texto propedéutico de matemática con indice

8/16/2019 Texto Propedéutico de Matemática Con Indice

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PROPEDÉUTICO PARA ESTUDIANTES DEL CENTRO EDUCATIVO TÉCNICOLABORAL KINAL.

Introducción

El siguiente texto ha sido elaborado con el fin de preparar académicamente a losalumnos que estudian en el Centro Educativo Técnico Laboral Kinal, tanto de primeringreso como a los que se gradúan de perito y bachillerato. En el primer módulo, loscontenidos son los básicos o elementales que todo alumno debe dominar para poderrecibir una formación mucho más completa y poder ayudarlos con temas que les servirán para cualquier carrera del nivel medio, pero principalmente para las carreras técnicas quese imparten en este establecimiento. Fueron discutidos por el equipo académico deciencias exactas, y elaborado por quien se suscribe, tomando en cuenta que necesitamosque todos los alumnos que se inscriban en nuestro establecimiento dominen en buenaforma todos estos contenidos. El grado de dificultad consideramos está bastante elevado, pero en este curso tenemos la ventaja que se estudian 40 horas de matemática y 40 defísica, (10 horas semanales en cada curso) que son equivalentes a 14 semanas del cursoordinario sin interrumpir ningún período, razón por la que se considera bastanteambicioso, pero esperamos que sean alcanzados nuestros objetivos.

Se puso en práctica el primero año en el mes de noviembre, pero quienes impartierondicho curso no lograron terminar su contenido, por lo que se seguirá utilizando en elcurso de laboratorio.

Con el fin de que lleven un curso paralelo tanto cuarto como quinto y sexto, para elefecto se agregó el módulo II, el cual conlleva más contenido necesario que incluye preparación para evaluaciones a las diferentes universidades como solicitud a becasinternacionales. En el mismo módulo II se agregaron temas del Contenido del texto“CollegeBoard” Puerto Rico y América Latina, por considerarlos necesarios, ya que esel inicio del razonamiento que necesitamos. Este texto incluye los temas que evalúan para poder optar a las becas Juan Bautista Gutiérrez. Incluimos también temas quetrajeron los alumnos sobre exámenes de admisión la Universidad de San Carlos deGuatemala.

Prof. Ceferino Rodríguez Melgar


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PROLOGO.

En este texto se hace énfasis en el uso del razonamiento en lugar del conocimiento pararesolver problemas matemáticos. Esta diferencia estriba en que el ejercicio deconocimiento se resuelve con la información retenida en la memoria, conceptos o ideas

aprendidas durante los años anteriores e incluso de este mismo año, o con las destrezasdesarrolladas. Sin embargo, un ejercicio de razonamiento matemático requiere procesarinformación para inferir, demostrar, probar, discriminar, concluir, contrastar, argumentary evaluar. Los ejercicios que se incluyen en estas secciones de matemáticas estándirigidos a proveer a los estudiantes una amplia oportunidad de poner en prácticaestrategias de solución de problemas, que le ayuden a potenciar sus habilidades pararazonar matemáticamente. Existen múltiples estrategias para resolver problemasmatemáticos, algunas de las cuales son:

Reconocer un patrón Hacer una figura o un diagrama Elaborar una lista o tabla

Utilizar ecuaciones o fórmulas Practicar tanteo y error Resolver un problema similar más simple Resolver un problema equivalente Trabajar de atrás hacia delante (encadenamiento hacia atrás) Buscar un modelo Trazar una meta Identificar submetas Identificar la simetría Utilizar las propiedades de los números y de las operaciones Localizar coordenadas

La mayor parte de los ejercicios se relaciona con el siguiente contenido temático: Aritmética Conjuntos numéricos Números enteros y sus propiedades La recta numérica Cuadrado de un número y raíces cuadradas Fracciones y números racionales Teoría de números (factores, múltiplos y números primos) Razones, proporciones y porcentajes Problemas de conteo

Álgebra I Uso de variables para expresar relaciones Representaciones algebraicas Relaciones de equivalencia o igualdad Evaluación de expresiones algebraicas Ecuaciones de primer grado en una variable Desigualdades de primer grado en una variable Ecuaciones cuadráticas


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Patrones algebraicos

Álgebra II Valor absoluto Ecuaciones racionales

Exponentes enteros y racionales Variación directa y variación inversa Funciones (conceptos relacionados con dominio y campo de valores, evaluación

de funciones, funciones como modelos, gráficas y sus transformaciones, funciónlineal, y función cuadrática)

Geometría Puntos, rectas y planos Ángulos Triángulos (equilátero, isósceles, escaleno y rectángulo) Teorema de Pitágoras

Triángulos especiales Triángulos congruentes Triángulos semejantes Desigualdad del triángulo Cuadriláteros Áreas y perímetros Otros polígonos (ángulos de un polígono, perímetro y área sombreada) Círculos (radio, diámetro, arcos, circunferencia y área) Figuras sólidas (volumen) Transformaciones geométricas Patrones geométricos

Sentido espacial Estadística y probabilidad Interpretación de tablas y gráficas Media aritmética Mediana Moda Probabilidad de un evento simple

Las secciones de razonamiento matemático de este texto contienen dos tipos deejercicios:

ejercicios convencionales de selección múltiple con cuatro y cinco opciones; y

ejercicios para resolver y escribir la respuesta.Se espera que los ejercicios de esta Guía le ayuden a identificar, ampliar y experimentarestrategias para abordar diferentes tipos de razonamiento, como parte de la solución de problemas en matemáticas.


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Contenido

MÓDULO I ........................................................................................................................ 9

Números ............................................................................................................................. 9

Conjuntos ....................................................................................................................... 9

Subconjuntos ................................................................................................................ 10

Representación ............................................................................................................. 10

Cardinalidad ................................................................................................................. 10

Conjuntos Numéricos ................................................................................................... 10

Números Naturales ....................................................................................................... 10

Números Cardinales ..................................................................................................... 11

Números Enteros .......................................................................................................... 12

Números Racionales ..................................................................................................... 12

Forma Racional o Fraccionaria .................................................................................... 13 Forma Mixta ................................................................................................................. 14

Forma Decimal ............................................................................................................. 14

Decimales Finitos ..................................................................................................... 14

Decimales Periódicos ............................................................................................... 15

Decimales Semiperiódicos ....................................................................................... 15

Actividad 1 ............................................................................................................... 17

Números Irracionales ............................................................................................... 18

Números Reales ............................................................................................................ 19 Propiedades de la operatoria con los números Reales .............................................. 19

Leyes de los signos ................................................................................................... 19

Jerarquía de operaciones .......................................................................................... 20

Actividad 2 ............................................................................................................... 21

Criterios de Divisibilidad ............................................................................................. 22

Mínimo Común Múltiplo ............................................................................................. 23

Máximo Común Divisor ............................................................................................... 24

Números racionales ...................................................................................................... 25 Actividad 3 ............................................................................................................. 25

Actividad 4 ............................................................................................................... 26

Actividad 5 ............................................................................................................... 27

Potenciación y Radicación ........................................................................................... 28

Potencias ................................................................................................................... 28


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Actividad 3.2 ............................................................................................................ 69

Multiplicación .......................................................................................................... 70

Multiplicación en columnas ..................................................................................... 77

Actividad de conocimientos algebraicos .................................................................. 83

Soluciones a Actividad de conocimientos algebraicos ............................................ 85 Evaluación III ........................................................................................................... 93

Productos notables ........................................................................................................ 96

Cuadrado de un binomio .......................................................................................... 96

Cuadrado de la forma (x + a)(x + b)......................................................................... 99

Cuadrado de la suma por la diferencia de dos cantidades iguales (x + a)(x – a) ... 100

Actividad 3.3 .......................................................................................................... 101

Cubo de un binomio ............................................................................................... 102

Cuadrado de un trinomio ........................................................................................ 103 Actividad 3.4 .......................................................................................................... 103

Factorización .............................................................................................................. 105

Término Algebraico ............................................................................................... 105

Factores: ................................................................................................................. 106

Como identificar el caso de factorización que hay que usar ...................................... 106

Factor común .......................................................................................................... 106

Actividad 3.5 .......................................................................................................... 108

Binomios .................................................................................................................... 109 Diferencia de cuadrados ......................................................................................... 109

Actividad 3.6 .......................................................................................................... 110

Suma y diferencia de cubos .................................................................................... 110

Actividad 3.7 .......................................................................................................... 111

Trinomios ................................................................................................................... 112

Trinomio cuadrado perfecto ................................................................................... 112

Actividad 3.8 .......................................................................................................... 113

Trinomio de la forma x2 + bx + c .......................................................................... 113

Actividad 3.9 .......................................................................................................... 116

Trinomio de la forma ax2 + bx + c ......................................................................... 116

Otra forma de factorizar el trinomio ax2 + bx + c .................................................. 117

Actividad 3.10 ........................................................................................................ 120

Agrupación de términos ............................................................................................. 120


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Actividad 3.11 ........................................................................................................ 121

Cubo perfecto de binomios ........................................................................................ 122

Actividad 3.11 ........................................................................................................ 122

Problemas diversos ................................................................................................ 123

Síntesis de casos de factorización .............................................................................. 123 Identificación de polinomios y pasos a seguir en la factorización ......................... 123

Evaluación IV......................................................................................................... 127

MODULO II .................................................................................................................. 130

Capítulo 4 ....................................................................................................................... 130

Habilidades cognoscitivas .......................................................................................... 130

Ejemplos de ejercicios de habilidad cognoscitiva ...................................................... 131

Secuencias numéricas o alfabéticas ........................................................................... 131

Transformaciones lógicas con tres variables.............................................................. 131 Razonamiento condicional ......................................................................................... 132

Habilidad espacial ...................................................................................................... 132

Habilidad cuantitativa ................................................................................................ 133

Prueba sobre Habilidad cognoscitiva ..................................................................... 134

Prueba sobre habilidad matemática básica ............................................................. 137

Secuencias complejas ................................................................................................. 141

Matrices ...................................................................................................................... 141

Diagramas .................................................................................................................. 141 Razonamiento práctico ............................................................................................... 143

Razonamiento condicional ......................................................................................... 143

Prueba de habilidad sobre secuencias complejas ................................................... 144

Prueba de Conocimiento matemáticos intermedios ............................................. 148

Ejercicios de selección múltiple ................................................................................. 153

Ejercicios de razonamiento ........................................................................................ 157

Evaluación V .......................................................................................................... 160

Evaluación VI......................................................................................................... 166

Evaluación VII ....................................................................................................... 170

Conceptos y términos que debe conocer .................................................................... 172

Porcentaje ................................................................................................................... 172

Velocidad promedio ................................................................................................... 174

Conceptos de Geometría ............................................................................................ 176


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Propiedades de las rectas paralelas ............................................................................. 177

Ejercicios de comparación de expresiones matemáticas ............................................ 190

Evaluación VIII ...................................................................................................... 192

Evaluación IX ......................................................................................................... 199

Respuestas a evaluaciones y pruebas ..................................................................... 200 Respuestas del módulo II ....................................................................................... 201

Bibliografía ............................................................................................................. 203


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MÓDULO I

Simbología Matemática

< es menor que = es igual a

> es mayor que es distinto dees menor o igual que es equivalente aes mayor o igual que ≃es semejante a es perpendicular a es congruente con// es paralelo a pertenece a Angulo Aproximado

Para todo

NúmerosJunto con la historia de la humanidad, la historia de las matemáticas y la numeración haevolucionado optimizándose cada vez más. En muchas culturas distintas se realizó lanumeración de variados modos pero todos llegaban a una misma solución, definir unaunidad y aumentarla en conjunto con el conteo, y posteriormente, cuando ya existía unacantidad incómoda de representar se involucraba un nuevo símbolo que representaba atodas las unidades anteriores, a esteúltimo símbolo se le conoce como base, y sin lugar a

duda la base mas usada a nivel internacional ha sido la base de 10, como lo hace elsistema de numeración que ocupamos actualmente, aparentemente a causa que tenemos10 dedos y cada dedo representa una unidad y la manera mas primitiva de contar.

Conjuntos

Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el término“conjunto",seguramente nos estamos refiriendo a un grupo de objetos de algunanaturaleza determinada. Bueno, en matemáticas esta expresión no está para nada alejadade lo que tú entiendes por un conjunto, la diferencia radica en que los conjuntos que

aprenderemos son aquellos que están formados por nada mas y nada menos que números.Los números son elementos fundamentales en el estudio de las matemáticas, ya quegracias a ellos se pueden precisar o determinar exactamente respuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es por esto que es tan importanteanalizarlos, trabajarlos y loque haremos en este capítulo, agruparlos.


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Subconjuntos

Los subconjuntos son esencialmente conjuntos, pero el prefijo sub que aparece, nosinfiere que existe un conjunto mas grande del que estamos hablando, uno en del cualnuestroconjunto es un subconjunto, es decir, nuestro conjunto está contenidocompletamente en otro conjunto. Por ejemplo; si queremos formar el conjunto formado

por todas laspersonas involucradas en nuestro curso propedéutico, encontraremos en el a profesores, alumnos, coordinadoresy autoridades del establecimiento. Un subconjunto deeste será el grupo de todos los alumnos, ya que estos porsí solos forman un conjunto, pero este está contenido en el primer conjunto nombrado.

Representación

Para representar un conjunto cualquiera, generalmente se usa una línea que encierra aungrupo de cosas, llamados diagramas, las cuales forman el conjunto. Una maneraanáloga es ordenarlos, separados con comas y escribirlos entre llaves.

Cardinal idad

Cuando queremos hablar de cantidades dentro de los conjuntos, o aclarar si un conjuntoes mas grande o no que otro, introducimos un término que llamamos cardinalidad, lacual representamos por el símbolo #, esta solo depende del número de objetos de nuestroconjunto.Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de la figura es 4.

Conjun tos Numéric os

Son todos aquellos conjuntos que están formados por números, estos se dividen principalmenteen:

Números Naturales

Los números naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representan por el símbolo N. Y sus elementos son:


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N = ...6,5,4,3,2,1 . Nótese que no se incluye el cero.Nota: El conjunto de los números dígitos no es subconjunto de los númerosnaturales, ya que en los números naturales no existe el cero.

Explicación: Como se sabe que el conjunto de los números naturales su utiliza para

contar, el cero no se cuenta, pues cualquier conjunto, al empezar a contar (Si la cuenta esde uno en uno), iniciamos con el número uno, jamás con el cero.

Algunos subconjuntos de N son:

Los números pares = ,...10,8,6,4,2 estos los podemos representar como 2n n NLos números impares = ,...15,13,11,9,7,5,3,1 , los cuales los podemos representarcomo(2n + 1) o (2n – 1) n NLos números primos = ,...17,13,11,7,5,3,2 , son todos aquellos números que sondivisibles solo por sí mismos y por 1, excluyendo a este último.

Los números compuestos, Son todos aquellos que NO son primos.Observa que:La cardinalidad de N es infinita.

Este conjunto es “cerrado" bajo la suma y la multiplicación, es decir, para todo par denúmeros en N, su suma y su multiplicación también es un númeronatural.

Este conjunto NO es “cerrado" bajo la resta y la división, ya que para todopar denúmeros en N, su diferencia y división NO es necesariamente un númeronatural.

2 es el único número par que es primo, ya que cumple con la condición que todo númeroes primo si es divisible por él mismo y por la unidad.

Números Cardinales

Son los que indican una cantidad, es decir, expresan cuantos elementos existen endeterminado conjunto, razón por la cual debe contener el cero puesto que si no existeningún elemento, la cardinalidad debe ser 0.Cuando en el conjunto de los números naturales incluimos el 0, se denomina como NúmerosCardinales, se representa por el símbolo

0 N , y sus elementos son:

,...11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,00 N .

Algunos subconjuntos de0 N son:

Los números Naturales y todos los subconjuntos de este.

Los números dígitos; = 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 . Este conjunto es finito y su cardinalidad es10.


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Forma Mixta

Hay ocasiones en que el numerador de una fracción es mayor que el denominador. Enestassituaciones dividimos el numerador por el denominador, del resultado de estadivisión consideramos el cociente como la parte entera, y el residuo como numerador dela fracción que la acompaña.

Por ejemplo:

Consideremos la fracción 58

, entonces al efectuar la división se tiene.

185

y su residuo

es 3. Por lo tanto podemos escribir esta fracción como: 53

15

8

Forma DecimalToda fracción tiene su representación como número decimal, para obtenerlo bastadividir, sin dejar resto, el numerador con el denominador.

Por ejemplo, consideremos la fracción 49

, procedemos a dividir25.249

Para pasar un número decimal a fracción existen 3 posibles casos:

Decimales Finitos

Cuando las cifras decimales de un número son finitas, por ejemplo 4.376 es un decimalfinito pues tiene solo 3 dígitos a la derecha del punto decimal, pero 4.333333333333. . .con infinitos números 3, uno tras otro, no es un decimal finito pues tiene infinitos dígitosdespués del punto decimal. A estos números se les conoce como periódicos, es decir, susdecimales pueden escribirse en períodos, de la siguiente forma 4. 3̅ .La manera de pasar los decimales finitos a fracción es simplemente escribir una fraccióncuyo numerador sea el mismo número pero sin punto decimal y cuyo denominador sea

un 1 con tantos ceros como dígitos tiene el número después del punto, por ejemplo:

1000

5326326.5

Hay 3 cifras decimales por eso se escriben 3 ceros

100

23232.2

Hay 2 cifras decimales


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15

10

155.1

Hay 1 cifra decimal

Esto es debido a que cuando uno divide por 10, 100, 1000, etc., lo único que le sucede

aldividendo es que se corre el punto hacia la izquierda tantos espacios como ceros poseeeldivisor.

Decimales Periódicos

Los decimales periódicos son aquellos en que los números después del punto decimal serepiten infinitamente sin alterar su orden, por ejemplo:

1.333333333333333… es un número decimal donde el 3 se repite infinitas veces

después del punto, este número lo escribiremos de la forma: __ 3.1

4.3243243243243243243… es un número decimal donde el número 324 se repite

infinitamente después del punto, este número lo escribiremos de la forma: ____ _

324.4

La fracción que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el númeroescrito sin punto ni línea periódica menos la parte entera dividido por tantos 9 comodecimales periódicos halla, por ejemplo:

912

91133.1

__ Como sólo hay un decimal periódico, se escribe un 9 como

denominador

99

131

99

113232.1 ___

Como hay dos cifras decimales periódicas, se escribe 99 como

denominador.

999

4320

999

44324324.4 _____

Como hay tres cifras decimales periódicas, se escribe 999

como denominador.

999

12423

999

1212435435.12 _____

Decimales Semiperiódicos


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Los decimales semiperiódicos son aquellos en que hay cifras decimales que aparecensolo una vez y las demás se repiten infinitamente, por ejemplo:

1.233333333333333… es un número decimal donde el 3 se repite infinitas veces

después del 2, este número lo escribiremos de la forma: __

32.1

3.3211111111111111111… es un número decimal donde el número 1 se repite

infinitamente después del 32, este número lo escribiremos de la forma: _

132.3

2.532323232323232323232… es un número decimal donde el número 32 se

repiteinfinitamente después del 5, este número lo escribiremos de la forma: ___

325.2 .

Nótese que la línea solamente se escribe sobre un período

La fracción que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es elnúmeroescrito sin punto ni líneaperiódica menos la parte no periódica del número,dividido portantos 9 como decimales periódicos halla y tantos ceros, después de losnueves, como dígitosno periódicos halla después del punto.Por ejemplo:

90

119

90

1313223.1 _

Como hay una cifra decimal periódica, se escribe un 9 y existe

una cifra decimal no periódica, se escribe un 0

900

2305

900

2562561156.2 _

Como hay una cifra decimal periódica, se escribe un 9 y

existendos cifras decimales no periódicas, se escribendos 0

80.123333333333 = 80.123 Como hay una cifra decimal periódica, se escribe un 9 ycomo existen dos cifras decimales no periódicas se escriben dos ceros después del 9.801238012

900

990

6062

990

616123231.6 ___

Como hay dos cifra decimales periódicas, se escriben dos 9 y

existe una cifra decimal no periódica, se escribe un 0

90

1086

90

120120660.12 _

Como hay una cifra decimal periódica, se escribe un 9 y

existe una cifra decimal no periódica, se escribe un 0

9900

34994

9900

353353474753.3 ___


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Algunos subconjuntos de Q son:

Los números Naturales, ya que todo número natural n lo podemos escribir como n

Los números Cardinales.

Los números Enteros ya que todo número entero z lo podemos escribir como z, etc. . .

Actividad 1

Elabore lo que se le indica a continuaciónConvierta las siguientes fracciones a decimales

1.

2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. 13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Convertir decimales a fracciones

1. 5.352. 0.83. 10.284. 0.745. 9.876. 0.147. 2.288. 0.99. 5.310. 0.4111. 0.38

12. 0.1613. 9.8514. 7.4215. 9.2916. 6.7517. 10.8618. 0.7919. 0 7520. 32521. 0.625


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18

Convierta los siguientes números decimales periódicos a fracciones

1. 1. 3̅ 2. 3.32̅ 3. 2.42̅ 4. 5.53̅ 5. 0.6256. 0.046̅ 7. 0. 135̅ 8. 12.45̅ 9. 6.428̅ 10. 0.051̅

11. 43.8325̅ 12. 7.642̅ 13. 0.15̅ 14. 2.23̅ 15. 6.283̅ 16. 3.1462̅ 17. 10.213̅ 18. 26.382̅ 19. 5.1416̅ 20. 15.63̅

Números Irracionales

Es el conjunto de todos los números que no pertenecen al mundo de los racionales, esdecir, no se pueden escribir como fracción ya que tienen infinitos decimales sin ningunarelación. Unaforma de enunciar sus elementos es:

Qii I /

Algunos elementos de este conjunto son: 2,,e , etc.Observa que:

Entre el conjunto de los números racionales y el de los irracionales no existe ningúnelemento en comúnAdemás, NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse, restarse, multiplicarse odividirse, pueden obtener un número racional, como por ejemplo:

12

2

2

1

2

Y estos resultados no son números irracionales.


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Números Reales

Es el conjunto que obtenemos entre la unión de todos los conjuntos que acabamos de

ver,pero como te habrás dado cuenta, en los números racionales están ya incluidos losnaturales ylos enteros, entonces basta decir que:R=QUI.

Q R

N Z I

En la figura puedes observar gráficamente este hecho.

Figura 1.3: Diagrama de los conjuntos numéricosbásicos

Propiedades de la operatoria con los números Reales

Conmutatividad:Para todo Rba , , se cumple que:

a + b = b + a y a * b = b * a

Asociatividad:Para todo Rcba ,, , se cumple que:a + (b + c) = (a + b) + c y a *(b * c) = (a * b) * c

Distributividad:Para todo Rcba ,, , se cumple que:a * (b + c) = a * b + a * c

Leyes de los signos

Las leyes de los signos se emplean para efectuar multiplicaciones y divisiones, asítambién en la resolución de símbolos de agrupación, tomando en cuenta que aun nohabiendo operaciones de multiplicaciones y divisiones, a todos los símbolos deagrupación les afecta el signo que está escrito en el lado izquierdo de los mismos. Paraorientarte teadjunto el siguiente cuadro:


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+ * + = +- * - = ++ * - = -- * + = -

O si te es más sencillo, considera que “Signos iguales dan más y signos diferentes danmenos.

Jerarquía de operaciones

Siempre al momento de desarrollar un ejercicio donde aparezcan sumas, restas,

multiplicaciones,divisiones, potencias, etc., debes tener presente que existe una prioridaden el desarrollode estas, es decir; hay operaciones que deben realizarse antes que otras para obtener el resultado correcto. Este orden es el siguiente:1. Potencias y raíces.2. Multiplicaciones y divisiones.3. Sumas y restas.Además si aparecen símbolos de agrupación dentro de algún ejercicio nos indicará quedebemos realizarprimero las operaciones que están dentro de él.Por ejemplo:

6 + 4 * (14 – 23 * 3) - 26 ÷ 2

Primero debemos realizar el paréntesis (la potencia, luego la multiplicación y despuéslaresta). Luego la multiplicación por 4 y la división 26 ÷ 2. Posteriormente terminamoscon lassumas y restas.6 + 4 * (14 – 23 * 3) - 26 ÷ 2 = 6 + 4 * (14 - 8* 3) - 26 ÷ 2= 6 + 4 * (14 - 24) - 26 ÷ 2= 6 + 4 * (-10) - 13= 6 – 40 – 13 = – 47

EJERCICIOS CON JERARQUÍA DE OPERACIONES1.- {2 [(2 + 3 – 5)² + √25 + (2 * 2 / 1) – (5 * 8 / 2) (9 + 5)]} (2² + 1)={2 [(0) + 5 + (4) – (20) (14)]} (5) =[2 (5 + 4 – 280)] 5 =[2 (-271)] 5 =(-542) 5 =-2710.


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21

2.- {√25 [(7+5*2)³ +3 (3*3) – (20/5)]} (9-2) ={5 [(17)³+ 3 (9) – (4)]} (7) =[5 (4913) + 27 – 4] (7) =

(24565 + 27 – 4) (7) =(24588) (7) =172,116.

3.- {8 [9-4+6)² + √36 + (9*2/2) – (60*2/4) (9+1)]} (4²-2) ={8 [21 + 6 + 9 – (30) (10)]} (14) =[8 (136 – 300)] (14) =[8 (-164) (14) =(-1312) (14) =-18368.

4.-{(√4*3) [(10+15) (5*12)² + √16 –

(16-4*3)]} / 6 ={(6) [(25) (3600) + 4 – 4]} / 6 =[(6) (9000) 0] / 6 =9000.

Actividad 2

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las leyes de los signos y la jerarquía de

operaciones.a) Resuelve los siguientes ejercicios combinados:1. 2 3 ∗ 3 5 = 2. ( 6 ÷ 3 1 2 ∗ 3 1) ∗ 2 = 3. (65 [2 1 0 ÷ 2] 5 ∗ 3 ÷ 5) = 4. 5 ∗ 1 0 3 ∗ 3 4 8 ÷ 6 7 = 5. 6 ∗ 2 ∗ 3 [2 ∗ 45 112] = 6. {[ 1 2 ÷ 4 5]} 1 = 7. [ 3 4 ∗ 3 4 5 2] = 8. 2 3 3 ∗ 6 5 2 =

Respuestas ejercicios impares Actividad 2 a

1. -173. -711. 147. -8


22/203

22

b) Aplicando las leyes de los signos resuelve los siguientes ejercicios

1) 5 + (-7)2) – 3 + (-2)

3) (-2) + 84) 11 – (-1)5) 20 + (-15)6) (-11) + 107) 12 + (-24)8) (-35) + 229) (-12) + 3510) 75 – (-25)11) – 5 + 812) 15 – 2513) – 2 + 1214)

– 8 –

2515) 15 + 816) – 2 – 3617) 25 – 3618) 17 – 2519) 19 – 3620) 36 – 2421) 15 + (-8) + 222) (-3) + (-25) – 1223) (-8) + 15 – 1224) (-36) + 35 – 2525) 12 – (-15) + 826) 12 + (-85) – 2627) 2 – (-15) – 2528) – 36 + 15 – 2229) – 26 + 34 – 22

30) 22 – 36 + 1231) 12 – 5 + (12 – 4)

32) 12 – (22 – 32)33) (22 + 15) – 3034) 15 – (16 – 22)35) (16 – 22) + 3636) 25 – 36 + 5537) 32 – (25 + 33)38) 12 + (6 – 8)39) 30 + (8 – 36)40) (12 – 36) – 2641) 12 + (-3) – (-12) + 542) (-3) + 5 – (-2) + (-15)43) 2 + (-8)

– (-2) + (-22)

44) 15 + (-1) – (17) + (-2)45) 22 – (6) + (-2) + (-8)46) 12 + (6 – 4) – (5 + 8)47) (12 – 25) + (8 – 3) – 1248) 2 – (8 + 5) – 1649) -(2 + (3 * 3 + 5))50) 112)45(*23*2*6 51) 2*)13*21(3*6 52) 1)5412( 53) 53*5()2*10(265

54) )25(43*43 55) )76483310(*5 56) 2)5*23()32(

Cri ter ios de Divisib i l idad

Para que te sea más fácil la obtención de divisores o múltiplos comunes es bueno tener presente que:

Todos los números son divisibles por 1.

Los números divisibles por 2, son todos aquellos cuyo último dígito es par o 0.

Los números divisibles por 3, son todos aquellos que cumplen que la suma de sus dígitoses divisible por 3.


23/203

23

Los números divisibles por 4, son todos cuyos últimos dos dígitos forman unnúmerodivisible por 4.

Los números divisibles por 5, son todos aquellos que terminan en 5 o 0.

Los números divisibles por 6, son todos aquellos que son divisibles por 2 y por 3 almismotiempo.

Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha,multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda da unresultado múltiplo de 7. O si no lo puedes ver, continúa así con el resultado que vaquedando y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7. El siguiente cuadro te sirve comoguía

El número 21 es divisiblePor 7. Observa



La regla de divisibilidad por 11 es la siguiente: N es divisible por 11 si y solo si al sumarlos dígitos en posición impar y luego restar los dígitos en posición par, obtenemos unnúmero divisible por 11. Por ejemplo, el número 20,482 es divisible por 11 porque2 0 4 8 2 = 0 y 0 es divisible por 11. El número 123,456 no es divisible por 11 porque1 2 3 4 5 6 = 3no es divisible por 11

Mínim o Común Múlt ip lo

El mínimo común múltiplo (M.C.M), entre dos o más números reales es el número más

pequeño entre todos los múltiplos que tengan en común. Por ejemplo, para determinar elM.C.Mentre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus múltiplos

Múltiplos de 4 = :::48;44;40;36;32;28;24;20;16;12;8;4; Múltiplos de 6 = :::66;60;54;48;42;36;30;24;18;12;6; Y la intersección entre estos dos conjuntos es = :::36;24;12; Luego, como el mínimo de este último conjunto es 12, entonces el M.C.M. entre 4 y 6 es12.


24/203

24

Otra forma de determinar el mcm. es con la siguiente tabla:4 – 6 22 – 3 21 – 3 3

1 – 1 12Donde se va dividiendo a los números hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. serála multiplicación entre los divisores usados.De manera que obtenemos:

2* 2 * 3 = 12

Máximo Común Div iso r

Cuando nos referimos al divisor de un número real estamos hablando de un número que

divide exactamente (sin dejar residuo) al número en cuestión. El máximo común divisor(M.C.D) entre dos o más números reales es el divisor más grande que tienen en común. Porejemplo:Busquemos el máximo común divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer losconjuntos de sus respectivos divisores.

Divisores de 16 = 168;4;2;1; Divisores de 40 = 4020;10;8;5;4;2;1; Y la intersección entre estos dos conjuntos es = 4;82;1; . Por lo tanto el M.C.D. entre 16y 40, es 8.

Observa que:El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre dos o mas números enteros

siempre existe, ya que en el peor de los casos el M.C.M será la multiplicación entre ellos, yel M.C.D. será el 1.

Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad

Para multiplicar o dividir números reales debes tener en cuenta que su signo (positivo onegativo), importa mucho al momento de operarlos. Para esto, aunque ya te la incluí latabla anteriormente siempre considéralanuevamente

+ * + = +- * - = ++ * - = -- * + = -


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25

Números rac ionales

Operaciones con FraccionesMultiplicación de FraccionesMultiplicar fracciones es muy sencillo, basta multiplicar sus numeradores y este será elnumeradordel resultado, para el denominador se realiza el mismo procedimiento.

Practiquemos los siguientes ejercicios. A continuación los encontrará resueltos para queverifique si los resolvió correctamente.

Actividad 3

Efectúe las siguientes multiplicaciones1.

2

1*

3

2

2. 7

2*

4

1

3. 20

6*

3

2

4. 21

*8

1

5. 5

3*

2

1

6. 3

1*

3

1

7. 7)8

3*

9

1

8. 3

4*

9

2

9. 32

*8

3

10. 7

10*

5

3

Solución de las multiplicaciones

2. 2

1*

3

2 =3

1

6

2

3. 7

2*

4

1 =14

1

28

2

4. 20

6*

3

2 =5

1

60

12

5. 2

1*

8

1 =16

1

6. 5

3*

2

1 =

10

3

7. 31

*3

1

= 91

8. 8

3*

9

1 =24

1

72

3

9. 3

4*

9

2 =27

8


26/203

26

10. 3

2*

8

3 =4

1

24

6

11. 10)710*

53 =

76

3530

División de FraccionesDividir fracciones es un poco más complicado ya que debemos realizar lo que llamamosunamultiplicación cruzada, es decir; el numerador del resultado de una división será loqueobtengamos de multiplicar el numerador del dividendo con el denominador del

divisor, de lamisma forma el denominador del resultado será lo que obtengamos demultiplicar el denominadordel dividendo con el numerador del divisor.Como lo anterior parece ser más complicado de lo que realmente es, también podemostransformarla división en una multiplicación y realizar la operación de esta forma que yaconocemos,recuerda que dividir no es otra cosa que multiplicar por el inversomultiplicativo del divisor.Veamos algunos ejemplos:

4

33

4

15

2

3*

2

5

3

2

2

5

3

13

3

10

6

20

2

5*

3

4

5

2

3

4

Actividad 4

Divide las siguientes fracciones:

1. 3

1

9

2

2. 5

2

5

1

3. 7

3

9

2

4. 4

1

9

1

5. 6

1

2

3

6. 5

1

5

1


27/203

27

7. 7

2

7

3

8. 2

5

4

3

9. 10

1

5

2

10. 3

2

3

1

Solución de las divisiones

1. 3

2

9

6

1

3*

9

2

3

1

9

2

2. 2

1

10

5

2

5*

5

1

5

2

5

1

3. 27

14

3

7*

9

2

7

3

9

2

4. 9

4

1

4*

9

1

4

1

9

1

5. 92

18

1

6*

2

3

6

1

2

3

6. 15

5

1

5*

5

1

5

1

5

1

7. 7

2

7

3 =

∗ = =

8. 2

5

4

3 =

∗ = =

9. 10

1

5

2 =

∗

=

= 4

10. 3

2

3

1 =

∗ = =

Actividad 5

Efectúe las siguientes operaciones

1) 158

*4

3

5

6

2) 6

21*

7

12

9

2

3) 16

63

8

7

9

4

4) 10

6

5

4

2

1

5) 2

3

49

8

7

2

6)

9

8

35

36*

12

7

7) 11

81*

9

22

13

15

8) 66

22

36

44

12

3

9) 11

12

5

63

15

7

10) 925

*50

63

23

12

11) 7

6

50

22*

11

15

9

7

12) 7

13

36

99

66

11

21

15

13) 6

32

50

16*

36

25

3

2

14) 9

8

96

24

69

88

21

20

15) 4

3

4

1

8

7

27

12

16) 3

2

4

3

6

15

5

4

3

11

17) 4

3

4

1

8

7

3

2


28/203

28

18) 10

8

12

3

4

3

2

1

19)

20

12

10

11

7

5

7

4

20)

611

611

58

53

21) 3

2

15

4

5

3

5

2

22)

6

3

9

4

12

6

8

7

23)

56

4

7

12

7

8

7

15

24) 15

22

23

1

13

1

13

10

25) 42

6

12

4

36

12

49

21

26)

2

1

3

11

116

27) 172

31

36

41

28)

4

53

3

3

22

2

2

11

1

29) n

mn

m

n

n

m

Potenciación y Radicación

Potencias

Esencialmente una potencia nos representa una multiplicación por sigo mismo de unnúmero que llamamos “ base", tantas veces como lo indique otro número que llamamos“exponente".Base: Es toda expresión que se debe multiplicar la cantidad de veces que indique suexponente

Exponente: es el número que se coloca sobre la base e indica las veces que se debemultiplicar la base por sí misma

23 = 2 * 2 * 2

(a + 4)

2

= (a + 4)(a + 4)Potencia: Es el resultado que se obtiene después de desarrollada la base


29/203

29

Leyes de los exponentes

Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes

nmnmaaa

* 53232 aaaa aaaaaa 123)2(323

Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes

nm

n

m

aa

a 23535

aaa

a 523)2(32

3

aaaa

a

Cuando el exponente es cero, la potencia siempre será igual a 1, pero la base deberá serdiferente de cero

0

10

a

a

Cuando el exponente es uno (1), la potencia será igual a la misma base

aa 1

Cuando el exponente es negativo, la expresión se convierte en fracción, escribiendocomo numerador la unidad y como denominador la misma expresión, pero con elexponente positivo

n

n

aa

1

8

1

222

1

2

12

3

3

El exponente afecta únicamente al elemento sobre el cual se encuentra escrito

3x2 el exponente 2 es únicamente de la letra x. Si lo queremos escribir desarrollado sería x x 3

(3x)2 = 222 9333 x x x x

En este caso, el exponente afecta también al 3

Si el exponente se encuentra colocado afuera de un paréntesis, este afectará a todo lo quese encuentre dentro del paréntesis, (signos, números y letras) y pueden ocurrir lossiguientes casos:Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera del paréntesis es par, el signo se vuelve positivo por estarse multiplicando un número par deveces


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30

(-3x)4 =(-)(-)(-)(-)(3)(3)(3)(3)(x)(x)(x)(x)= 81x4. Los signos, los números y las letras semultiplican.

Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera del

paréntesis es impar, el signo sigue siendo negativo.(-2x)3 = (-)(-)(-)(2)(2)(2)(x)(x)(x) = -8x3

Si la base es una fracción y el exponente es negativo, únicamente se invierte la fraccióny el exponente se vuelve positivo

nn

a

b

b

a

Cuando un exponente está elevado a otro exponente, se multiplican entre sí.

mnnm

aa

Cuando en una fracción se encuentren exponentes negativos, se cambian de lugar, (las bases con sus exponentes negativos de abajo se suben y los de arriba se bajan) para quelos exponentes se vuelvan positivos

n

n

n

n

a

b

b

a

22

33

323

21 )2(3

2

3

yam

xn

nm

xya

=22

3

22

3 24)8(3

yam

xn

yam

xn

Cuando un exponente es fraccionario, el numerador de la fracción es el exponente de la base y el denominador indicará siempre que es una raíz.

n mn

m

aa 6441616 3323

Resolver en forma desarrollada las siguientes expresiones:54 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 – 42 = – 4* 4 = – 16( – 3x3)2 = ( – 3x3)( – 3x3) = 9x6

4

6

2

3

2

32

2

39333

y

x

y

x

y

x

y

x

Resuelva y simplifique aplicando las leyes de exponentes, las siguientes operaciones.

a) 54 = 625 b) – 42 = – 16


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31

Explicación: Como sabemos que el exponente es únicamente de la base en donde seencuentre; en este caso es sólo del 4 no así del signo por eso es que el signo no semultiplica 2 veces.

c) ( – 3x3)2= 9x6

Explicación: El exponente de afuera del paréntesis afecta a todo lo que está adentro,como es par, el signo menos está multiplicado un número par de veces por lo tanto sevuelve positivo, el 3 de base se multiplica 2 veces por él mismo por eso nos da 9; el 3como exponente, como sabemos que un exponente elevado a otro exponente semultiplican 3 * 2 = 6

4

62

2

393

y

x

y

x

Explicación: El exponente de afuera del paréntesis es par, el signo se vuelve +, 3 de base

se multiplica 2 veces por el mismo, el exponente 3 se multiplica por el exponente deafuera que es 2 y el denominador “y” que tiene exponente 2, se multiplica por elexponente de afuera.

4) 3 5

16 x Como es la raíz cúbica de 16x5 todos los factores del radicando pueden salir si seencuentran 3 veces multiplicándose, para poder encontrarlos, descomponemos enfactores primos todos los elementos que se encuentran dentro de la raíz

Primero el 16 luego la x

16 2 x5 8 2 2 x4 2 x2 2 x1 x

x

Descomponiéndolos encontramos que el dos sale del radicando porque cada 3 veces quese multiplica sale una, pero sobra uno. La x también sale porque también sale cada 3 pero sobran dos, los que sobran vuelven a escribirse adentro de la raíz con su mismoíndice

3 23 5 2216 x x x Simplificación de potencias con exponentes racionalesSimplifica:

a) b)


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32

Solución

a)

32

8

2

)3(

)4(

)27()4()27(

5

2

5

23

2

5

3

2

b)

3

4

2

1

3

1

6

5

3

4

3

1

6

52

2

1

3

2

123432

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

Actividad 6

Aplicando las leyes de exponentes resuelva los siguientes ejercicios.

1) -32 2) 32 3) (-3)2 4) 23 5) -23 6) (-2)3 7) -(2)4 8) – (-2)4 9) 2-3 10) -2-3 11) (-2)-3 12) 4-2 13) -4-2 14) (-4)-2 15) (-3)4 16) (-4)3 17) (-2)5 18) (-5)-1 19) (-6)2

20) (-7)3 21) 42 22) -33 23) -52 24) -73 25) -51

26) 26)2

4

3

27) 2

5

4

28) 3

3

2

29) 3

5

3

30) 2

5

2

31) 4

2

3

32) 1

3

4

33) 2

51

34) 3

4

3

35) 23

4

36) 23

16

37) 21

9

38) 2

5

9

1

39) 3

4

3

2

40) 1

2

54

41) 23

04.0

42) 23

)04.0(

43) (3x)(2x)44) (2x2)(x)45) 4x(3x3)46) (5x-2)(2x3)47) (x4)(x3)

48) )6(21 22 x x

49)

3322

12 x x

50)

5

12

2 xy

cab


33/203

33

51) 2

5

3

x

52)

ba

x

xy

ab24

3 9

3

2

53) x x 24 32

54)

1

2

4

2

6

x

x

55) 7

32

6

)3()2(

x

x x

56) 4

23

3

)2)(5(

m

nm

57) 523

4)(3

x x x

58)

2

2

2

4

3

x

y

59) 2

36

6

)3(4uv

vu

60) 43

22

)4(

)5(

n

m

61)

3221 43 y y

Raíces

La raíz enésima de un número real se escribe de la siguiente manera √ en donde n es unnúmero entero positivo mayor de 1 y a, un número real.

Propiedades de los radicales

1) Si 0a entonces √ = 0 Si

es positivo, y n es par

√ el resultado será un número real positivo

Si es negativo y n es impar, entonces √ es un número real negativo b tal que = .Si es negativo y n es par, entonces √ no existe en los números reales.Si n=2 se escribe √ en lugar de √ y se llama raíz cuadrada principal de osimplemente raíz cuadrada de. El número √ es la raíz cúbica de a.Ilustraciones:


34/203

34

√ 16 = 4 Porque 42 = 16 = Porque

= √ 8 = 2 Porque (-2)3 = -8

√ 16 No existe, puesto que la raíz cuadrada de -16 no es un número real.

Observa que √ 16 ≠ ±4 porque, por definición, las raíces de números reales positivosnos dan como resultado otros números reales positivos. El símbolo se lee "másmenos". Para completar nuestra terminología, la expresión √ es un radical, el número se llama radicando y n es el índice del radical. El símbolo es el signo radical.Si√ = , entonces = ; esto es: (√ ) = .En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.

1) Propiedades de √ (n es un entero positivo).Propiedad Ejemplo

( √ ) = ,Si a es un número real y n es impar (√ 4 ) = 4 ( √ ) = , Si es un número real √3 = 3

n

m

n maa Si es un número real y m es par 2 = 2

= |2| = |8| = 8

( √ ) = ||Si a es un número real y n es par 2 = 2 De esta última propiedad vemos que: √ = para todo número real x. En particular, si ≥ 0entonces ; si x < 0, x x 2 = x. Concluimos que √ = para todonúmero real.

Muchas calculadoras no tienen capacidad de resolver este tipo de operacionesescribiéndolos directamente tal y como aparecen, puesto que no están hechas para elevarexponentes fraccionarios a otros exponentes. Observemos el siguiente ejemplo: 3

2

008.0

Para resolverlo principiamos haciendo cambios de escritura de las mismas cantidades:

Pasamos a notación científica 32

3)10*8(

Luego escribimos el 8 con su base y exponente 32

33 )10*2(


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36

Simplificar un radical significa que habrá que escribir todos los elementos del radicandocomo potencias, es decir, con base y exponente, y luego simplificar los exponentes conel índice del radical

Eliminación de factores de radicales.

Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):

a) b) c)

Solucióna) Una forma muy compresible de resolver es descomponiendo el radicando en susfactores primos.64 232 2 64 = 26

16 28 2

4 22 21

33 23

2

9

6

9 69 4222264

b) 123

12

6

12

3

12 36312 36 3327 xa xa xa

Al simplificar debemos de tener cuidado de dejar igual el denominador, para poderloescribir como índice del radical nuevamente

4 24

1

4

2

4

1

33 xa xa c) abababababa 232*31863

2347247532

Racionalización

Racionalizar significa eliminar radicales. Si el denominador de una fracción contiene un

factor de la forma con k < n y a > 0 entonces al multiplicar numerador y

denominador por eliminaremos el radical del denominador

porque:


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Dicho en otras palabras: Si el denominador contiene un radical, debemos llevar alexponente del radicando a que sea igual que el índice del radical. Este proceso se llamaracionalización del denominador.

Factor en eldenominador

Multiplicar

numerador ydenominador por

Factor resultante

EjemplosRacionalización de denominadoresRacionaliza:

a) b) 528 y

x c) 3

4

65

9

16

yz

xm

Solución:

a)5

5

5

5

5

5*

5

1

5

12

b) 528 y

x

En este caso, como nos están pidiendo que racionalicemos el denominador, no debenquedar raíces en el denominador, procedemos entonces a multiplicar por la unidad,agregando lo que haga falta para que todos los denominadores tengan exponente igual alíndice de la raíz, el numerador no nos interesa.

Descomponiendo el 8 = 23 obtenemos 5232 y

x Observamos que al 2 le faltan 2 para

llegar a ser exponente 5 que es el índice del radical y a la “y” le faltan 3, entonces


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multiplicamos por 532

32

2

2

y

y pero dentro de la misma raíz

5 3555

3

532

32

23 4

2

1

2

4

2

2*

2 xy

y y

xy

y

y

y

x

c) 34

65

9

16

yz

xm

Descompongamos los números en todos sus factores y nos queda

342

654

3

2

yz

xm

Sacamos todos los factores que sean la misma cantidad del índice del radical, es decir,

cada tres factores sale uno. Arriba o sea en el numerador no importa si salen o no salen;si salen los sacamos pero si no salen, no tenemos que completar para que sea igual alíndice porque nos piden que racionalicemos el denominador.

Arriba sale el dos pero sobra uno ya que hay cuatro puesto que el exponente nos indicaque se está multiplicando 4 veces, también sale la m pero sobran dos porque hay cinco.Los factores que sobran se quedan dentro del radical pero multiplicados.

Abajo o sea el denominador tenemos que ver si son iguales al índice. Si son iguales

salen pero si no son iguales debemos completar o multiplicar por los mismos factores para hacerlos igual a su índice de radical. Si su exponente es mayor que el índice pero noes múltiplo, debemos ver cuánto le falta para llegar al próximo múltiplo del índice, eneste caso. 3 hay 2, falta 1; “y” hay una, faltan 2; “z” hay 4, significa que ya se pasaron yel próximo múltiplo de 3 es 6, por lo tanto faltan 2, debemos multiplicar por los quefaltan.

3 222

2

2

3633

22654

322

22

42

654

63

2

3

3*2

3

3

3

2 z ym

yz

mx

z y

z y xm

z y

z y

yz

xm

Ejercicios:

Simplifique los siguientes radicales82

Descomponemos los radicandos en sus factores primos y luego aplicamos las leyes delos radicales. Utilizaremos una forma diferente, Al encontrar los factores primos, estossalen de la raíz cuando se multiplican la misma cantidad de veces que lo que indica elíndice del radicalEn este caso, como es raíz cuadrada, salen del radical los números cuando se multiplicandos veces.


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El 2 no sale porque sus factores primos son 2 y 1.El 18 si porque al descomponerlo queda de la siguiente forma:

18 29 3

3 31

Entonces, por estarse multiplicando el 3 dos veces, sale de la raíz pero como el 2 no sale,nos queda

24232182 A continuación encontrará algunos ejercicios resueltos.

3736332108312

3

20

3

)3(4)3(10234310

3

2122310

3

2

Racionalizando 3

320

3

3

3

20

32226

312212

6

126184

6

6*

6

2634

3*2

2634

3

6

2

4

Actividad 7Simplificar los siguientes radicales y racionalizar denominadores cuando sea el caso

1) 348 2) 4925 3) 1664 4) 12*6 5) 2712

6) 542245

7) 33 8124 8) 453

5

10

9) 18

1

10) bbbb 322712 33

11) 4 154 11 x x x

12) 327

1

13) 2816 ba

14) 3

4

1

15) 4 8581 sr

16) 52

311

9

3

x

y x

17) 25 18) 9 19) 3 8

20) 2)36(

21) 2)1(

22) 225 23) 264 24) 48

25) 54 26) 50 27) 20

28) 3

3

2

16


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indicar que no existen. Para escribir cantidades muy grandes, es preferible separar losmiles con una coma, los millones con un subíndice 1, los billones con un subíndice 2, lostrillones con un subíndice, etc. Por ejemplo, la cantidad que escribí arriba 14,5 millones,la podemos escribir correctamente sin utilizar letras 14 como son millones, de una vezescribimos el subíndice 1. 141, aún sin escribir más, el alumno sabrá que son catorce

millones y como los millones llevan seis cifras hacia la derecha, solo bastaría con llenarcon los seis ceros si es que no hubiese más cifras, pero como existe el 5, lo escribimos141500,000. Por ejemplo, 5,0003000,0002000,0001000,000, es un número bastantegrande, pero al leerlo de la forma que acabo de explicar, ya sabemos que las comasseparan los millares, por lo que indica que son cinco mil, luego observamos que existeun subíndice 3, por lo que son trillones.

Ahora aprenderemos a escribir el mismo número pero en notación científica, que quedade la siguiente forma: 5*1021, cuya notación es claramente más eficiente, ocupa menosespacio y es más fácil de leer.

Potencias de 10Son aquellas potencias que tienen base igual a 10, y exponente entero. Son potencias delaforma:

10n, n Z

Estas potencias cuando el exponente es positivo, nos indica la cantidad de ceros quevamosa poner a la derecha del número 1. De la misma forma para los enteros negativosnos indicará lacantidad de ceros que vamos a poner a la izquierda del número 1. Es decir:

100

= 1 10-1

= 0. 1101 = 10 10-2 = 0. 01102 = 100 10-3 = 0. 001103 = 1000 10-4 = 0. 0001104 = 10000 10-5 = 0. 00001

De esta forma podemos expresar las unidades, decenas, centenas, millares, decenas demillar, etc. Reemplazando por estas potencias de 10 se tiene por ejemplo:5,000 = 5 unidades de millar = 5 * 1000 = 5*103,3 ceros a la derecha, positivo

20,000 = 2 decenas de millar = 2*10000 = 2*104 4 ceros a la derecha, positivo3001000,000 = 3 centenas de millón = 3 *100000000 = 3*108

Así podemos ver que este tipo de escritura nos puede ser de mucha utilidad cuandodeseemosexpresar números excesivamente grandes. Pero también utilizando exponentesnegativospodemos obtener el mismo resultado, esta vez con números pequeños. Porejemplo:0.0000000005 = 5 * 0.0000000001 = 5*10-10

Descomposición de números con potencias de 10


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Evaluación IResuelve lo que se te indica y subraya la respuesta correcta1. 2)1(4*23

a) 21 b) 19c) 12d) 10e) No hay respuesta

2. Un número entero p se compone de dos dígitos que son de izquierda a derecha a y b

respectivamente, entonces el inverso aditivo de p es:a) 10a + b b) -10a + bc) 10b + ad) -10a - be) -10b – a

3. Si a es un número natural y b un número cardinal, entonces puede darse que:a) a + b = 0 b) a ÷ b = 0

c) b ÷ a = 0d) a + b2 = be) ba + 1 = 0

4. Si m y n son números naturales impares, entonces es siempre un número par:I. m + nII. m - nIII. m * nIV. m + 1

a) Solo I b) Solo II y IV

c) Solo I y IVd) Solo III y IVe) I, II y IV

5. Si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre losnúmeros 30,54, 18 y 12; se obtiene:

a) 5 b) 15


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c) 30d) 45e) 90

6. Si a, b y c son respectivamente los tres primeros números primos, entonces a + b + c =

a) 6 b) 10c) 15d) 17e) 30

7. ¿Cuántos elementos en común tiene el conjunto de los divisores de 18 y 16?a) Ninguno

b) 1c) 2d) 3e) 4

8. Si se duplica la expresión 24 se obtiene:a) 25 b) 28 c) 42 d) 45 e) 46

9. Si n es un número tal que n Z, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresionesrepresenta(n) tres números pares consecutivos?I. 2n, 2n + 1, 2n + 2II. 4n, 4n + 2, 4n + 4III. 2n - 4, 2n - 2, 2n

a) Solo III b) I y IIc) I y IIId) II y IIIe) Todas

10. Sea el conjunto A = 11,9,8,5,2,1 , entonces la cantidad de elementos que existenentre la intersección de A con el conjunto de los números primos es:

a) 2 b) 3c) 4d) 5e) 6

11. Se define (a; b) * (c; d) = (ad + bc; ab - cd), entonces (2; 1) * (3; 2) =


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45

a) (3,1) b) (7,5)c) (8,4)d) (8, – 4)e) (7, – 4)

12. El séxtuplo del número par consecutivo de 8 es:a) 16 b) 36c) 48d) 60e) 80

13. Si a Z y b N, entonces el conjunto más pequeño al que pertenece siempreb

a es:

a) R b) Ic) Zd) Qe) N

14. 03 14*28 =a) 4 b) 3c) 2d) 1

e) 015. 5,432 es equivalente con:

a) 5 * 100 + 4 * 101 + 3 * 102 + 2 b) 5 * 104 + 4 * 103 + 3 * 102 + 2 * 101 c) 5 * 103 + 4 * 102 + 3 * 101 + 2 * 10d) 5 * 102 + 4 * 101 + 3 * 102 + 2e) 5 * 103 + 4 * 102 + 3 * 101 + 2 * 100

16. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO es racional?

a)

0

3

b)6

2

c) 0.3

d)3

5

e))5(1

1


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17. Al amplificar por 2 el racional4

3 resulta:

a)8

6

b)8

3

c)4

6

d) 3.2

e)2

3

18. ¿Qué número dividido por p

5 da como resultado

5

p ?

a)5

2 p

b)5

p

c) p

5

d)2

5

p

e) 1

19. Al ordenar los números 8, 1/6, 4, 3/4, 5, 1/2, 7, 1/9 en forma decreciente, el quintotérmino es:

a) 1/9 b) 5c) 1/2d) 4e) ¾

20. Si a =2

1 y b =3

1 , entoncesba

1 =

a) 1/2 b) 6/5c) 1/6d) 6e) 5


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21. 11 + 22 + 33 =a) 25 b) 26 c) 35 d) 39

e) 6

6

22. Si a la mitad de la unidad se le resta la unidad se obtiene:a) 0

b)2

3

c)2

1

d)2

3

e)2

1

23. ¿Cuántas veces está contenida la quinta parte de2613 en un entero?

a) 0.1 b) 0.5c) 2.5d) 5e) 10

24. Si m =3

1*4 , p =

6

1*8 y q =

8

1*6 , entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es

verdadera?a) m > p

b) q > mc) p > md) q > pe) m > q

Capítulo 2

Proporcionalidad

En el mundo que nos rodea existe una disposición armoniosa en su estructura, cosas quea simple vista y con un consenso común nos parecen bellas, esto es debido a que lanaturaleza en general es ordenada, en ciertos aspectos a causa de proporciones que la


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rigen. Por ejemplo el muy conocido esquema del cuerpo humano de Leonardo Da Vinciestá basado en una proporción.En el presente capítulo aprenderás los conceptos básicos de las razones y las proporciones, de forma que también puedas aprender, de paso, a deleitarte con la bellezagracias a la armonía implícita en la naturaleza.

Razones La razón es un objeto matemático que utilizamos para comparar dos cantidadescualesquiera para poder establecer una característica que las relacione, en particularambas cantidades las podemos comparar principalmente de dos formas; a través de sudiferencia, a la cual se le llama: razón aritmética; y a través de su cociente, a la cual se lellama: razón geométrica. O simplemente razón.

Razón Aritmética

La razón aritmética es una forma de comparar dos cantidades en las cuales consideramoscuanto excede una de la otra, es decir, encontrando su diferencia. Este tipo de razón la podemos escribir de dos modos; separando ambas cantidades a comparar con un signomenos (-), o con un punto (.). De esta forma la razón aritmética entre un par de númerosa y b, es: a - b o a.b, y se lee a es a b.El primer término de una razón aritmética se denomina antecedente, mientras que elsegundo consecuente.

Ejemplo:Un padre quiere repartir Q.20,000.00 entre sus dos hijos, pero uno de ellos se portó mal,

por lo cual lo va a castigar dándole Q. 6,000.00 menos que a su hermano. ¿Cuánto lecorresponde a cada uno?.

Solución:Para resolver este y todos los otros problemas de este tipo existe un método bastantesencillo a utilizar. Consiste en dividir el intervalo en dos partes iguales (en este casoQ.20,000 2 = Q.10,000.00, luego se incorporar a cada parte la mitad de la diferenciaque existe entre el antecedente y el consecuente de la razón, es decir Q.3.000 para cada

lado en este caso, al antecedente sumando y al consecuente restando, por lo tantotenemos que:

Hijo que se portó bien 10,000 + 3,000 = 13,000Hijo que se portó mal 10,000 – 3,000 = 7,000


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Razón Geométrica

Cada vez que se habla de razón en realidad se quiere hacer referencia a una razóngeométrica. La razón geométrica entre dos cantidades a y b es la comparación porcociente entre ambas, es decir, la división entre ellas. Este tipo de razón la podemos

representar de dos formas; a través de un signo de división ( o :), o expresada en formafraccionaria. De ambas formas se lee a esa b. Al igual que la razón aritmética el primertérmino se denomina antecedente y el segundo consecuente.El tratamiento de las razones geométricas es similar al de las fracciones, es decir, sesuman, restan, multiplican, dividen, simplifican y amplifican de la misma forma.Ahora; ¿a qué nos referimos específicamente cuando decimos 3 es a 5? por ejemplo.Bueno, la respuesta es muy sencilla, quiere decir que cada vez que tengamos 3 partes delantecedente tendremos 5 del consecuente, y en conjunto formamos 8 partes.

Ejemplo:Al siguiente mes, el mismo padre del ejemplo anterior tiene el mismo problema, uno desus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos que a su hermano, pero estavez quiere que por cada Q.3.00 del hermano que se portó bien, el otro reciba solo Q.2.00,(omitiremos los signos) es decir, quiere repartir el dinero a razón de 3 a 2. Si disponenuevamente de Q.20,000.00 ¿Cuánto dinero le corresponderá a cada uno?.

Solución:Para este tipo de problemas te recomendamos utilizar el siguiente método; el entero quese va a repartir (en este caso 20,000), divídelo en el total de partes mas conveniente para

repartirse, la cual siempre resulta ser la suma entre el antecedente y el consecuente de larazón geométrica, es decir, en este caso debes dividir 20,000 en 5 partes iguales, ya que3+2 = 5, y luego 3 de esas partes le corresponderán al antecedente (hijo que se portó bien), y las otras 2 al consecuente(hijo que se portó mal).Observa el siguiente diagrama:


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Donde la parte sombreada es la que le corresponde al hijo que hizo todas susobligaciones. Obviamente. Esta división del dinero que eligió su padre para castigarlo leconviene más al mal hijo que la anterior. Claro que esto no quiere decir que siempre seaasí, haz de ejercicio los mismos dos ejemplos pero que el padre disponga de $40.000 para repartir y te podrás dar cuenta.

En algunos libros encontrarás este tema con el subtítulo de “Reparto proporcional”, queconsiste en hacer la misma repartición que se hizo, solamente que con un procedimientoque aparentemente es diferente. Por ejemplo, el problema podría plantearse de lasiguiente forma:

Repartir el número 20,000 en partes directamente proporcionales a los números 2 y 3,este procedimiento se hace de la siguiente forma

000,85

2*000,20

a

000,125

3*000,20b

Otro ejemplo:Los ángulos de un triángulo están a razón de 1 : 2 : 3 (recuerda que esto se lee; uno esa

dos es a tres), Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180grados. ¿Cuánto miden sus ángulos?.

Solución:Sabiendo que la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180, debemos dividir180grados en 6 partes, ya que entre las partes que le corresponden al primero, al segundoy al tercero suman 6.

306

1*180a

606

2*180 b

906

3*180c


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ProporciónUna proporción es una igualdad entre dos razones equivalentes.1

Dos razones aritméticas son equivalentes si la diferencia entre sus antecedentes yconsecuentes son respectivamente iguales.

Dos razones geométricas son equivalentes si el cociente entre sus antecedentes yconsecuentes son respectivamente iguales

Proporción Aritmética

Es la igualación de dos razones aritméticas equivalentes. A la diferencia entre lasrazones involucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmética. Este tipo de proporción no es particularmente importante, es por esto que no le dedicaremos mas páginas de estudio.

Proporción Geométrica

Una proporción geométrica (o simplemente proporción), es la igualación de dos razonesgeométricas equivalentes. En una proporción podemos distinguir sus partes por distintosnombres, están los extremos, que son el antecedente de la primera razón y elconsecuente de la segunda, y los medios, que son el consecuente de la primera razón y elantecedente de la segunda.

Como una proporción es la igualdad de dos razones, podemos escribir

d

c

b

a que se puede transcribir de la siguiente forma a:b::c:d que se lee a es a b como c

es a d.

Las propiedades de las proporciones son las siguientes:

En toda proporción, “El producto de los extremos es igual al producto de los medios”

a*d=b*c

Ejemplos:3 : 2 :: 9 : 6 es una proporción, pues 3 * 6 = 2 * 94 : 3 :: 5 : 2 NO es una proporción, pues 4 * 2 ≠ 3 * 5Con esta última propiedad podemos resolver ejercicios para determinar algunos de loselementos de una proporción. Por ejemplo:Dada la proporción 7 : 3 :: 21 : x, determinemos el valor de x utilizando la igualación


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Proporcionalidad Directa (Regla de tres simple directa)Dos magnitudes son directamente proporcionales si multiplicando o dividiendo una deellas por un número la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número, que es precisamente el caso de las proporciones que hemos visto. También decimos que doscantidades a y b son directamente proporcionales si su cociente es constante, es decir:

k ba , en donde k es una constante.

Ejemplo:Si para comprar dos kilogramos de pan necesitas Q.1.30 ¿Cuánto dinero necesitas paracomprar 5 kilogramos de pan?

Solución: Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad directa ya que siaumenta la cantidad de kilogramos de pan, entonces aumenta el dinero. Por lo tanto sedebe

cumplir que:k

kilos

Dinero →

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30.1 x

Que lo podemos escribir también:

1.30 : 2 :: x : 5, en donde 25.32

5.6

2

5*30.1 x

x = 3.25Y así puedes verificar que para cualquier cantidad de kilos de pan con el dinero quenecesites para comprarlo tendrán un cociente constante. En este caso ese cociente (k) esigual a 0.65

También podemos proceder de la siguiente manera, escribiendo las dimensionales ydebajo de cada una de ellas las cantidades correspondientes a cada una

Dinero Kilos2

x 5Y nos hacemos la pregunta, esto sin observar las cantidades:Con más dinero compraré más kilos. Y la respuesta es si, entonces es una regla de 3simple directa, en este caso se multiplican las cantidades cruzadas y se dividen por laotra cantidad

25.32

5.6

2

5*30.1 x

Como podemos ver, nos queda exactamente lo mismo que en el anterior


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Una forma de representar dos cantidades que son directamente proporcionales es através de un gráfico, grafiquemos el mismo ejemplo anterior, es decir, unamos los puntos

Siempre dos cantidades directamente proporcionales al ser graficadas representaran unarectaque pasa por el (0,0) u origen.

Proporcional idad I nversa (Regla de tres simple inversa)

Dos cantidades tienen proporcionalidad inversa si al multiplicar una de ellas por unnúmero la otra queda dividida por ese mismo número y viceversa. También decimos quedos magnitudes a y b son inversamente proporcionales si su producto es constante, esdecir: si al aumentar una disminuye la otra.a * b = k; Con k constante

Ejemplo:2 trabajadores se demoran 24 horas en pintar una casa, ¿Cuánto se demoraran 6trabajadores?

Solución: Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad inversa debido aque si aumenta una de las magnitudes la otra disminuye ( si hay más trabajadores sedemoran menos tiempo?, por lo tanto se debe cumplir que:

Trabajadores * Horas = k → 2 * 24 = 6 * x

x6

48

1.30 2.60 3.90


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x = 8 horas.Procedamos a resolverlo también de la segunda forma, escribiendo las dimensionales y bajo cada una de ellas, las cantidades

Trabajadores horas2 246 x

Y nuevamente nos hacemos la misma pregunta:Más trabajadores se tardarán más tiempo en pintar o menos. Y la respuesta es menos, por lo que es inversa.

Cuando la regla de tres es inversa, se multiplican las cantidades en forma lineal y sedividen por la otra.

6

24*2

x x= 8 horas

2.2.5. Proporcionalidad Compuesta (Regla de tres compuesta)

Hasta ahora solo hemos visto casos con dos variables, sin embargo puede pasar que lasvariables en juego para una proporción sean mas de dos, lo que provoca que la forma deanalizar el problema sea un poco mas complicada.

Ejemplo:Si 10 vacas comen 30 kilos de pasto en 20 días, ¿Cuántos kilos de pasto comerán 15vacas en 10 días?.

Solución:Como puedes ver las variables en juego son ahora tres, el número de vacas, la cantidadde kilos de pasto y el número de días. Para comenzar es bueno esquematizar el problemade la forma que lo hice la segunda vez, es decir, escribiendo primero todas lasdimensionales como sigue:

Vacas días kilos10 20 3015 10 x

Una forma sencilla de hacer el análisis es escribir signos. Escribimos en la cantidad quese encuentra sobre la incógnita el signo +, sin hacer ninguna pregunta, luego nos vamos


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haciendo las preguntas y escribiendo el signo que nos salga, en la cantidad de abajo yluego arriba el signo contrario.

Vacas días kilos10 20 + 30

15 10 xComiendo más días, las vacas comerán más kilos o menos y la respuesta es más.Vacas días kilos10 20 + 30

15 +10 x

Luego nos preguntamos: Más vacas comerán más kilos o menos y la respuesta es más

Vacas días kilos10 20 + 30+15 +10 x

Luego escribimos en la cantidad de arroba los signos contrarios a los que habíamosescrito.

Vacas días kilos-10 - 20 + 30+15 +10 x

La x es igual a las cantidades positivas arriba y las cantidades negativas abajo

5.2220*10

30*10*15 x

x= 22.5 kilogramos

Otro ejemplo:8 obreros trabajan 18 días para poner 16 metros cuadrados de cerámica, ¿Cuántos metroscuadrados de cerámica pondrán 10 obreros si trabajan 9 días?.

Solución:Obreros días metros

- 8 - 18 +16+10 + 9 x

1018*8

16*9*10 x

x = 10 metros cuadrados


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Actividad 2.2

Resolver

texto propedéutico de matemática con indice

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