual es correcto.

58

Ejercicios 7.1. Resuelve las siguientes ecuaciones enteras de primer grado con una variable.

1. 2 1 8 3 3x x x 2. 30 6 5 4 5 6 8 3x x x x x

3. 15 6 5 2 3 7 23 3 2x x x x x x

4. 16 3 6 9 30 3 2 3x x x x x x

5. 71 5 2 3 25 3 4 4 3x x x x

6. 3 8 15 6 3 2 5 4 29 5x x x x

7. 2 2

7 4 3 5 4 1 1 2x x x x

8. 2 2 2 22 3 3 1 5 3 4 5 1 4 12x x x x x x x

9. 2 25 1 6 3 7 3 2 5 2x x x x x x x

7.2. ECUACIONES FRACCIONARIAS

Son “ecuaciones fraccionarias” aquellas en las que la variable está presente en el divisor (denominador), de uno o más de sus términos.

Se resuelven de la misma manera que las anteriores. Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones.

1) 2

2 3 7

2x x x

Solución

El M.C.M. de 2, , 2x x x es:

22x 2 2

2

2 3 72 2

2x x

x x x

4 6 7x x 3 6x

4 7 6x x 6

3x

; 2x

59

2) 1 3

3 4

x

x

Solución

El M.C.M. de 3x y 4 es: 4 3x 1 3

4 3 4 33 4

xx x

x

4 1 3 3x x 4 3 9 4x x

4 4 3 9x x 5x

3) 1 4 7

3 3 12 3 9x x x

Solución

3 3

3 12 3 4 . . . 3 4 3

3 9 3 3

x x

x x M C M x x

x x

3 4 7 28 12 12x x x

1 4 7

3 4 3 3 4 33 3 12 3 9

x x x xx x x

8 4x

3 4 4 3 7 4x x x 4

8x

; 1

2x

3 12 4 12 7 28x x x

4) 2

7 3 9 26

6 4 2 24

x

x x x x

Solución

2

6 6

4 4 . . . 6 4

2 24 6 4

x x

x x M C M x x

x x x x

7 28 3 18 9 26x x x

242

269)4)(6(

4

3

6

7)4)(6(

2 xx

xxx

xxxx 7 3 9 26 28 18x x x

7 4 3 6 9 26x x x 16x

5) 2 2 2

2 1

4 4 1 2 7 4 12

x x x

x x x x x x

Solución

60

22

22

2

4 4 1 2 1 2 1 2 1

2 7 4 2 1 4 . . . 2 1 4 3

12 4 3

x x x x x

x x x x M C M x x x

x x x x

)3)(4()3)(4()12(

)4)(12()12(

12)3)(4()12( 2

2

2

xx

xxxx

xx

x

x

xxxx

2

4 3 2 1 2 1 3 2 1x x x x x x x x

3 2 2 3 2 3 22 5 3 8 20 12 2 7 3 4 4x x x x x x x x x x x 3 20 3 12x x x x

3 20 12 3x x x x 21 12x ; 12

21x

;

4

7x

Ejercicios 7.2. Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias.

1. 1

56 3

xx 2.

19 3 6 2

2n n 3.

22 4 12 7

3n n n

4. 5

22 12 6 4

x x x 5.

1 1 1 1

2 4 10 5x x 6.

2 5 7 31

3 10 2x x x

7.

27 1 5 2 4 3 4 1

3 2 4 3

x x x x

x x

8.

3 26 1 1 3

18 5 6 9

xx x

x

9.

2 3

4 1 4 1x x

10. 2

3 10

1 1x x

11.

5 13 4 5

15 5 15 3

x x x

x

12.

2 1 4 2

2 1 3 2 3

x x

x x

13.

23 1 18 1

1 2

x x

x

14.

2

1 1 6

3 2 3 4 9 6 8s s s s

15.

2

1 1 2

2 3 2 1 4 8 3d d d d

De las ecuaciones 16. a la 22. resuélvelas para “ x ”.

16. 1 2m

x m m ( m es parámetro). 17.

4

2

a b a

x x ( a y b son parámetros).

18. 2

1 1

2 2

x x

a a a

( a es parámetro). 19.

1 1 3 2

2

a a

a x

( a es parámetro).

20. 2 a ba x b x

a b ab

( a y b son parámetros).

61

21. 2

3 2 1x a a x

a ab a


22. 2x b x a

a b


7.3. ECUACIONES LITERALES Y DESPEJES

Son ecuaciones literales aquellas que contienen dos o más literales (como las fórmulas de física que conoces) y pueden resolverse con respecto a cualquiera de sus literales, prácticamente su solución consiste en despejar a una de sus literales.

Ejemplos Se muestran diversas fórmulas que ya están despejadas.

1) A b h Permite calcular el área de cualquier “rectángulo”.

2) ( )2

hA B b Permite obtener el área de cualquier “trapecio”.

3) 34

3V r Permite calcular el volumen de cualquier “esfera”.

4) 1n

F C i Permite calcular el valor futuro de una cantidad de dinero C en “ n ” periodos de

capitalización a una tasa “ i ” de interés.

En cualquiera de ellas se puede despejar otra literal, por ejemplo en el inciso 4) ahora se

desea despejar a “C ” (capital).

1n

FC

i

o bien puede quedar como: 1

nC F i

Ejercicios 7.3. En las siguientes ecuaciones literales, despeja la(s) literal(es) que se te indica(n).

1. 1u a n r ; , ,a n r 2. 21

3V h r ; ,h r 3. S CIN ; , ,C I N 4. 1

NS C I ; , ,C I N

5. 1 1

ni

VF PMTi

; nPMT , 6. 1 1

ni

VP PMTi

; n 7. 1 1

k

WC

I

; , ,W I k

62


Una ecuación de primer grado con dos variables (incógnitas) ax by c , donde , ,a b c son

constantes ( a y b no necesariamente ambas deben ser cero), tiene por gráfica una recta en un

sistema de ejes coordenados x y .

8.1. SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas en forma estándar es:

1 1 1

2 2 2

a x b y cA

a x b y c

;

1 1 1

2 2 2

, ,

, ,

a b c

a b c son números reales y donde 011 boa y 022 boa

y cuya gráfica son dos rectas en un sistema de ejes x y y puede suceder que:

Las dos rectas coincidan: Un sistema A es de este tipo, cuando los coeficientes de las

incógnitas 1 1 2 2, , ,a b a b y los términos independientes 1 2,c c son PROPORCIONALES

respectivamente, por ejemplo, el sistema 2 3 4

4 6 8

x y

x y

en donde

la constante de proporcionalidad es “ 2 ” , ya que multiplicando la

primera ecuación por 2 , se obtiene la segunda ecuación, es

decir que 2 2 3 2 4x y es igual a 4 6 8x y y por lo

tanto, se trata de la misma recta. Un sistema de este tipo, tiene un número infinito de soluciones ya que al coincidir las dos rectas, éstas se intersectan en todos sus puntos.

Las dos rectas sean paralelas no coincidentes: Un sistema A es de este tipo, cuando los

coeficientes de las incógnitas 1 1 2 2, , ,a b a b son proporcionales

respectivamente y los términos independientes 1 2,c c no guardan

ninguna relación, como por ejemplo, el sistema 2

3 3 5

x y

x y

en

donde la constante de proporcionalidad de los coeficientes de las

incógnitas es 3 y no así la de los términos independientes. Un sistema de este tipo no tiene

solución, ya que las dos rectas nunca se intersectan por ser paralelas no coincidentes.

Las dos rectas se intersectan en un solo punto: Se tiene un sistema A

de este tipo, cuando los coeficientes de las incógnitas 1 1 2 2, , ,a b a b y los

términos independientes 1 2,c c no guardan ninguna relación entre sí,

por ejemplo el sistema 2 0

2 5 1

x y

x y

63

Resolver un sistema A equivale a encontrar dónde se intersectan las rectas, es decir,

encontrar la solución común o conjunto solución del sistema de ecuaciones, existiendo para ello métodos GRÁFICOS y ANALÍTICOS (aproximado y exacto). De acuerdo con la existencia y el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar como:

Con el método GRÁFICO (aproximado), para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se dibujan las gráficas de ambas ecuaciones sobre el mismo sistema de ejes coordenados. Las coordenadas del punto de intersección (si existe) proporcionan la solución del sistema. Ejemplos Obtener gráficamente la solución del siguiente sistema. 1) Solución Para dibujar las dos rectas, una manera recomendable es calcular las intersecciones con los ejes de cada recta, dando el valor cero a “ x ” y calculando el valor de “ y ” y viceversa en ambas

ecuaciones como se muestra: Se trazan perpendiculares del punto de intersección de las dos rectas a los ejes coordenados y se

determinan las coordenadas de dicho punto 1x , 2y .

Con los métodos ANALÍTICOS (exactos) se verá el de eliminación; sustitución y determinantes, aplicados a ejemplos: 2) Resuelve por el método de eliminación el sistema Solución

64

Este método consiste en eliminar una de las dos variables, por ejemplo, si se quiere eliminar a la “ x ”,

la ecuación se multiplica por 3 y la ecuación por 2 como sigue:

3 2 3 3 8 ; 6 9 24

2 3 2 1 ; 6 2 2

x y x y

x y x y

sumando miembro a miembro estas dos últimas ecuaciones:

6 9 24

6 2 2

0 11 22

x y

x y

x y

despejando “ y ” ; 22

11y

; 2y

sustituyendo el valor de 2y en la ecuación o en la ecuación , se calcula la otra variable: en

este caso se decide sustituir dicho valor en la ecuación :

3 2 1x ; 3 1 2x ; 3 3x ; 3

3x ; 1x

3) Resolver por ELIMINACIÓN el sistema 4 2 1

4 2 3

y x

x y

Solución Primero se ordena el sistema poniéndolo en forma estándar:

Multiplicando la ecuación por 2 para eliminar la “ y ” : 2 4 2 2 3x y ; 8 4 6x y

; sumando miembro a miembro las ecuaciones y y despejando “ x ” de la ecuación :

2 4 1

8 4 6

6 0 5

x y

x y

x y

; 6 5x ;

5

6x

; 5

6x ; Sustituyendo el valor de

5

6x en cualquiera de

las ecuaciones o , en este caso particular se sustituye en la ecuación : 5

2 4 16

y

;

21 5

63

4 1y

; 5

4 13

y ; 5

4 13

y ; 3 5

43 3

y ; 2

43

y ;3)4(

2

y ;

1

6y

4) Resolver por SUSTITUCIÓN el sistema Solución Se despeja una de las dos variables “ x ” o “ y ” de cualquiera de las ecuaciones o y después

se sustituye en la otra ecuación. De la ecuación se despeja “ x ”: 4 5x y , sustituyendo la

ecuación en : 2 4 5 3 3y y ; 8 10 3 3y y ; 7 3 8y ; 7 5y

65

5

7y

; 5

7y . Para calcular el valor de “ x ”, se sustituye

5

7y en la ecuación :

54 5

7x

;

254

7x ;

28 25

7 7x ;

3

7x

5) Resolver por SUSTITUCIÓN el sistema Solución

Despejando “ y ” de la ecuación : 5 6 10x y ; 6 10 5y x ; 10 5

6

xy

Sustituyendo en : 4 9x 3 10 5

6

x

2

13

; 30 15

4 132

xx

;

8 30 1513

2 2

x x

8 30 1513

2

x x ;

30 713

2

x ; 30 7 2 13x ; 30 7 26x ; 7 26 30x

7 56x ; 56

7x

; 8x . Sustituyendo 8x en :

10 5 8 10 40 30

6 6 6y

; 5y

6) Resolver por DETERMINANTES el sistema Solución (Por la regla de Cramer).

Primero se calcula el determinante del sistema. Es el formado por los coeficientes de las incógnitas del sistema en forma estándar:

Como el determinante del sistema 44 es un número distinto de cero, se continúa con la solución, si hubiera sido cero, el problema aquí termina y la solución del sistema no existiría o sería un número infinito de soluciones, pero como no es el caso, se continua con el cálculo de las incógnitas “ x ” y “ y

” como sigue:

x

x

; y

y

x se forma quitando los términos de “ x ” de las ecuaciones y (del sistema estándar) y en su

lugar se colocan los términos independientes:

66

Por lo que 11 1

44 4

xx

; 1

4x

Para calcular “ y ” se puede realizar el miso procedimiento (por determinantes) o bien, de otra

manera, se sustituye 1

4x en cualquiera de las ecuaciones o y se resuelve. Se harán las dos

maneras.

Por determinantes:

de donde 33 3

44 4

yy

; 3

4y

De la otra manera, sustituyendo el valor de 1

4x en la ecuación :

17 1

4y

;

71

4y ;

71

4y ;

4 7

4 4y ;

3

4y ;

3

4y

Si que quiere comprobar el resultado, se deben sustituir los valores de 1

4x y

3

4y en el sistema

original:

En : 1 3

2 6 54 4

;

2 185

4 4 ;

205

4 ; 5 5

En : 1 3

7 14 4

;

7 31

4 4 ;

41

4 ; 1 1

Ejercicios 8.1.

Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.

1) 6

5 4 12

x y

x y

2)

4 5 32

3 5 11

x y

x y

3)

2 6

2 4 5

x y

x y

4)

2 5

2 4 10

x y

x y

5) 6 5 9

4 3 13

x y

x y

6)

11 9 2

13 15 2

x y

x y

7)

15 40

19 8 236

x y

x y

8)

3 4 6 2 18

2 3 4

x y y x

x x y

9)

6 8 10 5 3

9 11 2 2

x y x y x y

x y y x y x

10)

5 4

13 3

x y

y x

11)

12 5 6 0

5 712

3 6

x y

x y

67

12)

3 40

3 4

4 23

2 5

x y

x y

13)

33 6

5

23 9

7

yx

xy

14)

3 4 2

7 3

5 4 242

11 2

x yx

x xy

15)

2

7

8 12

2

x y

x y

x y

x y

8.2. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas en forma estándar es:

donde los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números reales (los coeficientes no necesariamente todos igual a cero).

La gráfica de un sistema B son tres planos en un sistema de ejes tridimensional. Una

solución del sistema B es una terna de valores , ,x y z que satisfacen simultáneamente a las tres

ecuaciones. Ejemplo

Resolver el sistema

2 5 2 7

2 4 3

3 4 6 5

x y z

x y z

x y z

por el método de DETERMINANTES (Por Cramer).

Solución

Al igual que los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, pueden ser resueltos por determinantes, aplicando la Regla de Cramer:

xx

;

yy

;

zz

Donde primero se calcula el determinante del sistema “ ” que es el formado por los coeficientes de las incógnitas del sistema en forma estándar:

2 5 2

1 2 4

3 4 6

En seguida se muestra la solución de un determinante de tercer orden (3 renglones por 3 columnas) por el método de SARRUZ (ESTE MÉTODO SÓLO ES APLICABLE A LOS DETERMINANTES DE TERCER ORDEN). Se repiten las dos primeras columnas y se efectúan los productos:

Como el determinante del sistema 46

es un número distinto de cero, se continúa con la solución, si hubiera sido cero, el problema aquí terminaría (por éste método) ya que el sistema tendría un número infinito de soluciones o bien no tendría solución.

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d

B a x b y c z d

a x b y c z d

68

Para obtener el determinante “ x ”, se quita la columna de las “

x ” y en su lugar se coloca la de términos independientes del

sistema estándar

Y se resuelve el determinante para la incógnita “ x ”:

Por lo que 230

46

xx

; 5x

Ahora se calcula y

y

:

Y se resuelve el determinante para la incógnita “ y ”:

; 46

46

yy

; 1y

La tercera incógnita “ z ” se puede obtener de la misma forma (por determinantes) o bien sustituir

5x y 1y en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema original, se verán las dos formas:

Si z

z

y

2 5 7

1 2 3

3 4 5

z

El valor de este determinante, se puede obtener sin repetir las dos

primeras columnas para efectuar los productos, si en su lugar, se multiplica como se indica en los siguientes esquemas:

Estos 3 productos Estos 3 productos conservan el signo cambian el signo

69

Esto es como sigue:

Estos productos conservan el signo.

Estos productos cambian de signo 24 , 42 , 25

2 5 7

1 2 3 45 28 20 24 42 25 46

3 4 5

z

; 46

46

zz

; 1z

O la otra forma, se sustituye 5x y 1y en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema, por

ejemplo, en la primera ecuación y se despeja “ z ” :

2 5 2 7x y z 5 2 7z

2 5 5 1 2 7z 2 7 5z

10 5 2 7z 2

2z ; 1z

La comprobación es:

2 5 2 7x y z 2 4 3x y z 3 4 6 5x y z

2 5 5 1 2 1 7 5 2 1 4 1 3 3 5 4 1 6 1 5

10 5 2 7 5 2 4 3 15 4 6 5

7 7 3 3 5 5

Ejercicios 8.2. Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas con tres incógnitas.

1)

2 5 13

4 8

2

x y

y z

x y z

2)

6

2 5

3 10

x y z

x y z

x y z

3) 4)

2 3 1

6 2 14

3 1

x y z

x y z

x y z

5 2 24

2 5 2 14

4 3 26

x y z

x y z

x y z

70

5)

8.3. MÉTODO DGO

Este método se recomienda por su sencillez y por la gran ventaja de operar solo con aritmética entera y además, puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas, con coeficientes enteros. Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el Método DGO.

Con los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes se forma el siguiente arreglo rectangular: El “3” de la primera columna y el primer renglón, es el primer pivote y con este, se calculan los siguientes determinantes:

Con estos resultados, se obtiene el siguiente arreglo:

4 5 6

3 3 4 30

6 2 3 33

x y z

x y z

x y z

0324

02

123

zyx

zyx

zyx

44004

13;1349

34

13;1486

24

23

11001

13;716

21

13;523

11

23

41314

175

0324

0211

1123

bzyx

0324

0211

1123

bzyx

71

En este segundo arreglo los números que no aparecen ya, son ceros y el nuevo pivote es el “-5” ; con este ahora se calculan los siguientes determinantes:

Con estos resultados, se obtiene el siguiente arreglo:

Finalmente, con sustitución hacia atrás o regresiva, se obtiene la solución del sistema original utilizando únicamente los renglones de los pivotes de abajo hacia arriba teniendo en cuenta que cada columna corresponde a una variable y al término independiente:

, como ya se sabe cuanto vale , se sustituye en el

siguiente renglón del siguiente pivote.

Y como ya se sabe que y , sustituyendo en el siguiente renglón del último pivote, se

obtiene:

, despejando

Por lo tanto, la solución del sistema original es:

Ejercicios 8.3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

61420414

15;339865

1314

75

633

41314

175

0324

0211

1123

bzyx

11

2

11

2

33

6;633 zzz z

11

5

11

5

55

25

5

11

1411

5

11

141

;111

145;1

11

275

yyyy

11

2z

11

5y

111

2

11

523

x

11

1

11

1

33

3

3

11

2

11

101

xx

1

11x ;

5

11y ;

2

11z

72

1. ; 2. ; 3. ; 4.

5.


La forma general de una ecuación de segundo grado (o cuadrática) es: , donde

son números reales con y “ ” es la variable o incógnita.

Resolver una ecuación de este tipo, significa encontrar los valores (dos) de “ ” que hacen

que se cumpla la igualdad, o que sea verdadera.

9.1. ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA

La ecuación general tiene algunas variantes que dependen de algunos

valores particulares de :

Si , toma la forma (ecuación cuadrática incompleta) cuya solución se obtiene

despejando a la “ ”, como se muestra:

; ; ;

Ejemplo

Resolver la ecuación

Solución

; ; ; ; ; ; ;


Si en la ecuación general , , ésta toma la forma (ecuación

cuadrática incompleta ) cuya solución se logra a través de la FACTORIZACIÓN, obteniendo como factor común a la “ ” de menor exponente:

(1)… ;

332

1

3

zyx

zyx

zyx

1233

136

132

zyx

zyx

zyx

62

42

65

zy

yx

zyx

14

22

12

zyx

zyx

zyx

1223

23

232

zyx

zyx

zyx

2 0ax bx c

, ,a b c 0a x

x

2 0ax c

2 0ax bx c

, ,a b c

0b 2 0ax c

x

2 0ax c 2ax c 2 c

xa

cx

a

22 50 0x

22 50 0x 22 50x 2 50

2x 2 25x 25x 5x 1 5x 2 5x

2 0ax bx

2 0ax bx c 0c 2 0ax bx

x

2 0ax bx 0x ax b

73

Ahora se hace uso de la siguiente propiedad:

Si el producto de dos o más números es igual a cero, entonces algunos de ellos es necesariamente

cero; esto es: si , entonces ó

Esta propiedad de los números se hace extensiva al producto de expresiones algebraicas, por tanto, de la expresión (1) se tiene que:

ó ; ;

Ejemplo

1) Resolver la ecuación

Solución

En el primer miembro se obtiene el factor común que es “ ”:

Aplicando la propiedad anterior: ó ; ; ; ; por lo tanto las raíces

son: y

Para comprobar, se sustituye la raíz en la ecuación original y lo propio se hace

para la segunda raíz :

Si ;

Si ; 01818 ó

Ejercicios 9.1 y 9.2 Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas:

1. 483 2 x 2. 4695 2 x 3. 09 22 ax 4. 0135)32)(32( xx

5. 3

1

3

1

3

1

xx 6.

12

7

6

1

2

522

xx 7. xx 324 2 8. xxxx 433 22

9. )2(245 2 xx 10. 2

3

6

9

3

xx 11. 1

2

4

1

1

x

x

x

x

12. )1)(3()32)(14( xxxx

0A B 0A 0B

0x 0ax b ax b b

xa

22 6 0x x

x 2 6 0x x

0x 2 6 0x 2 6x 6

2x 3x

0x 3x

0x 22 6 0x x

3x

0x 2

2 0 6 0 0 0 0

3x 2

2 3 6 3 0 0 0

74

9.3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

La solución por este método consiste en expresar la ecuación como el

producto de dos factores, binomios de primer grado (no siempre será posible esto) e igualar a cero cada uno de estos factores. Ejemplo

Resolver la ecuación

Solución

Primero se escribe como un polinomio igualado a cero (forma estándar):

Se factoriza como se sabe

Igualando a cero cada factor: ;

Y se comprueba:

Si 123

4

3

46

2

; ; ; ;

Si ; ; ; ;

Ejercicios 9.3. Resuelve por factorización.

1. 2. 3. 4.

5. 6.

9.4. SOLUCIÓN POR FÓRMULA GENERAL

La obtención de la fórmula general se basa en otro método de solución

de ecuaciones de segundo grado llamado “método de completar el trinomio cuadrado perfecto” (c.t.c.p.) como se ilustra a continuación:

Sea la ecuación general

2 0ax bx c

26 12x x

26 12 0x x

3 4 2 3 0x x

3 4 0 ;

2 3 0 ;

x

x

1

4

3x 2

3

2x

1

4

3x 6

2 16

93

412

3

32 412

3 3

3612

3 12 12

1

3

2x

23 3

6 122 2

63 9

42

312

2

27 312

2 2

2412

2 12 12

2 6 0x x 2 7 18x x 2 108 3x x 26 10 11x x

260 8 157x x 220 27 14x x

2

1,2

4

2

b b acx

a

2 0ax bx c

75

Se divide entre “ ”

Se separan términos ;

Se convierte al primer miembro en un trinomio cuadrado perfecto “SUMANDO LA MITAD DEL COEFICIENTE DE “ ”

ELEVADO AL CUADRADO”

;

Haciendo operaciones:

FÓRMULA GENERAL

Que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado con una variable, identificando

correctamente los valores y por sustitución en la fórmula se logra la solución.

El subradical es el DISCRIMINANTE de la ecuación y permite con

su cálculo, saber de qué tipo serán las raíces de la ecuación, esto es:

Si es positivo, la solución son “dos raíces reales distintas”.

Si es cero, la solución son “dos raíces reales iguales”.

Si es negativo, NO HAY SOLUCIÓN EN LOS REALES.

Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones.

1)

a2 0ax bx c

a a

2 0b c

x xa a

2 b cx x

a a

x

2 2

b

ba

a

2

2

b

a

2 2

2

4

2 4

b b acx

a a

2

2

4

2 4

b b acx

a a

2

2

4

2 4

b b acx

a a

2 4

2 2

b b acx

a a

2

1,2

4

2

b b acx

a

, ,a b c

2 4b ac 2 0ax bx c

2 4b ac

2 4b ac

2 4b ac

2 5 6 0x x

76

Solución

En esta ecuación, los coeficientes tienen los valores: ; y , sustituyendo estos

valores en la fórmula general:

; ;

2)

Solución

Los coeficientes son: ; y , si se calcula primero el discriminante se

sabrá de antemano de qué tipo son las raíces de la ecuación original, esto es:

DISC: , esto indica que la solución son dos raíces reales

iguales, por lo tanto: ;

3)

Solución

2a ; y ; DISC: , como el discriminante

es negativo, entonces NO HAY SOLUCIÓN EN LOS NÚMEROS REALES, ya que no es

un número real.

Nota: A la ecuación general 02 cbxax , siempre es posible convertirla en otra ecuación

equivalente donde el coeficiente “ a ” del término cuadrático “2x ” sea igual a uno, al dividir toda la

ecuación general entre este coeficiente “ a ” , entonces, al sustituir el valor 1a en la fórmula general

a

acbbx

2

42

2,1

se obtiene c

bbx

2

2,122

,que es una forma más simplificada y fácil de

recordar. Ejemplo

Resolver la ecuación 012102 2 xx , aplicando la fórmula simplificada.

Solución

, ,a b c 1a 5b 6c

22

1,2

5 5 4 1 64 5 25 24 5 1 5 1

2 2 1 2 2 2

b b acx

a

1 2x 1 3x

24 4 1 0x x

, ,a b c 4a 4b 1c 2 4b ac

22 4 4 4 4 1 16 16 0b ac

2

1,2

4 4 0 4

2 2 4 8

b b acx

a

1 2

1

2x x

22 3 6 0x x

3b 6c 22 4 3 4 2 6 9 48 39b ac

39

77

Al dividir toda la ecuación entre 2 , se tiene 2

0

2

12102 2

xx

; 0652 xx , en donde

6,5 cb , sustituyendo estos dos valores en la fórmula simplificada

2

1

2

5

4

24

4

25

2

56

2

5

2

5

22

22

2,1

c

bbx ; 2;3 xx

Ejercicios 9.4. Resuelve por fórmula general y por fórmula simplificada.

1. 2. 3. 4. 63162 xx

5. 6.

9.5. ECUACIONES CON RADICALES Se considera en este propedéutico sólo aquellas ecuaciones con uno o más radicales (con

índice ) que contienen la incógnita. Para resolver este tipo de ecuaciones, se deben eliminar los radicales, transformando la ecuación de modo que aparezca un solo radical en un miembro y elevando al cuadrado ambos miembros se elimina dicho radical; este método se conoce como AISLAMIENTO DE UN RADICAL y debe repetirse para cada uno de los radicales restantes. Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones.

1)

Solución

Se aisla el radical en el primer miembro:

Se eleva al cuadrado a ambos miembros:

; ; ; que es lo mismo que y

se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos:

Por factorización ; ; ;

Al efectuar la comprobación:

Si ; ; ; por lo tanto NO ES RAÍZ (no es

solución).

23 5 2 0x x 24 3 22 0x x 2 11 24x x

2 212 4 9 0x x 25 7 90 0x x

2

3 3 1x x

3 1 3x x

2 2

3 1 3x x

23 1 6 9x x x 20 6 9 3 1x x x 20 9 8x x 2 9 8 0x x

1 8 0x x 1 0

8 0

x

x

1 1x 2 8x

1 1x 3 3 1 1 1 3 4 1 3 2 1 5 1 1 1x

78

Si ; ; ; por lo tanto solo hay una raíz en

.

2)

Solución

Se aisla uno de los radicales:

Se elevan ambos miembros al cuadrado: ;

Se simplifica y se aisla el otro radical: ;

Se elevan al cuadrado ambos miembros: ;

; ; ; se resuelve por

cualquiera de los métodos conocidos: ; ; ;

Comprobación:

Si ; ; ; por lo tanto

no es raíz.

Si ; ; ; por lo tanto la única

raíz es .

Ejercicios 9.5.

Encuentra las raíces de las siguientes ecuaciones.

1. 2. 3. 4.

5.

X. LA RECTA

10.1. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

Hay que recordar que una ecuación de primer grado con dos variables

, donde son números reales y “ ” y “ ” no son cero al

mismo tiempo, tiene por gráfica una línea recta en un sistema de ejes coordenados .

2 8x 3 3 8 1 8 3 25 8 3 5 8 8 8

2 8x

2 3 7 2 0x x

2 3 7 2 0x x

2 2

2 3 7 2x x 2 3 7 4 7 4x x x

2 3 7 4 4 7x x x 14 4 7x x

22

14 4 7x x 2 28 196 16 7x x x

2 28 196 16 112x x x 2 28 196 16 112 0x x x 2 44 84 0x x

42 2 0x x 42 0

2 0

x

x

1 42x 2 2x

1 42x 2 42 3 42 7 2 0 81 49 2 0 9 7 2 0 4 0

1 42x

2 2x 2 2 3 2 7 2 0 1 9 2 0 1 3 2 0 0 0

2 2x

2 5 3x 6 8x x 7 2 3 4 0x x x 3 1 5 16 1x x x

63 5

3x

x

0ax by c , ,a b c a b

x y

79

Se llama ÁNGULO DE INCLINACIÓN de una recta al ángulo que forma esta con el eje

medido en sentido positivo.

10.2. PENDIENTE DE UNA RECTA En el plano coordenado , dos puntos diferentes son suficientes para determinar una línea

recta, se considera que los puntos y determinan la recta L, se traza una

horizontal por el punto “ ” y una vertical por “ ”; “ ” es la intersección de estas dos rectas cuyas

coordenadas son como se muestra en la siguiente figura:

La distancia dirigida de a

La distancia dirigida de a :

Definición

La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.

La pendiente “ ” es independiente de los pares de puntos seleccionados sobre la recta. El

cociente de la diferencia de ordenadas entre la diferencia de abscisas da lo mismo si se calcula:

o

Ejemplos Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos que se proporcionan.

1) ,

Solución

Si la pendiente es positiva, la recta es ascendente (como muestra la flecha)

x

x y

,A AA x y ,B BB x y

A B C

,B AC x y

C B

B ACB y y

A C B AAC x x

tan B AAB

B A

y ym

x x

m

B A

B A

y ym

x x

A B

A B

y ym

x x

6,5A 2,3B

3 5 2 2

2 6 4 4

B A

B A

y ym

x x

1

2

80

2) ) ,

Solución

Si la pendiente es negativa, la recta es descendente.

3) ,

Solución

Si la pendiente es cero, la recta es horizontal.

4) ,

Solución

no está definida (no se puede dividir entre cero)

Si la pendiente no está definida, la recta es vertical. Como un recordatorio de estos resultados, se propone el siguiente diagrama: Los cochecitos nos indican el signo de las pendientes: si el coche baja la pendiente es negativa, si ni baja ni sube la pendiente es cero, si sube la pendiente es positiva y en una recta vertical, con pendiente indefinida, solo un coche mosca intentaría subir.

1 3,4P 2 5, 2P

1 2

2 1

2 1

2 4 6

5 3 8PP

y ym

x x

3

4

8,2F 3,2R

2 2 0

8 3 11

F RFR

F R

y ym

x x

0

5,6S 5, 2T

2 6 8

5 5 0

T SST

T S

y ym

x x

81

Ejercicios 10.2. Encuentra la pendiente de la recta, determinada por cada pareja de puntos.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. )6,6(,)1,6( NM 8. 9. 10.

10.3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Definición

Dos rectas no verticales son PARALELAS si y solo si tienen la misma pendiente, es decir,

21 LL si y solo si

Ejemplo

Decir si la recta 1L que pasa por los puntos y es paralela a la recta 2L que pasa

por y .

Solución

;

Son dos rectas paralelas, ya que

Definición

Dos rectas y con pendientes y , son perpendiculares entre si, si y solo si sus

pendientes son recíprocas y de signo contrario, es decir:

si y solo si o bien

3, 1 , 5, 1A B 2,3 , 2, 5A B 4 1

, 1 , 8,3 3

A B

5 1 2, , 4,

7 3 9E F

2,3 , 8,8A E1 1 2 5

, , ,8 11 4 12

C G

4,2 , 5,2T R 1

,2 , 7,22

S U

2, 2 , 2,7M O

1 2m m

3,8A 2, 7B

6,8C 5,5D

7 8 15

2 3 5

B AAB

B A

y ym

x x

3

8 5 3

6 5 1

C DCD

C D

y ym

x x

3

AB CDm m

1L 2L 1m 2m

1 2L L1

2

1m

m 1 2 1m m

82

Ejemplo

Determinar si la recta 1L que pasa por y es perpendicular a la recta

2L que pasa

por y

Solución

;

Las dos rectas son perpendiculares, ya que sus respectivas pendientes son recíprocas y de signo contrario. Ejercicios 10.3. Encuentra la pendiente de cada recta, determina por cada pareja de puntos, compáralas e indica si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ;

4

6,

3

13,

4

9,2 HG 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

10.4. ECUACIÓN Y GRÁFICA DE UNA RECTA

“La ecuación de una recta es la ley que deben cumplir todos los puntos que están sobre ella”

La ecuación de una misma recta se puede expresar de varias formas, algunas de ellas son:

Forma general:

Forma pendiente y ordenada al origen: (“ ” es la pendiente y “ ” es la ordenada

al origen o la intersección con el eje “y”).

1 2, 4P 2 1,3P

3 3,2P 4 4,5P

1 2

2 1

2 1

3 4 3 4

1 2 1 2PP

y ym

x x

7

3 3 4

3 4

3 4

2 5

3 4P P

y ym

x x

3

7

5,1 , 2, 5A B 2,7 , 5,1C D 5,1 , 2, 5A B 3,3 , 7, 1C D

2,7 , 5,1A B 5,3 , 7,9C D 1 5 1

4, , ,2 3 4

E F

4,10 , 10,1G H

1 5 14, , ,

2 3 4E F

1 5 14, , ,

2 3 4E F

5, 26 , 4,2G H

9 13 62, , ,

4 3 4I J

2,1 , 3,7K L 5 2 8

, , 9,11 9 6

M N

105 5 25, , 1,

11 63 21O P

5 2 8, , 9,

11 9 6M N

1,1 , 3,7O P 5 2 8

, , 9,11 9 6

M N

2,1 , 3,7O P

0ax by c

y mx b m b

83

Forma punto-pendiente: (“ ” es la pendiente y son las coordenadas

de un punto conocido).

10.4.1. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO CUALQUIERA DE ESTA Y SU PENDIENTE.

Para determinar la ecuación de una recta conocidos un punto cualquiera de ella y

su pendiente “ ” , se usa la forma punto-pendiente .

Ejemplo

Hallar la ecuación en forma general, de la recta que pasa por el punto con pendiente

y graficarla.

Solución

Con la forma punto-pendiente , se sustituyen los datos en ésta:

; ; ;

;

Para realizar la gráfica, primero se localiza el punto sobre el sistema coordenado ;

como la pendiente es negativa , entonces desde el punto se cuentan unidades hacia

la derecha y de este lugar hacia abajo 3 unidades, uniendo este último punto con mediante una

línea recta, así se obtiene la gráfica pedida.

1 1y y m x x m1 1,x y

1 1 1,P x y

m 1 1y y m x x

1 3,5P

3

4m

1 1y y m x x

3

5 34

y x 3

5 34

y x 4 5 3 3y x

4 20 3 9y x

3 4 20 9 0x y 3 4 11 0x y

1 3,5P x y

3

4m

1P 4

1P

84

Ejercicios 10.4.1. Encuentra la ecuación de la recta en su forma general que pasa por un punto dado y tiene pendiente la indicada en cada ejercicio y obtén la gráfica de cada una de ellas.

1. , 2. , 3. , 4. ,

5. , 6. , 7. , 8. ,

9. , 10. , no definida

10.4.2. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS DE ESTA. Para obtener la ecuación de una recta conocidos dos puntos de ella, primero se calcula su

pendiente , posteriormente se elige uno de los dos puntos conocidos y con la forma

punto-pendiente se obtiene la ecuación .

Ejemplo

Hallar la ecuación en forma general, de la recta que pasa por los puntos y y

graficarla. Solución

; eligiendo y sustituyendo en la forma punto-

pendiente ; y realizando operaciones:

; ; ;

Para graficar la recta que pasa por los dos puntos y , se

localiza cada uno sobre el sistema de ejes y después uniéndolos con una

línea recta se obtiene la gráfica pedida.

1,1A 3m 2, 3B 4m 0,4C 2m 3, 5D 3

4m

53,

7E

6m 2 1

,9 3

F

2m 0,0G1

2m

7,0

2H

1m

3,4I 0m 4,4J m

2 1

2 1

y ym

x x

1 1y y m x x

1 3, 5P 2 5,1P

1 2

2 1

2 1

1 5 1 5 63

5 3 2 2PP

y ym

x x

2 5,1P

1 1y y m x x 1 3 5y x

1 3 15y x 0 3 15 1x y 0 3 14x y 3 14 0x y

1 3, 5P 2 5,1P

x y

85

Ejercicios 10.4.2. Encuentra la ecuación de la recta en su forma general que pasa por los puntos indicados y grafícala.

1. )2,5(),3,1( 21 PP 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

10.4.3. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS SU PENDIENTE Y SU ORDENDA AL ORIGEN.

Cuando se conoce la pendiente “ ” de una recta y su ordenada al origen “ ” (intersección

con el eje “ ”), se obtiene su ecuación sustituyendo estos datos en la forma pendiente y ordenada al

origen .

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es y ordenada al origen

Solución

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la forma pendiente y ordenada al origen ;

o en la forma general

Para graficar esta recta que tiene pendiente y ordenada

al origen , se procede de la misma manera que en el

ejemplo del subtema 10.4.1.

Nota: Si la pendiente hubiera sido positiva, entonces el avance vertical es hacia arriba como se muestra en la siguiente figura y el avance horizontal siempre es del punto conocido, hacia la derecha.

1 23,5 , 7,2P P 1 20,0 , 2,3P P 1 23, 4 , 8,0P P

1 2

2 5 6, , , 3

3 2 5P P

1 2

1 3, , 8, 3

2 4P P

1 2

25,3 , ,0

3P P

1 23,3 , 0,0P P

1 2

3,2 , 5,2

2P P

1 2

14, , 4, 5

2P P

m by

y mx b

2m 3b

y mx b

2 3y x 2 3 0x y

2m

3b

86

Ejercicios 10.4.3. Obtén la ecuación de la recta en su forma general conociendo su pendiente y la ordenada al origen y grafícalas.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

XI. LA PARÁBOLA Definición

Parábola es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo “ ”

llamado foco y de una recta fija “ ” llamada directriz.

11.1. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

El punto fijo “ ” se llama FOCO.

La recta fija “ ” se llama DIRECTRIZ.

El punto que se encuentra a la mitad del foco “ ” y la directriz “ ” se llama VÉRTICE “ ”.

3 , 0, 4m A 7 , 0, 5m B 2

, 0, 23

m C 5 1

, 0,4 3

m D

8 2, 0,

3 5m E

0 , 0,4m F

1 1, 0,

2 2m G

5 , 0,0m H

3

, 0,02

m I 1, 0,3m J

x y F

d

F

d

F d V

87

La longitud que hay entre el vértice “ ” y el foco “ ” es “ ” , si es positivo, la parábola

abre hacia la derecha y hacia la izquierda si es negativo.

La recta que pasa por “ ” y “ ” se llama EJE DE SIMETRÍA de la parábola y es

perpendicular a la directriz “ ”.

La cuerda que pasa por el foco “ ” y es perpendicular al eje de simetría, se llama ANCHO

FOCAL o LADO RECTO y se representa con las letras y .

11.2. ECUACIÓN Y GRÁFICA DE LA PARÁBOLA Las dos formas más conocidas de la ecuación de una parábola son:

La forma general:

La forma canónica:

Se puede lograr un tosco bosquejo rápido de la gráfica de una parábola, mediante el

conocimiento de algunos puntos de ella (el vértice, el foco y los extremos del lado recto) como se verá más adelante.

11.2.1. CON EJE DE SIMETRÍA PARALELO AL EJE “ ” Si el eje de simetría es paralelo al eje “ ”, la parábola es horizontal y puede abrir hacia la

derecha o hacia la izquierda.

(entre mayor es el valor de “ ”, más abre la parábola)

V F p p

p

V F

d

FL R

2

2

0

0

Ax Dx Ey F vertical

Cy Dx Ey F horizontal

2

2

4

4

x h p y k vertical

y k p x h horizontal

x

x

p

88

11.2.2. CON EJE DE SIMETRÍA PARALELO AL EJE “ ”

Si el eje de simetría es paralelo al eje “ ”, la parábola es vertical y puede abrir hacia arriba o hacia

abajo.

Para calcular los elementos de una parábola HORIZONTAL, primero es necesario tener su ecuación en forma canónica y después aplicar la siguiente figura:

; ; ;

La ecuación de la directriz “ ” es:

Ejemplos Calcular los elementos de las siguientes parábolas y graficarlas.

1)

Solución

La ecuación es de la forma

horizontal; ,

Los elementos son: ;

; ; ; ;

; ;

; ;

y

y

2

4y k p x h ,V h k ,F h p k , 2L h p k p

, 2R h p k p

d x h p

2

3 12 2y x

2

3 12 2y x

2

4y k p x h 2h 3k

,V h k 2,3V

4 12p 12

34

p ,F h p k 2 3,3F 5,3F

, 2L h p k p 2 3,3 2 3L 5,9L

, 2R h p k p 2 3,3 2 3R 5, 3R

89

La ecuación de la directriz : ; , para trazar la gráfica, sólo se localizan

los elementos sobre el sistema de ejes y uniéndolos con línea continua es obtiene ésta.

2)

Solución

La parábola es horizontal con y , abre hacia

la izquierda: ;

Los elementos son: ;

; ;

; ;

; ;

Directriz : ;

Para calcular los elementos de una parábola VERTICAL, es necesario tener su ecuación en forma canónica

y después aplicar ésta figura.

Además se sabe que: ;

La ecuación de la directriz “ ” es:

Ejemplos Calcular los elementos de las siguientes parábolas y graficarlas.

1)

Solución

Es de la forma , vertical donde y

; ; , abre hacia arriba y sus elementos

son: ; ; ; ;

; ;

; ;

La ecuación de la directriz “ ” es: ; ;

d x h p 2 3x 1x

x y

2

3 8 4y x

4h 3k

4 8p 8

24

p

,V h k 4, 3V

,F h p k 4 2, 3F 6, 3F

, 2L h p k p 4 2, 3 2 2L 6, 7L

, 2R h p k p 4 2, 3 2 2R 6,1R

d x h p 4 2x 2x

2

4x h p y k

,V h k ,F h k p

2 ,L h p k p

2 ,R h p k p

d y k p

2

5 12 2x y

2

4x h p y k 5h

2k 4 12p 12

34

p

,V h k 5,2V ,F h k p 5,2 3F 5,5F

2 ,L h p k p 5 2 3 ,2 3L 1,5L

2 ,R h p k p 5 2 3 ,2 3R 11,5R

d y k p 2 3y 1y

90

2)

Solución

La parábola es vertical con y ; ; , abre hacia abajo y sus

elementos son:

; ;

;

; ;

; ;

La ecuación de la directriz “ ” es: ;

3) Obtener la ecuación general de la parábola

Solución Desarrollando y simplificando la ecuación dada:

; ;

Forma general

Ejercicios 11.2.1. y 11.2.2. Del ejercicio uno al diez, calcula los elementos de la parábola y grafícala. Del ejercicio once al dieciséis, obtén la ecuación de la parábola en la forma general.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

2

3 16 6x y

3h 6k 4 16p 16

44

p

,V h k 3, 6V ,F h k p

3, 6 4F 3, 10F

2 ,L h p k p 3 2 4 , 6 4L 5, 10L

2 ,R h p k p 3 2 4 , 6 4R 11, 10R

d y k p 6 4y 2y

2

3 12 2y x

2

3 12 2y x 2 6 9 12 24y y x 2 12 6 9 24 0y x y

2 12 6 33 0y x y

2

3 6 1y x 2 8y x 2 310

2y x

22 2y x

2

5 2 3y x 2

3 12 2x y 2

2 16 3x y 2

0 8 3x y

2

2x y 2 4x y 2

14 2

2y x

2 31 8

2x y

2 212

5x y

23

2y x

2 10 0

4x y

22 1 1

3 2 5y x

91

4) Calcular los elementos de la parábola y graficarla.

Solución Primero se debe obtener la forma canónica empleando el método de completar cuadrados: El primer miembro se convierte en un trinomio cuadrado perfecto sumando

a ambos miembros la mitad del coeficiente agrupando términos

de “ ” elevado al cuadrado. ;

(recuerda que esto ya se vio anteriormente)

Forma canónica es una parábola vertical con y ;

, abre hacia arriba y sus elementos son:

; ;

;

; ;

; ;

La ecuación de la directriz “ ” es: ;

Ejercicios 11.2.3. Calcula los elementos de cada parábola y grafícalas.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14.

2 2 8 33 0x x y

2 2 8 33x x y

x2

12

21 1

2

1 8 4x y 1h 4k 4 8p

82

4p

,V h k 1,4V ,F h k p

1,4 2F 1,6F

2 ,L h p k p 1 2 2 ,4 2L 3,6L

2 ,R h p k p 1 2 2 ,4 2R 5,6R

d y k p 4 2y 2y

2 6 16 41 0y y x 22 16 4 20 0x x y 22 2 0y x 2 4 4 12 0x x y

23 24 96y x 2 8x y 2 8 17 0y y 2 4 14 0x x y

2 7 12 0x x 2 10 25 0y y 23 9 12 21 0y x y 24 12 16 41 0x x y

24 4 9 0x x 22 4 12 38 0y y x

92

XII. TRIGONOMETRÍA

12.1. FÓRMULAS DE CONVERSIÓN

1 radián 0.0174533180

1801radián 57.29578

Para convertir grados en radianes y viceversa:

Medida en radianes del ángulo

Medida en grados del ángulo 180

Ejemplo:

Convertir 20 en radianes; de se tiene:

Medida en radianes del ángulo

20 180

despejando:

Medida en radianes del ángulo 180

209

radianes

Esto es que: 209

radianes

Ahora, si se quiere convertir 9

radianes en grados; de se tiene:

9

Medida en grados del ángulo 180

despejando:

180 1809 Medida en grados del ángulo 209 9

180

93

Ejercicios 12.1. Convertir el ángulo dado en grados.

1) 7

6

; 2) 2

Convertir el ángulo dado en radianes.

3) '153 40 ; 4)

'114 50

12.2. LONGITUD DE ARCO En muchas aplicaciones es necesario encontrar la longitud “S” del arco subtendido por el ángulo central “θ” en una circunferencia de radio “r” :

En donde S r ( se mide en radianes)

Ejemplo

¿Cuál es longitud del arco subtendido por el ángulo central 30 en una circunferencia de radio r =

5 unidades?

Solución

Primero se convierte el ángulo en radianes : 3

en radianes 30180 18 6

5

5 2.66 6

S

unidades

12.3. LAS SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

1; csc

1cos ; sec

cos

1tan ; cot

tan

co hipsen

hip co sen

ca hip

hip ca

co ca

ca co

94

12.3.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE CIERTOS ÁNGULOS QUE SE PRESENTAN CON CIERTA FRECUENCIA

360 cos30

2

1cos 60 30

2

3tan 60 3 cot 30

1

1 3cot 60 tan 30

33

2sec60 2 csc30

1

2 2 3csc60 sec30

33

sen

sen

1 245 cos 45

22

tan 45 1 cot 45

2sec 45 2 csc 45

1

sen

12.3.2. TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de

sus catetos. 2 2 2

hip co ca

12.3.3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS

Sea " " cualquier ángulo en posición normal, y sea ,P x y cualquier punto distinto del origen:

Sea 2 2 2r x y por el Teorema de Pitágoras

2 2 2

2 2 2

r x y

r r r

2 2

2 21

x y

r r

95

De la figura se tiene que: cos yx y

senr r

, por lo tanto: 2 21 cossen

Si en (a) se divide en ambos miembros por 2cos , se obtiene:

2 2

2 2 2

1 cos

cos cos cos

sen

2 2sec tan 1 ; 2 2sec tan 1

Si en (a) se divide en ambos miembros por 2sen , se obtiene:

2 2

2 2 2

1 cossen

sen sen sen

2 2csc 1 cot ; 2 2csc cot 1

12.3.3.a. SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

( ) cos cos ...(d)

cos( ) cos cos ...(e)

tan tantan( ) ...(f )

1 tan tan

sen sen sen

sen sen

12.3.3.b. FÓRMULAS DE ÁNGULOS DOBLES

2 2 2 2

2 2

2 2 cos ...(g)

cos 2 cos 1 2 2cos 1 ...(h)

2 tan 2cot 2tan 2 ...(i)

1 tan cot 1 cot tan

sen sen

sen sen

La identidad (h) se usa de manera ventajosa en cálculos del siguiente tipo:

2 21 cos 2 1 cos 2y cos

2 2sen

…(j)

12.3.3.c. FÓRMULAS DE ÁNGULO MITAD

...(k)1 cos

2 2

...(l)1 coscos

2 2

...(m)1 costan

2 1 cos

sen

96

12.3.3.d. FÓRMULAS DE PRODUCTO-SUMA

1cos ( ) ( ) ...(n)

2

1cos ( ) ( ) ...(o)

2

1cos( ) cos( ) ...(p)

2

1cos cos cos( ) cos( ) ...(q)

2

sen sen sen

sen sen sen

sen sen

12.3.3.e. FÓRMULAS DE SUMA-PRODUCTO

2 cos ...(r)2 2

2cos ...(s)2 2

cos cos 2cos cos ...(t)2 2

cos cos 2 ...(u)2 2

sen sen sen

sen sen sen

sen sen

12.3.3.f. LEY DE SENOS Relaciona cada lado de un triángulo con el seno del ángulo opuesto.

a b c

sen sen sen

12.3.3.g. LEY DE COSENOS

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a c b bc

b c a ac

c a b ab

97

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Ejercicios 1.1. Reducir las siguientes expresiones algebraicas.

1. 5 11 9 20 1x y x y 2. 2 2 3 2 3a b b c a c b Solución Solución

25 12 10x y 2a

3. 2 2 215 6 8 20 5 31a ab a ab a ab 4.

3 4 2 3 4 2 3 371 84 50 84 45 18a b a b a b a b a b a b Solución Solución

28 12 11a ab

348a b

5. 1 2 1 23 7 3 1

25 50 5 25

m m m ma b a b 6. 1 1 3 1 3 1

2 32 3 4 6 4 2

a b a b a b

Solución Solución

1 294

50

m ma b

1

21 34 312

a b

7. 2 2 23 1 1

2 2 25 10 3

m mn m mn mn m 8. 2 2 2 2 23 1 5 1 3 1 1

2 24 2 6 3 4 6 3

a ab b a ab b b ab

Solución Solución

2139 10

30m mn

2 2119 27 12

12a ab b

9. 2 2 3 2 2 371 14 65 115 6m mn m mn m m m m

Solución

3 27 129 6m m mn

10. 1 2 3 1 2 2 3 35 3 8 5 50 4 65 90 7x x x x x x x xa b c a b b c c

Solución

25

98

1.2. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicios 1.2.

Evaluar las siguientes expresiones si: 1a , 2b , 3c , 4d , 1

2m ,

2

3n ,

1

4p , 0x

1. 2 2 2b c d a m n x 2. 2 2 22 6 4mx b c d

3. 2 2

2

4 m p a b

a c

Solución Solución Solución

167

6 14

9

5

4. 2 2 2c d

ma d

5.

2

2 1 1 1 1 1 1b

a b b c n m

6. 2 22 3 4 2 4m n p c m n


5

2

25

6

59

9

1.3. SUPRESIÓN DE SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Ejercicios 1.3. Quitar los símbolos de agrupación y reducir combinando términos semejantes.

1. 4 3 3 1x y x 2. 2 3x y x y x y

3. 1 2 3 3a b a


4x y y 2 2 1a b

4. 8 3 3 3a a b a b 5. 3 4 3x x x 6. 5 3 2 4a b b c b a a c


10 6a b

3 1x

11 5 2a b c

7. 3 2 4 3 2xy xy x y xy x xy 8. 2 3 5 6 5a ab b a ab b a b

Solución Solución

6 5 3xy x y 7 6 5a ab b

99

1.4. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Ejercicios 1.4.1. En cada uno de los siguientes ejercicios, obtener primero la suma de los polinomios y segundo, restar el segundo del primero. Primero Segundo Primero Segundo

1. 7 7x y ; 3 9 6x y z 2. 3 6 3 4x xy yz ; 3 7 6 13x xy yz

Solución Solución

10 2 6 ; 4 16 6x y z x y z 6 3 9 ; 13 9 17x xy yz xy yz

Primero Segundo Primero Segundo

3. 2 23a ab b ;

2 25ab a b 4. 3 2 32 1 2

3 4 5m mn n

;

2 2 31 1 3

6 8 5m n mn n

Solución Solución

2 22 4 ; 2a ab ab b 3 2 2 3 2 3 22 1 1 2 3 4 1

;3 8 6 3 4 5 6

m mn m n m mn n m n

Primero Segundo

5. 3 2 32 5 1

9 6 3a ax x

;

2 2 33 7 1

7 8 9a x ax x

Solución

3 2 3 2 3 2 3 22 1 4 3 2 41 2 3;

9 24 9 7 9 24 9 7a ax x a x a ax x a x

Primero Segundo

6.

3 2 4 51 3 1

10 4 6x y xy y

;

4 3 2 52 12

5 3x y x y y

Solución

3 2 4 5 4 3 2 4 5 43 3 1 1 3 12 ; 2

10 4 2 2 4 6x y xy y x y x y xy y x y

1.5. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, DE LOS COEFICIENTES Y DE LOS EXPONENTES.

Ejercicios 1.5. Multiplicar como se indica y reducir términos semejantes.

100

1. 2 2 426 3 3

3

m xa b ab a a b

2. 2 322 3

7xy y x y x

3. 3 3xy x y


7 336 m xa b

5 412

7x y

4 4x y xy

4. 3 5 6x y x y 5. 21 1 2 4

2 3 3 5x xy x y

6. 21 1x x x


2 23 13 30x xy y

3 2 21 28 4

3 45 15x x y xy

3 1x

7. 2 24 2 5c a c ac a 8. 2 27 3 5 6x x x 9. 2 21 1 1 2 3

2 3 4 3 2x xy y x y


3 2 2 32 13 19 4c ac a c a 4 3 23 5 27 35 42x x x x

3 2 2 31 35 2 3

3 36 3 8x x y xy y

10. 2 23 4 2 3a a a a

11. 1 2 3x x x 12. 2 3 2 1m m m


4 3 25 17 12a a a a 3 26 11 6x x x

3 22 5 6m m m

13. 2 23 2 3 4b b b 14. 2 23 2 7 8a c a ac c 15. 2 21 2 1 3

4 3 4 2a ab b a b


4 3 22 3 2 9 12b b b b 3 2 2 33 23 38 16a a c ac c

3 2 2 31 5 5

16 8 3a a b ab b

1.6. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, COEFICIENTES Y EXPONENTES.

Ejercicios 1.6. y 1.7. Efectuar las divisiones indicadas.

101

1. 32

4

ab

ab

2.

2 3

2

36

6

x y

x y

3.

2 315 9

3

a b ab

ab

4.

2 3

2

14 21

7

x x

x

Solución Solución Solución Solución

8 26y

25 3ab 2 3x

5.

4 3 2 4 2 2

2 2

2m n m n m n

m n

6.

29 6 3

3

x x

7.

2 7 6

1

x x

x

8.

23 24

3

x x

x


2 22 1m n n 23 2 1x x 6x 3 8x

9.

38 6

2

x x

x

10.

212 7 10

3 4

x x

x

11.

3 2

2

10 12 27

3

x x x

x x


2 122 2

2x x

x

4 3x 9x

TEORÍA DE LOS EXPONENTES

Ejercicios 2.1. Desarrollar:

1. 2

24a 2. 4

4y 3. 3

5a 4. 3

23xy 5. 3

2 32x y

Solución Solución Solución Solución Solución

416a 4256y

3125a 3 627x y

6 98x y

6. 3

3 47ab c 7. x

m na b 8. 2 3m

a b c 9.

2

2

x

y

10.

3

2

2a

b


3 9 12343a b c mx nxa b

2 3m m ma b c

2

24

x

y

3

6

8a

b

11.

4

21

3ab

12.

5

2 41

2a b

13. 0

4 14. 0

2xy 15. 0

24m n


102

4 81

81a b

10 201

32a b

1

1

1

16.

0

31

2xy

Solución

1

Expresar con signo radical:

1.

3

5x 2.

3

44a 3.

1

2xy 4.

4 5

5 22a b 5.

2 4 2

7 5 73x y z 6. 5

1

5

4

2

3

zyx

Solución Solución Solución Solución Solución Solución

35 3 5x x

334 44 4a a

x y

5 4 52 a b 77 2 4 253 x y z

3 4 3 455 5x y z x y z

Expresar con exponente fraccionario:

1. 5a 2.

3 7x 3. 542 x 4.

3 542 ab c 5. 2 3 955a x y z


5

2a

7

3x

5

42x 1 3 51

3 5 4 4 442 2ab c a b c 2 3 91

2 3 9 5 5 555 5a x y z ax y z

6. 3n xrm a b c

Solución

1 3 x

m n ra b c

Expresar con exponentes positivos y simplificar:

1.

1

4 2a b

2.

1

2 33x y

3.

1

4 2

3 4

3

8

m n

m n

4.

1

22

3 2 13

a x

a x y

5.

2 1

3 4

1

2 2

x y

x yz

6. 2

1 3

3 2 4

3a mn

a m n


1

4 2

1

a b

1

2 3

3

x y

7

3 4 2

1

4 2

3 3

88

m n n

mm n

7

423

y

a x

1

2

8 5

3 4

z

x y

3 7

5 2 43a m n

103

Efectuar las operaciones indicadas:

1.

2 3

5 53m m

2.

1 1

3 22 2x y x y

3.

2 1 1 2

3 3 3 3a b a b

4. 3

1 242a b ab


1

51

5

33m

m

5

5

1x

x

1 b

a ba

5

45

4

22b

b

5. 3 1 2 2a b a b 6.

1 2

2 25 32 1

3 7m b m b

7.

2 1

5 5a a

8.

3 1

4 2m m

9.

2 1

5 54 2x x


3

3

aab

b

89 8 35 3

9

5

2 2

2121

bm b

m

3

5a 5

4

1

m

3

52x

10.

7

3 4a a

11. 2 1

3 2

x y

x y

12.

32

3a b

13. 3

2 1a b 14.

2

2 5

1

5

8

4

x y

xy


5

4

1

a

xy

3

2

b

a

6 3

1

a b

3

5

3

2y

x

15.

21

4 4x y

16.

211

322a b

17. 1 2

2 2 3 0x y x y

18.

2

2

23

7

8

3

7

yyz

x


1

2

8

y

x

2

32b

a

4 2x y

6

6 2

64

9

x

y z

RADICALES

3.2. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Ejercicios 3.2. Expresar cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple.

1. 18 2. 3 48 3. 42 243 4. 31128

2 5.

4 53 64x y

6. 6 2 29a x

104


3 2 12 3 46 3 32 2 234xy xy 3 3ax

7. 2 24 25a b 8.

2 3

3 5a 9.

4 88 81x y


5ab 2 15

15

a

a 3y x

3.3. INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL Ejercicios 3.3. Dando al coeficiente el exponente apropiado, incluirlo dentro del signo radical.

1. a b 2. 22 3b a 3.

33 2

9

a x

x a 4.

aa b

a b

5.

2

42

4

xx

x

6.

2

1 12

4a

a


2a b 2 212a b 2ax

2a ab 4 x 2 4a

3.4. REDUCCIÓN DE RADICALES AL MÍNIMO COMÚN ÍNDICE Ejercicios 3.4. Reducir el mínimo común índice.

1. 42 , 3 2. 35 , 2 3. 5 23 2 , 3ab a x 4.

235 , 4x x y 5. 62 3 5 44 8 , 3a x a m


4 44 , 3 66 125 , 4 15 155 5 6 332 , 27a b a x

6 3 4 26125 , 16x x y 6 9 10 812 12512 , 9a x a m

6. 5 102 34 3 , 2 , 7a b x

Solución

20 20 205 8 6243 , 16 , 49a b x

105

3.6. SUMA Y RESTA DE RADICALES

Ejercicios 3.6.

Simplificar los radicales y reducir los que sean semejantes.

1. 3 7a b a b a b 2. 3 4 5ab b a ab 3. 50 32 18


5a b 2 4 5ab b a 4 2

4. 1 1 3

12 18 482 3 4

5. 20 2 75 4 12 6. 2 2 2 22 9 16 4m n m n mn mn


4 3 2 2 5 3 2n m m n

3.7. MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIACIÓN DE RADICALES Ejercicios 3.7. Efectuar las operaciones indicadas y expresar cada resultado en su forma más simple.

1. 5 4 8 2. 22 7 28a a 3. 2 318 2x y xy 4. 3 23 3 4a a


4 10 14 2a a 26xy x 3 12a

5. 3 33 412 9a b ab 6. 12 5x a a

a

7. 4 3 2 5 3 8. 3 2x x


3 23 4ab ab 10x 12 2 20 3 3 2x x

9. 2 3 1a b 10. 2 3 7 5 5 3 11. 4 6 2 3a 12. 2 3

10

a

a Solución Solución Solución Solución

6 2ab a

14 15 30

2 2a

3

5

13.

13

23

4

xy

x

14. 2

2 x 15. 3

5 2 16. 3

b a


106

23

3y 4x 250 2

3ab a

3.8. RACIONALIZACIÓN Ejercicios 3.8. Racionalizar el denominador.

1. 1

5 2.

1 2

2 3 3.

3

5 4.

3

2x 5.

2

2

a

ax 6.

m

a b


15

5

16

6

35

5

3 2

2

x

x

2ax

ax

2

m a b

a b

7. 6

2 3 8.

5 2 3

4 3

9.

2 5

2 5

10.

2

a x

a x

11.

1

1

x x

x x


6 2 3 126 13 3

13 1

7 2 103

2

4

a ax x

a x

22 2 1x x x

IV PRODUCTOS NOTABLES

4.1. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

FORMADA POR DOS TÉRMINOS 2 2 22a b a ab b

4.2. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CONJUGADAS 2 2a b a b a b

4.3. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CON UN TÉRMINO

COMÚN DE LA FORMA 2a b a c a c b a bc

4.4. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA

POR TRES TÉRMINOS 2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc

4.5. CUBO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA

POR DOS TÉRMINOS 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

107

Ejercicios 4.1. al 4.5

1. x y x y 2. 2

4r s 3. 3

1x 4. 2 2 2 2x y x y 5. 2

3 3a b


2 2x y 2 28 16r rs s

3 23 3 1x x x 4 4x y

6 3 3 62a a b b

6. 2 2 2 23 11 3 11a b a b 7. 2

2 3x y 8. 3 1 3 1m m 9. 2

2 24 3x y


4 49 121a b 2 24 12 9x xy y

29 1m 4 2 2 416 24 9x x y y

10. 3 3ab ab 11. 5 6ab ab 12. 3

2 2a b 13. 1 5ax ax


2 29 a b 2 2 30a b ab

6 4 2 2 36 12 8a a b a b b 2 2 4 5a x ax

14. 3

22 y 15. 3 4 3 4x x 16. 1 13 4m mx x 17. 2

11x y


2 4 68 12 6y y y 29 16x

2 2 1 12m mx x 2 22 22 22 121x xy y x y

18. 3 312 15a a 19. 3

a b

20. 2mn y mn y 21. 2

1 23a ax x


6 33 180a a 3 2 2 33 3a a b ab b

2 2 22m n mny y 2 2 2 1 2 46 9a a ax x x

22. ab cd ab cd 23. 2

2 4mn 24. 3

1 5ax 25. 3 8x xa a


2 2 2 2a b c d 2 4 28 16m n mn

3 3 2 2 115 75 125a a ax x x 2 5 24x xa a

26. 2 29 12xy xy 27. a b c a b c 28.

33 3

3 2

x y


2 4 23 108x y xy 2 2 22a b bc c

9 6 3 3 6 9

27 6 4 8

x x y x y y

29. 2

2 2m n 30. 2 5 2 2

3 4 3 7

x x

31. 1 16 5x xa a


108

2 24 4 4 8 4m n m n mn 24 9 5

9 14 14

x x

2 2 111 30x xa a

32.

32

15

a

33. x n x na b a b

34.

2 2

65 5 2

x x aa

35.

22 3

3 4

xya


2 4 631

5 25 125

a a a

2 2x na b 4 2

2113

25 10

x axa

2 4 2 29

9 2 16

x y axy a

36.

3

2 3

5xy z

37.

3 32 6

a a

b b

38. 1 18 9a ax x


3 6 2 4 2 2 39 27 27

5 25 125x y x y z xy z z

2

2

9 1212

a a

b b

2 2 1 72a ax x

39. )12)(12( 22 nnnn 40. 2 3 4 2 3 4x y z x y z

41. 1 2 1 2x y x y


4 24 4 1n n n 2 2 24 9 16 24x y z yz

2 24 4 1x y x

42. 2

3x y Solución

2 2 2 6 6 9x y xy x y

V. FACTORIZACIÓN

5.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) DE VARIOS TÉRMINOS

5.2. FACTOR COMÚN

5.3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 2 2 22x y x xy y

5.4. DIFERENCIA DE CUADRADOS 2 2a b a b a b

5.5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 3 3 2 2a b a b a ab b

5.6. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2x bx c ,

CON b Y c ENTEROS DISTINTOS DE CERO

2x m x n x m n x mn

109

Ejercicios 5.1. al 5.6. Factorizar:

1. zxyx 22 2. )1()1( xbxa 3. 22 2 baba 4.

22491 ba 5. 1072 xx


2x y z 1a b x 2

a b 1 7 1 7ab ab 5 2x x

6. 232 2 xx 7. 31 a 8. yyy 32 23 9.

269 xx 10. 62100 yx


2 1 2x x 21 1a a a 2 3 1y y y 2

3x 3 310 10xy xy

11. 22 xx 12. 33 nm 13. 276 2 xx 14. )1(3)1(2 nynx


2 1x x 2 2m n m mn n 3 2 2 1x x 1 2 3n x y

15. 23232 11055 xnmxnm 16. 6135 2 xx 17. 2092 yy 18. 13 y


2 355 1 2m n x x 5 2 3x x 4 5y y 21 1y y y

19. 12125 42 yx 20. 8118 48 aa 21. 2)2( nna 22. 432 xxxx


2 25 11 5 11xy xy 2

4 9a 1 2a n 3 1x x x

23. 1253 a 24. 2452 cc 25. 1253 a 26. 864291 dcba


25 5 25a a a 8 3c c 2

2 3x y 2 3 4 2 3 41 3 1 3ab c d ab c d

27. 1)1( aax 28. 35447 2 xx 29. 3232 2415129 abbaaba


1 1x a 7 5 7x x 2 2 33 3 4 5 8a a b a b b

30. )1(3)1)(( nnyx 31. 2

2

4bab

a 32.

294

1a 33. 21102 xx


110

3 1x y n

2

2

ab

1 13 3

2 2a a

7 3x x

34. 12815 2 aa 35. 63 278 ba 36. 4379 2 xx 37. aa 2120 2


5 6 3 2a a 2 2 2 42 3 4 6 9a b a ab b 9 1 4x x 20 1a a

38. 2536

62 xa 39.

336

25

25

1 24 xx 40. ))(1()1)(( mxxxmx


3 3

6 5 6 5

a x a x

221 5

5 6

x

0

41. bxabaabba 2232 8563 42. 4062 nn 43. 15148 2 aa 44. 33 278 yx


23 6 5 8ab a a b ax 10 4n n 4 3 2 5a a 2 22 3 4 6 9x y x xy y

45. 22 )(4 yxx 46.

16216

4236 y

yxx 47. byaybxax 48. 120 2 yy


3x y x y

22

344

yx

a b x y 5 1 4 1y y

49. 3652 xx 50. 22)( ayx

Solución Solución

9 4x x x y a x y a

5.7. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2ax bx c

( , ,a b c SON ENTEROS DISTINTOS DE CERO y 1a )

Ejercicios 5.7. Factorizar:

1. 5176 2 xx 2. 5214 2 xx 3. 273 2 xx 4. 3116 2 xx 5. 15234 2 xx


111

3 1 2 5x x 4 1 5x x 3 1 2x x 3 1 2 3x x 4 3 5x x

6. 31710 2 xx 7. 3103 2 xx 8. 7236 2 xx 9. 8103 2 xx 10. 9192 2 xx


5 1 2 3x x 3 1 3x x 3 1 2 7x x 3 4 2x x 2 1 9x x

11. 7152 2 xx 12. 7176 2 xx 13. 7249 2 xx 14. 103936 2 xx


2 1 7x x 3 7 2 1x x 3 1 3 7x x 12 5 3 2x x

Ejercicios 5.7.1. Factorizar:

1. 576 2 xx 2. 576 2 xx 3. 5136 2 xx 4. 61110 2 xx 5. 456 2 xx


3 5 2 1x x 3 5 2 1x x 3 1 2 5x x 5 2 2 3x x 3 4 2 1x x

6. 310 2 xx 7. 310 2 xx 8. 8719 2 xx 9. 13376 2 xx 10. 561915 2 xx


5 3 2 1x x 5 3 2 1x x 9 1 8x x 3 1 2 13x x 5 7 3 8x x

11. 9718 2 xx 12. 212910 2 xx 13. 11011 2 xx 14. 121918 2 xx 15. 12712 2 xx


8 1 9x x 5 3 2 7x x 11 1 1x x 9 4 2 3x x 4 3 3 4x x

Ejercicios 5.7.2.

Factorizar por los dos métodos anteriores.

1. 352 2 xx 2. 2665 xx 3. rr 1772 2 4. 45915 2 xx 5.

2

3

2

1 2 xx


2 1 3x x 3 2 2 3x x 9 8r r 15 1 4x x 1 3

12 2

x x

112


6.1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) DE VARIOS TÉRMINOS

6.2. SUMA Y RESTA

6.3. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Ejercicios 6.1. al 6.3. Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas.

1. 2 3 2

4 6

x x 2.

2

2 1

5 3a ab 3.

2 2

2 2

3 4

3 5

a b a b ab

ab a b

4.

2 4

12 15 30

x y x y y x


9 2

12

x

2

6 5

15

b a

a b

2 2

2 2

8 3

15

a b ab

a b

5

60

x y

5. 3 2 3 3a b a m

ab am a

6.

1 1

1 1a a

7.

3 6

1 2 5x x

8.

x x

x y x y


3 2am bm ab

abm

2

2

1

a

a

21

1 2 5x x

2

2 2

2x

x y

9. 2 2

4x y x y xy

x y x y x y

10.

2

2

3 2 2 5

2 4

x x x

x x

11.

2

2 3

3 4 3

5 3

a ab

ab a b


2 2

2 2

2 2 4x y xy

x y

2

4

4

x

x

2 2 2

2 3

3 6 20

15

a b ab

a b

12.

2

2 3

3 1 2 3

5 3 15

x x x

x x x

13.

1 1

1 1

x x

x x

14.

2

1x

xy y y

15.

2

1 1 1

4 4 8 8 12 12a a a


2

3

1

5

x x

x

2

4

1

x

x

1

x y

3 2

4

3 11 3 7

24 1

a a a

a

113

16. 2

1 1x

a ax a x

17.

2 22 6

3 4

a b

b a 18.

3 2 2

3 2

2 3 5

15 7

x a x

a y xy 19.

2 2

2 2

2 2 3

2 2 3

x x x x

x x x


a

x a x ab

4

3

2

7

x

ay 1

20.

2

2

2 2 4 5

2 50 3 3

a a a

a a

21.

2 1

1 2x x

x x

22.

2

21

ab ba

a b a


1

3 5

a

a

2 1x a b

23.

2

1x x

xy x y

24.

22 3

2

3

5

a ba b

x 25.

22 36

5

a xa x 26.

3 2

2

5 5

2 6 2 6

x x x x

x x x


x 2 2

3

5x b 30x

1

5

x

x

27.

2 2

2 2 4

x y x y

x y x y

28.

2

3

4 2

8 2

x x

x x

29.

2 2

x y y x

a b a b

30.

31

31

x

x


2 x y 2

2

4 2

x

x x

2

3

3

x

x

31.

21

21

xx

xx

32. 2

2

3 41

1 21

x x

x x

33.

44

12

x

xx

x

34.

1 5

13 2

1

x x

x x

35.

61

2 3

22

d

c dd

c d


2

2

2

2

x x

x x

4

2

x

x

5 4

1

x

x

1 4

3

x

x

2

2 3

c d

c d

114

VII. ECUACIONES

7.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Ejercicios 7.1. Resolver las siguientes ecuaciones enteras de primer grado con una variable.

1. 2 1 8 3 3x x x 2. 30 6 5 4 5 6 8 3x x x x x

Solución Solución

3x 3

7x

3. 15 6 5 2 3 7 23 3 2x x x x x x

Solución

1x

4. 16 3 6 9 30 3 2 3x x x x x x

Solución

1

2x

5. 71 5 2 3 25 3 4 4 3x x x x

Solución

3x

6. 3 8 15 6 3 2 5 4 29 5x x x x

Solución

5x

7. 2 2

7 4 3 5 4 1 1 2x x x x

Solución

1

2x

8. 2 2 2 22 3 3 1 5 3 4 5 1 4 12x x x x x x x

Solución

1x

115

9. 2 25 1 6 3 7 3 2 5 2x x x x x x x

Solución

7

3x

7.2. ECUACIONES FRACCIONARIAS Ejercicios 7.2. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias.

1. 1

56 3

xx 2.

19 3 6 2

2n n 3.

22 4 12 7

3n n n


4x 4n 9n

4. 5

22 12 6 4

x x x 5.

1 1 1 1

2 4 10 5x x 6.

2 5 7 31

3 10 2x x x


13x 2

11x

5

3x

7.

27 1 5 2 4 3 4 1

3 2 4 3

x x x x

x x

8.

3 26 1 1 3

18 5 6 9

xx x

x

9.

2 3

4 1 4 1x x


2x 30

23x

5

4x

10. 2

3 10

1 1x x

11.

5 13 4 5

15 5 15 3

x x x

x

12.

2 1 4 2

2 1 3 2 3

x x

x x


4

3x 54x 11x

13.

23 1 18 1

1 2

x x

x

14.

2

1 1 6

3 2 3 4 9 6 8s s s s

15.

2

1 1 2

2 3 2 1 4 8 3d d d d


1

7x

2

3s No tiene solución

116

De las ecuaciones 16. a la 22. resolverlas para “ x ”.

16. 1 2m

x m m ( m es parámetro). 17.

4

2

a b a

x x ( a y b son parámetros).

Solución Solución

21

3x m

6ax

b

18. 2

1 1

2 2

x x

a a a

( a es parámetro). 19.

1 1 3 2

2

a a

a x

( a es parámetro).

Solución Solución

1x 2x a

20. 2 a ba x b x

a b ab


Solución

2x

21. 2

3 2 1x a a x

a ab a


Solución

2 2

1

a ax

a

22. 2x b x a

a b


Solución

x a b

7.3. ECUACIONES LITERALES Y DESPEJES

Ejercicios 7.3. En las siguientes ecuaciones literales, despeja la(s) literal(es) que se te indica(n).

1. 1u a n r ; , ,a n r 2. 21

3V h r ; ,h r 3. S CIN ; , ,C I N


1

1

a u n r

u an

r

; 1

u ar

n

2

3 3;

v vh r

r h ; ;

S S SC I N

IN CN CI

117

4. 1N

S C I ; , ,C I N 5. 1 1

ni

VF PMTi

; nPMT ,

Solución Solución

1

log log; 1;

log 11

N

N

S S S CC I N

C II

log 1

;log 11 1

n

iVF

iVF PMTPMT n

ii

6. 1 1

ni

VP PMTi

; n 7. 1 1

k

WC

I

; , ,W I k

Solución Solución

log log

log 1

PMT PMT iVPn

i

1 log 1

1 1 ; 1 1;log 1

kk

W

W CW C I I k

C I


8.1. SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Ejercicios 8.1.

Resolver las siguientes ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.

1) 6

5 4 12

x y

x y

2)

4 5 32

3 5 11

x y

x y

3)

2 6

2 4 5

x y

x y

4)

2 5

2 4 10

x y

x y


4 , 2x y 3 , 4x y No hay solución por Tiene infinitas soluciones por

ser dos rectas paralelas tratarse de dos rectas no coincidentes. paralelas coincidentes.

5) 6 5 9

4 3 13

x y

x y

6)

11 9 2

13 15 2

x y

x y

7)

15 40

19 8 236

x y

x y

8) 3 4 6 2 18

2 3 4

x y y x

x x y


1, 3x y 1, 1x y 4 , 20x y 3 , 4x y

118

9)

6 8 10 5 3

9 11 2 2

x y x y x y

x y y x y x

10)

5 4

13 3

x y

y x

11)

12 5 6 0

5 712

3 6

x y

x y


5 , 7x y 15 , 12x y 3 , 6x y

12)

3 40

3 4

4 23

2 5

x y

x y

13)

33 6

5

23 9

7

yx

xy

14)

3 4 2

7 3

5 4 242

11 2

x yx

x xy


42 56,

23 23x y 2 , 3x y 8 , 10x y

15)

2

7

8 12

2

x y

x y

x y

x y

Solución

5 , 9x y

8.2. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS Ejercicios 8.2. Resolver las siguientes ecuaciones simultáneas con tres incógnitas.

1)

2 5 13

4 8

2

x y

y z

x y z

2)

6

2 5

3 10

x y z

x y z

x y z

3)


1 , 3 , 4x y z 1 , 2 , 3x y z 2 , 3 , 4x y z

4)

5)

Solución Solución

3 , 2 , 5x y z 3 , 3 , 3x y z

2 3 1

6 2 14

3 1

x y z

x y z

x y z

5 2 24

2 5 2 14

4 3 26

x y z

x y z

x y z

4 5 6

3 3 4 30

6 2 3 33

x y z

x y z

x y z

119

8.3. MÉTODO DGO Ejercicios 8.3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

1. 2. 3.


2 , 1 , 0x y z 1 3 5

, ,2 2 2

x y z 12 28 10

, ,11 11 11

x y z

4. 5.

Solución Solución

0 , 0 , 1x y z 1 3

0 , ,4 4

x y z



9.2. ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA Ejercicios 9.1 al 9.2 Resolver las siguientes ecuaciones incompletas:

1. 483 2 x 2. 4695 2 x 3. 09 22 ax 4. 0135)32)(32( xx


1 24 , 4x x 1 211 , 11x x 1 2

1 1,

3 3x a x a 1 26 , 6x x

5. 3

1

3

1

3

1

xx 6.

12

7

6

1

2

522

xx 7. xx 324 2 8. xxxx 433 22


332

1

3

zyx

zyx

zyx

1233

136

132

zyx

zyx

zyx

62

42

65

zy

yx

zyx

14

22

12

zyx

zyx

zyx

1223

23

232

zyx

zyx

zyx

2 0ax c

2 0ax bx

120

1 2

2 2,

3 3x x 1 22 , 2x x 1 20 , 8x x 1 2

10 ,

2x x

9. )2(245 2 xx 10. 2

3

6

9

3

xx 11. 1

2

4

1

1

x

x

x

x


1 2

20 ,

5x x 1 2

10 ,

2x x 1 20 , 1x x

12. )1)(3()32)(14( xxxx

Solución

1 2

80 ,

7x x

9.3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

Ejercicios 9.3. Resolver por factorización.

1. 2. 3. 4.


1 23 , 2x x 1 22 , 9x x 1 29 , 12x x 1 2

2 5,

3 2x x

5. 6.

Solución Solución

1 2

3, 20

8x x No tiene raíces reales.

9.4. SOLUCIÓN POR FÓRMULA GENERAL Ejercicios 9.4. Resolver por fórmula general y por fórmula simplificada.

1. 2. 3. 4. 63162 xx


1 2

21 ,

3x x 1 2

112 ,

4x x 1 23 , 8x x 1 29 , 7x x

2 6 0x x 2 7 18x x 2 108 3x x 26 10 11x x

260 8 157x x 220 27 14x x

23 5 2 0x x 24 3 22 0x x 2 11 24x x

121

5. 6.

Solución Solución

1 2

2

3x x 1 2

185 ,

5x x

9.5. ECUACIONES CON RADICALES Ejercicios 9.5. Obtener las raíces de las siguientes ecuaciones.

1. 2. 3. 4.


1 22 , 2x x 1 22 , 4x x 1 24 , 3x x 1 20 , 5x x

5.

Solución

1 21, 6x x

X. LA RECTA

10.2. PENDIENTE DE UNA RECTA Ejercicios 10.2. Obtener la pendiente de la recta, determinada por cada pareja de puntos.

1. 2. 3.


0m “ m ” indeterminada 1

14m

4. 5. 6.


7

207m

5

6m

134

99m

2 212 4 9 0x x 25 7 90 0x x

2 5 3x 6 8x x 7 2 3 4 0x x x 3 1 5 16 1x x x

63 5

3x

x

3, 1 , 5, 1A B 2,3 , 2, 5A B 4 1

, 1 , 8,3 3

A B

5 1 2, , 4,

7 3 9E F

2,3 , 8,8A E1 1 2 5

, , ,8 11 4 12

C G

122

7. (6, 1), 6,6M N 8. 9. 10.


“ m ” indeterminada 0m 0m “ m ” indeterminada

10.3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Ejercicios 10.3. Obtener la pendiente de cada recta, determinada por cada pareja de puntos, compáralas e indica si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

1. ; 2. ;

Solución Solución

1 22, 2m m ( 1 2m m , son paralelas) 1 22, 1m m ( 1 2m m , ni paralelas,

ni perpendiculares)

3. ; 4. ;

Solución Solución

1 2

12,

2m m ; (

1

2

1m

m , son perpendiculares) 1 2

9 3,

28 2m m ; ( 1 2m m , ni paralelas,

ni perpendiculares)

5. ;

4

6,

3

13,

4

9,2 HG 6. ;

Solución Solución

1 2

9 9,

28 28m m ; ( 1 2m m , son paralelas) 1 2

9 28,


ni perpendiculares)

7. ; 8. ;

Solución Solución

1 2

9 6,

28 5m m ; ( 1 2m m , ni paralelas, 1 2

55 385,

423 2961m m ; ( 1 2m m , son

ni perpendiculares) paralelas)

4,2 , 5,2T R 1

,2 , 7,22

S U

2, 2 , 2,7M O

5,1 , 2, 5A B 2,7 , 5,1C D 5,1 , 2, 5A B 3,3 , 7, 1C D

2,7 , 5,1A B 5,3 , 7,9C D 1 5 1

4, , ,2 3 4

E F

4,10 , 10,1G H

1 5 14, , ,

2 3 4E F

1 5 14, , ,

2 3 4E F

5, 26 , 4,2G H

9 13 62, , ,

4 3 4I J

2,1 , 3,7K L 5 2 8

, , 9,11 9 6

M N

105 5 25, , 1,

11 63 21O P

123

9. ; 10. ;

Solución Solución

1 2

55 3,

423 2m m ; ( 1 2m m , ni paralelas, 1 2

55 6,


ni perpendiculares) ni perpendiculares)

10.4.1. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO CUALQUIERA DE ESTA Y SU PENDIENTE. Obtener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por un punto dado y tiene pendiente indicada en cada ejercicio y realizar la gráfica de cada una de ellas. Ejercicios 10.4.1.

1. 1,1 , 3A m 2. 2, 3 , 4B m 3. 0,4 , 2C m


3 2 0x y 4 5 0x y 2 4 0x y

4. 3

3, 5 ,4

D m 5. 5

3, , 67

E m

6. 2 1

, , 29 3

F m


3 4 29 0x y 42 7 121 0x y 18 9 1 0x y

5 2 8, , 9,

11 9 6M N

1,1 , 3,7O P 5 2 8

, , 9,11 9 6

M N

2,1 , 3,7O P

124

7. 1

0,0 ,2

G m 8. 7

,0 , 12

H m

9. 3,4 , 0I m


2 0x y 2 2 7 0x y 4 0y

10. 4,4 ,J m no definida

Solución

4 0x

10.4.2. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS DE ESTA. Ejercicios 10.4.2. Encontrar la ecuación de la recta en su forma general que pasa por los puntos indicados y graficarlas.

1. )2,5(),3,1( 21 PP 2. 3.


5 6 13 0x y 3 4 29 0x y 3 2 0x y

4.

5. 6.


4 11 32 0x y 165 16 150 0x y 3 10 6 0x y

1 23,5 , 7,2P P 1 20,0 , 2,3P P

1 23, 4 , 8,0P P 1 2

2 5 6, , , 3

3 2 5P P

1 2

1 3, , 8, 3

2 4P P

125

7. 8. 9..


9 13 6 0x y 0x y 2 0y

10.

Solución

4 0x

10.4.3. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS SU PENDIENTE Y ORDENDA AL ORIGEN.

Ejercicios 10.4.3. Obtener la ecuación de la recta en su forma general conociendo su pendiente y la ordenada al origen y graficarlas.

1. 2. 3.


1 2

25,3 , ,0

3P P

1 23,3 , 0,0P P 1 2

3,2 , 5,2

2P P

1 2

14, , 4, 5

2P P

3 , 0, 4m A 7 , 0, 5m B 2

, 0, 23

m C

126

3 4 0x y 7 5 0x y 2 3 6 0x y

4. 5. 6.


15 12 4 0x y

40 15 6 0x y

4 0y

7. 8. 9.


2 1 0x y 5 0x y 3 2 0x y

5 1, 0,

4 3m D

8 2, 0,

3 5m E

0 , 0,4m F

1 1, 0,

2 2m G

5 , 0,0m H

3, 0,0

2m I

127

10.

Solución

3 0x y

XI. LA PARÁBOLA



Ejercicios 11.2.1. al 11.2.2. Del ejercicio uno al diez, calcular los elementos de la parábola y graficarla. Del ejercicio once al dieciséis, obtener la ecuación de la parábola en la forma general.

1. 2.

Solución Solución

1, 0,3m J

x

y

2

3 6 1y x 2 8y x

128

3. 4.

Solución Solución

5. 6.

Solución Solución

7. 8.

Solución Solución

2 310

2y x

22 2y x

2

5 2 3y x 2

3 12 2x y

2

2 16 3x y 2

0 8 3x y

129

9. 10.

Solución Solución

11. 12.

Solución Solución

24 4 16 33 0y y x 2 2 8 13 0x x y

13. 14.

Solución Solución

25 60 24 0x y 24 12 4 9 0y y y

15. 16.

Solución Solución

24 0x y 290 120 45 31 0y y x

2

2x y 2 4x y

2

14 2

2y x

2 31 8

2x y

2 212

5x y

23

2y x

2 1

0 04

x y

22 1 1

3 2 5y x

130

Ejercicios 11.2.3. Calcular los elementos de cada parábola y graficarlas.

1. 2.

Solución Solución

3. 4.

Solución Solución

5. 6.

Solución Solución

2 6 16 41 0y y x 22 16 4 20 0x x y

22 2 0y x 2 4 4 12 0x x y

23 24 96y x 2 8x y

131

7. 8.

Solución Solución

2

4 1y No es parábola y no existen

valores de y que satisfagan la ecuación.

(Ningún número real al cuadrado es igual

a 1 ).

9. 10.

Solución Solución

La solución son los dos puntos de La solución es el punto 0,5P

Intersección de la parábola con el de la parábola 2

5y x

eje x 1 3,0P , 2 4,0P dado que cuando 0x

0y

11. 12.

Solución Solución

2 8 17 0y y 2 4 14 0x x y

2 7 12 0x x 2 10 25 0y y

23 9 12 21 0y x y 24 12 16 41 0x x y

132

13. 14.

Solución Solución Igual que la solución del ejercicio 7.

24 4 9 0x x 22 4 12 38 0y y x

133

BIBLIOGRAFÍA

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2003 3. Gobran A., Algebra Elemental”, Grupo Editorial Iberoamérica, México 1990 4. Swokowski E., “Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica”, Grupo Editorial

Iberoamérica, México 1988 5. Britton J., Bello I., “Algebra y trigonometría Contemporaneas”, Harla, México 1986 6. Rees, Sparks, “Algebra Contemporanea” Mc. Graw-Hill, México 1980 7. NCTM, “Números y sus Factores”, Trillas, México 1966 8. Hall & Knight, “Algebra Elemental”, Montaner y Simón S.A., Barcelona España 1968 9. Taylor H., Wade T.L., “Matemáticas Básicas”, Limusa-Wiley, México 1966 10. Lehmann CH., “Algebra” Limusa-Wiley, México 1965 11. Zubieta F., Algebra Elemental” segunda parte, Apuntes, México 1962

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